sobre anéis de cadeia Anderson Tiago da Silva

(1)

C´

odigos c´ıclicos

sobre an´

eis de cadeia

Anderson Tiago da Silva

Tese apresentada

ao

Instituto de Matem´

atica e Estat´ıstica

da

Universidade de S˜

ao Paulo

para

obtenc

¸˜

ao do t´ıtulo

de

Doutor em Ciˆ

encias

Programa: Matem´

atica

Orientador: Prof. Dr. Francisco C´esar Polcino Milies

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro da CAPES e do CNPq

(2)

an´

eis de cadeia

Esta tese trata-se da vers˜ao original do aluno Anderson Tiago da Silva.

(3)

C´

odigos C´ıclicos sobre An´

eis de Cadeia

Esta tese/disserta¸cão contém as corre¸cões e altera¸cões sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa realizada por Anderson Tiago da Silva em 05/03/2012. O original encontra-se dispon´ıvel no Instituto de Matemática e Estat´ıstica da Universidade de São Paulo.

Banca Examinadora:

• Prof. Dr. Francisco C´esar Polcino Milies (orientador) - IME-USP • Prof. Dr. Raul Antonio Ferraz - IME-USP

• Prof. Dr.Thierry Corrˆea Petit Lob˜ao - UFBA

• Profa. Dra. Sueli Irene Rodrigues Costa - UNICAMP • Profa. Dra. Marinˆes Guerreiro - UFV

(4)

Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente a USP pela oportunidade e a CAPES e CNPq pelo suporte financeiro.

Aos membros da banca por aceitarem o convite, pelas dicas e corre¸c˜oes. A Deus, por ter me iluminado neste per´ıodo da minha vida.

Aos meus pais, Marinalva e Rosino, pelo apoio nos momentos que mais precisei e por estarem sempre presentes, apesar da distˆancia.

Aos meus irm˜aos, Alexsandro, Andreza e Andreia pela for¸ca. Ao Robert pelo aux´ılio no programa MATLAB.

A minha mulher Daniela, pelos momentos felizes, pelo apoio, compreensão e pela paciência que teve comigo quando eu não estava bem.

Ao Prof. Dr. Francisco César Polcino Milies, que me orientou neste trabalho com paciência e me proporcionou grandes oportunidades acadêmicas durante o doutorado.

Aos professores do IME-USP, em especial ao prof. Dr. Raul Ferraz, por estar sempre dispon´ıvel para me ouvir( sempre que eu descobria alguma coisa ia falar com ele antes de apresentar ao Polcino).

Aos amigos do IME, Alexander, John, Renata, Patricia, Fernanda, C´esar e Ulisses, pelos momentos de descontra¸c˜ao e pela companhia nos momentos de estudo.

A todos que contribu´ıram diretamente ou indiretamente com este trabalho.

(5)

(6)

Resumo

C´

odigos c´ıclicos sobre an´

eis de cadeia

Neste trabalho, usamos uma abordagem de anéis de grupo para caracterizar códigos c´ıclicos sobre anéis de cadeia, seus duais e algumas condi¸cões sobre códigos auto-duais. Caracterizamos também os códigos c´ıclicos livres sobre anéis de cadeia e por fim exibimos uma fórmula para o peso de qualquer código c´ıclico sobre anéis de cadeia de comprimento pn e 2pn.

Palavras-chave: anéis de grupo, anéis de cadeia, códigos c´ıclicos, peso de códigos c´ıclicos.

(7)

(8)

Abstract

Cyclic codes over chain rings

In this thesis, we use an approach of group rings to characterize cyclic codes over chain rings, their duals and some conditions on self-dual codes. It also features free cyclic codes over chain rings and finally we show a formula for the weight of any cyclic code over chain rings of length pn _{and 2p}n_.

Keywords: group rings, chain rings, cyclic codes, weight of cyclic codes.

(9)

(10)

Sum´

ario

1 Conceitos Preliminares 7

1.1 Resultados sobre an´eis e an´eis de grupos . . . 7

1.2 C´odigos c´ıclicos . . . 13

1.3 C´odigos c´ıclicos como ideais de RG . . . 16

1.4 Alguns Resultados sobre Res´ıduos Quadr´aticos . . . 19

2 Caracteriza¸cão de Códigos C´ıclicos sobre Anéis de Cadeia 23 2.1 Códigos C´ıclicos sobre Anéis de Cadeia . . . 24

2.2 C´odigos duais e auto duais . . . 29

3 Códigos de Comprimento pn sobre Anéis de Cadeia 37 3.1 Códigos que são livres como R-submódulos de RG . . . 45

3.2 C´odigos MDS de Comprimento pn _{. . . .} ₅₀

3.3 C´odigos MDS de Comprimento 2n . . . 54

3.3.1 Resultados Sobre C´odigos MDS de comprimento pn . . . 55

4 Códigos sobre Anéis de Cadeia de Comprimento 2pn 57 4.1 Peso M´ınimo de Códigos de Comprimento 2pn _{. . . .} ₅₈

4.2 C´odigos Livres de Comprimento 2pn _{Sobre An´}_{eis de Cadeia} _{. . . .} ₈₂

5 Conclus˜oes Finais 85

Referˆencias Bibliogr´aficas 89

Bibliografia 91

(11)

(12)

Introdu¸

c˜

ao

O avan¸co e a necessidade do uso de computadores e a utiliza¸cão de qualquer aparelho ou atividade que envolve códigos tem levado ao crescente estudo de uma parte importante da Teoria da Informa¸cão, que é a Teoria dos Códigos Corretores de Erros, que lida com o problema geral da transmissão de mensagens de forma confiável. O marco inicial da teoria dos códigos corretores de erros é o trabalho de C.E. Shannon, “A Mathematical Theory of Communication”, publicado em 1948.

A Teoria dos Códigos Corretores de Erros é um campo de pesquisa muito atual, tanto do ponto de vista cient´ıfico quanto tecnológico. A jun¸cão da teoria e de suas aplica¸cões vem tornando cada vez mais próximas a Matemática Pura e a Aplicada.

Descobertas recentes de que bons códigos binários não lineares estão relacionados com c´_{odigos lineares sobre Z}4 (veja em [5], [8], [16], [30]) têm motivado os estudos de códigos

sobre an´eis em geral. Pesquisas mais recentes podem ser vistas em [9], [11], [20], [25]. Como uma extens˜_{ao natural de Z}4, em [6], Carlderbank e Sloane determinaram a

es-trutura de c´_{odigos c´ıclicos sobre Z}pm, depois, Kanwar e L´opez-Permouth em [19] fizeram o

mesmo, mas com diferentes demonstra¸cões. Usando as mesmas técnicas que em [19], Wan em [37] estendeu os resultados de Kanwar e López-Permouth para códigos c´ıclicos sobre anéis de Galois. Em 1999, Norton e S˘al˘agean-Mandache em [28] estenderam os resultados

(13)

4 SUM ´ARIO

de [6] e [19] para códigos c´ıclicos sobre anéis de cadeia finitos. Mais adiante, em 2004, Dinh e López-Permouth em [10], demonstraram os mesmos resultados de [28] de uma forma diferente.

O peso de um código é uma informa¸cão fundamental, juntamente com um método de de-codifica¸cão. Em se tratando de códigos c´ıclicos sobre anéis, tanto o peso, quanto um método de decodifica¸cão são dif´ıceis de determinar e isto vem sendo alvo de estudos na atualidade. Em [7] Campello, Jorge e Costa desenvolveram um método de decodifica¸cão de códigos q-ários utilizando a métrica de Lee. Vale ressaltar que códigos q-ários são exemplos de códigos c´ıclicos sobre anéis de cadeia. Em [2], Babu e Zimmermann exibem um algor´ıtimo para decodifica¸cão de códigos sobre anéis de Galois, que também são exemplos de anéis de cadeia.

O objetivo principal deste trabalho é utilizar uma abordagem via anéis de grupo para provar de diferente forma os resultados de Dinh e López-Permouth em [10], onde as de-monstra¸cões de todos os resultados são feitas de forma mais simples e diretas e em alguns resultados, de forma mais geral. Como contribui¸cão original, vamos determinar o peso de qualquer código c´ıclico sobre anéis de cadeia finitos de comprimento pn _{e 2p}n_{, com algumas}

hipóteses adicionais e iremos caracterizar também os códigos c´ıclicos livres sobre anéis de cadeia, exibindo duas bases distintas para qualquer somando de um código c´ıclico livre.

O Cap´ıtulo 1 consiste de uma revisão de conceitos preliminares de anéis, anéis de grupo, códigos corretores de erros, códigos c´ıclicos e uma conexão entre o estudo de ideais em ´

algebras de grupo e c´odigos c´ıclicos.

No Cap´ıtulo 2, usando uma abordagem de anéis de grupo, provamos os resultados de Dinh e López-Permouth [10] sobre códigos c´ıclicos sobre anéis de cadeia de comprimento n e caracterizamos o código dual a um dado código e também os códigos auto-duais.

No Cap´ıtulo 3, consideramos o caso particular de c´odigos de comprimento pn_{com algumas}

hip´oteses sobre a rela¸c˜ao entre q e pn_{, onde | R |= q}l_{. Neste caso, a determina¸c˜}_{ao dos c´}_odigos

(14)

os poss´ıveis códigos c´ıclicos sobre anéis de cadeia finitos (ou uniseriais), caracterizamos os códigos c´ıclicos livres sobre anéis de cadeia, exibindo duas bases distintas para um dado código e por fim exibimos alguns resultados para códigos MDS.

No Cap´ıtulo 4, restringindo o comprimento para 2pn_{, calculamos o peso de todos os}

poss´ıveis códigos c´ıclicos sobre anéis de cadeia e caracterizamos os códigos c´ıclicos livres sobre anéis de cadeia de forma análoga ao feito no Cap´ıtulo 3.

(15)

(16)

CAP´

ITULO 1

Conceitos Preliminares

Neste cap´ıtulo apresentaremos os conceitos preliminares necessários para o entendi-mento e boa compreensão do texto. Não será apresentada a demonstra¸cão dos resultados.

No que segue, estaremos sempre considerando anéis comutativos com unidade e assim, não faremos distin¸cão entre ideais a direita e a esquerda tanto em defini¸cões quanto nos resultados.

