Capítulo 1 - Modelagem Matemática

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Capítulo 1 - Modelagem Matemática

Prof. Samir Martins UFSJ-CEFET/MG

Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica - PPGEL

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Modelagem Matemática

I Área do conhecimento que estuda maneiras de desenvolver e implementar modelos matemáticos de sistemas reais.

I Modelagem caixa branca → modelagem baseada na física (ou

natureza) do processo - modelagem fenomenológica ou conceitual.

I Identificação de Sistemas → alternativa à modelagem caixa

branca. Modelagem caixa preta, baseada em dados experimentais coletados.

(3)

Modelagem Matemática

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Modelagem Matemática

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Modelagem Matemática

(6)

Conceitos básicos

I O que é um modelo?

I Para que serve um modelo?

(7)

Conceitos básicos

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Conceitos básicos

(9)

Considerações frequentemente feitas em modelagem

I Linearidade → princípio da superposição.

I Invariância no tempo → dinâmica que rege a evolução

temporal é sempre a mesma.

I Concentração de parâmetros → as variáveis de interesse

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Considerações frequentemente feitas em modelagem

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Considerações frequentemente feitas em modelagem

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Linearidade em um sistema estático

Considere o sistema estático:

y = 5x . (1)

I Se x1=2 → y1=10; I Se x2= −3 → y2= −15;

Então, se x3=4x1+5x2= −7 → y3=4y1+5y2= −35.

Ainda, y3=5x3= −35. Portanto, o sistema é linear.

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Linearidade em um sistema dinâmico

Considere o seguinte sistema dinâmico: 5u(t)dy

dt +y (t) − 10u(t) = 0. (2) O sistema apresentado pela equação 11não é linear. Um sistema

linear equivalente é τdy

(14)

Invariância temporal

Seja: y (t) = sen(u(t)). (4) Para u1(t) → y1(t) = sen(u1(t)). Para u2(t) = u1(t − t0): y2(t) = sen(u2(t)) = sen(u1(t − t0)) y1(t − t0) = sen(u1(t − t0)) (5)

(15)

Invariância temporal

Seja: y (t) = tu(t). (6) Para u1(t) → y1(t) = tu1(t). Para u2(t) = u1(t − t0): y2(t) = tu2(t) = tu1(t − t0) y1(t − t0) = (t − t0)u1(t − t0). (7)

(16)

Sistema a parâmetros distribuídos

I Considere uma viga presa ao teto com a extremidade inferior livre.

I A posição de qualquer parte da viga é determinada pela distância x ao teto.

I Na extremidade livre é aplicado um conjugado. O ângulo de torção θ dependerá da posição e do tempo, conforme:

∂2_θ ∂x2 =K

∂2_θ

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Sistema a parâmetros distribuídos

∂2_θ ∂x2 =K

∂2_θ

(18)

Sistema a parâmetros distribuídos

∂2_θ

∂x2 =K

∂2_θ

(19)

Tipos de modelos

I Modelos estáticos e dinâmicos.

I Modelos discretos e contínuos.

I Modelos autônomos e não autônomos

I Modelos monovariáveis e multivariáveis

I Modelos determinísticos e estocásticos

(20)

Tipos de modelos

(21)

Tipos de modelos

(22)

Tipos de modelos

(23)

Tipos de modelos

(24)

Tipos de modelos

(25)

Modelo discreto de um sistema biológico

Considere uma população de besouros, cuja dinâmica é descrita por:

L(k + 1) = νB(k ), C(k + 1) = L(k )[1 − µl],

B(k + 1) = C(k )[1 − µc] +B(k )[1 − µb]; (9)

em que L é a população de larvas, C é o número de casulos, B é o número de besouros, ν a taxa de natalidade, µl, µc e µbas taxas de

(26)

Modelo Não Autônomo de um Sistema Biológico

Seja A(k ) a quantidade de agrotóxico aspergido por m2_:

L(k + 1) = νB(k ),

C(k + 1) = L(k )[1 − µl − µaA(k )],

B(k + 1) = C(k )[1 − µc] +B(k )[1 − µb]; (10)

sendo µaa taxa de mortalidade devida exclusivamente à ação do

(27)

Modelos Monovariáveis e Multivariáveis

Modelo monovariável (SISO - Single Input, Single Output):

τdy

dt +y (t) − Ku(t) = 0. (11)

Modelo da população de besouros → pode ser interpretado como um modelo multivariável.

