ApostiladeEletrônicaDigital-SENAIUberaba

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(1)SENAI - UBERABA. APOSTILA DE ELETRONICA DIGITAL. 2008.

(2) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA. ELETRÔNICA DIGITAL. Objetivo: Descrever os princípios básicos de sistemas digitais e aplicar as técnicas de projeto lógico no desenvolvimento de subsistemas correspondentes.. Ementa: Álgebra das variáveis lógicas; funções lógicas; circuitos combinacionais; flip-flop, registradores e contadores; circuitos aritméticos; memória; circuitos seqüenciais. Ementa referente à disciplina de eletrônica digital I.. Essa Apostila foi desenvolvida para atender à disciplina de eletrônica digital I, do curso técnico em eletrônica do SENAI-CFP FR. Autor: Wesley Amâncio de Melo Referencias bibliográficas: Elementos de eletrônica digital - Francisco Gabriel Capuano;Apostila da UFU, Eletrônica digital Princípios e Aplicações – A. P. Malvino e Leach; Eletrônica Digital - Teoria e Laboratório - Prof. Dr. Paulo Alves Garcia e Prof. Dr. José Sidnei Colombo Martini. 2.

(3) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA ÍNDICE:. ELETRÔNICA DIGITAL .................................................................................................................................................2 Objetivo:....................................................................................................................................................................2 Ementa:......................................................................................................................................................................2 ÍNDICE:..............................................................................................................................................................................3 CAPÍTULO I .....................................................................................................................................................................4 Sistemas de Numeração .................................................................................................................................................4 1.1 Introdução...........................................................................................................................................................4 1.2 O Sistema de Numeração Binário.......................................................................................................................5 1.3 O Sistema de Numeração Octal..........................................................................................................................6 1.4 O Sistema de Numeração Hexadecimal..............................................................................................................7 1.5 Números Fracionários.........................................................................................................................................8 1.6 Operações Aritméticas no Sistema Binário ........................................................................................................9 1.7 Exercícios do capítulo I ....................................................................................................................................10 CAPÍTULO II ..................................................................................................................................................................14 Funções e Portas Lógicas .............................................................................................................................................14 2.1 Introdução.........................................................................................................................................................14 2.2 Função E ou AND ............................................................................................................................................14 2.3 Função OU ou OR ............................................................................................................................................15 2.4 Função NÃO ou NOT.......................................................................................................................................15 2.5 Função NÃO E, NE ou NAND.........................................................................................................................16 2.6 Função NÃO OU, NOU ou NOR .....................................................................................................................17 2.7 Função OU EXCLUSIVO ................................................................................................................................18 2.8 Função COINCIDÊNCIA ou NÃO OU EXCLUSIVO..................................................................................19 2.9 Expressões Booleanas Obtidas de Circuitos Lógicos .......................................................................................21 2.10 Circuitos Lógicos Obtidas de Expressões Booleanas .....................................................................................22 2.11 Tabelas da Verdade Obtidas de Expressões Booleanas ..................................................................................22 2.12 Expressões Booleanas Obtidas de Tabelas da Verdade ..................................................................................23 2.13 Equivalência Entre Blocos Lógicos................................................................................................................24 2.14 Exercícios do Capítulo II ................................................................................................................................25 CAPÍTULO III.................................................................................................................................................................30 Álgebra de Boole e Simplificação de Circuitos Lógicos..............................................................................................30 3.1 Introdução.........................................................................................................................................................30 3.2 Postulados.........................................................................................................................................................30 3.3 Propriedades .....................................................................................................................................................31 3.4 Teoremas de Morgan ........................................................................................................................................31 3.5 Identidades Auxiliares ......................................................................................................................................32 3.6 Quadro Resumo ................................................................................................................................................32 3.7 Simplificação de Expressões Booleanas...........................................................................................................32 3.8 Simplificação de Expressões Booleanas Através dos Mapas de Karnaugh ......................................................32 3.9 Exercícios do Capítulo III.................................................................................................................................45 4.1 Exemplo de Circuito com 2 Variáveis...............................................................................................................50 4.2 Exemplo de Circuito com 3 Variáveis...............................................................................................................51 4.3 Exemplo de Circuito com 4 Variáveis...............................................................................................................53 4.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................................55 CAPÍTULO V...................................................................................................................................................................57 Circuitos Combinacionais - Parte II .............................................................................................................................57 5.1 Códigos..............................................................................................................................................................57 5.2 Codificadores e Decodificadores.......................................................................................................................59 5.3 Circuitos aritméticos..........................................................................................................................................69 5.4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS ............................................................................................................................79 CAPÍTULO VI..................................................................................................................................................................81 Flip-Flop, Registradores e Contadores .........................................................................................................................81 6.1 Flip-Flop ............................................................................................................................................................81 6.2 Registradores de Deslocamento – Shift Register...............................................................................................88 6.3 Contadores.........................................................................................................................................................93 6.3.2 Contadores Síncronos ...................................................................................................................................100. 3.

(4) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA. CAPÍTULO I. Sistemas de Numeração 1.1 Introdução. O decimal é o mais importante dos sistemas numéricos. Ele está fundamentado em certas regras que são a base de formação para qualquer outro sistema. Além do sistema decimal, que apresenta 10 algarismos distintos de 0 a 9, existe o binário, o octal e o hexadecimal. O sistema binário e o hexadecimal são muito importantes nas áreas de técnicas digitais e informática. O sistema binário, por sua vez, apresenta somente 2 algarismos (0 e 1), com os quais é possível representar qualquer quantidade, até mesmo números fracionários. No sistema octal existem 8 algarismos que vão de 0 a 7. Para representar o sistema hexadecimal são utilizados 10 algarismos e as 6 primeiras letras do alfabeto e, desta forma, temse: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Observando a formação dos infinitos números do sistema decimal é possível aprender as regras de formação dos demais sistemas numéricos. Para conceber a formação do sistema decimal basta observar o hodômetro (marcador de quilômetro) de um automóvel. Quando a “rodinha” das unidades comuta de 9 para 0, um pino nessa rodinha força a rodinha das dezenas a avançar de 1. Assim ocorre sucessivamente formando todos os algarismos. O mesmo se observa nos demais sistemas. No binário, por exemplo, quando a rodinha da unidade alcança 1 e posteriormente comuta para zero, a rodinha da dezena avança para 1. Pode-se notar que a quantidade de dígitos necessário para representar um número qualquer, no sistema binário, é muito maior quando comparado ao sistema decimal. A tabela 1.1 mostra a formação dos algarismos dentro de cada sistema numérico.. Tabela 1.1 – Diferentes sistemas de numeração. Decimal 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020. Binário 00000 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111 01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111 10000 10001 10010 10011 10100. Octal 000 001 002 003 004 005 006 007 010 011 012 013 014 015 016 017 020 021 022 023 024. Hexadecimal 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 00A 00B 00C 00D 00E 00F 010 011 012 013 014. 4.

(5) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA. Por outro lado, o número decimal 975 pode ser representado da seguinte forma: 975 = 900 + 70 + 5 = 9 x 102 + 7 x 101 + 5 x 100 Neste exemplo, nota-se que o algarismo menos significativo (5) multiplica a unidade (1 ou 100), o segundo algarismo (7) multiplica a dezena (10 ou 101) e o mais significativo (9) multiplica a centena (100 ou 102). A soma dos resultados irá representar o número. Pode-se afirmar que, de maneira geral, a regra básica de formação de um número consiste no somatório de cada algarismo correspondente multiplicado pela base (no exemplo o número 10) elevada por um índice conforme o posicionamento do algarismo no número. Assim, um sistema de numeração genérico pode ser expresso da seguinte forma: N = dn x Bn + . . . + d3 x B3 + d2 x B2 + d1 x B1 + d0 x B0 Onde: N é a representação do número na base B; dn é o dígito na posição n; B é a base do sistema utilizado e n é o peso posicional do dígito.. 1.2 O Sistema de Numeração Binário. Como visto anteriormente, o sistema binário utiliza dois dígitos, ou seja, possui base 2. De acordo com a definição de um sistema de numeração genérico, o número binário 1101 pode ser representado da seguinte forma: 11012 = 1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 11012 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310. (conversão binária => decimal). Nota-se que o número 1101 na base 2 é equivalente ao número 13 na base 10, ou seja, 11012 = 1310. Esta regra possibilita a conversão do sistema binário em decimal. A vantagem do sistema binário reside no fato de que, possuindo apenas dois dígitos, estes são facilmente representados por uma chave aberta e uma chave fechada ou, um relé ativado e um relé desativado, ou, um transistor saturado e um transistor cortado; o que torna simples a implementação de sistemas digitais mecânicos, eletromecânicos ou eletrônicos. Em sistemas eletrônicos, o dígito binário (0 ou 1) é chamado de BIT, enquanto que um conjunto de 4 bits é denominado NIBBLE. O BYTE, termo bastante utilizado principalmente na área de informática, é constituído de 8 bits.. 1.2.1 Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Binário Para se converter um número decimal em binário, aplica-se o método das divisões sucessivas. Este método consiste em efetuar sucessivas divisões pela base a ser convertida até o último quociente possível. O número transformado será composto por este último quociente (algarismo mais significativo) e, todos os restos na ordem inversa às divisões.. 5.

