INSTITUTO DE FÍSICA
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Aspectos análogo-gravitacionais
em condensados de Bose-Einstein
Arthur Ferreira Vieira
Rio de Janeiro - RJ Dezembro, 2017
Arthur Ferreira Vieira
Aspectos análogo-gravitacionais
em condensados de Bose-Einstein
Monografia apresentada ao Curso de Graduação em Física da Universidade Federal Fluminense como requisito parcial para obtenção do título de Bacharel em Física.
Orientador:
Prof. Dr. Marco Moriconi
Instituto de Física
Universidade Federal Fluminense
Rio de Janeiro - RJ Dezembro, 2017
INSTITUTO DE FÍSICA
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
BANCA EXAMINADORA
Prof. Dr. Marco Moriconi - Instituto de Física - UFF
Profa. Dra. Raissa Fernandes Pessoa Mendes - Instituto de Física - UFF
Ficha catalográfica automática - SDC/BIF
Bibliotecária responsável: Danieli Brabo de Moraes - CRB7/5805
F383a Ferreira Vieira, Arthur
Aspectos análogo-gravitacionais em condensados de Bose-Einstein / Arthur Ferreira Vieira; Marco Moriconi, orientador. Niterói, 2017.
86 f.
Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Física)-Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física, Niterói, 2017.
1. Teoria quântica de campos. 2. Relatividade geral. 3. Física da matéria condensada. 4. Mecânica dos fluidos. 5. Produção intelectual. I. Título II. Moriconi,Marco,
orientador. III. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Física. Departamento de Física.
-“And I cherish more than anything else the Analogies, my most trustworthy masters. They know all the secrets of Nature, and they ought to be least neglected in Geometry.”
Johannes Kepler
Sou quem falhei ser... Fernando Pessoa
AGRADECIMENTOS
Expresso aqui meus mais sinceros agradecimentos a todos aqueles que, de uma forma ou de outra, contribuíram para a realização deste trabalho. Já me reservo as devidas desculpas caso eu esqueça de alguém.
Agradeço, primeiramente, aos meus pais, pelo apoio em todas as decisões que tive na vida, em particular em querer cursar Física. Sempre estiveram do meu lado. Obrigado pelo amor incondicional de vocês.
Agradeço particularmente aos professores Jorge Sá Martins e Nivaldo Lemos pelas brilhantes aulas online que me fizeram despertar a curiosidade pela física e perceber, ainda no ensino médio, que existe física além de bolinhas colidindo entre si. Minha formação verdadeiramente ficou mais sólida graças aos senhores. Agradeço também ao professor Lucas Sigaud por me obrigar a fazer meu primeiro trabalho em forma de artigo. Um agradecimento especial a Rodrigo Sobreiro, Antônio Zelaquett, Anna Chame, Paulo Acioly e Daniel Jonathan, profissionais ímpares.
Não poderia faltar um agradecimento ao meu orientador, Marco Moriconi (Morica para os íntimos), pela orientação e paciência. Pelos insights que me faziam pensar “por que eu não pensei nisso antes?” Pelas conversas descontraídas em cada reunião que tínhamos. Pelos mini-shows de stand-up que fazia nas aulas. E, principalmente, por ter me mostrado os verdadeiros valores da pesquisa científica e me ensinado a olhar nas entrelinhas da física e encará-la de modo simples e elegante.
Agradeço ainda aos amigos que fiz no Instituto de Física da UFF, em particular, a Bernardo Aguiar, Maron Anka, David Rosa, Miguel Alves, Hadassa Moraes e Douglas Montes.
Agradeço por fim ao melhor presente que pude ganhar nos últimos tempos, ao amor que achava que não encontraria e que hoje não vivo sem, à minha morena linda, cujo sorriso desperta o meu e faz com que me apaixone um pouco mais a cada dia, a você Nádia.
RESUMO
A ideia simples e engenhosa na qual modelos análogos da relatividade geral se baseia é a de que, em alguns sistemas físicos, existem perturbações que, sob condições adequadas, são dinamicamente regidas pela equação de movimento que descreve a propagação de campos quân-ticos escalares não massivos em espaços-tempos curvos. Assim, visto que fenômenos quânquân-ticos como a radiação Hawking de buracos negros são extramemente difíceis de detectar, sistemas que exibem analogia acústica podem servir de campo de teste para possivelmente comprovar experimentalmente esses efeitos.
Neste sentido, condensados de Bose-Einstein (BECs) diluídos formam um excelente palco para a implementação de modelos análogos. Neste trabalho, discutiremos a possibilidade de BECs emularem geometrias lorentzianas cosmológicas no laboratório, e discutiremos a primeira confirmação de emissão espontânea de fônons correlacionados em um buraco negro sônico for-mado em um condensado de Bose-Einstein atômico, evidenciando a natureza quântica da radi-ação Hawking.
Finalmente, discutiremos a inclusão de vorticidade em um BEC relativístico carregado quando o procedimento de acoplamento mínimo eletromagnético é implementado. No regime não-relativístico, apresentaremos a demonstração de que este sistema obedece ao teorema de circulação de Kelvin-Helmholtz, exibindo o fato de que a circulação do vetor velocidade gene-ralizada em torno de uma curva fechada do fluido corresponde ao fluxo magnético e permanece constante no tempo.
Palavras-chave: modelos análogos, relatividade geral, condensados de Bose-Einstein, buracos negros, horizonte acústico, métrica acústica efetiva.
ABSTRACT
The simple and ingenious idea on which analog models of general relativity is based is that in some physical systems there exist perturbations that, under proper conditions, are dynamically ruled by the equation of motion describing the propagation of massless scalar quantum fields in curved spacetimes. In such case, since quantum phenomena like black hole Hawking radiation are extremely difficult to detect, systems which exhibit acoustic analogy can provide a test field to possibly experimentally confirm these effects.
In this regard, diluted Bose-Einstein condensates (BECs) are an excellent stage for analog models implementation. In this work, we discuss the possibilities that BECs offer for emulating lorentzian geometries of the cosmological type in the laboratory, and we discuss the first con-firmation of spontaneous emission of correlated phonons in a sonic black hole from an atomic Bose-Einstein condensate, supporting the Hawking radiation quantum nature.
Finally, we discuss the inclusion of vorticity in a charged relativistic BEC when the electro-magnetic minimal coupling procedure is put forward. In the non-relativistic limit, we present the proof that this system obeys Kelvin-Helmholtz circulation theorem, displaying the fact that the generalized velocity vector circulation around a closed fluid curve correspond to the magnetic flux and remains constant in time.
Keywords: analog models, general relativity, Bose-Einstein condensates, black holes, acustic horizons, acustic effective metric.
LISTA DE FIGURAS
1 Descrição langrangiana de um fluido. As variáveis exibidas são o vetor posição rpξ, tq e a velocidade u “ p Br{Bt qξ de um ponto do fluido. . . 6
2 Perfil de velocidade de um vórtice de corpo rígido (esquerda) e de um vórtice livre (direita) [18]. . . 13 3 Buraco negro análogo. (a) Condensado de Bose-Einstein unidimensional, que
confina fônons na região supersônica, à direita do horizonte sônico no referencial do laboratório. Um fônon no lado subsônico, à esquerda, pode se afastar do hori-zonte (particula Hawking). (b) Perfil de (a). Partes pintadas de azul e vermelho indicam as regiões externa e interna do buraco negro, respectivamente, onde as correlações entre partículas Hawking e suas parceiras são observadas (imagens de [34]). . . 39 4 A circulação Γ é mostrada em dois instantes diferentes, t1 e t2, ao longo de duas
Sumário
Lista de Figuras ix
Introdução 1
I
Excursão pela Dinâmica dos Fluidos
4
1 As equações fundamentais 5
1.1 Fluidos ideais . . . 5
1.2 Descrições lagrangiana e euleriana . . . 5
1.3 A equação da continuidade . . . 7
1.4 A equação de Euler . . . 8
1.5 Considerações termodinâmicas . . . 9
1.6 Vorticidade . . . 11
1.6.1 Vórtice de corpo rígido e vórtice livre . . . 12
II
Teoria Quântica de Campos em Espaço-Tempo Curvo e
Gra-vitação Análoga
14
2 Visão geral 15 2.1 Dinâmica dos fluidos e geometrias efetivas . . . 152.1.1 Espaço-tempo acústico estático . . . 21
2.2.1 Horizontes e ergoregiões . . . 22
2.2.2 A gravidade de superfície . . . 23
2.2.3 Buracos negros estáticos . . . 25
III
Um campo de teste:
Condensados de Bose-Einstein
27
3 Condensados de Bose-Einstein 28 3.1 As equações de Gross-Pitaevskii e de Bogolyubov-de Gennes . . . 283.1.1 Limite de Thomas-Fermi . . . 32
3.2 A métrica acústica . . . 33
3.3 Métricas cosmológicas . . . 36
3.4 Resultados numéricos e comprovação experimental . . . 38
3.4.1 Partículas Hawking, correlações e emaranhamento . . . 38
IV
BECs Relativísticos, Vorticidade e Cosmologia Emergente
41
4 BEC carregado relativístico 42 4.1 Eletrodinâmica escalar . . . 424.2 Análise de perturbações . . . 46
4.3 A métrica acústica relativística . . . 48
4.4 Regime não-relativístico . . . 50
V
Final
55
5 Conclusões 56
VI
Apêndices
58
A TQC em espaços-tempos curvos 59
A.1 Fenomenologia . . . 59 A.2 Radiação Hawking . . . 61
B Integral de trajetória 62
B.1 Amplitude de transição para bósons . . . 63 B.2 Representação funcional da função de partição bosônica . . . 65 B.3 Quantização do campo escalar neutro . . . 65
C Relação de dispersão 66
C.1 Limite de k pequeno . . . 67
Introdução
Analogias entre ramos da física, aparentemente díspares entre si, já forneceram profundos insights e inspirações para o tratamento de problemas fundamentais. A teoria de Hamilton-Jacobi, por exemplo, desempenhou um papel crucial na construção da “mecânica ondulatória” por Schrödinger, apoiado na analogia entre a mecânica e a óptica geométrica desenvolvida por Hamilton no período de 1828 e 1837 [1]. Nos últimos 30 anos, modelos análogos de gravita-ção [2] desempenharam papel semelhante em relagravita-ção a problemas importantes da relatividade geral (RG), como o mecanismo da radiação Hawking, o destino da invariânica de Lorentz em escalas extremamente pequenas e a natureza do espaço-tempo e da gravidade como fenômenos possivelmente emergentes.
