• Nenhum resultado encontrado

Primeiro autovalor não nulo de uma hipersuperfície mínima na esfera unitária

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Share "Primeiro autovalor não nulo de uma hipersuperfície mínima na esfera unitária"

Copied!
52
0
0

Texto

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR ´A CENTRO DE CIˆENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

PROGRAMA DE P ´OS-GRADUAC¸ ˜AO EM MATEM ´ATICA

HENRIQUE BLANCO DA SILVA

PRIMEIRO AUTOVALOR N ˜AO NULO DE UMA

HIPERSUPERF´ICIE M´INIMA NA ESFERA UNIT ´ARIA

(2)

PRIMEIRO AUTOVALOR N ˜

AO NULO DE UMA

HIPERSUPERF´ICIE M´INIMA NA ESFERA UNIT ´

ARIA

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Pro-grama de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal do Cear´a, como requi-sito parcial `a obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mes-tre em Matem´atica. ´Area de concentra¸c˜ao: Geometria Diferencial.

Orientador: Prof. Dr. Abdˆenago Alves de Barros.

(3)
(4)
(5)

A Deus.

Aos meus Pais, Concei¸c˜ao e Rai-mundo.

(6)

Agrade¸co primeiramente a Deus por me dar for¸cas para fazer esta disserta¸c˜ao e de tudo que eu tenho na vida.

Agrade¸co aos meus pais Concei¸c˜ao de Maria Blanco da Silva e Raimundo Benassuli da Silva e ao meu irm˜ao Andr´e Blanco da Silva, dos quais eu dedico este trabalho, pelo apoio e confian¸ca que sempre depositaram em mim. Agrade¸co ao meu tio Cla´udio Jos´e Cavalcante Blanco e ao meu primo Tedy Rony Luz Duarte que foram meus grandes exemplos e sempre me incentivaram a busca pelo conhecimento.

Agrade¸co a toda minha fam´ılia que desde a minha gradua¸c˜ao sempre me aju-daram e me incentivaram a continuar estudando.

Agrade¸co a Cristiane Emanuele da Silva pela paciˆencia e de estar sempre ao meu lado durante este Mestrado.

Agrade¸co ao meu Orientador o Prof. Dr. Abdˆenago Alves de Barros pela excelente orienta¸c˜ao e pela amizade.

Agrade¸co tamb´em aos meus amigos e professores, Ernani Ribeiro e ao Dr. Jos´e Nazareno Vieira Gomes por participarem da minha banca.

(7)

Agrade¸co tamb´em a quem n˜ao estiver presente nesta simples e pequena lista de agradecimentos. Pe¸co desculpas.

(8)

O objetivo deste trabalho ´e estudarmos o primeiro autovalor n˜ao nulo do ope-rador Laplaciano de hipersuperf´ıcies compactas com curvatura m´edia cons-tante imersas na esfera unit´aria contida no espa¸co Euclidiano. Vamos mostrar que para o caso m´ınimo, teremos uma de trˆes poss´ıveis estimativas para este primeiro autovalor e, como consequˆencia de um poss´ıvel autovalor, esta hiper-superf´ıcie ser´a isom´etrica `a uma esfera.

(9)

ABSTRACT

The aim of this work is we study the first nonzero eigenvalue of the Laplacian operator compact hypersurfaces with constant mean curvature immersed in the unit sphere contained in Euclidean space. We will show that for the minimal case, we will have one of three possible estimates for the first eigenvalue and, as a consequence of a possible eigenvalue, this hypersurface will be isometric to sphere.

(10)

1 INTRODUC¸ ˜AO. . . 10

2 PRELIMINARES. . . 12

2.1 Curvaturas . . . 12

2.2 Vetor gradiente . . . 14

2.3 O divergente de um campo vetorial . . . 15

2.4 O Laplaciano de uma fun¸c˜ao. . . 17

2.5 O Hessiano de uma fun¸c˜ao . . . 18

2.6 A segunda forma fundamental . . . 20

2.7 Imers˜oes Umb´ılicas . . . 24

3 IMERS ˜OES NA ESFERA. . . 26

3.1 O Teorema de Takahashi . . . 26

3.2 O Hessiano de uma autofun¸c˜ao do Laplaciano . . . 31

3.3 Lemas essenciais . . . 34

4 RESULTADOS PRINCIPAIS . . . 43

4.1 Lema principal . . . 43

4.2 Teoremas principais . . . 47

(11)

Cap´ıtulo 1

INTRODUC

¸ ˜

AO

O estudo do espectro do Laplaciano de variedades Riemannianas compactas ´e um problema cl´assico da an´alise em variedades. De fato, uma quest˜ao inte-ressante ´e se variedades isoespectrais s˜ao isom´etricas. Por outro lado, consi-derando variedades imersas em formas espaciais este problema se torna mais simples. Por exemplo, um resultado devido a Takahashi [13] mostra que para uma subvariedade �n m´ınima imersa na esfera euclidiana Sn+k suas fun¸c˜oes coordenadas s˜ao autofun¸c˜oes do Laplaciano com autovalor respectivo �. Se-guindo este fato, Yau [14] conjecturou que o primeiro autovalor de uma hiper-superf´ıcie m´ınima compacta �n mergulhada na esfera euclidiana Sn+1 deve

ser igual a �. Um primeiro passo na dire¸c˜ao de resolver esta conjectura foi dado por Choi e Wang [5] onde eles mostraram que�1 ≥

2. Em seguida, Bar-ros e Bessa [1] provaram que �1 >

2. Por outro lado, um resultado cl´assico devido a Obata [10] mostra que uma variedade Riemanniana compacta �n ´e isom´etrica a uma esfera euclidiana desde que exista uma fun¸c˜ao diferenci´avel � em � satisfazendo X∇� = −� � para todo � ∈ X(�), onde X(�) ´e a ´algebra de Lie dos campos de vetores de � e sua conex˜ao Riemanniana. Estes resultados ser˜ao de extrema importˆancia para o desenvolvimento deste trabalho o qual est´a dividido da seguinte maneira. No cap´ıtulo 2, teremos as preliminares, onde ser˜ao apresentados alguns resultados b´asicos. No cap´ıtulo 3 provaremos alguns lemas preliminares que ser˜ao essenciais para a prova do teorema principal e no cap´ıtulo 4, iremos provar um lema principal tendo como

(12)

consequˆencia os seguintes resultados:

Teorema 1. Sejauma hipersuperf´ıcie m´ınima compacta imersa na esfera unit´aria Sn+1, ent˜ao o primeiro autovalor n˜ao nulo

1 do operador Laplaciano

satisfaz uma das seguintes condi¸c˜oes

(i)�1 =�, (ii) �1 ≤(1 +�0)�, (iii) �1 ≥�+

2(��0−(�−1)) onde �0 ´e o ´ınfimo das curvaturas seccionais de.

Teorema 2. Sejauma hipersuperf´ıcie m´ınima compacta imersa na esfera unit´aria Sn+1, se o primeiro autovalor n˜ao nulo do operador Laplaciano, sa-tisfaz �1 =�, ent˜ao � ´e isom´etrica a esfera unit´aria �n ou ent˜ao teremos

(13)

Cap´ıtulo 2

PRELIMINARES

Primeiramente, vamos admitir que (�, �) ´e uma variedade Riemanniana de dimens˜ao �, onde � denota a m´etrica Riemanniana e sua conex˜ao Rie-manniana. Denotemos por X(�) a ´algebra de Lie dos campos de vetores

diferenci´aveis em �.

2.1

Curvaturas

Defini¸c˜ao 2.1.1. A curvatura R de uma variedade Riemanniana´e uma correspondˆencia que associa a cada par �, � X(�) uma aplica¸c˜ao linear

�(�, �) :X(�)X(�) dada por

�(�, �)� =X∇Y�− ∇Y∇X� − ∇[X,Y]�, (2.1)

ondeX(�).

