Elementos de Matemática

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Elementos de Matem´atica

Roteiro no.1 para as atividades did´

aticas de 2007

Vers˜ao compilada no dia 27 de Abril de 2007.

Departamento de Matem´atica - UEL

Prof. Ulysses Sodr´e

E-mail: ulysses@matematica.uel.br

Matem´atica Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/

Resumo: Notas de aulas constru´ıdas com materiais utilizados em nossas aulas na Universidade Estadual de Londrina. Desejo que elas sejam um roteiro para as aulas e não espero que estas no-tas venham a substituir qualquer livro sobre o assunto. Alguns conceitos foram obtidos em livros citados na Bibliografia, mas os assuntos foram bastante modificados. Em português, há pouco material de dom´ınio público, mas em inglês existem diversos ma-teriais que podem ser obtidos na Rede Internet. Sugerimos que o leitor fa¸ca pesquisas para obter materiais gratuitos para os seus estudos.

Mensagem: ‘Ora, a fé é o firme fundamento das coisas que se esperam e a prova das coisas que não se vêem. Porque por ela os antigos alcan¸caram bom testemunho. Pela fé entendemos que os mundos foram criados pela palavra de Deus; de modo que o vis´ıvel não foi feito daquilo que se vê.’

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Conte´

udo

1 Para quem estuda Matem´atica 1

1.1 Conversa com o aluno . . . 1

2 Elementos de Lógica e Conjuntos 2 2.1 Proposi¸cões (ou Senten¸cas) lógicas . . . 2

2.2 Tautologias e Equivalˆencia L´ogica . . . 7

2.3 Conjuntos definidos por proposi¸c˜oes l´ogicas . . . 13

2.4 Opera¸c˜oes com conjuntos . . . 14

2.5 Quantificadores L´ogicos . . . 17

2.6 Nega¸c˜ao de proposi¸c˜oes com quantificadores . . . 18

2.7 Exerc´ıcios. . . 20

2.8 Maior quantidade de conjuntos . . . 23

2.9 Proposi¸cões com valores lógicos numéricos . . . 24

2.10 Trabalhos que ser˜ao constru´ıdos pelos alunos . . . 25

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Cap´ıtulo 1

Para quem estuda Matem´

atica

1.1 Conversa com o aluno

O Prof. Geraldo Ávila [3] mostra uma estratégia para estudar Matemática: Ninguém aprende Matemática ouvindo o professor em sala de aula, por mais organizadas e claras que sejam as suas prele¸cões, por mais que se entenda tudo o que ele explica. Isso ajuda muito, mas é preciso estudar por conta própria logo após as aulas, antes que o benef´ıcio delas desapare¸ca com o tempo. Portanto, você, leitor, não vai aprender Matemática porque assiste aulas, mas por que estuda. E esse estudo exige muita disciplina e concentra¸cão: estuda-se sen-tado à mesa, com lápis e papel à mão, prontos para o seu uso a todo momento. Você tem de interromper a leitura com freqüência, para ensaiar a sua parte: fazer um gráfico ou diagrama, escrever al-guma coisa ou simplesmente rabiscar uma figura que ajude a seguir o racioc´ınio do livro, sugerir ou testar uma idéia; escrever uma fórmula, resolver uma equa¸cão ou fazer um cálculo que verifique se alguma afirma¸cão do livro está mesma correta. Por isso mesmo, não espere que o livro seja completo, sem lacunas a serem preenchidas pelo leitor; do contrário, esse leitor será induzido a uma situa¸cão pas-siva, quando o mais importante é desenvolver as habilidades para o trabalho independente, despertando a capacidade de iniciativa in-dividual e a criatividade. Você estará fazendo progresso realmente significativo quando sentir que está conseguindo aprender sozinho, sem ajuda do professor; quando sentir que está realmente

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‘apren-Cap´ıtulo 2

Elementos de L´

ogica e Conjuntos

‘Tu, porém, permanece naquilo que aprendeste, e de que foste inteirado, sabendo de quem o tens aprendido, e que desde a infância sabes as sagradas letras, que podem fazer-te sábio para a salva¸cão, pela que há em Cristo Jesus. Toda Escritura é divi-namente inspirada e proveitosa para ensinar, para repreender, para corrigir, para instruir em justi¸ca; para que o homem de Deus seja perfeito, e perfeitamente preparado para toda boa obra.’ A B´ıblia Sagrada, II Timóteo 3:14-17

2.1 Proposi¸

c˜

oes (ou Senten¸

cas) l´

ogicas

Nesta se¸cão, nós tratamos sobre proposi¸cões (ou senten¸cas) lógicas, suas val-idades e falsval-idades, além do modo de combinar ou ligar proposi¸cões para produzir novas proposi¸cões. Primeiro, vamos apresentar uma defini¸cão de proposi¸cão lógica.

Defini¸cão 1 (Proposi¸cão). Uma proposi¸cão (ou senten¸ca ou frase) é um con-junto de palavras ou s´ımbolos que exprimem uma afirma¸cão de modo com-pleto.

Defini¸cão 2 (Proposi¸cão lógica). Uma proposi¸cão (ou senten¸ca ou frase) lógica é uma expressão que é verdadeira ou falsa.

A Lógica Matemática (bivalente) está apoiada em dois princ´ıpios:

1. Princ´ıpio da não contradi¸cão: Uma proposi¸cão não pode ser ao mesmo tempo, verdadeira e falsa.

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2.1. PROPOSIÇ ÕES (OU SENTENÇ AS) L ÓGICAS 3

2. Princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo: Toda proposi¸cão, ou é verdadeira ou é falsa, mas não pode ser uma terceira situa¸cão.

Observa¸cão 1. Jan Lukasiewicz (1920) estudou a Lógica trivalente, ad-mitindo a existência de três situa¸cões: Verdadeiro , falso ou é poss´ıvel . Detalhes sobre isto podem ser encontrados na página 92 do livro “Introdu¸cão `

a Lógica Matemática” de Benedito Castrucci, GEEM, São Paulo, 1973. O paranaense Newton C. A. Costa também estudou o assunto.

Exemplo 1. Proposi¸c˜oes.

