Aula 19 Convecção Forçada:

Aula 19 – Convecção Forçada:

Escoamento Interno

Escoamento Interno

UFJF/Departamento de Engenharia de Produção e

Mecânica

Escoamento Interno

Camada limite fluidodinâmica laminar em um tubo circular

Características de escoamentos internos:

•

Escoamento confinado por superfícies;

•

A camada limite se desenvolve com restrição;

•

A camada limite se desenvolve com restrição;

•

Existem regiões distintas: de entrada do escoamento (

camada

limite em desenvolvimento

) e desenvolvida (

camada limite

desenvolvida

);

•

Efeito viscoso é sentido ao longo de todo o escoamento;

Condições de Escoamento

Laminar

Escoamento Interno

Escoamento Externo

Turbulento

Laminar

Região de entrada

Região plenamente

desenvolvida

Escoamento Interno

Turbulento

desenvolvida

Região de entrada

Região plenamente

desenvolvida

Condições de escoamento: Tubo circular

•

Número de Reynolds para escoamento em um tubo circular:

Escoamento Interno

•

Número de Reynolds para escoamento em um tubo circular:

Onde:

- u

é a velocidade média do fluido na seção transversal;

- D é o diâmetro do tubo.

- D é o diâmetro do tubo.

•

Comprimento de entrada fluidodinâmica

para escoamento laminar

Condições de escoamento: Tubo circular

Escoamento Interno

•

(Re ≤ 2300, entrada convergente arredondada).

•

Comprimento de entrada fluidodinâmica

para escoamento turbulento

(Re > 2300).

(Re > 2300).

A Velocidade Média

•

Escoamento externo → Velocidade da corrente livre.

Condições de escoamento: Tubo circular

Escoamento Interno

•

Escoamento externo → Velocidade da corrente livre.

•

Escoamento interno → Velocidade média.

m







u

A

m

u





Isolando u

resulta:

u

A







Número de Reynolds então fica:

m 2 tr

u

D

D

m

D

m

4m

Re

A

_D

D

4













_





















Re

4m

D









Representando a vazão mássica pela integral de



.u na

A Velocidade Média

Condições de escoamento: Tubo circular

Escoamento Interno

Representando a vazão mássica pela integral de



.u na

seção transversal, tem-se:

Escoamento Interno

Considerações Térmicas

•

Se o fluido entra no tubo a uma temperatura uniforme que é menor

8

•

Se o fluido entra no tubo a uma temperatura uniforme que é menor

do que a temperatura da superfície do tubo ocorre a transferência

de calor por convecção e uma

camada limite térmica começa a se

desenvolver

.

•

Se tivermos uma

condição imposta de temperatura na superfície

ou

fluxo de calor constante

na parede do tubo termina-se em uma

condição térmica

completamente desenvolvida

.

•

Comprimento de entrada

térmica para

escoamento

Escoamento Interno

Considerações Térmicas

térmica para

escoamento

laminar

.

•

Em

comparação

ao

0 ,05 Re Pr

D

















Se Pr > 1, a camada limite fluidodinâmica se desenvolve mais rapidamente que a camada limite térmica (x_cd,v < x_cd,t), enquanto o

inverso é verdadeiro para Pr < 1.

Para Pr ≥ 100 (extremamente elevados, como óleos) x_cd,v é muito menor que o

•

Em

comparação

ao

comprimento

de

entrada

fluidodinâmica

.

0 ,05 Re

D

















como óleos) x_cd,v é muito menor que o comprimento de entrada térmico, sendo razoável admitir um perfil de velocidades

plenamente desenvolvido ao longo de toda a região de entrada térmica.

Considerações Térmicas

Escoamento Interno

● Comprimento de entrada térmica para escoamento turbulento

cd ,t tur

10

D

















São praticamente independente do Pr

10 tur

D

Considerações Térmicas

A Temperatura Média

Escoamento Interno

Escoamento Externo

Escoamento Interno

Velocidade na corrente livre



Velocidade Média

Temperatura na corrente livre



Temperatura Média





q



m c



T



T

● As temperaturas nas seções transversais não são uniformes

para a convecção em escoamento interno

● É necessária a definição de uma temperatura média





p sai ent

Considerações Térmicas

A Temperatura Média





m c T





uc TdA

Escoamento Interno





m c T





uc TdA





uc TdA

T

m c





Para escoamento em tubo circular com



e c

constantes e

:







2

T

uT r dr

u r

m







u

A

Considerações Térmicas

Lei do Resfriamento de Newton

Escoamento Interno

 



s s m

q

h( T

T )

Onde h é o coeficiente de transferência de calor local

T

e

T

(para esc. externo)

são essencialmente diferentes

-

T

é constante ao longo do escoamento (ao longo de x)

Considerações Térmicas

Condições Plenamente Desenvolvidas

Escoamento Interno

As condições térmicas plenamente desenvolvidas são de fato

14

As condições térmicas plenamente desenvolvidas são de fato

atingidas?