(28)

Modelos Determinísticos e Estocásticos

Modelo determinístico: L(k + 1) = νB(k ), C(k + 1) = L(k )[1 − µl], B(k + 1) = C(k )[1 − µc] +B(k )[1 − µb]; (12) Modelo estocástico L(k + 1) = νB(k ), C(k + 1) = L(k )[1 − µl],

(29)

Modelos Paramétricos e Não Paramétricos

O modelo abaixo é paramétrico: H(s) = 1

s2₊_{0,4s + 1}, (14)

(30)

Modelos Paramétricos e Não Paramétricos

(31)

Modelos Paramétricos e Não Paramétricos

(32)

Representações de modelos lineares

I Função de transferência: transformada de Laplace da resposta ao impulso (h(t)) do sistema. Para um sinal x (t):

X (s) = L{x(t)} = Z ∞ 0 x (t)e−stdt x (t) = L−1{X (s)} = 1 2πj Z σ+j∞ σ−j∞ X (s)est_ds, ₍₁₅₎

sendo s = σ + jω. A transformada de Fourier de h(t) é H(jω), e define a resposta em frequência do sistema

(33)

Representações de modelos lineares

I No caso discreto, utiliza-se a transformada Z, definida por:

X (z) = Z{x(k )} = k =∞ X k =−∞ x (k )z−k x (k ) = Z−1{X (z)} = 1 2πj I X (z)zk −1dz. (16)

(34)

Representação em espaço de estados

I Em espaço de estados, um sistema linear contínuo pode ser representado por:

˙x = Ax + Bu

y = Cx + Du. (17)

I Para o caso discreto:

(35)

Modelos Discretos

I Modelos AR (Auto Regressivo) e ARX (Auto Regressivo com entrada eXógena)

y (k ) = a1y (k − 1) + a2y (k − 2) + · · · + anyy (k − ny) y (k ) = a1y (k − 1) + · · · + anyy (k − ny) +

b1u(k − 1) + · · · + bnuu(k − nu) (19)

I Modelo ARX de um conversor CC-CC buck:

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Modelos Discretos

I Função de transferência em tempo discreto: H(z) =0,01075z

2₊_{0,2151z + 0,1075}

z2_{− 1,6129z + 0,8280} (21)

(37)

Modelos discretos

I Modelo autônomo da população de besouros em espaço de estados:   L(k+1) C(k+1) B(k+1)  =   0 0 ν 1 − µl 0 0 0 1 − µc 1 − µb     L(k ) C(k ) B(k )   (22)

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Modelos discretos

I Modelo não autônomo da população de besouros em espaço de estados:   L(k+1) C(k+1) B(k+1)   =   0 0 ν 1 − µl 0 0 0 1 − µc 1 − µb     L(k ) C(k ) B(k )     0 −L(k )µa 0  A(k ) (23)

(39)

Estimação de Parâmetros

I Potenciômetro para medição de deslocamento angular.

(40)

Estimação de Parâmetros

I Estimação de parâmetros é uma etapa que sucede a escolha da função a ser estimada ˆf(·);

I Neste exemplo, ˆf(·) é linear nos parâmetros θ1e θ2. I ˆf (·) pode ser decomposta na forma:

y = [1x ] θ1 θ2 (24)

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Estimação de Parâmetros

I E se utilizássemos apenas dois pontos?

I Tomando (x1,y1) = (144,0; 0,098) e (x2,y2),(158,4; 0,109), sabendo que: y1 = θ1+x1θ2; y2 = θ1+x2θ2; (25) tem-se 0,098 = 1 144,0 θ1 (26)

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Estimação de Parâmetros

I Ou ainda: θ1 θ2 = 11,00 −10,00 −0,069 0,069 0,098 0,109 = −1,200 × 10−2 7,639 × 10−4 (27)

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Estimação de Parâmetros

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Modelagem Baseada na Física do Processo

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Modelagem Baseada na Física do Processo

Considerações simplificadoras:

I Sistema a parâmetros concentrados;

I Perda de carga dentro dos dutos desprezada;

I Área do tanque constante;

