Estudo da reação de deslocamento gás-água por fluidodinâmica computacional

(1)

ESCOLA DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA QUiMICA E DE PETROLEO

GUSTAVO NASCIMENTO DE OLIVEIRA LUCAS DINUCI MENEZES

"ESTUDO DA REA«;AO DE DESLOCAMENTO GAS-AGUA POR FLUIDODINAMICA COMPUTACIONAL"

Niter6i 2/2015

(2)

LUCAS DlNUCI MENEZES

"ESTUDO DA REA(:AO DE DESLOCAMENTO GAS-A.GUA POR FLUIDODINAMICA COMPUTACIONAL"

Projeto Final apresentado ae Curse deGradu~o em

Engenharia Quimica, oferecido pelo departamento de Engenharia Quimica e de Petroleo da Escola de Engenharia da Universidade Federal Phaninense,

como requisite pareial para obtencao do Grau de

Engenheiro Quimico,

ORIENTADORES

Prof!. Joao Felipe Mitre deAmujo

Prof",Ana Cm-lada Silveira Lomba Sant'Ana Coutinho

Nifc£oi 212015

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Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

O48 Oliveira, Gustavo Nascimento de

Estudo da reação de deslocamento gás-água por fluidodinâmica computacional / Gustavo Nascimento de Oliveira, Lucas Dinuci Menezes. -- Niterói, RJ : [s.n.], 2015.

128 f.

Trabalho (Conclusão de Curso) – Departamento de Engenharia Química e de Petróleo, Universidade Federal Fluminense, 2015.

Orientadores: João Felipe Mitre de Araujo, Ana Carla da Silveira Lomba Sant’Ana Coutinho.

1. Fluidodinâmica computacional. 2. Escoamento reativo. I. Menezes, Lucas Dinuci. II. Título.

(4)

LUCAS DINUCI MENEZES

"ESTUDO DA REA<;AO DE DESLOCAMENTO

GAS-AGUA POR

FLUIDODINAMICA

COMPUTACIONAL"

Projeto Final apresentado ao Curso de Graduacao em Engenharia Quimica, oferecido pelo departamento de Engenharia Quimica e de Petr6leo, da Escola de Engenharia, da Universidade Federal Fluminense,

coma requisito parcial para obtencao do Grau em Engenharia Quimiea.

Aprovado em 22 de marco de 2016.

BANCA EXAMINADORA

Prof'1. Fernando Cu1lili"P-eixoto, D.Se.

Niteroi 212015

(5)

nossos familiares amados, professores inspiradores

(6)

Agradeço primeiramete a Deus que me deu sopro de vida e me sustetou até aqui. Agradeço a minha mãe, Vera, por ser a mulher mais guerreira que tenho notícia desde o dia do meu nascimento até este momento.

Agradeço ao meu padrasto, Ronaldo, por ter, por escolha própria, caminhado ao meu lado.

Agradeço a minha namorada, Stefanie, por ser paciente, otimista, inspiradora e amorosa diante de todas as adversidades que enfrentamos juntos.

Agradeço a meus amigos, por serem malucos o suficiente para serem meus amigos. Agradeço a Franscisco Pinheiro, meu pastor, por nunca se esquecer de mim em suas orações.

Agradeço ao Gustavo Nascimento pela sua excelência e dedicação a todos aspectos deste trabalho e a nossa amizade.

Agradeço aos meus orientadores que nos deram o norte a seguir. Aos meus profes-sores que forneceram os subsídeos intelectuais para a realização deste trabalho.

Agradeço a todos que acompanharam, torceram e vibraram por mim a cada momento desta árdua etapa da minha vida!

(7)

discussão dos resultados da simulação (por razões óbvias que todo engenheiro químico apaixonado entende) e a parte dos agradecimentos. Conseguir citar nesta parte todos aqueles à quem tenho vontade de agradecer seria uma missão impossível, sem que o trabalho, no mínimo, dobrasse de tamanho.

Então peço humildimente licença para citar algumas pessoas e instituições especiais que estiveram na minha mente, no meu coração e em minhas mãos enquanto realizava este trabalho.

Primeiramente, gostaria de agradecer a minha mãe, Márcia, que manifestou antes de falecer, o desejo de que eu escolhece a UFF como minha escola. E fez valer a mais antiga lei da física: mãe nunca erra! Te amo, mãe. Obrigado por me dar a vida e por me guiar por ela.

Gostaria de agradecer aos meus professores e a figura verdadeira do professor, que tem a capacidade única de mudar vidas. Em especial, o exemplo de professora, Rosenir R. C. M. da Silva e a família RECAT, onde finalmente me senti “em casa”.

Queria agradecer aos meus orientadores: prof. João F. Mitre de Araujo, por me ensinar o valor do trabalho sério; que o crescimento parte de dentro de si e por vezes é deveras dolorido e solitário; e por me fornecer meios hábeis para evoluir como pessoa e profissional, pois nunca me cobrou menos do que a excelência. E a profa. Ana Carla da S. L. S. Coutinho, que me mostrou que juntos todos podemos mais, que o ótimo, as vezes, é o principal inimigo do bom e me deu o exemplo de que um grande profissional também pode ser humilde e gentil. A esses magníficos professores, o meu sincero “muito obrigado”.

Aos professores que integram a banca avaliadora deste trabalho. Quando pensamos em profissionais para compor essa banca, queríamos que fossem referências com quem nos deparamos ao longo de nossa jornada como “aspirantes” a engenheiros químicos. E que grata surpresa foi notar que esses nomes são dos nossos professores Fábio B. Passos e Fernando C. Peixoto. Contamos com seus conselhos e avaliações sempre justas e idôneas.

Aos queridos amigos que fiz por este caminho. Ao grupo “Maria Química”, futuro seguro da engenharia química e amigos amados. Ao meu amigo/irmão Lucas Dinuci, obrigado pelas noites trabalhando, cafés tomados, inseguraças compartilhadas e apoio incondicional. À Stefanie e ao pequeno Boris por nos aguentar simulando horas à fio e por tornar muito mais leve o peso da obrigação. Ao amigo Fifo que nunca perdeu a esperança e ao meu irmão Fábio Medina, que sempre acreditou em mim quando nem eu mesmo tinha mais fé.

O meu muito obrigado!

(8)

Temos capacidades ignoradas que só aparecem nas crises." (Lance Armstrong)

(9)

O crescimento da demanda de produtos industrializados em consonância com os avanços tecnológicos obtidos no início do século XX direcionaram os processos a trabalharem de forma contínua, lançando mão de um novo tipo de estudo que leva em conta a dinâmica dos fluidos. Para atender tal demanda, uma nova área de estudo que lide com todas as variáveis do processo se aprensentou: a fluidodinâmica computacional, conhecida como CFD (do inglês, Computational Fluid Dynamics).O presente trabalho se propõe a estudar o escoamento livre e reativo dos componentes da reação deslocamento de gás-água em torno de uma partícula esférica que representa a fase ativa do catalisador da reação e determinar o comportamento do campo de velocidades gerado, as camadas-limite hidráulica e mássica de cada componente. Também pretende-se analisar o perfil da conversão ao longo da área de contato do escoamento com a fase ativa. Para tal, foi feita uma simulação em CFD utilizando como ferramenta computacional o pacote comercial ANSYS CFX R

.

Palavras-chave: Escoamento Reativo; Fluidodinâmica Computacional; Reação de

(10)

The demand growth of industrialized products in harmony with the technologic progress reached in the earlies of XX century drove the processes to work continually, adopting a new kind of study which consider fluids dynamics. To achieve such demand, a new study area able to handle with all process variables arises: the Computational Fluid Dynamics, known as CFD. The purpose of this document is study the reactive and free flow of the Water Gas Shift components around of a spherical particle that represents the reaction catalyst active phase and determine the behavior of generated velocity field, the massic and hydraulic boundary layers of each component. It intends also analyze the conversion profile along the contact area between de active phase and the flow. Wherefore, a CFD simulation using the commercial ANSYS CFX R

’s pack as tool was required.

