(6) Notação: x = (x1 , x2
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Texto
(2) Estrutura geral da aula Parte 1: Restrição orçamentária Parte 2: Equilíbrio Parte 3: Demanda. 2.
(3) Parte I Restrição orçamentária. 3.
(4) Restrição orçamentária. Homogeneidade de grau zero da restrição orçamentária. 4.
(5) Restrição orçamentária. Homogeneidade de grau zero da restrição orçamentária. 5.
(6) Notação: x = (x1 , x2 , . . . , xL ):. elemento genérico de X;. p = (p1 , p2 , . . . , pL ): vetor de preços; m:. renda da consumidora;. 6.
(7) Restrição orçamentária O valor da cesta de bens escolhida não pode ultrapassar a renda monetária: p1 x1 + p2 x2 + · · · + pL xL ≤ m, ou. L X. pi xi ≤ m,. i=1. ou ainda, p · x ≤ m.. 7.
(8) Conjunto e linha de restrição orçamentária Conjunto de restrição orçamentária (B) é o conjunto das cestas de bens compatíveis com a restrição orçamentária: Bp,m = {x ∈ X : p · x ≤ m} .. 8.
(9) Conjunto e linha de restrição orçamentária Conjunto de restrição orçamentária (B) é o conjunto das cestas de bens compatíveis com a restrição orçamentária: Bp,m = {x ∈ X : p · x ≤ m} . Linha de restrição orçamentária (LRO) É o conjunto das cestas de bens que atendem a restrição orçamentária com igualdade: LROp,m = {x ∈ X : p · x = m} .. 8.
(10) LRO: representação gráfica para X = R2+ x2. p1. x1. +. p2. x2. =. m. x1. 9.
(11) LRO: representação gráfica para X = R2+ x2. p1. x1. LR. +. O. p2. p, m. x2. =. m. x1. 9.
(12) LRO: representação gráfica para X = R2+ x2. p1. x1. LR. +. O. p2. p, m. x2. =. m. m p1. x1. 9.
(13) LRO: representação gráfica para X = R2+ x2 m p2. p1. x1. LR. +. O. p2. p, m. x2. =. m. m p1. x1. 9.
(14) LRO: representação gráfica para X = R2+ x2 m p2. p1. x1. LR. +. O. p2. p, m. x2. =. m − pp12 m p1. x1. 9.
(15) LRO: representação gráfica para X = R2+ x2 m p2. p1. x1. LR. +. O. p2. p, m. x2. =. m p1 p2 m p1. x1. 9.
(16) Bp,m : representação gráfica para X = R2+ x2 m p2. Bp,m p1 x1 + p2 x2 < m. p1 p2 m p1. x1. 10.
(17) LRO: efeito de variações na renda. Aumento de renda x2. m p2. m p1. x1. 11.
(18) LRO: efeito de variações na renda. Aumento de renda x2 m0 p2 m p2. m p1. m0 p1. x1. 11.
(19) LRO: efeito de variações na renda. Aumento de renda x2. Redução na renda x2. m0 p2 m p2. m p2. m p1. m0 p1. x1. m p1. x1. 11.
(20) LRO: efeito de variações na renda. Aumento de renda x2. Redução na renda x2. m0 p2 m p2. m p2 m 00 p2. m p1. m0 p1. x1. m 00 p1. m p1. x1. 11.
(21) LRO: efeito de variações em p1. Efeito de um aumento em p1 x2. m p2. m p10. x1. 12.
(22) LRO: efeito de variações em p1. Efeito de um aumento em p1 x2. m p2. m p11. m p10. x1. 12.
(23) LRO: efeito de variações em p1. Efeito de um aumento em p1 x2. Efeito de uma redução em p1 x2. m p11. m p2. m p11. m p10. x1. m p10. x1. 12.
(24) LRO: efeito de variações em p1. Efeito de um aumento em p1 x2. Efeito de uma redução em p1 x2. m p11. m p2. m p11. m p10. x1. m p10. m p11. x1. 12.
(25) LRO: efeito de variações em p2. Efeito de um aumento em p2 x2. m p20. m p1. x1. 13.
(26) LRO: efeito de variações em p2. Efeito de um aumento em p2 x2. m p20 m p21. m p1. x1. 13.
(27) LRO: efeito de variações em p2. Efeito de um aumento em p2 x2. m p20. Efeito de uma redução em p2 x2. m p20. m p21. m p1. x1. m p1. x1. 13.
(28) LRO: efeito de variações em p2. Efeito de um aumento em p2 x2. Efeito de uma redução em p2 x2. m p21 m p20. m p20. m p21. m p1. x1. m p1. x1. 13.
(29) Renda como valor de uma dotação inicial Por vezes, é adequado modelar m =p·w em que w é chamada dotação inicial da consumidora. Nesse caso, a restrição orçamentária pode ser reescrita como: p1 x1 + p2 x2 + · · · + pL xL ≤ p1 w1 + p2 w2 + · · · + pL wL ou, mais sucintamente, x · p ≤ p · w.. 14.
