TERMODINÂMICA E ESTRUTURA DA MATÉRIA
COLECÇÃO DE PROBLEMAS
PARTE - III
TRANSFORMAÇÕES TERMODINÂMICAS
ENTROPIA E SEGUNDO PRINCÍPIO DA
TERMODINÂMICA
1- Considere uma arca frigorífica vertical com uma capacidade de 120L, dos
quais 100L são ocupados por ar (gás diatómico ideal). A porta da arca tem 1m de altura e 0,5m de largura, podendo-se considerar hermética. Suponha que quando se fecha a porta o ar interior está a uma temperatura uniforme de –23oC e ainda à pressão atmosférica. Posteriormente, o ar interior arrefece até à temperatura de –28oC, ficando o sistema em equilíbrio.
a) Calcule o número de moles, n, de ar dentro da arca.
b) Calcule, justificando, os calores específicos molares do ar a volume e a pressão constantes. Obtenha o coeficiente adiabático do ar (γ).
c) Calcule o calor trocado pelo ar, após se ter fechado a porta e o equilíbrio ter sido atingido.
d) Calcule a força necessária para reabrir a porta.
e) Considere que no acto de abrir a porta, devido à dilatação da junta da arca, o volume do ar aumenta 10L antes que a porta se abra e a pressão atmosférica seja restabelecida. Nestas condições, admitindo que a transformação é adiabática reversível, calcule a pressão e a temperatura do ar imediatamente antes de a porta se abrir.
2- Calcule o acréscimo de entropia ocasionado pela vaporização de 1cm3 de água, à temperatura de 100oC.
3- Considere 100g de gelo à temperatura T0 = 0oC, em contacto com o ar
ambiente à temperatura Tamb. Deixa-se fundir o gelo até se obter água
líquida a 0oC.
a) Calcule a variação da entropia do gelo, do ambiente e do conjunto (gelo + ambiente = Universo), supondo Tamb=30oC (Verão em Lisboa).
b) Indique como se alterariam os resultados anteriores se fosse Tamb=0oC
(Inverno em Paris).
4- Um cubo de gelo de massa 1g é colocado dentro de uma caixa hermética e
termicamente isolada onde existem 2 moles de ar (gás diatómico ideal). Inicialmente o gelo encontra-se a 0oC e o ar encontra-se a 10oC à pressão atmosférica normal, patm.
a) Calcule, com base no Princípio da Equipartição da Energia, os calores específicos molares a volume e pressão constantes, CV (ar) e Cp (ar), para
o ar dentro da caixa.
b) Admita que o gelo no interior da caixa funde a uma temperatura constante de 0oC.
Calcule a variação de energia interna ∆Uar e a temperatura final Tf (ar) do
ar dentro da caixa, após este processo de fusão do gelo.
c) Calcule a temperatura final de equilíbrio do sistema, Teq, após a fusão do
gelo.
[Admita que os volumes da água nos estados sólido e líquido são idênticos.]
d) Calcule a variação da entropia do gelo durante o seu processo de fusão (a 0oC).
e) Explique detalhadamente porque razão pôde usar no cálculo da alínea anterior uma expressão que corresponde a um processo reversível, se a fusão do gelo é um processo irreversível.
f) Ao admitir-se que o gelo funde a uma temperatura constante de 0 0C, está-se implicitamente a supor que a pressão do ar no interior da
caixa não varia significativamente durante este processo de fusão.
5- Numa oficina de metalomecânica aqueceu-se um bloco de cobre com
volume Vcobre = 1L até à sua temperatura de fusão, Tcobre = 1083oC. Para se
arrefecer o bloco de cobre, ele é introduzido num recipiente aberto (de paredes indeformáveis e termicamente isoladas) contendo um volume Vágua
de água fria, à temperatura Tágua = 20oC.
