Modelos de populações finitas e máxima verossimilhança restrita no problema de estimativas negativas para componentes de variância

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(1)MODELOS DE POPULAÇÕES FINITAS E MÁXIMA VEROSSIMILHANÇA RESTRITA NO PROBLEMA DE ESTIMA TIVAS NEGATIVAS PARA COMPONENTES DE VARIÂNCIA. Orientador:. Prof. Dr. Décio Barbin. Dissertaçao opresentoda õ Escola Supe rior de Agricultura -Luiz de Queiroz .. , da universidade de sõo Pauto, para obt.ençao do t.ttul..o de M&st. re em Agronomia. Área de Concentraçõo: .Estot istica e Ex per ;, ment ação Agronõmi. ca.. p I R A. e I e A B. A. Estado de São Paulo - Brasil Maio - 1991.

(2) Ficha catalográfica preparada pela Seção de Livros da Divisão de Biblioteca e Documentação - PCAP/USP F363m. Fernandez, Dinara Westphalen Xavier Modelos de populações finitas e máxima verossimi lhança restrita no problema de estimativas negativas para componentes de variância, Piracicaba, 1991, rt9P• ilus. Diss,(Mestre) - ESALQ Bibliografia, 1, Análise de variância - Componente 2, Estatística matemática aplicada 3. Estimativa negativa 4. Método da máxima verossimilhança restrita 5, Modelo matemático 6. População finita - Modelo matemático I. Escola Sup� rior de Agricultura "Luiz de Queiroz", .Piracicaba CDD. 519,535.

(3) MODELOS DE POPULACóES FINITAS E MAX1MA VEROSSIMILHANÇA RESTRITA NO PROBLEMA DE ESTIMA TIVAS NEGATIVAS. PARA COMPONENTES DE VARIÂNCIA. Aprovada em:. 11.0ô. 91. Comissão Julgadora: Prof.. Dr.. Décio Barbin. ESALQ./USP. Prof6 Dr .li. Maria Crist-ina St.olf Nogueira.. ESftl....Q./USP. Prof.. IM./UFRGS. Dr.. João Riboldi. Prof.. Dr.. Décio Barbin. Or í ent-ador.

(4) ii.. Dedico, com carinho,. A meus pais, Diva e Dinarte. pela força de enfrentar desafios e constante est ímul.o.. A meu esposo Dirney e minha filha Dierê, pelo encor.ajamento e por iluminar todos os momentos, provando que a distância é nula quando existe amor..

(5) iii. A G R A D E ç O:. Ao Pro.f. ment.o amigo,. de. Mat.emát.ica. e. Dr.. Décio Barbin,. Est.at.íst.ica. da. Che.fe do Depart.a-. ESALQ/USP,. mest.re. e. pela dedicação, permanent.e est.ímulo, e valiosa orien-. t.ação. ftDS. docent.es do Curso de Pós-Graduação em Es-. t.at.íst.ica e Experiment.ação Agronômica da ESALQ/USP, pelo conheciment.o Pr o.f.. e. experiência. t.ransmit.idos,. ao. Dr . Humber t.o de Campos, pel a r ecept.i vi dade. Às Pro.fessora~. t.rio e. especialment.e,. Or~. Or~. Clari~e. Garcia. B~rges. Demé~. Maria Crist.ina St.ol.f Nogueira. pelas sugest.ões. Ao. Pro.f.. Ant.onlo. Or.. Fr ancl sco. I emma,. peI a. at.enção. Ao Pro.f.. ment..o. de. Est.at.í st.i ca. Dr. da. ~Toão. Ri boI di ,. UFRGS,. pelo. Chefe do Depart.a-. const.ant.e. i ncent.i vo,. eficient.e colaboração e amizade. A Direção do Inst..it.ut.o de Mat.emát.ica da UFRGS e aos colegas do Depart.ament.o de Est.at.íst.ica. pela con.fiança deposi t.ada e, em especial, aos Professores Luiz· Glock e Silvio Possoli, pelo apoio e. A CAPES,. anúzade.. pel a. concessão da boI sa. de. est. udos. através do PICD. Aos funcionários do Depart.ament.o de Mat.emát.ica e Est.at-í st.l ca da ESALQ/USP e UFRGS,. do I nst.i t.ut.o de Mat.emát.i ca da. pela cooperação e mani.fest.ação de solidariedade..

(6) i v.. Aos. colegas. convivência saudável, da Si 1 vei r a, Sandoval, crescer. com a. Curso. de. Pós-Graduação,. pela. part.icularmenle à Liciana Vaz de Arru-. El vi r-a Mar i a. pel a. do. AI. ves de Fr ei t.as Bar bosa e. ami zade e. companhei r i smo. experiência. de. nossas. Maurício Molta, pelos ensinamentos e. que. int.erações,. aj udar am a e. ao João. cont.ribuição no desen-. volvimento do módulo de MVR para o programa A Rejane AI ves,. me. Si 1 vi o. soe.. pela paciência na correção da. digitação dest.e t.rabalho. A Mar i a I zal i na Fer r ei r a ftJ. ves, revisão da redação,. despreendiment.o,. A Rosa Maria Alves, e mult.iplicar amizade,. pel a excel ent.e. e presença amiga.. pelo compart.ilhar espaços. pela cooperação e apoio irrestrit.os.. A Diva Ferreira Alves, pelo calor humano e enriqueciment.o pessoal. A t.odos os ami gos que sabem a uma palavra,. um sorriso,. i mport.ânci a. de. um gesto de carinho.. A Deus por t.er me dado perseverança, vont.ade e. fé..

(7) v.. SUMÂRIO. Página RESlJMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ív. SUMMARY . . . . . . .. . ....... .. v. 1. INTRODUÇAO. ........ .. 1. REVISAO DE LITERATURA .. .. 3. 2.. 2.1.. Mét.odos de Est.imação Para Component.es de Var iâncía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 2.1.1.. Mét.odo da análise de variância . . . . . . . .. 5. 2.1.2.. Mét.odos 1 , 2 e 3 de Henderson . . . . . . . . .. 6. 2.1.3.. Mét.odo da máxima verossimilhança CMV).. 7. 2.1.4.. Mét.odo da máxima. 2.1.5.. 3.. verossimilhança. res-. tr i t.a (MVR) .. ... 13. MINQUE e MIVQUE. 19. 2.2.. Alguns Est.udos Comparat.ivos Ent.re os Métodos.. 20. 2.3.. O Problema de Estimat.ivas Negat.ivas . . . . . . . . . .. 23 28. MÉTODO. 3. 1. Est.i mação de Componentes de Va.r i ânci a em Modelos Com População FiníLa. 28. 3.1.1.. Introdução. 28. 3.1.2.. Modelo Geral. 30. 3.1.3.. Modelos Hierárquicos................... 34. 3.1.4.. Modelo de classificação cruzada........ 45. 3.1.4.1.. Classificação cruzada dupla. 45. 3.1.4.2.. Classificação cruzada geral. 48.

(8) vi.. Página 3.1.5. Combinação de classificações hierárqui-. 3.1.6. 3.2.. ca e cr uzada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. Modelos mist.os ... . . . . . . . . . . . . . . ........ 54. Est.imação de Máxima. Verossimilhança. Rest.rit.a. Para Component.es de Variância em Modelos. Mis-. t.os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 3.2.1.. Int.roducão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 3. 2. 2.. () Modelo. . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 57. 3.2. 3.. Os Est.i madores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 3.2.4.. Procediment.o de Cálculo ..... . . . . . . . . . .. 74. 3.2.4.1.. A t.ransformação W . . . . . . . . . . . .. 75. 3. 2. 4. 2.. AI gor i t.mos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80. 3.2.4.3.. Est.imação dos Efeit.os Fixos... 85. 4. ILUSTRAÇÁO DOS MÉTODOS E DISCUSSÃO.. ... ... . . . . . . . .. 86. 4.1.. Exemplo 1. 85. 4.2.. Exemplo 2. 89. 4.3.. Exemplo '3. 93. 4.4.. Discussão. 95. CONCLUSõES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -. . . . . . . . .. 98. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................ 100. .~ENDI. 108. 5.. CES .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..

(9) vii.. MODELOS DE POPULACõES FINITAS E MÃXIMA VEROSSIMILHANCA RESTRITA NO PROBLEMA DE ESTIMATIVAS NEGATIVAS PARA COMPONENTES DE VARIANCIA. Autora: DINARA WESTPHALEN XAVIER FERNANDEZ Orientador: PROF. DR. DÉCIO BARBIN. RESUMO. Discutiram-se dois procedimentos com o intuito de contornar o problema de estimat.i vas negati vas pa.ra componentes de variância. Constatou-se. que. o. procediment.o. de. adot.ar. o. modelo supondo Populações Finit.as funciona sat.isfat.oriament.e para al gumas si t.uações.. ~Já. o. procediment.o da. Máxima Verossi-. mi 1 hança Res t.r i t.a exi ge que. se j am desenvol vi dos novos algo-. ri tmos que não apresent.em dií'iculdades de cálculo..

(10) viii.. FINITE POPULATION MOOEL ANO RESTRICTED MAXIMUM LIKELIHOOD PROCEDURE ON PROBLEM OF THE NEGATIVES ESTIM~ TES. IN VARIANCE COMPONENTES. Author: DINARA WESTPHALEN XAVIER FERNANDEZ Adviser: DÉCIO BARBIN. SUMMARY. Two order. st.at.ist.ical. procedures. were. discussed. in. to solve t.he problem of negat.ive est.imat.es in variance. component.s. When worked. o~ü.. fine. f' i ni t.e. for. some. popul a t.i on special. model. i s. si t-uat.ions.. adopt-ed However. i t. t-he. Rest.ricted Maximum Likelihood Procedure showed t.he necessit.y. 01'. neVlT. algorit.hms. diff i cul t.i es.. development.s. free. of. calculat.ions.