Observe que se� =Rn, ent˜ao�(�, �)� = 0 para todo�,, X(Rn). Com efeito, se indicarmos por � = (�1, . . . , �n) as componentes do campo �

nas coordenadas naturais do Rn, obteremos que

∇X� = (��1, . . . , ��n),

donde

∇Y∇X� = (� ��1, . . . , � ��n),

(14)

o que implica

�(�, �)� =X∇Y� − ∇Y∇X�− ∇[X,Y]� = 0,

como hav´ıamos afirmado.

A seguir veremos uma importante propriedade da curvatura � dada pela seguinte proposi¸c˜ao

Proposi¸c˜ao 2.1.1 (Primeira Identidade de Bianchi). �(�, �)�+�(�, �)�+�(�, �)� = 0.

Demonstra¸c˜ao. Segue da Defini¸c˜ao 2.1.1 e da identidade de Jacobi, (veja [?](p´ag. 93 e 94)) que

�(�, �)�+�(�, �)�+�(�, �)� = X∇Y�− ∇Y∇X�− ∇[X,Y]�

+ Y∇Z�− ∇Z∇Y�− ∇[Y,Z]�

+ Z∇X� − ∇X∇Z� − ∇[Z,X]�

= X[�, �] +∇Y[�, �] +∇Z[�, �]

− ∇[X,Y]�− ∇[Y,Z]�− ∇[Z,X]�

= [�,[�, �]] + [�,[�, �]] + [�,[�, �]] = 0.

Como consequˆencia da Defini¸c˜ao 2.1.1 e da primeira identidade de Bianchi, temos as seguintes propriedades da curvatura �, da qual uma demonstra¸c˜ao pode ser vista em [3] (p´ag. 102)

(i) �(�, �)�, �+�(�, �)�, �+�(�, �)�, �= 0. (ii) �(�, �)�, �=−⟨�(�, �)�, �.

(15)

CAP´ITULO 2. PRELIMINARES 14

Defini¸c˜ao 2.1.2. Dado um ponto qualquere um subespa¸co bi-dimensional�p�, o n´umero real

�(�, �) = ⟨�(�, �)�, �⟩

‖�22− ⟨�, �2, (2.2) onde {�, �} ´e uma base qualquer de �, ´e chamado de curvatura seccional de� em �.

Observe que se {�1, . . . , �n}´e um referencial ortonormal local em torno de

�, ent˜ao, a equa¸c˜ao (2.2) se escreve

�(�i, �j) =�(�i, �j)�i, �j

para todo�̸=�,�, � = 1, . . . , �. Se�, � X(�) e{1, . . . , �n}´e um referencial

ortonormal local, o tensor de Ricci e a curvatura escalar de�, denotados por ��� e � s˜ao definidos respectivamente, por

���(�, �) = n ︁

i=1

⟨�(�i, �)�, �i (2.3) e

� = n ︁

i,j=1

⟨�(�i, �j)�j, �i. (2.4) O operador de Ricci de � denotado por � ´e definido da seguinte forma ���(�, �) =�(�), �, onde� ´e um operador sim´etrico e �, � X(�).

2.2

Vetor gradiente

Defini¸c˜ao 2.2.1. Seja � :� R uma fun¸c˜ao diferenci´avel. O gradiente de´e um campo de vetores diferenci´avel sobredefinido por

⟨∇�, �=�(�) (2.5)

para todoX(�).

´

(16)

Proposi¸c˜ao 2.2.1. Seja � : � R uma fun¸c˜ao diferenci´avel e {1, . . . , �n} um referencial ortonormal em uma vizinhan¸ca. Ent˜ao, temos

∇� = n ︁

i=1

�i(�)�i.

Ademais o segundo membro da igualdade acima independe do referencial es-colhido.

Demonstra¸c˜ao. Veja [2] (p´ag. 9)

Proposi¸c˜ao 2.2.2. Sejam �, ℎ:� R fun¸c˜oes diferenci´aveis, ent˜ao (i) (�+ℎ) = �+ℎ.

(ii) (� ℎ) = �ℎ+ℎ�.

Demonstra¸c˜ao. Se� ´e qualquer campo diferenci´avel em �, tem-se

⟨∇(� +ℎ), � = �(� +ℎ) =�(�) +�(ℎ) = ⟨∇�, �+⟨∇ℎ, �

= ⟨∇� +ℎ, �. e isto prova (i). Por outro lado,

⟨∇� ℎ, � = �(� ℎ) =� �(ℎ) +ℎ�(�) = �⟨∇ℎ, �+ℎ⟨∇�, � = ℎ+ℎ�, �. O que finaliza a prova da proposi¸c˜ao.

2.3

O divergente de um campo vetorial

Defini¸c˜ao 2.3.1.Sejaum campo de vetores diferenci´avel sobre. O diver-gente de �, denotado por div� ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel sobredefinido da seguinte maneira

(17)

CAP´ITULO 2. PRELIMINARES 16

Proposi¸c˜ao 2.3.1. Sejam X(�) e {1, . . . , �n} um referencial

ortonor-mal em uma vizinhan¸ca. Se � = n ︁

i=1

⟨�, �i�i em �, ent˜ao div� =

n ︁

i=1

[�i�, �i⟩ − ⟨∇ei�i, �⟩].

Demonstra¸c˜ao. De acordo com a defini¸c˜ao, se {�1, . . . , �n} ´e um referencial

ortonormal de �, podemos escrever div� =

n ︁

i=1

⟨∇ei�, �i⟩

= n ︁

i=1

[�i�, �i⟩ − ⟨�,ei�i⟩].

Em particular, se o referencial ortonormal {�1, . . . , �n}for geod´esico ent˜ao

div� = n ︁

i=1

�i�, �i.

Proposi¸c˜ao 2.3.2. Suponha que �, � X(�) e : R uma fun¸c˜ao diferenci´avel sobre �, ent˜ao

(i) div(�+�) = div � + div �. (ii) div(� �) = �div� +⟨∇�, �.

Demonstra¸c˜ao. A prova do primeiro item segue da defini¸c˜ao de divergente. Agora mostraremos o segundo item. Por defini¸c˜ao de divergente e pelas pro-priedades da conex˜ao Riemanniana , temos

div(� �) = n ︁

i=1

⟨∇ei� �, �i⟩

= n ︁

i=1

⟨�ei�+�i(�)�, �i⟩

= � n ︁

i=1

⟨∇ei�, �i⟩+

n ︁

i=1

(18)

2.4

O Laplaciano de uma fun¸c˜

ao

Defini¸c˜ao 2.4.1. Seja � : � R uma fun¸c˜ao diferenci´avel. O Laplaciano dedenotado por ∆� :� R´e definido por

∆� = div(�). (2.7)

Vejamos como fica a express˜ao do Laplaciano de uma fun¸c˜ao em termos de um referencial ortonormal.

Proposi¸c˜ao 2.4.1. Seja � : � R uma fun¸c˜ao diferenci´avel e {1, . . . , �n} um referencial ortonormal em um aberto. Ent˜ao

∆� = n ︁

i=1

[�i(�i(�))(ei�i)�].

Em particular, se o referencial for geod´esico, deduzimos

∆� = n ︁

i=1

�i(�i(�)).

Demonstra¸c˜ao. Veja [2] (p´ag. 16).

Segue das propriedades do vetor gradiente e da Proposi¸c˜ao 2.3.2 que o operador Laplaciano satisfaz as seguintes propriedades.

Proposi¸c˜ao 2.4.2. Sejam �, ℎ:� R fun¸c˜oes diferenci´aveis ent˜ao (i) ∆(�+ℎ) = ∆�+ ∆ℎ.

(ii) ∆(� ℎ) =�∆ℎ+ℎ∆�+ 2⟨∇�,.

Demonstra¸c˜ao. De fato, segue da defini¸c˜ao do Laplaciano que ∆(� +ℎ) = div((�+ℎ)) = div(� +ℎ)

= div(�) + div(ℎ) = ∆�+ ∆ℎ

(19)

CAP´ITULO 2. PRELIMINARES 18

Por outro lado, tem-se

∆(� ℎ) = div((� ℎ)) = div(ℎ� +�ℎ)

= div(ℎ�) + div(�ℎ) = ℎdiv(�) +⟨∇ℎ, + �div(ℎ) +⟨∇ℎ,

= ℎ∆� +�∆ℎ+ 2⟨∇�,, o que prova o segundo item.

