IntegraisMultiplos

(1)

Narciso Resende Gomes

narciso.gomes@docente.unicv.edu.cv

Departamento Ciˆencia & Tecnologia, Uni-CV, Campus de Palmarejo, Cabo Verde

Fevereiro 2011

1 Integrais m´

ultiplos

Partindo do pressuposto que o aluno de Análise Matemática III tem como pré-requisito integrais de fun¸cões a uma variável dadas nas cadeiras de Análise Matemática prece-dentes, pressupõe-se que não haverá dificuldade em entender a no¸cão de Integrais duplos e Integrais triplos, a ser introduzidos nesta seçcão. Entretanto, para isso, será também importante alguns conceitos de geometria anal´ıtica a ser introduzido a seguir.

1.1 Geometria anal´ıtica

1.1.1 Recta e plano

Equa¸c˜ao vectorial da recta

Considere um ponto A(x1, y1, z1) e um vector n˜ao nulo ~v = (a, b, c). S´o existe uma

recta r que passa por A e tem a direçcão de ~v. Um ponto P (x, y, z) pertence a recta r se, e somente se, o vector −→AP é paralelo a ~v, isto é,

r − →_v O A P −→ AP = t~v (1)

para algum real t. De (1), vem

P − A = t~v ⇒ P = A + t~v (2)

(2)

ou em coordenadas

(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) (3)

Qualquer uma das equa¸cões (1), (2) ou (3) é denominada equa¸cão vectorial de r. O vector ~v é chamado vector director da recta r e t é denominado parâmetro.

Exemplo 1.1 A recta r que passa por (1, −1, 4) de direçcão ~v = (2, 3, 2) tem a seguinte equa¸cão vectorial:

r : (x, y, z) = (1, −1, 4) + t(2, 3, 2)) onde (2, 3, 2) representa um ponto qualquer na recta.

Equa¸c˜oes param´etricas da recta

Da equa¸c˜ao vectorial da recta (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c) ou

(x, y, z) = (x1+ at, y1+ bt, z1+ ct) ent˜ao obt´em-se

   x = x1+ at y = y1+ bt (4) z = z1+ ct.

As equa¸cões (4) são chamadas equa¸cões paramétricas da recta.

Exemplo 1.2 A recta r que passa por (3, −4, 2) paralela ao vector ~v = (2, 1, −3) tem as seguintes equa¸c˜oes param´etricas:

r :    x = 3 + 2t y = −4 + t z = 2 − 3t.

Equa¸c˜ao geral do plano

Seja um ponto A(x1, y1, z3) pertencente a um plano γ e ~n = (a, b, c), ~n 6= 0, vector

normal (ortogonal) ao plano (ver Figura).

γ ϕ A P − →_n K1 i N

Sendo ~n ⊥ γ, ~n ´e ortogonal a todo vector representado em γ. Ent˜ao, um ponto

P (x, y, z) pertence a γ se, e somente se, o vector −→AP ´e ortogonal a ~n, isto ´e, ~

n · (P − A) = 0 ou (a, b, c) · (x − x1, y − y1, z − z1) = 0 ou

(3)

ou ainda, ax + by + cz − ax1− by1− cz1 = 0. Fazendo, d = −ax1− by1− cz1, obt´em-se ax + by + cz + d = 0 (1)

A equa¸cão (1) é a equa¸cão geral do plano γ.

Equa¸c˜ao vectorial e param´etrica do plano

Seja A(x1, y1, z1) um ponto pertencente a um plano γ e ~u = (a1, b1, c1) e ~v = (a2, b2, c2)

dois vectores paralelos a γ, por´em ~u e ~v n˜ao-paralelos entre si.

− →_v − →_u t · −→v h · −→u P A

Para todo o ponto P do plano, os vectores −→AP , ~u e ~v s˜ao coplanares. Um ponto P (x, y, z) pertence a γ se, e somente se, existem os n´umeros reais h e t tais que

P − A = h · ~u + t · ~v ou P = A + h · ~u + t · ~v ou em coordenadas,

(x, y, z) = (x0, y0, z0) + h(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2), h, t ∈ R (2)

Esta equa¸cão é denominada equa¸cão vectorial do plano γ. Da equa¸cão (2) obtém-se,

(x, y, z) = (x0+ a1h + a2t, y0+ b1h + b2t, z0+ c1h + c2t)

que, pela condi¸c˜ao de igualdade, vem    x = x0+ a1h + a2t y = y0+ b1h + b2t z = z0 + c1h + c2t, h, t ∈ R.

Estas equa¸cões são chamadas equa¸cões paramétricas de γ e h e t são variáveis auxiliares

denominadas parˆametros.