(11) 1.. 1. I NTRODUCAO. Anál i se. A. Var i ânci a,. de. ut.i 1 i zada. comument.e. para test.ar a significância de efeit.os de t.rat.ament.os, ferrament.a. que. também. variância,. ist.o. aI eat-6r i os. do modelo.. é,. as. permit.e. est.imar. variâncias Esse. os. componentes. associa.das. mét.odo. é. é uma. aos. conheci do. de. efei t~os. como Mét-odo. da Análise de Variância para est.imar component.es de variânci a. ou Mét.odo 1. drados. médios. de Henderson e. observados. consi ste em i gual ar. CQM). com. seus. valores. os qua-. esperados. [ECQM) J.. Os. obtidos. estimadores. dos. pelo Mét.odo da Análise. nos conduzem a. componentes. de. Variância. estimat.i vas negati vaso. de. variância. não. raramente. Isto pode ocorrer. em. qualquer modelo (mist.o ou aleatório) e em qualquer classificação (hierárquica ou cruzada), o que é uma sit.uação bast-ant.e const-rangedora,. uma. vez. que. os. parâmet.ros. considerados. são essencialmente não negat.ivos. O. objet-i vo. dois procediment.os que, as. est.imativas. do. presente. t-rabalho. conforme a literat.ura,. negat.ivas. dos. component.es. é. discutir. visam remover. de. assim, cont.ribuir para a solução dest.e problema.. variância. e,.

(12) o. primeiro procedimento foi. LE & FAWCETT (1970). e. de populações finit.as,. consist-e em supor. o. modelo em t.ermos. em vez de populações infinit.as.. (.) segundo procedi mento é milhança Restrit.a.. st.Igerido por SEAR-. o. da Máxi ma Verossi-.

(13) 3.. 2. REVISÃO DE LITERATURA. Ao se realizar de testar a existência de. uma Análise de Variância. além. di~erenças. entre médias de trata-. mentos, pode-se também estimar os componentes tie variância. Os componentes de variância são as variâncias associadas aos. e~eitos. aleatórios de um modelo matemático.. Num experimento, quando são considerados todos os níveis de um. ~ator. apenas uma amos tr a um. e~eito. e~eito ~ixo.. C tratamento) , temos um. de ní vei s. do fator. é. consi der ada • temos. aleatório. No modelo y.. = I-! + ~J. + e ... C(. ~. ~J. onde: Yij é a j-ésima observação do ,,-ésimo tratamento, p é a média geral,. ex. i. é o efeitoaleat.ório do l,-ésimo t.rat.ament.o,. e .. é o erro correspondent.e a Ci.j>-ésima observação com \ J. EC C() = 1.. ECe. ). I.J. VarCex.) =. ° = °. cY. EC ct. e . . ) l·. EC e. = O ,. t.' J'. V i,i',y, temos. VarCy .. ~ tJ. =. O". :z. +. C'(. que são os componentes de variância.. ). ij. 2 cY ,. e. = i j. z. ct. I.. VarCe. Se. z e. cY. e. i. '. j ,. ). =. 0,.

(14) 4. Os componentes de variância t.êm grande aplicação em experimentos de melhoramento animal obtenção dos í ndi ces de dabilidade,. etc.. Uma. I~epetí. outra. bi 1 idade,. e. vegetal. para a. o:oet'i ci ente de her-. aplicação. dos. componentes. de. variância no campo da genética é quando estamos interessados em decompor a em. variância de um carát.er,. componentes. i mportânci a. de. dos. vêl.r i ânci a. componentes. genét.i ca de. ambi ental . exi ste. est.imá-Ios,. vivo,. Dada. a. crescente. obtendo,. desta. est.imativas mais precisas.. 2.1.. Métodos de Estimação Para Componentes de Variância. Na mét.odos. de. literatura,. estimação. capítulo, é. para. est.imação de componentes de Variância; mat.or),. encont.ram-se. component.es. de. descritos. vários. variância.. Nest.e.. apresent.ada uma revisão dos principais mét.odos. CI ÓL C 1 982). tor) ,. e. var i ânci a,. preocupação no sent.ido de melhor forma,. medida num ser. compi 1 ou os de. variância:. segui nt.es moment.os. métodos. de. ou Análise. MINQUE CMinimum· Norm Quadrat.ic Unbiased Est.í-. MIVQUE CMinimum Variance Quadratic Unbíased Estima-. MV C Máxi ma. lhança Rest.rita),. Ver ossi mi 1 hança). e. MVR (Máyj ma. Ver ossi mi -. acompanhados de algorit.mos para a. resolu-. ção numérica de problemas de est.imação. VALÉRIO FILHO (1983) HENDERSON. (1953). var i ânci a. de dados. para. aplicações práticas.. descreveu os dos. componentes. vi sando. faci 1 i t.ar. det.ermi nação. não bal anceados,. métodos. Foram est.udados o. de de. suas. Método da Análise de. Variância (Mét.odo 1 de Henderson). o Mét.odo do Ajust.e para o.

(15) 5. ví ci o nos modelos mi st.os (Mét.odo 2 de Henderson) e. o Mét.odo. de ajust.ar const.ant.es (Mét.odo 3 de Henderson).. 2.1.1.. Método da análise de variância. Dent.re. os. mét.odos. disponíveis. para. est.imar. component.es de variância, t.alvez o mais ut.ilizado e est.udado seja o da Análise de Variância. Como as funções. lineares. encont.rar. esper anças. dos. est.imadores. dos. component.es para. esses. quadr ados. de. médi os. podemos. variância,. component.es. a. são. part.ir. do. sist.ema de equações formado igualando-se os quadrados médios. (QMD com seus valores esperados [ECQNDJ. Quando empregado em dados balanceados Cmodelo aI ea t.ór i o. ou. aleat.ório). o. mi st.o). e. mét.odo. da. em. dados. ANOVA nos. não-bal anceados fornece. ( modelo. est.imadores. não. t.endenciosos, de variância mínima ent.re uma classe de est.imadores quadrát.icos não t.endenciosos.. No ent.ant.o,. podem re-. sul t.ar est.i mat.i vas negat.i vas para os component.es de var i ância,. ainda que,. pode ocorrer. por definição,. em qualquer. est.es sejam posi t.i vos.. modelo Cmist.o ou aleat.ório). Ist.o e. em. qualquer classificação (hierárquica ou cruzada). Est.e mét.odo, lanceados,. é. quando apl i cado a. equi valent.e ao. Mét.odo 1. de. dados não ba-. Henderson.. Se. os. dados são não balanceados e o modelo é mist.o, os est.imadores obt.idos 1 971 a. ~. pelo 1 971 b) .. mét.odo. da. ANOVA. são. t.endenciosos. CSEARLE ,.

(16) õ. 1~. 2.1.2. Métodos. 2 e 3 de Henderson. HENDERSON (1993) desenvolveu três métodos que basicamente são o método dos momentos com pequenas modilicações. impos~as. pela estrutura dos dados, isto é, pelo seu não. bal anceamento.. o. Método. 1. de. Henderson. deve. ser. uti I i zado. apenas para modelos aleatórios e é praticamente uma genera, lização do mét.odo usual. da Análise de Variância para dados. balanceados. () Método 2: de Henderson é roi st.os desde que não exí st.am i. n~er ações. usado para modelos e. qual quer t.i po de. hierarquização entre eleit.os fixos e aleat.órios.. Em síntese,. est.e mét.odo consiste em inicialment.e est.imarmos os elei tos 1 i xos. do. modelo;. est.imadores e os. os. dados. componen~es. dados assim ajust.ados.. são. então. aj ust.ados. por. esses. de variância são estimados dos. Usando esse procedimento.. realment.e. produziremos est.imadores não viciados, mas em cont.rapart.ida, o procediment.o não é delinido de maneira única, pois envolve uma inversa generalizada.. o ajust.amen~o. que aI gumas. Método 3 de Henderson,. baseado no mét.odo de. de const.ant.es (denominação mot.ivada pelo 1a~o de. vezes os elei tos lixos.. em modelos de e1ei t.os. lixos, são chamados de const.antes),é apropriado para modelos mist.os e produz estimat.ivas que são não tendenciosas,. solu-. c i onando, por t.ant.o, o pr obl ema de t-endenci osi dade encon t.r ado no mét.odo da ANOVA,. quando o modelo é mist.o e os dados não.

(17) 7. baI anceados.. AI ém. s upr e. di sso,. a. 1 i mi t.ação do Mét.odo 2. de. Henderson para modelos que cont.êm int.eração ent.re efeit.o f i xo e aleat.ório. da ANOVA, de. não. SEARLE (1968),. ser. é idênt.ico ao Mét.odo. Para dados balanceados,. uni cament.e. possuindo como inconvenient.e o fat.o. deí' i ni do. envol ver,. e. na. 2.1.3. Método da máxima verossimilhança. Os est.imadores de Máxima t.al vez. ',modelos. peI a. pr i mei r a. aI eat.ór i os. negat.i vos, a. das. ma t.r i zes de gr andes di mensões.. vezes,. dos,. mai or i a. si mpl es. vez,. em. por dados. embora sejam t.runcados.. (MVJ. Verossimilhança usaHERBACH. C1959) ,. bal anceados,. par a. são. não. Não levam em consideração. perda dos graus de liberdade devido à est.imação dos eí'ei-. t.os í'ixos e,. na maior part.e das vezes,. Se os dados são balanceados,. são não t.endenciosos.. as soluções das equações de MV.. nos modelos mist.os e aleat.órios,. para component.es de variân-. cia, são quase as mesmas dos est.imadores obtidos pelo método da. ANOVA,. di os,. dií'erindo nos. resul tantes ,de. di visores. aI gumas. de. certos. sol ucões. quadrados. serem. mé-. t.endenci osas. CSEftRLE , 1971a).. o nent.es. de. procediment.o de MV para est.imação dos compo-. variância. tem algumas. Os est.imadores de MV são í'unções. ci ent.e,. são. consi stent.es,. ci ent.es. [no. sent.i do. caract.eríst.icas de cada. est.at.íst.ica suí'i-. assi nt.oti cament.e. descrito. por. MI LLER. atraentes.. normai s C1973)) .. e. ef i -. Certas. deí'iciências de vários out.ros mét.odos não ocorrem na MV.. Em.