1.1 Resultados sobre an´

eis e an´

eis de grupos

Os resultados nesta se¸cão podem ser encontrados em [1], [18], [21], [26], [31]. Admitimos conhecidos os conceitos básicos da teoria de Anéis e listamos alguns deles para estabelecer a nota¸cão do trabalho.

Defini¸cão 1.1.1 Um anel R é chamado anel de cadeia, ou uniserial, se o conjunto de todos os ideais formam uma cadeia com a rela¸cão de inclusão.

Defini¸c˜ao 1.1.2 Seja R um anel finito comutativo. Um ideal I de R ´e chamado principal

(17)

8 1.1 - Resultados sobre an´eis e an´eis de grupos

se ele é gerado por um único elemento. Um anel R é chamado anel de ideais principais se todo ideal de R é principal.

Defini¸cão 1.1.3 Um anel R é chamado local se possui um único ideal maximal.

Teorema 1.1.4 Para um anel comutativo R as seguintes condi¸cões são equivalentes: (i) R é um anel local e o ideal maximal M de R é principal.

(ii) R ´e um anel local de ideais principais. (iii) R ´e um anel de cadeia.

Defini¸cão 1.1.5 Um anel R é chamado anel serial, se R é uma soma direta de anéis de cadeia.

Proposi¸cão 1.1.6 Sejam R um anel de cadeia finito e comutativo com unidade, com ideal maximal M = hai, t o ´ındice de nilpotência de a em R e R = _MR. Então:

(a) Para algum primo q e inteiros positivos k e l (k ≥ l), | R |= qk_{, | R |= q}l _{e a}

caracter´ıstica de R e R s˜ao potˆencias de q.

(b) Para i = 0, 1, 2, ..., t, | haii |=| R |t−i_{. Em particular, | R |=| R |}t_{, isto ´}_{e, k = lt.}

Defini¸c˜ao 1.1.7 Um elemento e de um anel R ´e dito idempotente se e2 _{= e. Dois}

idem-potentes ei e ej s˜ao chamados ortogonais se ei · ej = 0. Um idempotente e ´e central se

e · r = r · e, para todo r ∈ R. Um idempotente e ´e chamado primitivo se sempre que escrevermos e = e1+ e2, com e1 e e2 idempotentes ortogonais, ent˜ao ou e1 = 0 ou e2 = 0.

Proposi¸c˜ao 1.1.8 Se R = I0⊕ ... ⊕ Ij para alguns ideais I0, ..., Ij, ent˜ao existem

(18)

Defini¸c˜ao 1.1.9 Um ideal I de R ´e chamado nil, se para cada x ∈ I, existe um inteiro n, tal que xn _{= 0.}

Um ideal I de um anel R ´e chamado nilpotente se existe um inteiro positivo n, tal que In _{= 0, onde I}n _´_{e o conjunto de todas as somas finitas da forma}

n

X

i=1

x1x2...xn, com

xi ∈ I, 1 ≤ i ≤ n.

Defini¸cão 1.1.10 Seja R um anel. O radical de Jacobson de R, denotado por J (R) é a interseçcão de todos os ideais maximais de R.

Proposi¸c˜ao 1.1.11 Seja R um anel. Todo ideal nil de R est´a contido em J (R). ´

E claro que se um ideal I de R é nilpotente, então I é nil. Logo, todo ideal nilpotente esta contido em J (R).

Proposi¸cão 1.1.12 ( [18], Proposi¸cão 7.14) Seja R anel comutativo e N um nil ideal em R, e f = u + N um idempotente de R = _NR. Então existe um único idempotente e em R tal que e = f .

Defini¸c˜ao 1.1.13 Dois ideais I1 e I2 s˜ao chamados coprimos (ou comaximais) se

I1+ I2 = h1i.

Claramente dois ideais I1 e I2 s˜ao coprimos se, e somente se, existem x ∈ I1 e y ∈ I2 tais

que x + y = 1.

Proposi¸cão 1.1.14 Se I1,...,In são ideais coprimos aos pares, então

I1I2...In = I1∩ I2∩ ... ∩ In.

Teorema 1.1.15 (Teorema Chinˆes do Resto) Se I1,....,In s˜ao ideais de um anel R

co-primos dois a dois, ent˜ao

R I1...In ' R I1 × ... × R In .

(19)

Defini¸c˜ao 1.1.16 Seja R um anel, M um ideal de R e R = R

M. Considere a aplica¸c˜ao −_{: R[x] → R[x]} f (x) =Ps i=0rixi 7→ f (x) = Ps i=0rixi ,

onde ri = ri + M , para todo ri ∈ R. Um polinômio f ∈ R[x] é chamado básico

irredut´ıvel sobre R se f é irredut´ıvel em R[x] e regular sobre R se ele não é um divisor de zero.

Proposi¸c˜ao 1.1.17 ( [21],Teorema XIII.2(c)) Seja f = a0 + a1x + ... + anxn ∈ R[x].

Então são equivalentes: i) f é regular,

ii) < a0, ..., an >= R,

iii) ai ´e uma unidade para algum i, 0 ≤ i ≤ n,

iv) f 6= 0.

O pr´oximo teorema ´e chamado de Lema de Hensel e pode ser encontrado em [21], Teorema XIII.4

Lema 1.1.18 (Lema de Hensel) Seja f um polinˆomio sobre R e assuma f = g1g2...gr,

onde g1, g2,...,gr são polinômios coprimos dois a dois sobre R. Então existem polinômios

f1,f2,...,fr coprimos dois a dois sobre R tais que f = f1f2...fr e fi = gi, para i = 1, 2, ..., r.

Proposi¸cão 1.1.19 ( [21], Teorema XIII.7) Seja f um polinômio regular sobre R[x]. Se f é básico irredut´ıvel, então f é irredut´ıvel.

Defini¸c˜ao 1.1.20 Seja G um grupo e R um anel. O anel de grupo de G sobre R, denotado por RG, ´e o conjunto dos elementos da forma

α =X

g∈G

(20)

onde xg ∈ R e xg = 0 quase sempre, ou seja, somente um n´umero finito de coeficientes s˜ao

diferentes de zero.

Defini¸c˜ao 1.1.21 Dado um elemento α =X

g∈G

agg ∈ RG, definimos o suporte de α,

deno-tado por supp(α) como sendo

supp(α) = {g ∈ G : ag 6= 0}.

Observe que, dados dois elementos α = X

g∈G

agg e β =

X

g∈G

bgg ∈ RG, temos α = β se, e

somente se, ag = bg, para todo g ∈ G.

Com as seguintes defini¸cões de soma e produto de dois elementos em RG e produto de um elemento de RG por um elemento λ ∈ R, o anel de grupo RG possui estrutura de anel e de R-módulo. • (X g∈G agg) + ( X g∈G bgg) = X g∈G (ag + bg)g; • α · β = X g,h∈G agbhgh, onde α = X g∈G agg e β = X h∈G bhh; • λ(X g∈G agg) = X g∈G λagg. Defini¸cão 1.1.22 O homomorfismo ξ : RG → R (X g∈G agg) 7→ X g∈G ag ´

e chamado aplica¸c˜ao de aumento de RG e seu n´ucleo, denotado por

M (G) = {X

g∈G

ag(g − 1) : g ∈ G, g 6= 1}, ´e chamado ideal de aumento de RG.

Proposi¸cão 1.1.23 Se H é um subgrupo de um grupo G, então

M (G : H) = {X

ht

(21)

onde τ ´e um transversal de H em G, ´e um ideal de RG.

Corolário 1.1.24 Se H é um subgrupo normal de um grupo G, então

RG

M (G : H) ' R( G H).

Proposi¸cão 1.1.25 Se I é um ideal bilateral de um anel R e G é um grupo comutativo, então IG = {X

g∈G

agg ∈ RG : ag ∈ I} ´e um ideal bilateral de RG e RG_IG ' (R_I)G.

Proposi¸cão 1.1.26 Seja {Ri}i∈I uma fam´ılia de anéis e seja R = ⊕i∈IRi. Então para

qualquer grupo G, RG 'X

i∈I

RiG.

Teorema 1.1.27 (Teorema de Maschke) Seja G um grupo. O anel de grupo RG é se-misimples se, e somente se, as seguintes condi¸cões são satisfeitas:

(i) R ´e um anel semisimples. (ii) G ´e finito.

(iii) | G | ´e invers´ıvel em R.

Corolário 1.1.28 Sejam G um grupo finito e K um corpo. A álgebra KG é semisimples se, e somente se, car(K) não divide | G |.

Corolário 1.1.29 Se G é um grupo abeliano finito e K um corpo tal que car(K) não divide | G |, então KG é uma soma direta de corpos.

Teorema 1.1.30 ( [21], Teorema VII.8) Seja e um idempotente não nulo de um anel R. As seguintes condi¸cões são equivalentes:

(1) e ´e primitivo.

(22)

(3) Re ´e indecompon´ıvel.

Note que, no caso particular em que R e G s˜ao comutativos, temos o seguinte.

Corolário 1.1.31 Seja e um idempotente não nulo de um anel RG. As seguintes condi¸cões são equivalentes:

(1) e ´e primitivo.

(2) RGe ´e um anel local. (3) RGe ´e indecompon´ıvel.

Teorema 1.1.32 Sejam R um anel com unidade e H um subgrupo de um grupo G. Se | H | ´

e invers´ıvel em R, ent˜ao eH = bH ´e um idempotente em RG, onde bH = _|H|1

X h∈H h. Além disso, se H G, então eH é central e RGeH ' R( G H).

1.2 C´

odigos c´ıclicos

Nesta se¸cão, abordaremos sem muitos detalhes conceitos de códigos corretores de erros. Os resultados e defini¸cões apresentados nesta se¸cão podem ser encontrados em [6], [30].

Defini¸cão 1.2.1 Um conjunto finito A será chamado de alfabeto e o número de elementos de A será denotado por | A |.

Defini¸cão 1.2.2 Um código corretor de erros é um subconjunto próprio qualquer de An_,

para algum número natural n. Os elementos de um código corretor de erros serão chamados de palavras.

A fim de tornar poss´ıvel medir a distˆancia entre palavras de um dado c´odigo em An_,

(23)

14 1.2 - C´odigos c´ıclicos

Defini¸c˜ao 1.2.3 Dados dois elementos u = (u1, ..., un) e v = (v1, ..., vn) ∈ An, a distˆancia

de Hamming entre u e v ´e definida por

d(u, v) =| {i; ui 6= vi, 1 ≤ i ≤ n} | .