(6) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA Neste caso, será efetuado sucessivas divisões pelo algarismo 2, base do sistema binário, como mostra o exemplo a seguir para o número decimal 47.. 1º resto 2º resto 3º resto 4º resto 5º resto. 47 2 1 23 2 1 11 2 1 5 2 1 2 2 0 1. Último quociente. O último quociente será o algarismo mais significativo e ficará colocado à esquerda. Os outros algarismos seguem-se na ordem até o 1º resto:. 1. 0. 1. 1. 1. 1. Último Quociente. 5º resto. 4º resto. 3º resto. 2º resto. 1º resto. Como mostra o exemplo, 4710 = 1011112. Na prática, o bit menos significativo de um número binário recebe a notação de LSB (“Least Significant Bit) e o mais significativo de MSB (“Most Significant Bit”).. 1.3 O Sistema de Numeração Octal. O sistema octal de numeração é um sistema de base 8. Este sistema é pouco utilizado no campo da Eletrônica Digital, tratando-se apenas de um sistema numérico intermediário dos sistemas binário e hexadecimal. Da mesma forma, seguindo a definição de um sistema de numeração genérico, o número octal 22 pode ser representado da seguinte forma: 228 = 2 x 81 + 2 x 80 228 = 16 + 2 = 1810. (conversão octal => decimal). Observa-se que o número 22 na base 8 equivale ao número 18 no sistema decimal, ou seja, 228 = 1810. Esta regra possibilita a conversão octal em decimal.. 1.3.1 Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Octal Utiliza-se, neste caso, o método das divisões sucessivas, lembrando que agora é realizada a divisão por 8, pois 8 é a base do sistema octal. Para exemplificar, será realizada a conversão do número 9210 para o sistema octal:. 1º resto 2º resto. 92 8 4 11 8 3. 1. Último quociente. Assim, seguindo a mesma regra de formação, 9210 = 1348.. 1.3.2 Conversão do Sistema Octal para o Sistema Binário Existe uma regra prática extremamente simples, que consiste em transformar cada algarismo diretamente no seu correspondente em binário, respeitando-se o número de bits do sistema, sendo para o octal igual a três (23 = 8 = base do sistema octal).. 6.

(7) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA Para ilustrar, será realizada a conversão do número octal 531 em binário.. 5. 3. 1. 101. 011. 001. Assim, pode-se afirmar que o número 5348 é equivalente a 1010110012.. 1.3.3 Conversão do Sistema Binário para o Sistema Octal Para realizar esta conversão, basta aplicar o processo inverso ao utilizado na conversão de octal para binário. Para exemplificar, tem-se: 1001001101111012. Primeiramente, deve-se separar o número em agrupamentos de 3 bits (23 = 8 = base do sistema octal) e assim, pode-se realizar a conversão de cada grupo de bits diretamente para o sistema octal.. 100. 100. 110. 111. 101. 4. 4. 6. 7. 5. Desta forma, o número 1001001101111012 = 446758.. 1.4 O Sistema de Numeração Hexadecimal. O sistema hexadecimal, ou sistema de base 16, é largamente utilizado na área dos microprocessadores e também no mapeamento de memórias em sistemas digitais. Trata-se de um sistema numérico muito importante, aplicado em projetos de software e hardware. Os algarismos deste sistema são enumerados da seguinte forma: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Nota-se que a letra A representa o algarismo A, que por sua vez representa a quantidade dez. O mesmo ocorre para a letra B, que representa o algarismo B e a quantidade onze, sucedendo assim até o algarismo F, que representa a quantidade quinze. A conversão do sistema hexadecimal para o sistema decimal pode ser realizada aplicando a definição do sistema de numeração genérico na base 16. Assim, tem-se: N = dn x 16n + . . . + d2 x 162 + d1 x 161 + d0 x 160 Para ilustrar, observa-se o exemplo para o número hexadecimal 13. 1316 = 1 x 161 + 3 x 160 1316 = 16 + 3 = 1910. (conversão hexadecimal => decimal). Ou seja, 13 na base 16 é equivalente a 19 na base 10. 1316 = 1910.. 1.4.1 Conversão do Sistema Decimal para o Sistema Hexadecimal Novamente a conversão se faz através de divisões sucessivas pela base do sistema a ser convertido, que no caso é igual a 16. Para exemplificar, o número 1101 na base 10 será convertido para o sistema hexadecimal.. 1º resto 2º resto. 1101 16 13 68 16 4. 4. Último quociente. Sendo 1310 = D16, tem-se que 110110 = 44D16.. 1.4.2 Conversão do Sistema Hexadecimal para o Sistema Binário. 7.

(8) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA É análoga à conversão do sistema octal para binário, somente que, neste caso, necessita-se de 4 bits para representar cada algarismo hexadecimal (24 = 16). Como exemplo, pode-se converter o número C1316 para o sistema binário. C16 = 1210 = 11002 116 = 110 = 12 - como existe a necessidade de representá-lo com 4 bits = 0001 316 = 310 = 112 = 00112 Desta forma, tem-se: C1316 = 1100000100112.. C. 1. 3. 1100. 0001. 0011. 1.4.3 Conversão do Sistema Binário para o Sistema Hexadecimal É análoga a conversão do sistema binário para o octal, somente que neste caso são agrupados de 4 em 4 bits da direita para a esquerda. A título de exemplo, será feita a conversão do número binário 1001101111100112 para hexadecimal.. 0100. 1101. 1111. 0011. 4. D. F. 3. Desta forma, pode-se afirmar que 1001101111100112 = 4DF316.. 1.5 Números Fracionários Discutiram-se, até o momento, as diversas formas de conversão de números inteiros, pertencentes a um dado sistema, em outro. Neste tópico, serão mostrados os procedimentos para converter números fracionários.. 1.5.1 Conversão de Números Binários Fracionários em Decimais O método de conversão é obtido observando-se a regra básica de formação de um número fracionário no sistema decimal. Para exemplificar, tem-se o número 10,510. 10,510 = 1 x 101 + 0 x 100 + 5 x 10-1 Desta forma, para converter o número binário fracionário 101,101 para o sistema decimal, adota-se o mesmo procedimento. 101,1012 = 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 + 1 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3. 1 1 1 101,1012 = 1x4 + 0x2 + 1x1 + 1x + 0x + 1x 2 4 8 101,1012 = 4 + 1 + 0,5 + 0,125 = 5,62510. 1.5.2 Conversão de Números Decimais Fracionários em Binários O processo consiste em separar o número decimal na parte inteira e na fracionária. O método das divisões sucessivas é aplicado a parte inteira, conforme estudado anteriormente. Para a parte fracionária aplica-se o método das multiplicações sucessivas até que se atinja zero. Para exemplificar, será convertido o número decimal 88,375 em binário. 88,375 = 8 + 0,375. 8.

