Equações Diferenciais Ordinárias

(1)

Equa¸c˜

oes Diferenciais Ordin´

arias

Jorge Manuel Vieira Capela

Marisa Veiga Capela

Material de apoio à disciplina Equa¸cões Diferenciais Ordinárias Curso Licenciatura em Qu´ımica 2017

(2)

1 Equa¸c˜oes Diferenciais de Primeira Ordem . . . 1

1.1 Exemplos de Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias . . . 1

1.2 Equa¸c˜oes Separ´aveis . . . 3

1.3 Equa¸c˜oes Lineares de Primeira Ordem . . . 6

1.4 Equa¸c˜oes Diferenciais Exatas . . . 8

1.5 Trajet´orias Ortogonais . . . 10

2 Equa¸c˜oes Diferenciais de Segunda Ordem . . . 15

2.1 Existˆencia e Unicidade da Solu¸c˜ao . . . 15

2.2 Equa¸c˜oes Lineares Homogˆeneas com Coeficientes Constantes . . . 16

2.2.1 Ra´ızes reais distintas de a2m2+ a1m + a0= 0 . . . 17

2.2.2 Ra´ızes reais repetidas (raiz dupla) de a2m2+ a1m + a0= 0 . . . 17

2.2.3 Ra´ızes complexas (conjugadas) de a2m2+ a1m + a0= 0 . . . 18

2.3 Método da Varia¸cão dos Parâmetros . . . 19

2.4 Redu¸c˜ao de Ordem . . . 21

2.5 Solu¸cão em série de potências . . . 23

A N´umeros Complexos . . . 25

B S´erie de Taylor . . . 27

(3)

(4)

Trata-se de uma disciplina que aborda os conceitos e procedimentos matemáticos utilizados para modelar os mais diversos fenômenos por meio da aplica¸cão de equa¸cões cujas incógnitas são taxas de varia¸cão. As equa¸cões diferenciais estão presentes no estudo de problemas da F´ısica, Qu´ımica, Biologia, Economia, Engenharia, etc. Podemos ter, por exemplo, problemas envolvendo varia¸cões no tempo tais como a posi¸cão de um objeto, a temperatura de um material, a concentra¸cão de um agente qu´ımico, a concentra¸cão de um poluente ou nutriente em um meio, a umidade do ar, o número de habitantes de uma cidade, a densidade de bactérias de uma cultura, o valor de uma mercadoria, o câmbio entre moedas, o produto interno bruto de um pa´ıs, etc.

O estudo de tais equa¸cões, além de ser necessário no aprendizado de outras disciplinas, também desenvolve no estudante a habilidade de compreender a modelagem matemática e suas múltiplas aplica¸cões, colaborando de forma especial na forma¸cão dos futuros professores de Qu´ımica.

A disciplina ´e dividida nos seguintes t´opicos:

1) Equa¸cões diferenciais ordinárias: defini¸cão e classifica¸cão. Solu¸cões. Problema de valor inicial.

2) Equa¸cões diferenciais ordinárias de primeira ordem separáveis e lineares: defini¸cão, métodos de resolu¸cão. Aplica¸cões.

3) Equa¸cões diferenciais ordinárias de segunda ordem: equa¸cões diferenciais de segunda ordem redut´ıveis à primeira ordem; equa¸cões diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes; equa¸cões diferenciais lineares homogêneas com coeficientes variáveis: solu¸cão por séries de potências. Aplica¸cões.

Para a bibliografia da disciplina temos os seguintes livros:

1) BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Equa¸c˜oes Diferenciais Elementares e Proble-mas de Valores de Contorno. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010.

(5)

2) BASSANEZI, Rodney C.; FERREIRA JR., Wilson C. Equa¸cões Diferenciais com Aplica¸cões. 1.ed. São Paulo: Harbra, 1988.

3) ZILL, Denis G. Equa¸cões Diferenciais com Aplica¸cões em Modelagem. 2.ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.

4) SANTOS, Reginaldo de Jesus. Introdu¸cão às Equa¸cões Diferenciais Ordinárias. Livro em arquivo pdf dispon´ıvel em: www.mat.ufmg.br/ regi. Último acesso em 20/01/2017. 5) SANTOS, Reginaldo de Jesus. Tópicos de Equa¸cões Diferenciais. Arquivo pdf dispon´ıvel

em: www.mat.ufmg.br/ regi. ´Ultimo acesso em 20/01/2017.

6) LEITHOLD, Louis. O C´alculo com Geometria Anal´ıtica - volume 2, 3.ed. S˜ao Paulo: Harbra, 1994.

7) STEWART, James. Cálculo - Volume 2. 7. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. 8) SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Anal´ıtica. Volume 2. 2. ed. São Paulo:

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Equa¸

c˜

oes Diferenciais de Primeira

Ordem

Uma equa¸cão diferencial ordinária (edo) é uma equa¸cão que envolve uma fun¸cão desconhe-cida e as suas derivadas ordinárias. As equa¸cões diferenciais são de grande interesse em diversas ´

areas do conhecimento e são frequentemente usadas para descrever processos nos quais a taxa de varia¸cão da medida de uma propriedade é causada pelo próprio processo.

Neste texto abordaremos especificamente as equa¸cões diferenciais ordinárias, isto é equa¸cões que só apresentam derivadas ordinárias em rela¸cão a uma única variável.

`

A equa¸c˜ao diferencial junto com uma condi¸c˜ao inicial, daremos o nome de problema de valor inicial (pvi).