Admita que, ao mergulhar-se o bloco de cobre na água, se verifica:
A- o aquecimento e vaporização imediata dum volume VA de água (que
abandona o recipiente), com a consequente redução da temperatura do bloco até TA , cobre = 100oC;
B- o aquecimento do restante volume de água, entre a temperatura inicial
Tágua e uma temperatura final de equilíbrio Teq.
Despreze as variações de volume do bloco de cobre e o aquecimento do ar ambiente.
a) Calcule, com base no Princípio da Equipartição da Energia, o calor específico mássico a volume constante do bloco de cobre, CV (cobre).
b) Calcule o calor transferido do bloco de cobre para a água QA, durante a
transformação A.
c) Calcule o volume VA de vapor de água, produzido durante a
transformação A.
d) Calcule a variação de entropia do bloco de cobre durante a transformação A.
e) Suponha que o volume total de água é Vágua = 5L .Obtenha o valor da
temperatura de equilíbrio Teq, após a transformação B.
6- Considere uma mole de hélio à pressão pi = 1bar e temperatura Ti = 300K,
em equilíbrio no interior dum cilindro não isolado cujo pistão livre, de secção 10cm2, tem massa desprezável. Coloca-se uma massa M = 20kg sobre o pistão, a qual é responsável por uma compressão isotérmica do gás até uma nova situação de equilíbrio. Admita que o hélio é um gás perfeito.
a) Calcule o valor da pressão final de equilíbrio do gás, pf.
b) Calcule o trabalho e o calor recebidos pelo gás no processo de compressão.
c) Obtenha a variação de entropia do Universo nesta transformação. Indique se a transformação é reversível ou irreversível.
7- Considere hélio (He) à pressão pi = 6x105Pa e temperatura Ti = 3000K, em
equilíbrio no interior dum êmbolo de paredes isoladas indeformáveis, com volume inicial Vi = 40L. Liberta-se o pistão do êmbolo, permitindo que o gás
se expanda de forma adiabática até uma temperatura Tf = 2000K. Admita
que o hélio é um gás perfeito.
a) Calcule o número de moles de hélio no interior do êmbolo.
b) Calcule a variação de energia interna ∆U e o trabalho Wgas realizado
pelo gás na expansão.
c) Admita que a expansão se realiza de forma reversível.
c1) Calcule o volume final Vf ocupado pelo gás.
c2) Calcule a pressão final pf do gás.
d) Admita que a expansão se realiza de forma irreversível, contra a pressão atmosférica exterior.
d1) Calcule o volume final Vfirr ocupado pelo gás.
d2) Calcule a variação da entropia do Universo (sistema + exterior) nesta transformação.
8- Considere uma mole de N2 que se encontra dentro de um recipiente
isolado, confinado ao volume A tal como é mostrado na figura. Os compartimentos A e B estão separados por uma divisória móvel, de massa
m e espessura desprezável, que está a uma altura h relativamente à base
do recipiente. Em B existe vácuo.
Considere o azoto como um gás ideal. Sejam ainda: VA= 1m3; VB = VA; TA =
200K; m = 2,5kg; h = 8,3m.
Num primeiro processo de transformação a divisória é removida horizontalmente. Para este caso:
a) Calcule a temperatura final e a pressão final do sistema.
b) Calcule o calor que seria necessário fornecer ao sistema, após a expansão, para repor a pressão inicial.
c) Indique se o resultado da alínea a) se manteria, caso o azoto fosse tratado como um gás real.
Num segundo processo de transformação solta-se a divisória por forma a que ela suba até ficar encostada à parte superior do recipiente. Considera-se que toda a energia cinética da divisória é transformada em energia interna após a barra encostar na parte superior do recipiente. Para este caso:
d) Calcule a temperatura final e a pressão final do sistema.
e) Calcule o calor que seria necessário fornecer ao sistema após a expansão para repor a pressão inicial. Compare com o valor da alínea b) e comente.
f) Calcule a variação de entropia do Sistema e do Universo durante os dois processos de expansão anteriormente descritos (sem se fornecer calor). Comente a diferença entre os valores calculados.