(18) 8.. part.icular,. o. procedimento de MV e. "sempre". bem def'inido,. exat.amente para muit.as generalizações usuais dos modelos ordinários de ANOVA e,. com MV," rest.rições de não negat.ividade. de component.es de variância ou out.ras dos. parâmetros. disso,. uma. não. causam. dif'iculdades. os estimadores de MV. dada. paramet.rização. e. do. a. mat.riz. modelo. do espaço. rest~rições. conceit.uais.. Além. de inf'ormação para. podem. ser. prontamente. obtidas delas para qualquer out.ra paramet.rização. HAYMAN (1960) component.es. de. variância. compara a. em. est.imação de MV para. experiment.os. genét.icos. anál i se de mí ni mos quadr ados de MA.THER C1 949) .. com. a. O pr i mei r o é. um método iterat.ivo e exige dois ciclos de cálculo, enquant.o que o segundo só f'az um ciclo.. Este t.rabalho extra é compen-. sado pela capacidade do primeiro método em tratar uma ampla classe de magnitude de variâncias.. O segundo mét.odo super-. -est.ima os erros derivados dos componentes de variância pequenos e f'ornece correspondent.ement.e est.imativas incorret.as desses component.es.. Uma situação inversa é considerada para. est.imativas de componentes de variância grandes.. O mét.odo de. NELDER (1953) fornece as mesmas estimati vas dos componentes. de var i ânci a est.imat.ivas. que. o. mét.odo dos. mí ni mos. dos erros concordam com as. quadr ados,. mas suas. est.imat.ivas. da MV,. quando as observações são normalment.e dist.ribuidas. Hft.RTLEY. Se RAO. (1967). desenvol vem um procedi-. ment.o de MV para estimação de constantes desconhecidas e variâncias, cia,. incluindo o modelo geral. envolvendo fatores fixos e. mist.o de análise variân-. aleat.órios e. interações.. O.

(19) 9.. método se aplica a. todos os casos onde a. matriz do delinea-. mento sat.isfaz cert.as condições de estimabilidade dos parâmetros.. São discut.idas a. consistência e. tóti ca dos esti madores e. deduzi dos. os. a. eficiência assin-. test.es. de. hi pót.ese e. e. deduzem. regiões de confiança. KLOTZ. PUTTER. &. C1969). de:f i nem. estimadores de Mv para o caso geral p-variado. mét.odos. de. cálculo. e. as. :fórmulas. os. Apresentam os. explícitas. para. o. caso. bi -var i ado.. SEfo.RLE. (1970). apresenta. uma. expressão. geral. para os elementos da matriz de informação dos estimadores de MV. dos. componentes. de. var i ânci a,. deduzi da. balanceados de qualquer modelo misto. utilizada. para. obter. resul tados. par a. dados. não. Esta expressão geral é explícitos. em. modelo. aI eatór i o de cl assi:f i cação hi er ár qui ca dupl a. Existem muitos algoritmos it.erat.ivos que podem ser utilizados para calcular os estimadores de MV. los. par a. cada. i t.er ação desses. com cálculos para. est.imação. de. aI gor i tmos efeitos. estão. fixos. e. Os cálcuassoei ados aleatórios. para valores dados dos componentes de variância. SAHAI. & THOMPSON (1973) apresent.aram um mét.odo. analítico simples para obter os estimadores de MV de um modelo aleatório balanceado num espaço restrit.o de parâmet.ros. HEMMERLE t.rans:formação. W,. matriz. &. HARTLEY de. modelo misto de análise de. C1973). transformação,. desenvolveram. a. aplicada. o. variância para calcular. para. est.ima-. dores de MV dos componentes de variância e parâmet.ros fixos..

(20) 10.. Esta transformação não soment.e elimin.3. a necessidade de explicitar o cálculo da inversa da matriz H-i, n x n, mite manipular os cálculos it.erat.ivos. de. modo. que. dam de n (número de observação) em nenhum passo. pert.ença a um mét.odo numérico part.icular,. mas per-. não depenEmbora não. a t.ransformação W. é implement.ada com o algorit.mo de Newt.on-Raphson modificado, no qual. os component.es de. variância são rest.rit.os a. serem. não-nega t.i vos. MILLER (1973). desenvolveu uma t.eoria assint.ó-. t.ica satisfat.ória para est.imadores de MV para component.es de variância. JENNRICH & SAMPSON (1976) discut.em t.rês algorit.mos gerais para est.imar a. média e component.es de variân-. cia pelo mét.odo da MV em modelos mist.os de análise de variância.. Os algorit.mos em discussão são o algorit.mo de New-. t.on-Raphson, o algorit.mo dos escores de Fisher e o algorit.mo de Hemmerle e Hart.ley. e. São dadas deduções dos dois primeiros. uma apresent.ação unificada para os t.rês,. comparações t.eóricaS e. prát.icas possíveis.. os result.ados de aplicação,. Hemmer 1 e. e. Har t.l ey é. Para enriquecer. os t.rês algorit.mos são apresen-. t.ados numa sequência de cinco problemas. de. fazendo algumas. ut.i 1 i zada. do. A t.ransformação W. começo. ao. f i m par a. reduzir os t.rabalhosos cálculos associados com algorit.mos de. MV para component.es de variância. procediment.o. unificado. para. geral de análise de variância.. Os algorit.mos í'ornecem um. est.imação. e. t.est.e. no. modelo.

(21) 11.. HARVILLE (1977) apresent.a uma excelent.e revisão sobre procediment.os de MV para eslimação de componenles de variância e de cálculo.. problemas relacionados,. enfalizando aspeclos. Os t.ópicos abordados incluem a siluação correnle. da t-eoría da MV aplicada na est-imação de componenles de variância;. a. relação enlre a est.imação de MV para component.es. de variância e a eslimação de efeilos aleatórios e fixos nos modelos; a exploração dessa relação para propósitos de cálculo e aproximação;. o uso' de algorilmosnuméricos para cál-. culo dos est-imadores de MV para component.es de variância; o uso de MV como um veículo para relacionar os vários mélodos que lêm si do proposlos para. est.imar component.es de variân-. cia; e uma discussão da direção para pesquisas fut.uras. Todo esforço é. fei to para i ncent-i var. o. pont.o. de vist.a de que o problema para est.imação dos component.es de variância pode ser visto como um caso especial do modelo 1 i near. ger aI.. covariâncias são funções. no qual. do problema. os el ement.os da -ma t.r i z. conhecidas de um vet.or. de. de parâme-. lros a ser eslimado. Recentes desenvolvimenlos promelem incremenlar gr andement.e a. popul ar i dade da MV como lécni ca par a. component-es de variância.. O int.erese por. est-imadores de MV. pode ser exallado pela recenle descobert.a de OLSEN, BI RKES. C1 975). balanceados,. de. que,. pelo. menos. par a. esli mar. SEELY &. deI i neament.os. não. exist.em est.imadores na classe dos eslimadores. quadrát.icos não-viesados localment.e melhores e de lranslação invariant.e que lêm variância uniformement.e menor que os es-.

(22) 12. timadores de Henderson.. Esses estimadores localmente melho-. res. relacionados. estão. proximament-e. aos. estimadores. de. MV. CHOCKING & KUTNER, 1975). Apesar MV não eram muit-o. dessas propriedades,. utilizados. razões para sua negligência; excet.o para conjunt.os est.imadores. de. MV. na a. prát-ica.. relati vament.e simples,. exigem. elet.rônicos,. algumas. Exist-iam. mais import-ant-e delas é. soluções. essa. o. numéricas. rest.rit.os de ot.imização não-lineares. comput-adores. os est.i madores de. Ant.es. exigência. que,. cálculo dos de. problemas. do advent-o dos apresent-ava. uma. barreiravirt-ualment.e int-ransponível para uma ampla divulgação e ut-ilízação.. Mesmo depois que os comput-adores se t-orna-. ram de uso comum,. a. Wv não passou a ser muit-o ut.ilizada para. est.imar component-es de variância,. porque os algoritmos ele-. t-ivos para cálculo não est-avam pront-ament-e disponíveis para ut-i 1 i zação.. Recentement-e,. vár i os. t.r abal hos. t.êm cont.r i buí do. no sent-ido de oferecer procedimentos prát-icos para a est-imação de component-es de" variância por. Wv em muit-as sit.uações. onde ant.es era impossível.. Doi s est.imadores. out.r os pr obl emas que t.êm i mpedi do que os. de MV para. populares são os. component-es. seguint.es:. (1). os. de. variância. est-imadores. component-es de variância não consideram a liberdade modelo;. (2). suposição Normal,. resultant.es. de. os uma. da. est-imação. est-imadores part-icular. de. MV. forma. dos são. se de. t.ornem MV para. perda dos graus de efeit.os. fixos. deduzidos. paramétrica,. para a dist.ribuição do vetor de dados.. sob. do a. geralment-e.