Em particular se ℎ=�, temos

∆(�2) = 2�∆� + 2⟨∇�,= 2�∆�+ 2‖∇2. (2.8)

2.5

O Hessiano de uma fun¸c˜

ao

Defini¸c˜ao 2.5.1. Seja � : � R uma fun¸c˜ao diferenci´avel. O Hessiano de´e o campo de operadores lineares (Hess�)p :�p� �p�, definido para�p� por

(Hess�)p(�) =v∇�.

Proposi¸c˜ao 2.5.1. O Hessiano de´e um operador sim´etrico (auto-adjunto). Demonstra¸c˜ao. Sejam � e � extens˜oes locais de � e � �p� de alguma vizinhan¸ca de �, ent˜ao

⟨(Hess�)p(�), � = ⟨∇X∇�, �⟩

= �⟨∇�, �⟩ − ⟨∇�,X�⟩ = �(�(�))− ⟨∇�,X�⟩

= �(�(�))− ⟨∇�,[�, �] +Y�⟩

= �(�(�)) + [�, �](�)− ⟨∇�,[�, �]⟩ − ⟨∇�,Y�⟩ = �⟨∇�, �⟩ − ⟨∇�,Y�⟩

(20)

Como consequˆencia da defini¸c˜ao de Hessiano e Laplaciano a seguinte pro-posi¸c˜ao nos d´a uma rela¸c˜ao entre esses dois operadores.

Proposi¸c˜ao 2.5.2. Seja � :� R uma fun¸c˜ao diferenci´avel. Ent˜ao tr(Hess�) = ∆�.

Demonstra¸c˜ao. Basta considerar {�1, . . . , �n} um referencial ortonormal em

uma vizinhan¸ca de ��. Ent˜ao temos em �, tr(Hess�) =

n ︁

i=1

⟨(Hess�)(�i), �i =

n ︁

i=1

⟨∇ei∇�, �i⟩

= div(�) = ∆�.

Proposi¸c˜ao 2.5.3 (F´ormula de Bochner). Seja � : � R uma fun¸c˜ao diferenci´avel, ent˜ao

1

2∆(‖∇�‖

2) =

‖Hess�2+⟨∇�,(∆�)+���(�,�). (2.9) Demonstra¸c˜ao. Suponha que{�1, . . . , �n}seja um referencial ortonormal local

e geod´esico. Pela Proposi¸c˜ao 2.4.1 e pela simetria do operador Hessiano, tem-se

1

2∆‖∇�‖

2 = 1

2 n ︁

i=1

�i(�i⟨∇�,) =

n ︁

i=1

�i⟨∇ei∇�,∇�⟩

= n ︁

i=1

�i(Hess�)(�i), =

n ︁

i=1

�i�i,(Hess�)(�) =

n ︁

i=1

(21)

CAP´ITULO 2. PRELIMINARES 20

Agora, pela defini¸c˜ao da curvatura �, tem-se 1

2∆‖∇�‖

2 =

n ︁

i=1

⟨�(�i,�)�+∇f∇ei∇�+∇[ei,∇f]∇�, �i⟩

= n ︁

i=1

⟨�(�i,�)�, �i+ n ︁

i=1

⟨∇∇f∇ei∇�, �i⟩+

n ︁

i=1

⟨∇[ei,∇f]∇�, �i⟩

= ���(�,�) +� n ︁

i=1

⟨∇ei∇�, �i⟩+

n ︁

i=1

⟨(Hess�)([�i,�]), �i = ���(�,�) +�(∆�) +

n ︁

i=1

⟨[�i,�],(Hess�)(�i) = ���(�,�) +⟨∇�,(∆�)+

n ︁

i=1

⟨∇ei∇�,(Hess�)(�i)⟩

= ���(�,�) +⟨∇�,(∆�)+Hess�2. Como quer´ıamos demonstrar.

2.6

A segunda forma fundamental

Defini¸c˜ao 2.6.1. Sejam �n uma variedade diferenci´avel e �n+m=k uma va-riedade Riemanniana, dizemos que uma aplica¸c˜ao� :� ´e uma imers˜ao se:

(i) � ´e diferenci´avel.

(ii) ��p :�p� �ϕ(p)� ´e injetiva para todo �∈�.

Se, al´em disto, � ´e um homeomorfismo sobre a imagem �(�) �, onde �(�) tem a topologia induzida por �, dizemos que � ´e um mergulho.

Segue da defini¸c˜ao de imers˜ao que podemos induzir uma m´etrica em� da seguinte forma, se �1 e �2 ∈�p�, definimos

⟨�1, �2⟩p =⟨��p(�1), ��p(�2)⟩ϕ(p),

(22)

Seja � : � � uma imers˜ao, ent˜ao para cada � �, existe uma vizinhan¸ca � � de�tal que �(�)� ´e uma subvariedade de�, ou seja, � ´e localmente um mergulho. Isto quer dizer que existem uma vizinhan¸ca � � de �(�) e um difeomorfismo � : � Rk em um aberto do Rk, tais que aplica difeomorficamente�(�) em um aberto do subespa¸co Rn Rk. Para simplificar a nota¸c˜ao, identificaremos com �(�) e cada vetor � �q�, � �, com ��q(�) �ϕ(q)�. Usaremos tais identifica¸c˜oes

para estender, por exemplo, um campo local (isto ´e, definido em�) de vetores de � a um campo local (isto ´e definido em �) de vetores em �; se � ´e suficientemente pequeno, tal extens˜ao ´e sempre poss´ıvel, como se vˆe facilmente usando o difeomorfismo �.

Para cada � �, o produto interno em �p� decomp˜oe �p� na soma direta

�p� =�p�(�p�)⊥ ,

onde (�p�)⊥

´e complemento ortogonal de�p� em�p�. Se� �p�,��, podemos escrever

� =�T +�N, �T �p�, �N (�p�)⊥.

Denominamos�T a componente tangencial de eN a componente normal de �. Tal decomposi¸c˜ao ´e evidentemente diferenci´avel no sentido que as aplica¸c˜oes

de� � em � � dadas por

(�, �)(�, �T) � (�, �)(�, �N) s˜ao diferenci´aveis.

A conex˜ao Riemanniana de � ser´a indicada por. Se � e� s˜ao campos locais de vetores em �, e�, � s˜ao extens˜oes locais a �, definimos

∇X� = (∇X�) T.

Queremos definir a segunda forma fundamental da imers˜ao�:� �. Para isto conv´em introduzir previamente a seguinte defini¸c˜ao. Se�e� s˜ao campos locais em �, ent˜ao

(23)

CAP´ITULO 2. PRELIMINARES 22

´e um campo local em � normal a �. Al´em disso �(�, �) n˜ao depende das extens˜oes �,�. De fato, se�1 ´e uma outra extens˜ao de �, teremos

(X− ∇X�)−(∇X1� − ∇X�) =∇X−X1� ,

que se anula em �, pois � �1 = 0 em �; al´em disso, se �1 ´e uma outra

extens˜ao de �, temos que

(X� − ∇X�)−(∇X�1− ∇X�) = ∇X(� −�1) = 0,

pois � �1 = 0 ao longo de uma trajet´oria de �.

Portanto�(�, �) est´a bem definida. No que segue, indicaremos porX(�)⊥ os campos de vetores diferenci´aveis em � de vetores normais onde � ´e um mergulho.

Proposi¸c˜ao 2.6.1. Se �, � X(�), a aplica¸c˜ao :X(�)×X(�)X(�)

dada por

�(�, �) = X� − ∇X� ´e bilinear e sim´etrica.

Para uma demonstra¸c˜ao veja [3] (p´ag. 140 e 141).

