ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS
12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA – A
Tema II – Introdução ao Cálculo Diferencial II
TPC nº 8
Entregar em 23 – 01 – 2009
1. Na figura está representado um prisma hexagonal com as faces coloridas
(não há duas faces com a mesma cor).
Pretende-se numerar as oito faces do prisma com números de 1 a 8 (um número diferente em cada face).
1.1. De quantas maneiras diferentes é possível fazer a numeração das
faces?
1.2. De quantas maneiras é possível numerar as faces do prisma, de modo
que a soma dos números das bases seja 10?
1.3. Escolhidos, ao acaso, dois vértices do prisma, qual é a probabilidade dos vértices
escolhidos definirem uma recta estritamente paralela à recta AB?
1.4. Considere o prisma hexagonal num referencial o.n. Oxyz, de modo que o vértice A
coincida com a origem do referencial e a base a que pertence, esteja contida no plano xOy. O vértice B é um ponto do eixo das cotas, com cota positiva. Escolhidos três vértices distintos, ao acaso, qual é a probabilidade dos vértices escolhidos definirem um plano concorrente com o plano xOy?
2. Considere as funções f e g, reais de variável real, tais que:
( )
1 xf x = −1 2 e+ e g x
( )
= +2 3ln x 2(
+)
2.1. Seja h a função, tal que h x
( )
= +3 f x 2(
−)
. Determine as assímptotas do gráfico da função h.2.2. Caracterize a função f−1 (função inversa de f).
2.3. Seja j a função, tal que j x
( )
=2g x( )
− . Determine as assímptotas do gráfico da função j.2.4. Caracterize a função g−1 (função inversa de g).
2.5. Sabe-se que o gráfico de g intersecta a recta definida pela equação y x= em dois pontos A e B. Justifique a afirmação: "os pontos A e B pertencem ao gráfico de g−1".
3. Considere as funções f e g, reais de variável real, tais que:
( )
(
2)
3
f x =log x −16 e g x
( )
=log x 43(
−)
+log x 43(
+)
3.1. Verifique se as funções f e g são iguais.
3.2. Resolva a equação g x
( )
=log 6x3( )
A
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12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA – A
Tema II – Introdução ao Cálculo Diferencial II
TPC nº 8 – Proposta de Resolução
1. Na figura está representado um prisma hexagonal com as faces coloridas (não há duas faces com a mesma cor).
Pretende-se numerar as oito faces do prisma com números de 1 a 8 (um número diferente em cada face).
1.1. É possível fazer a numeração das faces de 8! 40 320= maneiras
diferentes pois vamos numerar 8 faces distintas com 8 números diferentes.
1.2. Queremos saber de quantas maneiras é possível numerar as faces do prisma, de modo
que a soma dos números das bases seja 10.
Se a soma dos números das bases é 10 significa que nas duas bases constam os números 2 e 8 ou 3 e 7 ou 4 e 6. Ou seja existem 3 2!× possibilidades, porque os números podem estar na base superior ou inferior. Para cada uma das situações anteriores existem 6! maneiras de numerar as faces laterais, pelo que o número total de maneiras de numerar as faces é 3 2! 6! = 4 320× × .
1.3. Escolhidos, ao acaso, dois vértices do prisma, pretendemos saber qual é a probabilidade dos vértices escolhidos definirem uma recta estritamente paralela à recta AB.
Como existem 12 vértices no prisma e uma recta é definida por dois pontos então o número de casos possíveis é12
2
C . O número de casos favoráveis é 5, pois esse é o número de rectas estritamente paralelas à recta AB, definidas por dois dos vértices do prisma. Então a probabilidade pedida é 12
2
5 5
66 C = .
1.4. Consideremos o prisma hexagonal num referencial o.n. Oxyz, de modo que o vértice A
coincida com a origem do referencial e a base a que pertence, esteja contida no plano xOy. O vértice B é um ponto do eixo das cotas, com cota positiva. Escolhidos três vértices distintos, ao acaso, pretendemos saber qual é a probabilidade dos vértices escolhidos definirem um plano concorrente com o plano xOy.