(23) 13.. o. de. desses. Máxima. Ver ossi mi 1 hança. respeito ao segundo problema, esti madores ser. problemas. PATTERSON & THOMPSON (1971). eliminado por dimento. primeiro. de. MV. pode. de. através. fato. ser. do proce-. C MVR) .. Restrita. Com. HARVILLE C1977b) most.ra que os. deduzi dos. com. justament.e adequados quando a. base. na. normal i dade. podem. forma da dist.ribuição não. é especifi cada. SWALLOW por. Mont.e Carlo,. &. MONft~ft~. comparam. os. (1984),. utilizando simulação. estimadores. variância obt.idos pelos métodos de ANOVA,. balanceados.. "viés". Os. estimadores. erro quadrát.ico médio.. e. estimadores de ANOVA são bons, não balanceados,. quando ç2/çZ a. nentes de variância entre e. 2.1.4.. Método. da. MV e. MIVQUE,. classificaç~osimples. para um modelo aleatório de não. de componentes de. e-. <. são. comparados. MVR,. com dados. através. do. Os resul tados indicam que os exceto para 0.5,. dentro,. máxima. onde. dados seriament.e 2. 2. e. cy. a. cy. e. são compo-. respectivamente.. verossindlhança. restrita. (MVR). Com. a. de. i ntenção. apresentadas pelo método da MV, madores de MVR, MV. par a. f i xos.. os Uma. seguint.e:. el i mi nar. comparação. de. var i ânci a. mui to. def i ci ênci as. foram desenvolvidos os esti-. cuja idéia básica é. component.es. as. si mpl es. obter. os. estimadores de. el i mi nando os dos. doi s. efei tos. métodos. é. a.

(24) 14. Dado o modelo. =. y.. t. J..1 + e. = 1,. i.. 2. o est.i mador. de MV para cY. I. 0.. n. 2. e. é. e.. E. .,. =. Vare e). i.. z. y.) / n. Cy.. 1.. i.. e de MVR é. E. Cy.. 2 y.) ./n-1. -. 1.. . 1 ~'cY .... 2 ./n e com esperanças Cn-. 2. cY. e. e. respect.i vament.e.. ,. Hist.oricament.e. variância por. e. mui t.os. covariância pesquisadores. balanceados, BRADLEY. por. a. MVR iniciou. para. (1958). e. foi. est.endida. geral. THOMPSON para. para. ( 1 971) .. casos. modelos Uma. especiais. &. de. .t.odos os t.rat.ament.os e. t.odo. par a. mat.riz. de. colocado em sua por. modelos. THOMPSON (1973).. foi. SCHAEFFER. et. covariância sit.uação. residual. para. &. muI t.i var i ados igual. para. t.odos os t.rat.ament.os medidos em t.odos. feit.a por. por. PATTERSON. delineament.o. os indivíduos foi removida. ANOVA. modelo balanceado. balanceados. ext.ensão. de. (1952) e RUSSÉL &. Mais t.arde foi. não. de. desenvolvida. modelos. BP~CROFT. para. component.es. sendo. específicos. incluindo ANDERSON. de ANOVA por THOMPSON (1952). forma. est.i mação de. nula. medidas. alii. ent.re de. (1978). Est.a rest.rição para. t.rat.ament.os,. diferent.es. o. como. caso seria.. t.rat.ament.os. de a em. diferent.es animais. PATTERSON de. verossimilhança,. &. sob. THOMPSON (1971) ,. condição. de. .. dividiram a. normalidade,. função. em. duas.

(25) 15.. parLes,. de modo que a. maximização da parLe livre dos ereiLos. fixos fornecesse os esLimadores de MV para os componenLes de variância. e. a. ouLra. rornecesse. os. esLimadores. para. os. efeiLos rixos. Um desenvol vi ment.o par a dados não bal anceados consi der ando por. CORBEI L. dados &. bal anceados. SEARLE. C 1 976b) .. como caso especi al. Par a. dados. é. dado. bal anceados ,. os. esLimadores de MVR são idênlicos aos eslimadores de ANOVA, mas. se. mesmos,. os. dados. são. não. conforme CORBEIL. &. bal anceados ,. esles. não. são. SEARLE C1976a, 1976b).. & FERNANDO (1986) salienlam que lanlo. GIANOLA. os esLimadores de MV como os de MVR não são afelados seleção. dos. dados.. os. HENDERSON. eslimadores são capazes de. C1986). produzir. acrescenLa variâncias. que. pela esses. amoslrais. e. erros quadrálicos médios menores que oulros mélodos que rornecem eslimadores. não t.endenciosos.. Est.as. úl t.imas. proprie-. dades t.ambém são apresent.adas pelos est.ima.dores de MIVQUE. Embora. apresent.e. alt.amenLe desejáveis,. t.ais. ainda. oulras. como produzir. eslimadores únicos. que não dependem dos primeiros ulilizados, o. mélodo. da. MVR. era. pouco. suas exigências de cálculo.. ulilizado na. propriedades. logo que surgiu, prálica.. Mais recent.emenle,. devido a. vários algo-. rilmos lêm sido desenvolvidos e podem ser vislos como candidat.os para calcular esLimadores de MV ou de MVR. HftRVI LLE. ( 1977). revi sou. o. mui Los dos problemas associados com MV e. desenvol vi menLo MVR.. e. Ele apresent_a. um algoritmo que consisLe na it.eração das equações de MIVQUE.

(26) 15. at.é sua convergência,. desde que a convergência ocorra dent.ro. do espaço dos parâmet.ros. MEYER (1983). apresent.ou um algorit.mo para es-. t.imação simult.ânea dos component.es de variância e. cia,. baseado. no. Mét.odo. procediment.o adapt.a a t.os e. dos. escores. de. F'ISHER. covariância ambient.al. também permi t~e que di.ferent.es. covariân-. CMSC) .. Est.e. entre t.rat.amen-. números de t.rat.amenlos. sejam medidos em diferentes indivíduos. HENDERSON C19S4a,. 19S4b e. 1985). um aI gor i t.mo de maxi mi zação da esper ança C EM) parat.i va. de cálculo (por. simplicidade. lem defendido pel a. i t.eração).. sua com-. e. por. sua. propriedade de forçar eslimalivas que caiam dent.ro do espaço de parâmet.ros permit.ido. DERSON (1 9S4a). i I us lr a. Ulilizando pequenos exemplos,. aI gor i lmos de MVR par a. HEN-. uma var i edade. de sit.uações, incluindo modelos com efeit.os genét.icos adit.ivos e. dominant.es,. efeit.os diret.os e. mat.ernais,. e. um modelo. de classificação t.ríplice. MEYER (1985) desenvolveu a ga ao algorit.mo de ANDERSON. (1973).. ~vR. de forma análo-. O procediment.o envolve. uma t.ransforrnação numa escala canônica reduzindo uma análise a q-variáveis para q correspondent.es análises uni variadas. convergência foi. rápida,. mas. A. não exist.e garant.ia de que as. est.imalivas da malriz de variâncias e covariâncias irão cair no espaço dos parâmelros. t.rat.ament.os chance que,. aI t.amenle devido' a. (em exper i ment.os. () aut.or. aponla que na análise de. correlacionados. amost.ragem,. genéli cos). da. a. exisle. uma. grande. est.imaliva para os pais. ma lr i z. de. var i ânci as. e. co-.

(27) 17. var i ânci as. seja. que isso ocor r a. de.f i ni da. não-posi t.i va.. cr esce com. o. númer o. A pr obabi 1 i dade. de. var i á vei s. C HI LL. de &. THOMPSON, 1 978) . Um algorit.mo .foi desenvolvido por MEYER (1986) para acelerar. a. razão de convergência quando comparada com. EM, bem como decrescer o t.empo por i t.eração, quando comparado com MSC.. Est.e algoritmo .foi. denominado Shor Cut ($HC). e. combina aspectos do algorit.mo EM para est.imar os "component.es de erei t.os aleatórios dent.ro" com o MSC para estimar os "component.es pode ser. de. e.fei t.os. ut.i I i zado par a. covar ânci a. aI eat.6r i os. ent.re".. O procedi ment.o. est.i mar component.es de. var i ânci a. num modelo mi st.o muI t.i 'Var i ado,. são perdidos para alguns t.rat.ament.os.. e. quando regi st.r os. Uma desvant.agem do SHC. é que não há garant.ia de que as est.imat.ivas caiam dent.ro do. espaço dos parâmet.ros, embora o aut.or considerasse o processo razoavelment.e robust.o diant.e de est.imat.ivas .fora do espaço dos parâmet.ros. Muit.os. algorit.mos. t.êm. sido. ut.ilizados. para. obt.er est.imat.i vas de MVR pará os component.es de variância . . Excet.o para delineament.os balanceados,. a it.eração ê exigida. para solucionar amaximização das equações, ent.ão, dependendo da mat.riz de incidência, t.ros. e. dos valores básicos dos parâme-. do algori t..mo ut.ilizado,. a. convergência pode ou não. est.ar no espaço dos parâmet.ros [HENDERSON (1986)). Enquant.o esses algorit.mos .foram t.est.ados para t.rat.ament.os. simpl es. CHARVI LLE,. 1977b;. DEMPSTER. 1977) e para t.rat.ament.os múlt.iplos com igual. et. a~. in.formação. i i.. em.