1. A proposi¸c˜ao 2+2=4 ´e verdadeira.

2. A proposi¸cão π é um número racional é falsa.

Não é fun¸cão da Lógica decidir se uma particular proposi¸cão é verdadeira ou falsa, pois existem proposi¸cões cuja validade ou falsidade ainda não tenha sido estabelecida até hoje, como:

Teorema 1 (Conjectura de Goldbach). Todo número par maior do que 2 é a soma de dois números primos.

Existe um defeito em nossa defini¸cão, pois nem sempre é fácil determinar se uma senten¸ca é uma senten¸ca lógica ou não.

Por exemplo, considere a senten¸ca Eu estou mentindo, n˜ao estou? . O que vocˆe pensa desta senten¸ca?

Existem senten¸cas que são proposi¸cões lógicas, do ponto de vista da nossa defini¸cão.

Defini¸c˜ao 3 (Conectivos). Conectivos s˜ao palavras ou grupos de palavras usadas para juntar duas senten¸cas.

Conectivo Significado

Conjun¸c˜ao e

Disjun¸c˜ao ou

Nega¸c˜ao n˜ao

Condicional se ... ent˜ao Bicondicional se, e somente se,

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Na seqüência, iremos discutir modos de ligar proposi¸cões lógicas com conec-tivos para formar novas proposi¸cões lógicas.

Defini¸cão 4 (Novas proposi¸cões lógicas). Se p e q são proposi¸cões lógicas, definiremos cinco novas proposi¸cões lógicas:

Nome da nova proposi¸cão Nota¸cão em Lógica Significado

Conjun¸c˜ao de p e q p ∧ q p e q

Disjun¸c˜ao de p e q p ∨ q p ou q

Nega¸c˜ao de p ¬p n˜ao p

Condicional entre p e q p → q p implica q

Bicondicional entre p e q p ←→ q p equivale a q

Defini¸cão 5 (Validade da Conjun¸cão). A conjun¸cão entre p e q, denotada por p ∧ q (lê-se: p e q) é verdadeira se as duas proposi¸cões p e q são ambas verdadeiras e é falsa nas outras situa¸cões.

Exemplo 2. Conjun¸c˜ao.

1. A proposi¸c˜ao 2+2=4 e 2+3=5 ´e verdadeira.

2. A proposi¸cão 2+2=4 e π é um número racional é falsa.

Observa¸cão 2 (Tabela-Verdade da Conjun¸cão). Reunimos em uma tabela, todas as informa¸cões relacionando afirma¸cões Verdadeiras e Falsas sobre a conjun¸cão: p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F

Defini¸cão 6 (Validade da Disjun¸cão). A disjun¸cão entre p e q, denotada por p ∨ q (lê-se: p ou q) é verdadeira se pelo menos uma das proposi¸cões p ou q é verdadeira, e é falsa nos outros casos.

Exemplo 3. Disjun¸c˜ao.

1. A proposi¸c˜ao 2+2=2 ou 1+3=5 ´e falsa.

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Observa¸cão 3 (Tabela-Verdade da Disjun¸cão). Reunimos em uma tabela, todas as informa¸cões relacionando afirma¸cões Verdadeiras e Falsas sobre a disjun¸cão: p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F

Observa¸cão4 (Demonstrar uma disjun¸cão). Para demonstrar que uma proposi¸cão p ∨ q é verdadeira, vamos assumir que a proposi¸cão p é falsa e usar este fato para deduzir que a proposi¸cão q é verdadeira. Se a proposi¸cão p é verdadeira, o nosso argumento já está correto, não importa se a proposi¸cão q é verdadeira ou falsa.

Defini¸cão 7 (Validade da Nega¸cão). A nega¸cão de p, denotada por ¬p (lê-se: não p) é verdadeira se a proposi¸cão p é falsa, e é falsa se a proposi¸cão p é verdadeira.

Exemplo 4. Nega¸c˜ao.

1. A nega¸cão da proposi¸cão 2+2=4 é a proposi¸cão 2 + 2 6= 4 .

2. A nega¸cão da proposi¸cão π é um racional é a proposi¸cão π é um irracional .

Observa¸cão 5 (Tabela-Verdade da Nega¸cão). Reunimos em uma tabela, todas as informa¸cões relacionando afirma¸cões Verdadeiras e Falsas sobre a nega¸cão:

p ¬p

V F

F V

Defini¸cão 8 (Validade da Condicional). A condicional entre p e q, denotada por p → q (lê-se: se p, então q) é verdadeira se a proposi¸cão p é falsa ou se a proposi¸cão q é verdadeira ou ambas, e é falsa nas outras situa¸cões.

Observa¸cão 6 (Tabela-Verdade da Condicional). Reunimos em uma tabela, todas as informa¸cões relacionando afirma¸cões Verdadeiras e Falsas sobre a

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2.1. PROPOSIÇ ÕES (OU SENTENÇ AS) L ÓGICAS 6 condicional: p q p → q V V V V F F F V V F F V

Observa¸cão7 (Senten¸ca falsa). Uma proposi¸cão p → q é falsa se a proposi¸cão p é verdadeira e a proposi¸cão q é falsa. Isto significa que construindo uma conclusão falsa de uma hipótese verdadeira, o nosso argumento será falso. Por outro lado, se a nossa hipótese é falsa ou se a nossa conclusão é verdadeira, então o nosso argumento ainda pode ser aceito.

Exemplo 5. Senten¸cas falsas.

1. A proposi¸cão Se 2+2=4, então π é um número racional é falsa.

2. A proposi¸cão Se 2+2=2, então 1+3=5 é verdadeira, pois a proposi¸cão 2+2=2 é falsa.

3. A proposi¸cão Se π é um número racional, então 2+2=4 é verdadeira.

Defini¸cão 9 (Validade da Bicondicional). A bicondicional entre p e q, deno-tada por p ←→ q (lê-se: p se e somente se q) é verdadeira se as proposi¸cões p e q são ambas verdadeiras ou ambas são falsas, e é falsa nos outros casos.

Exemplo 6. Bicondicionais.