Observe que a distância de Hamming é simétrica, satisfaz a desigualdade triangular e d(u, v) ≥ 0, para todo u, v ∈ An_{. Por isso, ´}_{e tamb´}_{em chamada de m´}_{etrica de Hamming.}

Defini¸cão 1.2.4 A distância m´ınima de um código C é o inteiro

d(C) := min{d(x, y); x, y ∈ C e x 6= y,

onde d(x, y) ´e a distˆancia de Hamming entre x e y.

Uma classe de códigos muito utilizada na prática é a chamada classe dos códigos lineares. Para definir esta classe de códigos, iremos considerar um anel finito R como sendo o alfabeto e Rn _{um conjunto de n-uplas de elementos de R como um m´}_{odulo sobre R de maneira usual.}

Defini¸c˜ao 1.2.5 Um subconjunto C ⊂ Rn _´_{e chamado um c´}_{odigo linear de}

compri-mento n sobre R, se C é um R-submódulo próprio de Rn.

Defini¸c˜ao 1.2.6 Dado β = (r1, ..., rn) ∈ Rn, defini-se o peso de β como sendo o n´umero

inteiro

w(β) =| {i; ri 6= 0} | .

Observe que o peso de um elemento β é a distância de Hamming entre β e zero. Defini¸cão 1.2.7 O peso m´ınimo de um código linear C ⊂ Rn _´_{e o inteiro}

w(C) := min{w(β); β ∈ C\{0}}.

(24)

(i) d(β1, β2) = w(β1 − β2), para todo β1, β2 ∈ Rn.

(ii) d(C) = w(C).

Defini¸cão 1.2.9 Para um código linear C de comprimento n sobre R, definimos o posto de C, denotado por posto(C), como sendo o número m´ınimo de geradores de C. Definimos o posto livre de C, denotado por postolivre(C), como sendo o máximo dos postos de R-submódulos livres de C.

Defini¸c˜ao 1.2.10 Dizemos que um c´odigo linear C ⊂ Rn _´_{e livre se postolivre(C) =}

posto(C).

Dentro da classe dos códigos lineares, existe uma importante subclasse de códigos, conhecida como classe dos códigos c´ıclicos, que será nosso principal interesse. Códigos c´ıclicos são importantes na prática, devido aos eficientes métodos de codifica¸cão e decodifica¸cão existentes quando tomamos o anel como sendo um corpo. Não entraremos em detalhes so-bre codifica¸cão e decodifica¸cão, mas estes podem ser estudados em [14], onde o alfabeto em questão é um corpo.

Defini¸cão 1.2.11 Um código linear C é dito c´ıclico se para toda palavra β = (r1, ..., rn) ∈

C, sua troca c´ıclica tamb´em est´a em C, ou seja, a palavra β0 = (rn, r1, ..., rn−1) ∈ C.

Sejam u = (u1, ..., un) e v = (v1, ..., vn) elementos de Rn. Define-se o produto escalar

de u e v por

u · v = u1v1+ ... + unvn.

O produto escalar possui as propriedades usuais de um produto interno.

Defini¸c˜ao 1.2.12 Sejam u e v ∈ Rn_{. Dizemos que u e v s˜}_{ao ortogonais se u · v = 0.}

Defini¸c˜ao 1.2.13 Seja C ⊂ Rn um c´odigo linear, define-se

(25)

16 1.3 - C´odigos c´ıclicos como ideais de RG

Proposi¸c˜ao 1.2.14 Se C ⊂ Rn _´_{e um c´}_{odigo linear, ent˜}_{ao C}⊥ _´_{e um R-subm´}_{odulo de R}n_.

Defini¸cão 1.2.15 Dado um código linear C, chamaremos de C⊥ de código dual de C.

Lema 1.2.16 Seja R um anel finito de ordem qβ_{, q primo. O n´}_{umero de palavras em}

qualquer c´odigo linear de comprimento n sobre R ´e qk _{, para algum inteiro k ∈ {0, ..., βn} .}

Al´em disso, o c´odigo dual C⊥ tem ql palavras, onde k + l = βn.

1.3 C´

odigos c´ıclicos como ideais de RG

Nesta se¸cão exibiremos uma conexão entre códigos c´ıclicos e ideais em anéis de grupo. Os resultados aqui apresentados, podem ser encontrados em [24], [34].

Seja R um anel comutativo com unidade e G um grupo c´ıclico de ordem n gerado por g. Seja C um R-subm´odulo de Rn. Considere agora o homomorfismo de m´odulos ψ dado por

ψ : Rn _{→ RG}

β = (r0, ..., rn−1) 7→ r0+ r1g + r2g2+ ... + rn−1gn−1

.

Observe que C é um código c´ıclico em Rn se, e somente se, ψ(C) é um ideal em RG. De fato, seja C um código c´ıclico em Rn. Como ψ é um R-homomorfismo, para todo r ∈ R e x ∈ C, temos r · ψ(x) = ψ(r · x). Como C é um R-submódulo de Rn, temos r · x ∈ C e portanto r · ψ(x) ∈ ψ(C). Para provarmos que ψ(C) é um ideal em RG é suficiente provar que g · ψ(x) ∈ ψ(C), para todo x ∈ C. Seja x = (x0, ..., xn−1) ∈ C,

g · ψ(x) = g · (x0 + x1g + ... + xn−1gn−1) = xn−1 + x0g + x1g2 + ... + xn−2gn−1. Como

x = (x0, ..., xn−1) ∈ C e C ´e c´ıclico, ent˜ao (xn−1, x0, ..., xn−2) ∈ C. Portanto,

ψ((xn−1, x0, ..., xn−2)) = xn−1+ x0g + x1g2+ ... + xn−2gn−1

= g · ψ(x) ∈ ψ(C).

(26)

c´ıclico em Rn_{. Para isso, basta provar que se x = (x}

0, ..., xn−1) ∈ C, ent˜ao (xn−1, x0, ..., xn−2) ∈

C. Como x = (x0, ..., xn−1) ∈ C, ent˜ao x0 + x1g + ... + xn−1gn−1 ∈ ψ(C). Como ψ(C) ´e

ideal, temos g · ψ(x) ∈ C. Logo xn−1 + x0g + x1g2 + ... + xn−2gn−1 ∈ ψ(C). Assim,

(xn−1, ..., xn−2) ∈ C.

Defini¸c˜ao 1.3.1 A palavra (a0, a1, ..., an−1) ∈ Rn ´e definida como palavra associada a

α = a0+ a1g + ... + an−1gn−1 ∈ RG.

Uma outra abordagem muito utilizada no estudo de códigos é a de anéis polinomiais. É fácil ver que RG ' _(xR[x]n₋₁₎, onde G é um grupo c´ıclico de ordem n e R anel comutativo com

unidade.

Seja xn_{− 1 = g}

0...gm a decomposi¸c˜ao de xn− 1 em polinˆomios irredut´ıveis coprimos

dois a dois em R[x]. Pelo Lema de Hensel1.1.18, sabemos que existem polinˆomios f0,...,fm,

coprimos dois a dois em R[x] tais que xn− 1 = f0...fm . Como fi ´e regular, para 0 ≤ i ≤ m,

pela proposi¸c˜ao1.1.19, temos fi irredut´ıvel.

Sabemos que

RG ' R[x]

(xn_{− 1)},

onde G ´e um grupo c´ıclico de ordem n e xn_{− 1 = f}

0.f1...fm´e a decomposi¸c˜ao de xn− 1 como

produto de polinˆomios irredut´ıveis coprimos dois a dois em R[x]. Pelo Teorema Chinˆes do Resto (1.1.15), temos R[x] (xn_{− 1)} ' R[x] (f0) ⊕ ... ⊕ R[x] (fm) .

Assim, informa¸cões importantes sobre os códigos c´ıclicos sobre R podem ser obtidas através dos anéis R[x]_(f

i). Observe tamb´em que devido ao isomorfismo podemos afirmar que

existe um conjunto de idempotentes primitivos ortogonais com exatamente m + 1 elementos, tal que

(27)

18 1.3 - C´odigos c´ıclicos como ideais de RG

onde, reordenando as parcelas se preciso, temos RGer' R[x]_(f_r₎ e assim,

| RGer |=| R |wr , onde wr = grau(fr).

A fim de simplificar a nota¸c˜ao, denotaremos _(xR[x]n₋₁₎ por Rn.

Teorema 1.3.2 Um polinômio mônico p(x) em Rn é um polinômio gerador para um

c´odigo c´ıclico C, isto ´e, C =< p(x) > se, e somente se, p(x) divide xn− 1.

Teorema 1.3.3 Sejam C1 =< g1(x) > e C2 =< g2(x) > c´odigos c´ıclicos em Rn. Ent˜ao,

C1 ⊂ C2 se, e somente se, g2(x) divide g1(x).

Consideremos a seguinte caracteriza¸c˜ao para os idempotentes primitivos es’s que pode

ser encontrada em [34] ou [22]. Seja Cs a classe ciclotômica módulo n que contêm s e α uma

raiz n-´esima primitiva da unidade. Ent˜ao,

es = 1 n n−1 X i=0 X j∈Cs α−ijgi. (1.1) Considere a aplica¸c˜ao ∗ _{: RG} _{→ RG} α = a0+ a1g + ... + an−1gn−1 7→ α∗ = a0+ a1g−1+ a2g−2+ ...an−1g1 ,

chamada involu¸c˜ao cl´assica de RG. Vejamos algumas propriedades de ∗. Sejam α, β ∈ RG e r ∈ R. Temos

• (α + β)∗ _{= α}∗_{+ β}∗_.

• (r · α)∗ _{= r(α)}∗_.

(28)

´

E fácil ver que ∗ é um isomorfismo de anéis. Observe também que ∗ : RGei → RGe∗i é

isomorfismo de an´eis. Portanto, | RGei |=| RGe∗i |.

Teorema 1.3.4 Sejam α = a0+ a1g + ... + an−1gn−1 e β = b0+ b1g + ... + bn−1gn−1. Ent˜ao,

α · β = 0 em RG se, e somente se, (a0, a1, ..., an−1) ´e ortogonal em Rn a (bn−1, bn−2, ..., b1, b0)

e todas as suas trocas c´ıclicas.

Defini¸cão 1.3.5 Dizemos que duas palavras α e β ∈ RG são ortogonais se suas palavras associadas em Rn são ortogonais.