Se houver transferência de calor, dT_m/dx nunca será igual a zero. Então,

T_m sempre variará e seu valor aumentará com x se a transferência de calor for da superfície para o fluido (T_s > T_m), e T_m diminuirá com x se a

Considerações Térmicas

Condições Plenamente Desenvolvidas

O valor de T_m ou perfil de T(r) sempre estará mudando com x e a condição de plenamente desenvolvida nunca será atingida. Esta contradição é reavaliada

Escoamento Interno

plenamente desenvolvida nunca será atingida. Esta contradição é reavaliada com o uso da temperatura adimensional definida por:

Embora o perfil de temperaturas T(r) continue variando com x, a forma relativa desse perfil permanece inalterado e, portanto, podemos afirmar que o escoamento está termicamente plenamente desenvolvido. A exigência para tal escoamento está termicamente plenamente desenvolvido. A exigência para tal condição é estabelecida por

Considerações Térmicas

Condições Plenamente Desenvolvidas

Como a diferença de temperatura adimensional é independente de x,

Escoamento Interno

Como a diferença de temperatura adimensional é independente de x, sua derivada em relação a r também é independente de x, ou seja:













 









_



_





T

T

1

T

f ( x )

r T

T

T

T

r





  







T

T

q

k

k

Da Lei do Resfriamento de Newton

 

  







q

k

k

y

r





 



q

h T

T

Considerações Térmicas

Condições Plenamente Desenvolvidas

Escoamento Interno



h

f ( x )

k

● Conclui se que o coeficiente de convecção local

é

uma

constante,

independente

de

x,

no

é

uma

constante,

independente

de

x,

no

escoamento

termicamente

plenamente

desenvolvido de um fluido com propriedades

constantes.

Considerações Térmicas

Condições Plenamente Desenvolvidas

a) A derivada da temperatura

Escoamento Interno

a) A derivada da temperatura adimensional em relação à x não é nula para a região de entrada.

b) Como a espessura da camada limite térmica é zero na entrada do tubo o coeficiente de convecção é extremamente elevado em x=0.

18

Variação de h em um tubo.

a) Entretanto, h decai rapidamente à medida que a camada limite térmica se desenvolve até que o valor constante, associado às condições plenamente desenvolvidas, seja atingido.

O Balanço de Energia

Objetivo: Avaliar como T_m varia ao longo da tubulação,

Avaliar como q_conv é relacionada com as diferenças de temperaturas na entrada e saída do tubo.

Escoamento Interno



_m

_,

_sai

_m

_,

_ent



p

conv

m

c

T

T

q

 







dq



m c



_



T



dT



T



_

_

_dq

_

_{m c dT}



O Balanço de Energia

Escoamento Interno

conv

p

m

dq



m c dT







_h

_T

_T

c

m

P

c

m

P

q

dx

dT













representando

q P dx

s





m c dT



p

m

Rearranjando e substituindo

O Balanço de Energia



Escoamento Interno



_s

_m



p

p

s

m

_h

_T

_T

c

m

P

c

m

P

q

dx

dT













A solução da equação depende da condição térmica da

superfície. Serão consideradas dois casos:

superfície. Serão consideradas dois casos:

- Fluxo térmico constante na superfície;

O Balanço de Energia

Fluxo Térmico Constante na Superfície

Escoamento Interno

T_x x

dT

q P



q P







A taxa de transferência de calor é dada por:

q

_conv



q

_s





P

.

L







_h

_T

_T

c

m

P

c

m

P

q

dx

dT













E integrando a Equação desde x=0:

22 x m s s m p _{T 0} p m ,ent

dT

q P

q P

dT

dx

dx

m c

m c





























q P

T ( x )

T

x

q

cons tan te

m c



O Balanço de Energia

Fluxo Térmico Constante na Superfície

 q P

Escoamento Interno

Podemos concluir que:

- A temperatura média varia

linearmente com x ao longo do tubo; - Na entrada T_s-T_m cresce com x,

- Na entrada T_s-T_m cresce com x,

porque h=h(x) cai com x (q_s" = h (T_s -T_m)=cte);

- Na região desenvolvida, h=cte e T_s-T_m também.