(9) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA. •. Parte inteira:. 8 2 0 4 2 0 2 2. LSB. 0 1 •. 810 = 10002. MSB. Parte Fracionária:. Parte fracionária Base do sistema. 0,375 x2 0 ,750. 0,750 x2 1 ,500. 0,500 x2 1 ,000 o. o. o. 3 algarismo. 2 algarismo. 1 algarismo. O processo para, pois a parte fracionária é nula. Pode-se observar que é utilizado somente a parte fracionária dos números em todas as multiplicações. Os algarismos inteiros, resultantes das multiplicações, irão compor o número binário. Estes números são tomados na ordem da multiplicação. Assim: 0,37510 = 0,0112 Para completar a conversão basta efetuar a composição da parte inteira com a fracionária: 8,37510 = 1000,0112 Observação Importante: existem casos em que o método das multiplicações sucessivas encontra novamente os números já multiplicados e o processo entra em um “loop” infinito. Isto equivale a uma dízima periódica. Como exemplo, tem-se: 0,810 = (0,1100 1100 1100....)2. 1.6 Operações Aritméticas no Sistema Binário. Nas áreas de Eletrônica Digital e dos Microprocessadores, o estudo das operações aritméticas no sistema binário é muito importante, pois estas serão utilizadas em circuitos aritméticos, que serão estudados posteriormente.. 1.6.1 Adição no Sistema Binário A adição no sistema binário é efetuada de maneira idêntica ao sistema decimal. Desta forma, tem-se:. 0 +0 0. 0 +1 1. 1 +0 1. 1 +1 10. 10 +1 11. 11 +1 100. Observa-se, entretanto, a existência de uma pequena regra: 1+1=0 e transporta 1 para a próxima coluna. Para exemplificar serão realizadas as seguintes adições:. 1 11 +10 101. Transporte. 11 110 +111 1101. Transporte. Nota-se, então que a adição é realizada coluna a coluna, considerando sempre o transporte proveniente da coluna anterior.. 9.

(10) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA Para verificar a soma basta converter os números para o sistema decimal.. 112+102 = 1012 equivalente a 310+210 = 510 1102+1112 = 11012 equivalente a 610+710 = 1310. 1.6.2 Subtração no Sistema Binário O método de subtração é análogo a uma subtração no sistema decimal. Assim, tem-se:. 0 -0 0. 0 -1 1. 1 -0 1. 1 -1 0. Para o caso 0-1, o resultado será igual a 1, porém haverá um transporte para a coluna seguinte que deve ser acumulado no subtraendo e, obviamente, subtraído do minuendo. Para exemplificar, tem-se:. 111 - 100 011. 1011 1 - 101 0110. Transporte. 1.6.3 Multiplicação no Sistema Binário Ocorre exatamente como uma multiplicação no sistema decimal. Assim sendo, tem-se: 0x0=0 0x1=0 1x0=0 1x1=1 Para exemplificar, efetua-se a multiplicação entre os números 110102 e 1012.. 11010 x 101 11010 00000+ 11010++ 10000010 1.7 Exercícios do capítulo I. Os exercícios propostos visam treinar o estudante de Eletrônica Digital de forma bastante completa. É interessante que estes exercícios sejam feitos após uma leitura do capítulo I. O objetivo não é uma lista de exercícios valendo nota e sim, valorizar o aprendizado. A maioria das calculadoras científicas realizam todas as operações estudadas neste capítulo. Seria interessante o aluno aprender a manipular sua calculadora.. 1.7.1 Converta para o sistema decimal a) 1001102 = b) 0111102 = c) 1110112 = d) 10100002 =. 10.

(11) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA e) 110001012 = f) 0110011001101012 = g) 148 = h) 678 = i) 1538 = j) 15448 = k) 20638 = l) 47916 = m) 4AB16 = n) BDE16 = o) F0CA16 = p) 2D3F16 =. 1.7.2 Converta para o sistema binário a) 7810 = b) 10210 = c) 21510 = d) 40410 = e) 80810 = f) 1638310 = g) 4778 = h) 15238 = i) 47648 = j) 67408 = k) 100218 = l) 8416 = m) 7F16 = n) 3B8C16 = o) 47FD16 = p) F1CD16 =. 1.7.3 Converta para o sistema octal a) 10710 = b) 18510 = c) 204810 = d) 409710 = e) 566610 = f) 10112 = g) 100111002 = h) 1101011102 = i) 10000000012 =. 11.

(12) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA j) 11010001012 = k) 1D216 = l) 8CF16 =. 1.7.4 Converta para o sistema hexadecimal a) 100112 = b) 11100111002 = c) 100110010011 = d) 111110111100102 = e) 10000000001000102 = f) 48610 = g) 200010 = h) 409610 = i) 555510 = j) 3547910 = k) 71008 = l) 54638 =. 1.7.5 Quantos bits são necessários para representar cada um dos números decimais abaixo: a) 51210 = b) 1210 = c) 210 = d) 3310 = e) 1710 = f) 710 =. 1.7.6 Porque o número 14875 não pode ser octal? Quais as bases ele poderia pertencer? 1.7.7 Qual o número binário seguinte a 01101111?. 1.7.8 Quantos bits existem em 2 bytes?. 1.7.9 Transforme para decimal os seguintes números binários a) 11,112 = b) 1000,00012 = c) 1010,10102 = d)1100,11012 = e)10011,100112 = f)11000,0011012 = g)100001,0110012 =. 1.7.10 Transforme os seguintes números decimais em binários. 12.

(13) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA a) 0,12510 = b) 0,062510 = c) 0,710 = d) 0,9210 = e) 7,910 = f) 47,4710 = g) 53,38710 =. 1.7.11 Efetue as operações a) 10002 + 10012 = b) 100012 + 111102 = c) 1012 + 1001012 = d) 11102 + 10010112 + 111012 = e) 1101012 + 10110012 + 11111102 = f) 11002 – 10102 = g) 101012 – 11102 = h) 111102 – 11112 = i) 10110012 – 110112 = j) 1000002 – 111002 = k) 101012 x 112 = l) 110012 x 1012 = m) 1101102 x 1112 = n) 111102 x 110112 = o) 1001102 x 10102 =. 13.

(14) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA. CAPÍTULO II. Funções e Portas Lógicas. 2.1 Introdução. Em 1854 o matemático inglês George Boole apresentou um sistema matemático de análise lógica conhecido como álgebra de Boole. Somente em 1938, um engenheiro americano utilizou as teorias da álgebra de Boole para a solução de problemas de circuitos de telefonia com relés, tendo publicado um artigo que praticamente introduziu na área tecnológica o campo da eletrônica digital. Os sistemas digitais são formados por circuitos lógicos denominados de portas lógicas que, utilizados de forma conveniente, podem implementar todas as expressões geradas pela álgebra de Boole. Existem três portas básicas (E, OU e NÃO) que podem ser conectadas de várias maneiras, formando sistemas que vão de simples relógios digitais aos computadores de grande porte.. 2.2 Função E ou AND A função E é aquela que executa a multiplicação de duas ou mais variáveis booleanas. Sua representação algébrica para duas variáveis é S=A.B, onde se lê: S=A e B. Para compreender a função E da álgebra Booleana, deve-se analisar o circuito da Fig. 2.1, para o qual se adota as seguintes convenções: chave aberta=0, chave fechada=1, lâmpada apagada=0 e lâmpada acesa=1.. E. CH B. CH A. S. Figura 2.1 – Circuito representativo da função E.. A análise da Fig. 2.1 revela que a lâmpada somente acenderá se ambas as chaves estiverem fechadas e, seguindo a convenção, tem-se: CH A=1, CH B=1, resulta em S=1. Pode-se, desta forma, escrever todas as possíveis combinações de operação das chaves na chamada Tabela da Verdade, que é definida como um mapa onde se depositam todas as possíveis situações com seus respectivos resultados. O número de combinações possíveis é igual a 2N, onde N é o número de variáveis de entrada. Tabela da verdade da função E. A 0 0 1 1. B 0 1 0 1. S 0 0 0 1. 14.

(15) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA A porta lógica E é um circuito que executa a função E da álgebra de Boole, sendo representada, na prática, através do símbolo visto na Fig. 2.2.. A. S. B. Figura 2.2 – Porta lógica E.. “A saída da porta E será 1, somente se todas as entradas forem 1”.. 2.3 Função OU ou OR. A função OU é aquela que assume valor 1 quando uma ou mais variáveis de entrada forem iguais a 1 e assume 0 se, e somente se, todas as variáveis de entrada forem iguais a zero. Sua representação algébrica para duas variáveis de entrada é S=A+B, onde se lê: S=A ou B. Para entender melhor a função OU da álgebra booleana, analisa-se todas as situações possíveis de operação das chaves do circuito da Fig. 2.3. A convenção é a mesma adotada anteriormente: chave aberta=0, chave fechada=1, lâmpada apagada=0 e lâmpada acesa=1.. CH A. E. CH B. S. Figura 2.3 – Circuito que representa a função OU.. O circuito acima mostra que a lâmpada acende quando qualquer uma das chaves estiver fechada e permanece apagada se ambas estiverem abertas, ou seja, CH A=0, CH B=0, resulta em S=0. A Fig. 2.4 ilustra a porta lógica que executa a função OU da álgebra de Boole, juntamente com a sua tabela da verdade.. A. S. B. Porta lógica OU. A 0 0 1 1. B 0 1 0 1. S 0 1 1 1. Tabela da verdade da função OU. Figura 2.4 – Porta lógica e tabela da verdade da função OU. “A saída de uma porta OU será 1 se uma ou mais entradas forem 1”.. 2.4 Função NÃO ou NOT. 15.