(11)

Figura 1 – Esquema ilustrativo do transporte difusivo. Acima, difusão de energia térmica em um sólido; abaixo, difusão de um corante em uma solução incolor . . . 32 Figura 2 – Esquema ilustrativo do transporte convectivo. Acima, exemplo de

con-vecção natural gerada pelo ar aquecido; abaixo, exemplo de concon-vecção forçada gerada por um misturador de um reator CSTR . . . . 33 Figura 3 – Vórtices em escoamento livre, turbulento e plenamente desenvolvido . . 46 Figura 4 – Esquema das etapas de simulação e programas do ANSYS WORKBENCH 61 Figura 5 – Vista frontal da geometria de uma esfera, com escoamento no sentido

positivo do eixo Z . . . 67 Figura 6 – Vista lateral da geometria de uma esfera, com escoamento no sentido

positivo do eixo Z . . . 67 Figura 7 – Isométrico da geometria de uma esfera, com escoamento no sentido

positivo do eixo Z . . . 68 Figura 8 – Janela do programa CFX–Pre referente as configurações básicas . . . . 73 Figura 9 – Janela do programa CFX–Pre com características do escoamento . . . 75 Figura 10 – Janela do programa CFX–Pre: solver control . . . . 88 Figura 11 – (a) Cond. de contorno do tipo inlet na superfície “ENTRADA” do

esco-amento. (b) Definição da velocidade normal à superfície “ENTRADA” e valores de frações mássicas dos reagentes. . . 89 Figura 12 – (a) Cond. de contorno do tipo opening na superfície “SAIDA” do

escoamento. (b) Definição da pressão relativa na superfície “SAIDA” e direção do escoamento normal à condição de contorno. . . 89 Figura 13 – (a) Condição de contorno do tipo Wall na superfície “LEITO” do

escoamento. (b) Definição do efeito de parede na superfície “LEITO” como Free Slip Wall. . . . 90 Figura 14 – (a) Contorno do tipo Wall na superfície “CATALISADOR” do

escoa-mento (b) Definição de parede na superfície “CATALISADOR” como No Slip Wall (c) Contorno do tipo SOURCE na superfície “CATALI-SADOR” do escoamento, junto com a entrada da equação da taxa. . . 90 Figura 15 – Janela do programa CFX: Definições da simulação . . . 93 Figura 16 – Valor de Y Plus para o modelo de turbulência κ – e malha M3 . . . . 98 Figura 17 – Valor de Y Plus para o modelo de turbulência SST e malha M3 . . . . 98 Figura 18 – Valor de Y Plus para o modelo de turbulência κ – e malha M4 . . . . 99 Figura 19 – Valor de Y Plus para o modelo de turbulência SST e malha M4 . . . . 99

(12)

isométrica da geometria . . . 100 Figura 21 – Campo de velocidades para o modelo de turbulência κ – e malha M1 101 Figura 22 – Campo de velocidades para o modelo de turbulência SST e malha M1 . 101 Figura 23 – Campo de velocidades para o modelo de turbulência κ – e malha M2 102 Figura 24 – Campo de velocidades para o modelo de turbulência SST e malha M2 . 102 Figura 25 – Campo de velocidades para o modelo de turbulência κ – e malha M3 103 Figura 26 – Campo de velocidades para o modelo de turbulência SST e malha M3 . 103 Figura 27 – Campo de velocidades para o modelo de turbulência κ – e malha M4 104 Figura 28 – Campo de velocidades para o modelo de turbulência SST e malha M4 . 104 Figura 29 – Campo de pressões para o modelo de turbulência κ – e malha M1 . . 105 Figura 30 – Campo de pressões para o modelo de turbulência SST e malha M1 . . 105 Figura 31 – Campo de pressões para o modelo de turbulência κ – e malha M2 . . 106 Figura 32 – Campo de pressões para o modelo de turbulência SST e malha M2 . . 106 Figura 33 – Campo de pressões para o modelo de turbulência κ – e malha M3 . . 107 Figura 34 – Campo de pressões para o modelo de turbulência SST e malha M3 . . 107 Figura 35 – Campo de pressões para o modelo de turbulência κ – e malha M4 . . 108 Figura 36 – Campo de pressões para o modelo de turbulência SST e malha M4 . . 108 Figura 37 – Taxa de consumo dos reagentes para o modelo de turbulência κ – e

malha M1 . . . 109 Figura 38 – Taxa de consumo dos reagentes para o modelo de turbulência SST e

malha M1 . . . 109 Figura 39 – Taxa de consumo dos reagentes para o modelo de turbulência κ – e

malha M4 . . . 112 Figura 45 – Concentração mássica de CO2 para o modelo de turbulência κ – e

malha M1 . . . 113 Figura 46 – Concentração mássica de CO2 para o modelo de turbulência SST e

(13)

malha M4 . . . 116 Figura 53 – Campo vetorial detalhado do perfil de velocidades para o modelo de

(14)

Tabela 1 – Valores dos parâmetros das quatro malhas produzidas . . . 70 Tabela 2 – Escoamentos livres em torno de uma esfera com diferentes faixas de

Reynolds . . . 72 Tabela 3 – Valores dos parâmetros das quatro malhas produzidas . . . 100

(15)

CFD Dinâmica de Fluidos Computacional (do inglês, Computational Fluid Dynamics)

CSTR Reator Tanque Agitado Contínuo (do inglês, Continuous stirred-tank reactor )

DES Simulação de Foucault Destacada (do inglês, Detached Eddy Simulation) DNS Simulação Numérica Direta (do inglês, Direct Numerical Simulation) HTS Deslocamento de gás-água de alta temperatura (do inglês, High

Tempe-rature Shift)

LES Simulação de Grandes Escalas (do inglês, Large Eddy Simulation) LTS Deslocamento de gás-água de baixa temperatura (do inglês, Low

Tem-perature Shift)

MAX Máximo, “Valor Máximo” (do inglês, Maximum)

MPI Interface de Passagem de Mensagem (do inglês, Message Passing Inter-face)

RANS Equação Média de Reynolds Navier – Stokes (do inglês,

Reynolds-averaged Navier–Stokes)

RMS Raíz do Valor Médio Quadrático (do inglês, Root Mean Square) RSM Modelo do Tensor de Reynolds (do inglês, Reynolds Stress Tensor ) SST Transporte de Tensão de Cisalhamento (do inglês, Shear Stress

Trans-port)

UDS Esquema de diferenças “contra o vento”, “que aproveita o vento” (do inglês, Upwind Difference Scheme)

(16)

“A” Espécie química genérica

a1 Constante do modelo de turbulência SST =

5 9

C Concentração molar da solução

C1 Classe de funções que admitem a primeira diferencial em relação a suas variáveis independentes

CA Concentração molar da espécie química A

C1 Constante do modelo de turbulência κ – = 1,44

C2 Constante do modelo de turbulência κ – = 1,92

c Variável termodinâmica genérica

D Diâmetro da esfera que representa a fase ativa D = 1cm

DAB Coeficiente de difusão do componente A difundindo em B

F2 Funcão de blending que restringe a função limitadora somente à camada de contorno da parede (pertinente ao modelo de turbulência SST) F (x) Representação da função primitiva de uma função genérica qualquer,

de ordem exponencial

Fm Força de campo específica

fφ Taxa de φ gerada/consumida dentro do volume de controle por unidade

de volume

g vetor aceleração da gravidade

h0 Comprimento de grande dimensão e finito

JA Vetor de fluxo difusivo molar da espécie química A em relação a

veloci-dade média mássica

J_A0 Vetor de fluxo difusivo molar da espécie química A em relação a veloci-dade média molar

A Vetor de fluxo difusivo mássico da espécie química A em relação a

(17)

velocidade média molar

k Velocidade específica de reação

L Comprimento específico

M 1 Malha 1

M 2 Malha 2

M 3 Malha 3

M 4 Malha 4

MA Massa molecular da espécie química A

n Vetor normal à superfície de fluido

p Variável escalar pressão absoluta

rA Taxa de reação da espécie química A

S Medida invariante da taxa de deformação

Sf Superfície de fluido

Sc Superfície de controle

Sφ Soma das forças de corpo

T Variável escalar temperatura

t Variável escalar tempo

tφ Fluxo vetorial de entrada/saída de φ pelas fronteiras (superfícies) do

volume de controle

Ui Compontente “i” do vetor velocidade total

h

Ui = Ui+ ˆui

i

Ui Compontente “i” do vetor velocidade média

ˆ

ui Compontente “i” do vetor velocidade flutuante

u Vetor velocidade do fluido

uc Vetor velocidade do volume de controle

um Vetor velocidade média molar

(18)

