UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA. Disciplina de Controle II Prof. MC. Leonardo Gonsioroski da Silva

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UNIVERSIDADE GAMA FILHO

PROCET – DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA

Disciplina de Controle II

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Controlador Proporcional

Controladores PID

A Relação entre a saída e o sinal de erro e(t) é dada pelo ganho Kp

Controlador PI Onde Kp é denominado Sensibilidade proporcional ou ganho Onde: Kp é o ganho Proporcional Ti é o Tempo Integral. (1/Ti - taxa de restabelecimento)

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Controlador PD

Controladores PID

Controlador PID Onde: Kp é o ganho Proporcional Td é o Tempo Derivativo. Onde: Kp é o ganho Proporcional Ti é o Tempo Integral. (1/Ti - taxa de restabelecimento)

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Controladores PID

Mais da metade dos controladores industriais em uso atualmente empregam esquemas de Controle PID.

A popularidade dos controladores PID pode ser atribuída parcialmente ao seu desempenho robusto sobre uma grande faixa de condições operacionais e a sua simplicidade operacional.

Controladores PID

simplicidade operacional.

Para se implementar um Controlador PID, três parâmetros devem ser determinados: o Ganho Proporcional K p o Ganho Integral K i o Ganho Derivativo K d

O processo de selecionar os Parâmetros do Controlador que garantam uma dada especificação de desempenho é conhecido como Sintonia do Controlador.

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Seja o sistema:

Controladores PID

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Características das Ações Proporcional, Integral e Derivativa

O controle proporcional atua na resposta transitória do sistema de forma a diminuir o tempo de subida (t_r), diminuindo adicionalmente o erro de regime permanente. O controlador integral elimina por completo o erro de regime permanente, mas pode piorar a resposta transitória do sistema.

A ação derivativa tem o efeito de aumentar a estabilidade do sistema, reduzindo o

Controladores PID

A ação derivativa tem o efeito de aumentar a estabilidade do sistema, reduzindo o sobre-sinal e o tempo de estabilidade, com isso melhorando a resposta transitória.

Note que o efeito final na variável saída do sistema, que é ocasionado pela conjunção destas ações de controle, pode não seguir exatamente as especificações observadas na Tabela. Por esta razão, esta tabela deverá ser empregada somente como um guia rápido de referência, ficando os ajustes finais do controlador ao encargo do projetista.

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Controladores PID

Sintonização de Controladores PID

O Modelo do Processo é Disponível? O Modelo do Sim NãoNão O Modelo do Processo é Linear e Invariante no t? Bode Root-Locus Espaço de Estados Sim Otimização Numérica Não Método de Ziegler-NicholsTentativa e Erro?

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Índices de Desempenho

Um índice de desempenho pode ser calculado e usado para se medir o desempenho de um sistema.

Essa medida quantitativa do desempenho de um sistema é necessária para a operação e otimização de sistemas de controle, segundo especificações pré-determinadas em projeto.

Controladores PID

determinadas em projeto.

Um sistema para ser considerado “o melhor” deve ser tal que minimize o índice de desempenho, que será um valor positivo ou nulo.

Existem alguns índices de desempenho a saber:

a. ISE – Integral do Quadrado do Erro b. IAE – Integral do Valor Absoluto

c. ITAE – Integral do Tempo multiplicado pelo Erro Absoluto d. ITSE – Integral do Erro Multiplicado pelo Quadrado do Erro

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Índices de Desempenho

Um índice de desempenho é uma medida quantitativa do desempenho de um sistema e é escolhido de modo que seja colocada ênfase nas especificações consideradas importantes do sistema

Controladores PID

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Controladores PID

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Controladores PID

Estas curvas mostram a seletividade do Índice de Desempenho ITAE em comparação com o ISE e ITSE.

O valor mínimo da relação de amortecimento com base no índice ITAE é de 0,7, que para um sistema de segunda ordem resulta em uma resposta rápida ao degrau com um Máximo de sobre sinal de 4,6%.

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Controladores PID

Os coeficientes que minimizarão o critério de desempenho ITAE para uma entrada em degrau foram determinados para a função de transferência de malha fechada genérica da seguinte forma:

Esta função possui erro estacionário nulo para uma entrada em degrau. Os coeficientes ótimos para o critério ITAE são dados na seguinte tabela:

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Método da Otimização

Para usar este método parte do pressuposto que os modelos matemáticos da planta são conhecidos e portanto podemos analiticamente encontrar a função de transferência do sistema.

Esse método usa o índice de desempenho ITAE e os coeficientes ótimos resultantes dele para uma entrada ao degrau ou em rampa (Ver Dorf pag.205).

Controladores PID

dele para uma entrada ao degrau ou em rampa (Ver Dorf pag.205).

Os Parâmetros escolhidos são tais que minimizam o índice de desempenho ITAE. O procedimento de Projeto consiste nos 3 passos a seguir:

1. Selecionar ω_n do sistema em malha fechada especificando o tempo de acomodação. 2. 2. Determinar os 3 coeficientes usando a equação ótima apropriada e o valor de ω_n

encontrado.

3. Usar um filtro que faça com que a função de transferência de malha fechada não tenha zeros.

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Exemplo

Considere um controlador de temperatura com um sistema de controle da seguinte forma:

Controladores PID

Onde

Se Gc(s)=1, o erro estacionário é 50% e o tempo de acomodação (2%) é de 4 segundos. Para uma entrada em degrau.

