1 Taxa de varia¸ c˜ ao

Lista 4 - Taxa de varia¸c˜ ao, Diferencia¸c˜ ao Impl´ıcita e Taxas Relacionadas

4 de Setembro de 2017

1 Taxa de varia¸ c˜ ao

1. Sejay=f(x) =x²+x.

(a) Calcule a taxa de varia¸c˜ao (instantˆanea) dey emx= 2.

2. A Trappe and Sons tem um custo di´ario total C(x) para produzir x frascos do molho apimentado TexaPep, dado pela fun¸c˜ao

C(x) = 0,000002x³+ 5x+ 400 (1) Calcule:

C(100 +h)−C(100)

h (2)

para h = 1; 0,1; 0,001 e 0,0001 e use seus resultados para estimar a taxa de varia¸c˜ao da fun¸c˜ao custo total quando o n´ıvel de produ¸c˜ao for de 100 frascos/dia.

3. Os economistas do governo de um pa´ıs emergente determinaram que a compra de perfumes importados est´a relacionada com a implanta¸c˜ao de um imposto incidente em ”bens de luxo”de acordo com a f´ormula:

N(x) =p

10000−40x−0,02x²; (0≤x≤200)

onde N(x) mede a raz˜ao percentual entre o consumo dos perfumes ap´os a imposi¸c˜ao de uma al´ıquota em x por cento para ”bens de luxo”e o consumo de perfumes antes da taxa¸c˜ao. Determine a taxa de varia¸c˜ao de N(x) para

1

as al´ıquotas de 10%, 100% e 150%.

4. Se daqui a t anos o n´umero de pessoas que utilizar˜ao a internet em determinada comunidade for dado por:

N(t) = 10t²+ 30t+ 15000 (3)

Determine:

(a) O n´umero de pessoas que utilizar˜ao a internet daqui 2 anos dessa comu- nidade.

(b) A taxa de varia¸c˜ao do n´umero de pessoas que utilizar˜ao a internet daqui 2 anos.

2 Diferencia¸ c˜ ao Impl´ıcita

5. Encontre a derivada ^dy_dx: (i) resolvendo cada uma das equa¸c˜oes impl´ıcitas dadas paray explicitamente em termos de y e (ii) diferenciando cada uma das equa¸c˜oes dadas implicitamente. Mostre que, em cada caso, os resultados (i) e (ii) s˜ao equivalentes.

(a)x+ 2y= 5 (b)xy= 1 (c) ^y_x −2x³ = 4

6. Encontre ^dy_dx por diferencia¸c˜ao impl´ıcita.

(a)x²+y² = 16 (b)x²+ 5xy+y² = 10 (c)√

xy= 2x+y² (d)x²−2y² = 16 (e)x^1/2+y^1/2= 1 (f) 4cos x sen y= 1 (g)xy =cotg(xy)

(h)sen x+cos y=sen x cons y

3 Taxas Relacionadas

7. Suponha que a quantidade semanal demandada dos pneus radiais Super Titan esteja relacionada com seu pre¸co unit´ario pela equa¸c˜ao:

2

p+x²= 144 (4) Ondex ´e medido em unidades de milhar ep, em d´olares. Com que rapidez a quantidade demandada varia quando x = 9, p = 63 e o pre¸co por pneu aumenta a uma raz˜ao de 2 d´olares por semana?

8. Suponha que a quantidade dex pneus radiais Super Titan dispon´ıvel cada semana no mercado esteja relacionada ao pre¸co de venda unit´ario pela equa¸c˜ao

p−1

2x²= 48 (5)

Ondex ´e medido em unidades de milhar ep, em d´olares. Com que rapidez a oferta semanal dos pneus Super Titan colocados `a venda no mercado varia quandox= 6, p= 66 e o pre¸co por pneu diminui a uma raz˜ao de 3 d´olares por semana?

9. A equa¸c˜ao da demanda para uma certa marca de fones de ouvido ´e

100x²+ 9p² = 3.600 (6)

ondex representa o n´umero (em milhares) de fones de ouvido demandados cada semana quando o pre¸co por unidade ´e p d´olares. Com que rapidez a quantidade demandada cresce quando o pre¸co por unidade ´e 14 d´olares e o pre¸co est´a caindo com a taxa de 0,15 d´olares por fone semanalmente?

Dica: Para encontrar o valor de x quando p = 14, resolva a equa¸c˜ao 100x²+ 9p² = 3.600 parax quando p= 14.

10. O volume de um cilindro circular reto de raiore alturah´eV =πr²h.

Suponha que tanto o raio quanto a altura do cilindro variam com o tempo t.

(a) Encontre a rela¸c˜ao entre dV/dt, dr/dt, e dh/dt.

(b) Em um certo instante de tempo, o raio e a altura do cilindro s˜ao 2 e 6 polegadas, e est˜ao aumentando a taxas de 0,1 e 0,3 polegadas por segundo.

Com que rapidez o volume do cilindro est´a aumentando?

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