9- Considere um gás ideal monoatómico, de calor específico molar CV = 3R/2,
o qual se encontra no interior de um êmbolo cilíndrico vertical cujo pistão, de área A = 20cm2, possui uma massa desprezável. Inicialmente o gás encontra-se à temperatura T0 = 300K, em equilíbrio com a pressão
atmosférica exterior p0 =1atm e ocupando um volume V0 =1L.
a) Numa primeira fase, coloca-se uma massa M = 10kg sobre o pistão, provocando-se a compressão isotérmica do gás.
a1) Calcule a pressão pi de equilíbrio após a compressão.
a2) Calcule o volume Vi de equilíbrio após a compressão.
a3) Calcule o trabalho W realizado sobre o gás e o calor Q trocado com o exterior, durante a compressão.
b) Numa segunda fase, retira-se a massa M e o gás expande-se, também isotermicamente, até atingir uma situação final de equilíbrio.
b1) Calcule a pressão e o volume de equilíbrio após a expansão, respectivamente pf e Vf.
b2) Calcule o trabalho W' realizado sobre o gás e o calor Q' trocado com o exterior, durante a expansão.
c) Considere, finalmente, a transformação combinada de compressão e
expansão isotérmicas, entre o equilíbrio inicial (T0, p0, V0) e o equilíbrio
final (T0, pf, Vf).
Para essa transformação, calcule as variações de entropia do gás e do exterior e conclua, justificando, quanto à sua reversibilidade ou irreversibilidade.
10- Considere um gás ideal, de calor específico molar CV = 3R/2, o qual se
encontra no interior de um êmbolo cilíndrico cujo pistão tem massa desprezável. Inicialmente o gás encontra-se à temperatura T0 = 300K, em
equilíbrio à pressão p0 = patm, e ocupando um volume V0 = 1dm3. O pistão
está sujeito à pressão atmosférica exterior patm = 1atm.
Realizam-se as seguintes transformações sucessivas sobre o gás.
• Coloca-se o sistema em contacto com uma fonte térmica de temperatura T1 = 400K, o que provoca a expansão isobárica do gás
até um volume V1.
• Substitui-se a fonte térmica anterior por uma outra de temperatura
a) Calcule a variação de energia interna do gás, devida ao seu processo de expansão.
b) Calcule o trabalho realizado pelo gás durante o seu processo de expansão.
c) Calcule, para a transformação global de expansão e compressão, a variação de energia interna do gás, o trabalho total realizado sobre o gás e o calor total fornecido ao gás.
d) Indique, justificando detalhadamente, se a transformação global (expansão seguida de compressão) é ou não reversível.
11- O ar no interior dum pneu encontra-se à
pressão pi = 3,5atm e à temperatura Ti =
300K. Admita que o ar se comporta como um gás perfeito diatómico.
a) Calcule a densidade do ar (em partículas m-3) no interior do pneu, e os seus calores específicos molares a pressão e a volume constantes.
b) Esvazia-se o pneu, abrindo totalmente a sua válvula. Admita que o ar realiza uma expansão rápida (adiabática) entre os volumes Vi(pi, Ti) e Vf(patm, Tf).
(NOTA: patm = 1 atm é a pressão atmosférica).
b1) Suponha que a expansão realizada pelo ar do pneu era reversível. Calcule a nova temperatura final do ar, Tfrev, após a expansão.
b2) Suponha agora que o ar do pneu se expande de forma irreversível, contra a pressão atmosférica exterior (o que é bem mais realista). Admita que, nestas condições, o ar do pneu realiza um trabalho sobre o exterior dado por W = patm (Vf - Vi).
Calcule a nova temperatura final do ar, Tfirrev, após a expansão. Será
esta forma de esvaziar o pneu saudável para a vida da válvula? Compare o resultado obtido com o da alínea anterior e interprete.