1. A proposi¸cão 2+2=4 se, e somente se, π é um número irracional é ver-dadeira.

2. A proposi¸cão 2+2=4 se, e somente se, π é um número racional é falsa.

Observa¸cão 8 (Tabela-Verdade da Bicondicional). Reunimos em uma tabela, todas as informa¸cões relacionando afirma¸cões Verdadeiras e Falsas sobre a bicondicional: p q p ←→ q V V V V F F F V F F F V

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2.2. TAUTOLOGIAS E EQUIVALˆENCIA L ´OGICA 7

Observa¸cão 9 (Tabela-Verdade das cinco novas proposi¸cões). Reunimos em uma tabela, as afirma¸cões Verdadeiras e Falsas sobre as cinco novas proposi¸cões lógicas, usando a letra V para a palavra Verdadeiro e a letra F para a palavra Falso. p q p ∧ q p ∨ q ¬p p → q p ←→ q V V V V F V V V F F V F F F F V F V V V F F F F F V V V

Observa¸c˜ao _{10 (Sobre a palavra ou). Em L´ogica, a palavra ou pode ser}

entendida como uma coisa, ou outra coisa ou ambas as coisas. Se você perguntar a alguma pessoa se ela gosta de chocolate ou de café, não se surpreenda com a resposta pois ela pode gostar dos dois!

2.2 Tautologias e Equivalˆ

encia L´

ogica

Defini¸cão 10 (Tautologia). Uma tautologia é uma proposi¸cão cujo valor lógico ´_{e sempre verdadeiro.}

Observa¸cão 11 (Sobre tautologia). Com o conceito de tautologia, podemos generalizar as defini¸cões de conjun¸cão ou disjun¸cão para proposi¸cões com mais do que duas proposi¸cões, e assim podemos escrever, p ∧ q ∧ r ou p ∨ q ∨ r sem nos preocuparmos com os parênteses.

Observa¸c˜ao 12 (Setas duplas). Usamos a seta dupla u ⇐⇒ v para indicar que uma condicional da forma u ←→ v ´e uma Tautologia. Como exemplo:

1. (p ∧ q) ∧ r ⇐⇒ p ∧ (q ∧ r). 2. (p ∨ q) ∨ r ⇐⇒ p ∨ (q ∨ r).

3. (p ←→ q) ⇐⇒ (p → q) ∧ (q → p)

Defini¸cão 11 (Contradi¸cão). Uma contradi¸cão é uma proposi¸cão cujo valor lógico ´_{e sempre falso.}

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Exemplo 7 (Tabela-Verdade de uma proposi¸cão composta). Construiremos a Tabela-Verdade de uma proposi¸cão composta como (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q), utilizando novas variáveis u, v e w, para simplificar esta proposi¸cão à forma u ∧ w, onde: u : (p ∨ q) v : (p ∧ q) w : ¬v 1. Tabela-Verdade de u: (p ∨ q), p q u : p ∨ q V V V V F V F V V F F F 2. Tabela-Verdade de v: (p ∧ q), p q v : p ∧ q V V V V F F F V F F F F 3. Tabela-Verdade de w: ¬v. v w : ¬v V F F V F V F V 4. Tabela-Verdade de u ∧ w: u w u ∧ w V F F V V V V V V F V F

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Como temos uma grande quantidade de informa¸cões, é comum reunir a Tabela-Verdade final de u ∧ w com todas as opera¸cões, tomando a forma:

p q p ∨ q p ∧ q ¬(p ∧ q) (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)

V V V V F F

V F V F V V

F V V F V V

F F F F V F

Exemplo 8 (Algumas condicionais). Implica¸c˜oes.

1. Se p é verdadeira e q é verdadeira, então p ∧ q é verdadeira. 2. Se p é verdadeira ou q é verdadeira, então p ∨ q é verdadeira. 3. Se p é verdadeira e p → q é verdadeira, então q é verdadeira. 4. Se ¬p é verdadeira e p ∨ q é verdadeira, então q é verdadeira. 5. Se ¬q é verdadeira e p → q é verdadeira, então ¬p é verdadeira.

6. Se p ∨ q é verdadeira e p → r é verdadeira e q → r é verdadeira, então r é verdadeira.

7. Se p → q é verdadeira e q → r é verdadeira, então p → r é verdadeira. 8. Se p é verdadeira, p → q é verdadeira e q → r é verdadeira, então r é

verdadeira.

Exemplo 9 (Algumas bicondicionais). Tautologias:

1. (p ∧ (q ∧ r)) ⇐⇒ ((p ∧ q) ∧ r). 2. (p ∧ q) ⇐⇒ (q ∧ p). 3. (p ∨ (q ∨ r)) ⇐⇒ ((p ∨ q) ∨ r). 4. (p ∨ q) ⇐⇒ (q ∨ p). 5. p ∨ ¬p. 6. (p → q) ⇐⇒ (¬q → ¬p).

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8. ¬(p ←→ q) ⇐⇒ ((p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q).

Teorema 2 (Leis distributivas). Se p, q e r são proposi¸cões lógicas, as seguintes proposi¸cões são tautologias muito usadas em Matemática.

1. (p ∧ (q ∨ r)) ⇐⇒ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) 2. (p ∨ (q ∧ r)) ⇐⇒ ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r))

Demonstra¸cão da Primeira Lei distributiva. Vamos supor que a proposi¸cão (p ∧ (q ∨ r)) seja verdadeira. Então, as duas proposi¸cões p e q ∨ r são verdadeiras. Como q ∨ r é verdadeira, pelo menos uma das proposi¸cões, q ou r deve ser verdadeira. Se a verdadeira for q, então segue que p e q são ver-dadeiras e assim segue que p ∧ q é verdadeira, logo p ∧ q ou p ∧ r é verdadeira, assim ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) é verdadeira.

Reciprocamente, vamos supor que ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) é uma proposi¸cão ver-dadeira. Assim, pelo menos uma das proposi¸cões p ∧ q ou p ∧ r é verdadeira. Se a verdadeira for p ∧ q, então as duas proposi¸cões p e q são verdadeiras, logo Q é verdadeira e segue que q ∨ r é verdadeira e temos que p ∧ (q ∨ r) é verdadeira.

