Simulação a Eventos
Simulação a Eventos
Discretos
Discretos
Introdução
Simulação não é uma técnica de otimização: estima-se medidas de performance de um sistema modelado.
Modelos Contínuos X Modelos Discretos
Modelos Contínuos: estado do sistema muda continuamente em função do tempo. Utiliza-se geralmente equações diferenciais para descrever iterações entre diferentes elementos do sistema. Exemplo: crescimento de populações, circuitos eletrônicos, reações químicas, modelos econométricos,...
Modelos Discretos: estado do sistema muda somente no instante que ocorre um evento, para todos os demais instantes de tempo, nada muda no sistema. Para isto, utiliza-se os conceitos de Filas. Exemplo: sistemas que podem ser modelados como filas de espera. Obs: este tipo de simulação é conhecido como Simulação a Eventos Discretos.
Definição Genérica de Eventos
Toda Simulação a Eventos Discretos descreve, diretamente ou indiretamente, situações de fila, em que clientes chegam, aguardam em fila se necessário e então recebem atendimento antes de deixar o sistema. Com isso, existem apenas dois eventos que controlam a simulação: chegadas e atendimentos.
Exemplo: dois produtos são processados em duas máquinas em série, as quais possuem ampla área de buffer. Os eventos são:
A11: o produto 1 chega na máquina 1. D11: o produto 1 deixa a máquina 1. A21: o produto 2 chega na máquina 1. D21: o produto 2 deixa a máquina 1. A12: o produto 1 chega na máquina 2. D12: o produto 1 deixa a máquina 2. A22: o produto 2 chega na máquina 2. D22: o produto 2 deixa a máquina 2.
Nota-se que só existe 2 eventos: chegada (A) de um produto em uma máquina e saída (D) de um produto de uma máquina. Os números 1 e 2 são atributos que caracterizam os eventos. obs: admitindo que um produto ao ser processado na máquina 1 vai direto para a máquina 2, os eventos D11 e A12 são idênticos, assim como D21 e A22.
Amostragem a partir de Distribuições de Probabilidade
Quando o intervalo t entre sucessivos eventos é probabilístico, faz-se necessário gerar amostra aleatórias a partir de uma distribuição de probabilidade f(t).
Método Inverso ⇒ seja F(x) = P{y ≤ x} a Função de Distribuição de Probabilidade da variável aleatória x com Função Densidade de Probabilidade f(x) (contínua ou discreta), e R uma amostra aleatória a partir da Distribuição Uniforme (0,1), x = F-1(R).
F ( x ) 1 0 x1 x R 1 c o n t í n u a F ( x ) 1 d i s c r e t a 0 x1 x R 1
Exemplo: Distribuição Exponencial
( )
( )
∫
−λ −λ λ − − = λ = λ = t 0 t x t e 1 dx e t F e t f( )
(
1 R)
ou t 1 ln( )
R ln 1 t t F R λ − = − λ − = = 1 2 3 4 5 6 7Amostras de t a partir de Exponencial (lambda = 1.5)
t 0 500 1000 1500 2000 2500 Histograma F re q u e n c ia
Geração de Números Aleatórios com Distribuição Uniforme
Como utilizar o computador digital, a mais precisa e determinística máquina concebida pelo homem, para produzir números aleatórios ? Uma vez que qualquer programa vai produzir uma saída inteiramente previsível, a geração de números aleatórios em um computador representa uma impossibilidade conceitual.