(30) Renda como valor de uma dotação inicial: consequências A linha de restrição orçamentária sempre passa sobre a dotação inicial. Alterações nos preços afetam não apenas os preços relativos, mas a renda.. 15.
(31) LRO com dotação inicial x2. w2. w. w1. x1. 16.
(32) LRO com dotação inicial x2. w2. p1. x1. +. w p2. x2. w1. =. p1. w. 1. +. p2. w. 2. − pp12 x1. 16.
(33) LRO com dotação inicial x2. w2. w. p1 p2. w1. x1. 16.
(34) LRO com dotação inicial x2. w2. w LR. O p1 p2. w1. x1. 16.
(35) LRO com dotação inicial x2. w2. w LR. O p1 p2. w1. p·w p1. x1. 16.
(36) LRO com dotação inicial x2 p·w p2. w2. w LR. O p1 p2. w1. p·w p1. x1. 16.
(37) CRO com dotação inicial x2 p·w p2. w2. w. Bp,m p·x<p·w. w1. p1 p2 p·w p1. x1. 17.
(38) LRO com dotação inicial: efeito de uma elevação em p1 /p2 x2. w2. w. w1. p10 p20. x1. 18.
(39) LRO com dotação inicial: efeito de uma elevação em p1 /p2 x2. w2. w. w1. p10 p20. x1. 18.
(40) LRO com dotação inicial: efeito de uma redução em p1 /p2 x2. w2. w. w1. p10 p20. x1. 19.
(41) LRO com dotação inicial: efeito de uma redução em p1 /p2 x2. w2. w. w1. p10 p20. p11 p21. x1. 19.
(42) Restrição orçamentária. Homogeneidade de grau zero da restrição orçamentária. 20.
(43) Homogeneidade de grau zero do CRO Para qualquer α > 0, se p1 x1 + p2 x2 + · · · + pn xL ≤ m então αp1 x1 + αp2 x2 + · · · + αpn xL ≤ αm.. 21.
(44) Homogeneidade de grau zero do CRO Para qualquer α > 0, se p1 x1 + p2 x2 + · · · + pn xL ≤ m então αp1 x1 + αp2 x2 + · · · + αpn xL ≤ αm. Mais sucintamente, se α > 0, αp · x ≤ αm se, e somente se, p · x ≤ m. 21.
(45) Homogeneidade de grau zero do CRO Para qualquer α > 0, se p1 x1 + p2 x2 + · · · + pn xL ≤ m então αp1 x1 + αp2 x2 + · · · + αpn xL ≤ αm. Mais sucintamente, se α > 0, αp · x ≤ αm se, e somente se, p · x ≤ m Portanto, para qualquer α > 0, Bαp,αm = Bp,m .. 21.
(46) Homogeneidade de grau zero do CRO Para qualquer α > 0, se p1 x1 + p2 x2 + · · · + pn xL ≤ m então αp1 x1 + αp2 x2 + · · · + αpn xL ≤ αm. Mais sucintamente, se α > 0, αp · x ≤ αm se, e somente se, p · x ≤ m Portanto, para qualquer α > 0, Bαp,αm = Bp,m . Por essa razão, dizemos que Bp,m é homogêneo de grau zero em relação a preços e renda. 21.
(47) Homogeneidade de grau zero da LRO Para qualquer α > 0, se p1 x 1 + p2 x 2 + · · · + pL x L = m então αp1 x1 + αp2 x2 + · · · + αpL xL = αm.. 22.
(48) Homogeneidade de grau zero da LRO Para qualquer α > 0, se p1 x 1 + p2 x 2 + · · · + pL x L = m então αp1 x1 + αp2 x2 + · · · + αpL xL = αm. Mais sucintamente, se α > 0, αp · x = αm se, e somente se, p · x = m. 22.
(49) Homogeneidade de grau zero da LRO Para qualquer α > 0, se p1 x 1 + p2 x 2 + · · · + pL x L = m então αp1 x1 + αp2 x2 + · · · + αpL xL = αm. Mais sucintamente, se α > 0, αp · x = αm se, e somente se, p · x = m Portanto, para qualquer α > 0, LRO αp,αm = LRO p,m .. 22.
(50) Homogeneidade de grau zero da LRO Para qualquer α > 0, se p1 x 1 + p2 x 2 + · · · + pL x L = m então αp1 x1 + αp2 x2 + · · · + αpL xL = αm. Mais sucintamente, se α > 0, αp · x = αm se, e somente se, p · x = m Portanto, para qualquer α > 0, LRO αp,αm = LRO p,m . Por essa razão, dizemos que a LRO é homogênea de grau zero em realação a preços e renda. 22.
(51) Escolhendo um bem como unidade de conta Fazendo α =. 1 p1 ,. Bp1 ,p2 ,...,m = B1, p2 ,..., pL , m p1. p1 p1. 23.
(52) Escolhendo um bem como unidade de conta Fazendo α =. 1 p1 ,. Bp1 ,p2 ,...,m = B1, p2 ,..., pL , m p1. Façamos p̃i =. pi p1 ,. i = 1, . . . , L, e m̃ =. p1 p1. m p1 .. Bp1 ,p2 ,...,m = B1,p̃2 ,...,p̃L ,m̃ Assim, qualquer restrição orçamentária pode ser representada por um sistema de preços no qual a unidade de contas é um dos bens. O bem usado como unidade de conta (no caso o bem 1) é chamado numéraire.. 23.