Agora consideremos que as duas proposi¸cões ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) e p ∧ (q ∨ r) são ambas verdadeiras ou ambas falsas, pois a verdade de uma implica a verdade da outra. Segue que a bicondicional (p ∧ (q ∨ r)) ←→ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r)) é uma tautologia.

Demonstra¸c˜ao da Segunda Lei distributiva. Exerc´ıcio para casa.

Todas estas tautologias podem ser demonstradas através de suas Tabelas-Verdade. Sugiro que use esta metodologia para as próximas demonstra¸cões.

Teorema 3 (Leis de Augustus de Morgan). Se p e q são proposi¸cões lógicas, as seguintes proposi¸cões são tautologias:

1. ¬(p ∧ q) ←→ (¬p ∨ ¬q). 2. ¬(p ∨ q) ←→ (¬p ∧ ¬q).

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Teorema 4 (Leis de inferência). Se p, q e r são proposi¸cões lógicas, as seguintes proposi¸cões são tautologias:

1. Modus Ponens: (p ∧ (p → q)) → q. 2. Modus Tollens: ((p → q) ∧ ¬q) → ¬p.

3. Lei de silogismo: ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r).

Defini¸cão 12 (Senten¸cas equivalentes). Diz-se que duas proposi¸cões p e q são logicamente equivalentes se a proposi¸cão p ←→ q é uma tautologia. Isto significa que as duas senten¸cas lógicas representam o mesmo objeto do ponto de vista da Lógica.

Exemplo 10. Senten¸cas equivalentes.

1. As proposi¸cões (p → q) e (¬q → ¬p) são logicamente equivalentes, sendo que a proposi¸cão (¬q → ¬p) recebe o nome de contrapositiva da proposi¸cão (p → q).

2. As proposi¸cões p → q e q → p não são logicamente equivalentes, sendo que a proposi¸cão (q → p) é denominada a rec´ıproca da proposi¸cão (p → q).

Exemplo 11. Quatro importantes equivalências lógicas. Usando as tabelas-verdade, mostrar que as quatro proposi¸cões lógicas abaixo são equivalentes:

1. p → q

2. (¬q) → (¬p)

3. (¬q) ∧ p ⇒ F ( Afirma¸c˜ao absurda) 4. (¬p) ∨ q ⇒ V ( Afirma¸c˜ao verdadeira) Exerc´ıcio: Demonstrar que

1. Idempotência da conjun¸cão: p ∨ p ⇐⇒ p 2. Idempotência da disjun¸cão: p ∧ p ⇐⇒ p

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3. Associatividade da conjun¸cão: (p ∧ q) ∧ r ⇐⇒ p ∧ (q ∧ r) 4. Associatividade da disjun¸cão: (p ∨ q) ∨ r ⇐⇒ p ∨ (q ∨ r) 5. Identidade da conjun¸cão com a verdade: p ∧ V ⇐⇒ p 6. Identidade da conjun¸cão com a falsidade: p ∧ F ⇐⇒ F 7. Identidade da disjun¸cão com a verdade: p ∨ V ⇐⇒ V 8. Identidade da disjun¸cão com a falsidade: p ∨ F ⇐⇒ p 9. Complementar com a conjun¸cão: p ∧ ¬p ⇐⇒ F

10. Complementar com a disjun¸c˜ao: p ∨ ¬p ⇐⇒ V 11. Complementar da verdade: ¬V ⇐⇒ F

12. Complementar da falsidade: ¬F ⇐⇒ V 13. Nega¸c˜ao da nega¸c˜ao: ¬(¬p) ⇐⇒ p

Observa¸cão13 (Setas simples e duplas). Algumas vezes usamos setas simples como ←→ em bicondicionais, mas usamos setas duplas ⇐⇒ para mostrar que a proposi¸cão da esquerda é logocamente equivalente à proposi¸cão da direita.

Exemplo 12. Algumas equivalˆencias l´ogicas.

1. p ∨ [q ∧ (¬q)] ⇐⇒ p

Significando que “p ∨ [q ∧ (¬q)]” equivale a “p” 2. p ∧ [q ∨ (¬q)] ⇐⇒ p

3. p → q ⇐⇒ (¬p) ∨ q 4. ¬(p → q) ⇐⇒ p ∧ (¬q)

5. (p ↔ q) ⇐⇒ (p → q) ∧ (q → p)

Significando que “p ↔ q” equivale a “(p → q) ∧ (q → p)” 6. (p ↔ q) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ [(¬p) ∧ (¬q)]

7. p → (q → r) ⇐⇒ (p ∧ q) → r 8. p → q ⇐⇒ (¬q) → (¬p)

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2.3. CONJUNTOS DEFINIDOS POR PROPOSIÇ ÕES L ÓGICAS 13

2.3 Conjuntos definidos por proposi¸

c˜

oes l´

ogicas

Comumente surgem proposi¸cões como x é par com uma ou mais variáveis, que são denominadas fun¸cões sentenciais ou fun¸cões proposicionais ou sim-plesmente proposi¸cões lógicas.

Vamos nos fixar no exemplo: x é par . Esta proposi¸cão é verdadeira para alguns valores de x e falsa para outros. Várias perguntas aparecem:

1. Quais s˜_{ao os valores permitidos para x?}

2. A proposi¸c˜ao ´_{e verdadeira para todos estes valores de x citados?} 3. A proposi¸c˜ao ´_{e verdadeira para alguns valores de x citados?}

Para responder à primeira pergunta, nós necessitamos conhecer o universo U em que estamos trabalhando, mas para trabalhar com este conceito, necessi-tamos entender qual é o significado da palavra conjunto.

Entendemos a palavra conjunto como uma palavra cujo sentido é conhecido por todos. Algumas vezes, nós usamos a palavra sinônima classe ou cole¸cão. No entanto, tais palavras aparecem nos livros, tendo significados diferentes. Pelo que se vê, conjunto é um conceito abstrato que deve ser aceito por todos como algo comum do seu cotidiano. O importante sobre um conjunto não é o que é um conjunto mas é o que o conjunto contém, ou seja, quais são os seus elementos? Será que existe algum elemento?

Se P é um conjunto e x é um elemento de P, nós escrevemos x ∈ P para entender que x pertence ao conjunto P . O s´ımbolo ∈ é um s´ımbolo de pertinência.