A única maneira prática consiste em utilizar operações aritméticas. Tais números não são verdadeiramente aleatórios e por isso são denominados Números
Pseudo-Aleatórios. O método mais comum para gerar Números Pseudo-Aleatórios é: Método Congruente Multiplicativo
Dado os parâmetros u0 (semente), b, c e m, um número pseudo-aleatório Rn pode ser gerado por:
(
)
(
)
(
x,y)
x, para y 0 mod 0 y para ), y / x ( floor * y x y , x mod : onde ,... 2 , 1 n , m u R ,... 2 , 1 n , m ), c bu ( mod u n n 1 n n = = ≠ − = = = = + = −(
)
(
)
4167 . 0 12 5 R 5 12 ), 5 8 9 ( mod u 6667 . 0 12 8 R 8 12 ), 5 11 9 ( mod u 12 m , 11 u , 5 c , 9 b : Exemplo 2 2 1 1 0 = = = + × = = = = + × = = = = =Simulação Monte Carlo
Estimar a área de uma circunferência com equação (x-1)2 + (y-2)2 = 25
Raio = 5, área do quadrado = 100, área exata da circunferência = 78.5398
-4 -2 0 2 4 6 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -4 -2 0 2 4 6 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -4 -2 0 2 4 6 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 n=10 área = 80% da área do quadrado = 80 n=100 área = 78% da área do quadrado = 78 n=1000 área = 78.4% da área do quadrado = 78.4
Mecanismo da Simulação a Eventos Discretos
Evento Chegada
1. Gerar e armazenar cronologicamente o tempo de chegada do próximo cliente (=tempo corrente + tempo entre chegadas).
2. Se a instalação de atendimento está ociosa
a) Começar o atendimento e declarar a instalação de atendimento ocupada. Atualizar as estatísticas de utilização da instalação de atendimento.
b) Gerar e armazenar cronologicamente o tempo de saída (término do atendimento) do cliente (=tempo corrente + tempo de atendimento).
3. Se a instalação de atendimento está ocupada, colocar o cliente na fila e atualizar as estatísticas da fila.
Evento Saída (Atendimento)
1. Se a fila está vazia, declarar a instalação de atendimento ociosa. Atualize as estatísticas da instalação de atendimento.
2. Se a fila não está vazia
a) Selecionar um cliente a partir da fila e coloca-lo na instalação de atendimento. Atualizar a fila e as estatísticas da instalação de atendimento.
b) Gerar e armazenar cronologicamente o tempo de saída dos cliente. (=tempo corrente + tempo de atendimento).
Exemplo:
O intervalo de tempo entre chegadas em uma barbearia é exponencial com média de 15 minutos e existe um único barbeiro que gasta entre 10 e 15 minutos uniformemente distribuídos para fazer uma barba. A disciplina da fila é FIFO e deseja-se 1)estimar a utilização média da barbearia, 2) o número médio de clientes no sistema e 3) o tempo médio que um cliente aguarda na fila.
Seja p e q amostras aleatórias dos tempos entre chegadas e de atendimento, respectivamente, então:
( )
1 R 0 . min em R 5 10 q 1 R 0 . min em R ln 15 p ≤ ≤ + = ≤ ≤ − = Chegada do Cliente 1 em T = 0Gerar chegada do cliente 2 em T = 0 + p1 = 0 + [-15ln(.0589)] = 42.48 min.
Instalação de atendimento está ociosa em T = 0, cliente 1 começa a ser atendido. O tempo de saída é T = 0 + q1 = 0 + (10 + 5 x .6733) = 13.37 min.
A lista cronológica é:
T Evento
13.37 saída do cliente 1 42.48 chegada do cliente 2
Saída do Cliente 1 em T = 13.37
Porque fila está vazia, instalação é declarada ociosa. Declarar que a instalação de atendimento esteve ocupada entre T = 0 e T = 13.37 min. Atualizar a lista cronológica:
T Evento
42.48 chegada do cliente 2
Chegada do Cliente 2 em T = 42.48
Gerar chegada do cliente 3 em T = 42.48 + p2 = 42.48 + [-15ln(.4799)] = 53.49 min.
Instalação de atendimento está ociosa em T = 42.48, cliente 2 começa a ser atendido e instalação é declara ocupada. O tempo de saída é T = 42.48 + q2 = 42.48 + (10 + 5 x .9486) = 57.22 min. Atualizar a lista cronológica:
T Evento
53.49 chegada do cliente 3 57.22 saída do cliente 2
Chegada do Cliente 3 em T = 53.49
Gerar chegada do cliente 4 em T = 53.49 + p3 = 53.49 + [-15ln(.6139)] = 60.81 min.