Agora podemos definir a segunda forma fundamental. Seja � � e � (�p�)⊥

. A aplica¸c˜ao�η :�p� ×�p� Rdada por �η(�, �) =�(�, �), �,

�, ��p� ´e pela Proposi¸c˜ao 2.6.1, uma forma bilinear sim´etrica. Defini¸c˜ao 2.6.2. A forma quadr´atica �η definida em �p� dada por

�η(�) = �η(�, �)

´e chamada a segunda forma fundamental da imers˜aoemsegundo o vetor normal �.

´

(24)

aplica¸c˜ao linear auto-adjunta �η :�p� �p� chamada de operador forma ou de Weingarten dada por

⟨�η(�), �=�η(�, �) = �(�, �), �.

A proposi¸c˜ao a seguir nos d´a uma express˜ao para o operador de Weingarten. Proposi¸c˜ao 2.6.2. Seja, �p� e (�p�)⊥

. Sejauma extens˜ao local denormal a. Ent˜ao

�η(�) =(x�)T.

Demonstra¸c˜ao. Sejam � �p� e �, � extens˜oes locais de � e �, respectiva-mente, e tangentes a �. Da´ı, segue que �, �= 0, e portanto teremos em � que

⟨�η(�), � = �(�, �), �=⟨∇X� − ∇X�, �⟩ = ⟨∇X�, �⟩=−⟨�,∇X�⟩

= ⟨−∇x�, �, para todo� �p�.

Se a codimens˜ao entre � e� for 1, dizemos que� ´e uma hipersuperf´ıcie imersa em �. Se � for um difeomorfismo, dizemos que� ´e uma isometria ou que�´e isom´etrica a�. Se� ´e uma hipersuperf´ıcie imersa de�, ent˜ao existe uma base ortonormal de vetores pr´oprios {�1, . . . , �n} de �p� com valores

pr´oprios �1, . . . , �n tal que ��i = �i�i. Ent˜ao denominamos os �i dire¸c˜oes

principais e os �i =�i curvaturas principais de �. O n´umero � = �1+�2+. . .+�n

´e denominado de curvatura m´edia de �.

Defini¸c˜ao 2.6.3. Uma imers˜ao � :� ´e m´ınima se para todoe todo(�p�)⊥

tem-se tra¸co �η = 0.

Escolhendo um referencial ortonormal{�1, . . . , �m}de vetores emX(�)⊥,

(25)

CAP´ITULO 2. PRELIMINARES 24

em �,

�(�, �) = m ︁

i=1

�i(�, �)�i, �, � �p�, �= 1, . . . , �, onde �i =�Ei. N˜ao ´e dif´ıcil verificar que o vetor normal dado por

− → = 1

� m ︁

i=1

(tr�i)�i,

onde �i =�Ei, n˜ao depende do referencial escolhido. O vetor

´e chamado

de vetor curvatura m´edia de �. ´E claro que � ´e m´ınima se, e somente se

(�) = 0, para todo ∈�.

2.7

Imers˜

oes Umb´ılicas

Defini¸c˜ao 2.7.1. Uma imers˜ao isom´etrica � :�nn+m=k ´e umb´ılica emse, para todo(�p�)⊥

− {0}, existir um real �η tal que

�η =�η�. (2.10)

onde´e o operador identidade. A imers˜ao´e totalmente umb´ılica se for umb´ılica em todo.

De acordo com (2.10), observe que para qualquer real�,�η =�cη, ou seja, �η =�cη. Portanto, se � for umb´ılica em � �, ent˜ao o n´umero real �η ir´a depender somente do subespa¸co (�p�)⊥

gerado por � (pois �� ser´a tamb´em normal a �) e ser´a denominado o fator de umbilicidade da imers˜ao � na dire¸c˜ao de �.

Lema 2.1. Seja� :� uma imers˜ao isom´etrica, ent˜ao s˜ao equivalentes: (i) � ´e umb´ılica em.

(26)

Demonstra¸c˜ao. (i) (ii): Seja � umb´ılica em � e � (�p�)⊥

unit´ario. Completando � a uma base ortonormal {�1 =�, . . . , �k} de (�p�)⊥, temos

(�) = ︁k j=1

1

�tr(�ηj)�j,

agora por (2.10), temos que

⟨−→�(�), � = ⟨ k

j=1

1

�(��η)�j, �j ⟩

= �η.

(ii) (iii): Seja {�1 =�, . . . , �k} uma base ortonormal para (�p�)⊥. Da´ı,

temos em �

�(�, �) = k ︁

j=1

⟨�(�, �), �j�j = k ︁

j=1

⟨�ηj�, �⟩�j

= k ︁

j=1

⟨⟨−→� , �j�, ��j =�, � k ︁

j=1

⟨−→� , �j�j = �, �−→� .

(iii)(ii): Seja �(�p�)⊥

. Ent˜ao temos em � que

⟨�(�, �), �=⟨⟨�, �−→� , �=−→� , �⟩⟨�, �. Como �,� s˜ao vetores quaisquer em �p�, segue que

�η =−→� , ��.

(27)

Cap´ıtulo 3

IMERS ˜

OES NA ESFERA

3.1

O Teorema de Takahashi

A esfera unit´aria que vamos denotar por Sn+k ´e o conjunto dado por Sn+k== (�1, . . . , �n+k+1)Rn+k+1;2

1+. . .+�2n+k+1 = 1

︀ .

Vamos come¸car este cap´ıtulo com um resultado bastante importante para o desenvolvimento deste trabalho.

Teorema 3.1 (Takahashi). Suponha que � : �n

→ Sn+k ´e uma imers˜ao isom´etrica. Se � = (�1, . . . , �n+k+1), ent˜ao

∆� =��+�−→� ,

onde ∆� = (∆�1, . . . ,∆�n+k+1) e −→� ´e o vetor curvatura m´edia de �n. Em

particular,´e uma imers˜ao m´ınima se, e somente se, ∆� =��.

Demonstra¸c˜ao. Seja � � e {�1, . . . , �n} um referencial m´ovel em uma

vizi-nhan¸ca� � de�, geod´esico em�. Assim, podemos completar {�1, . . . , �n}

a um referencial adaptado {�1, . . . , �n, �1, . . . , �k} para �(�), de modo que

{�1, . . . , �n, �1, . . . , �k, �} ´e uma base ortonormal de �qRn+k+1 para todo

�. Se � denota a segunda forma fundamental da imers˜ao �, a co-nex˜ao Riemanniana de �,a conex˜ao Riemanniana de Sn+k e0 a conex˜ao Riemanniana de Rn+k+1, ent˜ao temos em

∆� = ︃ n

i=1

�i�i(�1), . . . ,

n ︁

i=1

�i�i(�n+k+1)

︃ =

n ︁

i=1

∇0ei∇

0

ei�=

n ︁

i=1

∇0ei�i.

(28)

Assim, podemos escrever este vetor como n

i=1

∇0

ei�i =

n ︁ j=1 ⟨ n ︁ i=1 ∇0

ei�i, �j

⟩ �j+ k ︁ l=1 ⟨ n ︁ i=1 ∇0

ei�i, �l

⟩ �l + ⟨ n ︁ i=1

∇0ei�i, �

⟩ �.

Como 0

ei�i =∇ei�i− ⟨�i, �i⟩�, obtemos que

∆� = k ︁ l=1 ⟨ n ︁ i=1

�(�i, �i), �l ⟩

�l+ ⟨ n

i=1

∇0ei�i, �

⟩ � = n ︁ i=1

�(�i, �i) n ︁

i=1

⟨�i, �i� = �−→� ��.

Portanto, concluimos o teorema de Takahashi.

Vamos supor agora que � ´e uma hipersuperf´ıcie com curvatura m´edia constante (que denotaremos por CMC) imersa na esfera unit´ariaSn+1. Vamos

denotar por� :=., . a m´etrica deSn+1 bem como a m´etrica induzida em . Sejaa conex˜ao Riemanniana de � e�o operador forma ou de Weingarten da hipersuperf´ıcie �. A curvatura �, o tensor de Ricci ��� e a curvatura escalar � de � s˜ao dados, respectivamente por

�(�, �)� =�, �− ⟨�, �� +��, ���− ⟨��, ���, (3.1) ���(�, �) = (�1)�, �+����, �⟩ − ⟨��, �� (3.2) e

� =�(�1) +�2�2− ‖2, (3.3) onde �, � e� X(�).

