A equação de movimento para um ponto material de massa m pode ser escrita como:

(1)

MECÂNICA - DINÂMICA

Dinâmica de um Ponto Material: Impulso e Quantidade de Movimento

Cap. 15

Prof Dr.Cláudio Curotto Adaptado por:

Prof Dr.Ronaldo Medeiros-Junior TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 2

Desenvolver o princípio do impulso e quantidade de movimento.

Estudar a conservação da quantidade de movimento para pontos materiais.

Analisar a mecânica de colisões.

Introduzir o conceito de impulso angular e momento angular.

Objetivos

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 3

15.1 Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento

A equação de movimento para um ponto material de massa pode ser escrita como:

(15.1)

onde e são medidas num ref. inercial. Rearranjando e integrando entre os limites , e ₁ ₁ ₂

m m md

dt

t

= =

∑

^F ^a ^v

a v

v v

1

2

1 1

2 1

, :

ou:

(15.2)

2

t2

2 t

t

t dt

m d

m m

= −

∑∫

=

∫

∑∫

v v

v

F v

F

v

1 2 1

t2

t dt=m −m

∑∫

^F ^v ^v

. Proporciona um meio direto para cálculo de a partir de sem necessidade do cálculo da aceleração.

2

1

princípio do impulso e quantidade de movimento

⇒

v v

15.1 * - Quantidade de Movimento

1 2 1

t2

t dt=m −m

∑∫

^F ^v ^v

Cada um dos vetores na equação é denominado

do ponto material.

Como é um escalar positivo, o vetor quantidade de movimento tem a mesma

quantida

direção de de movi

e sentido de . S

t

e

e o

u

m n m

m

=

L v

v i

i

i módulo tem unidades de massa vezes velocidade, por exemplo kg.m/s.

L

15.1 * - Impulso

1 2 1

t2

t dt=m −m

∑∫

^F ^v ^v

A integral na equação é denominada do ponto material.

É uma quantidade vetorial que mede o efeito da força durante o intervalo de tempo de sua ação.

Como o tempo é i

u mpu

m e l

scalar so

posi dt

=

∫

I F i

i

i tivo, o vetor

impulso tem a mesma direção e sentido de . Seu módulo tem unidades de força vezes tempo,

F i

I

(2)

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 7 15.1 * - Impulso

1

O módulo do impulso pode ser representado pela área sombreada da curva força versus tempo:

t2

t dt

=

∫

I F

1 1 2

t2 t

m^v +

∑ ∫

^Fdt=m^v

1

1 2

2

a quantidade de movimento do ponto no instante mais a somatória dos impulsos aplicados no intervalo a é igual a quantidade de movimento do ponto no instante .

t t t

t

⇒

15.1 * - Equações Escalares

( ) ( )

1

1 2

2

t

x x x

t t

y y y

t t

z t z z

m v F dt m v

+ =

∑∫

Sistema de equações escalares para as componentes cartesianas x, y, z

( )

Ao engradado de 50 lb aplica-se uma força de intensidade variável 20 lb, onde é dado em segundos.

Determine a velocidade do engradado 2 após o início da aplicação da força. A velocidade inicial do

P t t

s

=

1

engradado é 3 pés/s, plano abaixo, e o coeficiente de atrito cinético entre o engradado e o plano é _c 0,3.

v

µ

=

= Exemplo 15.2

Exemplo 15.2 - Solução

Massa da carga:

50 1,5528 slugs 32, 2

m  

= =

 

Exemplo 15.2 - Solução Diagrama de corpo livre

a_x

(3)

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 13 Exemplo 15.2 - Solução

0

43,301

50cos30 lb

12,

0 0,3

0

990 lb

y y C

C a

a

NC

F N N

F m

F

a ∴ − =

= ∴

=

∑

= a_x

Exemplo 15.2 - Solução

( ) ( )

1 1 2

Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento:

43,301 lb

t2

x x x

C

t

m v F dt

N

+ =m v

=

∑∫

a_x

( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )

2 0

0 2 2 2

0

2

2 0

2

1,5528 3 20 0,3 50sen 30 1,5528

4,6584 20 0,3 50sen 30 1,5528

2 4,6584 40 0,6 43,30

4

1 5 4, 2 pés

0 1,552 s

8 /

C

t N dt v

t N t t v

v v =

+ − + =

 

+ − +  =

 

+ − + =

∫

Exemplo 15.2 – Solução cinemática

( ) ( )

( )

2

0

2

3 0

20 0,3 43,301 50sen 30 1,5528 12,88 7,7342

Sendo:

12,88 7,73 44, 2 pés

42 /s

v

x x

t a

a t

dv adt dv t

v F

dt ma

− + =

= +

= ∴

=

= +

∫ ∫

∑

_a

x

15.2 Princípio do Impulso e Quantidade de Mov. para um Sist. de Pontos Materiais

A equação de movimento para um

de massa pode ser escrita como:

onde é medido em um ref. inercial.

As forças internas aparecem aos pares e se a

sistema de pontos mater

nul a

m o i

a a

is _i

i

i i

i

i m

m d

= dt

∑

^F

∑

^v

v

serem somadas, não aparecendo na equação.

