Lista de exercícios. ( r B r A ).

Lista de exercícios

1. Consideremos uma mola de comprimento natural l0. Fixamos uma das

extremidades e puxamos a outra por uma força f . Seja l o comprimento final da mola. Há um certo limite de distensão- que depende do material que constitui a mola- até o qual vale a lei de Hook,

f = k (l − l0) ,

onde k é a constante da mola. Na expressão acima há informação apenas da intensidade da força. Sejam rA e rB os vetores posição

cor-respondentes aos pontos extremos da mola. A força que está aplicada no ponto B é



fB = −k (l − l0) eAB,

na qual eAB é o vetor unitário na direção do ponto A para o ponto B.

Temos, eAB = 1 |rB− rA| (rB− rA) . Já que |rB− rA| = l, temos  fB = −k l − l0 l (rB− rA) .

(a) Considere 3 pontos fixos no plano, PA, PB e PC, cujos vetores

posição são rA, rB,e rC,respectivamente. Seja r o vetor posição

de um corpo Q, que está ligado aos três pontos PA, PB e PC por

molas de constantes k1, k2 e k3, e comprimentos naturais l10, l02 e

l0

3, respectivamente (veja a figura abaixo).

P

P

P

Q

r

r

r

r

O

Expresse a força f que está atuando no objeto Q em termos dos vetores posição.

(b) Expresse a condição que o vetor posição r deve satisfazer para que o corpo Q esteja em equilíbrio.

(c) Suponha todas as molas muito pequenas de tal forma que os com-primentos naturais sejam desprezíveis.Se todas as constantes de mola são iguais, qual é a posição de equilíbrio?

(d) Ainda supondo os comprimentos naturais desprezíveis, que condição as constantes de mola devem satisfazer para termos a posição de equilíbrio no centro da massa do triângulo PA-PB-PC?

2. Encontre a constante de mola equivalente nos casos abaixo. Em out-ras palavout-ras, se desejássemos substituir em cada caso abaixo todas as molas por uma única, qual deveria ser sua constante de mola para que forças de mesma magnitude provoquem o mesmo deslocamento?

k₁ k₂ k₁ k₂ k₁ k₂ k₃ A) B) C)

3. Obtenha a força f necessária para puxar o objeto O até a posição x, como ilustrado na figura abaixo. As duas molas são idênticas e têm constante de mola k e o comprimento natural l0.

l

l

x

f

4. Dois corpos de massas m1 e m2 estão ligados por uma mola (cuja massa

é desprezível) de comprimento natural nulo e constante de mola k (veja a figura abaixo). Não existe nenhuma outra força atuando.

m

m

O

r

r

(a) Sejam r1 e r2 os vetores posição dos corpos m1 e m2,

respectiva-mente. Escreva as equações diferenciais (equação de movimento) para os vetores r1 e r2.

(b) Definimos o vetor momento do centro de massa por 

onde v1 = dr1 dt, v2 = dr2 dt.

Mostre que este é um vetor constante no tempo.

(c) Discuta o movimento do vetor posição do centro de massa do sistema definido por



R = m1r1+ m2r2 m1+ m2

.

5. Considere um problema análogo ao anterior mas, agora, com 3 corpos ligado por 3 molas de constantes de mola k12, k23, e k31.

m1 m₂ m₃ r1 r₂ r₃ k12 k₂₃ k13 O x y z

(a) Sejam r1, r2 e r3 os vetores posição dos corpos m1, m2 e m3,

re-spectivamente. Escreva as equações diferenciais (equação de movi-mento) para os vetores r1, r2 e r3.

(b) Definimos o vetor momento de centro de massa por 

onde v1 = dr1 dt, v2 = dr2 dt, v3 = dr3 dt,

Mostre que este é um vetor constante no tempo.

(c) Discuta o movimento do vetor posição do centro de massa do sistema definido por



R = m1r1+ m2r2+ m3r3 m1+ m2+ m3

. 6. Considere o problema acima no caso de N massas.

(a) Quantas molas são necessárias para ligar todas as massas entre si. (b) Escreva as equações de movimentos para cada uma das massas.

(c) Mostre que o vetor momento de centro de massa é um vetor con-stante.