Vc Volume de controle

Vf Volume de fluido

XA Fração molar do componente A

x Vetor posição de um dado volume de fluido

xi Compontente “i” do vetor posição de um dado volume de fluido (x)

Z Plano cartesiano “XY ”

α Micro-escala de tempo de Kolmogorov

β Fator que varia de 0 a 1 (com tolerancia de duas casas decimais)

Γ Difusividade total

γ Condutividade térmica do fluido

∆r Vetor que parte do ponto do nó até o ponto de integração onde se quer obter o valor de φ

δ Variação

Taxa de dissipação da energia cinética específica turbulenta

ζ Razão de uma propriedade termodinâmica genérica pelo módulo de seu gradiente

η Micro-escala de comprimento de Kolmogorov

Θ Tensor de velocidades específica dos vórtices

λ Segundo coeficiente da viscosidade (Lei de Navier–Poisson)

κ Energia cinética específica turbulenta

µ Viscosidade dinâmica do fluido

µt Viscosidade dinâmica turbulenta do fluido

ν Viscosidade cinemática do fluido

νt Viscosidade cinemática turbulenta do fluido

ξ Livre percurso médio das moléculas

(19)

ρA Concetração mássica da espécie química A

σκ Constante do modelo de turbulência κ – = 1,0

σ Constante do modelo de turbulência κ – = 1,3

τ Tensor das tensões

τn Tensor das tensões normais

τ0 Tensor das tensões cisalhantes

υ Micro-escala de velocidade de Kolmogorov

φ Propriedade conservativa específica

ψ Termo de geração da energia cinética específica turbulenta

ω Concentração mássica da solução

ω0 Razão entre κ e νt

ωA Concentração mássica da espécie química A

ϑ Vetor velocidade específica dos vórtices

C Número adimensional de Courant

Kn Número adimensional de Knudsen

P r Número adimensional de Prandtl

< Número adimensional de Reynolds turbulento

(20)

I

INTRODUÇÃO

23

1 INTRODUÇÃO . . . 24 1.1 Motivação . . . 25 1.2 Objetivos . . . 25 1.3 Organização do documento . . . 26 1.4 Agradecimentos . . . 27

II

ESTADO DA ARTE

28

2 FENÔMENOS DE TRANSPORTE . . . 29

2.1 Teoremas de transporte de Reynolds . . . 29

2.2 Mecanismos de Transporte . . . 31

2.2.1 Difusão . . . 31

2.2.2 Convecção . . . 32

2.2.3 Radiação . . . 32

2.3 Equações de Conservação . . . 34

2.3.1 Dedução matemática das equações de conservação a partir dos Teoremas de Transporte de Reynolds . . . 34

2.3.2 Conservação de Massa . . . 36

2.3.3 Conservação de Quantidade de Movimento . . . 36

2.3.3.1 O conceito de Pressão . . . 38

2.3.4 Conservação de Espécie Química . . . 38

2.4 Equações Constitutivas . . . 41

2.4.1 Lei de Newton da viscosidade . . . 41

2.4.2 Lei de Navier-Poisson . . . 42

2.4.3 Equação de Navier-Stokes . . . 42

2.4.4 Difusividade da Espécie Química . . . 43

3 TURBULÊNCIA . . . 45

3.1 A natureza da turbulência . . . 46

3.2 A teoria de Kolmogorov . . . 48

3.3 Escalas de turbulência . . . 49

3.4 Escalas turbulentas e moleculares . . . 50

3.5 Modelos de turbulência . . . 51

(21)

3.5.3 Modelo SST . . . 53

3.5.4 Outros modelos de turbulência . . . 53

4 FLUIDODINÂMICA COMPUTACIONAL . . . 55

4.1 Introdução ao CFD . . . 55

4.2 Aplicações do CFD . . . 56

4.3 Simulação em CFD de escoamentos reativos . . . 57

4.4 O pacote ANSYS WORKBENCH R . . . 59

5 REAÇÃO DE DESLOCAMENTO GÁS – ÁGUA . . . 62

5.1 Aspectos termoquímicos e catalisadores . . . 63

5.2 Catalisadores para a reação de HTS . . . 63

III

MODELAGEM DO PROBLEMA

64

6 PRÉ-PROCESSAMENTO . . . 65

6.1 Geometria e Malhas . . . 65

6.1.1 Criação da geometria de uma esfera . . . 65

6.1.2 Criação das malhas . . . 66

6.2 Descrição do Escoamento no CFX–Pre R _{. . . 69}

6.2.1 Características do escoamento . . . 70

6.2.1.1 Configurações básicas . . . 70

6.2.1.2 Modelagem do escoamento . . . 71

6.2.2 Configurações dos algoritmos para simulação . . . 76

6.2.2.1 Modelagem matemática da advecção . . . 76

6.2.2.2 Esquema da turbulência . . . 77

6.2.2.3 Controle do solver . . . 77

6.2.3 Condições de contorno . . . 82

6.2.4 Modelagem matemática da turbulência . . . 83

6.2.4.1 O modelo κ –  . . . 85

6.2.4.2 O modelo SST . . . 86

7 SOLUÇÃO . . . 91

7.1 Solver . . . 91

(22)

9 MALHAS . . . 96 9.1 O parâmetro Y Plus . . . 96 9.2 Critério do Y Plus para modelos de turbulência . . . 97

10 APRESENTAÇÃO DOS PERFIS DE Y PLUS . . . 98

11 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS . . . 100

V

CONCLUSÕES

117

12 CONCLUSÕES . . . 118

13 PROPOSTA DE TRABALHOS FUTUROS . . . 120

REFERÊNCIAS . . . 121

ANEXOS

125

ANEXO A – HIPÓTESE DO CONTINUUM . . . 126 A.1 O fluido como um continuum . . . 126 A.2 Equilíbrio termodinâmico local . . . 127

(23)

(24)

1 Introdução

Com o advento da revolução industrial, que ocorreu durante a segunda metade do século XVIII na Inglaterra, o aumento das demandas e a necessidade da produção padronizada dos bens de consumo geraram a necessidade de se produzir em larga escala e com qualidade. O que seria futuramente conhecido como “linha de produção” começou a tomar forma.

Esse cenário aliado a revolução científica que também ocorreu no final do século XVIII na Europa, fez surgir o interesse em aliar as técnicas de produção da química indus-trial, que tinha por base a produção em batelada, com os conhecimentos da mecanização dos processos, cunhados pela engenharia mecânica.

Logo no século seguinte, ambos os conhecimentos foram aplicados no mesmo contexto, mas apenas em 1887 na Universidade de Manchester, no Reino Unido, George E. Davis reuniu doze preleções que tratavam sobre a prática da química industrial em escala de produção contínua e criou um curso que viria a ser conhecido mundialmente como engenharia química (DELGASS; MCKETTA; TAYLOR, 2013).

A popularização da engenharia química fez com que a profissão ganhasse notoriedade e culminou na criação da American Institute of Chemical Engineers (AIChE) em 1908, nos Estados Unidos e logo após, o Institution of Chemical Engineers (IChemE) em 1922, no Reino Unido (FURTER, 1980).

Após os órgãos de regulamentação, as competências dos engenheiros químicos começaram a ser pré-estabelecidas e os problemas que se apresentavam no dia à dia desse profissional tornavam-se limitados pela capacidade computacional obtida em cada época. Nesse contexto, a fluidodinâmica computacional se tornou uma das principais ferramentas para a simulação, realização e otimização de processos.

No estudo de escoamentos reativos, a fluidodinâmica computacional se torna imprescindível, pois os modelos matemáticos utilizados para descrever o comportamento cinético de reações químicas são fortemente não-lineares, o que impossibilita a obtenção de soluções analíticas e requer grande capacidade computacional para a realização de soluções numéricas.

E em posse dessa tecnologia, cotidianamente em desenvolvimento, os engenheiros químicos podem fazer aferições mais precisas do comportamento de reações químicas que ocorrem durante escoamentos e agregar de forma notável ao desempenho e à segurança de instalações industriais.

(25)

1.1 Motivação

O estudo da fluidodinâmica computacional oferece a possibilidade de ratificar modelos experimentais e modificar parâmetros do sistema para otimizar os processos, tornando-os mais rentáveis e muitas vezes, viáveis. Para ampliar a escala de um processo, a opção mais segura e econômica é lançar mão da simulação como primeira etapa, por isso, torna-se uma ferramenta muito versátil para o engenheiro químico.