A prova da equa¸c˜ao (3.1), segue do fato que a curvatura seccional norma-lizada da esfera ´e 1 e pela equa¸c˜ao de Gauss, veja [3] (p´ag. 149). As equa¸c˜oes (3.2) e (3.3) segue da defini¸c˜ao de tensor de Ricci e da curvatura escalar. Observe que neste caso, o operador de Ricci ´e dado por

(29)

CAP´ITULO 3. IMERS ˜OES NA ESFERA 28

Os seguintes exemplos mostram a existˆencia de hipersuperf´ıcies CMC imersas na esfera unit´aria Sn+1.

Exemplo 3.1. As esferas Sn(�) de raio �, onde 0 < � < 1 s˜ao exemplos de hipersuperf´ıcies CMC n˜ao nulas compactas imersas na esfera unit´aria Sn+1.

Para provar isto, considere o mergulho Sn+1 ˓ Rn+2. Seja Rn+2 um

vetor unit´ario fixado e defina uma fun¸c˜ao diferenci´avel �a : Sn+1 R dada

por �a(�) = �, �. Primeiramente devemos determinar quais os valores de �R para que n=−1

a (�) seja uma hipersuperf´ıcie na esfera unit´ariaSn+1. Para isto, basta verificar que o �a(�)̸= 0 para todo ��n =1

a (�). Seja � X(Sn+1). Ent˜ao, se 0 denota a conex˜ao Riemanniana de Rn+2, temos que

⟨∇�a(�), � = �(�a(�)) =��, � = ⟨∇0

X�, �⟩+⟨�,∇0X�⟩ = �, �.

E isto nos diz que ⟨∇�a(�)�, � = 0 para todo � X(Sn+1). Da´ı, como

Rn+2 =�xSn+1(�xSn+1)

e dim(�xSn+1)

= 1, temos que �=�a(�) +��.

Por outro lado, temos que

⟨�, � = ⟨∇�a(�) +��, �

= ⟨∇�a(�), �+��, �=�. Assim, �=�a(�) +��. Logo,

⟨∇�a(�),�a(�) = ��, ��� = 1�2.

Ent˜ao ‖∇�a(�) >0, desde que, 1 < � < 1. Com esta condi¸c˜ao, segue que �n=−1

a (�) ´e uma hipersuperf´ıcie na esfera unit´aria Sn+1.

Vamos mostrar agora que �n´e totalmente umb´ılica, a aplica¸c˜ao de Gauss do mergulho� ˓Sn+1 ´e

�(�) = ∇�a(�)

‖∇�a(�) = 1

(30)

Da´ı, o operador de Weingarten � aplicado em � �x� ´e dado por �� =−∇0Y� =

1�2�.

Portanto segue que �n ´e totalmente umb´ılica e a curvatura m´edia de n ´e dada por

� = √ �

1�2.

Agora, observe que �n=︀

�= (�1, . . . , �n+1, �n+2)∈Sn+1;�a(�) =�

︀ .

Ent˜ao, tomando �= (0, . . . ,0,1) temos que �n+2 =�. Logo �n=Sn(1−�2).

Por outro lado, para �= 0, temos � = 0, ou seja, �n=Sn(1) ´e m´ınima. Exemplo 3.2 (Toro de Clifford). O produto de duas esferas Euclidianas Sk(�)×Sn−k(12) ˓ Sn+1 Rn+2 tal que 0 < � < 1 ´e outro exemplo

de hipersuperf´ıcie CMC imersa na esfera Euclidiana Sn+1.

Tome qualquer inteiro 0 < � < � e defina uma aplica¸c˜ao diferenci´avel � :Sn+1 R por

�(�) = �(�1, . . . , �n+2) = �12+. . .+�2k+1.

Vejamos agora, que �n = �−1(�2) ´e uma hipersuperf´ıcie na esfera Sn+1. De

fato, se� = (�1, . . . , �n+1) ´e qualquer campo diferenci´avel sobreSn+1. Ent˜ao

�(�) = 2�1�1+. . .+ 2�k+1�k+1,

ent˜ao,

⟨∇�, �=�(�) = (2�1, . . . ,2�k+1,0. . . ,0), �⟩=⟨2�, �⟩,

onde � = (�1, . . . , �k+1,0. . . ,0). Da´ı, podemos escrever

� =�T +�, ��, tal que �T ´e tangente a esferaSn+1, ent˜ao

(31)

CAP´ITULO 3. IMERS ˜OES NA ESFERA 30

Logo

∇�(�) = 2(��(�)�)

para todo�Sn+1. Assim, se n =−1(�2), temos que

∇�(�) = 2(�(�)�2�). Portanto

⟨∇�(�),�(�)= 4�2(1�2)>0.

Observe agora que um ponto � = (�1, . . . , �k+1, �k+2, . . . , �n+2) ∈ �−1(�2)

satisfaz o sistema ⎧ ⎨

⎩ �2

1+. . .+�2k+1 = �2

�2k+2+. . .+�2n+1+�2n+2 = 1−�2

Assim, �n =Sk(�)×Sn−k(12), onden ´e chamado Toro de Clifford. Para mostrar que�npossui curvatura m´edia constante, considere a aplica¸c˜ao normal de Gauss

�(�) = ∇�(�)

‖∇�(�) = 1

2�√1�22(�(�)−�

2�) = 1

�√1�2(�(�)−� 2�),

onde �, �= 1. Portanto, se � = (�1, �2) ´e um campo diferenci´avel sobre

�, onde �1 ∈X(Sk(�)) e �2 ∈X(Sn−k(

1�2)), teremos

�� = −∇0

X� =−∇0X ︂

1

�√1�2(�(�)−� 2�)

= 1

�√1�2∇ 0

X(�(�)−�2�)

= 1

�√1�2

∇0

X�(�)−�2∇0X� ︀

= 1

�√1�2

(�1,0)−�2(�1, �2)

=

1�2

� (�1,0) + �

1�2(�1, �2).

Logo, podemos escrever o operador de Weingarten � a matriz ⎛

⎜ ⎝

− √

1�2

� �k 0

0

1�2�n−k

(32)

onde�k e�n−k denotam as matrizes identidade. Logo concluimos que a curva-tura m´edia de �n ´e constante e dada por

� = 1 �

− √

1�2

� �+ �

1�2(�−�)

= ��

2

��√1�2.

Por outro lado, observe que �n possui duas curvaturas principais distintas, portanto n˜ao ´e totalmente umb´ılica.

3.2

O Hessiano de uma autofun¸c˜

ao do

Lapla-ciano

Seja � : � R uma autofun¸c˜ao correspondendo ao primeiro autovalor n˜ao nulo�1 do operador Laplaciano ∆ dado por ∆� =−�1�. Vamos agora definir

um operador � = Hess� : X(�) X(�) por �� = X. As derivadas

covariante do operador� s˜ao definidas da seguinte maneira (�)(�, �) =X�� −�(∇X�) e ainda

(2�)(�, �, �) =X(∇�)(�, �)−(∇�)(∇X�, �)−(∇�)(�,∇X�). As propriedades do operador � s˜ao dadas pelo lema a seguir

Lema 3.1. Sejauma hipersuperf´ıcie CMC imersa na esfera unit´aria Sn+1

e {�1, . . . , �n} um referencial ortonormal local dee �, �, � ∈X(�), ent˜ao

o operadorsatisfaz as seguintes propriedades:

(i) ��, �=�, ��.

(ii) (�)(�, �), �=�,(�)(�, �). (iii) � �� =�1�.

(33)

CAP´ITULO 3. IMERS ˜OES NA ESFERA 32

(v) n ︁

i=1

(�)(�i, �i) =�1∇�+�(∇�).

(vi) (2�)(�, �, �)(2)(�, �, �) = (

X�)(�, �)∇� +�(�, �)��. (vii) (2�)(�, �, �)(2�)(�, �, �) =�(�, �)���(�(�, �)�).