(53) Linha de restrição orçamentária quando o bem 2 é o numéraire x2 m. p1. x1. 24.
(54) Parte II equilíbrio. 25.
(55) Equilíbrio: análise gráfica. Equilíbrio com L bens.. 26.
(56) Equilíbrio: análise gráfica. Equilíbrio com L bens.. 27.
(57) Solução interior x2. m p2. p1 p2. m p1. x1. 28.
(58) Solução interior x2. m p2. p1 p2. m p1. x1. 28.
(59) Solução interior x2. m p2. x2∗. x∗ p1 p2. x1∗. m p1. x1. 28.
(60) Propriedades da solução interior Assumindo não saciedade local, o equilíbrio ocorre na linha de restrição orçamentária: p1 x1∗ + p2 x2∗ = m.. 29.
(61) Propriedades da solução interior Assumindo não saciedade local, o equilíbrio ocorre na linha de restrição orçamentária: p1 x1∗ + p2 x2∗ = m.. Condição de tangência: se a solução é interior (x1∗ , x2∗ > 0), e a TMS é definida, então |TMS(x∗ )| =. UMg 1 (x∗ ) p1 = . UMg 2 (x∗ ) p2. 29.
(62) Interpretação|TMS| > p1 /p2 |TMS| unidades do bem 2 que a consumidora está disposta a deixar de consumir para consumir uma unidade adicional do bem 1. p1 unidades do bem 2 que a consumidora precisa deixar de p2 consumir para poder comprar uma unidade adicional do bem 1. Se |TMS| > pp12 , para consumir uma unidade adicional do bem 1 a consumidora precisa abrir mão de uma quantidade de consumo do bem 2 inferior à quantidade da qual está disposta a abrir mão.. 30.
(63) Interpretação: |TMS| > p1 /p2 Na cesta (x)0 , |TMS| > p1 /p2 . A consumidora pode atingir uma curva de indiferença mais elevada escolhendo uma cesta de bens sobre a linha de restrição orçamentária mais à direita.. x2. m p2. x0. p1 p2. m p1. x1. 31.
(64) Interpretação: |TMS| < p1 /p2 |TMS| quantidade mínima do bem 2 que a consumidora aceita em troca da redução de um unidade de consumo do bem 1. p1 unidades adicionais do bem 2 que a consumidora pode p2 adquirir caso reduza o consumo do bem 1 de uma unidade. Se |TMS| < pp12 , ao deixar de consumir uma unidade do bem 1, a consumidora poderá adquirir uma quantidade do bem 2 superior à que seria necessária para compensá-la pela redução no consumo do bem 1.. 32.
(65) Interpretação: |TMS| < p1 /p2 Na cesta (x)0 , |TMS| > p1 /p2 . A consumidora pode atingir uma curva de indiferença mais elevada escolhendo uma cesta de bens sobre a linha de restrição orçamentária mais à esquerda.. x2. m p2. x0. p1 p2. m p1. x1. 33.
(66) Utilidade marginal do gasto UMg i indica de quanto cresce a utilidade da consumidora por pi unidade monetária em virtude de um pequeno aumento no gasto com a aquisição desse bem aquisição do bem i. Essa taxa é chamada utilidade marginal do gasto com o bem i.. 34.
(67) Condição de equilíbrio reinterpretada Condição de tangência: |TMS(x∗ )| =. UMg 1 (x∗ ) p1 = ∗ UMg 2 (x ) p2. 35.
(68) Condição de equilíbrio reinterpretada Condição de tangência: |TMS(x∗ )| = Rearranjando:. UMg 1 (x∗ ) p1 = ∗ UMg 2 (x ) p2. UMg 2 (x∗ ) UMg 1 (x∗ ) = p1 p2. λ é chamada utilidade marginal da renda.. 35.
(69) Condição de equilíbrio reinterpretada Condição de tangência: |TMS(x∗ )| = Rearranjando:. UMg 1 (x∗ ) p1 = ∗ UMg 2 (x ) p2. UMg 2 (x∗ ) UMg 1 (x∗ ) = = λ. p1 p2. λ é chamada utilidade marginal da renda.. 35.
(70) Casos mal comportados: TMS indefinida. x2. m p2. x∗ p1 p2. m p1. x1. 36.
(71) Casos mal comportados: infinitos equilíbrios x2. m p1. m p1. x1. 37.
(72) Casos mal comportados: infinitos equilíbrios x2. m p1. m p1. x1. 37.
(73) Casos mal comportados: múltiplos equilíbrios x2 m p2. m p1. x1. 38.
(74) Casos mal comportados: múltiplos equilíbrios x2 m p2. x∗. x∗∗ m p1. x1. 38.
(75) Casos mal comportados: ponto de mínimo x2 m p2. x0. m p1. x1. 39.
(76) Casos mal comportados: máximos locais não globais x2. m p2. x∗∗. m p2. x1. 40.