A ideia geral por trás dos modelos análogos de gravitação é a de que em muitos sistemas físicos é possível identificar excitações convenientes ou apropriadas que se propagam como cam-pos em um espaço-tempo curvo. Em particular, existe uma vasta classe de sistemas de matéria condensada que admite uma descrição hidrodinâmica dentro da qual é possível mostrar que perturbações acústicas se propagam em uma geometria efetiva, a chamada “métrica efetiva” [3]. De fato, a propagação de excitações no regime hidrodinâmico pode ser descrita através de uma equação de movimento relativística em um espaço-tempo curvo. Portanto, mesmo partindo de equações não-relativísticas, pode-se mostrar que as excitações são dotadas de uma dinâmica invariante de Lorentz, onde o grupo de Lorentz SOp3, 1q restrito é usualmente associado com uma velocidade invariante que coincide com a velocidade do som.
A principal motivação que estimulou a atividade de pesquisa por grupos da comunidade científica neste assunto foi a possibilidade de se estudar experimentalmente fenômenos gravita-cionais impossíveis de serem detectados de outra maneira, em particular evaporação de buracos negros por meio de radiação Hawking (Unruh, 1981, [3]). Infelizmente, esta possibilidade teve um caráter mais teórico do que prático, visto que, conforme Unruh observou, a temperatura esperada para um buraco negro acústico de 1 mm de raio e velocidade do som de 300 m/s era extremamente baixa, 3 ˆ 10´7 K. Este foi provavelmente um dos motivos pelos quais esse
eminente artigo permaneceu no ostracismo até o início dos anos noventa, quando a analogia entre propagação acústica em fluidos e a propagação de campos em um espaço-tempo curvo foi redescoberta por Visser [4]. Além disso, o interesse em gravitação análoga (GA) recebeu
impulso de uma segunda motivação: a possibilidade de utilizar a analogia entre acústica e teoria quântica de campos (TQC) em espaço-tempo curvo como uma ferramenta teórica para compreender o comportamento de espaços-tempos em escalas bem pequenas e verificar se uma física modificada desconhecida pode ou não alterar a fenomenologia de processos como produ-ção de partículas em espaço-tempo curvo. Jacobson [5], em 1991, foi o primeiro a encarar de maneira séria essa analogia como um guia para investigar como a evaporação de buracos negros é afetada por efeitos de distâncias extremamente curtas.
Infelizmente, pode-se dizer que o contato com a comunidade da matéria condensada perma-neceu um pouco fraco por alguns anos, apesar da proposta do3He por Volovik e Jacobson [6, 7]
como o primeiro sistema de matéria condensada a implementar a analogia. Eles estimaram uma temperatura Hawking de aproximadamente 5 µK, que deveria ser grande o suficiente para permitir uma detecção experimental do fluxo Hawking. Em seguida, nos idos dos anos 2000, o número de sistemas físicos propostos como modelos análogos de gravitação começou a crescer. Em particular, Garay e colaboradores [8, 9] propuseram usar condensados de Bose-Einstein (BECs1), que se revelaram terreno fértil para trabalhos téoricos e propostas experimentais,
culminando na recente observação por Steinhauer de radiação Hawking quântica e seu ema-ranhamento em um buranco negro acústico realizado em um condensado de Bose-Einstein atômico [10]. A ideia foi medir correlações entre partículas Hawking fora do buraco negro e seus pares dentro do horizonte de eventos. Como confirmado previamente por simulações nu-méricas [11], o sinal de correlação não é mascarado pelo ruído térmico não-correlacionado e a temperatura Hawking determinada pela distribuição de populações é de 1,2 nK.
Particularmente, veremos que a analogia acústica só é possível se o sistema fluido em questão não exiba viscosidade (fluido invíscido), a pressão dependa apenas da densidade (fluido barotró-pico) e seja irrotacional, i.e., sem vorticidade. Partindo de um BEC relativístico e carregado, no limite em que o momento é pequeno e efetuando a aproximação eikonal, é possivel derivar uma equação de movimento para os fônons carregados, onde a métrica acústica emergente depende algebricamente da velocidade do fluido na presença de vorticidade (introduzida pelo acopla-mento mínimo eletromagnético) [16]. Cabe ressaltar que, embora estes sistemas relativísticos não possam ser ainda realizados experimentalmente, eles enriquecem o arcabouço teórico dos modelos análogos em gravitação, abrindo caminho para explorações numéricas futuras. Por
fim, mostraremos que, no limite não-relativístico, este sistema satisfaz o teorema de circulação de Kelvin-Helmholtz se incluirmos o potencial eletromagnético generalizado, dependente da velocidade do condensado, na equação de Euler resultante.
Parte I
1
As equações fundamentais
Esta seção cumpre somente com o propósito de revisar os aspectos básicos de dinâmica dos fluidos ideais que serão usados no desenvolvimento da teoria dos modelos análogos da gravitação. Para demonstrar que ondas sonoras são descritas pela equação de um campo escalar não massivo em um espaço-tempo curvo (equação de Laplace-Beltrami), usaremos a equação da continuidade e a equação de Euler, que formam os pilares fundamentais da dinâmica de um fluido invíscido (sem viscosidade) e sem forças externas [12]. O leitor familiar com o arcabouço teórico da mecânica dos fluidos pode passar para a Parte II.
1.1
Fluidos ideais
Ao se mover, a maioria dos fluidos reais, exceto os superfluidos quânticos, apresentam re-sistência a cisalhamento. Podemos dizer que a medida de sua rere-sistência é a sua viscosidade, propriedade relacioada com o transporte de momento linear e energia através do movimento microscópico aleatório das partículas do fluido. Outra propriedade relacionada com este trans-porte microscópico de momento linear e energia é a condutividade térmica do fluido. Em um regime em que podemos desprezar a viscosidade, a condução do calor e reações químicas e nucleares, o transporte de momento linear e de energia manifesta-se somente através da pressão hidrostática, da velocidade média de conjunto do fluido, das interações gravitacional e eletro-magnética associadas, respectivamente, às densidades de massa e de carga elétrica e de alguma força externa ao fluido. Esta é a aproximação por trás da definição de um fluido ideal.
1.2
Descrições lagrangiana e euleriana
Um fluido é dito como um meio contínuo. Isto significa que qualquer elemento de volume do fluido, por menor que seja, é sempre suposto grande o suficiente de modo a conter um número enorme de moléculas. No entanto, as dimensões do elemento de fluido devem ser menores que as dimensões do sistema. Dessa maneira, quando nos referimos ao deslocamento de um ponto do fluido ou de uma partícula do fluido, não nos referimos ao deslocamento de uma molécula em específico, mas sim de um elemento de volume contendo uma pletora de moléculas, ainda
que considerado como um ponto.
Há duas maneiras de descrever o movimento de um fluido. Na descrição langrangiana, seguimos o movimento de pontos individuais do fluido (Fig. 1). Consequentemente, as duas variáveis independentes são o tempo e um rótulo para um ponto do fluido. O rótulo pode ser convenientemente escolhido como o vetor posição ξ deste ponto em algum tempo de referência t “ 0. Nesta descrição, qualquer função F do fluido é expressa como F pξ, tq. Em particular, o vetor posição é escrito como r “ rpξ, tq, que representa a localização no instante t de um ponto do fluido cuja posição era ξ em t “ 0. A velocidade e a aceleração de um ponto do fluido na descrição langrangiana são simplesmente as derivadas parciais no tempo
u “ p Br{Bt qξ, a “ p Bu{Bt qξ “ p B2r
L
Bt2qξ, (1)
visto que identidade da partícula é mantida constante durante a diferenciação.
Figura 1: Descrição langrangiana de um fluido. As variáveis exibidas são o vetor posição rpξ, tq e a velocidade u “ p Br{Bt qξ de um ponto do fluido.
Por outro lado, na descrição euleriana, concentramo-nos no que acontece em um ponto espacial r1, de modo que as variáveis independentes são r1 e t1 (os apóstrofos distinguem entre as
variáveis lagrangianas dependentes e as variáveis eulerianas independentes). Variáveis do fluido são escritas como F pr1, t1
um ponto r1 e não é a taxa de variação total vista por um observador inercial (ver Subseção 1.4).
Usaremos ao longo deste trabalho a visão euleriana. A descrição lagrangiana é usada comumente quando se está interessado em encontrar a trajetória da partícula de identidade fixada.