(28) 18.. todos. os. (1978), rar. o. t.r at-ament.os. [THOHPSON. MEYER (1983)),. dois trat.ament.os,. SCH.l\EFFER. a~. et. i i. temos poucos element.os para conside-. procediment.o desses. informações perdidas.. C1 973),. algoritmos. para. t.rat.ament.os. com. Rarament.e foram t.est.ados mais do que. ist.o é,. MEYER (1986) só apresent.ou resul-. t.ados para dois t.rat.ament.os. VALENTE component.es. de. (1988). variância. ut.i I i zou e. a. MVR. covariância. par a. est.i mar. t.rat.ament.os. em. múlt.iplos com informações perdidas para alguns t.rat.amentos. HENDERSON. C1 986). apresent.ou. um. aI gor i t.mo. EM. para múlt.iplos t.ratament.os e afirmou que ele garant.e que estimativas de variâncias serão posit.ivas definidas e mat.rizes de. covar i ânci as. verdadeiro,. os. serão valores. variâncias-covariâncias. deI' i ni das. este. Par a. iniciais devem definir definida. necer depois de cada iteração. contraram. posi t i vas.. princípio. positiva. e. i sso. ser. matrizes assim. de. perma-. SCHAEFFER et a l i i (1996) en-. quando. aplicaram. transformação. canônica para conduzir a análise de múltiplos tratamentos. Alguns autores propuseram o. uso de restrições. para garant.ir que t.odas as estimativas caiam dent.ro do espar;o dos parâmetros.. Como apontou HARVILLE (1977):. mo i terat.i vo de Henderson para par a. component.es. de va.r i ânci a. cal cular e. "O algorit-. est.imadores. seus análogos MVR não são. afetados pelas rest.rições no espaço dos parâmet.ros, so, dos.. de MV. com is-. componentes negat.i vos simplesmente nunca são encont.raInfelizmente,. nenhum dos a.lgorit-mos modificados discu-. tidos t.em esta propriedade.". Visto que MSC e reparamet.riza-.

(29) 19. ç6es tais como SHC são algoritmos modificados, estimativas dentro do espaço dos parâmetros. cisamos ter o cuidado de fazer A seguir,. de HARVILLE (1977):. não garantem. Portanto,. pre-. ajustes em suas estimativas. "Quando uma iteração foi. obti-. da c om valor es nega t~i vos ou pr óxi mos de nega ti vo par a. um ou. mais elementos, .fazem-se est.es elementos iguais a zero e com ef'eito. ções.. restringem-na. a. serem. Esta aproximação para. porque pode causar. a. zero o. nas. problema. convergência. para. subsequentes não é um. itera-. satisfatória. ponto que não é. sempre um máxi mo global restrito.". 2. 1 • 5.. MI NQUE e. MI VQUE. Os es ti mador es MI NQUE C Mi ni mum Nor m Quadr a ti c Unbiased Estimator) são os estimadores quadrát.icos não tendenciosos Variance. de mínima norma e Quadratic. os estimadores MIVQUE CMinimum. Unbiased. Estimat-or). são. os. estimadores. quadráticos não tendenciosos de mínima variância. Estes. métodos. de. esti mação. desenvol vi dos. por. RAO (1970, 1971a, 1971b, 1972) satisfazem a algumas propriedades,. t.ais como:. fixos,. não t.endenciosidade,. um estimador estimador,. e. invariância. quanto à t.ranslação de efei t.os. mínima. norma da diferença ent.re. seu verdadeiro valor,. sendo. estas. duas. últ.imas. e. mínima. variância do. propriedades. que. os. tornam dist.int.os. Tanto o MINQUE como o MIVQUE também podem produzir estimativas negat.ivas para os componentes de variância.

(30) 20.. e,. em cerlas siluações são equivalenles,. (1970) e com HARVILLE (1977), malmenle dislribuidos, curlose zero.. quando aplicados a. dados nor-. uma vez que esles lêm coeficienle de. HPRVILLE (1977), ainda argumenla que o mélodo. consi der ando-se. MINQUE,. de acordo com RAO. cer tos. aspect.os,. é. i dênt.i co. aos. est.imadores de MVR.. 2.2.. Alguns Estudos Comparati vos Ent.re os Métodos. Para comparar os vários est.imadores de componenles de variância t.em sido ut.ilizado o erro quadrálico médio CEQM) como principal medida de elicácia.. KLOTZ e t. a. ~. t: i. ( 1 969) est. udar am o er ro quadr á-. t.ico médio de vários est.imadores no modelo inleiramenle ao acaso. balanceado. LOW (1959), complet.os balanceados, rança. para obt~i. mí ni ma. os. ut.ilizando o modelo de blocos in-. est.udou o problema da Ialt.a de segu-. est.imadores. não. t.endenciosos. dos pelos mét.odos usuai s ,. quando a. de. variância. di st.r i bui ção. não é complet.a e most.rou que as eslalíst.icas sUlicienles são alcançadas muns.. at.ravés. variância. co-. Também apresent.ou a lranslormação de lrês est.at.íst.icas. suf'icient.es parâmelros zero,. de t.abelas de análise de. e. para e. mais. eslimadores dois. não. lendenciosos. est.imadores. conslruiu oulros eslimadores,. não. de. qualro. lendenciosos. oblendo e. para. comparando. variâncias e est.udando a admissibilidade e inadmissibilidade dos eslimadores..

(31) 21. BP..sSON (1970) ção de. variâncias. das. estimativas. Henderson num modelo em blocos ef ei tos. aI ea t.ór i os,. dos. Mét.odos 1,. incomplet.os. admi t.i ndo. nenhum desses mét.odos é. pal~a. descreveu um método. obten-. e. 2. 3. de. balanceados. com. e. que. nor mal idade,. uniformement.e melhor. concl ui u. que os out.ros,. devendo cada um ser escolhido em função da relação exist.ent.e ent.re as variâncias. HOCKING rações. numéricas. &. KUTNER (1975),. ent.re. os. seguint.es. para component.es de variância: Henderson, aleat.ório.. no. de. modelo. MV,. blocos. mét.odos. de. est.imação. MINQUE e Mét.odo 1 de. MVR,. i ncompl et.os. bal anceados ,. Concluiram que os est.imadores de WV apesar de sua. t.endenci osi dade bast.ant.e. evi dent.e,. cias e erro quadrát.ico médio, for. est.abeleceram compa-. e. de import.ância fundament.al,. var i ân-. possuem menores. que se a esse. t.endenciosídade não. procediment.o é. melhor. do que os out.ros. CORBEIL ções entre os. &. SEARLE (1976a) apresent.aram compara-. est.imadores de. MV e. MVR. para. quatro. modelos. balanceados (int.eirament.e ao acaso, aleat.ório~ classificação hierárquica, aleat.ório; 'classificação cruzada sem int.eração, mist.o;. classificação cruzada com int.eração,. os esti madores de MVR, do i terat.i vo,. Mét.odos 2 e. 3 de Henderson e. de. comparação. mostraram. ser. ent~re. um mét.o-. no modelo mist.o de classifi cação cruzada sem. i nter ação com dados não bal anceados. rio. e. mist.o). mais. o. erro. quadrát.ico. eficient.es. para. Uli I i zando como cri t.émédio, os. os. result.ados. eslimadores. tant.o para dados balanceados como não balanceados.. de. MV,. Quando a.

(32) 22. razão dados. ou o numero de r epet.i ç6es er a balanceados.. os. mui t.o pequeno,. em. est.imadores de MVR most.raram-se mais. eí'icient.es. SERftPHIN es t.i mador es lineares. par a. component.es. genét.ico. balanceados. e. (1984). não. compara de. var i ânci a de. balanceados,. ut.ilizando. o. t.ais. valor. de. (cl assi f i cação mist.o,. mement.e,. e. MV. e. MIVQUE;. medida. de. além. médias. e. para. máxi mo enconcujo. Os est.imadores est.uda-. considerados. hi erárqui ca.. al eat.ór i o). com int.eração).. O aut.or. nenhum dos mét.odos,. dados. experiment.os. ajust.e de const.ant.es ou Mét.odo 3. est.imadores. rial.. como. mí ni mo e. número de est.imat.ivas negat.ivas. foram:. para. est.imat.ivas. processo de est.imação não convergiu. dos. modelos. de Processament.o cepu). como:. cada component.e de var i ânci a, t.rado,. cruzament.o,. t.rês. erro quadrát.ico médio,. do t.empo gast.o em Unidade Cent.ral caract.eríst.icas,. doi s. em. est.at.íst.icos. eficiência de cada est.imador,. out.ras. numericament.e. e. de Henderson,. para. o. Nodelo. Modelo. II. I. C fat.o-. concluiu que,. unifor-. ajust.e de const.ant.es e. MIVQUE,. é melhor do que o out.ro para os modelos est.udados, mét.odo MIVQUE lenha apresent.ado maior. rapidez. e. embora o. eficiência. como est.imador.. Já o mét.odo da MV, baseado soment.e nos dados. de eficiência,. apresent.ou result.ado melhor apenas no Modelo. 11, podendo, port.ant.o,. ser empregado para esse modelo,. que não se considere de fundament.al import.ância a. desde. t.endencio-. sidade e os problemas de convergência e t-empo. GONÇALVES (1984), ra quatro mét.odos. ut.ilizando simulação,. compa-. de est.imação para component.es de variân-.