Instalação de atendimento está ocupada (até T = 57.22), cliente 3 é colocado na fila em T = 53.49 Atualizar a lista cronológica:
T Evento
57.22 saída do cliente 2 60.81 chegada do cliente 4
Saída do Cliente 2 em T = 57.22
Cliente 3 é retirado da fila para começar atendimento. O tempo aguardado é W3 = 57.22 – 53.49 = 3.73 min. O tempo de saída é T = 57.22 + (10 + 5 x .5933) = 70.19 min. Atualizar a lista cronológica:
T Evento
60.81 chegada do cliente 4 70.19 saída do cliente 3
Chegada do Cliente 4 em T = 60.81
Gerar chegada do cliente 5 em T = 60.81 + p4 = 60.81 + [-15ln(. 9341)] = 61.83 min. Instalação de atendimento está ocupada (até T = 70.19), cliente 4 é colocado na fila. Atualizar a lista cronológica:
T Evento
61.83 chegada do cliente 5 70.19 saída do cliente 3
Chegada do Cliente 5 em T = 61.83
Simulação é limitada para 5 chegadas, chegada do cliente 6 não é gerada. A instalação de atendimento está ocupada e então cliente é colocado na fila em T = 61.83. Atualizar a lista cronológica:
T Evento
Saída do Cliente 3 em T = 70.19
Cliente 4 é retirado da fila para começar atendimento. O tempo aguardado é W4 = 70.19 – 60.81 = 9.38 min. O tempo de saída é T = 70.19 + (10 + 5 x .1782) = 81.08 min. Atualizar a lista cronológica:
T Evento
81.08 saída do cliente 4
Saída do Cliente 4 em T = 81.08
Cliente 5 é retirado da fila para começar atendimento. O tempo aguardado é W5 = 81.08 – 61.83 = 19.25 min. O tempo de saída é T = 81.08 + (10 + 5 x .3473) = 92.82 min. Atualizar a lista cronológica:
T Evento
92.82 saída do cliente 5
Saída do Cliente 5 em T = 92.82
Não há mais clientes no sistema (fila e instalação de atendimento) e a simulação termina.
10 20 30 40 50 60 70 80 90 T 1 2 W3 W4 W5 A1=3.73 A2=28.63 Lq 10 20 30 40 50 60 70 80 90 T 1 q1 A3=13.37 A4=50.34 Utilização instalação q2 q3 q4 q5
clientes
349
.
82
.
92
36
.
32
82
.
92
A
A
L
q 1 2=
=
+
=
barbeiros
686
.
0
82
.
92
71
.
63
82
.
92
A
A
instalação
Utilização
3 4=
=
+
=
min
47
.
6
5
36
.
32
5
25
.
19
38
.
9
73
.
3
0
0
5
W
W
W
W
W
W
q=
1+
2+
3+
4+
5=
+
+
+
+
=
=
(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
≤
≤
∀
−
−
−
≤
≤
∀
−
−
−
=
.
c
.
c
,
0
b
x
c
,
c
b
a
b
x
b
2
c
x
a
,
a
c
a
b
a
x
2
)
c
,
b
,
a
x
(
f
(
)
(
)(
)
(
)
(
)(
)
≤
≤
∀
−
−
−
−
≤
≤
∀
−
−
−
=
.
c
.
c
,
0
b
x
c
,
c
b
a
b
x
b
1
c
x
a
,
a
c
a
b
a
x
)
c
,
b
,
a
x
(
F
2 2 Distribuição TriangularEstatística
Em Probabilidade os modelos matemáticos de
processos e sistemas são “afetados por chances”.
Em Estatística estes modelos são “checados
contra a realidade”.
Distribuições Empíricas
Como dados amostrados são “convertidos” para
funções de probabilidade? Os passos a se seguir
são:
1)Armazenar
os
dados
na
forma
de
um
histograma de freqüência e determinar a função
de probabilidade empírica associada.