(77) Casos mal comportados: máximos locais não globais x2. Máximo local, mas não global. m p2. x∗∗. m p2. x1. 40.
(78) Casos mal comportados: máximos locais não globais x2. Máximo local, mas não global. m p2. x∗∗. Máximo global. x∗ m p2. x1. 40.
(79) Casos mal comportados: solução de canto (x2∗ = 0) x2. m p2. x∗ m p1. x1. 41.
(80) Casos mal comportados: solução de canto (x1∗ = 0) x2. m p2. x∗. m p1. x1. 42.
(81) Solução de canto sobre o eixo horizontal. p1 x1∗ + p2 x2∗ = m, x2∗ = 0 |TMS(x∗ )| =. UMg 1 (x∗ ) p1 ≥ ∗ UMg 2 (x ) p2. 43.
(82) Solução de canto sobre o eixo horizontal. p1 x1∗ + p2 x2∗ = m, x2∗ = 0 |TMS(x∗ )| =. UMg 1 (x∗ ) p1 ≥ ∗ UMg 2 (x ) p2. UMg 2 (x∗ ) UMg 1 (x∗ ) ≤ p2 p1. 43.
(83) Solução de canto sobre o eixo horizontal. p1 x1∗ + p2 x2∗ = m, x2∗ = 0 |TMS(x∗ )| =. UMg 1 (x∗ ) p1 ≥ ∗ UMg 2 (x ) p2. UMg 2 (x∗ ) UMg 1 (x∗ ) ≤ = λ. p2 p1. 43.
(84) Solução de canto sobre o eixo vertical. p1 x1∗ + p2 x2∗ = m, x1∗ = 0 |TMS(x∗ )| =. UMg 1 (x∗ ) p1 ≤ ∗ UMg 2 (x ) p2. 44.
(85) Solução de canto sobre o eixo vertical. p1 x1∗ + p2 x2∗ = m, x1∗ = 0 |TMS(x∗ )| =. UMg 1 (x∗ ) p1 ≤ ∗ UMg 2 (x ) p2. Reescrevendo a última condição: UMg 2 (x∗ ) UMg 1 (x∗ ) ≤ p1 p2. 44.
(86) Solução de canto sobre o eixo vertical. p1 x1∗ + p2 x2∗ = m, x1∗ = 0 |TMS(x∗ )| =. UMg 1 (x∗ ) p1 ≤ ∗ UMg 2 (x ) p2. Reescrevendo a última condição: UMg 2 (x∗ ) UMg 1 (x∗ ) ≤ =λ p1 p2. 44.
(87) Equilíbrio: análise gráfica. Equilíbrio com L bens.. 45.
(88) O problema de maximização de utilidade Maximizar U(x) dadas as restrições p·x≤m xi ≥ 0, i = 1, . . . , L,. 46.
(89) Existência de solução Se os preços e a renda são positivos e as preferências são contínuas, então o problema de maximização de utilidade tem solução.. 47.
(90) Solução — condições de primeira ordem O lagrangeano desse problema é L = U(x) − λ(p · x − m) +. L X. µi x i. i=1. 48.
(91) Solução — condições de primeira ordem O lagrangeano desse problema é L = U(x) − λ(p · x − m) +. L X. µi x i. i=1. Assumindo não saciedade local, as condições de primeira ordem são UMg i (x∗ ) = λ∗ pi − µ∗i com µ∗i = 0 caso xi∗ > 0 e µ∗i > 0 caso xi∗ = 0.. 48.
(92) Solução — condições de primeira ordem Se xi∗ > 0 e xj∗ > 0, então, UMg j (x∗ ) UMg i (x∗ ) ∗ =λ = , pi pj ou ainda,. UMg i (x∗ ) pi = . UMg j (x∗ ) pj. Se xi∗ = 0 e xj∗ > 0, então, UMg j (x∗ ) UMg i (x∗ ) µ∗ = λ∗ − i ≤ λ∗ = , pi pi pj ou ainda,. UMg i (x∗ ) pi ≤ . ∗ UMg j (x ) pj 49.
(93) Solução — condições de primeira ordem Se xi∗ > 0 e xj∗ > 0, então, UMg j (x∗ ) UMg i (x∗ ) ∗ =λ = , pi pj ou ainda,. UMg i (x∗ ) pi = . UMg j (x∗ ) pj. Se xi∗ = 0 e xj∗ > 0, então, UMg j (x∗ ) UMg i (x∗ ) µ∗ = λ∗ − i ≤ λ∗ = , pi pi pj ou ainda,. UMg i (x∗ ) pi ≤ . ∗ UMg j (x ) pj 49.
(94) Solução — condições de primeira ordem Se xi∗ > 0 e xj∗ > 0, então, UMg j (x∗ ) UMg i (x∗ ) ∗ =λ = , pi pj ou ainda,. UMg i (x∗ ) pi = . UMg j (x∗ ) pj. Se xi∗ = 0 e xj∗ > 0, então, UMg j (x∗ ) UMg i (x∗ ) µ∗ = λ∗ − i ≤ λ∗ = , pi pi pj ou ainda,. UMg i (x∗ ) pi ≤ . ∗ UMg j (x ) pj 49.