1.1 Exemplos de Equa¸

c˜

oes Diferenciais Ordin´

arias

Exemplo 1.1.1

Problemas de crescimento ou decrescimento

Seja y = f (t) uma fun¸cão que descreve a quantidade de uma substância, em processo de decresci-mento radioativo, sendo a variável t o tempo. Uma das leis que descreve o decrescimento de uma substância radioativa é aquela que diz que a taxa de varia¸cão da quantidade da substância em um dado instante t é proporcional à substância presente nesse instante. Em termos matemáticos esta situa¸cão é dada por:

       dy dt = ky (ou y 0_{= ky)} y0= f (0),

sendo k uma constante e y0 o valor inicial de y.

(7)

Exemplo 1.1.2

Varia¸c˜ao da temperatura

A lei de varia¸cão da temperatura de Newton estabelece que a taxa de varia¸cão da temperatura de um corpo é proporcional à diferen¸ca entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente.

Denotando por T a temperatura do corpo e por α a temperatura do ambiente, temos a seguinte equa¸c˜ao diferencial:

dT

dt = −k (T − α) , k > 0,

no caso de um processo de resfriamento. Observe que T > α e o sinal negativo justifica-se pelo fato de dT

dt < 0 (Temperatura decrescente at´e `a temperatura ambiente). No caso de um processo de aquecimento tem-se

dT

dt = k (α − T ) , k > 0, sendo T < α e ent˜ao dT

dt > 0.

Exemplo 1.1.3

Um problema de mistura

Seja V0a quantidade (volume) inicial de salmoura dentro de um tanque que cont´em Q0gramas

de sal. Despejamos no tanque outra solu¸cão de salmoura, com Q1gramas de sal por litro, à razão

de v litros por minuto. A mistura é mantida uniforme por meio de um agitador, enquanto ela escoa à razão w litros por minuto. Sejam Q(t) a quantidade de sal presente na mistura no instante t e V (t) a quantidade de salmoura no mesmo instante t. Então Q(t)

V (t) representa a concentra¸c˜ao de sal na mistura no instante t e

           dQ dt = Q_|{z}1v Entrada −Q(t) V (t)w | {z } Saida , Q(0) = Q0

Observando que V (t) = V0+ tv − tw, obtemos o seguinte modelo matem´atico:

       dQ dt + w V0+ (v − w)t Q = Q1v, Q(0) = Q0

(8)

Exemplo 1.1.4

Um problema de queda vertical

Seja um corpo de massa m em queda vertical, influenciada pela a¸c˜ao da gravidade g e pela resitˆencia do ar. De acordo com a segunda lei de Newton

~

F = md~v dt,

onde ~v representa a velocidade e ~F a resultante das for¸cas que atuam no corpo. Essas for¸cas s˜ao o peso ~F1= mg e a resistˆencia do ar ~F2= −k~v, k > 0.

Figura 1.1: Queda de um corpo de massa m, sob influência da gravidade e da resistência do ar. Então

mg − kv = mdv

dt ou v

0₊ k

mv = g, que ´e a equa¸c˜ao do movimento.

1.2 Equa¸

c˜

oes Separ´

aveis

São equa¸cões diferenciais de primeira ordem dadas que podem ser escritas da seguinte forma: dy dx = f (x) g(y) ⇔ g(y)dy = f (x)dx, (1.1) ou dy dx = f (x)g(y) ⇔ dy g(y) = f (x)dx. (1.2) sendo a solu¸cão obtida por integra¸cão direta de ambos os lados da igualdade:

Z g(y) dy = Z f (x) dx ou Z ₁ g(y)dy = Z f (x) dx.

(9)

Exemplo 1.2.1

Encontre a solu¸c˜ao geral de

dy dx = 2y Solu¸c˜ao:

Escrevemos a equa¸c˜ao na forma: 1 2ydy = dx ⇔ Z ₁ 2ydy = Z dx e integramos para obter:

1

2ln |y| = x + C1 ⇒ |y| = e

2C1_e2x _⇒ _{y = Ce}2x

Exemplo 1.2.2

Encontre a solu¸c˜ao da equa¸c˜ao

y0= −4x

9y, y 6= 0 Solu¸c˜ao:

Escrevemos a equa¸c˜ao na forma:

9ydy = −4xdx e integramos para obter:

9y2 2 = − 4x2 2 + C ⇔ 2x 2₊9y2 2 = C

Exerc´ıcio 1.2.1

Resolva o problema de valor inicial:        dy dx = 2xy y0= 1

Exerc´ıcio 1.2.2

Sabe-se que uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em cada instante. Após 1 hora observam-se 1 000 fileiras de bactérias na cultura e após 4 horas observam-se 3 000 fileiras. Determine

(10)

a) A expressão do número de fileiras de bactérias presentes na cultura no instante t. b) O número aproximado de fileiras de bactérias no in´ıcio da cultura.

Exerc´ıcio 1.2.3

Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se inicialmente há 100 miligramas e se após 2 anos 5% do material decaiu, determine

a) A express˜ao para a massa em um instante t

b) O tempo necess´ario para o decaimento de 10% do material.

Exerc´ıcio 1.2.4

Sabe-se que o Cs137 (Césio 137) se desintegra a uma taxa proporcional à massa existente em cada instante. Sua meia-vida é da ordem de 30 anos. Qual a porcentagem de Césio 137 que se desintegra em 1 ano?