1.3
A equação da continuidade
Estamos prontos para derivar as equações fundamentais da dinâmica dos fluidos, a começar pela conservação de massa - se massa escapa de um certo volume do espaço, deve haver um decréscimo na quantidade que sobrou, essa é a história toda. Formalmente, considere a densi-dade de massa ρpt, xq de um fluido e um volume V fixo no referencial inercial. Com o fluido em movimento, há um fluxo de massa atravessando cada elemento de superfície dS na fronteira BV de V. Contanto que não haja fontes ou sorvedores de matéria, a taxa de variação no tempo da massa localizada dentro do volume V é dada pela taxa de transporte líquido através de BV. A taxa de variação de massa atravessando uma unidade de área é o fluxo de massa, ρv. Logo,
dm dt “ B Bt ż V ρdV “ ´ ż BV ρv ¨ dS. (2)
Aplicando o teorema de Gauss, obtemos
B Bt ż V ρdV “ ´ ż V ∇ ¨ pρvqdV, (3)
que deve ser válida para um volume V qualquer, o que implica a equação que expressa a conservação de massa ou a equação da continuidade,
Bρ
Bt ` ∇ ¨ pρvq “ 0. (4)
Cabe observar que, na presença de fontes ou sorverdouros de massa, deve-se adicionar ao lado direito da equação (4) um termo (σ) correspondente à geração de massa, σ ą 0, ou à remoção de massa, σ ă 0, por unidade de volume e por unidade de tempo.
1.4
A equação de Euler
O próximo passo é escrever uma equação para a dinâmica do fluido, que será obtida pela segunda lei de Newton. A massa de um elemento de volume do fluido vezes a aceleração (cuja expressão devemos obter na descrição euleriana) deve ser igual à força resultante sobre o elemento. Ou seja,
dm a “ dF Ñ ρ dV a “ f dV, (5)
de maneira que
ρa “ f , (6)
onde f é a densidade volumétrica de força. Seguiremos nessa dedução a abordagem de [12, 13]. A força total sobre esse elemento de volume é igual à integral da pressão sobre a superfície que engloba o volume:
F “ ´ ¿
BV
P dS. (7)
Aplicando, mais uma vez, o teorema de Gauss, temos ´ ¿ BV P dS “ ´ ż V ∇P dV. (8)
Observamos, portanto, que o fluido ao redor de um elemento de volume dV exerce sobre esse elemento uma força dF “ ´∇P dV . Em outras palavras, a densidade volumétrica de força f “ ´∇P .
Se forças externas conservativas, ou seja, que derivam de um potencial, como a gravitacional e a elétrica, estiverem em jogo, serão representadas por uma densidade costante de força do tipo ´ρ∇φ, onde φ é um potencial por unidade de massa. Caso ainda haja a presença de forças externas não-conservativas, um termo fextdeve ser adicionado. Por fim, se estivermos tratando
de um fluido viscoso, um termo de força “interna” fviscdevido à tensão de cisalhamento também
deve ser adicionado. Desse modo, a densidade de força f será a soma desses três termos, e a nossa equação de movimento (6) toma a forma
ρa “ ´∇P ´ ρ∇φ ` fvisc. (9)
A descrição da dinâmica do fluido só estará completa se descobrirmos a expressão para a aceleração na Eq. (6). Se marcarmos com corante um pequeno elemento do fluido e seguirmos
sua trajetória, em um intervalo de tempo ∆t, o elemento terá se deslocado de ∆r ao longo da trajetória. Por outro lado, a velocidade também pode variar durante um intervalo ∆t em um ponto fixo no espaço. De fato, podemos condensar as duas contribuições para a variação na velocidade do fluido se expandirmos vpr ` ∆r, t ` ∆tq até primeira ordem nos deslocamentos em cada direção: vpr ` ∆r, t ` ∆tq “ vpx ` vx∆t, y ` vy∆t, z ` vz∆tq (10) « vpx, y, z, tq ` Bv Bxvx∆t ` Bv Byvy∆t ` Bv Bzvz∆t ` Bv Bt∆t. (11) A aceleração ∆v{∆t é Bv Bxvx` Bv Byvy ` Bv Bzvz` Bv Bt, (12)
que denotaremos por
a ” Dv Dt “ pv ¨ ∇qv ` Bv Bt. (13) O operador D Dt “ pv ¨ ∇q ` B Bt. (14)
aparece com muita frequência na física dos meios contínuos e recebe o nome de derivada material ou convectiva ou derivada hidrodinâmica. A segunda lei de Newton, Eq. (6), fica então completa:
ρ „ Bv Bt ` pv ¨ ∇qv “ ´∇P ´ ρ∇φ ` fvisc. (15)
Esta é a célebre e fundamental equação de movimento do fluido, a chamada equação de Euler, obtida por Leonhard Euler em 1755.
1.5
Considerações termodinâmicas
A equação de Euler (15) e a equação da continuidade (4) formam um sistema de quatro equações para cinco incógnitas pρ, P, vq. De modo a termos um sistema solúvel e fechado de equações, é necessário mais uma equação que relacione a pressão com a densidade, o que conseguiremos a partir de uma equação de estado para o fluido. A maneira como a pressão se relaciona com a densidade resulta do caráter cinemático das partículas constituintes do meio, sendo expressa por suas propriedades termodinâmicas.
É sabido por experiência que o estado de uma dada massa de fluido em equilíbrio (uni-formidade espacial e temporal) pode ser especifidado por apenas dois parâmetros, que, por
conveniência, podemos escolher como sendo o volume e a pressão. Todas as outras quantidades que descrevem o estado do fluido são então funções desses dois parâmetros. A relação entre a temperatura T do fluido e os dois parâmetros de estado, que podemos escrever como
f pP, V, T q “ 0, (16)
é chamada de equação de estado. Qualquer expressão que relacione grandezas intensivas como temperatura, pressão e potencial químico com grandezas extensivas como entropia, volume e número de partículas é chamada de equação de estado. O conhecimento de uma única equação de estado não é suficiente para construir uma equação fundamental. No entanto, duas equações de estado já seriam suficientes [14].
Outra quantidade importante que descreve o estado do fluido é a sua energia interna U . Os símbolos Q e W representam a quantidade de energia que entra no fluido como calor e trabalho, respectivamente, durante um intervalo de tempo de interesse [15]. Por conservação de energia, a primeira lei da termodinâmica fica expressa como2
dU “ d¯Q ` d¯W. (17)
Para um processo quase-estático, numa situação em que o número de partículas pode ser variável e levando em conta somente o trabalho de compressão-expansão [15], a Eq. (17) pode ser reescrita como
dU “ T dS ´ P dV `ÿ
i
µidNi. (18)
onde S é a entropia do sistema, µi é o potencial químico de cada subsistema que compõe o
fluido e Ni é o número de partículas de cada subsistema. Se dividirmos a Eq. (18) pela massa
e considerarmos que não haja troca de partículas,
du “ T ds ´ P dv. (19)
Dizemos que temos a primeira lei da termodinâmica na representação da energia.
Para o que se segue no próximo capítulo, é útil introduzir a entalpia H “ U ` P V de um elemento de fluido e a correspondente entalpia por unidade de massa h “ u ` P
ρ. Para uma discussão clara sobre a motivação física para se definir o conceito de entalpia, ver [15]. 2Usaremos a notação de diferencial inexata d¯ para indicar que calor e trabalho não são funções de estado.
Inserindo u “ h ´P
ρ no lado esquerdo da Eq. (19), obtemos a primeira lei na representação da entalpia:
dh “ T ds `dP
ρ . (20)
O estado termodinâmico de um elemento de fluido é completamente determinado por quaisquer duas variáveis entre ρ, T, s e P . De modo a calcular todas as características deste estado a partir das duas variáveis, devemos conhecer as equações de estado relevantes. Portanto, um fluido simples přiµidNi “ 0q genérico é descrito por sete variáveis dependentes do espaço
e do tempo (ρ, P, v, T e s), determinadas por sete equações: equação da continuidade (4), as três componentes da equação de Euler (15), duas equações de estado e a primeira lei da termodinâmica.
Uma simplificação que será útil para as Partes II e IV é a de um fluido isentrópico, um caso especial de fluido ideal. Neste caso, a entropia por unidade de massa é constante em todo o espaço, e não apenas ao longo das trajetórias dos elementos de fluido. Desse modo, precisamos apenas de cinco variáveis (ρ, P e v), determinadas por cinco equações, a saber: a equação da continuidade, a equação de Euler e a equação de estado P “ P pρq. A partir da primeira lei (20), deduzimos, que para um fluido isentrópico
∇h “ 1
ρ∇P pρq, (21)
com ρ “ ρpt, xq, a priori. O fluido isentrópico é um caso de fluido barotrópico, isto é, um fluido em que a pressão é função apenas da densidade.
1.6
Vorticidade
Na Seção 4, com base nos trabalhos de S. Liberati et al. [16] apresentaremos uma maneira de inserir vorticidade em um condensado de Bose-Einstein relativístico, um dos únicos modelos análogos a apresentar vorticidade (ver Ref. [17] para uma alternativa uma pouco mais intrin-cada). Portanto, é útil expor os conceitos de vórtice e vorticidade na hidrodinâmica clássica antes de entrarmos na análise, no regime não-relativístico, de estados de vórtices em um BEC.