( ) ( )

1

1 2

Rearranjando a equação anterior e integrando entre os limites , e , :

a quantidade de movimento do sistema no instante mais a somatória dos impulsos das

t2

i i t i i i

1t1 2t2

t forças extern

m dt= m

⇒

∑

+

∑ ∫ ∑

v v

v F v

1 2

2

aplicados no intervalo a é igual a quantidade de movimento do sistema no instante .

t t

a

t s

O do sistema é determinado por ,

onde é a do sistema. Então centro d

a deriva e massa G

mas da

temporal n

sa t os fornece:

otal

G i i

i

G i i

m m

=

∑

r r

v v

(4)

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 19 15.2 Princípio do Impulso e Quantidade de Mov. para um Sist. de Pontos Materiais

quantidade de movimento total do sistema quantidade de movimento de um ponto mater

Essa equação estabelece que a é equivalente à

massa igual à massa total do sistema de

e d p i o

al fictíci sição ig

o

e ual ao do centro de massa do sistema.

G i i

m^v =

∑

m^v

( ) ( )

1 1 2

Substituindo as equações, temos:

t2

G t i G

m ^v +

∑∫

^Fdt=m ^v

1

1 2

a quantidade de movimento do de massa no instante mais a somatória dos impulsos das

aplicados no intervalo a é igual a quantidade de movimento do ponto no

i

ponto fictício

forças e

m m t

t t xternas

⇒

=

∑

instante .t2

( ) ( )

1 1^t² 2

i i t i i i

m + dt= m

∑

^v

∑ ∫

^F

∑

^v ^m^v^G⁼

∑

^mⁱ^vⁱ

Um operário de 180 lb está preso por um sistema de segurança. Determine a

desenvolvida na corda quando o operário cai se a a corda AB tem uma folga de 4 pés. D

tens

espr ão impul

eze o tam

siv

anh

a m

o

édia

do operário e suponha uma duração de 0,6 s para o impulso (frenagem proporcionada pela pequena elasticidade da corda).

Problema 15.4

Problema 15.4 - Solução

Diagrama das quantidades de movimento e impulso proporcionado pela corda:

(h ⁴p é s)

v ₌

y

F

Altura desprezível

(_h 4_{p é s}) 0

t ₌ =

v =0 0 , 6 s t= W

Diagrama cinemático da queda livre:

180

32, 2 m 5,59 slugs

m= ∴ =

5,59 slugs

0 0

v =

5,59 slugs

v1 y

4 pés

g

( )

0 1

2 2

0 1

2 1

0 0 1 1

0 1 1 0

1

Princípio do Trabalho e Energia:

Trabalho do Peso:

180 0 4

1 1

2 720 2

0 720 1

720 lb.pés

16,05 pés/

5,59 s

2

W W

W

T U T

U W y y

U

U U

U

mv m

v v

v

−

+ =

= − −

=

= − − ∴

+

=

= ∴

=

= +

∑

5,59 slugs

0 0

v =

5,59 slugs

v1 y

4 pés

g

(5)

TC027 - Mecânica Geral III - Dinâmica 25 12.2 * Fórmulas da Aceleração Constante

( )

0

2

0 0

2 2

0 0

1 2 2

c c

c

a a v v a t

s s v t a t

v v a s s

=

= +

= + +

= + −

Problema 15.4 – Solução cinemática

( )

1 0

2 2

0 0

2 1

16,05 pés/s 0, 49

Fórmulas de aceleração constante:

0 2 32, 2 4

16, 05 0 32, 2 844 s

2

c

v v a t

v v a

v

t s s

v t

= +

= + −

=

= +

=

= +

5,59 slugs

0 0

v =

5,59 slugs

v1 y

4 pés

g

1 1 2

1

1 2

2

a quantidade de movimento do ponto no instante mais a somatória dos impulsos aplicados no intervalo a é igual a quantidade de movimento do ponto no instante .

t2

m t d m

t t t

t t

⇒

+

∑∫

=

v F v

Diagrama das quantidades de movimento e

impulso proporcionado pela corda: ^{5,59 slugs}

1 1 6 , 0 5 p é s /s v =

y

F

Altura desprezível

1 0

t =

5,59 slugs

2 0

v =

2 0 , 6 s t = 1 8 0 lb

5,59 slugs

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1 1 2

Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento:

5,59 16,05 180 0

5,59 16,05 180 0, 6 0, 6 0 89,7195 108 0,

330 lb

6

t2

x t x x

t F t F

m v F dt m v

F F

+ − =

=

+ =

+

∑∫

=

5,59 slugs

1 1 6 , 0 5 p é s /s v =

F

5,59 slugs

2 0

v =

0 , 6 s t

∆ = 1 8 0 lb

5,59 slugs

No início do da corda a tensão na mesma é nula.

estiramento

5,59 slugs

F

Altura desprezível

1 0

t =

5,59 slugs 1 8 0 lb

2 0 , 6 s t = 1 8 0 lb

1 8 0 lb F1 5,59 slugs

1 8 0 lb

ay g

No final ela é igual ao peso do operário. Durante o a tensão varia, tendo o valor médio , calculado.

estiramento F