Exerc´ıcio 1.2.5

Um corpo à temperatura de 50oF é colocado em um forno cuja temperatura é mantida em 150oF . Se após 10 minutos a temperatura do corpo é de 75o_{F , determine o tempo necess´}_{ario para que}

o corpo atinja a temperatura de 100o_{F .}

Exerc´ıcio 1.2.6

Suponha que a taxa segundo a qual uma inova¸cão tecnológica se espalha em uma comunidade com uma popula¸cão fixa de n indiv´ıduos é conjuntamente proporcional ao número de pessoas que a adotaram e ao número de pessoas que não a adotaram. Se y(t) for o número de pessoas que adotaram a inova¸cão no instante t, determine a equa¸cão diferencial que descreve a situa¸cão.

Exerc´ıcio 1.2.7

Um corpo `a temperatura de 50o_{F ´}_{e colocado ao ar livre , onde a temperatura ´}_{e de 100}o_{F . Se}

ap´os 5 minutos a temperatura do corpo ´e de 60 o_{F , determine}

a) O tempo necess´ario para que o corpo atinja a temperatura de 75 o_F

(11)

Exerc´ıcio 1.2.8

Resolva o problema de valor inicial:        dy dx = y sen x y0= 1

1.3 Equa¸

c˜

oes Lineares de Primeira Ordem

Cada uma das situa¸cões dos exemplos da se¸cão anterior foi modelada matematicamente por uma equa¸cão diferencial do tipo

y0+ a(x)y = b(x) (1.3) onde as fun¸cões são supostas cont´ınuas. Essa equa¸cão é denominada de equa¸cão diferencial linear de primeira ordem. Para resolver a equa¸cão (1.3) multiplicamos ambos os lados da equa¸cão pelo fator integrante

eR a(x) dx (1.4)

transformando-a em

d dx

h

yeR a(x) dxi= b(x)eR a(x) dx. (1.5)

Integrando a equa¸cão (1.5), obtemos a seguinte solu¸cão geral para a equa¸cão diferencial linear de primeira ordem (1.3).

Exemplo 1.3.1

Resolver o seguinte problema de valor inicial:        ( sen x)dy dx + (cos x) y = cos 2x, 0 < x < π y(π₂) = 1 Solu¸c˜ao:

Escrevendo a equa¸c˜ao na forma (1.3) temos: dy dx+ cos(x) sen (x) | {z } a(x) y =cos(2x) sen (x) | {z } b(x)

sendo o fator integrante dado por eR a(x)dx= exp

Z _cos(x) sen (x)dx

(12)

dy

dxsen x + y cos x = cos 2x ⇔ d

dx(y sen x) = cos 2x Portanto a solu¸c˜ao da EDO ´e dada por

y = 1 sen (x) C + sen (2x) 2

Impondo a condi¸cão inicial encontramos C = 1. Então a solu¸cão particular é dada por: y = 1 sen (x) 1 + sen (2x) 2

Exemplo 1.3.2

Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 10 kg de sal. A partir de um dado momento, água pura come¸ca a entrar no tanque à razão de 20 litros por minuto, enquanto a mistura bem homogeneizada sai do tanque à mesma razão. Qual a quantidade de sal no tanque após t minutos? O que acontece com a quantidade de sal no tanque à medida que o tempo passa?

Solu¸c˜ao:

V0= 350 L, Q0= 10 kg de sal, v = w = 2 L/min, Q1= 0 kg (´agua pura)

dQ dt = 0 − Q 350 + (2 − 2)t2, Q(0) = Q0= 10 Portanto        dQ dt + Q 175 = 0 Q(0) = Q0= 10 ´

e um PVI envolvendo uma equa¸c˜ao linear. Ent˜ao Q(t) = 10 exp − t 175 , lim t→∞Q(t) = 0

Exemplo 1.3.3

Deixa-se cair de uma altura de 30 m um corpo de 30 kg, com uma velocidade inicial de 3 m/s. Admitindo que a resistência do ar seja proporcional à velocidade e que a velocidade limite é de 43 m/s, determine a expressão da velocidade v(t) e da posi¸cão do corpo y(t) em um instante t.

(13)

Solu¸c˜ao mg = kv ⇔ (30)(9.8) = k(43) ⇒ k = 6.84 mv0= mg − kv ⇔ v0+ k mv = g ⇔ v 0₊6.84 30 v = 9.8 v0+ 0.228v = 9.8 ⇒ v = 42.98 − 39.98 e−0.23 t y(t) = Z v(t) dt = 175.36e−0.23t+ 42.98t + C y(0)=0 z}|{₌ _175.36e−0.23t_{+ 42.98t − 175.36}

1.4 Equa¸

c˜

oes Diferenciais Exatas

Suponha que F (x, y) = C, com y dependente de x, seja a solu¸cão geral da equa¸cão diferencial ordinária de primeira ordem

M (x, y) + N (x, y)dy

dx = 0. (1.6) Diferenciando esta solu¸c˜ao obtemos a seguinte diferencial:

dF dx = ∂F ∂x + ∂F ∂y dy dx = 0. (1.7) Comparando as equa¸c˜oes (1.6) e (1.7) observamos que, se existir uma fun¸c˜ao F (x, y) com derivadas parciais tais que

∂F

∂x = M (x, y) e ∂F

∂y = N (x, y),

então o lado esquerdo da equa¸cão (1.6) corresponde à diferencial da fun¸cão F (x, y).