1.4 Alguns Resultados sobre Res´ıduos Quadr´

aticos

Nesta se¸cão, apresentaremos alguns resultados sobre res´ıduos quadráticos, que serão necessários em resultados no próximo cap´ıtulo sobre códigos auto-duais. O conteúdo desta se¸cão pode ser encontrado em [4], [27], [33], [35], [36].

Defini¸cão 1.4.1 Sejam a e m inteiros relativamente primos, isto é, mdc(a, m) = 1. Se a congruência quadrática x2 _{≡ a(modm) tem uma solu¸c˜}_{ao, ent˜}_{ao a dito ser um res´}_ıduo

quadrático de m, caso contrário a é chamado de não res´ıduo quadrático de m.

Euler deu um critério simples para saber quando um inteiro a é um res´ıduo quadrático de um dado primo q.

Teorema 1.4.2 Seja q um primo ´ımpar e mdc(a, q) = 1. Então a é um res´ıduo quadrático ou não res´ıduo quadrático de q quando aq−12 ≡ 1(modq) ou a

q−1

2 ≡ −1(modq),

respectiva-mente.

Para simplificar a nota¸c˜ao, definiremos a seguir o s´ımbolo de Legendre, introduzido pelo matem´atico Adrien Marie Legendre(1752-1833), em 1798.

(29)

20 1.4 - Alguns Resultados sobre Res´ıduos Quadr´aticos

Defini¸c˜ao 1.4.3 Seja q um primo ´ımpar e mdc(a, q) = 1. O s´ımbolo de Legendre (a|q) ´e definido por: (a|q) =     

1, se a é um res´ıduo quadrático de q. −1, se a é um não res´ıduo quadrático de q.

No s´ımbolo de Legendre (a|q), a e q s˜ao chamados numerador e denominador, respecti-vamente.

Observa¸c˜ao 1.4.4 Pelo Teorema 1.4.2 e pela defini¸c˜ao do s´ımbolo de Legendre, para um inteiro ´ımpar q e um inteiro a com mdc(a, q) = 1, temos

(a|q) =     

1, se e somente se, aq−12 ≡ 1(modq).

−1, se e somente se, aq−12 ≡ −1(modq).

A seguir, exibiremos algumas propriedades elementares do s´ımbolo de Legendre.

Proposi¸c˜ao 1.4.5 Sejam q um primo ´ımpar, a e b inteiros relativamente primos com q, Ent˜ao:

(i) Se a ≡ b(modq), ent˜ao (a|q) = (b|q); (ii) (a|q) ≡ aq−12 (modq);

(iii) (ab|q) = (a|q)(b|q); (iv) (a2_{|q) = 1;}

(v) (ab2|q) = (a|q)(b2_{|q) = (a|q).}

Teorema 1.4.6 (Lema de Gauss) Seja q um primo ´ımpar e mdc(a, q) = 1. Se k denota o n´umero de inteiros no conjunto S = {a, 2a, 3a, ...,q−1₂ a} cujo resto da divis˜ao por q excede

q

2, ent˜ao (a|q) = (−1) k_.

(30)

Teorema 1.4.7 (Lei da Reciprocidade Quadrática) Se p e q são primos ´ımpares dis-tintos, então

(p|q)(q|p) = −1(p−12 q−1

2 ).

Teorema 1.4.8 Se p e q s˜ao primos ´ımpares distintos, ent˜ao

(i) (p|q)(q|p) =      1, se p ≡ 1(mod4) ou q ≡ 1(mod4) −1 se p ≡ q ≡ 3(mod4). (ii) (p|q) =      (q|p), se p ≡ 1(mod4) ou q ≡ 1(mod4) −(q|p) se p ≡ q ≡ 3(mod4).

O Lema de Gauss 1.4.6e a Lei da Reciprocidade Quadrática 1.4.7nos permitem calcular (a|q) para valores espec´ıficos de a. A proposi¸cão seguinte nos fornece uma lista de alguns destes cálculos.

Proposi¸c˜ao 1.4.9 Seja q um primo ´ımpar. Ent˜ao: (i) (1|q) = 1 e (−1|q) = (−1)q−12 ; (ii) (−1|q) =      1, se q ≡ 1(mod4) −1 se q ≡ 3(mod4). (iii) (2|q) =      1, se q ≡ 1(mod8) ou q ≡ 7(mod8) −1 se q ≡ 3(mod8) ou q ≡ 5(mod8). (iv) (−2|q) =      1, se q ≡ 1(mod8) ou q ≡ 3(mod8) −1 se q ≡ 5(mod8) ou q ≡ 7(mod8). (v) (5|q) =      1, se q ≡ 1, 9, 11, 19(mod20) −1 se q ≡ 3, 7, 13, 17(mod20). (vi) (6|q) =      1, se q ≡ 1, 5, 19, 23(mod24) −1 se q ≡ 7, 11, 13, 17(mod24).

(31)

22 1.4 - Alguns Resultados sobre Res´ıduos Quadráticos (vii) (7|q) =      1, se q ≡ 1, 3, 9, 19, 25, 27(mod28) −1 se q ≡ 5, 11, 13, 15, 17, 23(mod28). (viii) (11|q) =      1, se q ≡ 1, 5, 7, 9, 19, 25, 35, 37, 39, 43(mod44) −1 se q ≡ 3, 13, 15, 17, 21, 23, 27, 29, 31, 41(mod44). Se além disso o primo ´ımpar q é > 3, então,

(ix) (3|q) =      1, se q ≡ 1(mod12) ou q ≡ 11(mod12) −1 se q ≡ 5(mod12) ou q ≡ 7(mod12). (x) (−3|q) =      1, se q ≡ 1(mod6) −1 se q ≡ 5(mod6).

Proposi¸cão 1.4.10 Seja q um primo ´ımpar, k um inteiro positivo e mdc(a, q) = 1. Então a é um res´ıduo quadrático de qk _{se, e somente se, (a|q) = 1.}

Teorema 1.4.11 Seja m = 2k0_pk1

1 ...pkrr a fatoriza¸c˜ao de m, com pi primo e mdc(a, m) = 1.

Então a é um res´ıduo quadrático de m se, e somente se, (i) para i = 1, ..., r, (a|pi) = 1;

(ii) a ≡      1(mod4), _{se 4|m mas 8 - m} 1(mod8), se 8|m.

(32)

CAP´

ITULO 2

Caracteriza¸

c˜

ao de C´

odigos C´ıclicos

sobre An´

eis de Cadeia

Neste cap´ıtulo iremos identificar todos os poss´ıveis códigos c´ıclicos C em anéis de grupo sobre um anel de cadeia finito R, comutativo com unidade, com | R |= qk com q primo e G um grupo c´ıclico finito de ordem n, onde q não divide n. Determinaremos o número de códigos existentes sobre um dado anel, provaremos que RG é um anel de ideais principal e para finalizar, iremos caracterizar o código dual a um dado código C e também alguns resultados sobre códigos auto-duais.

Em [10], López-Permouth e Dinh caracterizam códigos sobre anéis de cadeia para um comprimento n onde a caracter´ıstica do anel R é qm e q não divide n; determinam o número de elementos dos mesmo e exibem o dual de um dado código utilizando linguagem de anéis polinomiais. Aqui, faremos o mesmo utilizando uma abordagem de anéis de grupo, porém, de maneira mais simples. No próximo cap´ıtulo apresentaremos resultados novos, utilizando a abordagem de anéis de grupo.

(33)

24 2.1 - C´odigos C´ıclicos sobre An´eis de Cadeia

2.1 C´

odigos C´ıclicos sobre An´

eis de Cadeia

A seguir exibiremos alguns resultados para o desenvolvimento da teoria.

Observe que se R é anel de cadeia comutativo com unidade e M é o ideal maximal de R, então R = _MR é um corpo. Daqui em diante estaremos sempre nos referindo a anéis de cadeia onde q -| G |.

Pela Proposi¸cão 1.1.6, sabemos que, | R |= qk, então car(R) é uma potência de q. A seguir, temos um teorema usado como ferramenta na caracteriza¸cão dos códigos sobre anéis de cadeia, que é um caso particular da Proposi¸cão 1.1.25.

Teorema 2.1.1 Seja R anel de cadeia e M o ideal maximal de R. Ent˜ao

RG M G ∼ = R M G.

Como estamos considerando que q - n, onde | R |= qk e | G |= n, pela Proposi¸c˜ao 1.1.6, car(R

M) -| G |. Agora, pelo Corol´ario 1.1.28,

R M

G ´e semisimples e, pela Proposi¸c˜ao 1.1.8, existem idempotentes primitivos ortogonais e0, ..., emtais que RG = RGe0⊕...⊕RGem. Pelo

Teorema2.1.1e pela Proposi¸cão1.1.12, existe uma única fam´ılia de idempotentes ortogonais {e0, ..., em} em RG tal que RG = RGe0 ⊕ ... ⊕ RGem. Nosso objetivo agora é garantir que

{e0, ..., em} ´e um conjunto de idempotentes primitivos ortogonais em RG.

Teorema 2.1.2 Sejam R um anel local com ideal maximal M =< a >, com | R |= qk _e

G um grupo c´ıclico de ordem n, onde q - n. Se {eo, ..., em} ´e o conjunto de idempotentes

primitivos ortogonais em RG, ent˜ao {eo, ..., em} ´e o conjunto de idempotentes primitivos

ortogonais em RG. Prova: Considere φ : RGek → _{M G}RGek n X i=0 rigiek 7→ n X i=0 rigiek .

(34)

Suponhamos ek = bk + ck, onde bk e ck s˜ao idempotentes ortogonais. Ent˜ao

ek = bk + ck. Como ek ´e um idempotente primitivo, temos bk = 0 ou ck = 0. Logo,

bk ∈ M G ou ck ∈ M G. Como M G ´e nilpotente, temos bk = 0 ou ck = 0. Portanto, ek ´e

idempotente primitivo.

No teorema a seguir, iremos caracterizar todos os códigos c´ıclicos de comprimento n sobre RGei, onde R é um anel de cadeia e ei é um idempotente primitivo ortogonal.

Sabemos pelo Corol´ario1.1.31, que RGei ´e um anel local. No que segue, para simplificar

a nota¸c˜ao, escreveremos os ideais da forma (RG)ajei como hajeii.