Como existem 12 vértices no prisma e um plano é definida por três pontos não colineares então o número de casos possíveis é12
3
C .
Os casos favoráveis são os conjuntos de 3 pontos que definem os planos concorrentes com o plano xOy, os seja todos os planos, definidos por 3 vértices, com excepção das
A
1ª Resolução
Sabemos que probabilidade dos vértices escolhidos definirem um plano concorrente com o plano xOy é
P = 1 – P (definirem um dos planos que contêm as bases)
6 3 12 3 2 C 40 9 1 1 220 11 C × = − = − = 2ª Resolução
Os planos concorrentes ao plano xOy, definidos por vértices não colineares do hexágono, são definidos por 2 vértices de uma das bases e um da outra base, ou seja são
6 6 2 1 C × C × . 2 A probabilidade pedida é 6 6 2 1 12 3 C C 2 180 9 P= 220 11 C × × = = .
2. Consideremos as funções f e g, reais de variável real, tais que:
( )
1 xf x = −1 2 e+ e g x
( )
= +2 3ln x 2(
+)
2.1. Seja h a função, tal que h x
( )
= +3 f x 2(
−)
. Determinemos as assímptotas do gráfico da função h.A assímptota horizontal de equação y 1= é a única assímptota do gráfico de f.
O gráfico da função h pode obter-se a partir do gráfico da função f, através da seguinte sequência de transformações:
• uma translação associada ao vector de coordenadas (2,0) (o gráfico de f desloca-se duas unidades para a direita) mantendo a assímptota horizontal,
• uma translação associada ao vector de coordenadas (0,3) (o gráfico anterior desloca-se três unidades para cima) passando a assímptota a ser definida pela equação y 4= .
O gráfico da função h admite uma assímptota horizontal de equação y 4= .
2.2. Caracterizemos a função f−1 (função inversa de f).
A expressão analítica de f é f x
( )
= −1 2 e1 x+ e fD = \ .
Sendo uma função injectiva podemos definir a função inversa. Determinemos a expressão analítica de f−1
( )
1 x 1 x 1 x 1 x 1 y y 1 2 e 2 e 1 y e 2 1 y 1 y ln e ln 1 x ln 2 2 1 y x ln 1 2 + + + + − = − ⇔ = − ⇔ = − − ⇔ = ⇔ + = − ⇔ = − Logo f 1
( )
x ln 1 x 1 2 − = − − e f1{
}
]
[
1 x D x : 0 x : x 1 ,1 2 − − = ∈ > = ∈ < = −∞ \ \ Assim]
[
( )
1 1 f : ,1 1 x x f x ln 1 2 − − −∞ → − = − \ 62.3. Seja j a função, tal que j x
( )
=2g x( )
− . Determinemos as assímptotas do gráfico da função j.A assímptota vertical de equação x= − é a única assímptota do gráfico de g. 2
O gráfico da função j x
( )
=2g x( )
− pode obter-se a partir do gráfico da função g, através da seguinte sequência de transformações:• uma simetria em relação ao eixo das ordenadas. A assímptota passa a ser definida pela equação x 2= ,
• um alongamento vertical de factor 2. Mantém a assímptota com equação x 2= .
2.4. Caracterizemos a função g−1 (função inversa de g).
( )
(
)
g x = +2 3ln x 2+ pelo que Dg =
{
x∈\: x 2 0+ >} {
= x∈\: x> − = − +∞2}
]
2,[
Sendo uma função injectiva podemos definir a função inversa.Determinemos a expressão analítica de g−1.