(16) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA A função NÃO é aquela que inverte ou complementa o estado da variável de entrada, ou seja, se a variável estiver em 0, a saída vai para 1, e se estiver em 1 a saída vai para 0. É representada algebricamente da seguinte forma:. , onde se lê: A barra ou NÃO A. A análise do circuito da Fig. 2.5 ajuda a compreender melhor a função NÃO da álgebra Booleana. Será. utilizada a mesma convenção dos casos anteriores.. E. R. CH A. S. Figura 2.5 – Circuito representativo da função NÃO. Observando o circuito da Fig. 2.5, pode-se concluir que a lâmpada estará acesa somente se a chave estiver aberta (CH A=0, S=1), quando a chave fecha, a corrente desvia por ela e a Lâmpada apaga (CH A=1, S=0). O inversor é o bloco lógico que executa a função NÃO. Sua representação simbólica é vista na Fig. 2.6, juntamente com sua tabela da verdade. AS 01. S. A. 10. Porta lógica NÃO ou inversora. Tabela da verdade da função NÃO. Figura 2.6 – Porta lógica e tabela da verdade da função NÃO. “A saída de uma porta NÃO assume o nível lógico 1 somente quando sua entrada é 0 e vice-versa”.. 2.5 Função NÃO E, NE ou NAND. Esta função é uma composição das funções E e NÃO, ou seja, é a função E invertida. Sua representação algébrica é. , onde o traço indica que ocorrerá uma inversão do produto booleano A.B.. O circuito da Fig. 2.7 esclarece o comportamento da função NE. Observa-se que a lâmpada apaga somente quando. ambas. as. chaves. são. fechadas,. ou. seja,. CH. A=1,. CH B=1, implica em S=0.. R CH A E. S. CH B. Figura 2.7 – Circuito que representa a função NE. A Fig. 2.8 ilustra o circuito que executa a função NE da álgebra de Boole, juntamente com sua tabela da verdade.. 16.

(17) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA A B. S. A B. A 0 0 1 1. S. Porta lógica NE. B S 0 1 1 1 0 1 10. Tabela da verdade da função NE. Figura 2.8 – Porta lógica e tabela da verdade da função NE.. “Esta função é o inverso da função E, ou seja, a saída será 0 somente quando todas as entradas forem 1”. 2.6 Função NÃO OU, NOU ou NOR. Analogamente a função NE, a função NOU é a composição da função OU com a função NÃO, ou seja, é a , onde o traço indica que ocorrerá. função OU invertida. É representada algebricamente da seguinte forma: uma inversão da soma booleana A+B.. Para melhor compreender a função NOU da álgebra de Boole, pode-se analisar o circuito da Fig. 2.9, onde se observa que a lâmpada fica acesa somente quando as duas chaves estão abertas. Assim, CH A=0, CHB=0, resulta em S=1.. R. E. CH A. S. CH B. Figura 2.9 – Circuito que representa a função NOU. A Fig. 2.10 ilustra o circuito que executa a função NOU da álgebra de Boole, e sua tabela da verdade. A B S. A. S. B. 0 0 1 0 1 0 1 0 0. A. S. B. Porta lógica NOU. 1 1 0. Tabela da verdade da função NOU. Figura 2.10 – Porta lógica e tabela da verdade da função NOU.. 17.

(18) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA “Esta função é o inverso da função OU, ou seja, a saída será 0 se uma ou mais entradas forem 1”. 2.7 Função OU EXCLUSIVO. Esta função, como o próprio nome diz, apresenta saída com valor 1 quando as variáveis de entrada forem diferentes entre si. A notação algébrica que representa a função OU Exclusivo é S=A⊕B, onde se lê: A OU Exclusivo B. Para entender melhor a função OU Exclusivo, analisa-se o circuito da Fig. 2.11. Na condição em que as chaves CH A e CH B estão abertas (. e. estão fechadas), não há caminho para a corrente circular e a lâmpada não. acende. A lâmpada continua apagada quando as chaves CH A e CH B estão fechadas, pois. e. estão. abertas interrompendo o fluxo de corrente. Portanto, pode-se concluir que este Bloco só terá nível 1 na saída (lâmpada acesa), quando suas entradas forem diferentes.. E. CH A. CH B. CH A. CH B. S. Figura 2.11 – Circuito que representa a função OU Exclusivo. A Fig. 2.12 ilustra o símbolo que representa, na prática, a função OU Exclusivo e sua tabela da verdade. A B S 0 0 0. A. 0 1 1. S. B. 1 0 1 1 1 0. Bloco OU Exclusivo. Tabela da verdade da função OU Exclusivo. Figura 2.12 – Bloco lógico e tabela da verdade da função OU Exclusivo. A Fig. 2.12 simplesmente simboliza o circuito lógico que executa a função OU Exclusivo. Na verdade, o circuito que efetivamente realiza a função demonstrada na tabela da verdade acima está ilustrado na Fig. 2.13.. _. _. S=A⊕B = A.B + A. B. 18.

(19) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA A B S. Figura 2.13 – Circuito que executa a função OU Exclusivo. Observação importante: ao contrário dos outros blocos lógicos, cada circuito OU EXCLUSIVO admite somente 2 variáveis de entrada.. 2.8 Função COINCIDÊNCIA ou NÃO OU EXCLUSIVO. Esta função, como seu próprio nome diz, apresenta saída com valor 1 quando houver uma coincidência nos valores das variáveis de entrada. A notação algébrica que representa a função Coincidência é S=AυB, onde se lê: A Coincidência B. O circuito da Fig. 2.14 ajuda a compreender a operação da função Coincidência. Quando as chaves CH A e e. CH B estão abertas ( e CH B=0 (. estão fechadas) circula corrente pela lâmpada e ela estará acesa. Quando CH A=1. =1) não circula corrente pela lâmpada, o que implica em lâmpada apagada. Na situação inversa CH =1) e CH B=1 ocorre a mesma coisa e a lâmpada não acenderá. Com as duas chaves fechadas, ou seja, CH. A=0 (. A = CH B = 1 (. =. = 0) circulará corrente pela lâmpada e esta estará acesa. Portanto, pode-se afirmar que a. porta Coincidência terá 1 em sua saída (lâmpada acesa), quando as entradas forem idênticas.. E. CH A. CH B. CH A. CH B. S. Figura 2.14 – Circuito que executa a função Coincidência. A Fig. 2.15 ilustra o símbolo que representa, na prática, a função Coincidência e sua tabela da verdade.. A. S. B. Bloco Coincidência. A 0 0 1 1. B 0 1 0 1. S 1 0 0 1. Tabela da verdade da função Coincidência. 19.

(20) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA Figura 2.15 – Bloco lógico e tabela da verdade da função Coincidência. A Fig. 2.15 simplesmente representa simbolicamente o circuito lógico que executa a função Coincidência. Na verdade, o circuito capaz de realizar esta função é ilustrado na Fig. 2.16.. _. _. S = AυB = A. B+ A.B. A B. S. Figura 2.16 – Circuito que realiza a função Coincidência.. Observação importante: Assim como ocorre com o bloco lógico OU EXCLUSIVO, o circuito COINCIDÊNCIA é definido apenas para 2 variáveis de entrada.. A seguir, é montada uma tabela contendo as cinco funções da álgebra de Boole, ou seja, funções: E, OU, NÃO, OU Exclusivo e Coincidência, com seus respectivos símbolos, que representam os circuitos lógicos capazes de executar tais funções. É mostrada, também, a tabela da verdade, juntamente com uma breve descrição de cada função e sua respectiva expressão algébrica. BLOCOS LÓGICOS BÁSICOS PORTA E. AND. OU. OR. Símbolo Usual. Tabela da Verdade. A B. A B. Função Lógica. Expressão. S. Função E: Assume 1 quando todas as variáveis forem 1 e 0 nos outros casos.. S=A.B. S. Função E: Assume 0 quando todas as variáveis forem 0 e 1 nos outros casos.. S=A+B. NÃO. A. S. NOT NE. A B NAND. S. Função NÃO: Inverte a variável aplicada à sua entrada.. Função NE: Inverso da função E.. 20.