12- Considere dois sólidos, de capacidades caloríficas c1 e c2 e temperaturas T1 e T2, respectivamente. Colocam-se estes sólidos em contacto, no interior
de um reservatório de paredes adiabáticas onde se fez vácuo, até que atinjam o equilíbrio térmico à temperatura Tf. Admita c1 e c2 independentes
da temperatura e suponha que se podem desprezar as variações de volume dos sólidos.
a) Obtenha a expressão de Tf em função de T1 e T2.
b) Obtenha a expressão da variação de entropia, ∆S, do sistema dos dois sólidos.
c) Mostre que ∆S = ∆SUniverso > 0.
[Sugestão: escreva ∆S como a soma de duas funções de x ≡T/T1, e
analise-as graficamente.]
13- Considere dois gases perfeitos diatómicos DIFERENTES, que ocupam os
dois compartimentos (A e B) de um recipiente com paredes rígidas e adiabáticas. Os compartimentos (de volumes VA e VB) encontram-se
termicamente isolados através de uma divisória fixa. No compartimento A existem nA moles de gás em equilíbrio à temperatura TA, e no
compartimento B existem nB moles de gás em equilíbrio à temperatura TB.
Retira-se a divisória entre A e B, permitindo-se a mistura dos dois gases.
a) Obtenha as expressões da temperatura e da pressão de equilíbrio da mistura.
b) Escreva a expressão da variação de entropia do sistema dos dois gases.
14- Considere o chamado modelo adiabático da atmosfera, o qual admite que o
ar se comporta como um gás perfeito de massa M = 29g mol-1, em "equilíbrio adiabático" (reversível). O modelo supõe ainda que a aceleração da gravidade (g = 9,8ms-2) e o coeficiente adiabático do ar (γ = 1,4) não variam com a altitude z.
a) Escreva a condição de "equilíbrio adiabático", em função da pressão p do gás e da sua massa volúmica ρ.
b) Obtenha, em função de p, ρ e g, a equação diferencial que traduz o equilíbrio mecânico duma secção S horizontal de ar, à altitude z.
c) Obtenha a expressão da variação da pressão com a altitude. Calcule p para z = 1km, sabendo que p0 = 1atm e T0 = 300K à altitude z = 0.
15- O método de Clément e Desormes, para determinar o coeficiente adiabático γ do ar, utiliza a montagem experimental representada na figura.
O recipiente de volume V (grandes dimensões) encontra-se ligado a um manómetro de mercúrio e a uma válvula. No interior desse recipiente existe ar, à pressão p e temperatura T, sobre o qual se efectuam as seguintes transformações:
0) Com a válvula aberta p=patm, T=Tamb e h=0.
(patm é a pressão atmosférica e Tamb a temperatura ambiente).
1) Liga-se uma pequena bomba à válvula, a fim de comprimir
isotermicamente o ar do recipiente, até uma pressão de equilíbrio p=
patm + ρHggh (estado A).
2) Abre-se a válvula, deixando o ar expandir-se adiabaticamente até regressar à pressão p=patm (estado B).
3) Fecha-se a válvula e deixa-se que o ar recupere a sua temperatura inicial, T=Tamb, correspondente a uma nova pressão de equilíbrio p= patm
+ ρHggh' (estado C).
Admita que as transformações sofridas pelo ar são reversíveis.
a) Represente num diagrama (p,V) e num diagrama (T,S) as transformações (AB e BC) sofridas pelo ar.
b) Deduza a expressão de γ em função de h e h', medidos no manómetro. (Suponha ρHggh, ρHggh' « patm).
16- (e-Lab) O método de Rüchardt e Rinkel para determinar o coeficiente adiabático γ do ar, utiliza a montagem experimental representada na figura abaixo.
O recipiente de volume V0 (grandes dimensões) encontra-se cheio de ar à
pressão p, estando ligado a um tubo de vidro de secção S, no interior do qual existe uma esfera metálica de massa m. O diâmetro da esfera é praticamente igual ao diâmetro do tubo, pelo que se pode considerá-la como um pistão estanque. Se desprezarmos a presença de atritos, verifica-se que a esfera verifica-se encontra submetida à aceleração da gravidade g, e à diferença de pressões p−p0 (p0 representa a pressão atmosférica).