1.6.1 Vórtice de corpo rígido e vórtice livre
Um vórtice é uma região no fluido na qual as partículas giram em torno de uma linha reta ou de uma curva3. Uma noção útil para descrever o comportamento de vórtices é a de vorticidade, um vetor, que codifica o movimento rotacional local de um ponto do fluido, definido como
Ω “ ∇ ˆ v. (23)
Com base nas propriedades da vorticidade, podemos distinguir dois tipos principais de vórtices (ver Fig. 2):
Vórtice de corpo rígido: o fluido rotaciona como um corpo rígido com velocidade angular ω constante. A velocidade tangencial aumenta linearmente com a distância a partir da linha de vórtice e a vorticidade é finita:
r∇ ˆ pω ˆ rqsi “ εijkBjpεklmωlxmq
“ εijkεklmωlpBjxmq
“ pδilδjm´ δimδjlqrωlpBjxmqs
“ 2ωi, (24)
onde εijk é o símbolo de Levi-Civita e usamos a convenção de Einstein da soma implícita.
Assim, uma sonda local (um palito de fósforo, por exemplo) gira em torno do seu próprio eixo enquanto orbita o núcleo do vórtice com velocidade angular que é metade da vorticidade e direcionada no sentido da rotação do vórtice;
Vórtice livre: o campo de velocidade é inversamente proporcional à distância do núcleo, levando a uma vorticidade nula:
v “ ˆ 0,k r, 0 ˙ ùñ ∇ ˆ v “ ´ˆerBzvφ` ˆez 1 rBrprvφq “ 0, (25)
A sonda local, portanto, mantém sempre sua orientação enquanto orbita o núcleo do vórtice. 3Matematicamente, um vórtice é caracterizado pela circulação do vetor velocidade em um circuito fechado ser diferente de zero, i.e.,
Γ “ ¿
Figura 2: Perfil de velocidade de um vórtice de corpo rígido (esquerda) e de um vórtice livre (direita) [18].
O conteúdo revisado sobre dinâmica dos fluidos será amplamente usado no desenvolvimento da teoria dos modelos análogos da gravitação nas Partes II e III. Para demonstrar que per-turbações em um fluido são descritas pela equação de um campo escalar não massivo em um espaço-tempo curvo, aequação da continuidade e a equação de Euler serão usadas.
Parte II
Teoria Quântica de Campos em
Espaço-Tempo Curvo e Gravitação
Análoga
2
Visão geral
Nesta segunda parte, apresentaremos os conceitos básicos de modelos análogos em gravita-ção, partindo de um exemplo simples. Na Seção 2.1, procuramos mostrar como a propagação do som em fluidos é descrita, sob certas hipóteses, pela mesma equação que descreve a propagação de um campo escalar não massivo em um espaço-tempo curvo. Posteriormente, apresentaremos alguns fenômenos gravitacionais que possuem aspectos correspondentes em outros sistemas físi-cos de interesse, como radiação Hawking e produção de partículas em um universo em expansão.
2.1
Dinâmica dos fluidos e geometrias efetivas
A maneira mais simples e direta de apresentar espaços-tempos análogos é por meio da acústica em fluidos sob condições apropriadas [2, 3, 4, 19, 20]. Ondas sonoras se propagando em um fluido de fato são arrastadas pelo fluxo, que, neste caso, age como um espaço-tempo curvo desviando os raios de luz de sua trajetória original. Quando consideramos a situação extrema de um fluido no regime supersônico, onde o som não pode se propagar rio acima ou contra a corrente, essa analogia se torna mais clara. Se um fluido é acelerado de um regime subsônico para um regime supersônico, ondas sonoras não conseguirão escapar da região supersônica e voltar para a região subsônica, permanecendo confinadas da mesma maneira que a luz é confinada em um buraco negro. O modelo físico que surge da interpretação dessa analogia ganha o nome sugestivo de “buraco mudo” (dumb hole). A fim de pôr esta analogia em terrenos matemáticos firmes, é necessário mostrar que a propagação do som em um fluido em movimento é descrita pela mesma equação que rege a propagação da luz em um espaço-tempo curvo, e isto é verdade sob certas condições que passaremos a discutir.
Na aproximação acústica-geométrica, um fluido é univocamente caracterizado pela sua ve-locidade vpt, xq em relação ao laboratório e a veve-locidade local do som cpt, xq em relação ao fluido. Usando nada mais do que a boa e velha soma de velocidades galileana, no referencial do laboratório, a equação de movimento das ondas sonoras é
dx
dt “ cn ` v, (26)
normalização nos leva a 1 c2 ˆ dx dt ´ v ˙ ¨ˆ dx dt ´ v ˙ “ 1, (27) ou seja, ´pc2´ v2qdt2´ 2v ¨ dxdt ` dx ¨ dx “ 0. (28)
Esta equação descreve o elemento de linha nulo de um raio de luz que se propaga em uma geometria curva. A partir desta condição, é possível extrair a forma geral do elemento de linha, ds2 “ Ω2r´pc2´ v2qdt2´ 2v ¨ dxdt ` dx ¨ dxs, (29)
a menos de um fator conforme Ωpt, xq, que não deve ser confundido com a vorticidade4.
Embora a derivação anterior seja absolutamente geral, i.e., válida para qualquer sistema no qual perturbações possam ser descritas pela aproximação eikonal, ela permite determinar somente a estrutura causal ou conforme do espaço-tempo. No intuito de determinar o fator conforme e obter a métrica acústica completa, é necessário escolher um sistema físico de interesse e demonstrar que, neste sistema, existe um campo φ e uma métrica gµν, tais que a dinâmica
de φ seja inteiramente descrita pela equação de Klein-Gordon em um espaço-tempo curvo (ver, por exemplo, [21, 22]): 1 a |g|Bµ ´a |g|gµνpt, xqBνφ ¯ “ 0, (30)
onde g é o determinante do tensor métrico gµν,
B0 “ B{Bt , (31)
Bi “ B{Bxi , i “ 1, ..., d, (32)
onde d é o número de dimensões espaciais. Definindo a densidade métrica
fµν ”a|g|gµν, (33)
a Eq. (30) toma a forma
Bµpfµνpt, xqBνφq “ 0. (34)
4Em uma variedade diferenciável M n-dimensional dotada de uma métrica g
µν de qualquer assinatura e sendo Ω uma função suave e estritamente positiva, então a métrica ˜gµν “ Ω2pt, xqgµν é dita ser obtida por uma transformação conforme, ou seja, uma transformação que representa uma mudança local de escala e que preserva ângulos.
Queremos agora demonstrar que ondas sonoras são descritas pela equação acima com uma escolha adequada da densidade métrica. Comecemos com a equação da continuidade
Btρ ` ∇ ¨ pρvq “ 0 (35)
e a equação de Euler na ausência de viscosidade e de forças externas
ρpBt` v ¨ ∇qv “ ´∇P. (36) Pela identidade v ˆ p∇ ˆ vq “ 1 2∇v 2 ´ pv ¨ ∇qv, (37)
a equação de Euler pode ser escrita como Btv “ ´ ∇P ρ ´ 1 2∇v 2 ` v ˆ p∇ ˆ vq. (38)
Nosso propósito é chegar na expressão da métrica acústica. Para isso, é preciso supor que o fluido é localmente irrotacional5, i.e., que a vorticidade ∇ ˆ v se anula. Isto implica que, localmente, v pode ser escrito como gradiente de uma função escalar, chamada de potencial de velocidade
v “ ´∇φ. (39)
Cabe salientar que φ é definido a menos de uma função do tempo [12]. A última hipótese que precisaremos é a de que o fluido seja barotrópico (ver Subseção 1.5), i.e., P “ P pρq. Sob essas condições a Eq. (21), em notação diferencial, fica
dh “ dP pρq ρ “ dP dρ dρ ρ . (40)
A última expressão pode ser trabalhada mais um pouco se lembrarmos que a velocidade das ondas sonoras em um meio contínuo é definida como
c ” d B ρ, (41) onde B ” ´V ˆ BP BV ˙ s (42) 5É suficiente que o fluxo seja irrotacional, de modo que potenciais de velocidade existem em um atlas de uma variedade M - o que nos possibilita lidar com filamentos de vórtices, onde a vorticidade é concentrada em um núcleo fino, contanto que não sondemos o núcleo em si devido à singularidade do campo de velocidades. Ou seja, a função φ não precisa ser definida globalmente.
é o módulo de compressão (bulk modulus) para um processo isentrópico. Uma simples aplicação da regra da cadeia nos leva a6
c ” d
dP
dρ. (44)
Integrando a Eq. (38) em relação a x e usando a Eq. (40) e a liberdade de calibre de φ para absorver a função do tempo que surge, obtemos a equação de Bernoulli
´Btφ `
1 2p∇φq
2
` h “ 0. (45)
Próximo passo é expandir as Eqs. (35) e (45) até primeira ordem em torno dos valores de fundo ρ0, p0 e φ0:
ρ “ ρ0` ρ1` Op2q, (46)
p “ p0` p1` Op2q, (47)
φ “ φ0` φ1` Op2q. (48)
Com isto, a componente de fundo (de longo alcance e que varia lentamente com o tempo) fica se-parada das perturbações acústicas de baixa amplitude7 e alta frequência (e curto comprimento
de onda), ou seja, o som.
Das Eqs. (35) e (45), com essas suposições físicas, as equações dinâmicas para as perturbações são
Btρ1` ∇pρ1v0´ ρ0∇φ1q “ 0, (49)
´Btφ1` h1´ v0¨ ∇φ1 “ 0. (50)
Usando a Eq. (40), obtém-se, a partir da condição barotrópica, h1 “ c2ρ1{ρ0, de forma que a
segunda equação fica
ρ1 “
ρ0
c2pBt` v0¨ ∇qφ1. (51)
6Levando em conta que ρ “ m{V e que a massa é conservada,
BP BV “ BP Bρ Bρ BV “ ´ ρ V BP Bρ. (43)
7Ondas sonoras de amplitude suficientemente alta devem ser tratadas por solução direta das equações com-pletas da mecânica dos fluidos.