Exemplo 1.4.1

O lado esquerdo da equa¸c˜ao

2x + 2ydy dx = 0 corresponde `a diferencial da fun¸c˜ao F (x, y) = x2_{+ y}2_.

Defini¸

c˜

ao 1.4.1

Equa¸c˜ao Diferencial Exata

A equa¸cão diferencial (1.6) é uma diferencial exata em uma região R do plano-xy se a expressão `

(14)

Exemplo 1.4.2

A equa¸c˜ao diferencial 2x + 2ydy

dx = 0 do Exemplo 1.4.1 ´e uma equa¸c˜ao diferencial exata.

Teorema 1.4.1

Crit´erio para equa¸c˜ao diferencial exata

Sejam M (x, y) e N (x, y) fun¸cões cont´ınuas e com derivadas parciais cont´ınuas em uma região R. É poss´ıvel mostrar que a condi¸cão necessária e suficiente para que a equa¸cão diferencial (1.6) seja exata (isto é, para que exista a fun¸cão F (x, y)), é que

∂M ∂y =

∂N

∂x. (1.8) Método de resolu¸cão de uma equa¸cão diferencial exata:

Suponhamos que, dada a equa¸c˜ao diferencial na forma M (x, y) + N (x, y)dy

dx = 0,

a igualdade dada em (1.8) seja verdadeira. Então, integrando a fun¸cão M (x, y) em rela¸cão a x e mantendo y constante obtemos uma fun¸cão F (x, y) definida por

F (x, y) = Z

M (x, y)dx + g(y), (1.9) onde a fun¸cão g(y) é a constante de integra¸cão em x (pode ser constante ou não em y). Diferen-ciando a equa¸cão (1.9) em rela¸cão a y temos:

∂F ∂y =

∂ ∂y

Z

M (x, y)dx + g0(y) = N (x, y), resultando a seguinte express˜ao para g0(y):

g0(y) = N (x, y) − ∂ ∂y

Z

M (x, y)dx. (1.10) Integramos (1.10) em rela¸c˜ao a y e substitu´ımos g(y) em (1.9) para obter a solu¸c˜ao impl´ıcita F (x, y) = C.

Exemplo 1.4.3

Resolva a equa¸c˜ao diferencial

3x2+ y2 dx + 2xydy = 0 Solu¸c˜ao:

(15)

M (x, y) = 3x2+ y2 e N (x, y) = 2xy ⇒ ∂M ∂y = ∂N ∂x = 2y F (x, y) = Z (3x2+ y2)dx + g(y) = x3+ xy2+ g(y) ⇒ ∂F ∂y = 2xy + g 0_(y) Sendo ∂F

∂y = N (x, y) = 2xy, temos

g0(y) = 0 ⇒ g(y) = C (Constante). Portanto a solu¸cão da equa¸cão diferencial é

F (x, y) = x3+ xy2+ C

Exerc´ıcio 1.4.1

Se y0(x) é uma solu¸cão da equa¸cão diferencial ordinária linear y0+ a(x)y = b(x), verifique que

y1(x) = y0(x) + Ce−R a(x) dx também é solu¸cão, para qualquer valor da constante C.

Exerc´ıcio 1.4.2

Verifique que as equa¸c˜oes diferenciais dadas abaixo s˜ao exatas, resolvendo-as em seguida: a) 3x2_{ydx + x}3_{dy = 0} b) x + y x2_{+ y}2 dx + y − x x2_{+ y}2 dy = 0

Exerc´ıcio 1.4.3

Resolva o PVI        dy dx− 2xy = −1 y(0) = √ π 2 ,

1.5 Trajet´

orias Ortogonais

Consideremos no plano xy uma fam´ılia de curvas dada por:

(16)

onde λ é um parâmetro real. Por exemplo, a equa¸cão x2+ y2− λ = 0, λ > 0

representa uma fam´ılia de circunferˆencias de centro na origem do plano xy.

Supondo que F seja uma fun¸cão diferenciável em alguma região do espa¸_{co tridimencional R}3, diferencimos a equa¸cão (1.11) para encontrar

Fx+ Fy dy dx = 0, isto ´e, dy dx = − Fx Fy

representa a declividade das curvas descritas por F (x, y, λ) = 0. Assim a declividade das curvas (ou trajet´orias) ortogonais ´e dada por

dy dx =

Fy

Fx

de onde obtemos a seguinte equa¸c˜ao diferencial

Fxdy − Fydx = 0. (1.12)

A solu¸cão geral da equa¸cão diferencial (1.12) gera a fam´ılia de tragetórias ortogonais às curvas dadas por F (x, y, λ) = 0.

Exemplo 1.5.1

Considere a fam´ılia de circunferˆencias descritas pela equa¸c˜ao x2+ y2= λ, λ > 0.

Mostre que as trajetórias ortogonais são constitu´ıdas por retas passando pela origem. Solu¸cão: F = x2+ y2− λ = 0 ⇒ Fx= 2x e Fy = 2y ⇒ 2xdy − 2ydy = 0 ⇔ dy dx = y x, cuja solu¸cão é y = Cx.