Deixando cair a esfera de uma determinada altura dentro do tubo, observa-se que esta realiza um movimento oscilatório vertical em torno de uma posição de equilíbrio. Se os movimentos da esfera forem suficientemente rápidos, pode admitir-se que as transformações (supostas reversíveis) sofridas pelo ar no interior do recipiente são adiabáticas.
p
g
V
0, p
z
a) Obtenha a equação diferencial do movimento da esfera em função de p−p0.
b) Exprima a diferença de pressões p−p0 em função das variações de
volume ∆V do ar, em consequência do movimento oscilatório da esfera. Admita que p−p0 << p0 e ∆V << V0.
c) Utilize os resultados anteriores para mostrar que o período do movimento oscilatório da esfera é dado pela expressão
(
2)
1/2 0 0/
2
π
γ
=
mV
p
S
T
.[Recorde a equação diferencial que descreve um movimento oscilatório sem atrito:
x
&&
+
(
2
π
/
T
)
2x
=
0
.]DADOS E CONSTANTES 1 atm = 1,013 x 105 Pa 1 cal = 4,186 J R = 8,314 J K-1 mol-1 g = 9,8 ms-2 ρcobre = 8,9 kg L-1 Mcobre = 63,54 g mol-1 ρágua = 1 kg L-1 Cm,p (água) = 1 cal g-1oC-1 λfusão (gelo) = 80 cal g-1
Soluções de questões seleccionadas 1- a) n = 4,9 mol b) CV = 20,8 J K-1 mol-1 Cp = 29,1 J K-1 mol-1 γ = 1,4 c) Q = − 509,6 J d) F = 1013 N e) p = 0,886x105 Pa T = 239 K 2- 1,447 cal oC-1 3- a) ∆Sgelo = 122,7 J K-1 ∆Samb = − 110,5 J K-1 ∆Suniverso = 12,2 J K-1 b) ∆Suniverso = 0 J K-1 4- b) ∆Uar = − 333,7 J Tf (ar) = 1,98 oC c) Teq = 1,8 oC d) ∆Sgelo = 1,22 J K-1
f) ∆p / patm = − 2,8% << 1 ⇒ Aproximação válida
5- a) Cm,V(cobre) = 0,39 J K-1 g-1 b) QA = 3,412 MJ c) VA = 1,32 L e) ∆SA, cobre = − 4,48 kJ K-1 f) Teq = 34,7 oC (Vágua = 5 L) Teq → Tágua = 20 oC (Vágua >> 1 L)
7- a) n = 0,96 mol b) ∆U = − Wgás = − 12 kJ c) c1) Vf = 73,5 L c2) pf = 2,2x105 Pa d) d1) Vfirr = 158,5 L d2) ∆SUniverso = 6,1 J K-1 8- a) TA’ = TA = 200 K pA’ = 831 Pa b) Q = 4155 J d) TA’’ = 190,2 K pA’’ = 790 Pa e) Q = 4358 J f) ∆S(1) = 5,76 J K-1 ; ∆S(2) = 4,72 J K-1 9- a) a1) pi = 1,5 atm a2) Vi = 0,67 L a3) W = − Q = 49,6 J b) b1) pf = p0 = 1 atm ; Vf = V0 = 1 L b2) W’ = − Q’ = − 33,4 J c) ∆SUniverso = ∆Sex = 0,054 J K-1 10- a) ∆Uexp = 50,65 J b) Wgás,exp = 33,77 J
c) ∆U = 0 J ; W = 0 J ; Q = 0 J (Qexp = − Qcomp > 0)
11-
a) N/V = 8,6x1025 m-3
b) b1) Tfrev = 210 K → − 63 oC
12- a) 2 1 2 2 1 1 f