I Dinâmica do inversor e conjunto moto-bomba desprezada;

I Água incompressível e com peso específico constante;

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Modelagem Baseada na Física do Processo

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Modelagem Baseada na Física do Processo

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Modelagem Baseada na Física do Processo

(49)

Modelagem Baseada na Física do Processo

(50)

Modelagem Baseada na Física do Processo

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Modelagem Baseada na Física do Processo

I Partindo de:

dm

dt = ωi− ωo, (28) Como m = V ρ e a área do tanque é constante:

m = Ahρ, (29)

sendo ρ a massa específica, h a altura e ωi, ωoas vazões mássicas.

De (28):

ρAdh

dt = qiρ −qoρ dh q − q

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Modelagem Baseada na Física do Processo

I Utilizando a equação de Bernoulli:

q = k √

∆P, (31)

I Para a tubulação de saída: qo=ko

p

P − Patm (32)

(53)

Modelagem Baseada na Física do Processo

q = k √

∆P, (31)

p

P − Patm (32)

(54)

Modelagem Baseada na Física do Processo

q = k √

∆P, (31)

p

P − Patm (32)

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Modelagem Baseada na Física do Processo

I Utilizando γ (peso específico da água), pode-se escrever: P = γh + Patm (34) dh dt = ki √ Pb− γh − Patm− ko √ γh A (35)

Pela geometria do tanque, aproxima-se:

I A = 2,5m2_;

I Patm =10.300kgf /m2; I γ =1000kgf /m3_. I

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Modelagem Baseada na Física do Processo

Figura 7:Relação entre sinal de comando do inversor e pressão na saída da bomba. Dados (x) e reta aproximada (–)

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Modelagem Baseada na Física do Processo

I A saída de água se encontra a 0,114m do fundo.

I Determinação de constante K que, adicionada ao modelo, resultará em dh/dt=0, quando h=0. I Substituindo h=0 na equação 35: dh dt = kipPb∗− Patm A +K = 0 (37) K = −kipP ∗ b− Patm A (38)

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Obtençaõ de k

i

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Obtenção de k

i

I Para o duto de entrada:

qi = −1,87 × 10−2+5,60 × 10−4 p Pb− γh − Patm (39) Então: ki = dqi d√Pb− γh − Patm = 5,60 × 10−4m4_{/s(kgf )}1/2 ₍₄₀₎

(60)

Obtençaõ de k

o

(61)

Obtenção de k

o

I Para o duto de saída:

qo=1,59 × 10−2+3,06 × 10−5 p γh + 6,26 × 10−6γh, (41) Então: k0 = dqi d√γh = 3,06 × 10−5+1,25 × 10−5pγh m4/s(kgf )1/2 (42)

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O modelo pela física do processo

Tem-se então um modelo do processo:

dh dt = 5,60 × 10−4_{p3554,9 + 682,8u(t) − 1000h − 10300} A −(3,06 × 10 −5₊_{1,25 × 10}−5√_1000h)√_1000h A −0,014 (43)

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Validação do Modelo

Figura 10:Resposta do nível a uma variação em degrau em u(t). Dados medidos (- -) e modelo (–). Os picos são devidos ao ruído no processo de

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Sintonia do Modelo

I O modelo obtido precisa ser sintonizado para melhor representar o processo.

I Ajuste da constante de tempo → ˙h = 0,4 ˙h.

I Ajuste do ganho → aumentar a amplitude do degrau de entrada de 16,34mA a 17,05mA, visto pelo modelo, para 16,34mA a 1,012 × 17,05mA

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Sintonia do Modelo

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Sintonia do Modelo

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Validação do Modelo Sintonizado

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Quão Gerais São Estes Ajustes?

Figura 12:Resposta do nível a uma variação em degrau na entrada,

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Identificação de Sistemas

I Procedimento alternativo que propõe a obtenção de um modelo matemático que relacione causa e efeito presente nosdados. I Espera-se, observando dados experimentais, responder à

pergunta:

Que modelo há que, ao ser excitado pela entrada u(k ), resulta na saída y (k )?