(17)

Figura 1.2: Fam´ılia de trajet´orias ortogonais para a fam´ılia de fun¸c˜oes x2_{+ y}2_{− λ=0}

Exemplo 1.5.2

Para a fam´ılia de par´abolas

y = λx2 as trajet´orias ortogonais s˜ao dadas pelas curvas x

2 2 + y 2_{= C.} De fato: F (x, y, λ) = y − λx2= 0 ⇒ dy dx − 2λx = 0 ⇒ dy dx = 2λx Resulta a equa¸c˜ao diferencial das traget´orias ortogonais

dy dx = − 1 2λx ⇔ dy dx = − x 2y e cuja solu¸c˜ao ´e dada por : y2= −1

2x

2_{+ C. Veja a figura 1.3.}

Exerc´ıcio 1.5.1

Encontre as trajet´orias ortogonais da fam´ılia de curvas. Fa¸ca um esbo¸co a fam´ılia de curvas e das traget´orias ortogonais .

a) y = kx2

(18)

Figura 1.3: Fam´ılia de trajet´orias ortogonais para a fam´ılia de curvas y = λx2

Exerc´ıcio 1.5.2

Sabe-se que a popula¸cão de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a popula¸cão duplicou em 6 anos, quando ela triplicará?

Exerc´ıcio 1.5.3

O isótopo de chumbo, PB-209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida é 3.3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará para 90% de chumbo desaparecer?

Exerc´ıcio 1.5.4

Inicialmente havia 100 miligramas de uma substância radioativa. Após seis horas a massa de-cresceu 10%. Supondo que a taxa de decaimento é proporcional à quantidade de substância no instante t, escreva a equa¸cão que descreve o problema. Determine a quantidade remanescente após 24 horas. Determine também o tempo de meia-vida da substância.

Exerc´ıcio 1.5.5

Resolva a equa¸c˜ao diferencial

dx dt = e

(19)

Exerc´ıcio 1.5.6

Resolva a equa¸c˜ao dy dx+ 1 xy = 1 xy2.

Sugestão: fa¸ca u = y3 para transformá-la em uma equa¸cão linear de primeira ordem.

Exerc´ıcio 1.5.7

Uma bateria de 10 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é 0.25 henry e a resistência é 5 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial for 0. A equa¸cão diferencial é dada por:

0.25di

dt+ 5i = 10

Exerc´ıcio 1.5.8

Uma pequena barra de metal, cuja temperatura inicial é de 20oC é colocada em um grande recipiente com água fervendo. Sabendo que sua temperatura aumenta 2oC em 1 segundo, quanto tempo levará para a barra atingir 90oC? quanto tempo levará para a barra atingir 98oC ?

Exerc´ıcio 1.5.9

Em um modelo de varia¸c˜ao populacional de uma comunidade sup˜oe-se dP

dt = k1P − k2P , onde k1P é a taxa de natalidade e k2P é a taxa de mortalidade. Determine a fun¸cão P (t) e analise o

comportamento do crescimento da popula¸c˜ao nos casos de k1> k2, k1= k2e k1< k2.

(20)

Equa¸

c˜

oes Diferenciais de Segunda

Ordem

S˜ao equa¸c˜oes diferenciais com derivadas de ordem 2:

a2(x)y00+ a1(x)y0+ a0(x)y = f (x), (2.1)

onde as fun¸c˜oes a2(x), a1(x), a0(x) s˜ao os coeficientes, as quais iremos supor serem cont´ınuas em

um intervalo da reta real.

2.1 Existˆ

encia e Unicidade da Solu¸

c˜

ao

´

E poss´ıvel provar que existe uma única solu¸cão do problema de valor inicial definido pela equa¸cão (2.1) sujeita a duas condi¸cões iniciais, isto é quando se conhece o valor da fun¸cão de da derivada em um dado ponto.

Teorema 2.1.1

Existˆencia e Unicidade

Sejam a2(x), a1(x), a0(x) e f (x) fun¸c˜oes cont´ınuas em um intervalo I e seja x0um ponto (n´umero

real) nesse intervalo. Então existe uma única solu¸cão y(x) da equa¸cão (2.1) definida em I tal que y0(x0) = y1 e y(x0) = y0, sendo y0 e y1 números reais.

Defini¸

c˜

ao 2.1.1

Equa¸c˜ao homogˆenea

Se na equa¸cão (2.1) a fun¸cão f (x) for identicamente nula então diz-se que a equa¸cão diferencial ´

e homogˆenea:

a2(x)y00+ a1(x)y0+ a0(x)y = 0 (2.2)

(21)

Utilizando a propriedade de linearidade da derivada não é dif´ıcil provar os teoremas enunci-ados a seguir. Esses teoremas serão fundamentais para a constru¸cão dos métodos de resolu¸cão de uma equa¸cão diferencial ordinária de segunda ordem.

Teorema 2.1.2

Se y1 e y2são solu¸cões da equa¸cão diferencial homogênea (2.2), então a combina¸cão linear

C1y1(x) + C2y2(x)

também é solu¸cão, quaisquer que sejam os valores das constantes C1e C2.

Teorema 2.1.3

Se yP(x) for uma solu¸cão particular da equa¸cão não homogênea (2.1) e yH(x) for a solu¸cão geral

da equa¸cão homogênea então a solu¸cão geral da equa¸cão não homogênea (2.1) é dada por y(x) = yH(x) + yP(x).