Teorema 2.1.3 Seja R um anel de cadeia finito, comutativo com unidade, com | R |= qk, M = hai ideal maximal de R e t o ´ındice de nilpotˆencia de a em R. Seja G = Cn, onde

q - n. Se I é um ideal de RGei, então I é da forma I =akiei, com 0 ≤ ki ≤ t.

Prova: Seja I um ideal n˜ao nulo de RGei, com I 6= (RG)ei. Seja ζ 6= 0 um elemento de

I, logo ζ = xei, com x ∈ RG. Como M ´e ideal maximal de R, _MRGei ´e corpo e, como R MGei ' RGei M Gei e R M

Gei ´e uma componente simples de

R M

G, pelo Corol´ario 1.1.29,

RGei

M Gei é um corpo. Assim, conclu´ımos que M Gei é ideal maximal de RGei. Pelo Corolário

1.1.31, sabemos que RGei ´e anel local. Como ζ ∈ M Gei, podemos escrever ζ = P αggei,

com αg ∈ M . Ent˜ao αg = rga, rg ∈ R. Assim, ζ = P rgagei = (P rgg)aei ∈ haeii e,

portanto, I ⊂ haeii.

Agora seja k o maior inteiro positivo tal que I ⊂ akei. Com isso, existe ζ ∈ I tal que

ζ n˜ao pertence a ak+1ei. Provemos que ζ = akβei, com β ∈ RGei invers´ıvel. De fato,

suponhamos que β n˜ao seja invers´ıvel. Como _MRGei ´e corpo, temos que β ∈ M Gei; com

isso, β = aβ0, β0 ∈ RGei e assim temos ζ = ak.aβ

0

ei ∈ ak+1ei, o que ´e uma contradi¸c˜ao.

Logo, existe γ ∈ RGei tal que βγ = ei. Portanto, akei = akβγei = akβei.γei = (ζ).γei ∈ I e

com isso conclu´ımos que I =ak_e i.

(35)

Corolário 2.1.4 Com as mesmas hipóteses do Teorema anterior, o ideal RGei é

indecompon´ıvel em RG e o c´odigo gerado por hat−1_e

ii ´e minimal.

Observe que como qualquer ideal I de RGei é da forma I = akiei, então RGei é anel

de cadeia.

Seja {e0, ..., em} o conjunto dos idempotentes primitivos de RG. No teorema a seguir

iremos caracterizar todos os códigos c´ıclicos de comprimento n sobre anéis de cadeia. Teorema 2.1.5 Seja R um anel de cadeia finito e comutativo, com ideal maximal M = hai, t o ´ındice de nilpotência de a em R, com | R |= qk _{e G = hg}

0; gn0 = 1i tal que q - n. Se I ´e

um ideal de RG, ent˜ao I ´e da forma I = I0 ⊕ ... ⊕ Im, onde Ii =akiei, com 0 ≤ ki ≤ t.

Prova: Escrevemos RG = RGeo ⊕ ... ⊕ RGem. Do Teorema 2.1.3, RGei ´e um anel de

cadeia. Falta provar apenas que se I ´e um ideal de RG, ent˜ao existem ideais I0,...,Im de

RGe0,...,RGem respectivamente, tais que I = I0+ ... + Im. De fato, seja I um ideal pr´oprio

não nulo de RG. Como RG é finito, então I é finito. Podemos listar os elementos de I na forma I = {α1, ..., αk}. Como {e0, ..., em} é um conjunto de idempotentes ortogonais

primitivos, com 1 = e0 + ... + em, temos :

α1 = α1e0+ . . . + α1em

..

. ... ...

αk = αke0+ . . . + αkem

.

Como RGe0 ´e um anel de cadeia, existe j0 ∈ {1, ..., k} tal que hαie0i ⊂ hαj0e0i,

para todo i ∈ {1, ..., k}. Pelo Teorema 2.1.3, existe k0 tal que < αj0e0 >=< a

k0_e

0 >. De

forma an´aloga, para cada ´ındice ρ, 1 ≤ ρ ≤ m, existe jρtal que hαieρi ⊂αjρeρ. Novamente

pelo Teorema 2.1.3, existe kρ tal que αjρeρ = a

kρ_e

ρ = Iρ. Assim, dado αi ∈ I,

αi = αie0+ ... + αiem ∈ak0e0 ⊕ ... ⊕ akmem = I0⊕ ... ⊕ Im.

(36)

A seguir, iremos demonstrar um resultado que ser´a necess´ario mais adiante.

Lema 2.1.6 Seja R um anel local com ideal maximal M = hai e t o ´ındice de nilpotˆencia de a. Ent˜ao x · at−k = 0 se, e somente se, x ∈ak, onde x ∈ R e 0 < k < t.

Prova:

Como x não é invers´ıvel, temos que x ∈ hai. Seja r < k o maior ´ındice tal que x ∈ hari. Assim, x = x1.ar. Mostremos que x1 é invers´ıvel. De fato, se x1 não é invers´ıvel, então

x1 ∈ hai e assim, x ∈ har+1i, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Como x · at−k = 0, temos que

x1.at−k+r = 0, onde t − k + r < t. Como x1 ´e invers´ıvel, temos que at−k+r = 0, o que

contradiz o ´ındice de nilpotˆencia de a. Portanto, x ∈ak_.

J´a vimos no cap´ıtulo anterior que

RG = RGe0⊕ ... ⊕ RGem ' R[x] (xn_{− 1)} ' R[x] (f0) ⊕ ... ⊕ R[x] (fm) ,

onde, reordenando as parcelas se necess´ario, temos RGei ' R[x]_(f

i). Portanto, | RGei |=| R |

wi_,

onde wi = grau(fi).

Teorema 2.1.7 Seja C um c´odigo c´ıclico da forma C =aki1_e_i

1 ⊕ ... ⊕ a kir_e ir. Então, o número de palavras de C é | C |=| R | r X s=1 (t − kis)wis .

Prova: Como C ´e uma soma direta, temos | C |=|ak_i1_e

(37)

Claramente ψ é um epimorfismo de grupos aditivos. O núcleo de ψ é dado por

ker(ψ) = {α ∈ RG; αak= 0}.

Pelo Lema 2.1.6, temos αak = 0 se, e somente se, α ∈at−k G. Portanto,

RGak ' RG hat−k_{i G}. Como RG hat−k_i_G ' R <at−k_> G, temos, |RGaki_e i| = R < at−ki > Gei = R hat−kii wi = | R | | hat−kii | wi =| R |(t−ki)wi _. Logo, | C |=| R | r X s=1 (t − kis)wis .

Seja {e0, ..., em} o conjunto dos idempotentes primitivos de RG. No teorema a seguir,

iremos calcular o n´umero de todos os c´odigos c´ıclicos poss´ıveis sobre um anel de cadeia.

Teorema 2.1.8 Sejam R um anel de cadeia finito e comutativo, com ideal maximal M =< a >, t o ´ındice de nilpotˆencia de a, com | R |= qk _{e G =< g}

0; g0n = 1 >, onde

q - n. Então o número de códigos c´ıclicos de comprimento n sobre R é (t + 1)m+1_.

Prova: Sabemos, do teorema anterior, que se I é um ideal de RG, então I é da forma I =ak0_e

0 ⊕ ... ⊕ akmem, com 0 ≤ kj ≤ t.

Suponhamos ak_e

i = alei, com k < l. Assim, existe ζ ∈ RG tal que akei = aleiζ.

Multiplicando por at−l _{em ambos os lados temos a}k+t−l_e

i = 0. Como k < l, temos que

k + t − l < t e, portanto, ak+t−l _{6= 0. Pelo Lema} _2.1.6_{, e}

i ∈ M G. Como M G ´e nilpotente,

existe m tal que em_i = 0. Como e2_i = ei, temos ei = 0, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Logo, k = l.

(38)

c´odigos ser´a (t + 1)m+1_.

Teorema 2.1.9 Para RG nas mesmas condi¸c˜oes do Teorema 2.1.8, temos que RG ´e um anel de ideais principais.

Prova: Seja I um ideal de RG. Ent˜ao, pelo Teorema2.1.5, I =ak0_e

0 + ... + akmem. ´ E claro que ak0_e 0+ ... + akmem ⊂ ak0_e

0 + ... + akmem. Provemos ent˜ao que

aki_e

i ⊂ ak0e0+ ... + akmem. Seja x ∈ akiei, temos ent˜ao que x = αakiei, onde α ∈ RG.

Como ei.ek = 0, para i 6= k e e2i = ei, temos x = αakiei = αei(ak0e0+ ... + akmem).

Assim, aki_e

i ⊂ ak0e0+ ... + akmem e, portanto,

ak0_e

0 + ... + akmem = ak0e0+ ... + akmem .

Logo RG ´e um anel de ideais principais.

2.2 C´

odigos duais e auto duais

Como vimos no cap´ıtulo anterior, os códigos duais de códigos c´ıclicos também são códigos c´ıclicos e nesta se¸cão caracterizaremos os códigos duais de um dado código e os códigos auto duais.

Sejam {e0, e1, ..., em} o conjunto dos idempotentes primitivos ortogonais de RG tal que

RG = RGe0⊕ RGe1⊕ ... ⊕ RGem.

Pelo Teorema 2.1.7 temos que | RGei |=| R |wi. Como ∗ denota a involu¸c˜ao cl´assica,

(39)

30 2.2 - C´odigos duais e auto duais

Proposi¸c˜ao 2.2.1 Sejam α = a0+ a1g + ... + an−1gn−1 e β = b0+ b1g + ... + bn−1gn−1∈ RG.

Se α · β∗ = 0, ent˜ao α ´e ortogonal a β.

Prova: Temos que β∗ = b0 + bn−1g + bn−2g2 + ... + b2gn−2+ b1gn−1. Como α · β∗ = 0, por

1.3.4, (a0, a1, ..., an−1) ´e ortogonal a (b1, b2, ..., bn−1, b0) em Rn e todas as suas trocas c´ıclicas.

Portanto, (a0, a1, ..., an−1) ´e ortogonal a (b0, b1, ..., bn−1) e assim α ´e ortogonal a β.

O resultado a seguir será necessário nos próximos teoremas.

Proposi¸c˜ao 2.2.2 Seja {e0, ..., em} o conjunto dos idempotentes ortogonais, primitivos de

RG. Então {e0∗, ..., em∗} é também o conjunto dos idempotentes ortogonais primitivos de

RG.