(d) Discuta o movimento do vetor posição do centro de massa do sistema.

7. A constância do vetor momento de centro de massa não é exclusiva de forças tipo mola. Por exemplo, para forças eletrostáticas, podemos mostrar também que o vetor momento de centro de massa se conserva no tempo. Qual é a propriedade mais geral qua as forças precisam satisfazer para que haja a conservação do vetor momento de centro de massa em um sistema formado por N corpos interagindo entre si, e na ausência de qualquer força externa? Expresse sua afirmação em linguagem matemática e demonstre que de fato o vetor momento de centro de massa se conserva no tempo.

8. Vamos estudar o movimento de uma massa puntiforme deslizando num plano inclinado.

(a) Sejam x (t) e y (t) as coordenadas X e Y da massa no instante t. Supondo que não haja nenhum atrito, escreva a equação de movimento para cada coordenada (Não esqueça que além da força gravitacional existe uma de contato da partícula com o plano).

(b) A força normal da superfície é uma incógnita. Assim, não podemos diretamente resolver as equações diferenciais. Por outro lado, o fato de que a massa sempre está na superfície em contato, impõe uma relação entre as coordenadas x e y. Expresse esta relação. (c) Usando a relação do item b) nas equação do item a)obtenha a

força normal exercida pela superfície. Calcule o módulo da força normal, T .

(d) Utilizando o valor de T obtido acima em uma das equações do item a), obtenha a equação de movimento e resolva-a.

(e) Calcule o tempo que a massa leva para chegar ao térreo (y = 0), tendo ela sido largada no ponto (0, y0). Este tempo varia quando

a massa do objeto é diferente?

(f) Calcule a energia cinética que a massa possui ao alcançar o térreo. (g) Refaça todos os itens acima quando existe um atrito na superfície

do plano proporcional à velocidade de deslizamento.

9. Considere uma montanha russa cuja altura y seja função da distância horizontal x, digamos y = f (x) (veja a figura abaixo).Suponha que o vagão parta da posição (0, y0) com velocidade inicial nula e se mova

sempre ao longo do trilho sem atrito.

(a) No ponto (x, y = f (x)) , obtenha o vetor unitário normal ao trilho. (b) Escreva as equações de movimento para as coordenadas x e y.

(c) Qual é a energia cinética do vagão no ponto (x, y) ? (d) A coordenada y é sempre determinada a partir de x,

y = f (x) .

Derivando temporalmente a relação acima, expresse a componente y da velocidade em termos de x e dx/dt.

(e) Expresse a componente y da aceleração em termos de x, dx/dt e d2_x/dt2_.

(f) Expresse o módulo da força normal do trilho no vagão como função de x.

10. Calcule a integral de linha no plano X − Y

C

 f · dr

M

y

x

y

x

O

y=f(x)

(0,0) (1,0) (1,1) (0,1) x y Figure 2: Caso A quando  f =  fx fy  =  x2_{+ y}2 xy 

para os seguintes caminhos ilustrados abaixo. Todos os caminhos partem da origem (0, 0) e chegam ao ponto (0, 1).

(dica: Use a expressão paramétrica, x = cos θ, y = sin θ para o último caso)

11.

12. Se o potencial V é uma função apenas do módulo de r, ou seja V = V (|r|) ,

prove que a força correspondente sempre está na direção radial, ou seja, 

f // r.

13. Calcule o potencial gravitacional da Terra devido à força gravitacional do Sol,



fSol→T erra = −G

M⊙M⊕

(0,0) (1,0) (1,1) (0,1) x y Figure 3: Caso B (0,0) (1,0) x2_+y2₌₁ (0,1) x y Figure 4: Caso C

Exercício: Expresse a energia potencial do sistema composto pelo Sol, pela Terra e por Marte como função dos vetores posição do sol r⊙, da terra r⊕ e

de Marte, rM.

(a) Escreva as 3 equações de conservação para as 3 incógnitas, p(f )₁ , p(f )₂ e ψ, em termos de m1, m2, v0 e θ.

(b) Usando as 2 equações de conservação de momento, elimine a in-cógnita ψ (dica: use sin2_{ψ + cos}2_{ψ = 1) e obtenha uma relação}

entre p(f )₁ , p(f )₂ e θ.

