Programa de Inicia¸c˜ao a Docˆencia em Matem´atica (UEM 2010)- Outubro 9:1–6.
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PIBID-MAT www.dma.uem.br/pibid
Equa¸c˜ao do Primeiro Grau
Carlos Augusto Bassani Varea e Thiago Rufino
Resumo: Neste trabalho apresentamos um material de apoio ao professor rela-cionado `a equa¸c˜ao do primeiro grau e sugerimos atividades que podem ser utilizadas em sala de aula. Sup˜oe-se que este ser´a o primeiro contato do aluno com equa¸c˜oes do primeiro grau.
1. Introdu¸c˜ao
A ´algebra ´e uma ´area da matem´atica em que os alunos brasileiros apresentam significativa dificuldade de aprendizagem. De acordo com Secretaria de Educa¸c˜ao Fundamental, “Nos resultados do Sistema Nacional de Avalia¸c˜ao da Educa¸c˜ao B´asica (SAEB), por exemplo, os itens referentes `a ´algebra raramente atingem um ´ındice de 40% de acerto em muitas regi˜oes do pa´ıs” [SEF, 1998], confirmando a problem´atica que professores e alunos vivenciam.
Diante disso, o papel do professor ´e de fundamental importˆancia criando es-trat´egias de ensino diversificadas para tornar mais compreens´ıvel o conte´udo, fazendo com que os alunos aprendam e n˜ao decorem regras, mas compreendam o processo de resolu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao do primeiro grau.
2. Equa¸c˜ao do primeiro grau
A importˆancia deste assunto deve ser enfatizada por meio de exemplos simples e aplic´aveis. Sabemos que ensinar a t´ecnica de resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes do primeiro grau aos alunos da sexta s´erie do Ensino Fundamental pode ser uma ´ardua tarefa, por isso indicamos ao professor que respeite o tempo do aluno e ao observar a sua evolu¸c˜ao introduza novos desafios de forma gradativa.
Apresente igualdades tais como:
8 + 4 − 2 = 6 + 5 − 1. Devemos definir os membros, sendo que:
• 1o membro: 8 + 4 − 2,
• 2o membro: 6 + 5 − 1,
e ent˜ao fazer uma analogia com os pratos de uma balan¸ca antiga, sendo que cada prato representa um membro da igualdade. Devemos recordar que esta balan¸ca precisa estar sempre equilibrada, sendo assim, se vocˆe tirar ou colocar algum peso em algum dos pratos (membros) deve-se fazer o mesmo no outro. Observe que se tirarmos +4 do 1omembro e n˜ao quisermos que a balan¸ca se desequilibre, ´e preciso tir´a-lo do 2o membro obtendo o seguinte:
(8 + 4 − 2) − 4 = (6 + 5 − 1) − 4
2 EQUAC¸ ˜AO DO PRIMEIRO GRAU 2
8 − 2 = 6 + 5 − 1 − 4.
Note que a equa¸c˜ao acima ainda ´e uma igualdade, o mesmo ocorre se tirarmos o -1 do 2o membro, observe que ao dizermos tirar o -1, na verdade queremos expressar
a adi¸c˜ao de 1 de ambos os lados, observe abaixo:
(8 − 2) + 1 = (6 + 5 − 1 − 4) + 1 8 − 2 + 1 = 6 + 5 − 4
que ainda ´e uma igualdade.
Quando o aluno entender a regra de “troca do sinal ao mudar de membro”, re-conhece tamb´em a aplica¸c˜ao da opera¸c˜ao inversa. Desta forma, de maneira semel-hante constru´ımos novas igualdades multiplicando-se ambos os membros de uma igualdade por um mesmo n´umero, sem ocasionar o desequil´ıbrio da balan¸ca.
8(8 − 2 + 1) = 8(6 + 5 − 4) ou 64 − 16 + 8 10 = 48 + 40 − 32 10 .
S´o ap´os, ent˜ao, apresentamos express˜oes envolvendo o valor desconhecido x. Depois destes “passos cuidadosos”com os alunos, definimos equa¸c˜ao do 1ograu,
inc´ognitas e mostramos o procedimento de como encontrar a resolu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 2.1 As equa¸c˜oes do 1o
grau s˜ao aquelas que podem ser representadas sob a forma:
ax+ b = 0
em que a e b s˜ao constantes reais, com a 6= 0, e x ´e a inc´ognita.