(70)

Identificação de Sistemas - etapas

I Testes dinâmicos e coleta de dados;

I Escolha da representação matemática a ser utilizada;

I Determinação da estrutura do modelo;

I Estimação de parâmetros;

(71)

Identificação de Sistemas - etapas

(72)

Identificação de Sistemas - etapas

(73)

Identificação de Sistemas - etapas

(74)

Identificação de Sistemas - etapas

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Simulação de Modelos

I Avaliação do desempenho de modelos → simulação.

I Simulação de modelos contínuos → solução de equações diferenciais do tipo ˙x = f (x ,t);

I A aproximação explícita de Euler é dada por: ˙x(tk) ≈=

x (k + 1) − x (k )

T (44)

I A aproximação implícita de Euler é dada por: ˙x(tk) ≈=

x (k ) − x (k − 1)

(76)

Simulação de Modelos

I As aproximações de Euler resultam em: Explícita:

x (k ) = x (k − 1) + Tf (x (k − 1),tk −1), (46)

Implícita:

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Simulação de Modelos - Exemplo

Para ˙x = −6x + 5e−t_{, com T = 0,3, a aproximação explícita de Euler}

resulta em:

x (k ) = x (k − 1) + 0,3(−6x (k − 1) + 5e−tk −1_). ₍₄₈₎

I Escolhe-se uma condição inicial x (0);

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Validação de Modelos - Runge-Kutta

Um dos algoritmos de simulação mais utilizados para simular modelos contínuos. A = f (x (k − 1),tk −1) B = f x (k − 1) +T 2A,tk −1+ T 2 C = f x (k − 1) +T 2B,tk −1+ T 2 D = f (x (k − 1) + TC,tk −1+T ) x (k ) = x (k − 1) +T (A + 2B + 2C + D) . (49)

(79)

Simulação de Modelos Discretos

I Não requer nenhum algoritmo especial.

I Simulação de um modelo ARX de um conversor CC-CC buck: O modelo

y (k ) = 1,7649y (k − 1) − 0,8027y (k − 2) + 0,8661u(k − 3) −0,73578u(k − 1) + 0,07513u(k − 2) + ξ(k ) (50) pode ser simulado:

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Simulação de Modelos Discretos

I Simulação de um modelo ARX de um conversor CC-CC buck:

O modelo

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Simulação de Modelos Discretos

I Simulação de um modelo ARX de um conversor CC-CC buck: O modelo

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Simulação de Modelos Discretos

I Admitindo condições iniciais y (1) = y (2) = 14V ;

I Entrada u(0) = u(1) = 2,3V , u(2) = u(3) = 2,4V

y (3) = 1,7649(14) − 0,8027(14) + 0,8661(2,3) −0,73578(2,4) + 0,7513(2,3) = 13,8698; (51) y (4) = 1,7649(13,8698) − 0,8027(14) + 0,8661(2,3) −0,73578(2,4) + 0,7513(2,4) = 13,6474; (52) y (5) = 1,7649(13,6474) − 0,8027(13,8698) + 0,8661(2,4) −0,73578(2,3) + 0,7513(2,4) = 13,5197; (53)

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Simulação de Modelos Discretos

I Entrada u(0) = u(1) = 2,3V , u(2) = u(3) = 2,4V

y (3) = 1,7649(14) − 0,8027(14) + 0,8661(2,3) −0,73578(2,4) + 0,7513(2,3) = 13,8698; (51) y (4) = 1,7649(13,8698) − 0,8027(14) + 0,8661(2,3) −0,73578(2,4) + 0,7513(2,4) = 13,6474; (52) y (5) = 1,7649(13,6474) − 0,8027(13,8698) + 0,8661(2,4) −0,73578(2,3) + 0,7513(2,4) = 13,5197; (53) .. ..

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Simulação de Modelos Discretos

I Entrada u(0) = u(1) = 2,3V , u(2) = u(3) = 2,4V

y (3) = 1,7649(14) − 0,8027(14) + 0,8661(2,3) −0,73578(2,4) + 0,7513(2,3) = 13,8698; (51) y (4) = 1,7649(13,8698) − 0,8027(14) + 0,8661(2,3) −0,73578(2,4) + 0,7513(2,4) = 13,6474; (52) y (5) = 1,7649(13,6474) − 0,8027(13,8698) + 0,8661(2,4) −0,73578(2,3) + 0,7513(2,4) = 13,5197; (53)

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