(95) Solução — condições de primeira ordem Se xi∗ > 0 e xj∗ > 0, então, UMg j (x∗ ) UMg i (x∗ ) ∗ =λ = , pi pj ou ainda,. UMg i (x∗ ) pi = . UMg j (x∗ ) pj. Se xi∗ = 0 e xj∗ > 0, então, UMg j (x∗ ) UMg i (x∗ ) µ∗ = λ∗ − i ≤ λ∗ = , pi pi pj ou ainda,. UMg i (x∗ ) pi ≤ . ∗ UMg j (x ) pj 49.
(96) Solução — condições de primeira ordem Se xi∗ > 0 e xj∗ > 0, então, UMg j (x∗ ) UMg i (x∗ ) ∗ =λ = , pi pj ou ainda,. UMg i (x∗ ) pi = . UMg j (x∗ ) pj. Se xi∗ = 0 e xj∗ > 0, então, UMg j (x∗ ) UMg i (x∗ ) µ∗ = λ∗ − i ≤ λ∗ = , pi pi pj ou ainda,. UMg i (x∗ ) pi ≤ . ∗ UMg j (x ) pj 49.
(97) Condição suficiente de segunda ordem Se as preferências forem convexas então, as condições de máximo condicional de segunda ordem estão garantidas.. 50.
(98) Condição suficiente de segunda ordem Se as preferências forem convexas então, as condições de máximo condicional de segunda ordem estão garantidas. Ademais, se as preferências forem estritametne convexas, o equilíbrio será único.. 50.
(99) Parte III Demanda. 51.
(100) Função de demanda Exemplos Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Complementares perfeitos Preferências CES Representações gráficas Demanda com dotação inicial. 52.
(101) Função de demanda Exemplos Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Complementares perfeitos Preferências CES Representações gráficas Demanda com dotação inicial. 53.
(102) Correspondência de demanda Função que tem por argumentos o vetor de preços e a renda de uma consumidora e retorna o conjunto das cestas de equilíbrio dessa consumidora, ou seja, o conjunto das cestas de bens x tais que x ∈ Bp,m e, para qualquer cesta de bens x0 ∈ Bp,m , x % x0 . Notação: x∗ (p, m). 54.
(103) Função de demanda No caso em que, para quaisquer p 0 e m > 0, x∗ (p, m) é um conjunto unitário, podemos definir uma função de demanda, também notada por x∗ (p, m), que associa a cada vetor de preços positivos e renda, uma única escolha ótima do consumidor. O componente i da função de demanda, xi∗ (p, m), é chamado de função de demanda do bem i, i = 1, . . . , L.. 55.
(104) Função de demanda Exemplos Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Complementares perfeitos Preferências CES Representações gráficas Demanda com dotação inicial. 56.
(105) Função de demanda Exemplos Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Complementares perfeitos Preferências CES Representações gráficas Demanda com dotação inicial. 57.
(106) Preferências Cobb-Douglas Função de utilidade: U(x1 , x2 ) = x1a x2b , com a, b > 0.. 58.
(107) Preferências Cobb-Douglas Função de utilidade: U(x1 , x2 ) = x1a x2b , com a, b > 0. Condições de máximo de 1ª ordem: |TMS| =. p1 a x2 p1 ⇒ = p2 b x1 p2. e p1 x1 + p2 x2 = m.. 58.
(108) Preferências Cobb-Douglas Função de utilidade: U(x1 , x2 ) = x1a x2b , com a, b > 0. Condições de máximo de 1ª ordem: |TMS| =. p1 a x2 p1 ⇒ = p2 b x1 p2. e p1 x1 + p2 x2 = m.. Solução: x1∗ (p1 , p2 , m) =. a m a + b p1. e. x2∗ (p1 , p2 , m) =. b m a + b p2. 58.
(109) Demanda Cobb-Douglas: peculiaridades O valor gasto com cada um dos bens é uma fração da renda que não depende dos preços e da renda: a m p1 a+b p1 x1∗ (p, m) a p1 = = . m m a+b. 59.
(110) Demanda Cobb-Douglas: peculiaridades O valor gasto com cada um dos bens é uma fração da renda que não depende dos preços e da renda: a m p1 a+b p1 x1∗ (p, m) a p1 = = . m m a+b. A demanda de cada bem não é afetada pelo preço do outro bem (bens independentes). A solução é sempre uma solução interior.. 59.
(111) Exemplo específico 1. U(x1 , x2 ) =. √. x1 x2 .. 60.
(112) Exemplo específico 1. U(x1 , x2 ) = x1∗ (p1 , p2 , m) =. 1m 2 p1. e. √. x1 x2 .. x2∗ (p1 , p2 , m) =. 1m . 2 p2. 60.
(113) Exemplo específico 2. U(x1 , x2 ) = 2 ln x1 + 3 ln x2 .. 61.
(114) Exemplo específico 2. U(x1 , x2 ) = 2 ln x1 + 3 ln x2 .. Considere V (x1 , x2 ) = e U(x1 ,x2 ) = x12 x23. 61.