Eliminando ρ1, a primeira equação fornece
rpBt` ∇ ¨ v0q
ρ0
c2pBt` v0¨ ∇q ´ ∇ ¨ ρ0∇sφ1 “ 0. (52)
Ou, escrita de forma mais conveniente,
´Bt ”ρ 0 c2pBtφ1` v0¨ ∇φ1q ı ` ∇ ¨ ” ρ0∇φ1´ ρ0 c2pBtφ1` v0¨ ∇φ1qv0 ı “ 0. (53)
Uma observação minuciosa revela que esta equação está na forma da Eq. (34) se identificarmos
fµν “ ρ0 c2 ¨ ˝ ´1 ´vT0 ´v0 c2Idˆd´ v0b vT0 ˛ ‚. (54)
A partir das propriedades dos determinantes e levando em conta o peso na definição das den-sidades tensoriais (ver Refs. [21, 23]), a Eq. (33) nos leva ao tensor métrico contravariante
gµν “ 1 c2 ´ρ 0 c ¯´2{pd´1q ¨ ˝ ´1 ´vT0 ´v0 c2Idˆd´ v0b vT0 ˛ ‚. (55)
A métrica acústica covariante é então obtida pela inversão de gµν usando, por exemplo, a
decomposição ADM8 de uma métrica Lorentziana (d ` 1) dimensional (ver [24], págs. 505-508):
gµν “ ´ρ 0 c ¯2{pd´1q ¨ ˝ ´pc2´ v02q ´vT0 ´v0 Idˆd ˛ ‚, (56)
que fornece o elemento de linha (29) em d “ 3, e o fator conforme Ωpt, xq “ˆ ρ0pt, xq
cpt, xq
˙1{pd´1q
. (57)
Alguns comentários breves são instrutivos sobre a métrica acústica efetiva (56). É possível mostrar [2] que, dadas as relações entre as quantidades que descrevem o fluido (potencial de velocidade, velocidade do som e densidade), o fluxo fica completamente determinado por duas quantidades (dois graus de liberdade, portanto), que podemos escolher como sendo φpt, xq e cpt, xq, visto que a equação da continuidade reduz os três graus de liberdade para dois. Mas, do ponto de vista da relatividade geral, a métrica mais geral possível é um tensor do tipo (0,2) simétrico em d ` 1 dimensões, tendo pd ` 1qpd ` 2q{2 componentes independentes, das quais podemos subtrair d ` 1 mudanças de coordenadas. Dessa maneira, há um total de dpd ` 1q{2
graus de liberdade por ponto no espaço-tempo. Isto significa que a métrica acústica serve para reproduzir todas as geometrias da RG apenas em 1 ` 1 dimensões, enquanto que para d ě 2 somente um subconjunto de métricas da totalidade de métricas da RG possui um análogo acústico (ver [2]).
Entretanto, em 1 ` 1 dimensões, o tensor métrico gµν não é bem definido por causa da
divergência do fator conforme quando d Ñ 1. Apesar disso, vimos que na descrição da dinâmica de um campo em um espaço-tempo curvo, o elemento fundamental que caracteriza a geometria não é o tensor covariante gµν, mas sim a densidade métrica contravariante fµν, que aparece
diretamente nas equações de campo (34). Conforme vimos, sua derivação não dependeu do valor específico de d e, consequentemente, este objeto é bem definido em um número arbitrário de dimensões. Isto nos permite analisar fenômenos relacionados à cinemática do campo, como a radiação Hawking (Seção 3.4.1), já que são bem definidos para qualquer valor de d. Cabe salientar que o problema surge para sistemas físicos que são intrinsicamente unidimensionais. Um sistema tridimensional com simetria planar, ou um sistema bidimensional com simetria linear, fornece um modelo bem comportado para simular geometrias em 1 ` 1 dimensões.
Ademais, a métrica acústica efetiva gµν surge de um espaço-tempo newtoniano dotado de
invariância galileana. As moléculas do fluido vivem um espaço-tempo plano com métrica min-kowskiana
ηµν ” pdiagr´c2, 1, 1, 1sqµν. (58)
De fato, o fluxo é completamente não-relativístico, de modo que v0 ! c, e é suficiente
dispor-mos da relatividade galileana. Ao passo que as perturbações (ondas sonoras) só “percebem” a métrica acústica gµν, satisfazendo a invariância de Lorentz local. No entanto, a geometria
determinada pela métrica acústica herda propriedades relevantes da existência de uma métrica plana subjacente. De fato, já que podemos usar o tempo no referencial do laboratório como coordenada temporal na descrição da métrica acústica, fica evidente que algumas propriedades causais (e.g. estabilidade causal [22, 25]) são herdadas do espaço-tempo newtoniano do labora-tório, e isso também implica que alguns espaços-tempos interessantes que sofrem de patologias causais (e.g. geometrias com curvas do tipo tempo fechadas [25]) não podem ser reproduzidas com um sistema análogo como esse. Entretanto, ainda é possível reproduzir espaços-tempos bem relevantes com estruturas causais não triviais, como horizontes e ergoregiões [2].
2.1.1 Espaço-tempo acústico estático
A fim de explorar mais a analogia acústica, é conveniente observar que um fluxo estacionário (i.e. as propriedades do fluido e a velocidade do fluxo não variam com o tempo) pode reproduzir um espaço-tempo estacionário. Neste caso, K “ KµB
µ, com Kµ “ p1, ~0q, é um vetor de
Killing [21] para a métrica acústica satisfazendo a equação em termos da derivada de Lie de gµν ao longo de K
LKgµν “ KαBαgµν` gανBµKα` gµαBνKα “ 0, (59)
onde usamos a condição de que, se Kµ é um vetor de Killing, então ele gera uma isometria da
métrica [21, 22]. Em termos da derivada covariante9 a equação acima equivale a
∇µKν ` ∇νKµ“ 0, (60)
conhecida como equação de Killing. A condição que identifica fluxos que correspondem a métricas estáticas não é tão direta. Uma métrica é dita estática se é estacionária e os termos cruzados entre coordenadas temporais e espaciais estão ausentes (ou seja, existe uma família de hipersuperfícies ortogonais ao vetor de Killing tipo tempo). Para mostrar isso, fazemos uma mudança de coordenadas na Eq. (29)
dT “ dt ` v ¨ dx
c2´ v2, (61)
de modo a escrever o elemento de linha como ds2 “ Ω „ ´pc2´ v2qdT2` ˆ δij ` vivj c2´ v2 ˙ dxidxj . (62)
A métrica nas novas coordenadas evidencia que ξ “ BT é um campo de Killing global tipo
tempo e que o espaço-tempo é estático. No entanto, essa mudança de coordenadas é definida de maneira correta somente se dT for integrável, ou seja, se dT for uma forma exata [21]. Isto quer dizer que deve ser possível encontrar uma função T pt, xq tal que ∇T “ v{pc2´ v2q, e isso nos leva a impor que
∇ ˆ „ v c2´ v2 “ 0, (63)
o que junto com a condição de que o fluido seja irrotacional (∇ ˆ v “ 0) implica que
v ˆ ∇|c2´ v2| “ 0, (64)
9A derivada covariante de uma 1-forma é definida como ∇
µων ” Bµων´ Γλµνωλ, onde Γλµν “ 1 2g λσ pBµgνσ` Bνgσµ´ Bσgµνq é o símbolo de Christofell.
i.e., v é paralelo a ∇|c2 ´ v2|. Note então que o espaço-tempo é estático no sentido dado ao termo em relatividade geral se a velocidade do fluxo for estacionária e normal às superfícies de pc2 ´ v2q “ cte.
2.2
RG no formalismo da analogia acústica
2.2.1 Horizontes e ergoregiões
Nesta seção, discutiremos como tratar buracos negros esfericamente simétricos e estáticos e buracos negros em rotação no contexto de modelos análogos. Uma referência que trata ainda sobre dobras espaciais (warp drives) nesse contexto e que prima pela concisão e elegância é Stefano Finazzi [26]. Entretanto, conceitos e quantidades típicos da RG como horizontes, ergoregiões e gravidade de superfície precisam ser analisados no formalismo da analogia acústica antes de investigarmos esses sistemas em detalhe.
Para sistemas análogos acústicos pode-se atribuir uma noção de sistema de referência privi-legiado dado pelas coordenadas espaciais e a coordenada temporal do laboratório, em contraste com os espaços-tempos em geral na RG. A métrica de Minkowski subjacente nos fornece, em particular, uma definção natural de “estar em repouso” com relação ao laboratório. Além disso, quando o fluxo é estacionário, o vetor de translação no tempo K “ Bt é um vetor de Killing
para o espaço-tempo emergente. É natural definir, portanto, uma ergoregião como aquela onde o vetor K se torna do tipo espaço e uma ergosuperfície como a superfície onde K é nulo. O quadrado da norma do vetor K, calculado a partir da métrica acústica (56), é
gµνKµKν “ gtt “ ´Ω2pc2´ v2q, (65)
mostrando que K se torna do tipo espaço para v ą c, ou seja, quando o fluxo é supersônico.10
Nesta região, o fluxo é tão intenso que ondas sonoras não conseguem se propagar “contra a correnteza”, e são arrastadas pelo fluido. O análogo desse comportamento em RG é a ergoesfera existente na geometria de Kerr para buracos negros em rotação. Na RG, nessa região o espaço “se move” mais rápido que a velocidade da luz e nada pode permanecer “em repouso” em relação a estrelas fixas, ainda que forças infinitamente intensas estejam em jogo [22, 24, 25].