Visto que reações químicas são processos dinâmicos e que o equílibrio químico é função de várias variáveis, observou-se que a otimização por meio de programas computa-cionais pode revolucionar toda a concepção de plantas industriais e render benefícios em muitas vertentes, como eficiência energética e redução de impactos ambientais (SMITH et al., 2007).

A motivação principal deste trabalho repousa sobre a visão do trabalho integrado entre profissionais que geram dados experimentais e profissionais que trabalham com simulações de escoamentos reativos. Com a confirmação experimental seguindo resultados de simulações multifísicas, a velocidade no avanço das pesquisas e desenvolvimento de novas rotas e patentes será muito maior.

1.2 Objetivos

O objetivo deste estudo é a consolidação de conhecimentos obtidos acerca de escoa-mentos reativos com a utilização de um pacote comercial de fluidodinâmica computacional para simular uma reação modelo.

A reação de deslocamento gás-água à alta temperatura foi escolhida para ser a reação modelo por ser bem descrita na literatura e apresentar um modelo cinético bem definido, segundo TWIGG (1989).

Pretende-se fazer uma análise de um escoamento turbulento, utilizando dois modelos de descrição de turbulência para definir o escoamento e analisar o perfil de velocidades em torno de uma esfera que representa a fase ativa de um catalisador. Também almeja-se fazer uma análise da camada limite hidráulica e mássica e da conversão de reagentes em produtos, em torno desta mesma partícula esférica.

Para garantir a exatidão e precisão dos resultados, planeja-se a construção de algumas malhas, cada vez mais refinadas, visando minimizar os erros relacionados aos métodos numéricos até um mínimo desejável que permita garantir a acurácia dos resultados.

(26)

1.3 Organização do documento

Esta seção propõe-se a elucidar a estrutura deste documento e apresentar as cinco partes fundamentais que compõem as fases da pesquisa realizada. Estas partes são abordagens didáticas que dialogam entre si e permitem ao leitor entender cada etapa do processo de criação do texto em voga com mais clareza.

Na primeira parte, Introdução, busca-se oferecer ao leitor informações que o permita entender a necessidade do estudo do tema escolhido, bem como sua importância em diversos setores da sociedade.

Na parte destinada ao Estado da Arte, pretende-se trazer um embasamento teórico e atual acerca dos principais temas sobre os quais o trabalho se estrutura, para que permita ao leitor uma leitura fluida e sem dúvidas.

O capítulo 2 - Fenômenos de Transporte, apresenta resumidamente as equações de transporte, bem como as equações constitutivas utilizadas no presente trabalho. Seguido pelo capítulo 3 - Turbulência, que comenta resumidamente sobre os modelos de turbulência que foram utilizados.

Ainda na parte do Estado da Arte, temos os capítulos 4 - Fluidodinâmica Compu-tacional e 5 - Reação de deslocamento gás – água, que completam esta segunda parte.

A terceira parte trata da metodologia adotada. Para esta parte, foi idealizada uma disposição de capítulos que siga exatamente a forma como a maioria dos programas de fluidodinâmica computacional se organizam. Os capítulos 6, 7, 8; Pré-Processamento, Solução e Pós-Processamento, respectivamente, tratam de toda a metodologia da simulação. Desde a criação das geometrias e malhas, no pré-processamento, até as interpretações dos resultados no pós-processamento. O capítulo 7 - Solução, em específico, tange todos detalhes que dizem respeito ao solver do pacote computacional utilizado, como o número de iterações e o tempo computacional utilizado para a resolução do problema. Finalizando a parte de metodologia, temos um capítulo dedicado a ferramenta computacional utilizada e o método de como a solução foi apresentada, o capítulo 8 - Pós-Processamento.

Logo após, figura a parte de Resultados, que está subdividida em dois capítulos que discutem todo o conteúdo produzido na simulação computacional.

O capítulo 9 - Malhas, trata apenas das características das malhas produzidas e de deus parâmetros importantes. Dentre estes parâmetros, destaca-se o Y Plus, que é discutido à parte e tem o resultado de seus perfis analisados no capítulo 10 - Apresentação dos perfis de Y Plus. E por fim, o capítulo 11 - Apresentação dos resultados, apresentará os resultados matemáticos crús oferecidos pelo programa em conjunto com a interpretação física dos dados obtidos.

(27)

conclusões deste trabalho. O capítulo 12 - Conclusões, sintetiza as soluções encontradas para os problemas postos com base nos resultados obtidos e o capítulo 13 - Proposta de trabalhos futuros, comenta sobre as propostas de estudo iniciadas que ainda não foram finalizadas.

E no final deste documento, se encontra o Anexo A – Hipótese do Continuum, que elucida questões sobre a mecânica do continuum, que é de suma importância para o estudo da turbulência e da conservação da quantidade de movimento.

1.4 Agradecimentos

Gostaríamos de agradecer ao Laboratório de Termofluidodinâmica (LTFD) da Universidade Federal do Rio de Janeiro pela gentil concessão da licença do programa ANSYS 14.5.7 R

(28)

(29)

2 Fenômenos de Transporte

No estudo de engenharia, física e química, os fenômenos de transporte de qualquer propriedade geral específica de um corpo são de suma importância para prever o que irá acontecer em determinado sistema que contém esse corpo ou mesmo para controlar o comportamento do sistema ao longo do tempo.

O diálogo dos fenômenos de transporte com a termodinâmica é muito íntimo: enquanto a termodinâmica trata dos sucessivos estados de equilíbrio, os fenomênos de transporte existem apenas nos momentos em que o sistema e a vizinhança estão em desequilíbrio, ou seja, existe um gradiente da propriedade específica estudada, entre eles. Este gradiente funciona como força motriz para que o transporte de tal propriedade se realize, tendendo assim, novamente, para o equilíbrio termodinâmico (KORETSKY, 2007).

Este capítulo se propõe a tratar os fenômenos de transporte sob a ótica da analogia entre eles, o que facilita a visualização de que a construção matemática que embasa à todos, é a mesma. Também pretende-se dar foco em suas peculiaridades, para poder esclarecer quais são as necessidades e dificuldades na modelagem de cada fenômeno, em específico.

2.1 Teoremas de transporte de Reynolds

Os teoremas de transporte de Reynolds são três teoremas matemáticos que tem por objetivo quantificar o transporte de uma propriedade específica para um volume de fluido (primeiro teorema), um volume de controle (segundo teorema) e depois, coincidir o volume de fluido com o volume de controle (terceiro teorema) para criar uma relação matemática entre eles (LEAL, 2007).

Os três teoremas são extremamente convenientes para reesrever de forma mais ge-neralizada os princípios termodinâmicos e da mecânica clássica para a dinâmica de fluidos, posto que fluidos são meios extremamente deformáveis e não seria factível utilizar formula-ções Lagrangianas para descrever o movimento de cada partícula que o compõe (HAUKE, 2008).

Basicamente, a idéia por trás dos teoremas de transporte é que toda variação da propriedade especifíca φ no tempo pode ser contabilizada por sua geração e consumo dentro do volume de fluido (ou de controle) do sistema, adicionando a quantidade da propriedade específica φ que entra pelas fronteiras do sistema e subtraindo pela quantidade que sai pelas mesmas.