A inc´ognita representa um n´umero desconhecido que temos por objetivo en-contr´a-lo e para tal feito, devemos resolver a equa¸c˜ao. De forma geral, temos:
ax+ b = 0
ax+ b + (−b) = 0 + (−b).
Somando −b de ambos os lados, observe que a igualdade permanece. ax+ (b − b) = −b
Obtemos isso usando a associatividade.
ax+ 0 = −b Pela existˆencia do elemento neutro, tem-se
2 EQUAC¸ ˜AO DO PRIMEIRO GRAU 3
Como a 6= 0, podemos executar a sua divis˜ao em ambos os lados da igualdade. ax
a =
−b a , obtemos o resultado abaixo:
x=−b a Exemplo 2.1 (Atividade concreta)
Uma atividade concreta que pode auxiliar na passagem para a solu¸c˜ao de equa¸c˜oes lineares ´e sugerida a seguir.
Materiais: algumas caixas de f´osforos, uma cartolina e 40 mi¸cangas (pode ser feij˜oes ou bot˜oes).
Primeiro caso: Confeccione sinais de igualdade, de adi¸c˜ao, subtra¸c˜ao e divis˜ao. Encape as caixas e escreva sobre elas a letra x. Divida as mi¸cangas em duas partes iguais.
Como exemplo, consideremos a equa¸c˜ao x + 12 = 20. Monte sobre a carteira do aluno esta equa¸c˜ao colocando, sem que o estudante veja, 8 mi¸cangas dentro da caixa e mais 12 mi¸cangas, e do outro lado da igualdade as 20 mi¸cangas do outro grupo.
O estudante deve efetuar opera¸c˜oes para determinar a quantidade de mi¸cangas que est˜ao dentro da caixa.
+12 = 20 Figura 1: caixa
Segundo caso: Como exemplo, consideremos a equa¸c˜ao 2x+8 = 20. Monte sobre a carteira do aluno esta equa¸c˜ao colocando, sem que o estudante veja, 6 mi¸cangas dentro de cada uma de duas caixas e mais 8 mi¸cangas fora delas, e do outro lado da igualdade as 20 mi¸cangas do outro grupo. O professor deve cuidar para que, neste est´agio, as solu¸c˜oes sejam inteiras de modo a facilitar a compreens˜ao.
+
+8 = 203 INDO UM POUCO AL ´EM 4
O estudante deve efetuar opera¸c˜oes para determinar a quantidade de mi¸cangas que est˜ao dentro da caixa.
O professor deve propor exerc´ıcios com este material e solicitar que reproduzam no caderno a solu¸c˜ao encontrada com as caixas.
A seguir apresentaremos alguns problemas cujas solu¸c˜oes se reduzem a resolu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao. Vejamos alguns exemplos simples do universo da crian¸ca. Exemplo 2.2
1. Considere a equa¸c˜ao x + 7 = 3. Os alunos devem aplicar as opera¸c˜oes usadas anteriormente e sempre tomando o cuidado de n˜ao desequilibrar a balan¸ca, deixando o valor desconhecido sozinho no 1o membro e obter, consequentemente, seu valor no 2o membro. Conforme segue o racioc´ınio
a seguir: x+ 7 = 3 x+ 7 + (−7) = 3 + (−7) x+ (7 − 7) = −4 x+ 0 = −4 x = −4.
2. Considere a equa¸c˜ao 2x − 7 = 9. Os alunos devem aplicar as opera¸c˜oes usadas anteriormente e sempre tomando o cuidado de manter a igualdade, buscando o deixar o desconhecido sozinho no 1o membro. A seguir os
principais passos: 2x − 7 = 9 2x − 7 + (+7) = 9 + 7 2x + (7 − 7) = 16 2x + 0 = 16 2x 2 = 16 2 x = 8.
3. Indo um pouco al´em
Ultrapassada esta etapa da resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes do primeiro grau, devemos iniciar a etapa seguinte em que o aluno deve interpretar matematicamente situa¸c˜oes problemas, s˜ao os rudimentos da modelagem matem´atica.
O professor deve ficar atento para as diferentes solu¸c˜oes apresentadas pelos alunos. Vejamos algumas situa¸c˜oes simples.
Exemplo 3.1
1. Uma crian¸ca coleciona figurinhas. Ela ganhou 6 figurinhas e ficou com 18. Quantas figuras ela tinha inicialmente?
4 ATIVIDADES 5
2. Uma crian¸ca coleciona figurinhas. Ela perdeu 6 figurinhas e ficou com 18. Quantas figuras ela tinha inicialmente?
3. Um reservat´orio de ´agua cont´em 120 litros. A cada hora escoam 10 litros de ´agua. Em quanto tempo o reservat´orio ficar´a vazio?