(
)
(
)
(
)
(
)
ln x 2( ) y 23 y 2 y 2 3 3 y 2 3ln x 2 y 2 3ln x 2 3ln x 2 y 2 y 2 ln x 2 e e 3 x 2 e x 2 e − + − − = + + ⇔ − = + ⇔ + = − − ⇔ + = ⇔ = ⇔ ⇔ + = ⇔ = − + Logo( )
x 2 1 3 g x 2 e − − = − + e 1 g D − = \ Assim]
[
( )
1 x 2 1 3 g : 2, x g x 2 e − − − → − +∞ = − + \ 62.5. Sabe-se que o gráfico de g intersecta a recta definida pela equação y x= em dois pontos A e B. Justifiquemos a afirmação: "os pontos A e B pertencem ao gráfico de g−1".
A afirmação “os pontos A e B pertencem ao gráfico da função g−1” é verdadeira, atendendo a
Assim sendo, quaisquer pontos da bissectriz dos quadrantes ímpares que pertençam a um dos gráficos também pertencem ao gráfico da respectiva inversa.
3. Consideremos as funções f e g, reais de variável real, tais que:
( )
(
2)
3
f x =log x −16 e g x
( )
=log x 43(
−)
+log x 43(
+)
3.1. Verifiquemos se as funções f e g são iguais. As funções f e g são iguais se
f g D =D e f(x) g(x),= ∀∈Df =Dg Determinemos o Df
{
2}
]
[ ]
[
f D = x∈\: x −16 0> = −∞,4 ∪ 4,+∞ C.A. x2 −16 0= ⇔ = ∨ = x 4 x 0 x2 −16 0> ⇔ ∈ −∞x]
,4[ ]
∪ 4,+∞[
Determinemos o Dg{
}
]
[
g D = x∈\: x 4 0 x 4 0− > ∧ + > = 4,+∞ C.A. x 4 0 x 4 0− > ∧ + > ⇔ > ∧ > − ⇔ ∈x 4 x 4 x]
4,+∞[
Como Df ≠Dgconcluímos que as funções f e g não são iguais.3.2. Resolvamos a equação g x
( )
=log 6x3( )
⇔log x 43(
−)
+log x 43(
+)
=log 6x3( )
. Comecemos por determinar o domínio da expressão{
}
{
}
{
}
]
[
D x : x 4 0 x 4 0 6x 0 x : x 4 x 4 x 0 x : x 4 4, = ∈ − > ∧ + > ∧ > = ∈ > ∧ > − ∧ > = ∈ > = +∞ \ \ \ Assim( )
( )
(
)
(
)
( )
]
[
(
)(
)
( )
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
3 3 3 3 3 3 2 2g x log 6x log x 4 log x 4 log 6x x 4, log x 4 x 4 log 6x x 4, x 16 6x x 4, x 6x 16 0 x 4, 6 36 64 x x 4, 2 (x 8 x 2) x 4, x 8 = ⇔ − + + = ∧ ∈ +∞ ⇔ − + = ∧ ∈ +∞ ⇔ − = ∧ ∈ +∞ ⇔ − − = ∧ ∈ +∞ ± + ⇔ = ∧ ∈ +∞ ⇔ = ∨ = − ∧ ∈ +∞ ⇔ =
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12º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA – A
Tema II – Introdução ao Cálculo Diferencial II
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DO TPC nº 8
1. • 35 Pontos
1.1. 8! 40 320= • 5 Pontos
1.2. • 10 Pontos
• Identificar que nas duas bases constam os números 2 e 8 ou 3 e 7 ou 4 e 6 • 2 Pontos • Reconhecer a necessidade de permutar os 2 números escolhidos pelas 2
bases • 2 Pontos
• Colocação dos restantes números nas faces laterais • 2 Pontos
• Resposta final 3 2! 6! = 4320× × . • 4 Pontos
1.3. • 10 Pontos
• Número de casos favoráveis = 5
• 3 Pontos • Número de casos possíveis =12
2 C . • 2 Pontos • Cálculo da probabilidade 5 66 = • 5 Pontos 1.4. • 10 Pontos
• Número de casos possíveis =12 3
C • 2 Pontos
• Número de casos favoráveis =6 6
2 1 C × C × 2 • 3 Pontos • Cálculo da probabilidade 6 2 6 1 12 3 C C 2 180 9 P= 220 11 C × × = = . • 5 Pontos 2. • 40 Pontos 2.1. • 8 Pontos
• O gráfico de f tem uma assímptota horizontal de equação y 1= • 2 Pontos • O gráfico de f x 2
(
−)
obtém-se do gráfico de f por uma translaçãoassociada ao vector de coordenadas (2,0) (o gráfico desloca-se duas unidades para a direita) mantendo a equação da assímptota horizontal
y 1= .