Um conjunto é usualmente descrito em uma das seguintes formas. Por: 1. enumera¸cão: {1, 2, 3} denota o conjunto com os números 1, 2 e 3 e nada

mais.

2. descri¸cão ou propriedade com uma proposi¸cão p(x): Aqui usamos um conjunto universo U que contém todos os elementos x do conjunto. Assim, Nós escrevemos P = {x : x ∈ U e p(x) é verdadeira} ou

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sim-2.4. OPERAC¸ ˜OES COM CONJUNTOS 14

O conjunto que n˜ao tem elementos ´e o conjunto vazio, denotado por ∅.

Exemplo 13. Alguns conjuntos importantes.

1. N = {1, 2, 3, 4, 5, ..., n, n + 1, ...} é o conjunto dos números naturais. 2. Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} é o conjunto dos números inteiros.

3. {x : x ∈ N e − 2 < x < 2} = {1}.

4. {x : x ∈ Z e − 2 < x < 2} = {−1, 0, 1}. 5. {x : x ∈ N e − 1 < x < 1} = ∅.

2.4 Opera¸

c˜

oes com conjuntos

Se P é um conjunto descrito pela proposi¸cão p = p(x), isto é, P = {x : p(x)} e Q é um conjunto descrito pela proposi¸cão q = q(x), isto é Q = {x : q(x)}, sendo P e Q conjuntos relativos a um certo universo U , definimos novos conjuntos:

Interse¸c˜ao P ∩ Q = {x : p(x) ∧ q(x)} Reuni˜ao P ∪ Q = {x : p(x) ∨ q(x)}

Complementar Pc = {x : ¬p(x)}

Diferen¸ca P − Q = {x : p(x) ∧ ¬q(x)} Com as defini¸cões acima, não é dif´ıcil mostrar que

1. P ∩ Q = {x : x ∈ P e x ∈ Q}, 2. P ∪ Q = {x : x ∈ P ou x ∈ Q}, 3. Pc = {x : x /∈ P },

4. P − Q = {x : x ∈ P e x /∈ Q}.

Defini¸cão 13 (Subconjunto). Um conjunto P é um subconjunto do conjunto Q, denotado por P ⊆ Q ou por Q ⊇ P , se todo elemento de P também é um elemento de Q.

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2.4. OPERAC¸ ˜OES COM CONJUNTOS 15

Observa¸cão 14. Se P = {x : p(x)} e Q = {x : q(x)} em um universo U , então P ⊆ Q se, e somente se, a proposi¸cão lógica p(x) → q(x) é verdadeira para todo x ∈ U .

Defini¸cão 14 (Conjuntos iguais). Dois conjuntos P e Q são iguais, denotado por P = Q, se eles contêm os mesmos elementos, isto é, se cada conjunto é um subconjunto do outro conjunto, isto é, se P ⊆ Q e Q ⊆ P .

Defini¸c˜ao 15 (Conjuntos disjuntos). Dois conjuntos A e B s˜ao disjuntos se, A ∩ B = ∅.

Defini¸cão 16 (Subconjunto próprio). Dizemos que P é um subconjunto próprio de Q, denotado por P ⊂ Q ou por Q ⊃ P , se P ⊆ Q mas P 6= Q. Os resultados sobre Conjuntos são demonstrados a partir de seus análogos em Lógica.

Teorema 5 (Leis distributivas). Se P , Q e R s˜ao conjuntos, ent˜ao

1. P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R), 2. P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R).

Demonstra¸cão da Primeira lei distributiva para conjuntos. Faremos uso da Primeira lei Distributiva para proposi¸cões lógicas.

Se as proposi¸cões p = p(x), q = q(x) e r = r(x) estão respectivamente relacionadas aos conjuntos P , Q e R com respeito a um dado universo U , então P = {x : p(x)}, Q = {x : q(x)} e R = {x : r(x)}. Assim, temos dois conjuntos

P ∩ (Q ∪ R) = {x : p(x) ∧ (q(x) ∨ r(x))}

(P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) = {x : (p(x) ∧ q(x)) ∨ (p(x) ∧ r(x))}

Se x ∈ P ∩ (Q ∪ R), então p(x) ∧ (q(x) ∨ r(x)) é verdadeira. Pela primeira lei distributiva para fun¸cões sentenciais, a equivalência lógica

(p(x) ∧ (q(x) ∨ r(x))) ←→ ((p(x) ∧ q(x)) ∨ (p(x) ∧ r(x))) ´e uma tautologia.

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2.4. OPERAC¸ ˜OES COM CONJUNTOS 16

Assim, (p(x)∧q(x))∨(p(x)∧r(x)) ´e verdadeira, tal que x ∈ (P ∩Q)∪(P ∩R). Isto d´a

P ∩ (Q ∪ R) ⊂ (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) (2.1)

Se x ∈ (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R). Então (p(x) ∧ q(x)) ∨ (p(x) ∧ r(x)) é verdadeira. Segue da primeira lei distributiva para fun¸cões sentenciais que p(x) ∧ (q(x) ∨ r(x)) é verdadeira, tal que x ∈ P ∩ (Q ∪ R). E segue outro um resultado:

(P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) ⊂ P ∩ (Q ∩ R) (2.2)

A demonstra¸c˜ao segue das duas inclus˜oes (2.1) e (2.2).

Teorema 6 (Leis de De Morgan). Se P e Q s˜ao conjuntos em um universo U , ent˜ao

1. (P ∩ Q)c = Pc ∪ Qc_,

2. (P ∪ Q)c = Pc ∩ Qc.

Teorema 7. Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, valem as seguintes propriedades

1. ∅ ⊂ A 2. A ⊂ U

3. A ∩ B ⊂ A ⊂ A ∪ B 4. A ∩ B ⊂ B ⊂ A ∪ B

Teorema 8. Se A e B são conjuntos, demonstre que são equivalentes as afirma¸cões:

1. A ⊂ B 2. A = A ∩ B 3. B = A ∪ B

Teorema 9. Se S ⊂ U , ent˜ao U − S = U ∩ Sc.