10Daqui em diante, por economia, omitiremos o subescrito 0 da velocidade de fundo (do fluxo), a não ser que haja risco de confusão.
No contexto da relatividade geral, dentro do horizonte de eventos de um buraco negro, formalmente podemos dizer que os raios de luz emitidos na superfície de uma esfera envolvendo a singularidade, quer sejam emitidos para dentro ou para fora, acabam por se dirigirem sempre para dentro, atingindo assim a singularidade. Este é um exemplo de superfície de confinamento (trapped surface). A região de confinamento é então simplesmente definida como a região do espaço-tempo que contém todas as superfícies de confinamento e o horizonte de eventos aparente é a sua fronteira. O horizonte futuro de eventos do espaço-tempo temporalmente orientável e assintoticamente plano de um buraco negro é a fronteira da região do espaço-tempo da qual as geodésicas do tipo luz não podem escapar para o infinito plano. No contexto dos modelos análogos, os raios de som (fônons) seguem geodésicas do tipo luz do espaço-tempo acústico e é imediato definir a superfície de confinamento neste contexto como uma superfície fechada onde o fluxo v aponta para dentro com a componente normal à superfície sendo maior que a velocidade do som no meio. Além disso, o horizonte de eventos aparente H é a superfície onde a componente normal da velocidade do fluido é estritamente igual à velocidade local do som. Vê-se, portanto, que o horizonte H é a fronteira de um “buraco mudo”, i.e., o análogo de um horizonte negro (black horizon). Quando a direção da velocidade aponta para fora, temos o análogo de um horizonte branco. Nas seções que se seguem, trataremos somente de horizontes aparentes que coincidem, no entanto, com o horizonte de eventos quando a geometria é estacionária.
2.2.2 A gravidade de superfície
A coordenada temporal do laboratório permite definir, sem ambiguidade, a noção de gra-vidade de superfície. Em modelos análogos, é sempre possível definir a gragra-vidade de superfície com respeito ao campo vetorial K “ Bt, tanto no regime de fluxo estacionário (quando Bt é um
vetor de Killing) quanto no caso mais geral do regime não-estacionário. Isto vai de encontro ao que é feito na RG, onde é necessário identificar um vetor de Killing do tipo tempo que se torne nulo no horizonte de eventos.
Vamos nos limitar ao cálculo da gravidade de superfície gH no caso em que a métrica
acústica efetiva descreve um espaco-tempo estático (ver Ref. [19] para um tratamento mais geral). Isto representa um caso especial de espaço-tempo estacionário, de modo que K “ Bt
é um vetor de Killing e o fluido é estacionário. Como observado por Carroll [21], “em um espaço-tempo estático e assintoticamente plano, a gravidade de superfície é a aceleração de um observador estático próximo ao horizonte de eventos, medida por um observador estático no infinito”. Por observador estático entende-se um observador cuja quadrivelocidade, tangente à linha de mundo, é
uµ“ 1 V pxqK
µ. (66)
Impondo que a quadrivelocidade seja normalizada a uµu
µ“ ´1, a função V pxq é simplesmente
a magnitude do campo de Killing Kµ,
V pxq “ ||K|| “a´KµKµ“ Ω
?
c2´ v2. (67)
A quadriaceleração do observador é
aµ“ uν∇νuµ, (68)
que pode ser reescrita em termos de ||K||. Partindo da condição de normalização uµuµ“ ´1,
vemos que
∇νpuµuµq “ 0, (69)
o que resulta, pela regra de Leibniz, em
uµ∇νuµ “ 0. (70)
Inserindo a definição da quadrivelocidade, Eq. (66), na equação de Killing ∇µKν` ∇νKµ “ 0,
fornece
∇µpV quν ` V p∇µuνq ` ∇νpV quµ` V p∇νuµq “ 0. (71)
Multiplicando a equação anterior por uν, somando implicitamente no índice ν e levando em
conta a Eq. (70), a Eq. (71) se reduz a
´∇µpV q ` ∇νpV quµuν` V uνp∇νuµq “ 0. (72)
Multiplicando a equação anterior por uµ e somando implicitamente no índice µ, chegamos a
uµ∇µV “ 0. (73)
Voltando à Eq. (72) e utilizando a Eq. (73) e a Eq. (68), que define a quadriaceleração, chegamos finalmente à expressão da quadriaceleração em termos de ||K|| :
aµ “ ∇µlnp||K||q “
1 2
∇µ||K||2
A magnitude da aceleração,
||a|| “agµνaµaν “
a∇µ||K||∇µ||K||
||K|| , (75)
diverge no horizonte de Killing (ver Eq. (67)), e a gravidade de superfície é definida tomando o limite em que v Ñ c no horizonte,
gH” lim vÑc||K||||a|| “ 1 2 v ¨ ∇pc2´ v2q v ` Opc 2 ´ v2q, (76)
porque v é paralelo à ∇pc2 ´ v2q. Tipicamente a quantidade g
H será finita, ainda que seja o
produto de (||K||), que tende a zero, por p||a||q, que tende a infinito. Em termos da derivada normal, no horizonte obtemos
gH“ 1 2 Bpc2´ v2q Bn ˇ ˇ ˇ ˇ H , (77)
onde n é o versor normal ao horizonte, paralelo a v. Pela identidade c2´ v2 “ pcn ´ vqpcn ` vq
e v “ c no horizonte, obtém-se gH “ cH B|c ´ v| Bn ˇ ˇ ˇ ˇ H . (78)
Se as unidades forem tais que a gravidade superficial tenha dimensão de aceleração, então é a quantidade gH{cH, que tem dimensão de frequência, que é responsável por fixar a temperatura
do espectro de partículas emitidas no processo de evaporação Hawking (ver Apêndice A), e batizaremos, assim, essa quantidade de κ:
κ ” gH cH “ B|c ´ v| Bn ˇ ˇ ˇ ˇ H . (79)
O cálculo da gravidade de superfície no caso mais geral de um espaco-tempo acústico estacio-nário, onde o fluido não satisfaz à condição de integrabilidade, é mais complicado e fundamen-talmente nos leva a um resultado similar ao do caso estático [2]
gH“ cH B|c ´ vK| Bn ˇ ˇ ˇ ˇ H , (80)
onde vK “ n ¨ v é a componente da velocidade do fluido normal ao horizonte H.
2.2.3 Buracos negros estáticos
O cenário mais simples em que a métrica acústica efetiva pode ser útil para simular métricas em RG é o que descreve uma solução de vácuo esfericamente simétrica das equações de Einstein, i.e., a métrica de Schwarzschild. Ocorre que encontrar um análogo acústico não é tão simples,
e uma saída frequentemente implementada na literatura é encontrar um perfil de fluxo que case com a representação de Painlevé-Gullstrand [2] do espaço-tempo de Schwarzschild
ds2 “ ´ ˆ 1 ´ 2GM r ˙ dt2˘ c 2GM r drdt ` dr 2 ` r2pdθ2` sin2θ dϕ2q. (81)
Dada esta forma do elemento de linha, a suposição inicial e natural
c “ cte, (82) ρ “ cte, (83) v “ c 2GM r , (84)
que mapeia a métrica de Painlevé-Gullstrand na métrica acústica, é incompatível com a equação da continuidade para fluidos estacionários [∇ ¨ pρvq ‰ 0], condição utilizada na dedução da métrica acústica. O melhor que se pode fazer [2] é tomar c como independente da posição e, utilizando a equação da continuidade em coordenadas esféricas, deduzir que ρv 9 1{r2 ou, ainda, ρ 9 r´3{2. Desta maneira, o elemento de linha fica
ds29 r´3{2 » –´dt2` ˜ dr ˘ c 2GM r dt ¸2 ` r2pdθ2` sin2θ dϕ2q fi fl (85)
com o fator conforme fixado como
Ω29 r´3{2. (86)
E, assim, conseguimos simular um espaço-tempo conforme ao espaço-tempo de Schwarzs-child, de forma satisfatória para a análise da radiação Hawking, dada a invariância da gravidade de superfície e da temperatura Hawking sob transformações conformes.
Uma análise sobre estruturas causais, buracos negros em rotação e warp drives no forma-lismo da analogia acústica pode ser encontrada na Ref. [26].
Conforme observado na introdução, umas das principais motivações para investigar modelos análogos de gravitação é a possibilidade de simular fenômenos da teoria quântica de campos em espaços-tempos curvos, como a radiação Hawking e a produção cosmológica de partículas. Condensados de Bose-Einstein (BECs) serão o tema central da Parte III por serem um campo fértil de experimentação para investigação destes fenômenos. Em particular, discutiremos a recente observação por Steinhauer de radiação Hawking quântica e seu emaranhamento em um buraco negro acústico realizado em um condensado de Bose-Einstein atômico [10].
Parte III
Um campo de teste:
3
Condensados de Bose-Einstein
Esta seção é uma introdução à teoria de Bogolyubov sobre condensados de Bose diluídos aplicada ao estudo da emissão espontânea de fônons em um condensado estacionário que flui a velocidades supersônicas. O processo de emissão é um análogo em matéria condensada à radiação Hawking de buracos negros, porém a dedução é seguida a partir da teoria quântica microscópica do condensado sem qualquer uso da analogia com sistemas gravitacionais. Gases de Bose não-uniformes formam um excelente campo de teste por requererem temperaturas muito baixas, o que minimiza o ruído, já que o sinal esperado é muito fraco e por desenvolverem ondas sonoras cuja velocidade é suficientemente baixa para serem manipuladas em laboratório, mas capazes de criar regiões supersônicas.
