Professora: Rosa Canelas 1 2012-2013 Escola Secundária com 3º Ciclo D. Dinis
Curso Profissional de
Técnico de Informática de Gestão Tarefa Intermédia nº 2
1. A figura ao lado representa, esquematicamente, um azulejo com a forma de um quadrado [ACSP], cujo lado mede 12 centímetros.
Este quadrado, de centro O, está subdividido em quatro quadrados geometricamente iguais: [ABOQ], [BCRO], [QOUP] e [ORSU].
Cada um destes quadrados contém, no seu interior, um quarto de círculo, de
raio igual a 6 centímetros, que pode, ou não estar sombreado, tal como a figura mostra.
1.1 Mostre que, no quadrado [ACSP], a área da parte sombreada é igual à área da parte não sombreada.
1.2 Um friso é constituído por azulejos iguais ao azulejo da alínea anterior. Na figura ao lado esquematizamos o padrão utilizado na construção de um friso, constituído por quatro desses azulejos, colocado nas paredes de uma sala dos paços do concelho.
Os quadrados [CEGS], [PSKM], [SGIK] podem obter-se, a partir do quadrado [ACSP], utilizando transformações geométricas.
1.2.1 Designe por I uma rotação que permita obter [CEGS] a partir de [ACSP]. A figura ao lado ilustra a situação.
Indique um valor da amplitude e o centro da transformação geométrica I.
1.2.2 Designe por II uma simetria axial que permita obter [PSKM] a partir de [ACSP]. A figura ao lado ilustra a situação.
Professora: Rosa Canelas 2 2012-2013 2. O Stomachion, também conhecido como Caixa de
Arquimedes, é um puzzle geométrico cuja invenção é atribuída a Arquimedes de Siracusa (287- 212 a.C.). É constituído por 14 peças poligonais que formam um quadrado como o representado na figura ao lado.
Representámos numa malha quadriculada, um Stomachion com 12 unidades de lado. Os pontos A, B, C, D, E, F, G e H são vértices da malha quadriculada. Fixando um referencial ortogonal e monométrico, de origem D, como se sugere na figura, o ponto A tem coordenadas (0,6).
2.1 Determine as coordenadas do ponto simétrico de C relativamente ao eixo das abcissas.
2.2 Determine as coordenadas do ponto simétrico de A em relação à bissectriz dos quadrantes pares.
2.3 Uma das propriedades do Stomachion é a seguinte: o quociente entre a área de cada peça e a área total do Stomachion é sempre um número racional.
Essa propriedade verifica-se com a peça representada, na figura, pelo quadrilátero sombreado [ABCD]. Para o comprovar determine
2.3.1 a área do quadrado [EFGH];
2.3.2 a área da peça sombreada [ABCD];
2.3.3 na forma de fracção irredutível, o quociente entre a área da peça sombreada e a área do quadrado;
3. No referencial ortonormado a unidade é o centímetro e está representado um prisma quadrangular regular com altura 5 cm.
3.1 Atendendo aos dados da figura. Indique:
3.1.1 As coordenadas dos vértices do prisma. 3.1.2 As coordenadas do ponto E’ simétrico de E
em relação ao plano xOz.
3.1.3 As coordenadas do ponto E’’ simétrico de E em relação à origem do referencial. 3.2 Determine, com aproximação às décimas, o perímetro do retângulo [EDCF].
Professora: Rosa Canelas 3 2012-2013 4. No referencial ortonormado da figura estão representadas duas
retas r e s.
4.1 Escreva equações reduzidas de cada uma das retas representadas na figura.
4.2 Obtenha as coordenadas do ponto da reta r que tem abcissa 24.
4.3 Obtenha as coordenadas do ponto da reta s que tem ordenada 17,5− .
5. A casa da Ana, com 15 metros de comprimento, está implantada num lote de terreno retângulo de 30 m de comprimento por 10 m de largura.
No projecto da casa a largura do terreno é de 2 cm. 5.1 A que escala foi feito o projeto?
5.2 Qual é o comprimento da casa no projeto?
5.3 A área do lote de terreno na realidade e no projeto são respetivamente: (A) 300m e 2 2
12cm (B) 300cm e 2 2
12cm (C) 300m e 2 2 12m
5.4 Qual é a relação entre a escala do projeto e o quociente entre os valores das áreas que encontrou na alínea anterior.