Teorema 10 (Propriedades da reuni˜ao e da interse¸c˜ao). Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, valem as seguintes propriedades:

(19)

2.5. QUANTIFICADORES L ÓGICOS 17 1. A ∪ ∅ = A 2. A ∪ U = U 3. A ∪ A = A 4. A ∪ B = B ∪ A 5. (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 6. A ∩ ∅ = ∅ 7. A ∩ U = A 8. A ∩ A = A 9. A ∩ B = B ∩ A 10. (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) Exerc´ıcio: Definir a reunião, a interse¸cão e as leis de De Morgan para três conjuntos.

2.5 Quantificadores L´

ogicos

Vamos voltar ao exemplo x é par tratado no in´ıcio da Se¸cão 2.3, e restringir a nossa aten¸cão aos valores de x pertencentes ao conjunto Z de todos os números inteiros. Assim:

1. A proposi¸cão x é par é verdadeira apenas para alguns valores de x ∈ Z. 2. A proposi¸cão Alguns elementos x em Z são pares é verdadeira.

3. A proposi¸cão Todos os elementos x em Z são pares é falsa.

Em geral, usamos uma fun¸cão proposicional da forma p = p(x), em que a variável x está em algum conjunto X muito bem estabelecido.

Defini¸c˜ao 17 (Quantificadores). Os s´ımbolos ∀ (para todo) e ∃ (existe um) s˜ao, respectivamente, denominados quantificadores universal e existencial.

Observa¸cão 15 (Sobre quantificadores). Os s´ımbolos ∀ (para todo) e ∃ (ex-iste um) devem ser usados sempre antes da afirma¸cão lógica! Caso necessite usar após a afirma¸cão, use palavras nos lugares dos s´ımbolos.

Assim, podemos considerar as duas proposi¸c˜oes abaixo, escritas nas suas re-spectivas formas simplificadas:

(20)

2.6. NEGAÇ ÃO DE PROPOSIÇ ÕES COM QUANTIFICADORES 18

1. Qualquer que seja x ∈ X, p = p(x) ´e verdadeira, denotada em s´ımbolos por:

∀x ∈ X : p(x)

2. Existe um x ∈ X tal que p = p(x) ´e verdadeira, denotada em s´ımbolos por:

∃x ∈ X : p(x)

Observa¸cão 16 (Variável muda). A variável x na proposi¸cão ∀x : p(x) é uma variável muda, significando que a letra x pode ser trocada por qualquer outra letra. Assim, não há diferen¸ca lógica entre a proposi¸cão ∀x : p(x) e a proposi¸cão ∀y : p(y) ou a proposi¸cão ∀z : p(z).

Exemplo 14. Algumas frases e as suas respectivas simplifica¸cões: Para cada x real, x2 é não negativo ∀x ∈ R, x2 _{≥ 0}

Existe um n´umero real tal que x2 = 4 ∃x ∈ R : x2 = 4 Para cada x real, existe y real tal que

x + y = 0

∀x ∈ R, ∃y ∈ R : x + y = 0 Para quaisquer n´umeros reais x e a,

vale a identidade (produto not´avel) x2 − a2 ≡ (x − a)(x + a)

∀x, a ∈ R : x2_{− a}2 _{≡ (x − a)(x + a)}

Para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que se |x−a| < δ ent˜ao |f (x)−f (a)| < ε

∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε

(Lagrange): Todo n´umero natural ´e a soma dos quadrados de quatro in-teiros

∀n ∈ N, ∃a, b, c, d ∈ Z : n = a2 ₊

b2 + c2 + d2 (Goldbach): Todo n´umero par

natu-ral maior do que 2 ´e a soma de dois n´umeros primos

∀n ∈ N − {1}, ∃p, q primos : 2n = p + q

Não se sabe até o momento se a conjectura de Goldbach é verdadeira ou falsa. Este é um problema ainda sem solu¸cão na Matemática.

2.6 Nega¸

c˜

ao de proposi¸

c˜

oes com quantificadores

Desenvolveremos uma regra para negar proposi¸cões com quantificadores. Ao afirmarmos que: Todos os alunos são feios , talvez você não goste. Parece

(21)

2.6. NEGAÇ ÃO DE PROPOSIÇ ÕES COM QUANTIFICADORES 19

que negar uma proposi¸cão ∀x : p(x) é afirmar que ∃x : ¬p(x), isto é, existe alguém que não é feio!

Existe um outro modo de entender isto. Seja U o universo e todos os valores de x para os quais vale a proposi¸c˜ao l´ogica p = p(x), assim definimos o conjunto P = {x : p(x)}.

Se a proposi¸cão ∀x : p(x) é verdadeira, então P = U , assim Pc = Uc = ∅, mas como Pc = {x : ¬p(x)}, assim, se a proposi¸cão ∃x : ¬p(x) fosse verdadeira seguiria que Pc 6= ∅, logo, (Pc₎c _{6= U}c _{= ∅, garantindo que P 6= ∅,}

o que seria uma contradi¸c˜ao.

Por outro lado, se a proposi¸cão ∀x : p(x) é falsa, então P 6= U , logo Pc 6= ∅ e segue que a proposi¸cão ∃x : ¬p(x) é verdadeira.

Vamos acalmar o pessoal: Nem todos os alunos são feios . Você ainda recla-mará, pois talvez nenhum de vocês seja feio. Então, é natural suspeitar que a nega¸cão de uma proposi¸cão ∃x : p(x) seja a proposi¸cão ∀x : p(x).

Para resumir a forma de negar uma proposi¸cão, nós devemos simplesmente: mudar o quantificador para o outro tipo e negar proposição p = p(x).