A condensação de Bose-Einstein é caracterizada pela acumulação de uma fração macroscó-pica de partículas em um único estado quântico. Para isso, temperaturas extremamente baixas são necessárias (por volta de T “ 100 nK para as densidades típicas de gases atômicos ultra-frios em armadilhas óticas ou magnéticas), onde as partículas não são mais distinguíveis e suas estatísticas precisam ser levadas em conta.
Revisaremos, portanto, a equação de Gross-Pitaevskii que descreve a dinâmica do conden-sado, na abordagem de campo médio, e a descrição de Bogolyubov das flutuações sobre o condensado. Seguiremos de perto as Refs [27, 28].
3.1
As equações de Gross-Pitaevskii e de Bogolyubov-de Gennes
A hamiltoniana que descreve um sistema de muitos corpos composto de N bósons intera-gentes (no limite termodinâmico) em um potencial externo V pxq pode ser escrita no formalismo de segunda quantização [27] como
ˆ H “ ż d3x „ ~2 2m∇ ˆΨ :∇ ˆ Ψ ` V pxq ˆΨ:Ψ `ˆ g 2 ˆ Ψ:Ψˆ:Ψ ˆˆΨ , (87)
onde m é a massa dos átomos individuais e ˆΨpt, xq é operador de campo que aniquila um átomo na posição x e obedece às regras de comutação bosônica de tempos iguais
r ˆΨpt, xq, ˆΨ:
O primeiro termo do lado direito da Eq. (87) é o termo cinético, o segundo termo representa a interação com o potencial externo e o terceiro termo representa a interação de duas partículas. A hamiltoniana (87) é normalmente usada dentro da aproximação de gás diluído quando o potencial interatômico de dois corpos pode ser aproximado por um termo local V px ´ x1q “
gδp3q
px ´ x1q, com uma constante de acoplamento efetiva g relacionada com o comprimento de espalhamento átomo-átomo a pela relação (ver [27], págs 131-133)
g “ 4π~
2a
m . (89)
Quando uma fração significativa dos átomos condensa, torna-se útil expandir ˆΨ em uma função complexa Ψ0, chamada de parâmetro de ordem (valor esperado do operador ˆΨ em um estado
coerente), que descreve o condensado, além de um operador de campo ˆφ, que descreve as perturbações na densidade sobre o condensado
ˆ
Ψ “ Ψ0pI ` ˆφq. (90)
É conveniente, ainda, escrevermos o operador de flutuação relativo como ˆ φ ” ˆ Ψ ´ Ψ0 Ψ0 , (91)
satisfazendo a relação de comutação canônica r ˆφpt, xq, ˆφ:pt, xqs “ 1
ρ0pxq
δp3q
px ´ x1q, (92)
onde ρ0 ” |Ψ0pt, xq|2 é a densidade do condensado. Assumiremos que o condensado esteja no
regime estacionário, ou seja, que Ψ0 seja da forma (representação de Madelung) [27]
Ψ0pt, xq “ e´iµt{~
a
ρ0pxqeiθ0pxq, (93)
onde µ é o potencial químico, θ0pxq é a fase do parâmetro de ordem e a velocidade média dos
átomos do condensado é definida como
vpxq ” ~
m∇θ0pxq. (94)
Vamos pausar um momento e discutir brevemente as condições sob as quais as aproximações feitas são justificáveis. Em primeiro lugar, todo o tratamento é feito considerando o limite termodinâmico, i.e., que o número total de átomos seja grande o suficiente, visto que, somente neste caso, somos autorizados a lançar mão do conceito de condensação de Bose-Einstein. Em
segundo lugar, para substituir o operador de campo pelo seu correspondente clássico (parâmetro de ordem ou a função de onda do condensado) devemos supor que a condição de diluição [27] seja satisfeita, ou seja,
|a| ! ρ´1{30 , (95)
ou, equivalentemente,
ρ0|a|3 ! 1, (96)
e que a temperatura da amostra seja baixa o suficiente, permitindo-nos definir o operador número
ˆ N ”
ż
d3x ˆΨ:Ψ.ˆ (97)
Seguindo a abordagem de Leonhardt et al. [28], a hamiltoniana grande canônica é ˆ H ” ˆH ´ µ ˆN “ ż d3x „ ~2 2m∇ ˆΨ :∇ ˆΨ ` pV ´ µq ˆΨ:Ψ `ˆ g 2 ˆ Ψ:Ψˆ:Ψ ˆˆΨ . (98)
Expandindo agora a hamiltoniana ˆH até segunda ordem em ˆφ, ˆ
H “ H0I `Hˆ1` ˆH2, (99)
partindo da Eq. (90), obtemos, após algumas manipulações, H0 “ ż d3x „ ~2 2m∇Ψ ˚ 0∇Ψ0` V |Ψ0|2` g 2|Ψ0| 4 “ ż d3xΨ˚0 „ ´~ 2 2m∇ 2 ` V ` g 2ρ0 Ψ0, (100) ˆ H1 “ ż d3x „ ~2 2m∇ ´ Ψ˚ 0φˆ :¯∇Ψ 0` ~ 2 2m∇Ψ ˚ 0∇ ´ Ψ0φˆ ¯ ` V |Ψ0|2p ˆφ ` ˆφ:q ` g|Ψ0|4p ˆφ ` ˆφ:q “ ż d3xΨ˚ 0φˆ: „ ~2 2m∇ 2 ` V ` gρ0 Ψ0` c.h., (101) ˆ H2 “ ż d3x „ ~2 2m∇ ´ Ψ˚ 0φˆ :¯∇´Ψ 0φˆ ¯ ` V |Ψ0|2φˆ:φ `ˆ g 2p ˆφ :2 ` ˆφ2` 4 ˆφ:φqˆ “ ż d3xρ0 " ˆ φ: „ Tρ´ i~v ¨ ∇ ´ ~ 2 2m ∇2Ψ0 Ψ0 ` V ` 2gρ0 ˆ φ ` gρ0 2 p ˆφ 2 ` ˆφ:2 q * , (102) onde Tρ” ´ ~ 2m ∇ ¨ ρ0∇ ρ0 (103) é um operador diferencial de segunda ordem, conhecido como operador cinético, que se reduz ao operador cinético usual quando o condensado pode ser tratado como homogêneo.
Analogamente, uma expansão no operador ˆN pode ser feita partindo novamente da Eq. (90): N0 “ ż d3xρ0 (104) ˆ N1 “ ż d3xΨ0φˆ:` c.h. (105) ˆ N2 “ ż d3xρ0φˆ:φ.ˆ (106)
onde N0 é o número de bósons que sofreram condensação, enquanto que ˆN2 conta o número de
partículas fora da fase condensada. A equação de movimento de Heinsenberg para ˆΨ,
i~BtΨpt, xq “ r ˆˆ Ψpt, xq, ˆHs, (107)
também pode ser expandida na forma
i~BtΨ0 “ Ψ0rφ, ˆH1s (108)
i~Btφ “ r ˆˆ φ, ˆH2s ´ i~ ˆφ
BtΨ0
Ψ0
. (109)
A Eq. (108) fornece a equação de Gross-Pitaevskii, se utilizarmos a definição de ˆH1 e a relação
de comutação (92) i~BtΨ0 “ „ ´~ 2 2m∇ 2 ` V ` gρ0 Ψ0, (110)
que, para um condensado estacionário da forma (93), reduz-se a µ “ 1 2mv 2 ´ ~ 2 2m ∇2?ρ0 ρ0 ` V ` gρ0, ∇ ¨ pρ0vq “ 0, (111)
onde utilizamos a definição da velocidade média dos átomos do condensado (94) e a segunda equação é a equação da continuidade para um fluxo estacionário.
A equação dinâmica para a perturbação ˆφ: pode ser obtida definindo
δ ˆH ” ż d3xρ0 „ ´~ 2 2m ∇2Ψ 0 Ψ0 ` V ` gρ0 ˆ φ:φ “ µˆ ż d3xρ0φˆ:φ “ µ ˆˆ N2, (112)
onde foram usadas as Eqs. (110), (93) e (106). Dessa forma, obtemos i~ ˆφBtΨ0 Ψ0 “ ˆφ „ ´~ 2 2m ∇2Ψ 0 Ψ0 ` V ` gρ0 “ r ˆφ, δ ˆHs, (113)
e a Eq. (109) pode ser reescrita na forma
onde ˆ H2 ” ˆH2´ µ ˆN2 “ ż d3xρ0 ! ˆ φ: rTρ´ i~v ¨ ∇ ` gρ0s ˆφ ` gρ0 2 p ˆφ 2 ` ˆφ:2 q ) (115)
A equação de Bogolyubov-de Gennes (BdG) é imediatamente obtida, lançando mão das propriedades do comutador, a partir da Eq. (114), que é obedecida pela perturbação ˆφ de maneira linear
i~Btφ “ rTˆ ρ´ i~v ¨ ∇ ` mc2s ˆφ ` mc2φˆ:, (116)
onde
c2pxq ” gpxqρ0pxq
m (117)
é a velocidade do som. Observemos que a perturbação ˆφ na Eq. (116) se acopla ao condensado somente através do módulo da velocidade média v e da velocidade do som c.