(21) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA. NOU. A B. S. Função NOU: Inverso da função OU.. S. Função OU Exclusivo: Assume 1 quando as variáveis assumirem valores diferentes entre si.. NOR. OU Exclusivo. Coincidência. A B. A. _. _. S= A.B + A. B. Função Coincidência: S=AυB Assume 1 quando houver _ _ coincidência entre S= A. B+ A.B os valores das variáveis.. S. B. S=A⊕B. 2.9 Expressões Booleanas Obtidas de Circuitos Lógicos. Todo o circuito lógico executa uma função booleana e, por mais complexo que seja, é formado pela interligação das portas lógicas básicas. Assim, pode-se obter a expressão booleana que é executada por um circuito lógico qualquer. Para exemplificar, será obtida a expressão que o circuito da Fig. 2.17 executa.. A B C D. A+B (A+B).(C+D). S. C+D Figura 2.17 – Circuito lógico.. Para facilitar, analisa-se cada porta lógica separadamente, observando a expressão booleana que cada uma realiza, conforme ilustra o exemplo da Fig. 2.17. O exemplo da Fig. 2.18 visa evidenciar um símbolo de negação muito utilizado e que muitas vezes é esquecido e não considerado. Ele pode ser utilizado na saída de uma porta lógica ( entrada de algumas portas, como será visto mais adiante (. ), como na porta NÃO E abaixo, e na. ).. 21.

(22) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA (A.B). A B. A.B+C+(C.D). C. C. S. (C.D). D. Figura 2.18 – Circuito lógico.. 2.10 Circuitos Lógicos Obtidas de Expressões Booleanas. Será visto neste tópico que é possível desenhar um circuito lógico que executa uma função booleana qualquer, ou seja, pode-se desenhar um circuito a partir de sua expressão característica. O método para a resolução consiste em se identificar as portas lógicas na expressão e desenhá-las com as respectivas ligações, a partir das variáveis de entrada. Deve-se sempre respeitar a hierarquia das funções da aritmética elementar, ou seja, a solução inicia-se primeiramente pelos parênteses. Para exemplificar, será obtido o circuito que executa a expressão S=(A+B).C.(B+D). Para o primeiro parêntese tem-se uma soma booleana A+B, logo o circuito que o executa será uma porta OU. Para o segundo, tem-se outra soma booleana B+D, logo o circuito será uma porta OU. Posteriormente tem-se a multiplicação booleana de dois parênteses juntamente com a variável C, sendo o circuito que executa esta multiplicação uma porta E. Para finalizar, unem-se as respectivas ligações obtendo o circuito completo. Primeiro Passo. Segundo Passo. Terceiro Passo. A B. (A+B) A B. S1 (B+D). B D. S1 C S2. S. S2. C. S. D. 2.11 Tabelas da Verdade Obtidas de Expressões Booleanas. Uma maneira de se fazer o estudo de uma função booleana é a utilização da tabela da verdade. Para extrair a tabela da verdade de uma expressão deve-se seguir alguns procedimentos: 1º) Montar o quadro de possibilidades; 2º) Montar colunas para os vários membros da equação; 3º) Preencher estas colunas com os seus resultados;. 22.

(23) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA 4º) Montar uma coluna para o resultado final e 5º) Preencher esta coluna com os resultados finais. _. _. _. Para exemplificar este processo, utiliza-se a expressão: S = A. B.C + A. D + A.B.D A expressão contém 4 variáveis: A, B, C e D, logo, existem 24=16 possibilidades de combinação de entrada. Desta forma, monta-se o quadro de possibilidades com 4 variáveis de entrada, três colunas auxiliares, sendo uma para cada membro da expressão, e uma coluna para o resultado final.. A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1. Variáveis de entrada B C 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1. 1º membro. 2º membro. 3º membro. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0. 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0. D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1. Resultado Final 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0. 2.12 Expressões Booleanas Obtidas de Tabelas da Verdade. Neste item, será estudada a forma de obter expressões e circuitos a partir de tabelas da verdade, sendo este o caso mais comum de projetos práticos, pois, geralmente, necessita-se representar situações através de tabelas da verdade e a partir destas, obter a expressão booleana e conseqüentemente, o circuito lógico. Para demonstrar este procedimento, será obtida a expressão da seguinte tabela: A 0 0 0 0 1 1 1 1. (a) (b) (c) (d). B 0 0 1 1 0 0 1 1. C 0 1 0 1 0 1 0 1. S 0 0 0 1 0 1 1 1. Na tabela, analisa-se onde S=1 e monta-se a expressão adequada.. __ •. Em (a), S=1 se. S = A . B.C. •. Em (b), S=1 se. S = A. B .C. __. 23.

(24) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA __ •. Em (c), S=1 se. S = A. B. C. •. Em (c), S=1 se. S = A. B.C. Para se obter a expressão basta realizar a soma booleana de cada termo acima:. __. __. __. S = A . B.C+ A. B .C+ A. B. C + A. B.C Nota-se que o método permite obter, de qualquer tabela, uma expressão padrão formada sempre pela soma de produtos. No próximo capítulo, relativo a álgebra de Boole, será estudado o processo de simplificação de expressões booleanas, possibilitando a obtenção de circuitos reduzidos.. 2.13 Equivalência Entre Blocos Lógicos. As portas lógicas podem ser montadas de forma que possam realizar as mesmas tarefas, ou seja, ter as saídas funcionando de maneira igual a uma outra já conhecida. Estas equivalências são muito importantes na prática, ou seja, na montagem de sistemas digitais, pois possibilitam maior otimização na utilização dose circuitos integrados comerciais, assegurando principalmente a redução de componentes e a conseqüente minimização do custo do sistema. BLOCO LÓGICO. BLOCO EQUIVALENTE. 1. S = A+B. S=A.B. S = A+B. S=A.B. S=A.B. S = A+B 24.

(25) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA. S=A.B. S = A+B. Todos os Blocos lógicos e expressões podem ser verificadas utilizando-se a tabela da verdade. 2.14 Exercícios do Capítulo II. 2.14.1) Determine as expressões dos circuitos abaixo:. a) Circuito 1. A B. C S D. b) Circuito 2 A B C D. S. c) Circuito 3. 25.

(26) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA A. BC. D. S. d) Circuito 4. A B. C S D 2.14.2) Desenhe o circuito que executa as seguintes expressões:. a). S=[(A + B) + (C + D)] . D. b). S=A . [B . C + A . (C + D) + B . C . D] + B . D. c). S=(A B) . [A . B + (B + D) + C . D + (B . C)] + A . B . C . D. 2.14.3) Levante a tabela verdade das seguintes expressões:. a). S = C . [A . B + B . (A + C)]. b). 26.

(27) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA S=(B + D) . [A + B . (C + D) + A . B . C]. 2.14.4) Escreva a expressão característica do circuito abaixo e levante sua respectiva tabela verdade.. A B S C D 2.14.5) Determine a expressão booleana a partir das seguintes tabelas:. a) Tabela 1 A 0 0 0 0 1 1 1 1. B 0 0 1 1 0 0 1 1. C 0 1 0 1 0 1 0 1. S 1 0 0 1 1 0 0 1. b) Tabela 2 A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1. B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1. C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1. D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1. S 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1. 2.14.6) Desenhe o sinal de saída do circuito abaixo:. 27.

(28) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA A. A B. S. C. B C. 2.14.7) Mostre que o circuito abaixo é um OU Exclusivo.. A S B 2.14.8) Mostre que o circuito é um circuito Coincidência.. A S B 2.14.9) Prove que:. A. (B + C) = A + (B. C). 2.14.10) Levante a tabela da verdade e esquematize o circuito que executa a seguinte expressão:. S={[A . B + C] + [A + B]}. C. 2.14.11) Esquematize o circuito Coincidência usando apenas porta NOU.. 2.14.12) Esquematize o circuito OU Exclusivo, utilizando somente 4 portas NE.. 2.14.13) Esquematize o circuito Coincidência, utilizando apenas 4 portas NOU.. 2.14.14) Desenhe o circuito que executa a expressão do exercício 2.14.2 letra b, usando somente portas NE. 2.14.15) Desenhe o circuito que executa a expressão do exercício 2.14.2 letra c, usando somente portas NOU.. 2.14.16) Levante a tabela da verdade e, a partir desta, desenhe o circuito somente com portas NE.. S=(B + C) . [D + A . C + D . (A + B + C)] 28.