(33) 23.. cia:. Método. 3. de. Henderson,. HIVQUE com valores a variância. genética. z. prior i. z. e. o-. e. tviV,. =. (YG. a_. MVR. e. z. e. O. MIVQUEIj> (que. =. (Y. 6-. variância. 1 ,. é. o. z onde o-G é. a. erro),. do. no. caso. 6". particular de blocos aumentados em que os tratamentos comuns a todos os blocos são de e.fei t.os .f i xos e os r est.ant.es al eat.órios.. desempenho dos est.imadores é. O. sua t.endenciosidade,. coe.ficient.e de variação e erro quadrá-. tico da análise realizada, onde. Z. 2. ~. 0G/oe. 1,. avaliado at.ravés de. a. aut.ora. concluiu,. para o. caso. que o desempenho dos estimadores depende do. tamanho do experimento:. para experimentos grandes,. o método. da MV .foi superior aos outros; para experimentos de tamanho médi o,. o. MI VQUEcp e. o. exper i ment.os pequenos,. de Henderson, Z 2 0G/Oe. (. 1,. o. desempenho si mi 1 ar. todos os mét-odos,. Método 3 de Henderson e MIVQl~cp,. ~. par a. exceto o Método 3. tiveram o mesmo desempenho.. melhor que o método rimentos. MV ti ver am. Para o caso onde. MV tiveram desempenho. para todos os tamanhos de expe-. considerad~s.. 2.3. O Problema de Est.imativas Negativas. Um .fato desagradável que acompanha a estimação de componentes de variância é ocasiões, problema. esti mati vas negati vas tem. estatísticos e por. inúmeras. variância.. o de encontrarmos,. merecido. tratament.o. componentes.. desses. especial. por. vem se most.rando responsável, contribuições. na. área. em certas. de. part.e. Este dos. recentemente,. componentes. de.

(34) 2:4.. A guin~es. ~i~ulD. ilus~raçâD,. de. apresen~ados. dados. por McHUGH & MIELKE (1958):. 1. 1'0. 1. 2 3 4. E. 2. 3. E. 1059 1245 1283 1101. 1237 1341 1078 988. 949 1332 1129 1262. 3245 3918 3490 3351. 4588. 4644. 4572. 14004. a~ravés. que, analisados. considerem-se os se-. do modelo:. y .. ~J. =. /..l. +. 0(;. •. + e. ij. para i resul~ou. =. j. 1.2,3,4. = .1,2,3. no quadro de análise de variância a seguir:. ANALISE DE C. V.. V ARI ft.NCI A. SQ. G. L.. ECQ.l\D. QM. Trat.. 2. 248. Res.. 9. 195558. 124. O'. 21740,89. O'. z e. +. Z. 40'O(. z 6'. Total. 11. 195915. A estimativa dos componentes de variâncía pelo método da ANOVA é AZ O'. QMA. =. AZ O'. e. e. =. A. +. =. QME Z. o-O(. =. 21740,89 QMA 4. QME. = -5404,22.

(35) 25.. Ou seja,. o mét.odo de est.imação escolhido forz. neceu uma est.i mat.i va negat.i va para SEftRLE. ( 1971 a~. O' C('. enumer a. alt.ernat.ivos para cont.ornar o. aI guns. pr ocedi ment.os. problema de est.imat.ivas nega-. t.ivas para component.es de variância:. i). Aceit.ar a est.imat.iva negat.iva,. deiro valor. do component.e é. zero. admit.indo que o verda-. (O).. Embora possa parecer. lógico, ist.o alet.a as propriedades dos est.imadores, t.endo em vist.a que a est.imação loi t.runcada.. ii). Eliminar o parâmet.ro correspondent.e no modelo e rees-. t.rut.urar a análise de variância,. obt.endo uma ponderação dos. quadrados médios rest.ant.es e, com isso,. obt.er novas est.ima-. t.ivas dos component.es de variância rest.ant.es.. iii) Considerar a obt.enção de est.imat.ivas negat.ivas como uma indicação da ut.ilização de um modelo errôneo.. Na. t.ent.a t.i va. de. cont.ornar. est.e. problema,. HERBACH (1959) usa est.imadores de MV que são não negat.ivos, mas apresent.am a desvant.agem de serem t.runcados e viciados. THOMPSON ( 1 952~. desenvol veu. um al gor i t.mo. que. resulta da maximização da função de verossimilhança dos quadrados. médi os,. sujei t.a. a. um. conjunt.o. de. rest.r i ções,. que. recebe a denominação de Princípio da Máxima Verossimilhança Rest r i La.. Esse procedi ment.o t.ambém provoca um t.runcament.o e. o est.i mador resul t.ant.e é viciado..

(36) 26.. RAO (1972) estendeu o método HINQUE pô.ra est.imação de componentes de variância e de covariância. mati vas obti das,. As esti-. após uma modi f i cô.ção i nt.roduzi da pelo au-. tor, são não negati vaso (1973). Lft.MOTTE. desenvol veu,. dos est.imadores quadrát.icos não viciados, obt.ermos dos. dent.r o. da. cl asse. as condições para. est.imat.ivas não negativas de combinações lineares. componentes. BEZERRA C 1 976). de. Compl ementando. variância.. di scuti u. eSsa. i déi a,. as condi ções de esti mabi 1 i dade não. negativa dos estimadores quadráticos não viciados para componentes de variância e mostrou que, se conhecermos a rela~ çao en t ore. O'. balanceados,. 2 O(. e. 0.. 2. e. num modelo aI ea t.ór i o. podemos. calcular. a. probabilidade. uma estimati va negati va para o componente PEREIRA. (1983). si mpl es com dados. apresentou. O'. 2. de. obtermos. •. O(. novas. estimativas. dos componentes de variância at.ravés do mét.odo dos momentos. quando deter mi namos uma esti ma t.i va nega t.i va dos component.es de variância em modelos aleat.órios, mist.os e fixos de classificação hierárquica, bem como a expressão da est.imat.iva da correlação negat.iva ent.re as variáveis. já" que a presença de correlação negat.iva ent.re os element.os de uma mesma parcela (correlação int.ra-classe) pode ocasionar est.imativas negat.ivas de componentes de variância. No aspecto da reconsideração do modelo. SEARLE. & FAWCETT (1970) discutem o procedimento de adotar o modelo em t.ermos de populações finit.as,. em VeZ de populações i n f i -. nit.as, o que nos leva a encont.rar est.imativas não negativas.

(37) 27. an~eriormente,. onde, tas,. suposição de. sob a. populaç5es. infini-. eram negativas. Em todos. esti mação de. esses. componentes. ci tados ,. tr abal hos até aqui var i ânci a. de. foi. vi sta sob a. dos mét-odos que produzem est-imati vas nega t i vas e. a. luz. apresenta-. dos vários procedimentos que tentam contornar a situação. Uma outra abordagem para o problema de estimativas. negativas,. considerada. mais. fundament.ada.. é. sugerir. mét.odos aI t-ernat.i vos de estí mação que não produzam estímativas negativas para os componentes de variância. do,. Neste sent.i-. podemos est.udar a est.imação dos componentes de variâncía. dentro do aspecto bayesiano e Com HILL (1965). através do método da MVR. e. TIAO & TAN (1965). os primeiros trabalhos utilizando. <3.. inferência bayesiana pa-. ra obtenção de componentes de variância, rio em dados (1976). balanceados e. estudou o. problema. num modelo aleat.ó-. não balanceados. da. surgiram. estimação. variância dentro do context.o bayesiano,. dos. Também BEZERRA component-es. de. lendo por base o mo-. delo aleat-ório em classificação simples balanceado. vantagem prática do uso dos mét.odos bayesianos é. A grande. que as ·es-. t.imat-i vas dos component.es de v.3.riância são sempre não negat-i vaso PATTERSON. &. THOMPSON. ( 1 971). desenvol ver am. o. mét. odo da Máxi ma Ver ossi mi 1 hanç aRes tr i ta que t.em si do acei-. t-o,. segundo MEYER (19813),. mar. par âmetr os. genét.icos,. como o mét.odo preferido para est.iisto é,. component.es de variância. e covariância para experiment.os de melhoramento animal..

(38) 28.. 3.. MÉTODO. 3.1.. Est.i»1ação de Componentes de Variância em Modelos com População Finita. 3.1.1.. Introdução. Em. modelos. componentes. de. de. var i âncí a,. os. efeít.os aleat.órios são usualment.e assumidos como provenient.es de uma popul ação i nf i ni t.a.. Papul ações. si do. FRANKLI N. consi der adas:. TUKEY (1956) e. a. &. balanceados.. não ser o. sificação simples,. ni tas têm t.ambém. C1954),. CORNFI ELD. a. Ent.ret.anto,. para dados não ba-. t.ratament.o dado por Tukey para clas-. única discussão sobre modelos de popu-. lação finit.a surgiu com G.lWLOR & HARTWELL (1969), sent.aram. com. &. & KEMPTHORNE (1956), discut.em vários ca-. WILK. sos para dados lanceados.. BENNETT. í~ i. det.alhes. soment.e. a. classificação. que apre-. hierárquica. t.ri pli ce. SEARLE de adot.ar. o. & FAWCET (1970) sugerem o procediment.o. modelo em t.er mos. gar de populações infinitas,. de popul ações a. f i ni t.as,. em I u-. fim de encont.rar est.imativas. não negativas para os componentes de vaTiância,. onde,. sob a. suposição de populações infinit.as, result.avam em est.imat.ivas nega t.i vas ..