3.1.1 Limite de Thomas-Fermi
Se a densidade do gás varia lentamente de ponto a ponto em relação ao tempo de propagação do som no meio (condensado homegêneo), então o potencial quântico ´ p~2{2mq`∇2?ρ
0{ρ0
˘
pode ser desprezado na equação de Gross-Pitaevskii (111) (limite ou aproximação de Thomas-Fermi), resultando em
µ “ 1 2mv
2
` V ` gρ0, (118)
e a equação de BdG (116) é resolvida no espaço dos momentos, usando a expansão em modos do campo ˆ φpt, xq “ ż d3k a p2πq3ρ0 ” e´iωt`ik¨xu kˆak` e`iωt´ik¨xvk˚ˆa : k ı , (119)
onde as constantes uk e vk são conhecidas como coeficientes de Bogolyubov satizfazendo a
condição de normalização [27] |uk|2´ |vk|2 “ 1 (120) e os operadores ˆak satisfazem rˆak, ˆa:k1s “ δp3qpk ´ k 1 q. (121)
Desso modo, a Eq. (116) se desacopla em „ ~pω ´ v ¨ kq ´ ˆ ~2k2 2m ` gρ0 ˙ uk“ gρ0vk, (122)
„ ~pω ´ v ¨ kq ` ˆ ~2k2 2m ` gρ0 ˙ vk “ ´gρ0uk. (123)
Ou, em forma matricial, ¨ ˝ ~pω ´ v ¨ kq ´ ´ ~2k2 2m ` gρ0 ¯ ´gρ0 gρ0 ~pω ´ v ¨ kq ` ´ ~2k2 2m ` gρ0 ¯ ˛ ‚ » – uk vk fi fl “ 0 (124)
Impondo que o sistema de equações acima tenha solução não trivial, obtemos a relação de dispersão pω ´ v ¨ kq2 “ c2k2` c 4k4 Λ2 ” Ω 2 pkq, (125)
onde Ω é a frequência no referencial comóvel à perturbação e Λ ” 2mc
2
~
(126) é chamado de “healing frequency” do condensado, que fornece a escala dispersiva característica, e está relacionado ao parâmetro fundamental conhecido como “healing length” [27, 29]
ξ “ ?~
2mc “
? 2c
Λ , (127)
que representa uma distância característica na qual a amplitude do parâmetro de ordem (Ψ0)
varia. No fundo, nada mais é do que o comprimento de onda acústico de Compton dos átomos. É fácil ver que, quando Λ Ñ 8, a Eq. (125) se reduz à conhecida equação de dispersão fonônica Ω2 “ c2k2.
Podemos, por fim, resolver o sistema de equações anterior para as funções uk e vk, fixadas
pela condição de normalização (120), e encontrar (a menos de uma fase) uk “ 1 ? 1 ´ Dk , (128) vk “ Dk ? 1 ´ Dk , (129) onde Dk ” vk uk “ ~pω ´ v ¨ kq ´ p~ 2k2 {2m ` gρ0q gρ0 “ 1 mc2 « ~ c c2k2`~ 2k4 4m2 ´ ~2k2 2m ´ mc 2 ff . (130)
3.2
A métrica acústica
A propagação dos fônons como perturbação do condensado, sob certas condições, pode ser muito bem descrita pelo formalismo da teoria quântica de campos em espaços-tempos curvos.
Isso significa que a equação de BdG (116), que rege a dinâmica das perturbações, pode ser reescrita como uma equação de Klein-Gordon
1 a
|g|Bµp a
|g|gµνpt, xqBνφq “ 0,ˆ (131)
Ou, equivalentemente, como vimos na Seção 2.1,
Bµpfµνpt, xqBνφq “ 0.ˆ (132)
A noção de métrica acústica em BECs é obtida a partir da Eq. (116) e sua conjugada hermitiana:
ri~pBt` v ¨ ∇q ´ Tρ´ mc2s ˆφ “ mc2φˆ:, (133)
ri~pBt` v ¨ ∇q ` Tρ` mc2s ˆφ: “ ´mc2φ.ˆ (134)
Eliminando agora ˆφ:, obtém-se
ri~pBt` v ¨ ∇q ` Tρ` mc2s
1
c2ri~pBt` v ¨ ∇q ´ Tρ´ mc 2
s ˆφ “ ´m2c2φ.ˆ (135) Desenvolvendo a equação anterior, fica
ri~pBt`v ¨∇q`Tρs
1
c2ri~pBt`v ¨∇q´Tρs ˆφ`r´i~pBt`v ¨∇q´Tρsm ˆφ`ri~pBt`v ¨∇q´Tρsm ˆφ “ 0,
(136) que, usando a definição do operador cinético Tρ da Eq. (103), torna-se
ri~pBt` v ¨ ∇q ` Tρs 1 c2ri~pBt` v ¨ ∇q ´ Tρs ˆφ ` ~2 ρ0 ∇ρ0∇ ˆφ “ 0. (137)
Vemos que da Eq. (116) se infere imediatamente a Eq. (137), mas o contrário não é necessa-riamente verdade.11 Notemos também que a Eq. (137) contém apenas derivadas de primeira ordem. Entretanto, como estamos interessados na métrica que descreve a propagação do campo relativo, que pode ser obtida da equação de Klein-Gordon modificada em um espaço-tempo curvo, algumas aproximações devem ser efetuadas para podermos desprezar derivadas de mais alta ordem e obtermos uma equação diferencial de segunda ordem:
1. todas as quantidades de fundo devem variar lentamente no espaço e no tempo em escalas comparáveis ao comprimento de onda e ao período da perturbação, respectivamente. Em termos do número de onda kpxq, esta condição se lê como
ˇ ˇ ˇ ˇ Bxiρ ρ ˇ ˇ ˇ ˇ! |ki| ˇ ˇ ˇ ˇ Bxivj vj ˇ ˇ ˇ ˇ! |ki|; (138) 11Similarmente, em teoria quântica de campos, da equação de Dirac se infere a equação de Klein-Gordon para o elétron, mas não o contrário.
2. o termo quártico na equação da dispersão generalizada (125), visto como função de x, Ω2pxq “ rω ´ vpxq ¨ kpxqs2 “ c2pxqk2pxq ` ~
2k2
pxq
4m2 , (139)
com ω constante, visto que o condensado é estacionário, deve ser desprezado em relação ao termo de segundo grau, ou seja,
k2pxq ! 4m 2c2 pxq ~2 “ Λ2 pxq c2pxq “ 2 ξ2pxq, (140) ou ainda λpertpxq " ξpxq, (141)
isto é, o comprimento de onda da perturbação deve ser bem maior que o healing length do condensado.
Quando essas duas condições são satisfeitas, o potencial quântico (ou operador cinético) pode ser desprezado na Eq. (137), que fica, portanto,
ρ0pBt` v ¨ ∇q
1
c2pBt` v ¨ ∇q ˆφ ´ ∇ ¨ pρ0∇ ˆφq “ 0. (142)
Usando a equação da continuidade
Btρ0` ∇ ¨ pρ0vq “ 0, (143)
obtemos
pBt` ∇ ¨ vq
ρ0
c2pBt` v ¨ ∇q ˆφ ´ ∇ ¨ pρ0∇ ˆφq “ 0, (144)
que pode ser reescrita de uma forma mais elucidativa:
´Bt ”ρ 0 c2pBtφ ` v ¨ ∇ ˆˆ φq ı ` ∇ ¨ ” ρ0∇ ˆφ ´ ρ0 c2pBtφ ` v ¨ ∇ ˆˆ φqv ı “ 0. (145)
A Eq. (145) está exatamente na forma procurada da Eq. (132) se indentificarmos
fµν “ ρ0 c2 ¨ ˝ ´1 ´vT ´v c2 Idˆd´ v b vT ˛ ‚. (146) Da equação fµν ”a|g|gµν, (147) a |g| “ detpfµνq1{pd´1q “ˆ ρ d`1 0 c2 ˙1{pd´1q (148)
e
gµν “
a
|g|fµν. (149)
Seguindo os arqumentos da Seção 2.1, da Eq. (146), temos
fµν “ 1 ρ0 ¨ ˝ ´pc2´ v2q ´vT ´v Idˆd ˛ ‚, (150)
donde finalmente obtemos a métrica acústica efetiva
gµν “ ´ρ 0 c ¯2{pd´1q ¨ ˝ ´pc2´ v2q ´vT ´v Idˆd ˛ ‚. (151)
3.3
Métricas cosmológicas
Mostraremos agora, como aplicação direta, como a métrica acústica (151), pode reprodu-zir cenários cosmológicos. O interesse neste tipo de métrica acústica é principalmente moti-vado pela análise de criação de partículas em universos em expansão ou contração (ver Apên-dice A) [30].
A partir da métrica acústica definida pela Eq. (151), o elemento de linha é obtido através da relação matricial
ds2 “ dXTGdX “ ρ cr´pc
2
´ v2qdt2´ 2v ¨ dxdt ` dx ¨ dxs, (152)
onde G é a matriz definida por (151), ρ é densidade de fundo 12 e
X “ » – t x fi fl. (153)
É possível reproduzir a métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW), que descreve um universo homogêneo, isotrópico e em expansão ou contração [21, 22], de duas maneiras: al-terando a velocidade v do fluido13 ou mantendo o fluido em repouso e alterando somente a velocidade de propagação do som. Expressando o elemento de linha da Eq. (152) em coorde-nadas esféricas,
ds2 “ ρ cr´pc
2
´ v2qdt2´ 2v ¨ drdt ` dr2` r2dΩ2s, (154)
12Suprimimos o subescrito 0 de ρ por simplicidade de notação.