(29) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA. 2.14.17) Desenhe novamente o circuito do exercício 2.14.1, circuito 3, utilizando apenas portas NOU.. 29.

(30) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA. CAPÍTULO III. Álgebra de Boole e Simplificação de Circuitos Lógicos. 3.1 Introdução. No capítulo anterior, os circuitos lógicos foram tratados sem a preocupação da simplificação, o que na prática deve ser realizado visando minimizar a quantidade de portas lógicas do circuito. Desta forma, deve-se realizar um breve estudo da álgebra de Boole, pois é através de seus postulados, propriedades, teoremas fundamentais e identidades que se efetuam as simplificações. Na álgebra de Boole estão todos os fundamentos da Eletrônica Digital.. 3.2 Postulados. Serão apresentados os postulados da complementação, da adição e da multiplicação da álgebra de Boole e suas identidades resultantes.. 3.2.1 Postulados da Complementação Este postulado mostra as regras da complementação na álgebra de Boole, onde. é o complemento de A.. 1) Se A=0 Ψ 2) Se A=1 Ψ Assim, pode-se estabelecer a seguinte identidade:. .. O bloco lógico que executa o postulado da complementação é o INVERSOR. 3.2.2 Postulados da Adição Este postulado mostra como são as regras da adição dentro da álgebra de Boole. 1) 0 + 0 = 0 2) 0 + 1 = 1 3) 1 + 0 = 1 4) 1 + 1 = 1 Desta forma, pode-se estabelecer as seguintes identidades: A+0=A A+1=1 A+A=A. O bloco lógico que executa o postulado da adição é o OU.. 3.2.3 Postulados da Multiplicação Este postulado determina as regras da multiplicação booleana. 1) 0 . 0 = 0. 30.

(31) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA 2) 0 . 1 = 0 3) 1 . 0 = 0 4) 1 . 1 = 1 Assim, pode-se estabelecer as seguintes identidades: A.0=0 A.1=A A.A=A. O bloco lógico que executa o postulado da multiplicação é o E.. 3.3 Propriedades. Serão estudadas as principais propriedades algébricas, úteis principalmente no manuseio e simplificações de expressões e, conseqüentemente, de circuitos lógicos.. 3.3.1 Propriedade Comutativa Esta propriedade é válida na adição e na multiplicação. A+B = B+A A.B = B.A 3.3.2 Propriedade Associativa Esta propriedade também é válida tanto na adição quanto na multiplicação. A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C. 3.3.3 Propriedade Distributiva A . (B + C) = A . B + A . C 3.4 Teoremas de Morgan São empregados, na prática, para realizar simplificações em expressões booleanas e são utilizados ainda no desenvolvimento de circuitos digitais.. 3.4.1 1º Teorema de Morgan O complemento do produto é igual à soma dos complementos. Pode ainda ser estendido para mais de duas variáveis:. 3.4.2 2º Teorema de Morgan O complemento da soma é igual ao produto dos complementos.. 31.

(32) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA. Da mesma forma, este teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis:. 3.5 Identidades Auxiliares São mostradas três identidades úteis para a simplificação de expressões. A+A.B=A (A + B) . (A + C) = A + B . C 3.6 Quadro Resumo. Complementação A=0 Ψ Ψ A=0. Complementação. POSTULADOS Adição 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 IDENTIDADES Adição A+0=A A+1=1 A+A=A. Multiplicação 0.0=0 0.1=0 1.0=0 1.1=1 Multiplicação A.0=0 A.1=A A.A=A. PROPRIEDADES Comutativa:. Associativa:. Distributiva:. A+B = B+A A.B = B.A. A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C. A . (B + C) = A . B + A . C TEOREMAS DE MORGAN. IDENTIDADES AUXILIARES A+A.B=A (A + B) . (A + C) = A + B . C. 3.7 Simplificação de Expressões Booleanas. Utilizando os conceitos da álgebra de boole estudados é possível simplificar expressões e conseqüentemente circuitos. 3.8 Simplificação de Expressões Booleanas Através dos Mapas de Karnaugh. 32.

(33) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA Quando são utilizados os teoremas e postulados Booleanos para simplificação de expressões lógicas não se pode afirmar, em vários casos, que a equação resultante está na sua forma minimizada. Existem métodos de mapeamento das expressões lógicas que possibilitam a simplificação de expressões de N variáveis. O diagrama ou mapa de Karnaugh é um destes métodos e permite a simplificação mais rápida dos casos extraídos diretamente de tabelas da verdade, obtidas de situações quaisquer. Serão estudados os diagramas para 2, 3, 4 e 5 variáveis.. 3.8.1 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 Variáveis A figura abaixo mostra um diagrama de Veitch-Karnaugh para 2 variáveis.. B. B. A A Diagrama para 2 variáveis.. Cada linha da tabela da verdade possui uma região definida no diagrama de Veitch-Karnaugh. Essas regiões são os locais onde devem ser colocados os valores que a expressão assume nas diferentes possibilidades.. Casos Variáveis AB 000 101 210 311. __ __. A A. Caso 0: 00 →. B. B. Caso 0 A B 0 0 Caso 2 A B 1 0. Caso 1 A B 0 1 Caso 3 A B 1 1. AB __. Caso 1: 01 →. AB. Caso 2: 10 →. AB. Caso 3: 11 →. AB. __. Será utilizado um exemplo para melhorar o entendimento destes conceitos. Exemplo 1) A tabela da verdade mostra o estudo de uma função de 2 variáveis, onde os resultados serão colocados no diagrama de Karnaugh. A. B. S. 0 0 1 1. 0 1 0 1. 0 1 1 1. Utilizando o método apresentado no capítulo II, pode-se obter a expressão característica da função:. S = AB + AB + AB A expressão acima é formada por termos verdadeiros e, desta forma, assumem valor 1 na montagem do diagrama de Karnaugh. Assim:. 33.

(34) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA. B A 0. B 1. A 1. 1. A expressão simplificada é obtida do diagrama, cujo método consiste em agrupar as regiões onde S=1 no menor número possível de agrupamentos. Os termos que não puderem ser agrupados serão considerados isoladamente. Para um diagrama de 2 variáveis, os agrupamentos possíveis são os seguintes:. •. QUADRA: Conjunto de 4 regiões onde S=1. No diagrama de 2 variáveis é o agrupamento máximo, proveniente de uma tabela onde todos os casos valem 1. Desta forma, a expressão final simplificada obtida é S=1, assim como mostra a figura.. •. B A 1. B 1. A 1. 1. Quadra: S=1. PARES: Conjunto de duas regiões onde S=1. Não podem ser agrupados na diagonal. As figuras abaixo mostram exemplos de agrupamentos pares e sua respectiva equação.. 0. B A 1. B 1. B A 0. B 1. B A 1. B 0. 1. A 0. 0. A 0. 1. A 1. 0. B. B. A 0 A 1. S=A. S=A Está exclusivamente na região A. •. S=B. Está exclusivamente na região A .. Está exclusivamente na região B.. S=B Está exclusivamente na região B .. TERMOS ISOLADOS: Região onde S=1, sem vizinhança para agrupamento. São os próprios casos de entrada, sem simplificação. As figuras abaixo mostram alguns exemplos e suas respectivas equações.. B A 0. B 0. B A 0. B 1. B A 1. B 0. A 1. 0. A 0. 0. A 0. 1. S=AB. S=AB. S=AB + AB. Retomando ao exemplo e efetuando os agrupamentos, tem-se:. 34.