2)Utilizar um teste estatístico a fim de verificar
se a função de probabilidade empírica é
amostrada a partir de alguma função de
probabilidade teórica.
Histograma de Freqüências
Um histograma de freqüência é construído como o número de amostras
que estão dentro de um determinado intervalo de uma série de intervalos
não superpostos de valores possíveis (ou no mínimo coerentes) que as
amostras podem assumir.
Exemplo
Suponha que um comerciante de laranjas pese todas as 100 caixas de
laranjas que comprou de um produtor.
58.6482 60.7688 57.9416 58.8650 60.5505 61.5079 58.4430 59.1439 59.7513 61.7646 59.1022 59.2938 61.8068 59.9236 60.1800 58.6753 60.9961 59.1470 61.2076 61.0790 61.0359 60.7524 59.0461 61.1086 59.8184 61.2934 61.4001 61.2937 57.3782 61.2049 59.7765 60.8209 61.2855 60.8319 59.7009 60.2464 60.4145 60.6598 58.7840 60.1347 59.0217 60.4803 61.0445 59.5986 60.3876 58.8829 60.0900 58.7793 59.5580 59.3169 58.7369 59.1403 58.7313 59.2234 59.4756 58.3702 59.6124 57.7219 60.3160 59.2787 59.5117 59.6192 60.1209 59.5806 58.7161 60.3290 59.2428 60.6603 59.2318 59.8816 60.7025 59.7575 60.6408 58.7476 59.0084 61.8732 60.0859 60.2366 59.0289 59.2829 60.0155 59.1466 58.4206 60.2357 59.9757 60.2416 60.0236 58.1723 59.7747 60.5153
Os valores mínimo e máximo nesta tabela são 57.3110
e 61.8732, respectivamente.
Isto significa que todas as amostras podem ser
classificadas
no
intervalo
[57,62],
escolhido
arbitrariamente.
Arbitrariamente escolhem-se o número de intervalos
para dividir o intervalo [57,62]. Escolhendo-se 5
intervalos, pode-se montar a seguinte tabela:
I Intervalo Freqüência Observada Oi Freqüência Relativa fi Freqüência Relativa Acumulada Fi 1 [57,58] 4 0.04 0.04 2 [58,59] 15 0.15 0.19 3 [59,60] 34 0.34 0.53 4 [60,61] 31 0.31 0.84 5 [61,62] 16 0.16 1 total 100 1
21 58 59 60 61 62 0 5 10 15 20 25 30 35
Histograma de Freqüência Observada
F re q ü ê n c ia
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Histograma de Freqüência Relativa e Acumulada
F re q ü ê n c ia R e la ti v a
∑
==
N 1 i i if
p
p
∑
(
)
=−
=
N 1 i i 2 i 2 pp
p
f
s
kg
9
.
59
5
.
61
16
.
0
5
.
60
31
.
0
5
.
59
34
.
0
5
.
58
15
.
0
5
.
57
04
.
0
p
=
×
+
×
+
×
+
×
+
×
=
(
)
(
)
(
)
(
)
2(
)
2 2 2 2 2 2 pkg
1
.
1
9
.
59
5
.
61
16
.
0
9
.
59
5
.
60
31
.
0
9
.
59
5
.
59
34
.
0
9
.
59
5
.
58
15
.
0
9
.
59
5
.
57
04
.
0
s
=
−
×
+
−
×
+
−
×
+
−
×
+
−
×
=
Teste da Qualidade do Ajustamento
Este teste é utilizado para avaliar se as amostras
utilizadas na determinação da distribuição empírica
são oriundas de uma distribuição teórica especifica.
