Slides - Parte 2

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CE062 - Tópicos em Biometria

Silva, J.P; Taconeli, C.A.

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Módulo 4 - Curvas de referência (curvas centílicas)

Módulo 4 - Curvas de referência (curvas

centílicas)

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Introdução

Na construção de faixas de referência, é comum os valores da variável de interesse dependerem de alguma covariável contínua;

O caso mais típico é quando a covariável em questão trata-se da idade do indivíduo;

Neste caso, variáveis referentes ao crescimento, composição corporal e estado nutricional têm suas distribuições alteradas ao longo da infância, adolescência,. . . ;

Chamamos de curvas de referência (ou curvas centílicas) a representação gráfica das faixas de referência que variam conforme os valores de uma covariável contínua.

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Introdução

O centil 100p de uma variável aleatória y é o valor yp tal que

P(y ≤ yp) = p;

Assim, yp= F−1(p), 0 < p < 1 é a função quantil de y ;

Na construção de curvas centílicas consideramos os centis de y condicionais ao valor de uma covariável x , representados por

yp(x ) = F_{y |x}−1(p);

Variando o valor de x , obtemos uma sequência de valores para yp(x )

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Introdução

A Organização Mundial de Saúde utiliza as seguintes curvas centílicas como referência para padronização de medidas antropométricas:

100p = (3, 15, 50, 85, 97), em seus gráficos;

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Introdução

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Introdução

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Introdução

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Introdução

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Introdução

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Introdução

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Introdução

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Construção de curvas de referência

O método LMS, proposto originalmente em Cole and Green (1992), é referência para a construção de curvas de referência;

As curvas de referência são obtidas modelando a locação, a dispersão e a assimetria da variável de interesse como funções suaves (não paramétricas) da covariável x ;

Dessa forma, é permitido que não apenas a locação (ou mediana) da distribuição da resposta (chamemos de w ) varie conforme x , mas também sua escala e forma;

Adicionalmente, o ajuste de funções suaves (splines, por exemplo) de x permite maior flexibilidade e a modelagem de relações não lineares.

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O método LMS

Suponha que w uma variável aleatória que assume valores positivos

com mediana µ, e que yν (ou ln(y ), para ν = 0) tenha distribuição

Normal;

Nesse contexto podemos considerar a família de transformações de Box-Cox: y = (w /µ) ν_{− 1} ν , ν 6= 0 ou y = ln(w /µ), ν = 0.

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O método LMS

A variável transformada y tem distribuição Box-Cox Cole and Gren (BCCG) de parâmetros µ, σ e ν, com função densidade de

probabilidade: f (y ; µ, σ, ν) = √1 2πσ yν−1 µν exp − z2 2 ! ,

onde z = [(y /µ)ν _{− 1] /(νσ), se ν 6= 0, ou z = ln(y /µ)/σ, se ν = 0, para}

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O método LMS

O método LMS baseia-se no ajuste do seguinte modelo:

y |x ∼ BCCG (µ, σ, ν); g1(µ) = s1(u)

g2(σ) = s2(u)

g3(ν) = s3(u)

u = x

em que g1, g2 e g3 são funções de ligação, e s1, s2 e s3 são funções

suavizadoras (splines).

O parâmetro permite transformar também a covariável usando uma transformação do tipo potência, e também deve ser estimado.

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O método LMS

Como alternativas à distribuição BCCG, temos outros modelos construídos a partir da introdução de um parâmetro de potência (ν) a distribuições alternativas à normal.

Dependendo da alternativa usada, temos condições de modelar não apenas locação, escala e assimetria, mas também a curtose de y como função suave de x ;

Os casos mais usuais são as distribuições Box-Cox t (BCT) e Box-Cox power exponential (BCPE), brevemente descritas na sequência.

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O método LMS

A variável aleatória y , com distribuição BCT de parâmetros µ, σ, ν e

τ , tem função densidade de probabilidade:

f (y ; µ, σ, ν, τ ) = y ν−1 µν_σ Γ [(τ + 1)/2] Γ(1/2)Γ(τ /2)τ0.5 h 1 + (1/τ )z2i−(τ +1)/2,

onde z = [(y /µ)ν − 1] /(νσ), se ν 6= 0, e z = log(y /µ)/σ se ν = 0, para

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O método LMS

A variável aleatória y , com distribuição BCPE de parâmetros µ, σ, ν e

τ , tem função densidade de probabilidade:

f (y ; µ, σ, ν, τ ) = y ν−1_{τ exp}h₋1 2 z c τ i µν_σ2(1+1/τ )_Γ1 τ ,

onde c =h2(−2/τ )Γ(1/τ )/Γ(3/τ )i0.5, e z = [(y /µ)ν− 1] /(νσ), se ν 6= 0, e z = log(y /µ)/σ se ν = 0, para y > 0, µ > 0, σ > 0, ν ∈ (−∞, +∞) e

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O método LMS

Para ambas as distribuições BCT e BCPE, curvas de referência podem ser obtidas ajustando o modelo:

y |x ∼ BCT(ou BCPE)(µ, σ, ν, τ ); g1(µ) = s1(u) g2(σ) = s2(u) g3(ν) = s3(u) g4(τ ) = s4(u) u = x

em que g1, g2, g3 e g4 são funções de ligação, e s1, s2, s3 e s4 são funções

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Seleção de modelos na construção de curvas

centílicas

A seleção do modelo para construção de curvas centílicas requer a especificação da distribuição (D), da suavização aplicada em cada parâmetro (definida pelos respectivos graus de liberdade,

dfµ, dfσ, dfν, dfτ), e o parâmetro de potência ();

Diferentes procedimentos foram propostos para seleção de modelos, baseados, dentre outros, na minimização de AIC, BIC ou na

maximização da verossimilhança penalizada.

A penalização atua sobre a falta de suavidade dos ajustes, prevenindo

overfitting (excesso de ajuste);

A função lms() do pacote gamlss implementa a seleção de modelos e ajuste de curvas centílicas;

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Curvas centílicas

Uma vez ajustado o modelo, para cada particular valor x para a covariável, a faixa de referência de ordem p (0 < p < 0.5) fica definida por: (l1; l2) = F−1(p; ˆµx, ˆσx, ˆνx, ˆτx); F−1(1 − p; ˆµx, ˆσx, ˆνx, ˆτx) ,

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Predição

No contexto de curvas centílicas, as seguintes formas de predição são possíveis:

1 Para novos valores de x , predizer níveis de referência (centis de ordem)

p de y , ou seja:

Determinar yp tal que P(Y ≤ yp) = p;

2 Para novos valores de x , predizer escores normalizados (centis z), de

ordem p:

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