Universidade Federal do Vale do São Francisco Câmpus Juazeiro-BA
Colegiado de Engenharia Elétrica Prof. Pedro Macário de Moura
Cálculo Diferencial e Integral 1 – 2015.1
Discente ___________________________________CPF
Turma M1 Sala 28 Horário das 8:00 às 10:00 Data 27 julho de 2015
Resolução da Avaliação Final
Todo o Conteúdo do Curso Valor 10,0 Pontos
Instruções:
1ª Não é permitido emprestar qualquer tipo de material. 2ª As respostas somente serão aceitas com justificativas. 3ª Use caneta azul ou preta, pois a Avaliação é um documento.
4ª Desligue seu celular não é permitido usá-lo nem, como calculadora. 5ª Escreva todos os detalhes dos cálculos que o levarem a uma solução. 6ª Por favor, coloque o seu nome na prova. Ela terá duração de 2 Aulas. 7ª Não é permitido nenhum tipo de consulta, livros, anotações ou camarada. 8ª Utilize calculadora tipo Casio é proibido o uso de outro eletrônico.
9ª Leia com atenção as questões e lembre-se, a leitura e interpretação faz parte da avaliação.
Problema 01 Encontre por derivação implícita.
; Solução: Reescrevendo em as raízes cúbicas na formar de potência racional, ficamos com: derivando pela regra do produto vem:
. Solução derivando pela regra do produto e quociente para função exponencial
vem
Problema 02 Obtenha as tangentes à elipse que são paralelas à reta
Solução: Temos (1) para as tangentes a ser paralelas a , essas são da seguinte forma (2). Substituindo (2) em (1) temos:
Que só admite raiz reias e iguais SSS . Concluímos que Logo as tangentes são: e (Vide Figura 1).
Problema 03 Uma baleia é avistada pela tripulação de um navio, que estima seu comprimento
em , com erro máximo possível de . Sabe-se que o peso (em toneladas métricas) está relacionada com pela fórmula . Use diferenciais para aproximar:
a) o erro na estimativa do peso (a menos de 0,1 toneladas métricas);
Solução: Seja o erro na estimativa e , e seja o erro correspondente no cálculo do valor de . Como vimos nas aulas esses erros podem ser aproximados por e pela relação , como e . Obtemos:
Toneladas métricas
b) os erros médio e percentual. Erro médio é dado ela relação
Como e , obtemos o erro médio.
Mas
Problema 04 Seja . Estude com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão.
Solução: Fazendo a primeira derivada temos , derivando novamente
vem
. agora fazendo ficamos com
e , pois Pontos de inflexão e
Logo temos que: a função é côncava para cima e é côncava para baixo. (Vide Figura 2).
Problema 05 Calcule
; Solução: Façamos a mudança de variável para facilitar o cálculo seja
ficamos com:
Agora aplicando L’Hospital vem:
Solução: Aplicando a regra do vem:
Problema 06 Uma escada de comprimento metros de altura está apoiada numa parede vertical. Se a base da escada é arrastada horizontalmente da parede a metros por segundos, a que velocidade desliza a parte superior da escada ao longo da parede, quando a base encontra-se a da parede? (Vide Figura 3)
Solução: Observe a figura 2. Denotamos a velocidade de afastamento do pé da escada por
e a velocidade de descida por
. Por Pitágoras temos (1)
derivando em relação ao tempo vem:
Mas de (1) temos , Então ficamos com
Problema 07 Esboce o gráfico da função dada por
. Solução: Basta testar que
para valores de a equação não tem solução nos reais. Logo todo a imagem de é sempre negativa e tem seu valor máximo em . Outra forma de ver a construção é notar que pode ser escrita como
Problema 08 Se uma bola de aço de massa é liberada na água e a força da resistência é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade, então a distância que a bola percorre em segundos e dada por
Onde g é uma constante gravitacional e . Mostre que é uma solução da equação diferencial
Solução: Para resolver essa Equação Diferencial, basta fazer a primeira e a segunda derivada de , e depois substituir na relação dada.
Vamos fazer 1ª derivada de .
Agora façamos a 2ª derivada de y, encontramos:
Agora substituamos na relação dada vem;
Solução: Basta fazer uma simples mudança de variável.
Seja
Integrando vem: voltando para a variável temos
Problema 10 Achar a área da região delimitada pelos gráficos de e
Solução: façamos e Para encontrarmos a região precisamos esboçar o gráfico das três funções. ; e . (Vide Figura 5). Pela figura 4 podemos ver que se integrarmos em relação à temos:
Boa Avaliação! Sucesso! Foi um prazer estar com você! O que sabemos é uma gota; o que ignoramos é um oceano. Isaac Newton.