2.2 Equa¸

c˜

oes Lineares Homogˆ

eneas com Coeficientes

Cons-tantes

Neste caso os coeficientes a2(x) = a2, a1(x) = a1 a0(x) = a0 da equa¸cão (2.1) são fun¸cões

constantes e a fun¸c˜ao f (x) ´e identicamente nula:

y00+ a1y0+ a0y = 0. (2.3)

Observe que para a equa¸c˜ao linear de primeira ordem a1y0+ a0y = 0 tem-se:

y0 = −a0 a1

y ⇒ y = e−a0a1x,

o que nos motiva a procurar uma solu¸cão para a equa¸cão homogênea (2.3) da forma

y = emx. (2.4) Substituindo a fun¸c˜ao y = emx _{sugerida em (2.4) e as suas derivadas y}0 _{= me}mx _{e y}00_{= m}2_emx

(22)

em (2.3) obt´em-se

emx(a2m2+ a1m + a0) = 0 ⇔ a2m2+ a1m + a0= 0 (2.5)

As solu¸c˜oes y = emx _ser˜_{ao ent˜}_{ao obtidas como sendo as ra´ızes da equa¸}_c˜_{ao caracter´ıstica (2.5),}

a2m2+ a1m + a0= 0. Temos trˆes casos poss´ıveis , ra´ızes reais distintas, ra´ızes reais iguais (raiz

dupla) ou ra´ızes complexas.

2.2.1 Ra´ızes reais distintas de a

2

m

2

+ a

1

m + a

0

= 0

Se m1 e m2 forem as ra´ızes, então a equa¸cão homogênea (2.3) possui as seguintes solu¸cões

linearmente independentes (uma não é combina¸cão linear da outra): y1(x) = em1x e y2(x) = em2x.

Neste caso a solu¸c˜ao geral ´e

yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) = C1em1x+ C2em2x (2.6)

2.2.2 Ra´ızes reais repetidas (raiz dupla) de a

2

m

2

+ a

1

m + a

0

= 0

Se m1= m2= m, então uma solu¸cão da equa¸cão homogênea (2.3) será y1(x) = emx.

Mostrare-mos que a outra solu¸cão será a fun¸cão y2(x) = xemx. De fato:

y20(x) = emx+ mxemx e y002(x) = 2memx+ m2xemx. Portanto a2y200(x) + a1y02(x) + a0y2(x) = a2(2memx+ m2xemx) + a1(emx+ mxemx) + a0xemx = ( a2m2+ a1m + a0 | {z } 0 )xemx+ ( 2a2m + a1 | {z } 0 )emx= 0 O primeiro termo é igual a zero porque m é uma raiz da equa¸cão quadrática e o segundo termo porque é raiz dupla, isto é m = −a1/2a2.

Neste caso a solu¸c˜ao geral ´e

(23)

2.2.3 Ra´ızes complexas (conjugadas) de a

2

m

2

+ a

1

m + a

0

= 0

Sejam m1= α + iβ e m2 = α − iβ as ra´ızes complexas conjugadas. Ent˜ao as seguintes fun¸c˜oes

complexas s˜ao solu¸c˜oes:

y₁∗(x) = em1x_{= e}(α+iβ)x _e _y∗

2(x) = e

m2x_{= e}(α−iβ)x

Usando as f´ormulas (A.3) e (A.4) temos:

y∗₁(x) = eαxeiβx = eαx(cos βx + i sen βx) e

y2∗(x) = eαxe−iβx= eαx(cos βx − i sen βx)

Como consequˆencia do resultado do Teorema 2.1.2 temos que y1(x) = 1 2y ∗ 1(x) + 1 2y ∗ 2(x) = e αx_{cos βx,} _(2.8) y2(x) = i 2[y ∗ 2(x) − y ∗ 1(x)] = e αx_{sen βx,} _(2.9)

também são solu¸cões independentes da equa¸cão homogênea. Portanto a solu¸cão geral real é dada por

yh(x) = C1y1(x) + C2y2(x) = eαx(C1cos βx + C2sen βx) (2.10)

Exemplo 2.2.1

Resolver a equa¸cão diferencial ordinária y00+ 2y0− 3y = 0. Solu¸cão:

m2_{+ 2m − 3 = 0} _{possui duas ra´ızes reais e distintas} _m

1 = −3 e m2 = 1. Portanto a

solu¸c˜ao ´e dada por:

yh= C1e−3x+ C2ex.

Exemplo 2.2.2

Resolver a equa¸c˜ao diferencial y00_{− 2y}0_{+ y = 0}

Solu¸c˜ao:

m2_{− ms + 1 = 0} _{possui duas ra´ızes reais e iguais} _m

1= m2= 1. A solu¸c˜ao ´e :

(24)

Exemplo 2.2.3

Resolver a equa¸c˜ao diferencial y00_{− 2y}0_{+ 2y = 0}

Solu¸c˜ao:

m2_{− 2m + 2 = 0} _{possui duas ra´ızes complexas conjugadas} _m

1= 1 + i e m2= 1 − i

A solu¸c˜ao ´e dada por:

yh= ex(C1cos x + C2sen x).

2.3 M´

etodo da Varia¸

c˜

ao dos Parˆ

ametros

Este método parte da hipótese que sejam conhecidas duas solu¸cões linearmente independentes (uma não é obtida como combina¸cão linear da outra) da equa¸cão homogênea associada à equa¸cão (2.1), as quais podem ser obtidas pelo método discutido na se¸cão anterior. Supondo que tais solu¸cões sejam y1e y2, propõe-se que uma solu¸cão particular yP da equa¸cão (2.1) seja da forma

yP(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x), (2.11)

sendo u1 e u2 fun¸c˜oes a serem determinadas sob algumas condi¸c˜oes.