(39) 29. u~ilização. A razão da. seguin~e. finiLa origina-se na. do modelo para população. si~uação. envolvida no delinea-. mento: ~rabalha. Quando se rárquica com dois. ra~ores. A e. com uma classiricação hie-. B, o modelo é dado por: ~.. tJ. +. +. e. ijk. onde: y. t. j k. alea~ória. é a observação da variável classes com é a. j. .... =1 ,. , n. b. = 1,. (i. n G\. observações por classe) ;. média populacional;. é o erei t-o (aI ea~6r i o) do fat.or A'> ~ ... é o erei to ( aI ea ~6r i o) do fat.or B dent.ro de A'. e. é o erro assoei ado à observação Y • e supondo que: ijk z ~em média zero, vari ânei a Cf e são independent.es;. t J. p. ijk. a. r~. ... t-em média zero,. tJ. C{.. t·. e. z variância o· e são independent.es; b. f"1 .. são mut.uament.e t.J. de. t.r a La -se. i ndependent.es;. um "modelo i nf i ni t.o·· .. t.em~se. Nest.e modelo. gem envolvidos:. o primeiro.. dois est.ágios de amost.ra-. correspondent.e ao fat.or. uma amost.ra aleat.6ria de t.amanho n siderada;. segundo.. aI ea t.6r i a. amost r a a cada. O. correspondent.e. de t.amanho n. b. (j. =. ao. = 1,. 1.. ...,. fat.or. ... ,. n. b. n) a. B,. onde. é. con-. onde. uma. é assoei ada. ). 1... É. as. (i. A,. variáveis. popul ação. claro que a. aleat.órias. i nrini t.a.. independência est.at.íst.ica ent.re. est.á. Ent.ret-ant.o.. baseada se. de. numa. suposição. fat.o,. a. de. amost.ragem.

(40) 30.. está. sendo. popul ação. realizada. é. ct. um. sem reposição,. e (50. universo .f i ni ta.. necessar i ament.e. amost.ragem é tica de. sob. existente,. Como,. na. então. a. prát.ica,. surge uma dependência. a. es~at.ís-. o'. l.J. McHUGH & MIELKE (1968) most.ra que a estimativa de um componente de variância negativo ocorre em situações em que. a. suposição de. variáveis é. .falsa,. independência. ou seja,. estat.íst.ica. ent.re. não podemos considerar. as. que as. populações são in.finitas. SEARLE & FAWCETT (1970). apresent.am uma regra. para converter as esperanças dos quadrados médios na análise de. variância. modelos. dos. .finit-os,. bal anc eados ,. em. modelos. in.finitos,. que se aplica cl assi.f i cação. como na mist.ura delas.. a. em. dados. esperanças. balanceados. hi er ár qui ca. e. para e. não. cr uzada •. bem. Desde que as esperanças dos quadrados. médios sob populações in.finit.as encont.ram-se disponíveis na l i t-eratura,. a regra aqui desenvol vida permi te a subst.i t.uição. de modelos de população in.finit.a para finit.a.. 3.1.2. Modelo Geral. Considere-se B, ... , K,. um. modelo. com. os. fat.ores. A.. representando Na o tamanho da população do e-ési-. mo fat.or.. Os e.fei tos são ai'. mando os. valores. H.~TWELL,. 1959) ,. zero CO), assim:. A,. B.. .,. para i. K.. assume-se que a. =. Como. 1, é. ... ,. NA'. cost.ume. com e. t-o-. (6.4YLOR. &. média de cada população é.

(41) 31. N N. E. e. e. E. e. Z. = (). r:f. ·e. 1,. =. i. =:1. N. i.= :1. (1). 1. e. é defi ni da como var i ânci a popul aci c.nal .. Consequent.ement.e. N. N. e. Z. ei. E. +. i= :1. N. e. e. E. E. i. i '. = O e.e. t t'. ist.o é,. e E. N. i '. i=. N. i. ft..o. os. efeit-os. obt.idos. das. Na. N. E. E. i. i '. e e. E :1. z i. e e,e, t·. =. t'. aleat.oriament.e. e. e. -. 2. oe. 1). :>. [ 2J. i.~i'. dados. amost.r ai s •. admi t.e-se que. f'init.as. Ce erros). do modelo são. se obt.er em popula.ções. (N. sem. Dest.a. reposição.. f'orma.. a. suposição de independência est.at.íst.ica ent.re os ef'eit.os €li e. e lo' ... i~i',. f'ica prejudicada. Se e. é. um valor. do ef'ei t.o e,. amost.ral. T. por 11 J:. e N€odi a. e. ce) T. = EC e ) r. =. i. =:1. i.. =. o. ent.ão,.

(42) 32. N.. e e. E. z i. i.=:t. Var (e) r. CN N. -. e. 1). O'. z. o-. e. e \lar. (e) r. O'. z. 13]. e. e. e, para dois valores amostrais,. e e :. r. .5. N. COV Ce , r. e ). z e. = ECe e r. ·5. ). S. =. N CN. e. e.e. '•.. i. -. CN. e. -. i'. ,. i..;>r!i.'. 1). =. e) .5. T. e. E,. o. 1. =. COV ( e ,. - 1). e. N. e E. 1. 141. Desde que os valores correspondent.es a [3] e a [ 41. para populações infinit.as são. as esperanças dos quadrados. O'. z. e. e. respectivament.e.. O,. médios em modelos de população. finit.a não são as mesmas que as de população infinita. Em cada caso, os valores esperados são funções lineares. dos. component.es. variância,. de. cujos. coeficient.es. dos componentes são det.erminados para modelos de populações finitas,. de acordo com 13] e Suponha que y. çôes, ,J. Então. y,. com. vet.or. de. médias. [41. represent.a o 1-./. e. mat.riz. vetor de. de observa-. covariâncias. V.. qualquer soma de quadrados é uma forma quadrá.tica em. ou seja, y'Qy, e seu valor esperado é EC y' Qy). = tr. CQV). +. /-l' QJ-I. { 5].

(43) 33.. Assim,. os. médios. quadrados. variância com dados balanceados e. da. análise. de. seus análogos parà dados. desbalanceados são formas quadráticas das observações.. Além. disso, a soma das linhas de Q é zero, isto é, Ql = O, onde 1 é o vetor de uns; em [5J. /J'Qj...!. =. ~. em modelos aleatórios,. /J'Ql/J. expr essão or i gi nal,. =. O.. Portant.o,. denotando por. =. ~.1. também,. e,. considerando somente a. M,. [ 5]. pode ser. escr i t.a. como: ECMD =. ECy~Qy). = trCQV).. Est.e resul tado independe se o modelo é P~lica-se. pulação finita ou infinita.. a. de po-. ambos e podemos es-. crever E CM) ro. =. t.rCQV ). E F' CM). e. 00. =. 161. t.rCQV ) . F'. para modelos de população inrinit.a e finit.a,respect.ivamente. Como Q é a mesma em ambos os casos, a. única diferença entre. as duas esperanças dos quadrados médios é o uso de V. F'. em lu-. gar de Y " A nat.ureza exata dessa diferença pode ser verifiro cada ao olhar o modo como V. ro. trocar. será alterado para V. F'. população infini t.a para fini t.a.. dos resultados [3] e [4].. quando se. A aI t.eraçâo depende. Quaisquer que sejam eles,. é indi-. ferent.e para 161 se Q é provenient.e de dados balanceados ou desbalanceados.. Em cada caso,. a ser feit.a para derivar V. F. [61 permanece, e assim a troca de V. co. produzirá E eM) de E CMD, F.OO. tanto para dados balanceados como desbalanceados.. A discus-. são e os result.ados a seguir, portant.o, aplicam-se igualmente para ambos os tipos de dados..

(44) 34.. 3.1 ~ 3.. Modelos Hierárquicos. É. oport.uno.. geral,. considerar. quicos. Cconsist.indo. c a) ;.. modelos. hierárquica);. de e. no. desenvolviment.o. t.rês casos separadament.e: unicament.e. do. result.ado. modelos hierár-. de classi.ficação hierárqui-. cl assi f' i cação. cr uzada. Csem. cl assi .f i cação. modelos envolvendo combinações de classi.fi-. cação hierárquica e cruzada. Para se discut.ir. modelos hierárquicos,. consi-. dera-se inicialment.e um modelo hierárquico duplo com os .fat.ores A e. B dent.ro de A:. = I-l. Y ... t jk. +. Ct. ~. A obt.ençâo de V deração o e.feit.o de [31 e. f5 j{i). +. a. F. e qk .. +. part.ir de V leva em consico. 141 nos vários element.os de V . co. Os element.os diagonais de V são: co o-. 2. A. e por. +. O'. z. B. z. 17J. + Cf. e. [3.1 passam a ser el ement.os di agonai s (1. Cf. z. F. z. 2. [ 81. Cf. Cf. e. B. A. onde N. em V :. é o t.amanho da população de erros.. e. São t.ambém element.os de V : co z z + Cf COV C y.. , y.. ) = O' l.jk. é. que. a. covar i ânci a. ent.r e. sub-casela dos dados. caso. de. popul ação. Í~i. oi t.a,. de acordo. com. 191. um. de. e. para. modelo. obser vações. que. est.ão. na. mesma. mas t.êm diferent.es t.ermos de erro.. -Cç,.2f'N ), e. [91. B. A. l.jk'. [41.. esses. erros. Ent.ão,. população. na. f'init.a.. t.erão. covariância. correspondência as. No. Cf. z. s. podem. de ser.

(45) 35.. trocadas exatamenle como foi ainda o lermo -CO'z/N ). e. feito em [71 e 18J, mas surgirá. Porlanlo, 191 ficará em V p- :. e. o-. z. (1. O' B. Si mi 1 ar ment.e, em V. Z. e. [ 10]. ,a. 00. o-. 2:. [11]. A. é a. covariáncia ent.re observações que est.ão no mesmo rJÍvel. de A,. mas em diferent.es níveis de B.. populações. fini t.as,. essas. como em [41. Logo, em V C1. p-. -. covariâncias. no caso de. envolvem. z. -C O' /N ), B. B. [ 11 1 f i c a:. N-1.). 0'2 A. A. Também,. Port.ant.o,. -. N-1.o-Z B. [ 121. B. pela mesma razão,. os elementos de V. 00. que são zero, ist.o é,. =O. COVCy .. , 1.Jk. [131. t.ornam-se, em Vp- : ( 141 Em [8J,. tem - N. -1 A. O". 2. A. [101 ,. [121. em cada element.o.. e. [141,. Porlanlo,. pode-se ver que V y V. F. pode ser expres-. sa por. + Como já foi di sculi do, QV. Assim.. [61. v*F Q.1. [ 151. = O;. ent.ão,. = QV*. P-. F. torna-se [161. E CM) = lrCQY*) F. P-. Por. [15] ,. V· F. cada elemenlo de V . P-. é. obt.i da adi ci onando-se N. -1. Z. A. Port.anlo, os element.os de y* são: F. O'. A. a.