O Balanço de Energia

Temperatura Constante na Superfície

Fazendo (T

-T

)=



T na equação

Escoamento Interno





T

h

c

m

P

dx

T

d

dx

dT

p

m



_









Fazendo (T

-T

)=



T na equação



_s

_m



p

p

s

m

_h

_T

_T

c

m

P

c

m

P

q

dx

dT













c

m

dx

dx



_p

Separando variáveis e integrando













dx

h

c

m

P

T

T

d







Resolvendo a integração, resulta:

O Balanço de Energia

Temperatura Constante na Superfície

Escoamento Interno

Resolvendo a integração, resulta:



























_h

_dx

L

1

c

m

PL

T

T

ln







Lembrando que



é, por definição o

L 0

1

h dx

L



L

coeficiente de convecção médio

h

_L

,ou

tem-se:

te

tan

cons

T

h

c

m

PL

T

T

ln

_

_

_







h

 

sai

T

PL

ln



h

O Balanço de Energia

Temperatura Constante na Superfície

Escoamento Interno

Reordenando

 

resulta:

ent p

T

PL

ln

h

T

mc







te

tan

cons

T

h

c

m

PL

exp

T

T

T

T

T

T

_

































Considerando a integração da entrada do tubo até uma posição x

26

Considerando a integração da entrada do tubo até uma posição x

no interior do tubo, o resultado tem a forma mais geral:

te

tan

cons

T

h

c

m

Px

exp

T

T

)

x

(

T

T

_



























O Balanço de Energia

Temperatura Constante na Superfície

Escoamento Interno

te

cons

T

h

c

m

Px

T

T

x

T

T

(

)

_exp

_tan





























●

Taxa de transferência de calor

O Balanço de Energia

Temperatura Constante na Superfície

Escoamento Interno



 











p

conv

m

c

T

T

T

T

m

c

T

T

q





















●

Taxa de transferência de calor

Da equação

Somando e subtraindo T





m

c

T

T

q

 



Substituindo

tirado da Equação

 

PL

mc

h

T

ln

T







p

mc



_h

c

m

PL

T

T











ln

●

Taxa de transferência de calor

O Balanço de Energia

Temperatura Constante na Superfície

Escoamento Interno

te

tan

cons

T

T

A

h

q

_conv



_s



_ml



●

Taxa de transferência de calor

Onde

s

A

T



-

É a área da superfície do tubo

A

_s



P

.

L

ml

T















sai

ent

sai

ml

T

T

ln

T

T

T











-

É a diferença média logarítmica de temperatura

dada por:

O Balanço de Energia

Temperatura do fluido externo ao tubo

●

Taxa de transferência de calor

Escoamento Interno

●

Taxa de transferência de calor

Se no lugar da temperatura da superfície for conhecida a

temperatura do fluido externo ao tubo

, tem-se:































p

s

ent

,

m

sai

,

m

ent

sai

c

m

A

U

exp

T

T

T

T

T

T







ml

s

T

A

U

q

















m

,

ent

p

ent

T

T

m

c

T





e

O Balanço de Energia

Temperatura do fluido externo ao tubo

●

Taxa de transferência de calor

Escoamento Interno

●

Taxa de transferência de calor

As equações podem ser escritas como:



























_

_

m ,sai

sai

ent

m ,ent

p tot

T

T

T

1

exp

T

T

T

m c R







e

Onde

tot

ml

R

T

q







tot

1

R

UA

Escoamento Laminar em Tubos Circulares

Análise Térmica e Correlações de Convecção

●

Região plenamente desenvolvida

Escoamento Interno

●

Região plenamente desenvolvida

Para fluxo de calor constante

32

Obs.:

- Fluido incompressível com propriedades constantes

- k é avaliado em T

Exercício 19.1

Vapor condensando na superfície externa de um tubo de

paredes finas de 50 mm de diâmetro de 6 m de comprimento

mantém constante a temperatura do tubo em 100

C. Água

escoa através do tubo à taxa de 0,25 kg/s, e as temperaturas

escoa através do tubo à taxa de 0,25 kg/s, e as temperaturas

médias na entrada e na saída o tubo são T

= 15

_{C e T}

m,sai

= 57

_{C, respectivamente. Qual é o coeficiente médio de troca}

de calor por convecção neste caso? (Para T

= 36

_{C  c}

Premissas:

a) Desprezível

a

resistência

por

condução

nas

paredes do tubo;

b) Líquido

incompressível

e

dissipação

viscosa

desprezível;

desprezível;

c) Propriedades constantes;

Do balanço de energia e a taxa de transferência de

calor:

34