Prova: Como ∗ : RG → RG ´e um isomorfismo, segue que (i) ei∗· ei∗ = ei∗.

(ii) ei∗· ek∗ = 0, se i 6= k.

(iii) 1 = e∗₀+ ... + e∗_m. (iv) Cada e∗_i ´e primitivo.

Consequentemente, {e∗₀, ..., e∗_m} ´e o conjunto dos idempotentes primitivos de RG.

No próximo teorema iremos caracterizar o código dual a um dado código c´ıclico. Teorema 2.2.3 Se um código c´ıclico C é da forma C = ak0_e

0 ⊕ ... ⊕ akmem, onde

0 ≤ ki ≤ t, então o código dual a C é da forma C⊥ = ⊕Pm_r=0at−krer∗.

Prova: Seja β = ⊕ m X r=0 < at−kr_e r∗ > . Assim, | β |=| R | ( m X l=0 klwl) .

(40)

Como

akr_e

r· (at−kses∗)∗ = 0, ∀0 ≤ r, s ≤ m,

temos que β ⊂ C⊥. Como C =< ak0_e

0 > ⊕...⊕ < akmem >, temos que | C |=| R | m X l=0 (t − kl)wl . Suponha | R |= qα. Assim, | R |= qαt.

Pelo Lema 1.2.16, temos | C⊥ |= ql_{, onde}

l = αtn − α( m X l=0 (t − kl)wl) = αtn − α m X l=0 (twl) + α m X l=0 klwl = αt(n − m X l=0 wl) + α m X l=0 klwl = α( m X l=0 klwl). Portanto, | C⊥ |=| β | e assim C⊥_{= β.}

Defini¸cão 2.2.4 Um código C é chamado auto ortogonal se C ⊂ C⊥ e auto-dual se C = C⊥.

Nos teoremas a seguir, abordaremos os c´odigos auto-duais. Agora seja C = ak0_e

0 ⊕ ... ⊕ akmem.

Reordenando as parcelas se necess´ario, podemos escrever C na forma

C = har0_e k01i ⊕ ... ⊕a r0_e k_0s0 ⊕ ... ⊕ harlekl1i ⊕ ... ⊕ D arl_e k_lsl E , (2.2) com 0 ≤ r0 < r1 < ... < rl ≤ t.

(41)

32 2.2 - C´odigos duais e auto duais Sejam f0 = ek01 + ... + ek_0s0 f1 = ek11 + ... + ek_1s1 .. . fl = ekl1 + ... + ek_lsl.

Temos 1 = f0+ ... + fl. Al´em disso, fi e fk s˜ao idempotentes ortogonais, para i 6= k. Assim,

C = har0_f

0i ⊕ ... ⊕ harlfli .

Usando o Teorema 2.2.3 para o c´odigo descrito em2.2, temos

C⊥=at−rl_f∗

l ⊕ ... ⊕ a t−r0_f∗

0 . (2.3)

Defini¸cão 2.2.5 Para um anel de cadeia R, com ideal maximal M = hai, onde t o ´ındice de nilpotência de a é par, o código C =Da2t

E ´

e chamado c´odigo auto-dual trivial. Proposi¸c˜ao 2.2.6 Seja C = har0_f

0i ⊕ ... ⊕ harlfli um código c´ıclico. Então C é auto-dual

se, e somente se, para cada par de ´ındices i, j tais que i + j ≡ 0(mod l) tem-se que ri+ rj = t

e fi = fj∗.

Prova: Por 2.3, temos

C⊥=at−rl_f∗

l ⊕ ... ⊕ a t−r0_f∗

0 .

Note que o menor expoente de a em C⊥´e t − rl. Assim, se C = C⊥temos que r0 = t − rl,

donde r0+ rl = t e f0 = fl∗.

Da mesma forma, se i + j ≡ 0(mod l), deve-se ter ri = t − rj, donde ri+ rj = t e fi = fj∗.

Reciprocamente, se valem estas condi¸cões, é fácil ver que C = C⊥.

Observa¸cão 2.2.7 Em [10], a nota¸cão usada por Dinh e López-Permouth exclui vários casos de códigos c´ıclicos auto-duais, pois usam a nota¸cão C = DFb₁, a bF₂, ..., at−1Fb_t

E

(42)

c´odigo, onde xn_{− 1 = F}

0F1...Ft. Aqui, enunciamos e provamos os teoremas para C da forma

har0_f

0i ⊕ ... ⊕ harlfli, onde a única imposi¸cão sobre os expoentes ri’s de a é que

0 ≤ r0 < r1 < ... < rl ≤ t, o que ocorre para todos os poss´ıveis ideais. Entraremos em

mais detalhes no Cap´ıtulo 5.

Teorema 2.2.8 Suponha que t é um inteiro par. Então códigos c´ıclicos auto-duais diferentes do auto-dual trivial existem se, e somente se, existe um idempotente ei ∈ RG, tal que ei 6= e∗i.

Prova: Vamos supor que C = C⊥ ´e n˜ao trivial e que ei = e∗i, para todo ´ındice 0 ≤ i ≤ l.

Reordenando os idempotentes, temos

C =< ar0_f

0 > ⊕...⊕ < arlfl >=< at−r0f0∗ > ⊕...⊕ < at−rlf ∗

l >=< at−r0f0 > ⊕...⊕ < at−rlfl > .

Logo, ri = t − ri, pata todo 0 ≤ i ≤ l e assim, ri = ₂t. Portanto, C =< a

t

2(f₀+ ... + f_l) >=

=< a2t >, o que ´e uma contradi¸c˜ao.

Reciprocamente, seja e ∈ RG tal que e 6= e∗. Então e∗ é também um idempotente primitivo e podemos escrever 1 = e + e∗+ e3+ ... + em. Denotemos β = e3+ ... + em. Assim,

1 = e + e∗+ β. Por outro lado, 1 = (e + e∗+ β)∗ = e∗+ e + β∗. Logo, β = β∗. Considere C =< a2t+1e > ⊕ < a t 2−1e∗ > ⊕ < a t 2β > . Pelo Teorema2.2.3 C⊥ =< a(t−(t2+1))e∗ > ⊕ < at−( t 2−1)e∗∗> ⊕ < a t 2β∗ >= C.

(43)

34 2.2 - C´odigos duais e auto duais

Teorema 2.2.9 Sejam R anel de cadeia finito com ideal maximal < a >, | R |= qlt_{, onde}

| R |= ql _{e t o ´ındice de nilpotˆ}_{encia de a e seja G um grupo c´ıclico de ordem n, onde q - n.}

Se t é par, então códigos c´ıclicos auto-duais não triviais sobre R existem se, e somente se, qi _{6≡ −1(modn) para todo inteiro positivo i.}

Prova: Sabemos por 1.1 que um idempotente primitivo ´e da forma

es = 1 n n−1 X i=0 X j∈Cs α−ijgi. Assim, e∗_s = 1 n n−1 X i=0 X j∈Cs αijgi = 1 n n−1 X i=0 X j∈Cn−s α−ijgi.

Pelo Teorema 2.2.8, c´odigos auto-duais n˜ao triviais existem se, e somente se, existe um idempotente ek, tal que ek 6= e∗k. Agora, para todo idempotente ek, ek = e∗k se, e somente

se, Cs = Cn−s. Portanto, para todo 0 ≤ s ≤ m, Ωs = Ωn−s, onde Ωs denota a q classe

ciclotˆomica contendo s. Isto acontece se, e somente se, existe i tal que qis ≡ (n − s)(mod n) para todo 0 ≤ s ≤ m, ou equivalentemente qi _{≡ −1(mod n).}

Corolário 2.2.10 Se n é um número primo, então códigos c´ıclicos auto-duais de compri-mento n não existem nos seguintes casos:

• q = 2, n ≡ 3, 5(mod8); • q = 3, n ≡ 5, 7(mod12); • q = 5, n ≡ 3, 7, 13, 17(mod20);

• q = 7, n ≡ 5, 11, 13, 15, 17, 23(mod28);

• q = 11, n ≡ 3, 13, 15, 17, 21, 23, 27, 29, 31, 41(mod44)

(44)

Corolário 2.2.11 Seja n um primo ´ımpar diferente de q, e q um não res´ıduo quadrático de nk_{, onde k ≥ 1. Ent˜}_{ao c´}_{odigos c´ıclicos auto-duais de comprimento n n˜}_{ao existem.}

Prova: Segue dos Teorema2.2.9, Observa¸c˜ao1.4.4 e Proposi¸c˜ao1.4.10.

Corolário 2.2.12 Se n é um primo ´ımpar, então códigos c´ıclicos auto-duais de comprimento n não existem nos seguintes casos:

• q ≡ 1(mod4) e existe um inteiro k tal que mdc(q, 4nk_{) = 1 e q ´}_{e um n˜}_{ao res´ıduo}

quadr´atico de 4nk_;

• q ≡ 1(mod8) e existem inteiros positivos i, j tais que i > 2, mdc(q, 2i_nj_{) = 1 e q ´}_{e um}

n˜ao res´ıduo quadr´atico de 2i_nj_.

(45)

(46)

CAP´

ITULO 3

C´

odigos de Comprimento p

n

sobre

An´

eis de Cadeia

Neste cap´ıtulo vamos considerar o caso particular de c´odigos c´ıclicos de comprimento pn_{, com p primo, sobre um anel de cadeia R, com ideal maximal M =< a > tal que | R |= q}l_,

com o(| R |) = φ(pn_{) em U (Z}

pn) e q - pn. Neste caso, Ferraz e Polcino Milies em [15] provaram

que os idempotentes primitivos de RG dependem unicamente da estrutura de subgrupos de Cpn e deram sua f´ormula expl´ıcita.

Para um grupo c´ıclico G de ordem pn, o reticulado de subgrupos de G formam uma cadeia:

G = Go ⊃ G1 ⊃ ... ⊃ Gn= 1.

Neste caso, os elementos

e0 = bG e ei = bGi− bGi−1, para 1 ≤ i ≤ n,

(47)

38

formam o conjunto dos idempotentes ortogonais tal que

e0+ e1+ ... + en = 1.

Se | R |= q e o(q) = ϕ(pn_{) em U (Z}pn), onde φ denota a fun¸c˜ao de Euler, temos o seguinte.