Com os valores estimados de média e variância no
exemplo anterior é possível comparar a distribuição
empírica com uma Distribuição Normal, por exemplo,
com parâmetros
p
=
µ
2 ps
=
σ
25 58 59 60 61 62 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Distribuição Relativa e Acumulada Empírica e Teórica
F re q ü ê n c ia R e la ti v a o u p ro b a b ili d a d e
Teste de Qui-Quadrado
( )
(
( )
( )
)
∫
− −−
=
=
i 1 i I I 1 i i in
f
x
dx
n
F
I
F
I
n
(
)
∑
=−
=
χ
N 1 i i 2 i i 2n
n
O
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2534 . 1 464 . 12 464 . 12 16 331 . 31 331 . 31 31 494 . 34 494 . 34 34 974 . 15 974 . 15 15 236 . 3 236 . 3 4 2 2 2 2 2 2 = − + − + − + − + − = χTeste de Hipótese
H
0: amostras são oriundas da distribuição teórica
H
1: amostras não são oriundas da distribuição teórica
A hipótese básica (H
0
) é aceita, ao nível de
significância
α, se:
2 1 , 2 α − νχ
<
χ
1
k
N
−
−
=
ν
= 5 – 2 – 1 = 2
Para um nível de significância de 5%, por exemplo, o
valor tabelado é
χ
ν2,1−α=
χ
22,1−0.05=
5
.
99
Como
,pode-se dizer que a hipótese nula H
0é aceita, ou seja, para um nível de confiança de 95%,
as amostras são oriundas de uma população com
Distribuição Normal.
2534
.
1
2=
χ
Tabela A2 - Percentis da Distribuição de Qui-Quadrado P 0,005 0,01 0,025 0,05 0,1 0,25 0,75 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 ν νν ν 1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 0,10 1,32 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88 2 0,01 0,02 0,05 0,10 0,21 0,58 2,77 4,61 5,99 7,38 9,21 10,60 3 0,07 0,11 0,22 0,35 0,58 1,21 4,11 6,25 7,81 9,35 11,34 12,84 4 0,21 0,30 0,48 0,71 1,06 1,92 5,39 7,78 9,49 11,14 13,28 14,86 5 0,41 0,55 0,83 1,15 1,61 2,67 6,63 9,24 11,07 12,83 15,09 16,75 6 0,68 0,87 1,24 1,64 2,20 3,45 7,84 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55 7 0,99 1,24 1,69 2,17 2,83 4,25 9,04 12,02 14,07 16,01 18,48 20,28 8 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 5,07 10,22 13,36 15,51 17,53 20,09 21,95 9 1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 5,90 11,39 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59 10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 6,74 12,55 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19 11 2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 7,58 13,70 17,28 19,68 21,92 24,73 26,76 12 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 8,44 14,85 18,55 21,03 23,34 26,22 28,30 13 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 9,30 15,98 19,81 22,36 24,74 27,69 29,82 14 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 10,17 17,12 21,06 23,68 26,12 29,14 31,32 15 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 11,04 18,25 22,31 25,00 27,49 30,58 32,80 16 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 11,91 19,37 23,54 26,30 28,85 32,00 34,27 17 5,70 6,41 7,56 8,67 10,09 12,79 20,49 24,77 27,59 30,19 33,41 35,72 18 6,26 7,01 8,23 9,39 10,86 13,68 21,60 25,99 28,87 31,53 34,81 37,16 19 6,84 7,63 8,91 10,12 11,65 14,56 22,72 27,20 30,14 32,85 36,19 38,58 20 7,43 8,26 9,59 10,85 12,44 15,45 23,83 