FIM COTAÇÕES Questão 1 1.1 1.2.1 1.2.2 Cotação 40 20 10 10 Questão 2 2.1 2.2 2.3.1 2.3.2 2.3.3 Cotação 45 5 5 5 20 10 Questão 3 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.2 Cotação 41 16 5 5 15 Questão 4 4.1 4.2 4.3 Cotação 30 20 5 5 Questão 5 5.1 5.2 5.3 5.4 Cotação 44 11 11 11 11 Total 200
Professora: Rosa Canelas 4 2012-2013 Formulário
Geometria
Perímetro do círculo: 2 rπ , sendo r o raio do círculo Áreas
Paralelogramo: base altura×
Losango: diagonal maior diagonal menor 2
×
Trapézio: base maior base menor altura 2
+
×
Polígono regular: apótema perímetro 2 ×
Círculo: πr2, sendo r o raio do círculo Superfície esférica: 2
4 rπ , sendo r o raio da esfera Volumes
Prismas e cilindro: área da base altura× Pirâmide e cone: 1 área da base altura
3× ×
Esfera: 4 r3
Professora: Rosa Canelas 5 2012-2013 Escola Secundária com 3º Ciclo D. Dinis
Curso Profissional de
Técnico de Informática de Gestão
Tarefa Intermédia nº 2 – Proposta de resolução
1. A figura ao lado representa, esquematicamente, um azulejo com a forma de um quadrado [ACSP], cujo lado mede 12 centímetros.
Este quadrado, de centro O, está subdividido em quatro quadrados geometricamente iguais: [ABOQ], [BCRO], [QOUP] e [ORSU].
Cada um destes quadrados contém, no seu interior, um quarto de círculo, de raio igual a 6 centímetros, que pode, ou não estar sombreado, tal como a figura mostra.
1.1 Mostre que, no quadrado [ACSP], a área da parte sombreada é igual à área da parte não sombreada.
A resolução pode ser por uma explicação geométrica ou por uma resolução analítica. Explicação Geométrica: O quarto de círculo PUQ é igual ao quarto de
círculo OBR e o mesmo sucede com os quartos de círculo SRU e OBQ o que faz com que o espaço sombreado de vértices OQU seja igual ao espaço branco de vértices CBR e o mesmo sucede com o espaço pintado de vértices OUR e o espaço branco de vértices ABQ.
Explicação analítica: A área de um quadrado com lado 6 é 2 2 quadrado
A =6 =36cm e a área de quarto de círculo de raio 6 é
(
)
2 2 quarto de círculo 6 A 9 cm 4 π ×
= = π pelo que a área
sombreada é
(
)
2sombreada
A =2 9× π +2 36− π =9 18π +72 18− π =72cm e a área não sombreada é a área do quadrado de lado 12 menos a área sombreada:
2 2
não sombreada
A =12 −72=144−72=72cm pelo que as duas áreas são iguais.
1.2 Um friso é constituído por azulejos iguais ao azulejo da alínea anterior. Na figura ao lado esquematizamos o padrão utilizado na construção de um friso, constituído por quatro desses azulejos, colocado nas paredes de uma sala dos paços do concelho.
Os quadrados [CEGS], [PSKM], [SGIK] podem obter-se, a partir do quadrado [ACSP], utilizando transformações geométricas.
Professora: Rosa Canelas 6 2012-2013 1.2.1 Designe por I uma rotação que permita obter [CEGS] a
partir de [ACSP]. A figura ao lado ilustra a situação. Um valor da amplitude é 180º e o centro da transformação geométrica I é R.
1.2.2 Designe por II uma simetria axial
que permita obter [PSKM] a partir de [ACSP]. A figura ao lado ilustra a situação.
o eixo de simetria da transformação geométrica II é a reta PS.
2. O Stomachion, também conhecido como Caixa de Arquimedes, é um puzzle geométrico cuja invenção é atribuída a Arquimedes de Siracusa (287- 212 a.C.). É constituído por 14 peças poligonais que formam um quadrado como o representado na figura ao lado.
Representámos numa malha quadriculada, um Stomachion com 12 unidades de lado. Os pontos A, B, C, D, E, F, G e H são vértices da malha quadriculada. Fixando um referencial ortogonal e monométrico, de origem D, como se sugere na figura, o ponto A tem coordenadas (0,6).
2.1 As coordenadas do ponto simétrico de C relativamente ao eixo das abcissas são C ' 2,2
(
)
2.2 As coordenadas do ponto simétrico de A em relaçãoà bissectriz dos quadrantes pares são A '
(
−6,0)
. 2.3 Uma das propriedades do Stomachion é a seguinte:o quociente entre a área de cada peça e a área total do Stomachion é sempre um número racional.
Essa propriedade verifica-se com a peça representada, na figura, pelo quadrilátero sombreado [ABCD]. Para o comprovar determinemos:
2.3.1 a área do quadrado [EFGH]; 2
[EFGH]
Professora: Rosa Canelas 7 2012-2013 2.3.2 a área da peça sombreada [ABCD];
[ ] [ ] [ ABCD] ABD DCB 3 6 3 2 A A A 9 3 12u.a. 2 2 × × = + = + = + =
2.3.3 na forma de fração irredutível, o quociente entre a área da peça sombreada e a área do quadrado é [ ABCD]
[EFGH]
A 12 1
A =144=12 o que representa um número racional
3. No referencial ortonormado a unidade é o centímetro e está representado um prisma quadrangular regular com altura 5 cm.