Teorema 3.0.13 ( [15], Teorema 3.1 ) Seja F um corpo com q elementos e G um grupo c´ıclico de ordem pn tal que o(q) = φ(pn_{) em U (Z}pn). Seja

G = G0 ⊃ G1 ⊃ ... ⊃ Gn = {1}

a cadeia descendente de todos os subgrupos de G. Ent˜ao o conjunto dos idempotentes primi-tivos de F G ´e dado por

eo= 1 pn( X g∈G g) e ei = bGi− bGi−1, 1 ≤ i ≤ n.

A seguir, iremos estabelecer uma hip´otese central que consideraremos ao longo do cap´ıtulo.

Hip´otese A

Sejam R anel de cadeia finito, comutativo com unidade, tal que | R |= qk, M =< a > o ideal maximal de R, | R |= ql, com k = lt, onde t ´e o ´ındice de nilpotˆencia de a e G um grupo c´ıclico de ordem pn com gerador g0, tal que o(| R |) = φ(pn) em U (Zpn), G_i =< gp

i

0 >

e ei = bGi− bGi−1 .

Daqui em diante, estaremos sempre nas condi¸c˜oes da Hip´otese A.

Pelo Teorema 3.0.13, e0 = bG, ei = cGi − [Gi−1 formam o conjunto dos idempotentes

primitivos ortogonais de (_<a>R )G. Pelo levantamento, e0 = bG e ei = cGi − [Gi−1 formam o

(48)

Para este conjunto de idempotentes primitivos, o próximo teorema exibe uma fórmula do número de elementos nos códigos da forma I =< ak0_e

0 > ⊕...⊕ < aknen>.

Teorema 3.0.14 Para R e G nas condi¸cões da Hipótese A, se I é um ideal de RG da forma I =< ak0_e 0 > ⊕...⊕ < akmem>, com 0 ≤ ki ≤ t, então | I |=| R | [ m X j=1 (t − kj)(pj − pj−1) + (t − k0)] .

Prova: Como C ´e uma soma direta, temos | C |=|< ak0_e

0 >| ... |< akmem >|. Devemos ent˜ao

determinar |< aki_e

i >|. Seja i > 0, temos que akiei = akiGb_i− akiGb_i−1, com e_i+ bG_i−1= bG_i e ei. bGi−1= ( bGi− bGi−1). bGi−1 = 0. Logo

RGaki

b

Claramente ψ é um epimorfismo de grupos aditivos. O núcleo de ψ é dado por

ker(ψ) = {α ∈ RG; αaki _{= 0}.}

Pelo Lema 2.1.6, temos αaki _{= 0 se, e somente se, α ∈< a}t−ki _{> G. Portanto,}

RGaki _' RG

(49)

40 Como RG/ < at−ki _{> G ' (R/ < a}t−ki _{>)G, temos} | RGaki b Gi |= ( R < at−ki >)G bGi . Denotemos R/ < at−ki _{> por R} ki. Lembremos que | Rki |= |R|t |R|ki. Pelo Teorema 1.1.32, RkiG bGi ' Rki( G Gi). Portanto, | RkiGGi |=| Rki | |G| |Gi|_{=| R}_k i | pi . De forma an´aloga, | RGaki

b Gi−1|=| Rki | pi−1 . Logo, | RGaki_e i |= | R |t | R |ki pi−pi−1 =| R |(t−ki)(pi−pi−1)_.

Para finalizar, calculemos |< ak0_e

0 >|. Pelo Lema 3.1, temos

| RGak0_e 0 |= ( R < at−k0 >)G bG . Logo, | RGak0_e 0 |= | R | < at−k0 _> |G|_|G| = | R | t | R |k0 =| R |(t−k0) _. Portanto, | I |=| R | [ m X j=1 (t − kj)(pj − pj−1) + (t − k0)] .

Tão importante quanto descrever todos os poss´ıveis códigos c´ıclicos é saber o seu peso m´ınimo. Nos teoremas que seguem, determinaremos o peso m´ınimo de todos os códigos c´ıclicos nas condi¸cões das hipóteses anteriores. Os resultados seguintes são uma generaliza¸cão de resultados semelhantes obtidos por F. Mello [23] para corpos, à situa¸cão que estamos considerando.

Teorema 3.0.15 Considere R e G nas condi¸cões da Hipótese A. Então w((RG)akei) = 2 | Gi |, para i 6= 0 e w((RG)ake0)) =| G |, para 0 ≤ k ≤ t − 1.

(50)

Prova:

Para i 6= 0, temos eiGbi = ( bGi − bGi−1) bGi = bGi − bGi−1 = ei. Logo, (RG)ei ⊂ (RG) bGi.

Seja Γ um transversal de Gi em G. Um elemento arbitr´ario α ∈ RG pode ser escrito na

forma α = (X

h∈Γ

αhh), com αh ∈ RGi. Portanto, qualquer palavra sobre (RG) bGi ´e da forma

α = (X

h∈Γ

xhh) bGi, xh ∈ R.

Como (RG)akei ⊂ (RG)akGb_i qualquer palavra de (RG)ake_i tamb´em ´e da forma α = (X

h∈Γ

xhakh) bGi, xh ∈ R.

Analisemos assim uma palavra de (RG)akei. Se apenas um coeficiente xhak desta palavra

´

e diferente de 0, para algum h ∈ Γ, ter´ıamos xhakh bGi ∈ (RG)ei. Assim, existe β ∈ RG tal

que xhakh bGi = βakei. Logo, xhakh bGi. bGi−1 = βakei. bGi−1. Como ei. bGi−1 = 0, temos que

xhakh bGi−1= 0 e, assim, xhak = 0. Logo, xhakh bGi = 0, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Portanto,

w((RG)ak_e

i) ≥ 2 | Gi |.

Agora, considere α ∈ Gi−1\ Gi. Temos (1 − α)akei ∈ (RG)akei. Como

(1 − α)akei = (1 − α)ak( bGi− bGi−1)

= (1 − α)akGbi − (1 − α)akGbi−1

= (1 − α)ak

b Gi

e supp(akGb_i) ∩ supp(akα bG_i) = ∅, temos que w((RG)ake_i) ≤ 2 | G_i |. Portanto, w((RG)akei) = 2 | Gi |, para i 6= 0.

Consideremos agora o caso em que i = 0. Temos

RGak_e 0 = (Rak)(G bG) = (Rak_{) b}_G = {rak_{(1 + g} 0+ ... + gp n₋₁ 0 )|r ∈ R} .

(51)

42

O próximo teorema é um caso particular do resultado a seguir. Foi inclu´ıdo apenas porque, nesta situa¸cão mais simples, é fácil ver a origem das ideias envolvidas.

Teorema 3.0.16 Considere R e G nas condi¸c˜oes da Hip´otese A. Sejam Ir = (RG)akrer,

com 0 ≤ kr≤ t − 1. Considere Ii⊕ Ij, com i < j. Ent˜ao w(Ii⊕ Ij) = 2 | Gj | ou | G1 |.

Prova: Consideremos inicialmente o caso em que i 6= 0. Temos Gj ⊂ Gi. Seja α ∈ (Ii⊕ Ij).

Assim, α = αiak1ei+ αjak2ej, onde αi, αj ∈ RG. Portanto,

α. bGj = αiak1( bGi− bGi−1) bGj+ αjak2( bGj − bGj−1) bGj = α.

Logo, α ∈ (RG) bGj. Considere agora Γj um transversal de Gj em G. Assim, α = (

X

h∈Γ

xhh) bGj,

onde xh ∈ R. Suponhamos que apenas um coeficiente xh 6= 0. Assim, α = xhh bGj. Como

ei. bGi−1 = ej. bGi−1 = 0, temos que α. bGi1 = xhh bGj. bGi−1. Logo, xhh bGi−1 = 0 e, com isso,

temos xh = 0, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Portanto, w(Ii ⊕ Ij) ≥ 2 | Gj |. Como w(I) ≤

w(Ij) = 2 | Gj |, temos que w(I) = 2 | Gj |.

Provemos agora, o caso em i = 0 e 1 < j. Como Ij ⊂ I0 + Ij, temos que

2 | Gj |= w(Ij) ≥ w(I0+ Ij).

Se α ∈ I0+Ij, ent˜ao α = α1ak1G+αb 2ak2( bGj− bGj−1), onde α1, α2 ∈ RG. Assim, α. bGj = α

e, portanto, I0+ Ij ⊂ (RG) bGj.

Seja Γ um transversal de Gj em G. Assim, podemos escrever α como sendo

α = (X

h∈Γ

xhh) bGj. Suponhamos que apenas um coeficiente xh seja diferente de zero. Assim,

α = xhh bGj = α1ak1G + αb ₂ak2( bG_j − bG_j−1).

Como Gj ⊂ bGj−1, temos que bGj. bGj−1 = bGj−1. Assim, xhh bGj. bGj−1 = α1ak1G bbG_j−1 + α2ak2( bGj − bGj−1) bGj−1, ou seja, xhh bGj−1 = α1ak1G. Como αb 1 =P rgg, podemos reescrever

a ´ultima igualdade como xhh bGj−1 =P rgak1G. Desenvolvendo a equa¸c˜b ao anterior temos X g∈{hGj−1} (xh− X rgak1)g − X g∈{G/hGj−1} (Xrgak1)g = 0.

(52)

Assim, P rgak1 = 0 e da´ı xh = 0, o que contradiz nossa hip´otese inicial sobre xh.

Conclu´ımos assim que, para toda palavra α ∈ I0 + Ij, com α = (

X

h∈Γ

xhh) bGj, devem

existir pelo menos dois coeficientes xh0, xh1, com h0, h1 ∈ Γ diferentes de zero. Portanto,

w(I0+ Ij) ≥ 2 | Gj |, e assim, w(I0+ Ij) = 2 | Gj |.

Provemos agora o caso em que i = 0 e j = 1.

Seja α ∈ C. Como C = I0⊕ I1, existem β0, β1 ∈ RG, tais que α = β0ak0e0 + β1ak1e1.

Como α · bG1 = α, temos I ⊂ RG bG1 e, assim, w(I) ≥ w(RG bG1) =| G1 |.

Seja k = max{k0, k1}. Temos

RGakGb₁ = RGakG ⊕ RGab k( bG₁− bG) ⊂ RGak0e₀⊕ RGak1e₁ = I. Logo | G1 |= w(RGakGb1) ≥ w(I). Portanto, w(I) =| G1 |.