Suponhamos que exista uma proposi¸c˜ao bem complicada. Vamos aplicar ponto a ponto a nossa simples regra. Por exemplo:

¬[∀x, ∃y, ∀z, ∀w : p(x, y, z, w)] é equivalente a ∃x : ¬[∃y, ∀z, ∀w : p(x, y, z, w)] que é equivalente a ∃x, ∀y : ¬[∀z, ∀w : p(x, y, z, w)] que equivale a ∃x, ∀y, ∃z : ¬[∀w : p(x, y, z, w)] que também é equivalente a

(22)

2.7. EXERC´ıCIOS 20

1. Manter as vari´aveis em sua ordem original, 2. Trocar os quantificadores e

3. Negar a proposic¸˜ao.

Exemplo: A nega¸c˜ao da conjectura de Goldbach pode ser escrita como ∃n ∈ N − {1}, ∀p, q n´umeros primos : 2n 6= p + q

significando que existe um número natural par maior do que 2 que não é a soma de dois números primos. Para mostrar que a conjectura de Goldbach não funciona, basta apresentar um contraexemplo, isto é, os objetos satisfazendo aos conjuntos mas não atendendo a conclusão.

2.7 Exerc´ıcios

1. Usando Tabelas-Verdade ou outro tipo de demonstra¸cão, verificar que cada uma das seguintes proposi¸cões é uma tautologia:

(a) p → (p ∨ q) (b) p → (q → p)

(c) (p → q) ←→ (¬q → ¬p)

(d) ((p ∧ ¬q) → q) → (p → q) (e) (p ∨ (p ∧ q)) ←→ p

2. Decidir (e justificar) se cada afirma¸c˜ao ´e uma tautologia: (a) (p ∨ q) → (q → (p ∧ q)) (b) ((p ∨ q) ∧ r) ←→ (p ∨ (q ∧ r)) (c) (p ∧ q) → (p → q) (d) (p → ¬(q → r)) ↔ (¬(p → q)∨(p → ¬r)) (e) p → (q ∧ (r ∨ s)) (f) ¬[(p ∧ q) ∨ r] ←→ ((¬p ∨ ¬q) ∧ ¬r) (g) (p ∧ (q ∨ (r ∧ s))) ←→ ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r ∧ s)) (h) ((p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r)) (i) (p ∧ q ∧ r) ←→ (s ∨ t) (j) (¬[p → q]) ←→ (¬p → ¬q)

(23)

(k) ((r ∨ s) → (p ∧ q)) → (p → (q → (r ∨ s))) (l) (¬[p → q] ∧ (r ←→ s)) → (t → u)

(m) (p → q) → (q → p)

3. Para cada afirma¸cão, decidir se ela é verdadeira ou falsa, justificando a sua asser¸cão:

(a) Se p é verdadeira e q é falsa, então p ∧ q é verdadeira.

(b) Se p é verdadeira, q é falsa e r é falsa, então p ∨ (q ∧ r) é verdadeira. (c) A proposi¸cão (p ←→ q) ←→ (q ←→ p) é uma tautologia.

(d) As proposi¸c˜oes p ∧ (q ∨ r) e (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) s˜ao logicamente equi-valentes.

4. Listar os elementos de cada um dos conjuntos: (a) {x ∈ N : x < 45} (b) {x ∈ Z : x < 45} (c) {x ∈ R : x2 + 2x = 0} (d) {x ∈ Q : x2 + 4 = 6} (e) {x ∈ Z : x4 = 1} (f) {x ∈ N : x4 = 1}

5. Qual é o número de elementos de cada conjunto abaixo? Tais conjuntos são diferentes?

(a) ∅ (b) {∅} (c) {{∅}} (d) {∅, {∅}} (e) {∅, ∅}

6. Sejam U = {a, b, c, d}, P = {a, b} e Q = {a, c, d}. Escrever os seguinte conjuntos:

(a) P ∪ Q (b) P ∩ Q (c) Pc (d) Qc

7. Sejam U = R, A = {x ∈ R : x > 0}, B = {x ∈ R : x > 1} e C = {x ∈ R : x < 2}. Obter cada um dos seguintes conjuntos:

(a) A ∪ B (b) A ∪ C (c) B ∪ C (d) A ∩ B (e) A ∩ C (f) B ∩ C (g) A−B (h) B −C (i) A − C (j) Ac (k) Bc (l) Cc

8. Listar todos os subconjuntos do conjunto {1, 2, 3}. Quantos subconjun-tos existem?

9. Sejam A, B, C e D conjuntos tal que A ∪ B = C ∪ D tal que A ∩ B = ∅ = C ∩ D.

(24)

(b) Mostrar que se C ⊂ A, ent˜ao B ⊂ D.

10. Suponha que P , Q e R são subconjuntos do conjunto N dos números naturais. Para cada ´ıtem, analise se é verdadeira ou falsa a afirma¸cão, justificando a sua asser¸cão pelo estudo de proposi¸cões similares que ex-istem em Lógica:

(a) P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R). (b) P ⊂ Q se, e somente se, Q ⊂ P . (c) Se P ⊂ Q e Q ⊂ R, ent˜ao P ⊂ R.

11. Para cada proposi¸cão, crie uma proposi¸cão com palavras, fa¸ca a nega¸cão da proposi¸cão criada e escreva se a proposi¸cão ou a nega¸cão da proposi¸cão é verdadeira:

(a) ∀z ∈ N : z2 ∈ N .

(b) ∀x ∈ Z, ∀y ∈ Z, ∃z ∈ z : z2 = x2 + y2. (c) ∀x ∈ Z : (x > y) → (x 6= y).

(d) ∀x, y, z ∈ R, ∃w ∈ R : x2 + y2 + z2 = 8w.

12. Para cada proposi¸cão abaixo, escrever uma proposi¸cão lógica correspon-dente e a nega¸cão desta proposi¸cão. Analisar se a proposi¸cão que você criou ou a nega¸cão desta proposi¸cão é verdadeira.

(a) Dados quaisquer inteiros, existe uma maior inteiro. (b) Existe um inteiro maior do que todos os outros inteiros. (c) Todo número par é a soma de dois números ´ımpares. (d) Todo número ´ımpar é a soma de dois números pares.

(e) A distância entre quaisquer dois números complexos é positiva. (f) Todo número natural que é divis´ıvel por 2 e também por 3 é divis´ıvel

por 6. (Nota¸c˜ao: Escrever x|y se x divide y.)

(g) Todo número inteiro é a soma dos quadrados e dois números inteiros. (h) Não existe um maior número natural.

13. Seja p = p(x, y) uma fun¸cão proposicional com as variáveis x e y. Dis-cutir se cada afirma¸cão é verdadeira do ponto de vista da Lógica.