Deseja-se obter um desempenho ITAE ótimo para um degrau unitário e um tempo de acomodação menor que 0,5 s, usando um controlador PID.

2 1 1 ) s ( ) s ( G + =

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Método de Ziegler-Nichols

Ziegler e Nichols sugeriram regras para a sintonia de controladores PID baseadas na resposta experimental ao degrau.

Essas regras são muito úteis quando os modelos matemáticos são desconhecidos. Os resultados de Kp, Ki e Kd, são bem próximos do ideal, mas caso apresentem

Controladores PID

Os resultados de Kp, Ki e Kd, são bem próximos do ideal, mas caso apresentem valores de sobre sinal elevados, o operador deve realizar uma sintonia fina até que um resultado aceitável seja alcançado.

A partir dos estudos de Ziegler e Nichols, surgiram outras várias regras de sintonias para controladores PID que podem ser conseguidas com fabricantes desse tipo de controlador.

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Método da Curva de Reação

Esse método se aplica se a curva da resposta da planta a uma entrada em degrau tiver o aspecto de uma letra S.

Isso ocorrerá se a planta não possuir integradores nem pólos complexos dominantes.

Controladores PID

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Ziegler e Nichols sugeriram escolher valores de Kp, Ki e Kd de acordo com a fórmula que aparece na tabela abaixo.

Controladores PID

Note que o controlador sintonizado por este método fornece:

O PID tem um pólo na origem e zeros duplos em -1/L

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Método do Limiar de Oscilação

Neste método faremos inicialmente as constantes Ki = ∞, e Kd = 0, trabalhando apenas

com a ação de controle proporcional.

Experimentalmente vamos aumentar o valor de Kp até que a resposta do sistema

apresente uma oscilação sustentada pela primeira vez. A esse valor de K_p daremos a notação de K (ganho crítico).

Controladores PID

notação de K_cr (ganho crítico).

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Ziegler e Nichols sugeriram escolher valores de Kp, Ki e Kd de acordo com a fórmula que aparece na tabela abaixo.

Controladores PID

Note que o controlador sintonizado por este método fornece:

O PID tem um pólo na origem e zeros duplos em -4/P_cr

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Controladores PID

Ziegler-Nichols

Método da Curva de Reação:

h(t) K

Método do Limiar de Oscilação:

h(t) Pc PID em Manual t L T t Oscilação com K_p = K_c K_P K_I K_D P T/L 0 0 PI 0.9 T/L 0.3/L 0 PID 1.2 T/L 0.5/L 0.5L K_P K_I K_D P 0.5 K_c 0 0 PI 0.45K_c 1.2/P_c 0 PID 0.6K_c 2/P_c 0.125P_c

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Exemplo

Considere o sistema de controle mostrado na figura, no qual um PID é utilizado para controlar o sistema

Controladores PID

O PID tem a seguinte função de Transferência

Obtenha a curva de resposta ao degrau unitário e verifique se o sistema projetado exibe aproximadamente 25% de máximo sobre-sinal. Se o Mp for maior que 40%, faça uma sintonia fina e reduza para Mp = 25%.

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Solução

Como a planta tem um integrador, vamos utilizar o segundo método de Zigler e Nichols, o método do limiar de oscilação.

Portanto fazendo K_i _{= ∞, e K}_d = 0, obtemos a seguinte função de trsnferência de malha fechada.

Controladores PID

A equação característica dessa função de transferência é:

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Portanto a equação característica para K_cr é:

Fazendo s=jw temos:

Donde tiramos que:

Controladores PID

Donde tiramos que:

Portanto:

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Substituindo na função de transferência de um controlador PID temos:

Controladores PID

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Para encontrarmos a resposta ao degrau unitário, fechamos a malha e jogamos a função de transferência de malha fechada no MATLAB.

Controladores PID

Máximo de sobre sinal em torno de 62%

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Fazendo ajustes finos podemos chegar a resposta desejada.

Controladores PID

Máximo de sobre sinal Menor que 25% Menor que 25%

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Exemplo de Projeto de sintonia PID

Controladores PID

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Considere o sistema mostrado na figura abaixo: Onde

Controladores PID

1 1 + = s ) s ( G Onde

Usando o método da otimização para uma entrada em degrau, determinar a estrutura Gc(s) necessária para obtermos uma resposta sub-amortecida com ξ = 0,7 e tempo de estabelecimento de 0,2857 seg para um critério de 2%.

No MATLAB, plote a resposta ao degrau unitário e minimize o máximo de sobre sinal utilizando um filtro prévio.

1 + = s ) s ( G

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Considere o sistema mostrado na figura abaixo: Onde

Controladores PID

4 1 + = s ) s ( G

Para Gc(s) = 2, Calcule o erro no regime estacionário para uma perturbação em degrau. Verifique este erro usando o MATLAB.

Agora faça Gc(s) um controlador PI de modo que o tempo de estabelecimento (critério de 2%) seja menor que 1 segundo para uma resposta ao degrau segundo critério ITAE. Plote a resposta do sistema já com o controlador PI para a entrada ao degrau. Melhore a resposta utilizando um filtro prévio Gp(s).

Verifique matematicamente e no MATLAB que o erro estacionário vai a zero quando incluímos o controlador PI.