3.1 Atendendo aos dados da figura. Indiquemos: 3.1.1 As coordenadas dos vértices do prisma.
(
)
A 2, 5,2− , B 0, 5,2
(
−)
, C 0,0,2 ,(
)
D 2,0,2 ,(
)
(
)
E 2, 5,0− , F 0, 5,0
(
−)
, G 0,0,0 ,(
)
H 2,0,0(
)
3.1.2 As coordenadas do ponto E’ simétrico de E em relação ao plano xOz que são
(
)
E ' 2,5,0 .
3.1.3 As coordenadas do ponto E’’ simétrico de E em relação à origem do referencial que são E ''
(
−2,5,0)
.3.2 Determinemos, com aproximação às décimas, o perímetro do retângulo [EDCF]. Comecemos por calcular ED : ED2 =52 +22 ⇔ED= 29
O perímetro pedido é então P=2× 29+2 2× =4+2 29≈14,8cm
4. No referencial ortonormado da figura estão representadas duas retas r e s.
4.1 Escreva equações reduzidas de cada uma das retas representadas na figura.
• A reta r passa nos pontos de coordenadas
(
0, 4 e)
(
6,0)
• Calculemos mr 0 4 2 6 0 3 − = = − −• Porque a reta passa no ponto de coordenadas
(
0, 4 tem ordenada na origem 4 e a)
sua equação reduzida vai ser então y 2x 43
= − +
Professora: Rosa Canelas 8 2012-2013 • Calculemos ms 0 1 1 4 0 4 + = = − − −
• Porque a reta passa no ponto de coordenadas
(
0, 1−)
tem ordenada na origem 1− e a sua equação reduzida vai ser então y 1x 14
= − −
4.2 Obtenha as coordenadas do ponto da reta r que tem abcissa 24.
• y 2 24 4 y 16 4 y 12
3
= − × + ⇔ = − + ⇔ = −
• O ponto tem coordenadas
(
24, 12−)
4.3 Obtenha as coordenadas do ponto da reta s que tem ordenada 17,5− .
• 17,5 1x 1 70 x 4 x 66
4
− = − − ⇔ − = − − ⇔ =
• O ponto tem coordenadas
(
66; 17,5−)
5. A casa da Ana, com 15 metros de comprimento, está implantada num lote de terreno retângulo de 30 m de comprimento por 10 m de largura.
No projecto da casa a largura do terreno é de 2 cm. 5.1 A que escala foi feito o projecto?
O projecto foi feito à escala 1
500 porque:
2cm 1
1000cm=500 5.2 Qual é o comprimento da casa no projeto?
O comprimento da casa no projeto é 3 cm porque x 1 x 1500 x 3cm 1500=500 ⇔ = 500 ⇔ = 5.3 A área do lote de terreno na realidade e no projeto são respetivamente:
(A) 2 300m e 2 12cm (B) 2 300cm e 2 12cm (C) 2 300m e 2 12m A resposta correta é (A).
5.4 Qual é a relação entre a escala do projeto e o quociente entre os valores das áreas que encontrou na alínea anterior.
O quociente entre os valores das áreas é 12 1
3000000= 250000 que é o quadrado da escala 1
Professora: Rosa Canelas 9 2012-2013 Escola Secundária com 3º Ciclo D. Dinis
Curso Profissional de
Técnico de Informática de Gestão
Tarefa Intermédia nº 2 – Critérios de classificação
1. --- 40
1.1. --- 20
• Calcular área do quadrado [ABQO].--- 4
• Calcular área de um quarto de círculo.--- 4
• Calcular área sombreada.--- 4
• Calcular área branca.--- 4
• Concluir.--- 4 1.2. --- 20 1.2.1. --- 10 • Dar a amplitude --- 5 • Dar o centro --- 5 1.2.2. --- 10 2. --- 45 2.1. --- 5 2.2. --- 5 2.3. --- 35 2.3.1. --- 5 2.3.2. --- 20
• Reconhecer a necessidade de dividir a figura--- 5
• Calcular área de [ABD]--- 5
• Calcular área de [DBC]--- 5
• Calcular área da peça--- 5
2.3.3. --- 10 • Calcular o quociente--- 5 • Simplificar a fração--- 5 3. --- 41 3.1. --- 26 3.1.1. --- 16 3.1.2. --- 5 3.1.3. --- 5 3.2. --- 15
Professora: Rosa Canelas 10 2012-2013
• Calcular o perímetro--- 5
4. --- 30
4.1. --- 20
• Identificar a ordenada na origem de r--- 2
• Calcular o declive de r --- 5
• Escrever a equação reduzida de r--- 3
• Identificar a ordenada na origem de s--- 2
• Calcular o declive de s --- 5
• Escrever a equação reduzida de s--- 3
4.2. --- 5 4.3. --- 5 5. --- 44 5.1. --- 11 5.2. --- 11 5.3. --- 11 5.4. --- 11 Total --- 200