(46) 36. 2. CO'. O'. 2. --.!.) N -. A. +. B. Co. z. B. O'. -. N. 2. e. 2. e i.=i, .. ,. O'. CO". J. A. COV CY. 'k tJ. YVj-k). j : : j ' , k::k'. 2. 2. --.!.) N. 2. , 117J. + O' e. ). B. O'. +. (O". 2. I la}. Na). B. e. =. i,. =i"',. j :: j '. 2 O'. ~). N. B. zero,. Os el ement.os cor r espondent.es par a em. [71,. [91,. element.os,. [11]. e. 1131.. observa-se que. Comparando. os. doi s. ro. F. cY. A. ro. Cf. B. O'. 2 Cf. B. são dados de. se. O". 2. B. r:rB O". 2. e. tr €r. [21 ]. 2 cY. e. como em [6]. 00. subst.i t.ui do por. Z. Port.ant.o,. E CM). 2. A. for. 00. V* pode ser obt.ida de V. cY. de V. V. conjunt.os. 2. 2. 120]. i..;z!i. •. e. [16],. obt.ém-se. F. como E CM)=trCQV ) ro 00. respect.ivament.e,. E eM);. e. ist.o. é,. subst.it-uindo-se [211. colocando. a. subst.it.uíção. em de. 121] nas esperanças dos quadrados médios num modelo de popu-.

(47) 37.. lação in:finila,. produziremos. as. correspondent.es. esperanças. dos quadrados médios de um modelo de população finila. Essa. discussão,. em. hierárquica dupla, se est.ende a Em geral,. t.ermos. de. classificação. qualquer modelo hierárquico.. cada element.o diagonal. de V. C(). é. a. soma de todos os. component.es de variância do modelo. e, por. lorna-se. [3J. K. em. e. [ 7]. V' . ]r'. 18J. N- 1 ). (1. 1: e=A. (YZ. e. i l ust.ram. e. isso.. Si mi 1 armente,. element.o di :ferente de zero da di agonal Z. de cert.as. V. F. 14]. (Ye's do modelo,. que por. Também os element..os que em V. ro. são. dit~erentes. de. zero. em. de Vti). em. cada. está a. sorna. 13]. têm covariância zero, V. sob. a. t'orma. -Co-Z/N),. r. F. chamada. covariância. de. entre. os. dois. hierarquizado dent.ro de cada sub-fat.or, os elementos de V. 00. 1101 e. 112].. riâncias. do. níveis. por. r. fat.or. cujas variâncias são. Exemplos disso são vist.os nas equações. Finalment.e,. o~. elementos zero de. V. 00. são cova-. enlre observações de diferent.es níveis do fat.or. em V ,. e assim,. F. são .-Cç2.-""N ) , A. A. devido. a. dependência,. como exemplificado em [13] e diferent~es. observações em. di ferent.es ní vei s. ní veis do fat.or. de t.odos os. out~ros. A. essas covariâncias 114J.. É claro que. A est.ão t.ambém em. fat.ores,. mas desde que. as populações são definidas soment.e dent.ro de fat.ores dent.ro dos. quais. soment.e. hierárquicos. são. -C0'2/ N. A. A. ). ent.ra. Ce. nessa. em part.icular covariância.. dent.ro. Est.a. de. t.ambém. A),. é. a.

(48) 3B.. razão pela qual o t.ermo. -CD·. 2 "\.... •. /·N "\.... ::1. surge em cada um dos out.ros. •. el ement.os de V . F. A subst.it.uição indicada em [211. para classifi-. CaÇa0 dupla hierirquica est.ende-se pront.ament.e a. Além disso, como vist.o, na. sificação hierárquica de ordem k. subst~i. cada clas-. t.ui ção de 2:. 0Ã. o. Z. por. 2. B. ~. D"A -. B. B é. em [211,. o fat.or hierárquico dent.ro de A. 'Similarment.e.. na subst.it.uição de. onde. 0. 2. e. é a. variância do erro,. o t.ermo erro pode ser pensado. como um "rat.or" hierárquico dent.ro de B. a sub-classi:ficação máxima do modelo.. Dest.a maneira.. a. t.roca 121J pode ser geme-. ralizada. Seja. y: e. denot.ando. hierárquico dent.ro de e, dent.ro de cada ní vel t.amanho popul aci onal) . rárquica dupla,. e seja N. do :fat.or Por. rat.or. r- imediat.ament.e. t.amanho da população. e (para cada ní vel,. o. r-. mesmo. numa cl assi:f i cação hi e-. onde B é hierárquico dent.ro de A e o ·':fat.or". t.ament.e dent.ro de A é não o :fat.or erro).. As. o. I'. exemplo:. erro é hierárquico dent.ro de. Regra:. o. B~. B Cist.o é,. Ent.ão t.emos a. esperanças dos. o. :fat.or hierárquico imediapara. r: A,. o :fat.or. r- é B e. seguint.e regra.. quadrados médios em modelos de. cl assi:f i cação hi er ár qui ca são obt.i das. a. par t.i r. dos. das populações infinit.as pela subst.it.uição de o~ por. valores.

(49) 39.. 122]. onde. ç,. 2. r:. é o componente de v'ariância do fat.or. r. e. Cr. imedia-. tamente hierárquico dentro de e). Três exemplos da Regra [22] estão mostrados na Tabela 1.. Tabela 1. Classificação hierárquica:. substituições necessá-. rias para obtenção das esperanças. dps. quadrados. médios em modelos com populações finilas, a. par-. tir de populações infinitas.. SIMPLES. DUPLA. A. B dentro de A. Cf. Z 0Ao. por. O'. 2. z O'. 2 Ao. Ao. Z 0B. O'. TRÍPLICE B denlro de A. C denlro de B z. . B. o. t:r B. z. o. por o B. o. Z. c. por o. z A. 2 B. 2. c. o. z B. r:rB. o. 2. c. --;:rc. o. Z. e. r:r-e. Para il ust.rar seu uso. apresenta-se. na Tabela 2, o quadro da análise de variância usual de uma classíficação simples. para. modelos. de. população infinila.. correspondentes resultados para população Tinit.a.. e. os seus.

(50) 40.. Tabela 2 -. P~álise. de variância.. Modelo:. Y .. t. J. =. f-!. +. e .. ,. +. CI;. •. 1.. i.. j. =. 1,. ,a;. 1 ,. ,n.. ECQM). c.. G. L.. V.. POPULAÇAo. POPULAÇAO. INFINITA. Erro. a-1. Ql1A. O'. n-a. QME. CY. Es~e. por ~.3. aI. à. ~er na t..i. :z e. +. no·. FINITA. 2: A. z. CY. e. z e. caso de classificação simples nos. di scussão. par a. modelos. de. ~rans-. f i ni ~a. popul ação. como. modelos de população infinit..a enfocada por. va de. McHUGH & MILKE (1958). No caso de população viesado usual. para. componen~es. inrini~a,. de variância. o. es~imador. en~re. não. classes é. o familiar. "z O'. A;OO. onde QM..4 e classes.. = CQMA -. QME)/n. [23J den~ro. QME são os quadrados médios ent.re e. respec~ivament_e,. Para populações. fini~as.. com n. das. observações em cada classe.. esses quadrados médios. ~êm. esperan-. ças +. e. ent.ão:. z. CY. E CQME) = F. z. CY. e. [ 24-1.

(51) 41.. E. F". (;2 ] A;OO. -= E. Qtv1A. [.. F". [. 1 n. =. o·. 1 n. -=. .... :2. e. n[. 1. E CQMA). o-. :2 cY A;F. z. ]]. e. -};-Je. EFCQME). n. F. 1. -. 2. O-. n. -=. e. 2. 1. =. onde. o·. n. população finila;. A;F". e ser á. «. t:rs-. A. de. "z. se o-. é. A;OO. O'. n. 2. E. negat.i va,. o. (;2 ). F". A;O). 2. e. O-. t:re. enlre. classes. e. var i ânci a. porlant.o,. =. O-. 2. A;F". pode. est.i mador. ser. para. negat-i va.. não vi ci ado su-. [ QMA. =. =QME. F. e,. 1. e. [23] para o caso de população fini t.a é:. ger.ido por. ":z o-. o·. +. e. 2. componenle. o. Além disso,. 2-. O-. [F. [25]. <. posi li vo se N. "z. o·. quando. 1. esli mador. par a. A;OO. de. n/C 1 -F), (231. popul ação. popul ação. é. f i ni la. próximo de n quando F lugar. de. sempre. que. pequeno. que 1,. F. Por. está. n/Cl-P). post.ul ação. é. sobre. quando. é. nega li vo,. próximo. N. «. e. que. n. de. que zero,. quando F. é. se. f i ni -ta. o. um. esli mador. consideremos n/C 1 -F). "z. t.lsando. t-enha. 17. A;F". mui lo. especialment.e. para. o. se. do que n,. -termo. em. ganho n. ligeirament.e menor. enlão apreciavelmenle maior popul ação. quando. Como. l-F". próY..imo de zero,. provável. outro lado,. é. posi li vo desde. C{1). pouco. Assi m,. negali vo.. i nf' i ni la. para população fini la será que a. com 1 -F sendo posi li vo poi s. é do. e. a. 0.1 ealór i o.