(c) Usando o resultado acima e a equação de conservação de energia, elimine a incógnita p(f )₂ e mostre que vale a equação

 1 m1 + 1 m2   p(f )₁ 2− 2 m2 p(f )₁ P0cos θ +  1 m2 − 1 m1  P2 0 = 0, onde P0 = m1v0.

(d) A equação acima é uma equação de segundo grau em p(f )₁ . Para corresponder a um processo de colisão real, p(f )₁ deve ser um número real. Ou seja, as raíses desta equação de segundo grau devem ser reais. Usando isto, demostre que o valor de cos θ deve satisfazer uma desigualdade.

(e) Do resultado acima, demonstre que existe um ângulo máximo de espalhamento quando m1 > m2, e expresse este ângulo máximo

em termos de m2, m1.

(f) Demonstre que para m1 ≤ m2, não há restrição para o ângulo de

espalhamento θ.

(g) Para m1 ≪ m2, mostre que

p(f )₁ → P0,

e interprete seu resultado.

(h) Para m1 ≫ m2, discuta os valores de θ e de p(f )1 .

(i) Para m1 = m2, obtenha p(1)f como função de θ e discuta o seu

resultado.

(j) Para m1 = m2, obtenha o ângulo ψ como função de θ e comente.

14. Mostre que quando duas esferas rígidas de mesma massa se chocam frontalmente, elas trocam seus momentos completamente. Ou seja, se inicialmente uma dela estava em repouso (o alvo), após a colisão frontal, o projétil pára e o alvo sai com momento exatamente igual ao inicial do projétil.

m₁ m₂ m₃ r₁ r₂ r₃ k₁₂ k₂₃ k₁₃ O x y z Figure 5:

15. No referêncial do laboratório, duas partículas de massa m1 e m2 têm

velocidades v1 e v2, respectivamente. Os vetores posição são r1 e r2.

Vamos introduzir a mudança de variáveis, 

R = 1

m1+ m2

(m1r1 + m2r2) ,

r = r1− r2.

(a) Inverta a relação acima e expresse r1 e r2 em termos de R e r.

(b) Expresse as seguintes quantidades em termos de R , r e suas derivadas. T = 1 2m1  dr1 dt 2 + 1 2m2  dr2 dt 2 ,  P = m1 dr1 dt + m2 dr2 dt.

16. Considere 3 corpos interagindo entre si via molas.A partir das equações de movimento para cada massa, prove que o momento linear total



P = p1+ p2+ p3

e o momento angular total, 

l

Figure 6: são constantes do movimento.

17. Um menino está girando com velocidade angular ω uma pedra de massa m, amarrada por uma corda de comprimento ℓ (veja a figura abaixo).

(a) Qual é a velocidade linear da pedra?

(b) Qual é a força centrífuga que o menino sente em seu dedo? (c) A força que atua na pedra é central? Por que?

(d) Se ele reduz o comprimento da corda pela metade, qual é a nova velocidade angular da pedra? E quanto à velocidade linear? 18. Quando um objeto se move num plano, o vetor r varre uma área no

plano do movimento. Seja S (t) a área varrida pelo vetor r (t) de certo instante t0 à t (Veja a figura abaixo).

(a) Mostre que

dS dt = 1 2mLz. A quantidade dS dt é chamada de velocidade areolar.

r(t

)

r(t)

O

S(t)

x

y

(b) Mostre que, para um movimento sob a ação de uma força central, a velocidade areolar é constante. A constância da velocidade areolar do movimento dos planetas foi descoberto por Kepler em 1608 e é conhecida como segunda lei de Kepler.

19. Calcule o momento de inércia em torno do eixo z nos seguintes casos. Denote a massa do objeto por M.

(a) Um disco no plano x − y de raio R com centro de massa na origem e densidade de massa homogênea .

(b) Um quadrado de aresta R no plano x − y com centro de massa na origem e densidade de massa homogênea .

(c) Um triangulo equilátero de aresta a no plano x − y com centro de massa na origem e densidade de massa homogênea.

(d) Um anel fino de raio R no plano x − y com centro de massa na origem e densidade de massa homogênea.

(e) Uma barra no plano x − y, com comprimento ℓ, centro de massa na origem e densidade de massa homogênea.