(35) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA B A 0. B 1. A 1. 1. Pode-se observar que o mesmo 1 pode pertencer a mais de um agrupamento.. Par 1 Par 2. Para obter a expressão simplificada basta escrever a expressão de cada par e posteriormente somar os termos obtidos. •. Expressão do Par 1: Par 1 = A. •. Expressão do Par 2: Par 2 = B. Desta forma, tem-se que S = A +B.. 3.8.2 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 3 Variáveis O diagrama de Veitch-Karnaugh para 3 variáveis é mostrado abaixo.. B. B. A A C. C. C. Diagrama para 3 variáveis. Da mesma forma, cada linha da tabela da verdade possui uma região bem definida no diagrama de VeitchKarnaugh, assim como mostra as figuras abaixo.. Casos B B Variáveis Caso 0 Caso 3 Caso 2 Caso 1 ABC A B C A B C A B C ABC A 0000 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1001 Caso 4 Caso 5 Caso 7 Caso 6 2010 A ABC ABC ABC ABC 3011 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 4100 C C C 5101 6110 7111 Para mostrar como é realizado o posicionamento das regiões, toma-se, por exemplo, o caso 3, visto que os outros são análogos.. __ Caso 3: 011 →. A BC. Exemplo 1) Transpor para o diagrama de Karnaugh as situações de saída da tabela da verdade a seguir.. Tabela da verdade. A 0 0 0 0. B 0 0 1 1. C 0 1 0 1. S 1 0 1 1. 35.

(36) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA 1 1 1 1 Expressão extraída da tabela da verdade: __ __ __. 0 0 1 1. __. 0 1 0 1. __. 1 0 1 0. __. __ __. __. S = A B C + A B C + A BC+ A B C + A B C Transpondo a tabela para o diagrama, tem-se:. B. B. A 1. 0. 1. 1. A 1. 0. 0. 1. C. C. C. Para efetuar a simplificação, deve-se seguir os mesmos processos vistos anteriormente, somente que, para 3 variáveis, os agrupamentos possíveis são os seguintes:. •. OITAVA: Agrupamento máximo, onde todas as localidades lavem 1. A figura abaixo demonstra esta situação.. B A 1. 1. 1. 1. A 1. 1. 1. 1. C •. B. C. Oitava: S=1. C. QUADRAS: agrupamentos de 4 regiões onde S=1, adjacentes ou em seqüência. Segue abaixo alguns exemplos de possíveis quadras, num diagrama de 3 variáveis, e as relativas expressões.. B. B. B. B. B. B. A 1. 1. 1. 1. A 1. 1. 0. 0. A 1. 0. 0. 1. A 0. 0. 0. 0. A 1. 1. 0. 0. A 1. 0. 0. 1. C S=A. C. C. C S=B. C. C. C S=C. C. C. •. PARES: Agrupamento de 2 regiões onde S=1. A figura abaixo mostra, como exemplo, 2 pares entre os 12 possíveis em um diagrama de 3 variáveis.. 36.

(37) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA B A 1. 0. 0. 1. A 0. 1. 1. 0. C •. B Par AC Par AC. C C S=AC+AC. TERMOS ISOLADOS: A figura a seguir mostra alguns exemplos de termos isolados que, como apresentado anteriormente, são os casos que não admitem simplificações e a expressão de saída do diagrama.. B. Termo ABC. B. A 0. 1. 0. 1. A 0. 0. 1. 0. Termo ABC Termo ABC. C C C S=ABC+ABC+ABC Voltando ao exemplo, observa-se que é possível formar uma quadra e, logo após, um par, conforme mostra a figura.. B. B. A 1. 0. 1. 1. A 1. 0. 0. 1. C. C. Par AB Quadra C. C. Para finalizar, somam-se as expressões referentes aos agrupamentos. Assim, a expressão final minimizada será:. __. __. S = AB+ C 3.8.3 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 4 Variáveis O diagrama para 4 variáveis é visto na figura abaixo.. C. C B. A B A B D. D. D. Diagrama para 4 variáveis.. 37.

(38) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA Neste tipo de diagrama, também existe uma região definida para cada caso da tabela da verdade, assim como ilustra a figura seguir.. Casos Variáveis. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15. C. ABCD 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1. C. A. Caso 0 ABCD 0 0 00 Caso 4 ABCD 0 1 00. Caso 1 ABCD 0 0 0 1 Caso 5 ABCD 0 1 0 1. Caso 3 ABCD 0 0 1 1 Caso 7 ABCD 0 1 1 1. Caso 2 ABCD 0 0 1 0 Caso 6 ABCD 0 1 1 0. A. Caso 12 ABCD 1 1 00 Caso 8 ABCD 1 0 00. Caso 13 ABCD 1 1 0 1 Caso 9 ABCD 1 0 0 1. Caso 15 ABCD 1 1 1 1 Caso 11 ABCD 1 0 1 1. Caso 14 ABCD 1 1 1 0 Caso 10 ABCD 1 0 1 0. D. D. B. B. B. D. Exemplo 1) Transpor para o diagrama de Karnaugh as situações da tabela da verdade abaixo. Tabela da verdade. A B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 Expressão extraída da tabela da verdade: __ __ __. __ __. __. C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1. __ __. D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 __. S 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1. __. __. __ __ __. S = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A BC D + A B C D + __ __. __. __ __. __. + A B C D + A B C D+ A B C D + A B C D + A BC D Transpondo a equação para o diagrama, tem-se:. 38.

(39) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA C. C. 0. 1. 1. 1 B. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0 B. A B. A D. D. D. Para efetuar a simplificação, segue-se os mesmos procedimentos adotados no diagrama de 3 variáveis, somente que neste caso o principal agrupamento será a oitava. Deve-se ressaltar que os lados extremos opostos podem ser utilizados para formar oitavas, quadras e pares. •. Exemplos de PARES:. C A. C. 0. 1. 0. 0 B. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0 B. Par ABD B. A D. D. D Par BCD. S=ABD+BCD •. Exemplos de QUADRAS:. C A. C. 0. 1. 1. 0 B. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 0 B. Quadra BD. A. B. A D. D. Quadra BD. •. C 0. 1 B. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. D. D S=BD. 1 B D. B. Quadra BD. A. D. S=BD+BD. C 1 0. Exemplos de OITAVAS:. 39.

(40) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA C A. C. C. 1. 0. 0. 1 B. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. D. D S=D. C. 1. 1. 1. 1 B. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1 B. 1. 1. 1. 1 B. D. D. D S=B. A Oitava D. B. A. B. Oitava B. A D. O agrupamento máximo (mapa totalmente preenchido com 1) constitui-se em uma hexa e apresenta a expressão simplificada S=1. Voltando ao exemplo, para simplificar a expressão obtida da tabela da verdade utilizando o mapa de karnaugh, agrupam-se primeiramente as oitavas, posteriormente as quadras, em seguida os pares e, por último, os termos isolados. Assim, tem-se:. 0. 1. 1. Oitava Par 1 B. 0. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1. 1. 1. 0 B. C. C. A Quadra. B. A D. D. Oitava: D Quadra: AC Par: ABC. D. Somando os termos, tem-se a expressão final simplificada:. __. __ __. S = D + A C+ A B C OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Os agrupamentos realizados no diagrama de Karnaugh podem ser efetuados de diversas formas e as equações obtidas, mesmo aparentemente diferentes, possuem o mesmo comportamento em cada possibilidade, fato este comprovado levantando-se a tabela da verdade. É importante lembrar que, para obter expressões mais simplificadas, agrupamentos com maior número de regiões devem ser obtidos.. 3.8.4 Diagrama de Veitch-Karnaugh para 5 Variáveis O diagrama de Karnaugh para simplificar expressões com 5 variáveis de entrada é visto na figura abaixo.. 40.

(41) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA A. A. D. D. D. D. C. C. B. B C. C. B. B C E. E. C. E. E. E. E. De forma análoga, efetua-se a colocação das condições no diagrama de Karnaugh. Para exemplificar, será analisado 4 casos.. __ __ __ __ __ •. Caso 1: 00000 →. ABCDE __. __ __. •. Caso 2: 01100 →. A BC D E. •. Caso 3: 11101 →. A BC D E. •. Caso 4: 10000 →. ABCDE. __ __ __ __ __. A D B. B. A. D. D. Caso 1. C B C. Caso 2. D. Caso 4. C C. Caso 3. B. C. C E. E. E. E. E. E. Para simplificar expressões utilizando um diagrama de 5 variáveis deve-se primeiramente tentar um agrupamento em hexas, em seguida em oitavas, em quadras, em pares e, por último, em termos isolados. Exemplo 1) Obter a expressão simplificada da tabela da verdade a seguir, utilizando o método de karnaugh.. Tabela da verdade. A 0 0 0 0 0 0 0 A 0. B C D E 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 Tabela da verdade – continuação. B 0. C 1. D 1. E 1. S 1 0 0 1 1 1 0 S 1. 41.