4. Um reservat´orio de ´agua cont´em 120 litros. A cada hora escoam 10 litros de ´agua e entram 2 litros. Em quanto tempo o reservat´orio ficar´a vazio? 5. Um reservat´orio de ´agua cont´em 120 litros. A cada hora escoam 10 litros
de ´agua e entram 2 litros. Em quanto tempo o reservat´orio ter´a 40 litros de ´agua?
Problemas t´ıpicos envolvendo duplo, triplo, multiplos e n´umeros consecu-tivos s˜ao bons para iniciar a modelagem de situa¸c˜oes simples.
6. A soma de trˆes n´umeros consecutivos ´e 63. Quais s˜ao estes n´umeros? Outra classe de problemas t´ıpicos s˜ao aqueles que envolvem compras e troco. S˜ao muito comuns nas atividades did´aticas e podem ser utilizados para iniciar a modelagem de situa¸c˜oes simples.
7. Jo˜ao comprou um caderno e uma caneta. O caderno custou o dobro da caneta. Ele pagou com quinze reais e ainda obteve 3 reais de troco. Quanto custou cada objeto?
4. Atividades
Atividade 1: A popula¸c˜ao de uma cidade A ´e o triplo da popula¸c˜ao da cidade B. Se as duas cidades juntas tˆem uma popula¸c˜ao de 100.000 habitantes, quantos habitantes tem a cidade B?
Solu¸c˜ao: Identificaremos a popula¸c˜ao da cidade A com a letra a e a popula¸c˜ao da cidade B com a letra b. Assumiremos que a = 3b, pois a cidade A possui o triplo de habitantes da cidade B. Dessa forma, podere-mos escrever:
a+ b = 100.000 3b + b = 100.000 4b = 100.000 b = 100.000 4 b = 25.000.
4 ATIVIDADES 6
Atividade 2: Observe o seguinte an´uncio. “Compre seu autom´ovel 0km por apenas R$ 28.500,00, pagando a prazo e sem juros, com uma entrada de R$1.500,00 mais 12 preta¸c˜oes iguais.”Pergunta-se o valor de cada presta¸c˜ao.
Solu¸c˜ao: Note que a propaganda n˜ao explicita o valor de cada presta¸c˜ao, mas, relacionando as informa¸c˜oes, ´e poss´ıvel determin´a-lo. Subtraindo 1.500, 00 do valor 28.500, 00, obtemos 27.000, 00, que ´e a quantia, em reais, que deve ser dividida em 12 presta¸c˜oes iguais. Desta forma, obtemos 2.250, 00, que ´e o valor, em reais, de cada preta¸c˜ao.
Observe que nesse exemplo o nosso objetivo foi determinar o valor desconhecido xna seguinte equa¸c˜ao:
1500 + 12x = 28.500, 00.
Atividade 3: Carlos, Thiago e Neide colecionavam tampinhas e ap´os uma dis-cuss˜ao resolveram distribuir as 900 tampinhas entre eles, de modo que Thiago receba o dobro de Neide e Carlos o triplo de Thiago. Quantas tampinhas recebeu cada um?
Solu¸c˜ao: Vamos chamar de x a quantidade de tampinhas qaue Neide receber´a. Thiago receber´a o dobro da quantidade que Neide receber, ou seja, receber´a 2x e Carlos receber´a o triplo de Thiago, ou seja, 3(2x). Desta forma, temos que:
x+ 2x + 3(2x) = 900 x+ 2x + 6x = 900 9x = 900 9x 9 = 900 9 x= 100.
Conclu´ımos que Neide ir´a receber 100 tampinhas, Thiago receber´a 200 tam-pinhas e Carlos 600 tamtam-pinhas.
Uma operadora de telefonia m´ovel oferece um plano mensal de 35 reais mais R$1,10 para cada liga¸c˜ao. Quanto ser´a pago ao final de um mˆes se o usu´ario fizer 20 liga¸c˜oes? E se ele fizer x liga¸c˜oes?
Agradecimentos
Agradecimentos especiais `a profa. Alexandra Abdala e ao prof. Doherty An-drade pelas in´umeras sugest˜oes.
Referˆencias
1. PAIVA, Manoel. Matem´atica. S˜ao Paulo: Moderna, 2005.