De acordo com as considerações de HAUKE (2008) e LEAL (2007), podemos explicitar os três teoremas de transporte:

(30)

• Primeiro teorema de transporte

Aplicando o primeiro teorema de transporte para um volume e uma superfície de fluido determinados: d dt Z Vf(t) φ (x, t) dV = Z Vf(t) ∂φ (x, t) ∂t dV + Z Sf(t) φ (x, t) u · n dS (2.1) onde,

– φ – Propriedade conservativa específica – t – Variável escalar tempo

– x – Vetor posição do fluido – u – Vetor velocidade do fluido

– n – Vetor normal à superfície de fluido – Sf – Superfície de fluido

– Vf – Volume de fluido

• Segundo teorema de transporte

Aplicando o segundo teorema de transporte para um volume e uma superfície de controle determinados: d dt Z Vc(t) φ (x, t) dV = Z Vc(t) ∂φ (x, t) ∂t dV + Z Sc(t) φ (x, t) uc· n dS (2.2) onde,

– uc – Vetor velocidade do volume de controle

– Sc – Superfície de controle

– Vc – Volume de controle

• Terceiro teorema de transporte

O terceiro teorema de transporte propõe-se a comparar as taxas de variação das integrais num volume de fluido e num volume de controle. Escolhendo um determinado volume de controle Vc(t) e depois escolhendo um determinado volume de fluido

Vf(t), de forma que eles coincidam em um tempo “t”:

(31)

Então, pode-se observar que o primeiro termo do lado direito das equações do primeiro e segundo teoremas de transporte são iguais.

d dt Z Vc(t) φ (x, t) dV = d dt Z Vf(t) φ (x, t) dV (2.4)

Então, quando subtraímos o primeiro teorema de transporte pelo segundo, obtemos:

d dt Z Vf(t) φ (x, t) dV = d dt Z Vc(t) φ (x, t) dV + Z Sf(t) φ (x, t) (u − uc) · n dS (2.5) Desta forma, é possível estabelecer uma relação útil entre o volume de fluido e o volume de controle (LEAL, 2007).

2.2 Mecanismos de Transporte

A partir do estudo da termodinâmica, podemos perceber que a energia pode ser transferida através da interação do sistema com suas vizinhanças. Essas interações não são funções de estado, mas sim funções do caminho percorrido. As formas pelas quais a energia pode ser transferida são o calor e o trabalho (KORETSKY, 2007).

O objetivo desta seção é estender a análise termodinâmica através do estudo das formas de transferência de energia e ampliar o conceito para que aborde os mecanismos de transferência de quaisquer propriedades termodinâmicas dos fluidos.

Para tal, começamos salientando que podemos dividir os mecanismos de transporte em três grandes tipos:

2.2.1 Difusão

O fenômeno de difusão pode ser entendido como a transferência de uma proprie-dade termodinâmica entre as partículas mais energéticas e as menos energéticas devido às interações entre estas partículas. Este fenômeno não necessita do movimento ma-croscópico das moléculas e é proporcional a magnitude do gradiente da propriedade em questão (INCROPERA; DEWITT; BERGMAN, 2008).

Justamente por ser influenciada diretamente pelo gradiente da propriedade ter-modinâmica, que funciona como força motriz deste mecanismo, a modelagem tradicional do fluxo difusivo geralmente se dá em função desse gradiente, como poderá ser visto mais detalhadamente na seção 2.4 – Equações Constitutivas (INCROPERA; DEWITT; BERGMAN, 2008).

A título de exemplificação do fenômeno de difusão, podemos citar a difusão da energia térmica (mais conhecida como “condução de calor”) em um sólido e a difusão mássica de uma espécie corante em uma solução incolor (figura 1).

(32)

Figura 1: Esquema ilustrativo do transporte difusivo. Acima, difusão de energia térmica em um sólido; abaixo, difusão de um corante em uma solução incolor

Fonte: MACIEL (2013, p. 8)

2.2.2 Convecção

O fenômeno de convecção inclui a transferência de uma propriedade específica pelo movimento global do fluido (advecção) e pelo movimento aleatório das moléculas do fluido (condução ou difusão). Figura como o fenômeno de maior aplicação industrial, pois auxilia na homogeneização de misturas, induz turbulência ao escoamento (para melhor entendimento deste fenômeno, ver o capítulo 3 – Turbulência) e possui aplicações e tecnologias bem consolidadas (HAUKE, 2008; KERN, 1950).

A grande maioria das unidades operacionais que são responsáveis pela troca térmica, bem como a mistura dos componentes de uma solução, lançam mão deste fenômeno. No contexto da engenharia, no estudo das unidades operacionais, a convecção tem um papel mandatório e como é dependente de diversas propriedades termodinâmicas, acaba sendo um assunto de grande importância em diversas áreas (KERN, 1950).

A figura 2 mostra a ascensão do ar quente, criando uma convecção natural (utiliza como força motriz apenas o gradiente de temperaturas) quando troca de lugar com o ar frio, mais denso. Com isto, é criado um movimento de transporte de calor a partir das camadas de fluido (ar) mais baixas para as camadas mais elevadas.

2.2.3 Radiação

Diferente dos mecanismos de difusão e convecção, o mecanismo da radiação não exige a presença de um gradiente de temperatura em um meio material. Uma boa definição é associar a radiação à taxa na qual a energia térmica é emitida pela matéria como um

(33)

Figura 2: Esquema ilustrativo do transporte convectivo. Acima, exemplo de convecção natural gerada pelo ar aquecido; abaixo, exemplo de convecção forçada gerada por um misturador de um reator CSTR

Fonte: MACIEL (2013, p. 8)

resultado de sua temperatura não nula (INCROPERA; DEWITT; BERGMAN, 2008). Quando a diferença entre as temperaturas do sistema e da vizinhança se torna muito grande, a troca de calor por radiação passa a ser muito relevante e todo um estudo físico especial se faz necessário para quantificar essa contribuição. A julgar o comportamento dual da radiação como onda e partícula, seus conceitos fundamentas foram propostos mais tardiamente do que o dos outros mecanismos de transporte (INCROPERA; DEWITT; BERGMAN, 2008).

Neste documento, partimos da premissa que nosso escoamento reativo é isotérmico e não há gradientes de temperatura entre o sistema e as vizinhanças. Justamente por isso, como a radiação é um mecanismo exclusivo para a transferência de energia térmica, podemos desconsiderá-la no contexto deste trabalho.

(34)

2.3 Equações de Conservação

2.3.1 Dedução matemática das equações de conservação a partir dos Teoremas

de Transporte de Reynolds

Como elucidado por HAUKE (2008), podemos escrever a versão diferencial do terceiro Teorema de Transporte de Reynolds a partir de sua versão integral. Basta fazer qualquer uma das duas considerações descritas abaixo para simplificar a dedução:

• Escrever as equações de conservação para um volume de controle fixo e arbitrário e utilizar o Teorema da divergência de Gauss para transformar as integrais de linha em integrais volumétricas.

• Escrever as equações de conservação para um volume de controle fixo e infinitesimal e então usar a expansão por séries de Taylor para relacionar as variáveis em lados opostos.

Normalmente, os livros-texto de fenômenos de transporte costumam apresentar a dedução das equações de conservação seguindo o segundo procedimento e apenas para a propriedade conservativa em questão, seja calor, matéria, quantidade de movimento, espécie química, energia total, etc (BIRD; STEWART; LIGHTFOOT, 2007).

No contexto deste trabalho, que lida com a conservação de matéria, espécie química e quantidade de movimento, será adotado o primeiro procedimento e a propriedade conservativa em questão será uma grandeza φ, que pode ser um tensor de segunda ordem, de primeira ordem (vetor) ou de ordem nula (escalar).

Partindo dos teoremas de transporte de Reynolds (descritos na seção 2.1 – Teoremas de transporte de Reynolds), fazendo Vc(t) um volume de controle arbitrário, fixo no espaço

(ou seja, uc= 0). Para uma propriedade geral específica φ, a forma integral da equação de conservação de φ pode ser escrita da seguinte forma:

d dt Z Vc(t) ρφ dV + Z Sc(t) ρφ [(u − uc) · n] dS = Z Sc(t) tφ· n dS + Z Vc(t) fφdV (2.6)

Podemos entender ρ, fφ e tφ da seguinte forma:

• ρ = Massa específica do fluido.

• fφ = Taxa de φ gerada/consumida dentro do volume de controle por unidade de

volume.1 1 _f

φ pode ser amplamente definido como “forças que agem sobre o fluido por unidade de volume”. Essas forças podem ser Forças de Campo (gravidade), Forças de Superfície (tensão cisalhante), Tensões Superficiais, Geração de Calor, Taxa de Reação, etc.

(35)

• tφ= Fluxo vetorial de entrada/saída de φ pelas fronteiras (superfícies) do volume

de controle.