Substituindo yP dada em (2.11) e as suas derivadas y0P e yP00 na equa¸c˜ao (2.1), sob a condi¸c˜ao

u0

1y1+ u02y2= 0 encontramos:

u1[y100+ a1y01+ a0y1] + u2[y200+ a1y02+ a0y2] + u01y10 + u02y20 = f (x)

Como y1e y2são solu¸cões da equa¸cão homogênea, as expressões entre colchetes são iguais a zero

e a express˜ao anterior torna-se

u01y10 + u02y02= f (x) (2.12)

Reunindo as equa¸c˜oes u0

1y1+ u02y2= 0 e (2.12) obtemos um sistema linear nas vari´aveis u01e u02:

       u0₁y1+ u02y2= 0 u01y10 + u02y02= f (x) (2.13)

(25)

cuja solu¸cão é u0₁= 0 y2(x) f (x) y20(x) y1(x) y2(x) y0 1(x) y02(x) e u0₂= y1(x) 0 y01(x) f (x) y1(x) y2(x) y0 1(x) y20(x) (2.14) Seja w(x) = y1(x) y10(x) y2(x) y20(x) = y1(x)y02(x) − y10(x)y2(x). (2.15) Portanto u0₁(x) = −y2(x)f (x) w(x) e u 0 2(x) = y1(x)f (x) w(x) . (2.16) O método de Varia¸cão dos Parâmetros pode ser aplicado a qualquer equa¸cão diferencial linear de ordem n, desde que sejam conhecidas n solu¸cões linearmente independentes da equa¸cão homogênea correspondente. Se os coeficientes não forem constantes o método de resolu¸cão da equa¸cão homogênea discutido na se¸cão anterior não é válido, sendo necessário pensar em outras estratégias de resolu¸cão.

Exemplo 2.3.1

Resolver a equa¸c˜ao y00_{− 4y}0_{+ 4y = (x + 1)e}2x_.

Solu¸c˜ao:

As ra´ızes da equa¸c˜ao auxiliar caracter´ıstica m2_{−4m+4 = 0 s˜}_{ao m}

1= m2= 2. Portanto obtemos

a seguinte solu¸cão geral da equa¸cão homogênea correspondente yH= C1e2x+ C2xe2x.

Assim as fun¸cões y1e y2 do método da varia¸cão dos parâmetros são

y1(x) = e2x e y2(x) = xe2x⇒ w(x) = e2x _2e2x xe2x _2xe2x_{+ e}2x = e4x Assim, u0₁= −(x + 1)xe 4x e4x = −x 2_{− x ⇒ u} 1= − x3 3 − x2 2 u0₂= (x + 1)e 4x e4x = x + 1 ⇒ u2= x2 2 + x

(26)

Portanto yP = −x 3 3 − x2 2 e2x+ x 2 2 + x xe2x e a solu¸c˜ao ´e dada por

y = yP+ yH = −x 3 3 − x2 2 e2x+ x 2 2 + x xe2x+ C1e2x+ C2xe2x

2.4 Redu¸

c˜

ao de Ordem

Algumas equa¸cões diferenciais ordinárias de segunda ordem podem ser resolvidas por redu¸cão da ordem e aplica¸cão dos métodos de resolu¸cão estudados para as equa¸cões de primeira ordem.

Exemplo 2.4.1

Consideremos a equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem: xy00+ y0= x − 2, x > 0.

Fazendo a substitui¸c˜ao z = y0 obtemos a equa¸c˜ao linear de primeira ordem xz0+ z = x − 2 ⇔ z0+1 xz = x − 2 x z = C x + x 2 − 2 ⇔ y = C ln x + x2 4 − 2x + C1

Exemplo 2.4.2

Consideremos a equa¸c˜ao diferencial de segunda ordem: xy000+ y00= 0. Fazendo a substitui¸c˜ao z = y00obtemos:

xz0+ z = 0 ⇔ z0+1 xz = 0 ⇔ z = C x ⇔ y 00₌ C x y0 = C ln x + C1 ⇔ y = C(xln x − x) + C1x + C2 Observa¸c˜ao: Z

(27)

Exerc´ıcio 2.4.1

Resolver a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria y00+ 2y0− 3y = x3_{+ 1.}

Exerc´ıcio 2.4.2

Resolver a equa¸c˜ao diferencial y00− 2y0_{+ y = x.}

Exerc´ıcio 2.4.3

Resolver a equa¸c˜ao diferencial y00− 2y0_{+ 2y = sen x}

Exerc´ıcio 2.4.4

Resolver o seguinte problema de valor inicial:        y00+ 2y0+ y = 4ex(x + 1), y(0) = 0 e y0(0) = 1

Exerc´ıcio 2.4.5

A acelera¸cão de uma part´ıcula, como fun¸cão do tempo é x00= −3x − 5x0. No instante t = 0, a part´ıcula parte do repouso no ponto x = 1. Calcule a posi¸cão e a velocidade da part´ıcula como fun¸cão do tempo, para t > 0.

Exerc´ıcio 2.4.6

A acelera¸cão de uma part´ıcula em fun¸cão do tempo é x00= −3x. No instante t = 0 a part´ıcula parte do repouso em x = 1. calcule a posi¸cão e a velocidade da part´ıcula em fun¸cão do tempo, para t > 0.

Exerc´ıcio 2.4.7

Determine a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao y00_{− y = 3e}2x_.