Demonstra¸c˜ao. A propriedade (i) foi provada na Proposi¸c˜ao 2.5.1, para obter-mos o segundo item, observe que pela simetria do operador �, temos que

⟨(�)(�, �), � = ⟨∇X�� −�(∇X�), �⟩ = ⟨∇X��, �⟩ − ⟨�(∇X�), �⟩

= ���, �⟩ − ⟨��,X�⟩ − ⟨∇X�, ��⟩ = ��, ��⟩ − ⟨�, �(X�)⟩ − ⟨∇X�, ��⟩ = �,(�)(�, �).

As provas dos itens (iii) e (iv) seguem da defini¸c˜ao de divergente e da curvatura �. Agora provaremos o item (v). Suponha que o referencial {�1, . . . , �n} ´e

geod´esico, ent˜ao para qualquer campo diferenci´avel � em �, temos

�(∆�) = n ︁

i=1

��i, �i= n ︁

i=1

⟨∇X��i, �i⟩ =

n ︁

i=1

⟨(�)(�, �i), �i,

agora usando as propriedades (ii) e (iv) e as propriedades do tensor de curva-tura �, temos que

n ︁

i=1

⟨(�)(�, �i), �i = n ︁

i=1

⟨(�)(�i, �) +�(�, �i)�, �i =

n

i=1

(�)(�i, �i), � ⟩

n ︁

i=1

⟨�(�i, �)�, �i =

n

i=1

(�)(�i, �i), � ⟩

−���(�,�). Por outro lado, �(∆�) =⟨−�1∇�, �⟩, portanto

⟨−�1∇�, �⟩=

n

i=1

(�)(�i, �i), � ⟩

(34)

assim n

i=1

(�)(�i, �i) = �1∇� +�(∇�).

Com rela¸c˜ao a propriedade (vi), vamos denotar por �1 e �2 as seguintes

diferen¸cas

�1(�, �, �) = (∇2�)(�, �, �)−(∇2�)(�, �, �)

e

�2(�, �, �) = (∇2�)(�, �, �)−(∇2�)(�, �, �).

Portanto, segue por defini¸c˜ao da segunda derivada covariante do operador � e pelas propriedades do tensor de curvatura �

�1(�, �, �) = ∇X(∇�)(�, �)−(∇�)(∇X�, �)−(∇�)(�,∇X�)

− ∇X(∇�)(�, �) + (∇�)(∇X�, �) + (∇�)(�,∇X�) = X[(∇�)(�, �)−(∇�)(�, �)] + [(∇�)(∇X�, �)

− (�)(�,X�)] + [(∇�)(�,∇X�)−(∇�)(∇X�, �)] = X�(�, �)∇�+�(∇X�, �)∇� +�(�,∇X�)∇� = X�(�, �)∇�−�(∇X�, �)∇�−�(�,∇X�)∇. Agora, se � X(�), ent˜ao

⟨�1(�, �, �), �⟩ = ⟨∇X�(�, �)∇� −�(∇X�, �)∇�

− �(�,X�)∇� −�(�, �)��+�(�, �)��, �⟩ + �(�, �)�,X�⟩ − ⟨�(�, �)∇�,∇X�⟩ = ��(�, �)�, �⟩ − ⟨�(X�, �)∇�, �⟩

− ⟨�(�,X�)∇�, �⟩ − ⟨�(�, �)��, �⟩

− ⟨�(�, �)�,X�⟩+⟨�(�, �)��, �⟩ = (X�)(�, �)∇�, �⟩+⟨�(�, �)��, �⟩ = (X�)(�, �)∇�+�(�, �)��, �⟩. Desta forma, concluimos que

(35)

CAP´ITULO 3. IMERS ˜OES NA ESFERA 34

Finalmente, observe que pela segunda derivada covariante do operador �, temos

�2(�, �, �) = ∇X(∇�)(�, �)−(∇�)(∇X�, �)−(∇�)(�,∇X�)

− (Y(∇�)(�, �)−(∇�)(∇Y�, �)−(∇�)(�,∇Y�)). E isto nos diz que

�2(�, �, �) = ∇X[∇Y��−�(∇Y�)]− ∇∇XY�� + �(XY�)− ∇Y�(∇X�)

+ �(Y∇X�)− ∇Y[∇X��−�(∇X�)]

+ YX�� −�(∇∇YX�) +∇X�(∇Y�)−�(∇X∇Y�). Da´ı,

�2(�, �, �) = ∇X∇Y�� − ∇X�(∇Y�)− ∇∇XY�� +�(∇∇XY�)

− ∇Y�(∇X�) +�(∇Y∇X�)− ∇Y∇X��+∇Y�(∇X�) + YX�� −�(∇∇YX�) +∇X�(∇Y�)−�(∇X∇Y�). Finalmente, obtemos que

�2(�, �, �) = ∇X∇Y�� − ∇Y∇X��− ∇[X,Y]��

− (�(X∇Y� − ∇Y∇X� − ∇[X,Y]�))

= �(�, �)���(�(�, �)�), o que conclui a prova do lema.

3.3

Lemas essenciais

Provaremos agora um conjunto de resultados que ser˜ao essenciais para a prova dos teoremas principais. Um teorema fundamental para obtermos os seguintes resultados, ´e dado pelo

Teorema 3.2 (Teorema da divergˆencia). Sejamuma variedade Riemanniana compacta com fronteira eX(�). Ent˜ao

M

div� = ︁

(36)

onde´e o campo unit´ario normal a �� apontando para fora de. Em particular sen˜ao possui fronteira, ent˜ao

M

div� = 0.

Daqui em diante� ser´a uma variedade Riemanniana compacta sem bordo. Uma consequˆencia do teorema da divergˆencia no caso em que a variedade ´e sem bordo ´e o seguinte: suponha que � ´e um autovalor do operador Laplaciano, ent˜ao existe uma fun¸c˜ao � �∞

(�) tal que ∆� +�� = 0.

Afirmamos que � 0. De fato, (∆�)� = ��2 o que implica pela equa¸c˜ao (2.8) que ��2 = 1

2(∆�

2) + ‖∇2. Da´ı ︀ M�

2 =

M ‖∇�‖

2, ou seja,

� = ︀

M‖∇�‖

2

︀ M�2

≥ 0. Logo, todos os autovalores do operador Laplaciano s˜ao n˜ao negativos.

Lema 3.2. Sejamuma hipersuperf´ıcie CMC compacta imersa na esfera unit´aria Sn+1 e {

1, . . . , �n} um referencial ortonormal local geod´esico de.

Ent˜ao ︁ M n ︁ i=1

⟨∇�i�(�), ��i = ︁

M ︀

(�1)2�1‖�∇�‖2

+ ︁

M ︀

(�1)2− ‖�22︀

+ ��

M

(�1−(�−1))⟨�∇�,∇�⟩

− �� ︁

M ︀

��22�2�, �︀. Demonstra¸c˜ao. Observe que pela equa¸c˜ao (3.4), temos que o operador de Ricci ´e dado por �(�) = (�1)�+����2�, ent˜ao

n ︁

i=1

⟨∇�i�(�), ��i = n ︁

i=1

⟨∇ei

(�1)� +����2�︀ , ��i = (�1)

n ︁

i=1

⟨∇ei∇�, ��i⟩+��

n ︁

i=1

⟨∇ei�∇�, ��i⟩

n ︁

i=1

⟨∇ei�

2

(37)

CAP´ITULO 3. IMERS ˜OES NA ESFERA 36

Da´ı, obtemos n

i=1

⟨∇�i�(�), ��i = (�1) n ︁

i=1

⟨��i, ��i

+ ��

n

i=1

�i�, ��i⟩ − n ︁

i=1

⟨��,(�)(�i, �i)

n ︁

i=1

�i�2�, ��i+ n ︁

i=1

⟨�2�,(�)(�i, �i). Simplificando a equa¸c˜ao acima, obteremos

n ︁

i=1

⟨∇�i�(�), ��i = (�1)2+��div(���)

− ���,�1∇�⟩

− ���, �(�)⟩ −div(��2�) + �2�,�1∇�⟩+⟨�2∇�, �(∇�)⟩

= (�1)2�1‖�∇�‖2

− div(��2�) +���(�2�,�)

+ ��(div(���) +�1⟨�∇�,∇�⟩ −���(�∇�,∇�)).