Se aplicarmos o teorema de transporte de Reynolds no lado esquerdo da equação de conservação de φ e fazendo uc = 0, teremos:

Z Vc(t) ∂ρφ ∂t dV + Z Sc(t) ρφ u · n dS = Z Sc(t) tφ· n dS + Z Vc(t) fφdV (2.7)

Agora, usando o teorema da divergência de Gauss2, que converte integrais de superfície em integrais volumétricas, obteremos:

Z Vc(t) ∂ρφ ∂t dV + Z Vc(t) ∇ · (ρφu) dV = Z Vc(t) ∇ · tφdV + Z Vc(t) fφdV (2.8)

Como todas as integrais são em relação ao volume de controle, podemos agrupar todas as contribuições dos integrandos numa única integral em relação ao volume de controle. Z Vc(t) " ∂ρφ ∂t + ∇ · (ρφu) − ∇ · tφ− fφ # dV = 0 (2.9)

Como elucidado pelo teorema fundamental do cálculo, quando a função primitiva F (x) é nula, sua diferencial dF

dx em relação a variável independente x também deve ser nula (ANTON, 2000).

Logo, a rigor, por consistência do teorema fundamental do cálculo, o integrando deve ser nulo.

∂ρφ

∂t + ∇ · (ρφu) − ∇ · tφ− fφ= 0 (2.10)

A equação diferencial 2.10 explicita a conservação da propriedade geral especí-fica φ. Nas subseções 2.3.2, 2.3.3 e 2.3.4, partindo desta equação, as conservações de massa, quantidade de movimento e espécie química serão deduzidas para coordenadas cartesianas (HAUKE, 2008).

2 _{O Teorema de Ostrogradski – Gauss é um caso especial do mais geral Teorema de Stokes. Para atender} as premissas do teorema, a propriedade φ tem que ser um campo vertorial contínuo e diferenciável, de classe C1(KATZ, 1979)

(36)

2.3.2 Conservação de Massa

A conservação da massa total de um sistema é um dos primeiros fenômenos físicos a ser estudado. Dentro de um referencial newtoniano (velocidades bem menores que a da luz), a conservação de massa é o primeiro postulado que admitimos como ponto de partida para estudar a conservação de outras grandezas num sistema (CREMASCO, 1998).

Partindo da equação 2.10, se tomarmos φ = 1, tφ = 0 e fφ = 0, obteremos a

equação diferencial de conservação de massa, conhecida como “Equação da continuidade”.

∂ρ

∂t + ∇ · (ρu) = 0 (2.11)

explicitando o divergente do produto:

∂ρ

∂t + u · ∇ρ + ρ∇ · u = 0 (2.12)

utilizando o conceito de derivada material para agregar os dois primeiros termos e rearranjando os termos, obtemos:

1 ρ

Dρ

Dt = −∇ · u (2.13)

Desta forma, podemos observar o termo transiente e a contribuição convectiva no lado esquerdo da equação e a contribuição difusiva ao lado direito.

2.3.3 Conservação de Quantidade de Movimento

A quantidade de movimento ou momentum é uma propriedade conservativa assim como a massa. Pode ser definida matematicamente pelo produto da massa pelo vetor veloci-dade, no caso do momento linear de uma partícula. No caso de um sistema multiparticulado, o momento do sistema é a soma de todos os momentos de todas as partículas (POTTER; WIGGERT, 2004).

A quantidade de movimento que se conserva num sistema fechado de muitas partículas tem uma importância especial no estudo de escoamentos reativos, pois algumas propriedades especiais dos fluidos, como a viscosidade, afetam a magnitude da transferência de outras propriedades conservativas significativamente (WHITE, 1998).

A dificuldade de determinar campos de velocidades que são constantemente afetados pela geometria por onde o fluido escoa e a possibilidade do aparecimento de fenômenos aleatórios, como a turbulência, que desordenam os efeitos inerciais e dão origem a novos

(37)

campos de velocidades em pequenas escalas, tornam o estudo da dinâmica dos fluidos extremamente necessário e complexo (WHITE, 1998).

Para abordar de forma precisa o estudo de dinâmica de fluidos, é importante ter em mente a definição de fluido. Segundo WHITE (1998), “...pode ser considerado fluido o material que se deforma continuamente quando submetido a tensões de cisalhamento. Os fluidos compartilham a propriedade de não resistirem à deformação e apresentam a capacidade de fluir.”.

Também podemos deduzir uma equação diferencial de conservação de quantidade de movimento a partir da equação 2.10 – Conservação da propriedade φ. Para tal, fazendo φ = u, tφ = τ e fφ= ρFm, obeteremos:

∂ρu

∂t + ∇ · (ρuu) − ∇ · τ − ρFm = 0 (2.14)

onde,

• τ – Tensor Tensão

• Fm – Força de campo específica Rearranjando, temos:

∂ρu

∂t + ∇ · (ρuu) = +∇ · τ + ρFm (2.15)

Manipulando algebricamente o divergente do tensor das tensões, podemos desagregá-lo em outros dois termos, que descrevem o tensor das tensões normais (denotado por τn, que possui sentidos opostos aos da pressão)3 e o tensor das tensões cisalhantes (denotado por τ0, também chamado de tensor das tensões viscosas) (WELTY et al., 2000). Logo, temos:

∂ρu

∂t + ∇ · (ρuu) = −∇p + ∇ · τ 0

+ ρFm (2.16)

Cabe ressaltar que podemos representar o Tensor das tensões explicitando a contribuição das tensões normais e das tensões cisalhantes:

τ = τn+ τ0 (2.17)

(38)

ou simplesmente,

τ = −pI + τ0 (2.18)

2.3.3.1 O conceito de Pressão

Tomando um fluido em repouso, pela definição de fuido, podemos afirmar que não existe nenhuma resultante de esforços cisalhantes sobre ele. Isso implica que todos os termos do tensor das tensões, exceto os que se encontram na diagonal principal, são nulos. Assim, o tensor das tensões se reduz ao tensor das tensões normais (WELTY et al., 2000).

τn = τ =      τ11 0 0 0 τ22 0 0 0 τ33      (2.19)

Como o fluido está em repouso, significa que todas as compontentes do tensor são equivalentes. Como na definição do tensor e das equações de conservação, o vetor normal é sempre orientado apontando “para fora” da superfície de controle e a pressão é uma tensão de compressão e sempre maior que zero, então (HAUKE, 2008):

τ = τxx = τxx = τxx = −p (2.20)

Logo, o tensor das tensões para um fluido em repouso resulta:

τ =      −p 0 0 0 −p 0 0 0 −p      (2.21)

Vale ressaltar que a Pressão é uma grandeza escalar e o tensor gerado pelo fluido em repouso é isotrópico.

2.3.4 Conservação de Espécie Química

Também podemos deduzir a equação de conservação de espécie química a partir da equação 2.10 – Conservação da propriedade φ. Para tal, a grandeza que se conserva agora é a quantidade de matéria da espécie química em questão (utilizaremos uma espécie química genérica “A”).

(39)

Um ponto importante a ser lembrado é que a quantidade de matéria conservada pode ser expressa de duas formas diferentes. Podemos deduzir a consevação de espécie química em função da massa de “A” ou em função da quantidade de matéria (unidade “mol”) de “A” (CREMASCO, 1998).

Por uma questão de convenção, será deduzida a conservação da espécie química em função da massa, pois todos os programas de fluidodinâmica computacional trabalham com as equações específicas (por unidade de massa) (OPENFOAM FOUNDATION, 2013).

Fazendo φ = ωA, tφ= −A e fφ= rA, temos:

(∂ρ ωA)

∂t + ∇ · (ρ ωAu) + ∇ · A− rA = 0 (2.22)

onde,

• ωA – Fração mássica de A

• uA – Vetor velocidade da espécie química A

• u – Vetor velocidade média mássica da solução (mistura de todos os componentes) • A – Vetor de fluxo mássico da espécie química A devido a difusão mássica

• rA – Taxa de reação em massa do componente A por unidade de volume

O vetor de fluxo mássico da espécie química A pode ser definido como A = ρA(uA− u).

Rearranjando a equação e considerando a solução ideal, onde ρA = ωAρ:

∂ρA

∂t + ∇ · (ρAu) = −∇ · A+ rA (2.23)

Partindo da equação 2.23, se dividirmos ambos os lados pela massa molecular “MA”

da espécie A, obteremos:

∂CA

∂t + ∇ · (CAu) = −∇ · JA+ RA (2.24)

Note que:

• A concentração agora é molar: CA=

ρA

(40)

• O fluxo difusivo mássico (A) agora se tornou fluxo difusivo molar (JA): JA = A MA

• A taxa de reação agora está em base molar (ainda por unidade de volume): RA=

rA

MA

A equação 2.24 é a equação de conservação da concentração molar de A em relação a velocidade média mássica. Se quisermos escrever todos os termos da equação em relação a quantidade de matéria (mol), temos que utilizar a velocidade média molar, um.