Teorema 3.0.17 Considere R e G nas condi¸c˜oes da Hip´otese A. Sejam Ij = (RG)akjej,

com 0 ≤ kj ≤ t − 1 e I = I0⊕ ... ⊕ Ij, com 0 ≤ j ≤ n − 1. Ent˜ao w(I0⊕ I1⊕ ... ⊕ Ij) =| Gj |.

Prova: Seja α ∈ I. Como I = I0⊕ ... ⊕ Ij, existem β0,..., βj ∈ RG tais que α = β0ak0G +b ... + βjakj( bGj − bGj−1). Como Gj ⊂ Gi, para 1 ≤ i ≤ j − 1, temos que bGj · ei = ei, para

0 ≤ i ≤ j − 1 e assim, α · bGj = α. Portanto, I ⊂ (RG) bGj e w(I) ≥ w((RG) bGj) =| Gj |.

Seja k = max{k0, ..., kj}. Logo,

(RG)akGb_j ⊂ (RG)akG ⊕ (RG)ab k( bG₁− bG) ⊕ ... ⊕ (RG)ak( bG_j − bG_j−1) ⊂ I₀⊕ I₁ ⊕ ... ⊕ I_j.

Portanto, | Gj |= w((RG)akGb_j) ≥ w(I). Logo, w(I) =| G_j |.

Teorema 3.0.18 Considere R e G nas condi¸c˜oes da Hip´otese A. Sejam Ij = (RG)akjej,

com 0 ≤ kj ≤ t − 1. Se I = Ij1 ⊕ ... ⊕ Ijl, jr < jr+1, para 1 ≤ r ≤ l com {j1, ..., jl} $

(53)

44

Prova: Consideremos inicialmente

I = Ij1 ⊕ ... ⊕ Ijl, com j1 6= 0 e jr < jr+1, para 1 ≤ r ≤ l.

Seja α ∈ I. Como I = Ij1 ⊕ ... ⊕ Ijl, existem βj1,..., βjl, tais que

α = βj1a

k_j1_{( b}_G

j1 − bGj1−1) + ... + βjla

k_jl_{( b}_G

jl− bGjl−1).

Como Gjl ⊂ Gji, para 1 ≤ i ≤ l − 1, temos bGjl· eji = eji, para 1 ≤ i ≤ l. Assim, αGjl = α

e, portanto, I ⊂ (RG) bGjl. Seja Γ um transversal de Gjl em G. Assim, podemos escrever

α = (X

h∈Γ

xhh) bGjl, xh ∈ R. Suponhamos agora que apenas um xh0 seja diferente de zero, para

algum h0 ∈ Γ. Assim, α = xh0h0Gbjl = βj1a k_j1_{( b}_G j1 − bGj1−1) + ... + βjla k_jl_{( b}_G jl− bGjl−1).

Como bGji ⊂ bGj1−1, para 1 ≤ i ≤ l, temos que bGji. bGj1−1 = bGj1−1, para 1 ≤ i ≤ l. Logo,

b

Gj1−1· eji = 0, para 1 ≤ i ≤ l. Multiplicando ambos os lados da igualdade por bGj1−1, temos

xh0h0Gbj1−1 = 0. A partir da´ı, temos xh0 = 0, o que contradiz nossa escolha inicial de xh0 6= 0.

Portanto, w(I) ≥ 2 | Gjl |.

Como Ijl ⊂ I, temos 2 | Gjl |= w(Ijl) ≥ w(I). Logo, w(I) = 2 | Gjl |.

Agora considere

I = I0⊕ Ij1 ⊕ ... ⊕ Ijl, com jr < jr+1 para 1 ≤ r ≤ l e {j1, ..., jl} $ {1, ..., jl}.

Como Ijl ⊂ I, temos que 2 | Gjl |= w(Ijl) ≥ w(I).

Seja α ∈ I. Como I = I0 ⊕ Ij1 ⊕ ... ⊕ Ijl, existem β0,βj1,..., βjl ∈ RG tais que

α = β0ak0G + βb _j₁akj1( bG_j₁ − bG_j₁−1) + ... + βjla

k_jl_{( b}_G

jl − bGjl−1). Assim, α · bGjl = α. Logo,

(54)

Seja Γ um transversal de Gjl em G. Assim, podemos escrever α = (

X

h∈Γ

xhh) bGjl, onde

xh ∈ R. Suponha que exista apenas um h0 ∈ Γ tal que xh0 6= 0. Assim,

α = xh0t0Gbjl = β0a k0 b G + βj1a k_j1 ( bGj1 − bGj1−1) + ... + βjla k_jl ( bGjl− bGjl−1).

Como {j1, ..., jl} $ {1, ..., jl}, existe r ∈ {1, ..., jl}, tal que r 6∈ {j1, ..., jl}. Tome r como

sendo o menor ´ındice pertencente à {1, ..., jl} e que não pertence à {j1, ..., jl}.

Multiplicando ambos os lados da igualdade acima por bGr, temos

xh0h0Gbr = β0a

k0

b

G + β1ak1(e1) + ... + βr−1akr−1(er−1)).

Portanto, α bGr pertence ao c´odigo C

0 gerado por < ak0 b G > ⊕ < ak1_(e 1) > ⊕...⊕ < akr−1(er−1) > .

Mas o peso de α bGr ´e dado por w(α bGr) =| Gr | e peso de C

0

´

e w(C0) =| Gr−1 |. Como

Gr ⊂ Gr−1, temos que | Gr |<| Gr−1 |, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Logo, w(C) ≥ 2 | Gjl | e

assim w(C) = 2 | Gjl |.

3.1 C´

odigos que s˜

ao livres como R-subm´

odulos de RG

Agora iremos caracterizar todos os c´odigos c´ıclicos de comprimento pn _{que s˜}_ao

R-subm´odulos livres de RG. Para isso, lembremos os seguintes resultados.

Teorema 3.1.1 ( [18], Teorema 3.10) Um módulo M é projetivo se, somente se, M é um somando direto de um módulo livre.

Teorema 3.1.2 ( [18], Teorema 7.5) Se R é um anel local, então todo módulo projetivo finitamente gerado sobre R é livre.

(55)

46 3.1 - Códigos que são livres como R-submódulos de RG

Como estamos trabalhando com módulos finitos, eles são finitamente gerados e assim qualquer módulo que for um somando de um módulo livre é projetivo e, portanto, livre.

O próximo resultado é semelhante a Proposi¸cão 2.1 provado por Dutra, Ferraz e Polcino Milies em [13] para algebras de grupo sobre corpos. Exibiremos uma base para RGei, provando assim que RGei é um código livre. Mais adiante exibiremos outra base para

RGei.

Teorema 3.1.3 Considere R e G nas condi¸cões da Hipótese A. Seja γ um transversal de Gi−1 em G e τ um transversal de Gi em Gi−1. Então

B = {c(1 − h) bGi|c ∈ γ, h ∈ τ \ {1}}

´

e uma base de RGei sobre R.

Prova: Primeiramente provaremos que os elementos de B pertencem a RGei. Para isso,

observe que:

1. Para h ∈ τ \ {1}, temos (1 − h) bGi−1= 0, pois h bGi−1= bGi−1.

2. Para c ∈ γ e h ∈ τ \ {1}, temos c(1 − h) bGi = c(1 − h) bGi( bGi− bGi−1) = c(1 − h) bGiei ∈

RGei.

Mostremos agora que os elementos de B s˜ao linearmente independentes. Sejam xch ∈ R

tais que 0 =X c,h xch(c(1 − h) bGi). 0 = X c,h xch(c(1 − h) bGi) = X c (X h xch)c bGi− X c,h xchch bGi.

Agora observe que, para c, h fixados, temos que o elemento ch bGi tem suporte disjunto

de qualquer outro elemento nesta combina¸cão linear. De fato, como τ é um transversal de Gi em Gi−1 e h ∈ τ \ {1}, temos que bGi e h bGi têm suportes disjuntos. Como γ é um

(56)

claro que se cj 6= ck∈ γ, ent˜ao cjGbi e ckGbi tˆem suportes disjuntos. Como {ch, c ∈ γ e h ∈ τ }

formam um transversal de Gi em G, temos que cjhjGbi e ckhkGbi tˆem suporte disjuntos, para

cj 6= ck ou hj 6= hk. Portanto, xch = 0, para todo c ∈ γ e h ∈ τ . Devemos provar que

o módulo livre sobre R gerado por B é igual ao ideal gerado por ei. Já provamos que

todo elemento de B pertence a RGei. Provemos agora que os dois conjuntos tˆem o mesmo

n´umero de elementos. Pelo Teorema3.0.14, | RGei |=| R |t(p

i_−pi−1₎

=| R |(pi−pi−1). Por outro lado, o número de elementos gerado pelo módulo livre sobre R cuja base é B é dado por | R ||γ|(|τ |−1)= | R ||

G Gi−1|(|

Gi−1

Gi |−1) _{=| R |}pi−pi−1_{. Portanto, RGe}_i _´_{e livre e B ´}_{e uma base de}

RGei.

Corolário 3.1.4 O posto do código livre RGei é pi− pi−1.

Observe que o ideal gerado por ak_e

i n˜ao pode ser livre, pois (at−kα) · (akei) = 0, para

qualquer α ∈ RGei.

Pelos Teoremas 3.1.1,3.1.2 e 3.1.3, temos o seguinte corol´ario.

Corol´ario 3.1.5 Seja G um grupo c´ıclico de ordem pn _{e R um anel de cadeia com | R |= q}k_,

onde q - pn. Seja ei = bGi− bGi−1. Ent˜ao os poss´ıveis c´odigos c´ıclicos livres de comprimento

pn s˜ao da forma

C = RGei1 ⊕ ... ⊕ RGeik.

Corolário 3.1.6 Seja G um grupo c´ıclico de ordem pn e R um anel de cadeia com | R |= qk, onde q - pn. O números de códigos c´ıclicos livres de comprimento pn sobre um anel de cadeia R é 2n+1.

Pelo Corol´ario 3.1.4, posto(RGei) = pi− pi−1. Adiante exibiremos outra base para RGei,

para a qual será necessária a seguinte proposi¸cão.

Proposi¸cão 3.1.7 ( [18], Proposi¸cão 7.18 ) Seja M um módulo livre sobre um anel co-mutativo de posto n. Então qualquer conjunto gerador de n elementos é uma base de M .