Logo, basta integrar a equa¸c˜ao acima para obtermos o resultado desejado, ou seja ︁ M n ︁ i=1

⟨∇ei�(∇�), ��i⟩ =

M ︀

(�1)2�1‖�∇�‖2

+ ︁

M ︀

(�1)2− ‖�22︀

+ ��

M

(�1−(�−1))⟨�∇�,∇�⟩

− �� ︁

M ︀

��22�2�, �︀. Observemos que se � ´e hipersuperf´ıcie m´ınima, obtemos

M n ︁

i=1

⟨∇ei�(∇�), ��i⟩ =

M ︀

(�1)2�1‖�∇�‖2

+ ︁

M ︀

(38)

O que conclui a demonstra¸c˜ao.

Lema 3.3. Seja{�1, . . . , �n}um referencial ortonormal local na hipersuperf´ıcie

CMC compacta imersana esfera unit´aria Sn+1 que diagonaliza o operador

com ��i =�i�i. Ent˜ao 1 2 ︁ M n ︁ i,j=1

(�i�j)2 = ︁

M ︀

2�1‖∇�‖2

︀ . Demonstra¸c˜ao. n ︁ i,j=1

(�i�j)2 = n ︁

i,j=1

�2i n ︁ i,j=1 2�i�j + n ︁ i,j=1

�2j

= n ︁

i,j=1

⟨��i, ��i⟩ −2 n ︁

i=1

⟨��i, �i n ︁

j=1

⟨��j, �j+ n ︁

i,j=1

⟨��j, ��j = 2�22(tr�)2

= 2�22�21�2. Da´ı, 1 2 ︁ M n ︁ i,j=1

(�i�j)2 = ︁

M ︀

2�21�2︀ .

Por outro lado, como ∆�2 = 2�∆� + 2‖∇2 e ∆� =

1�, teremos

M ‖∇

2 =�1

M �2,

e assim obtemos o resultado desejado.

Lema 3.4. Sejauma hipersuperf´ıcie CMC compacta imersa na esfera unit´aria Sn+1 e uma fun¸c˜ao diferenci´avel sobre tal que ∆� =

−�1�.

Ent˜ao

M ︀

‖�2 �1‖∇�‖2+���(∇�,∇�)

︀ = 0.

Demonstra¸c˜ao. Basta definir uma fun¸c˜ao diferenci´avel em � por �= 1

2‖∇�‖

2

(39)

CAP´ITULO 3. IMERS ˜OES NA ESFERA 38

Lema 3.5. Sejamuma hipersuperf´ıcie CMC compacta imersa na esfera unit´aria Sn+1 e {1, . . . , �n} um referencial ortonormal local de . Ent˜ao

M n ︁

i,k=1

⟨(ek�)(�k, �i)∇�, ��i⟩=

M ︃

−12‖�∇f‖2− n ︁

i,k=1

⟨�(�k, �i)��k, ��i

,

onde �∇f‖2 = n ︁

i,j=1

‖�(�i, �j)2.

Demonstra¸c˜ao. Suponha que o referencial {�1, . . . , �n}´e geod´esico, ent˜ao

⟨(ek�)(�k, �i)∇�, ��i⟩ = ∇�(�k, �i,∇�, ��i, �k)

= �k�(�k, �i)�, ��i⟩ − ⟨�(�k, �i)��k, ��i

− ⟨�(�k, �i)�,(�)(�k, �i)

= �k�(��i,�)�i, �k⟩ − ⟨�(�k, �i)��k, ��i

− ⟨�(�k, �i)�,(�)(�k, �i)

= ⟨∇ek�(��i,∇�)�i, �k⟩ − ⟨�(�k, �i)��k, ��i⟩

− ⟨�(�k, �i)�,(�)(�k, �i). Da´ı, usando o Lema 3.1 temos que

n ︁

i,k=1

⟨(ek�)(�k, �i)∇�, ��i⟩ =

n ︁

i,k=1

⟨∇ek�(��i,∇�)�i, �k⟩

n ︁

i,k=1

⟨�(�k, �i)��k, ��i⟩ − ‖∇2 +

n ︁

i,k=1

⟨(�)(�i, �k),(�)(�k, �i). (3.5) Novamente pelo Lema 3.1 teremos

‖�∇f‖2 = 2‖∇�‖2−2 n ︁

i,k=1

⟨(�)(�k, �i),(�)(�i, �k). (3.6) Comparando as equa¸c˜oes (3.5) e (3.6), obtemos

n ︁

i,k=1

⟨(ek�)(�k, �i)∇�, ��i⟩ = −

1

2‖�∇f‖

2

n ︁

i,k=1

⟨�(�k, �i)��k, ��i + div

n

i=1

�(��i,�)�i ︃

(40)

Logo, integrando a equa¸c˜ao acima, deduzimos ︁ M n ︁ i,k=1

⟨(ek�)(�k, �i)∇�, ��i⟩ =

M ︃

−12‖�∇f2 n ︁

i,k=1

⟨�(�k, �i)��k, ��i

.

Lema 3.6. Sejauma hipersuperf´ıcie CMC compacta imersa na esfera unit´aria Sn+1. Ent˜ao

1

2‖�∇f‖

2 = (�

−1)‖∇2+ (22)2

− ‖�22+ 2��⟨∇�, �

Demonstra¸c˜ao. Usando a equa¸c˜ao (3.1) e o fato de� possuir curvatura m´edia constante, temos que

‖�∇f‖2 = n ︁

i,j=1

⟨�(�i, �j)�, �(�i, �j) =

n ︁

i,j=1

⟨�j,2�i, �i⟩ − n ︁

i,j=1

⟨�j,⟩⟨�i,⟩⟨�i, �j +

n ︁

i,j=1

⟨�j,⟩⟨��j,⟩⟨�i, ��i⟩ − n ︁

i,j=1

⟨�j,⟩⟨��i,⟩⟨�i, ��j

n ︁

i,j=1

⟨�i,⟩⟨�j,⟩⟨�j, �i+ n ︁

i,j=1

⟨�i,2�j, �j

n ︁

i,j=1

⟨�i,⟩⟨��j,⟩⟨�j, ��i+ n ︁

i,j=1

⟨�i,⟩⟨��i,⟩⟨�j, ��j +

n ︁

i,j=1

⟨��j,⟩⟨�j,⟩⟨��i, �i⟩ − n ︁

i,j=1

⟨��j,⟩⟨�i,⟩⟨��i, �j +

n ︁

i,j=1

⟨��j,2��i, ��i⟩ − n ︁

i,j=1

⟨��j,⟩⟨��i,⟩⟨��i, ��j

n ︁

i,j=1

⟨��i,⟩⟨�j,⟩⟨��j, �i+ n ︁

i,j=1

⟨��i,⟩⟨�i,⟩⟨��j, �j

n ︁

i,j=1

⟨��i,⟩⟨��j,⟩⟨��i, ��j+ n ︁

i,j=1

(41)

CAP´ITULO 3. IMERS ˜OES NA ESFERA 40

‖�∇f‖2 = �‖∇�‖2− ‖∇�‖2+��⟨∇�, �∇�⟩ − ‖�∇�‖2

− ‖∇�2+�‖∇2− ‖2+��⟨∇�, �

+ ��⟨∇�, �⟩ − ‖2+22− ‖�22

− ‖�2+��⟨∇�, �⟩ − ‖�22+22 = 2(�1)‖∇242+ 222

− 2�22+ 4��⟨∇�, �. Logo,

1

2‖�∇f‖

2 = (�

−1)‖∇2+ (22)2

− ‖�22+ 2��⟨∇�, �.

Lema 3.7. Sejauma hipersuperf´ıcie CMC imersa na esfera unit´aria Sn+1. Ent˜ao

‖∇�2

2 1

� ‖∇�‖

2.