Procendendo dessa forma, podemos explicitar um novo vetor de fluxo molar da espécie química A devido a difusão molar. Este fluxo pode ser definido como J_A0 = CA(uA− um).

Assim, feitas as devidas substituições, temos a equação 2.25 – Equação de conser-vação da concentração molar de A em relação a velocidade média molar.

∂CA

∂t + ∇ · (CAu

m_{) = −∇ · J}0

A+ RA (2.25)

Note que, para um mesmo compoente A, podemos escrever quatro equações de conservação da espécie química:

• Equação de conservação da concentração molar de A em relação a velocidade média molar.

∂CA

∂t + ∇ · (CAu m

) = −∇ · J_A0 + RA (2.26)

• Equação de conservação da concentração molar de A em relação a velocidade média mássica.

∂CA

∂t + ∇ · (CAu) = −∇ · JA+ RA (2.27)

• Equação de conservação da concentração mássica de A em relação a velocidade média molar.

∂ρA

∂t + ∇ · (ρAu

m_{) = −∇ · }0

A+ rA (2.28)

• Equação de conservação da concentração mássica de A em relação a velocidade média mássica.

∂ρA

(41)

2.4 Equações Constitutivas

Depois de desenvolver as equações de conservação, podemos perceber pelos graus de liberdade, que elas ainda não podem ser solucionadas. Fazem-se necessárias equações de fechamento que modelem os termos que ainda não temos conhecimento (BIRD; STEWART; LIGHTFOOT, 2007).

Para resolver o campo de escoamentos, por exemplo, é necessário saber o com-portamento do fluido, as espécies químicas que o compõe, seu estado físico (líquido ou gasoso), se ele se comporta como um fluido Newtoniano ou não, etc. Estas equações que se propõe a descrever o comportamento do fluido são conhecidas como equações de estado e equações constitutivas (WHITE, 1998).

2.4.1 Lei de Newton da viscosidade

Para modelar matematicamente a parte das tensões viscosas do Tensor das tensões (denotado neste documento por τ0), primeiramente tenta-se descrever o comportamento

da viscosidade do fluido de acordo com a deformação, força aplicada e tempo.

A viscosidade (também chamada de viscosidade dinâmica – µ) quantifica o atrito entre as camadas de fluido criado por conta do movimento relativo entre as partículas deste fluido. Esta propriedade está intimamente relacionada ao transporte de quantidade de movimento (HAUKE, 2008).

A natureza da difusão viscosa foi demonstrada pelo experimento de Couette4, que afere a velocidade com que uma placa plana de dimensões muito grandes desliza sobre um fluido que está sobre outra placa plana, também de dimensões muito grandes. Para um determinado comprimento h0 da placa plana superior, a relação entre τ0 e a velocidade constante ux com que ela se move é proporcional (WELTY et al., 2000).

Desta relação, a constante de proporcionalidade entre o tensor viscoso τ0 e o gradiente de velocidades (onde ux é a componente horizontal do vetor velocidade)

dux

dy é chamada viscosidade dinâmica do fluido, µ (WELTY et al., 2000).

Assim, essa relação entre o tensor viscoso, a viscosidade e o gradiente de velocidades é expressa pela lei de Newton da viscosidade:

τ0 = τ_xy0 = µdux(y)

dy (2.30)

4 _{No experimento de Couette, um fluido escoa entre duas placas paralelas extensas. A placa superior é} deslocada horizontalmente com velocidade constante enquanto a placa inferior está em repouso. Após atingir o estado estacionário, a força utilizada para mover a placa superior é medida. A partir desta força e da superfície da placa suprior, o tensor viscoso τ0 é calculado (WHITE, 1998).

(42)

2.4.2 Lei de Navier-Poisson

Podemos generalizar a equação 2.30 – lei de Newton da viscosidade para escoamentos tridimensionais. Esta generalização é conhecida como Lei de Navier-Poisson, que para coordenadas cartesianas e lançando mão da notação indicial (também conhecida como notação de Einstein), se apresenta da seguinte forma (WHITE, 1998):

τ_ij0 = µ ∂vi ∂xj +∂vj ∂xi ! + λ vk,kδij (2.31)

onde λ é chamado de segundo coeficiente da viscosidade.

2.4.3 Equação de Navier-Stokes

A equação de Navier-Stokes é um caso particular da equação 2.16 – Conservação da Quantidade de Movimento, para um fluido Newtoniano e incompressível. Para fluidos incompressíveis, o gradiente da velocidade é nulo (∇ · u = 0) (WELTY et al., 2000).

Então, na equação 2.31 – Lei de Navier Poisson, o segundo termo, que contem o gradiente da velocidade, desaparece. Então, resulta apenas:

τ0 = τ_ij0 = µ ∂vi ∂xj +∂vj ∂xi ! (2.32)

Tomando o divergente em ambos os lados da equação, temos:

∇ · τ0 = ∇ · µ ∂vi ∂xj +∂vj ∂xi ! (2.33) Para µ constante; ∇ · τ0 = µ∇ · ∂vi ∂xj + ∂vj ∂xi ! (2.34)

Para o fluido Newtoniano o tensor é simétrico. Como o fluido também é incompres-sível, teremos:

∇ · τ0 = µ∇2u (2.35)

Finalmente, substituindo a equação 2.35 na equação 2.16 – Conservação da Quan-tidade de Movimento, temos:

(43)

∂ρu

∂t + ∇ · (ρuu) = −∇p + µ∇

2_{u + ρF}

m (2.36)

2.4.4 Difusividade da Espécie Química

Para tratar apenas da difusão das espécies químicas em seu meio, devemos desconsi-derar a convecção mássica das espécies químicas e os efeitos dos gradientes de temperatura, gradientes de pressão e forças de campo. Também, para poder descrever o comportamento do fluxo difusivo, torna-se uma simplificação útil fazê-lo inicialmente para duas espécies químicas diferentes (INCROPERA; DEWITT; BERGMAN, 2008).

Quando existe um gradiente de concentreções mássicas ou molares, podemos observar que o fluxo difusivo tem a mesma direção do vetor gradiente, porém com sentido oposto. Tembém fica evidente que a distância espacial entre os pontos de diferentes concentrações afeta na magnitude do fluxo difusivo. Generalizando, podemos dizer que o fluxo mássico (ou molar) difusivo é proporcional a uma constante (que neste documento denotaremos por DAB) e proporcional ao negativo do gradiente da concentração mássica

(ou molar) (CREMASCO, 1998). Logo:

A= −DAB∇ρA (2.37)

Esta é uma boa aproximação quando a massa específica da mistura é praticamente constante. A equação 2.37 é conhecida como Lei de Fick.

Considerando a massa específica da mistura constante, podemos escrever a Lei de Fick de quatro formas diferentes:

• Fluxos difusivos em relação a velocidade média mássica – u Fluxo difusivo mássico:

A= −ρDAB∇ωA (2.38)

Fluxo difusivo molar:

JA= −

ρDAB

MA

∇ωA (2.39)

• Fluxos difusivos em relação a velocidade média molar – um Fluxo difusivo mássico:

(44)

0_A = −CMADAB∇XA (2.40)

Fluxo difusivo molar:

J_A0 = −CDAB∇XA (2.41)

Com,

• XA – Fração molar do componente A

(45)

3 Turbulência

Na natureza, a maioria dos escoamentos é turbulento. Seja a corrente de águas abaixo da superfície dos oceanos, as nuvens e o escoamento de gases acima da troposfera terrestre são turbulentos. Mesmo em ambientes fora do âmbito terrestre podemos encontrar escoamentos desse tipo, como por exemplo na fotosfera (camada atmosférica do sol) e nuvens de gases interestelares (nebulosas) (TENNEKES; LUMLEY, 1972).

Portanto, não poderia ser diferente nas aplicações em engenharia. A turbulência torna-se um problema de suma importânica para a modelagem de escoamentos. Como explicitado por TENNEKES e LUMLEY (1972, p. 1), “A maioria dos processos de combustão possuem grande dependencia da turbulência; o fluxo de gás natural e óleo em dutos é turbulento. Engenheiros químicos usam a turbulência para misturar e homogeneizar misturas e acelerar reações químicas em líquidos e gases”.