(115) Exemplo específico 2. U(x1 , x2 ) = 2 ln x1 + 3 ln x2 .. Considere V (x1 , x2 ) = e U(x1 ,x2 ) = x12 x23 Solução: x1∗ (p1 , p2 , m) =. 2m 5 p1. e. x2∗ (p1 , p2 , m) =. 3m . 5 p2. 61.
(116) Função de demanda Exemplos Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Complementares perfeitos Preferências CES Representações gráficas Demanda com dotação inicial. 62.
(117) Substitutos perfeitos.. U(x, y) = ax1 + x2 .. |TMS| = a. 63.
(118) Primeira possibilidade. p1 >a p2. x2 m p2. m p1. x1. 64.
(119) Primeira possibilidade. p1 >a p2. x2 m p2. x∗. m p1. x1. 64.
(120) Segunda possibilidade. p1 =a p2. x2 m p2. m p1. x1. 65.
(121) Segunda possibilidade. p1 =a p2. x2 m p2. m p1. x1. 65.
(122) Terceira possibilidade. p1 <a p2. x2. m p2. m p1. x1. 66.
(123) Terceira possibilidade. p1 <a p2. x2. m p2. x∗ m p1. x1. 66.
(124) Exemplo: substitutos perfeitos — correspondência de demanda. n o m 0, p2 ∗ x (p1 , p2 , m) = {(x1 , x2 ) ∈ X : p1 x1 + p2 x2 = m} n o m,0 p1. caso caso caso. p1 p2 p1 p2 p1 p2. >a =a <a. 67.
(125) Função de demanda Exemplos Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Complementares perfeitos Preferências CES Representações gráficas Demanda com dotação inicial. 68.
(126) Complementares perfeitos: função de utilidade. U(x1 , x2 ) = min{ax1 , x2 }. 69.
(127) Complementares perfeitos: equilíbrio x2 a m p2. x∗ p1 p2. m p1. x1. 70.
(128) Complementares perfeitos: funções de demanda Desde que os preços sejam positivos o equilíbrio será em um vértice de curva de indiferença: x2 = ax1 e sobre a linha de restrição orçamentária: p1 x1 + p2 x2 = m. Assim, as funções de demanda dos bens 1 e 2, respectivamente serão x1∗ (p1 , p2 , m) =. m am e x2∗ (p1 , p2 , m) = . p1 + ap2 p1 + ap2. 71.
(129) Função de demanda Exemplos Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Complementares perfeitos Preferências CES Representações gráficas Demanda com dotação inicial. 72.
(130) A função de utilidade CES. 1. U(x1 , x2 ) = [ax1ρ + (1 − a)x2ρ ] ρ Quatro possibilidades: 1. se ρ > 1 as curvas de indiferença são côncavas em relação à origem; 2. se ρ = 1 os dois bens são substitutos perfeitos; 3. se ρ < 1 as preferências são convexas; 4. se ρ = 0 as preferências são do tipo Cobb Dougas.. 73.
(131) Exemplo: preferências CES com ρ < 1 1. U(x1 , x2 ) = [ax1ρ + (1 − a)x2ρ ] ρ , com a, b > 0. Condições de máximo de 1ª ordem: p1 a |TMS| = ⇒ p2 1−a. . x2 x1. 1−ρ =. p1 p2. e p1 x1 + p2 x2 = m.. 74.
(132) Exemplo: preferências CES com ρ < 1 Solução: x1∗ (p1 , p2 , m) =. m p1. x2∗ (p1 , p2 , m) =. m p2. 1+. 1 σ−1 p1 p2. 1−a σ a. e. 1+. 1 σ−1 p2 p1. a 1−a. σ. em que σ=. 1 . 1−ρ 75.
(133) Preferências CES: exemplo específico 1.. U(x1 , x2 ) =. √. x1 +. √ x2. 76.
(134) Preferências CES: exemplo específico 1.. U(x1 , x2 ) =. √. x1 +. √ x2. Para transformar em um função CES, aplicamos transforação monotônica 1 U(x1 , x2 ) 2 1 1 1 2 V (x1 , x2 ) = = x12 + x22 2 2 2. 76.
(135) Preferências CES: exemplo específico 1.. U(x1 , x2 ) =. √. x1 +. √ x2. Para transformar em um função CES, aplicamos transforação monotônica 1 U(x1 , x2 ) 2 1 1 1 2 V (x1 , x2 ) = = x12 + x22 2 2 2. Funções de demanda: x1∗ (p1 , p2 , m) =. mp2 p1 (p2 + p1 ). e. x2∗ (p1 , p2 , m) =. mp1 . p2 (p1 + p2 ). 76.
(136) Preferências CES: exemplo específico 2.. U(x1 , x2 ) =. . 1 −1 1 −1 x + x2 2 1 2. −1. 77.
(137) Preferências CES: exemplo específico 2.. U(x1 , x2 ) =. . 1 −1 1 −1 x + x2 2 1 2. −1. Funções de demanda: x1∗ (p1 , p2 , m) =. p1 +. m √. p2 p1. e. x2∗ (p1 , p2 , m) =. p2 +. m √. p2 p1. .. 77.