(25)

2.8. MAIOR QUANTIDADE DE CONJUNTOS 23

(b) (∀y, ∃x : p(x, y)) → (∃x, ∀y : p(x, y))

Observa¸cão 17. Boa parte deste material recebeu a inser¸cão de módulos de nossas notas de aulas e foi adaptado de DISCRETE MATHEMATICS, WWL CHEN, 1982, 2003, onde se lê: This chapter originates from material used by the author at Imperial College, University of London, between 1981 and 1990. It is available free to all individuals, on the understanding that it is not to be used for financial gains, and may be downloaded and/or photocopied, with or without permission from the author. However, this document may not be kept on any information storage and retrieval system without permission from the author, unless such system is not accessible to any individuals other than its owners.

2.8 Maior quantidade de conjuntos

Observa¸cão 18 (Número finito ou infinito de conjuntos). As propriedades apresentadas para dois conjuntos também são válidas para um número finito de conjuntos, mas nem sempre são verdadeiras para um número infinito de conjuntos.

Seja a cole¸c˜ao de conjuntos {Ai}i∈M, onde M = {1, 2, 3, ..., m}. A reuni˜ao

dos conjuntos Ai ´e o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos

um dos Ai:

m

[

i=1

Ai = {x : x ∈ Ai para algum i ∈ M }

A interse¸c˜ao dos conjuntos Ai ´e o conjunto dos elementos que pertencem a

todos os Ai:

m

\

i=1

Ai = {x : x ∈ Ai para todo i ∈ M }

Nas defini¸cões acima, se o conjunto M for substitu´ıdo pelo conjunto N = {1, 2, 3, 4, ...} e a letra m for substitu´ıda pelo s´ımbolo ∞, a reunião e a interse¸cão serão indicadas por:

∞

[

i=1

(26)

2.9. PROPOSIÇ ÕES COM VALORES L ÓGICOS NUMÉRICOS 24

∞

\

i=1

Ai = {x : x ∈ Ai para todo i ∈ N }

Exerc´ıcio: Qual ´e a diferen¸ca entre: identidade e igualdade?

2.9 Proposi¸

c˜

oes com valores l´

ogicos num´

ericos

Na sequência, substituiremos os valores lógicos F e V das proposi¸cões p e q pelos valores numéricos 0 e 1, para gerar novas proposi¸cões com o uso de computadores.

Defini¸cão 18 (M´ınimo e Máximo entre dois números inteiros). Se p e q são números inteiros, definimos o m´ınimo (respectivamente, máximo) entre p e q, denotado por min(p, q) (respectivamente max(p, q)), através de

min(p, q) = p se p ≤ q

q se q < p max(p, q) =

q se p ≤ q p se q < p

Defini¸cão 19 (Tabelas-verdade com valores numéricos). Sejam p e q duas proposi¸cões lógicas, que assumem o valor lógico 0 se a proposi¸cão é falsa e o valor lógico 1 se a proposi¸cão é verdadeira. A partir de tais valores lógicos numéricos de p e q, podemos definir as proposi¸cões:

Nome da proposi¸cão Nota¸cão Defini¸cão com valores numéricos

Conjun¸c˜ao de p e q p ∧ q min(p, q)

Disjun¸c˜ao de p e q p ∨ q max(p, q)

Nega¸c˜ao de p ¬p 1 − p

Condicional entre p e q p → q max(1 − p, q)

Bicondicional entre p e q p ←→ q max(min(p, q), min(1 − p, 1 − q))

Exemplo 15 (Tabelas-verdade com valores numéricos). Sejam as proposi¸cões p e q, que assumem valores lógicos verdadeiros (1) ou falsos (0).

P1 P2 Conjun¸cão Disjun¸cão Nega¸cão Implica¸cão Equivalência

p q min(p,q) max(p,q) 1-p max(1-p,q) max(min(p,q),min(1-p,1-q))

1 1 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 1 1 0

(27)

2.10. TRABALHOS QUE SER ˜AO CONSTRU´ıDOS PELOS ALUNOS 25

2.10 Trabalhos que ser˜

ao constru´ıdos pelos alunos

1. Exemplos pr´aticos de proposi¸c˜oes compostas.

Apresentar situa¸cões com frases da vida e também da Matemática onde aparecem tais proposi¸cões.

2. Uso da L´ogica para desenvolver o racioc´ınio l´ogico.

Identificar situa¸cões como as dos livros: “Alice no Pa´ıs das Maravilhas” de Lewis Carrol ou “A Dama ou o Tigre?”, “Alice no Pa´ıs dos Enigmas”, “O Enigma de Sherezade” de Raymond Smullyan, editadas no Brasil por Jorge Zahar, para resolver problemas de racioc´ınio usando Lógica Matemática.

3. T´ecnicas Dedutivas em geral.

Estudar e apresentar situa¸cões em que são necessárias as técnicas dedu-tivas para demonstrar proposi¸cões lógicas. Exibir aplica¸cões das técnicas dedutivas, em resultados simples da aritmética dos números inteiros, racionais e irracionais e também em conteúdos contidos neste programa. Estudar a equivalência das técnicas de demonstra¸cões (direta, contrapos-itiva e por absurdo) usando a tabela verdade

4. Demonstra¸c˜ao direta.

Dar exemplos de situa¸cões com demonstra¸cões lógicas diretas. 5. Demonstra¸cão pela contrapositiva.

Dar exemplos de situa¸c˜oes que necessitam ser demonstradas pela contra-positiva.

6. Demonstra¸c˜ao por absurdo.

Dar exemplos de situa¸c˜oes que necessitam que as demonstra¸c˜oes sejam realizadas “por absurdo”.

7. Demonstra¸cão por indu¸cão matemática.

Apresentar situa¸cões em que a indu¸cão matemática não é válida. Apre-sentar situa¸cões onde a indu¸cão matemática é necessária.

8. Para entender como a Lógica é usada em jogos, estude quebra-cabe¸cas como: quadrado mágico, Sudoku e Kakuro, jogos de tabuleiro como: Jogo de damas e Xadrez, e, jogos de computador como o Freecell.

(28)

Bibliografia

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