Exerc´ıcio 2.4.8

Determine a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao xy00− 2y0 _{= 0. Sugest˜}_{ao: reduza `}_{a primeira ordem.}

Exerc´ıcio 2.4.9

Dado que y1 = x−1 é solu¸cão de 2x2y00+ 3xy0− y = 0, x > 0, encontre uma segunda solu¸cão

(28)

2.5 Solu¸

c˜

ao em s´

erie de potˆ

encias

Neste método supõe-se que a solu¸cão da equa¸cão diferencial é uma fun¸cão cont´ınua que pode ser representada por sua série de Taylor (Apêndice B) em torno do ponto inicial x0= a. O método

também se aplica no caso em que a EDO não é linear. Consideramos os seguintes exemplos:

Exemplo 2.5.1

Resolver o seguinte problema de valor inicial:        y00+ xy0+ (2x − 1)y = 0, y(−1) = 2 e y0(−1) = −2 Solu¸c˜ao Ponto inicial: a = −1.

Hip´otese: as derivadas y(n)_{(−1) existem para todo n.}

y00= −xy0− (2x − 1)y ⇒ y00(−1) = 4 y000 = −xy00− 2xy0_{− 2y} _⇒ _y000_{(−1) = −4}

yiv= −xy000− (2x + 1)y00_{− 4y}0 _⇒ _yiv_{(−1) = 8}

Portanto, a solu¸cão em série de potências é y(x) = 2 − 2(x + 1) + 4 2!(x + 1) 2 − 4 3!(x + 1) 3₊ 8 4!(x + 1) 4_{+ ...}

Observe que esta solu¸cão é válida em um intervalo pequeno contendo o -1.

Exemplo 2.5.2

       y00+ 1 xy 0₋ 4 x2y = 0, y(1) = 0 e y0(1) = −4 Solu¸c˜ao Ponto inicial: a = 1. y00= −1 xy 0₊ 4 x2y ⇒ y 00_{(1) = 4} y000= −1 xy 00₊ 5 x2y 0₋ 8 x3y ⇒ y 000_{(1) = −24}

(29)

yiv = −1 xy 000₊ 6 x2y 00₋18 x3y 0₊24 x4y ⇒ y iv_{(1) = 120}

Portanto, a solu¸cão em série de potências é y(x) = −4(x − 1) + 4 2!(x − 1) 2₋4! 3!(x − 1) 3₊5! 4!(x − 1) 4₊6! 5!(x − 1) 5_{+ ...}

Exerc´ıcio 2.5.1

Calcule a solu¸cão em série de potências do seguinte problema de valor inicial:        y00+ y0= 0, y(0) = 1 e y0(0) = 1

Exerc´ıcio 2.5.2

Calcule a solu¸cão em série de potências do seguinte problema de valor inicial:        y00= x2− y2_, y(0) = 1 e y0_{(0) = 0}

Exerc´ıcio 2.5.3

Calcule a solu¸cão em série de potências do seguinte problema de valor inicial:        y00− 2xy0+ 6y = 0, y(0) = −1 e y0(0) = 0

Exerc´ıcio 2.5.4

Calcule a solu¸cão em série de potências do seguinte problema de valor inicial:        y00+ y sen x = x, y(π) = 1 e y0(π) = 0

(30)

N´

umeros Complexos

Um número complexo é um número da forma z = a + ib,

sendo i2 _{= −1 denominada unidade imagin´}_{aria e a e b n´}_{umeros reais. A representa¸}_c˜_{ao desse}

n´umero no plano complexo ´e dada na figura A.1:

Figura A.1: Representa¸cão do número z = a + ib no plano complexo. Considerando a expansão de ex_{, sen (x) e cos(x) em s´}_{eries de potˆ}_{encias, dadas por:}

ex= 1 + x +x 2 2! + x3 3! + ... sen (x) = x −x 3 3! + x5 5! − ... cos(x) = 1 −x 2 2! + x4 4! − ... 25

(31)

´e poss´ıvel mostrar as seguintes f´ormulas para sen (x) e cos(x): sen (x) = e ix_{− e}−ix 2i ; (A.1) cos(x) = e ix_{+ e}−ix 2 . (A.2)

Como consequˆencia das equa¸c˜oes (A.1) e (A.2), temos

eix= cos(x) + i sen (x) (A.3) e

e−ix= cos(x) − i sen (x) (A.4) Seja o n´umero complexo z = a + ib, representado pela figura A.1. Ent˜ao:

cos(α) = a

|z| e sen (α) = b |z|, e

(32)

S´

erie de Taylor

Se f (x) for uma fun¸cão que possui a seguinte representa¸cão em série de potências f (x) =

∞

X

k=0

ck(x − a)k, |x − a| < R,

ent˜ao os coeficientes ck podem ser obtidos da seguinte forma:

f (a) = c0⇒ c0= f (a) f0(x) = ∞ X k=1 kck(x − a)k−1⇒ c1= f0(a) 1! f00(x) = ∞ X k=2 k(k − 1)ck(x − a)k−2⇒ c2= f00(a) 2! f000(x) = ∞ X k=3 k(k − 1)(k − 2)ck(x − a)k−3⇒ c3= f000(a) 3! .. .

Por indu¸c˜ao podemos concluir que os coeficientes ck, k = 0, 1, 2, ... s˜ao dados por: ck =

fk(a) k!

Defini¸

c˜

ao B.0.1

Série de Taylor e Série de Maclaurin A série de potências

∞ X k=0 f(k)_(a) k! (x − a) k _(B.1) ´

e chamada série de Taylor da fun¸cão f (x) em x = a. Para o caso especial de a = 0 a série é chamada de série de Maclaurin.