(138) Preferências CES com ρ > 1 Nesse caso, a solução será de canto. As utilidades em cada possível solução de canto são: ρ 1 ρ 1 m m m 1 ρ u =U ,0 = a + (1 − a) × 0 = aρ p1 p1 p1. 78.
(139) Preferências CES com ρ > 1 Nesse caso, a solução será de canto. As utilidades em cada possível solução de canto são: ρ 1 ρ 1 m m m 1 ρ u =U ,0 = a + (1 − a) × 0 = aρ p1 p1 p1 e ρ 1 ρ 1 m m m 2 ρ u = U 0, = a × 0 + (1 − a) = (1 − a) ρ p2 p2 p2. 78.
(140) Preferências CES com ρ > 1 Nesse caso, a solução será de canto. As utilidades em cada possível solução de canto são: ρ 1 ρ 1 m m m 1 ρ u =U ,0 = a + (1 − a) × 0 = aρ p1 p1 p1 e ρ 1 ρ 1 m m m 2 ρ u = U 0, = a × 0 + (1 − a) = (1 − a) ρ p2 p2 p2 Comparando as duas utilidades, sabendo que 0 < a < 1 e p1 > 0: u1 T u2. 78.
(141) Preferências CES com ρ > 1 Nesse caso, a solução será de canto. As utilidades em cada possível solução de canto são: ρ 1 ρ 1 m m m 1 ρ u =U ,0 = a + (1 − a) × 0 = aρ p1 p1 p1 e ρ 1 ρ 1 m m m 2 ρ u = U 0, = a × 0 + (1 − a) = (1 − a) ρ p2 p2 p2 Comparando as duas utilidades, sabendo que 0 < a < 1 e p1 > 0: 1. u1 T u2 ⇔ a ρ. 1 m m T (1 − a) ρ p1 p2. 78.
(142) Preferências CES com ρ > 1 Nesse caso, a solução será de canto. As utilidades em cada possível solução de canto são: ρ 1 ρ 1 m m m 1 ρ u =U ,0 = a + (1 − a) × 0 = aρ p1 p1 p1 e ρ 1 ρ 1 m m m 2 ρ u = U 0, = a × 0 + (1 − a) = (1 − a) ρ p2 p2 p2 Comparando as duas utilidades, sabendo que 0 < a < 1 e p1 > 0: 1 ρ 1 m 1 m p1 a 1 2 ρ ρ u Tu ⇔a T (1 − a) ⇔ S p1 p2 p2 1−a 78.
(143) Preferências CES com ρ > 1. n o 1 ρ p1 a pm , 0 caso < p2 1−a 1 n o 1 ρ p1 m m a x∗ (p1 , p2 , m) = , 0 , 0, caso = p1 p2 p2 1−a n o 1 ρ p1 0, m a caso p2 > 1−a p2. 79.
(144) p1 Preferências CES com < p2. . a 1−a. ρ1. x2. ótimo local não é ótimo. x00 x0. ótimo global. x∗ x1. 80.
(145) p1 Preferências CES com = p2. . a 1−a. ρ1. x2 x∗. não é ótimo. x0. x∗∗ x1. 81.
(146) p1 Preferências CES com > p2 x2. . a 1−a. ρ1. ótimo global. x∗. não é ótimo ótimo local. x0 x00. x1. 82.
(147) Função de demanda Exemplos Preferências Cobb-Douglas Substitutos perfeitos Complementares perfeitos Preferências CES Representações gráficas Demanda com dotação inicial. 83.
(148) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2. x1. x1 84.
(149) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2. m0 p2. m0 p1. x1. x1 84.
(150) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2. m0 p2. x10. m0 p1. x1. x1 84.
(151) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2. m0 p2. m0. x10. m0 p1. x1. x10. x1 84.
(152) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2. m1 p2. m1 p1. x1. x1 84.
(153) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2. m1 p2. x11. m1 p1. x1. x1 84.
(154) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2. m1 p2. m1. x11. m1 p1. x1. x11. x1 84.
(155) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2. m2 p2. m2 p1. x1. x1 84.
(156) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2. m2 p2. x12. m2 p1. x1. x1 84.
(157) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2. m2 p2. m2. x12. m2 p1. x1. x12. x1 84.
(158) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2 m3 p2. m3 p1. x1. x1 84.
(159) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2 m3 p2. x13. m3 p1. x1. x1 84.
(160) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2 m3 p2. m3. x13. m3 p1. x1. x13. x1 84.
(161) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2. x1. x1 84.
(162) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2. x1. x1 84.
(163) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2. x1. x1 84.
(164) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2. x1. x1 84.
(165) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2. x1. x1 84.
(166) As curvas de renda consumo e de Engel. m. x2. x1. x1 84.
(167) As curvas de renda consumo e de Engel. Curva de renda consumo. Curva de Engel m. x2. x1. x1 84.