• 2 Pontos
• O gráfico de h x
( )
= +3 f x 2(
−)
obtém-se do anterior por uma translação associada ao vector de coordenadas (0,3) (o gráfico de f x 2(
−)
desloca-se três unidades para cima) passando a assímptota a ser definida pela7
• O gráfico da função h admite uma assímptota horizontal de equação y 4= . • 2 Pontos
2.2. • 10 Pontos • Df = \ • 2 pontos • Expressão analítica de f 1
( )
x ln 1 x 1 2 − = − − • 3 Pontos • f1{
}
]
[
1 x D x : 0 x : x 1 ,1 2 − − = ∈ > = ∈ < = −∞ \ \ • 3 Pontos •]
[
( )
1 1 f : ,1 1 x x f x ln 1 2 − − −∞ → − = − \ 6 • 2 Pontos 2.3. • 8 Pontos• O gráfico da função g admite uma única assímptota vertical de equação
x= − 2 • 2 Pontos
• O gráfico de g (-x) resulta do de g (x) por uma simetria em relação ao eixo
das ordenadas. A assímptota passa a ser definida pela equação x 2= , • 2 Pontos • O gráfico de j (x) resulta do anterior por um alongamento vertical de factor
2. • 2 Pontos
• O gráfico da função j admite uma assímptota vertical de equação x 2= . • 2 Pontos
2.4. • 10 Pontos • Dg =
{
x∈\: x 2 0+ >} {
= x∈\: x> − = − +∞2}
]
2,[
• 2 Pontos • g−1( )
x = − +2 ex 23− • 3 Pontos • Dg−1 = \ • 3 Pontos •]
[
( )
1 x 2 1 3 g : 2, x g x 2 e − − − → − +∞ = − + \ 6 • 2 Pontos 2.5. • 5 Pontos• Quaisquer pontos da bissectriz dos quadrantes ímpares que pertençam a um dos gráficos também pertencem ao gráfico da respectiva inversa porque os gráficos de duas funções inversas são simétricos em relação à recta de equação y x= .
• 5 Pontos
3. • 24 Pontos
3.1. • 9 Pontos
• Definição de funções iguais • 2 Pontos
• Cálculo de
{
2}
]
[ ]
[
f
D = x∈\: x −16 0> = −∞,4 ∪ 4,+∞ • 2 Pontos • Cálculo de Dg =
{
x∈\: x 4 0 x 4 0− > ∧ + >}
=]
4,+∞[
• 2 Pontos• Concluir que as funções f e g não são iguais porque os domínios são
diferentes • 3 Pontos
3.2. • 15 Pontos
• Determinar o domínio da equação
{
}
]
[
D= x∈\: x 4 0 x 4 0 6x 0− > ∧ + > ∧ > = 4,+∞ • 3 Pontos • Resolução( )
( )
(
)
(
)
( )
]
[
(
)(
)
( )
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
3 3 3 3 3 3 2 2g x log 6x log x 4 log x 4 log 6x x 4, log x 4 x 4 log 6x x 4, x 16 6x x 4, x 6x 16 0 x 4, 6 36 64 x x 4, 2 (x 8 x 2) x 4, x 8 = ⇔ − + + = ∧ ∈ +∞ ⇔ − + = ∧ ∈ +∞ ⇔ − = ∧ ∈ +∞ ⇔ − − = ∧ ∈ +∞ ± + ⇔ = ∧ ∈ +∞ ⇔ = ∨ = − ∧ ∈ +∞ ⇔ = • 9 Pontos