Mas será que é possivel definir e quantificar a turbulência? Essa pergunta intriga os físicos, principalmente por causa das escalas de turbulência. Ela pode ser notada desde escoamentos em microcanais até em grandes galáxias, que se comportam como vórtices num escoamento turbulento, exatamente como numa mistura entre dois escoamentos de diferentes velocidades (LESIEUR, 2008).

Justamente por essa abrangência, tanto em fenômenos de escalas micromoleculares, respeitando a hipótese do continuum (ver Anexo A), até escalas astronômicas, é que LESI-EUR (2008, p. 2) define a turbulência como “um problema estatístico, sem a possibilidade de soluções exatas”. Por isso, a grande proposição de modelos matemáticos que tentem descrever com acurácia o problema na escala em que se quer trabalhar.

Um ponto importante é que a turbulência possui forte dependência espacial e temporal. A não-linearidade é um traço marcante deste fenômeno e as tentativas de linearizá-lo quase sempre são ineficazes. Muitos problemas em mecânica de fluidos acabam sendo aproximados pela suposição que o fluido é irrotacional, isto é, que a vorticidade é zero. Quando trabalhamos com escoamentos turbulentos, a presença da vorticidade é uma consequência e não pode ser ignorada no estudo da dinâmica do fluido. (HOLMES; LUMLEY; BERKOOZ, 1996)

Um aspecto muito próprio do escoamento turbulento plenamente desenvolvido é a presença de vórtices no decorrer do escoamento. Vórtices maiores englobam vórtices menores e o escoamento se desenvolve de forma totalmente aleatória. Mesmo que as condições do escoamento sejam repetidas numa segunda experiência, o comportamento do fluido não seguirá um padrão. Um exemplo do comportamento de um escoamento turbulento plenamente desenvolvido pode ser observado na figura 3, a seguir.

(46)

Figura 3: Vórtices em escoamento livre, turbulento e plenamente desenvolvido

Fonte: FRISCH (1995, p. 11)

O estudo da turbulência na dinâmica de fluidos pode ser tratado como um tópico à parte e de suma importância. Sem a consideração desse fenômeno físico, torna-se impossível realizar estudos acurados acerca de grande maioria dos escoamentos.

3.1 A natureza da turbulência

Definir precisamente a tubulência seria como definir energia ou entropia; uma tarefa impossível, já que não existem definições intrínsecas. Só podemos entender o conceito analisando as características de escoamentos turbulentos. A seguir, estão listadas estas características, elucidadas por TENNEKES e LUMLEY (1972, p. 1–4):

• Aleatoriedade – A chamada aleatoriedade ou irregularidade. Este comportamento não permite a realização de uma boa modelagem matemática da turbulência, sendo possível apenas a descrição através de métodos estatísticos.

• Difusividade – Na turbulência, a alta difusividade do escoamento é uma de suas características mais importantes, pois aumenta a taxa de transferência de massa, calor e quantidade de movimento. A grande peculiaridade dessa característica é que confome ela induz o aumento na taxa de transporte das grandezas citadas, ela

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também é afetada por esse aumento, também crescendo.

• Alto valor numérico de Reynolds – Um dos principais critérios para definir o compor-tamento turbulento num escoamento é o alto valor numérico de Reynolds. Cada tipo de escoamento tem sua faixa de valores baixos, intermediários e altos para esse nú-mero adimensional. Quando os valores vão atingindo a faixa da turbulência, podemos observar uma instabilidade no comportamento laminar do escoamento. Isto ocorre por conta da interação entre os termos viscosos e os não-lineares termos inerciais nas equações que regem o movimento. Essa interação é bem complexa: a solução para os termos não-lineares da equação diferencial parcial que descreve o movimento não é definida no campo de soluções gerais do escoamento. A impossibilidade de resolução da não-linearidade combinada com a aleatoriedade do escoamento torna as equações de turbulência intratáveis. A teoria da turbulência acaba sofrendo com a falta de mé-todos matemáticos robustos o suficiente para resolver mé-todos esse problemas acoplados.

• Flutuações tridimensionais e vorticidade – O fenômeno de turbulência é tridimensio-nal e rotaciotridimensio-nal. Podemos notar altos níveis de vorticidade. As flutuações aleatórias que constituem a vorticidade não podem se manter se as flutuações da velocidade forem apenas bidimensionais. Para que ocorra o fenômeno de “vorticidade”, fazem-se necessárias pronunciadas flutuações tridimensionais no campo de velocidades. Fenô-menos como ciclones que ocorrem na atmosfera, não configuram turbulência, mesmo com suas características sendo fortemente influenciadas por fatores intimamente ligadas à turbulência (como cisalhamento e flutuabilidade no campo de velocidades). Também convém ressaltar que grandes ondas na superfície dos oceanos não estão em movimento turbulento, já que são essencialmente irrotacionais.

• Dissipação – A energia cinética turbulenta sofre a ação do trabalho da tensão viscosa cisalhante e é trasformada em energia interna para o fluido. Para existir, a turbu-lência precisa de um suprimento contínuo de energia para suprir esta grande perda, caso contrário, a tubulência decairá rapidamente. A título de comparação, pode-se observar outros movimentos aleatórios, como as ondas gravitacionais nas atmosferas planetárias e as ondas sonoras, que têm perdas viscosas dissipativas insignificantes, e portanto, não são turbulentas. A grande diferença da turbulência para outras ondas aleatórias é que apenas a turbulência é essencialmente dissipativa.

• Escala do continuum – A turbulência configura um fenômeno pertencente a escala do continuum, governado pelas equações da mecânica dos fluidos. Pode-se ressaltar

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que até mesmo a menor escala onde ocorre turbulência, ainda é muito maior do que a escala molecular. Esse esclarecimento será desdobrado na seção 3.4.

• Escoamentos turbulentos são um tipo de escoamento – É comum a confusão con-ceitual de que a turbulência é uma “característica” do escoamento, quando na verdade, o escoamento turbulento é um tipo de escoamento. A mais importante das características do escoamento turbulento é que ele não é controlado por nenhuma propriedade molecular do fluido que está em regime de turbulência. Justamente por isso, as características da turbulência dependem fortemente de seu comportamento. Portanto, o estudo da turbulência não se atenta para característica intrínsecas a cada fluido, mas sim, se concentra no meio por onde o escoamento flui, bem como as condições de contorno desse escoamento.

3.2 A teoria de Kolmogorov

Em seus estudos sobre turbulência atmosférica, o inglês Lewis Richardson, matemá-tico, físico e meteorologista, postulou que o escoamento turbulento é composto por vórtices de diferentes tamanhos. Esses tamanhos definem uma determinada gama de amplitude, que está intimamente relacionada com as escalas de velocidade e tempo do escoamento. Os maiores vórtices são instáveis e eventualmente se desagregam gerando vórtices menores e herdando a energia cínética do vórtice anterior. Esses vórtices menores, por sua vez, também se desagregam gerando vórtices ainda menores, transferindo sua energia cinética, e assim por diante (HUNT, 1998).

Dessa forma, a energia é passada de escalas maiores de movimento para escalas menores até chegar a uma escala de comprimento suficientemente pequena de tal modo que a viscosidade do fluido pode efetivamente dissipar a energia cinética em energia interna (HUNT, 1998).

Em 1941, o russo Andrey Kolmogorov, baseado nos estudos de Richardson, propôs que durante a cascata de transferência energética dos vórtices maiores para os menores, as informações acerca das direções do escoamento são perdidas quando a escala de energia é reduzida. Para pequenas escalas, o escoamento turbulento (para altos valores de Reynolds) pode ser considerado estatisticamente isotrópico (ou seja, não existe nenhuma direção espacial preferencial para o escoamento seguir) (HINZE, 1959).

Kolmogorov ainda propôs que para escoamentos que figuram na escala de pequenas energias e com números de Reynolds muito altos, a energia nessas pequenas escalas são estatisticamente iguais entre si e são unicamente dependentes de dois parâmetros, denominados “viscosidade cinemática – ν ” e “taxa de dissipação da energia cinética específica turbulenta – ” (HINZE, 1959).