(42) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Transpondo para o diagrama, encontra-se:. 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1. 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1. 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1. Par ABDE A D 1 B. B. A. D 0. 1. D 0 C B. 0. 0. 0. 0 C. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0 C. 1. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 1. 1. 1. 0. 1 C. 0. E. E. E. E. Par ABCD. C B Par ABDE Quadra CDE. D. E. Par ACDE C Quadra ABC. E. Agrupando os termos, a expressão minimizada será: __. __ __ __ __. __. __ __. __. __. __ __. __. S = C D E + ABC + A B D E + A B C D + A BD E + A B DE + ACD E. 3.8.5 Diagramas com Condições Irrelevantes Condição irrelevante (x) ocorre quando a saída pode assumir 0 ou 1 indiferentemente, para uma dada situação de entrada. Na prática, esta condição ocorre principalmente pela impossibilidade da situação de entrada acontecer. Desta forma, os valores irrelevantes da tabela da verdade devem ser transportados para o diagrama de Karnaugh. Assim, para efetuar as simplificações, a condição irrelevante x pode ser utilizada para completar um agrupamento, minimizando a expressão característica e conseqüentemente o circuito lógico. Por outro lado, se a condição irrelevante x representar um termo isolado, deverá ser descartada.. 42.

(43) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA Exemplo: Utilizando o método de Karnaugh, obter a expressão simplificada que executa a tabela da verdade a seguir.. Tabela da verdade. A B C 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 Transpondo para o diagrama de 4 variáveis, tem-se:. D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1. C A. S X 0 1 X 1 0 1 1 0 1 X 0 0 X 0 x. C. X. 0. X. 1 B. 1. 0. 1. 1. 0. X. X. 0. 0. 1. 0. X B. B. A D. D. D. Utilizando-se 2 valores irrelevantes e abandonando outros 2, pode-se agrupar duas quadras e um par, gerando a seguinte expressão:. __. __ __. __. S = A C + A D+ A C D 3.8.6 Casos que Não Admitem Simplificações As funções OU EXCLUSIVO e COINCIDÊNCIA são exemplos de casos que não admitem simplificações, pois suas equações característica estão minimizadas, como ilustra a figura abaixo.. S=(B + D) = AB+AB. S=(B. D) = AB+AB. B A 0. B 1. B A 1. B 0. A 1. 0. A 0. 1. Como pode ser observado, em cada diagrama existem dois termos isolados que são, portanto, as próprias expressões de entrada. No caso de 3 variáveis, as expressões são:. 43.

(44) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA. S = A ⊕ B⊕C S=A. B. C. Para montar a tabela da verdade deve-se primeiramente efetuar as operações entre 2 das variáveis e, com o resultado obtido, efetuar a operação com a terceira variável. Este processo se deve ao fato de as funções OU. EXCLUSIVO e COINCIDÊNCIA não serem válidas para mais de 2 variáveis de entrada. As tabelas abaixo mostram os resultados das operações em todas as possibilidades.. A. B. C. ( A ⊕ B) ⊕ C. A ⊕ ( B ⊕ C). ( A ⊕ C) ⊕ B. 0 0 0 0 1 1 1 1. 0 0 1 1 0 0 1 1. 0 1 0 1 0 1 0 1. 0 1 1 0 1 0 0 1. 0 1 1 0 1 0 0 1. 0 1 1 0 1 0 0 1. A. B. C. (A. B). (B. A. C. C). (A. 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Passando a coluna S (iguais em todos os casos) para o diagrama, tem-se:. B. B. 0 1 1 0 1 0 0 1. B. A 0. 1. 0. 1. A 1. 0. 1. 0. C. C). C. C. Da mesma forma, não existe a possibilidade de simplificações, mas uma propriedade muito importante pode ser observada. As funções OU EXCLUSIVO e COINCIDÊNCIA, para 3 variáveis de entrada, apresentaram a mesma resposta para todas as entradas possíveis. Pode-se então afirmar que para um número ímpar de variáveis de entrada, estas funções executam a mesma tabela da verdade, ou seja, estas funções são iguais.. A ⊕ B⊕ C⊕ D ⊕ E = A. B. C. D. E. Por outro lado, para um número par de variáveis de entrada, tem-se que a função OU EXCLUSIVO é o complemento da função COINCIDÊNCIA. Assim:. 44.

(45) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA. _________________. A ⊕ B⊕ C⊕ D = A. B. C. D. 3.8.7 Agrupamentos de Zeros Pode-se agrupar as células que valem 0 no diagrama de Karnaugh, utilizando-se as mesmas regras, para efetuar a simplificação. Porém, adotando esta prática, será obtido o complemento da função, ou seja, a saída. .. Para exemplificar esta situação, será simplificado a expressão da seguinte tabela da verdade.. Tabela da verdade. A. B. C. S. 0 0 0 0 1 1 1 1. 0 0 1 1 0 0 1 1. 0 1 0 1 0 1 0 1. 0 1 0 1 1 1 1 1. Passando para o diagrama e efetuando o agrupamento, tem-se:. B. B. A 0. 1. 1. 0. A 1. 1. 1. 1. C. C. C. Observa-se, na figura, um par formado por zeros, cuja expressão é:. __. __ __. S =AC Desenvolvendo esta expressão chega-se a:. S=(AC) S=A+C Convém observar que a mesma expressão seria obtida, resultado dos agrupamentos de 2 quadras, caso fosse utilizado o procedimento convencional anteriormente visto.. 3.9 Exercícios do Capítulo III. 3.9.1) Simplifique as expressões utilizando a álgebra de Boole.. a). S = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC b). 45.

(46) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA S = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD c). S = [(B + C + D) (A + B + C) + C] + ABC + B(A + C) d). S = A[B(C + D) + A(B + C)] + CD + ABC + AB e). S = (A + B + BCD) [D + BC + D(A + B)] + AD f). S = [(B + CD + D + AC) (A + B + C) + B(C + ABC + AC)] (A + B) g). S = (AB + CD + AD) {B[C + D +A(B + C) + ABC] + A} h). S = (A + B) {B + (B + C) [ABC + B(A + D) + BC + BD] + ABD} 3.9.2) Desenhe o circuito lógico para as seguintes expressões: a). S = ABC + ABC. b). S = (A + B + C) (A + B + C). Continuando o exercício, utilize a álgebra de Boole para simplificar as equações e desenhe novamente o circuito lógico correspondente.. 3.9.3) Simplifique a expressão abaixo e posteriormente desenhe o circuito lógico.. S = (B + D) {B + C D +A[BC + BC + A + B(C + D)]} 3.9.4) Prove que:. A (B + C) = A + (B C) A+B+C+D=A B C D 3.9.5) Através dos diagramas de Veitch-Karnaugh, determine a expressão simplificada de S1 e S2 da tabela a seguir.. A. B. S1. S2. 0 0 1 1. 0 1 0 1. 1 0 1 1. 1 1 0 0. 46.

(47) CURSO TÉCNICO EM ELETRÔNICA 3.9.6) Simplifique as expressões de S1, S2, S3 e S4 das tabelas da verdade a seguir, utilizando os mapas de Karnaugh.. Tabela 1. A. B. C. S1. S2. S3. S4. 0 0 0 0 1 1 1 1. 0 0 1 1 0 0 1 1. 0 1 0 1 0 1 0 1. 1 0 1 1 1 1 0 1. 1 1 1 0 1 1 1 0. 0 1 0 0 1 1 1 0. 0 1 1 0 1 0 1 1. Tabela 2. A. B. C. D. S1. S2. S3. S4. 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 3.9.7) Simplifique as expressões utilizando os diagramas de Veitch-Karnaugh.. __ __ a). __. __. __. 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1. __. S = A B C + A B C + A BC + A B C + ABC __ __. __. __ __. __ __ __ __. __. __. __ __. S = A B C D + A B C D + A B C D + A B C D + A BC D + A B C D + b). __ __ __ __. + A BC D + A B C D __ __. __. __ __. __. __ __. c). S = B D + A + A B C D+ A B C D+ A C. d). S = A BC+ A B+ A BC D + B D + C D + B C D + A B C D. __. __. __. __. __ __. 3.9.8) Determine as expressões simplificadas para S1 e S2 da tabela abaixo.. 47.