Demonstra¸c˜ao. Vamos definir um tensor sim´etrico� :X(�)×X(�)Rdo qual ´e dado por

�(�, �) =��, �+ �1

� �⟨�, �⟩.

Assim, a derivada covariante do tensor� com respeito a um campo de vetores � em � ´e dado por

(�)(�, �, �) =(�)(�, �), �+�1

��(�)⟨�, �⟩. (3.7) De fato, calculando o valor de � temos que

(�)(�, �, �) = �(�(�, �))�(X�, �)−�(�,∇X�) = �(��, �+ �1

� ⟨� �, �⟩)−(⟨�(∇X�), �⟩ + �1

� �⟨∇X�, �⟩)−(⟨��,∇X�⟩+ �1

��⟨�,∇X�⟩) = ⟨∇X��, �⟩+⟨��,∇X�⟩+

�1

�⟨∇X� �, �⟩ + �1

� ⟨� �,∇X�⟩ − ⟨�(∇X�), �⟩ − �1

� �⟨∇X�, �⟩

− ⟨��,X�⟩ − �1

(42)

E isto implica que

(�)(�, �, �) = (�)(�, �), �+�1

��(�)⟨�, �⟩+ �1

� �⟨∇X�, �⟩ + �1

�⟨� �,∇X�⟩ − �1

� �⟨∇X�, �⟩ − �1

� ⟨� �,∇X�⟩ = (�)(�, �), �+�1

��(�)⟨�, �⟩. Por outro lado,

‖∇�2 = n ︁

i,j,k=1

[(�)(�i, �j, �k)]2 =

n ︁

i,j,k=1

⟨(�)(�i, �j), �k+�1

��i(�)⟨�j, �k⟩ ︂2

= n ︁

i,j,k=1

⟨(�)(�i, �j), �k2 + 2�1

� n ︁

i,j,k=1

⟨(�)(�i, �j), �k⟩⟨∇�, �i⟩⟨�j, �k +

n ︁

i,j,k=1

�21

�2⟨∇�, �i⟩

2�j, �k2

= ‖∇2+ �

2 1 �2 n ︁ i=1

⟨∇�, �i2 n ︁

j,k=1

⟨�j, �k2 + 2�1

� n ︁

i,j,=1

⟨(�)(�i, �j), �j⟩⟨∇�, �i = ‖∇2+ �

2 1

�2�

n ︁

i=1

⟨∇�, �i2+ 2�1 �

n ︁

i,j=1

⟨(�)(�i, �j), �j⟩⟨∇�, �i = ‖∇2+�

2 1

� ‖∇�‖

2+ 2�1

� n ︁

i,j=1

⟨(�)(�i, �j), �j⟩⟨∇�, �i = ‖∇2+�

2 1

� + 2 �1

� n ︁

i,j=1

⟨(�)(�j, �i), �j⟩⟨∇�, �i + 2�1

� n ︁

i,j=1

⟨�(�i, �j)�, �j⟩⟨∇�, �i.

(43)

CAP´ITULO 3. IMERS ˜OES NA ESFERA 42

‖∇�2 = ‖∇2+ �

2 1

� ‖∇�‖

2+ 2�1

� n ︁

i=1

⟨−�1∇�+�(∇�), �i⟩⟨∇�, �i⟩

− 2�1 �

n ︁

i,j=1

⟨�(�, �j)�j, �i⟩⟨∇�, �i = ‖∇2+ �

2 1

� ‖∇�‖

2

−2�

2 1

� ‖∇�‖

2+ 2�1

� ���(∇�,∇�)

− 2�1

� ���(∇�,∇�) = ‖∇�‖

2 �21

� ‖∇�‖

2.

Desde que ‖∇2 0, conluimos que

‖∇�2

2 1

� ‖∇�‖

2,

(44)

RESULTADOS PRINCIPAIS

Vamos come¸car esta se¸c˜ao com o principal resultado que servir´a para demons-trar os teoremas principais.

4.1

Lema Principal

Lema 4.1. Se �0 ´e o ´ınfimo das curvaturas seccionais de uma hipersuperf´ıcie

CMC compacta imersana esfera unit´aria Sn+1. Ent˜ao

� + ︂︁

M �︀

(2(�1 −�)−�0�)⟨�∇�,∇�⟩+ 2⟨�2∇�, �∇�⟩

︀ ︂

+ ︂︁

M−

2�22 ︂

�2 0 onde´e dado por

� = ︁

M ︂

‖∇�2

2 1

� ‖∇�‖

2

−�− 1

M

(�1−(1 +�0)�)(�1−�)‖∇�‖2

+ ︁

M

(�(��0−(�−3))−2�1)‖�∇�‖2.

Em particular, sefor hipersuperf´ıcie m´ınima, ent˜ao0. Demonstra¸c˜ao. Defina uma fun¸c˜ao diferenci´avel �:� Rpor

� = 1 2‖�‖

2.

Se{�1, . . . , �n} for um referencial ortonormal local geod´esico, segue pelas

pro-priedades do tensor de curvatura � e pela propriedade (ii) do Lema 3.1 que para todo� X(�) tem-se

(45)

CAP´ITULO 4. RESULTADOS PRINCIPAIS 44

⟨∇�, � = �(�) = 1 2

n ︁

i=1

��i, ��i =

n ︁

i=1

⟨∇X��i, ��i⟩= n ︁

i=1

⟨(�)(�, �i), ��i =

n ︁

i=1

⟨(�)(�, ��i), �i =

n ︁

i=1

⟨(�)(��i, �) +�(�, ��i)�, �i =

n ︁

i=1

⟨(�)(��i, �), �i+ n ︁

i=1

⟨�(�, ��i)�, �i =

n ︁

i=1

⟨(�)(��i, �i), �⟩ − n ︁

i=1

⟨�(�, �i)��i, � =

n

i=1

[(�)(��i, �i)�(�, �i)��i], � ⟩

.

Assim, o gradiente de �, ´e dado por

∇� = n ︁

i=1

[(�)(��i, �i)�(�, �i)��i]. Logo,

∆� =

n ︁

i,k=1

⟨∇ek[(∇�)(��i, �i)−�(∇�, �i)��i], �k⟩

= n ︁

i,k=1

�k((�)(��i, �i), �k⟩ − ⟨�(�, �i)��i, �k) =

n ︁

i,k=1

�k((�)(��i, �k), �i⟩ − ⟨�(��i, �k)�, �i) =

n ︁

i,k=1

�k(�)(�k, ��i), �i = ‖∇2+

n ︁

i,k=1

⟨(2�)(�k, �k, �i), ��i.

Por outro lado, usando as propriedades (vi) e (vii) do Lema 3.1, temos que (2�)(�k, �k, �i) = (2�)(�k, �i, �k) + (ek�)(�k, �i)∇� +�(�k, �i)��k

Referências

Documentos relacionados

Neste trabalho, atrav´ es de simula¸c˜ oes de Monte Carlo, estudamos o modelo do votante majorit´ ario onde introduzimos uma distribui¸c˜ ao hiperb´ olica para o parˆ ametro

2.2 Objetivos Específicos  Avaliar as condições higiênico-sanitárias através de uma lista de verificações;  Investigar a qualidade microbiológica de amostras coletadas

O objetivo dessa pesquisa é analisar os folhetos de cordel nos quais observei a descrição de alguma prática de misoginia ou feminicídio; identificar os processos de

Em todo o período da pesquisa observou-se através do monitoramento da altura da planta e o diâmetro da cabeça que, para a cultura da couve, o sistema de plantio circular também

Esta dissertação está assim estruturada: a Introdução aborda um breve histórico sobre o crescimento da importância da gestão de impactos sócios ambientais para a

©2011 Enterasys Networks, Inc., A Siemens Enterprise Communications Company – All rights reserved. Entendendo

Este relatório de critérios destaca as considerações de classificação que são únicas para a avaliação dos veículos de transformação e o processo pelo qual o

Diante destes resultados, constata-se que as cascas liofilizadas de manga Tommy Atkins surgem como fonte de compostos bioativos, com forte potencial antioxidante,