(168) Possíveis sinais da resposta da demanda a variações na renda Quando a renda de uma consumidora varia, sua demanda por um bem pode: • variar na mesma direção que a renda, caso em que se diz que o bem se comporta como um bem normal; • variar na direção oposta à da renda, caso lem que se diz que o bem se comporta como um bem inferior; ou • não variar; nesse caso alguns autores classificam o bem como normal e, outros, como um caso especial, nem normal nem inferior.. 85.
(169) Exemplo: preferências quase-lineares. Curva de renda consumo. Curva de Engel m. x2. x1. x1. 86.
(170) Exemplo: preferências quase-lineares. Curva de renda consumo. Curva de Engel m. x2. m0 p2. m0 p1. x1. x1. 86.
(171) Exemplo: preferências quase-lineares. Curva de renda consumo. Curva de Engel m. x2. m0 p2. x10. x1. x1. 86.
(172) Exemplo: preferências quase-lineares. Curva de renda consumo. Curva de Engel m. x2. m0 p2. m0. x10. x1. x10. x1. 86.
(173) Exemplo: preferências quase-lineares. Curva de renda consumo. Curva de Engel m. x2. m1 p2. m1 p1. x1. x1. 86.
(174) Exemplo: preferências quase-lineares. Curva de renda consumo. Curva de Engel m. x2. m1 p2. x11. x1. x1. 86.
(175) Exemplo: preferências quase-lineares. Curva de renda consumo. Curva de Engel m. x2. m1 p2. m1. x11. x1. x11. x1. 86.
(176) Exemplo: preferências quase-lineares. Curva de renda consumo. Curva de Engel m. x2. m2 p2. m2 p1. x1. x1. 86.
(177) Exemplo: preferências quase-lineares. Curva de renda consumo. Curva de Engel m. x2. m2 p2. x12. x1. x1. 86.
(178) Exemplo: preferências quase-lineares. Curva de renda consumo. Curva de Engel m. x2. m2 p2. m2. x12. x1. x12. x1. 86.
(179) Exemplo: preferências quase-lineares. Curva de renda consumo. Curva de Engel m. x2 m3 p2. m3 p1. x1. x1. 86.
(180) Exemplo: preferências quase-lineares. Curva de renda consumo. Curva de Engel m. x2 m3 p2. x13. x1. x1. 86.
(181) Exemplo: preferências quase-lineares. Curva de renda consumo. Curva de Engel m. x2 m3 p2. m3. x13. x1. x13. x1. 86.
(182) Exemplo: preferências quase-lineares. Curva de renda consumo. Curva de Engel m. m4 p2 2. x. xm14. x1. p1. 86.
(183) Exemplo: preferências quase-lineares. Curva de renda consumo. Curva de Engel m. m4 p2 2. x. x14. x1. x1. 86.
(184) Exemplo: preferências quase-lineares. Curva de renda consumo. Curva de Engel 4 mm. m4 p2 2. x. x14. x1. x14. x1. 86.
(185) Exemplo: preferências quase-lineares. Curva de renda consumo. Curva de Engel m. x2. x1. x1. 86.
(186) Exemplo de um bem inferior. Curva de renda consumo. Curva de Engel. x2. m. x1. x1. 87.
(187) Exemplo de um bem inferior. Curva de renda consumo. Curva de Engel. x2. m. m0 p2 m0 p1. x1. x1. 87.
(188) Exemplo de um bem inferior. Curva de renda consumo. Curva de Engel. x2. m. m0 p2. x10. x1. x1. 87.
(189) Exemplo de um bem inferior. Curva de renda consumo. Curva de Engel. x2. m. m0 p2. m0 x10. x1. x10. x1. 87.
(190) Exemplo de um bem inferior. Curva de renda consumo. Curva de Engel. x2. m. m1 p2 m1 p1. x1. x1. 87.
(191) Exemplo de um bem inferior. Curva de renda consumo. Curva de Engel. x2. m. m1 p2. x11. x1. x1. 87.
(192) Exemplo de um bem inferior. Curva de renda consumo. Curva de Engel. x2. m. m1 p2. m1 x11. x1. x11. x1. 87.
(193) Exemplo de um bem inferior. Curva de renda consumo. Curva de Engel. x2. m. m2 p2. x1. m2 p1. x1. 87.
(194) Exemplo de um bem inferior. Curva de renda consumo. Curva de Engel. x2. m. m2 p2. x12. x1. x1. 87.
(195) Exemplo de um bem inferior. Curva de renda consumo. Curva de Engel. x2. m. m2 p2. m2. x12. x1. x12. x1. 87.
(196) Exemplo de um bem inferior. Curva de renda consumo. Curva de Engel. x2. m. m3 p2. x1. x1. 87.
(197) Exemplo de um bem inferior. Curva de renda consumo. Curva de Engel. x2. m. m3 p2. x13. x1. x1. 87.
(198) Exemplo de um bem inferior. Curva de renda consumo. Curva de Engel. x2. m. m3 p2. m3. x13. x1. x13. x1. 87.
(199) Exemplo de um bem inferior. Curva de renda consumo. Curva de Engel. x2. m. m4 p2. x1. x1. 87.
(200) Exemplo de um bem inferior. Curva de renda consumo. Curva de Engel. x2. m. m4 p2. x14. x1. x1. 87.
(201)
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