28,41 31,41 34,17 37,57 40,00 21 8,03 8,90 10,28 11,59 13,24 16,34 24,93 29,62 32,67 35,48 38,93 41,40 22 8,64 9,54 10,98 12,34 14,04 17,24 26,04 30,81 33,92 36,78 40,29 42,80 23 9,26 10,20 11,69 13,09 14,85 18,14 27,14 32,01 35,17 38,08 41,64 44,18 24 9,89 10,86 12,40 13,85 15,66 19,04 28,24 33,20 36,42 39,36 42,98 45,56 25 10,52 11,52 13,12 14,61 16,47 19,94 29,34 34,38 37,65 40,65 44,31 46,93 26 11,16 12,20 13,84 15,38 17,29 20,84 30,43 35,56 38,89 41,92 45,64 48,29 27 11,81 12,88 14,57 16,15 18,11 21,75 31,53 36,74 40,11 43,19 46,96 49,65 28 12,46 13,56 15,31 16,93 18,94 22,66 32,62 37,92 41,34 44,46 48,28 50,99 29 13,12 14,26 16,05 17,71 19,77 23,57 33,71 39,09 42,56 45,72 49,59 52,34 30 13,79 14,95 16,79 18,49 20,60 24,48 34,80 40,26 43,77 46,98 50,89 53,67 35 17,19 18,51 20,57 22,47 24,80 29,05 40,22 46,06 49,80 53,20 57,34 60,27 40 20,71 22,16 24,43 26,51 29,05 33,66 45,62 51,81 55,76 59,34 63,69 66,77 45 24,31 25,90 28,37 30,61 33,35 38,29 50,98 57,51 61,66 65,41 69,96 73,17 50 27,99 29,71 32,36 34,76 37,69 42,94 56,33 63,17 67,50 71,42 76,15 79,49 55 31,73 33,57 36,40 38,96 42,06 47,61 61,67 68,80 73,31 77,38 82,29 85,75 60 35,53 37,48 40,48 43,19 46,46 52,29 66,98 74,40 79,08 83,30 88,38 91,95 65 39,38 41,44 44,60 47,45 50,88 56,99 72,28 79,97 84,82 89,18 94,42 98,10 70 43,28 45,44 48,76 51,74 55,33 61,70 77,58 85,53 90,53 95,02 100,43 104,21 75 47,21 49,48 52,94 56,05 59,79 66,42 82,86 91,06 96,22 100,84 106,39 110,29 80 51,17 53,54 57,15 60,39 64,28 71,14 88,13 96,58 101,88 106,63 112,33 116,32 85 55,17 57,63 61,39 64,75 68,78 75,88 93,39 102,08 107,52 112,39 118,24 122,32 90 59,20 61,75 65,65 69,13 73,29 80,62 98,65 107,57 113,15 118,14 124,12 128,30 95 63,25 65,90 69,92 73,52 77,82 85,38 103,90 113,04 118,75 123,86 129,97 134,25 100 67,33 70,06 74,22 77,93 82,36 90,13 109,14 118,50 124,34 129,56 135,81 140,17 110 75,55 78,46 82,87 86,79 91,47 99,67 119,61 129,39 135,48 140,92 147,41 151,95 120 83,85 86,92 91,57 95,70 100,62 109,22 130,05 140,23 146,57 152,21 158,95 163,65 130 92,22 95,45 100,33 104,66 109,81 118,79 140,48 151,05 157,61 163,45 170,42 175,28 140 100,65 104,03 109,14 113,66 119,03 128,38 150,89 161,83 168,61 174,65 181,84 186,85 150 109,14 112,67 117,98 122,69 128,28 137,98 161,29 172,58 179,58 185,80 193,21 198,36 160 117,68 121,35 126,87 131,76 137,55 147,60 171,68 183,31 190,52 196,92 204,53 209,82 170 126,26 130,06 135,79 140,85 146,84 157,23 182,05 194,02 201,42 208,00 215,81 221,24 180 134,88 138,82 144,74 149,97 156,15 166,87 192,41 204,70 212,30 219,04 227,06 232,62 190 143,55 147,61 153,72 159,11 165,49 176,51 202,76 215,37 223,16 230,06 238,27 243,96 200 152,24 156,43 162,73 168,28 174,84 186,17 213,10 226,02 233,99 241,06 249,45 255,26 300 240,66 245,97 253,91 260,88 269,07 283,14 316,14 331,79 341,40 349,87 359,91 366,84 400 330,90 337,16 346,48 354,64 364,21 380,58 418,70 436,65 447,63 457,31 468,72 476,61 500 422,30 429,39 439,94 449,15 459,93 478,32 520,95 540,93 553,13 563,85 576,49 585,21 600 514,53 522,37 534,02 544,18 556,06 576,29 622,99 644,80 658,09 669,77 683,52 692,98 2 1 ,−α ν χ