(f) Uma barra igual a de cima, mas sem massa, e com uma massa M presa em sua extremidade.

(g) Uma casca esférica homogênea fina e de raio R com centro na origem.

20. Considere o rolamento sem deslizamento de uma bola de raio R numa ladeira conforme mostrado na figura abaixo,

E

E

(a) A velocidade angular ω e a velocidade do movimento do centro de massa estão relacionados quando não há deslizamento entre a bola e a ladeira. Obtenha a relação.

(b) Estabeleça a conservação de energia e obtenha a velocidade do movimento translacional como função da coodenada y (altura) da bola.

(c) Se duas bolas de raios diferentes são largadas simultaneamente, qual chega ao solo primeiro?

(d) Obtenha a razão entre a energia translacional e a energia rota-cional. Verifique que esta razão é independente do tempo.

(a) Considere duas massas iguais M ligadas por uma mola cuja massa e cujo comprimento natural são despre’iveis (veja a figura abaixo). A constante da mola é k. O sistema está girando em torno do cen-tro da barra, O, com velocidade angular ω.

O

M

l

l

M

i. Calcule a energia total do sistema. ii. Calcule o momento angular do sistema. iii. Determine o comprimento da mola.

iv. Quando a constante da mola é dobrada, o que acontece com o sistema?

(b) Um patinador roda, com seus braços esticados, no gelo com ve-locidade angular ω. Sua energia de rotação é

Erot =

1 2I0ω

2_,

e seu momento angular é

L = I0ω,

na qual I0 é o momento de inércia do patinador com seus braços

esticados. Suponha que o patinador encolha os braços enquanto roda e que, com isso, seu momento de inércia se reduza para I∗_.

I∗

< I0.

Consequentemente, a velocidade angular mudará para ω∗

. Ao usarmos a conservação de momento angular, temos

I0ω = I∗ω∗,

donde

ω∗

= I0

Por outro lado, se impusessemos a conservação da energia rota-tional, teríamos 1 2I0ω 2 ₌ 1 2I ∗ ω∗2_, e consequentemente ω∗ =  I0 I∗. (2)

Naturalmente, as Eqs.(1) e (2) fornecem diferentes valores para ω∗

. Qual é a resposta correta? Por que?

(c) Considere o movimento de um objeto em torno da origem, sob a ação de uma força central f .

i. Mostre que o momento angular se conserva.

ii. Quais são as consequências importantes da conservação do momento angular para o movimento de uma planeta em torno do Sol?

(d) Considere o processo de colisão entre duas bolas de bilhar, A e B. Suponha que a colisão seja elástica e que não haja atrito das bolas com a mesa. Despreze, ainda, efeitos de rotação das bolas. As duas bolas têm mesma massa, M , e raio, R. A bola A, inicial-mente com velocidade V0, colide com a bola B, inicialmente em

repouso. A distância entre os centros das duas bolas perpendicu-lar à direção da velocidade inicial V0 é b (b < 2R), como ilustrado

no desenho esquerdo da Fig. abaixo.

Figure 8:

A e B. θ e ϕ são seus ângulos com relação à velocidade incidente (desenho da direita).

i. Escreva as leis de conservação do momento e de energia do sistema em termos de vetores, V0, VA e VB, e deduza o valor

da soma dos ângulos, θ + ϕ (dica: calcule o produto escalar entre VA e VB usando as leis de conservação).

ii. A figura abaixo ilustra a configuração das duas bolas no in-stante da colisão no referencial do centro de massa (CM).Expresse o ângulo de espalhamento da bola A no sistema de centro de massa, θcm em termos de b e R.

iii. Expresse os módulos das velocidades inicial e final, Vcm

A e

V′cm

A da bola A em termos de V0 e obtenha a relação entre os

ângulos, θcm e θ.

(e) Um ioiô está sendo puxado por um fio enrolado nele, em cima de uma superfície horizontal, sem deslizar, conforme mostrado na figura abaixo

Calcule a aceleração translacional do centro de massa do ioiô e a força de atrito F que atua nele em função da tensão, T.

(f) Explique o mecanismo de precessão de um pião sob a ação de um campo gravitacional constante.