Exemplo 1.3 Seja o plano ϕ que passa pelo ponto (2, 2, −1) paralelo aos vectores ~

u = (2, −3, 1) e ~v = (−1, 5, −3). Pretende-se obter a equa¸cão vectorial, um sistema de equa¸cões paramétricas e equa¸cão geral do plano ϕ.

(a) Equa¸cão vectorial: (x, y, z) = (2, 2, −1) + h(2, −3, 1) + t(−1, 5, −3) (b) Equa¸cões paramétricas:

   x = 2 + 2h − t y = 2 − 3h + 5t z = −1 + h − 3t

(4)

1.1.2 Superf´ıcies de revolu¸c˜ao

Superf´ıcie de revolu¸c˜ao ´e a superf´ıcie gerada por uma curva plana (chamada geratriz )

que gira 360o _{em torno de uma recta (chamada eixo) situada no plano da curva. Neste}

caso, o tra¸co da superf´ıcie num plano perpendicular ao eixo é uma circunferência e a equa¸cão da superf´ıcie de revolu¸cão é obtida através da equa¸cão de geratriz.

Exemplo 1.4 Uma esfera x2+y2+z2 = r2 _{com r ∈ R}+, ´e uma superf´ıcie de revolu¸c˜ao.

1.1.3 C´onicas

Chama-se seçcão cónica ou simplesmente cónica, ao conjuntos de pontos que formam a interseçcão de um plano com a superf´ıcie cónica.

Quando uma superf´ıcie cónica é seccionada por um plano γ qualquer que não passa pelo vértice O, a cónica será:

1. uma par´abola, se γ for paralelo a uma geratriz da superf´ıcie.

2. uma elipse, se γ n˜ao for paralelo a uma geratriz e intercepta apenas uma das

folhas da superf´ıcie (uma circunferˆencia, se γ for perpendicular ao eixo).

3. uma hipérbole, se γ não for paralelo a uma geratriz e intercepta as duas folhas da superf´ıcie. A hipérbole deve ser vista como uma só curva, constitu´ıda de dois ramos, um em cada folha de superf´ıcie.

Observa¸cão 1.5 Se a interseçcão do plano com a superf´ıcie resultar em apenas em um ponto, uma recta ou duas rectas,então as cónicas são degeneradas.

(5)

Defini¸c˜ao 1.6

1. par´abola - ´e o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes de um ponto fixo e de uma recta fixa desse plano.

d(P, F ) = d(P, P0) e P d P1 P2 P3 P₁0 P₂0 P₃0 P0 a F g H V Equa¸c˜ao reduzida x2 = 2py ou y2 = 2px

2. elipse - é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos desse plano é constante.

d(P, F1) + d(P, F2) = 2a

F1 F2

P

Equa¸c˜oes reduzidas: x2 a2 + y2 b2 = 1 (i) x2 b2 + y2 a2 = 1 (ii)

Onde o caso (i) se verifica quando o eixo maior est´a sobre o eixo de x e (ii)

quando o eixo maior est´a cobre o eixo de y.

3. hip´erbole - ´e o conjunto de todos os pontos de um plano cuja diferen¸ca das

distˆancias em valor absoluto, a dois pontos fixos desse plano ´e constante. |d(P, F1) − d(P, F2)| = 2a

(6)

F1

P

2a

F2

Equa¸c˜oes reduzidas: x2 a2 − y2 b2 = 1 (i) y2 b2 − x2 a2 = 1 (ii)

Onde o caso (i) se verifica quando o eixo maior est´a sobre o eixo de x e (ii)

quando o eixo maior est´a cobre o eixo de y.

1.1.4 Qu´adricas

A equa¸cão geral do segundo grau nas três variáveis x, y e z

ax2+ by2+ cz2 + 2dxy + 2exz + 2f yz + mx + ny + pz + q = 0 (1)

onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f é diferente de zero (a fim de assegurar grau 2 para a equa¸cão) representa uma superf´ıcie quádrica, ou simplesmente uma quádrica. A seguir estudar-se-á as superf´ıcies quádricas denominadas elipsóides, hiperbolóides e parabolóides.

Elips´oides

O elipsóide da maneira mais geral é representado pela equa¸cão x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1

onde a, b e c representam as medidas dos semi-eixos do elipsóide. São números reais positivos.

Se a = b = c, a equa¸cão representa uma superf´ıcie esférica de centro (0, 0, 0) e raio a, isto é,

(7)

Hiperbol´oides

(i) Hiperbolóide de uma folha - Um hiperbolóide de uma folha da maneira mais geral é representado pela equa¸cão

x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 1

chamada forma can´onica do hiperbol´oide de uma folha ao longo do eixo Oz. As

outras duas formas s˜ao

x2 a2 − y2 b2 + z2 c2 = 1 e − x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1,

e representam hiperbol´oide de uma folha ao longo dos eixos Oy e Ox, respectiva-mente.

(ii) Hiperbol´oide de duas folhas - Um hiperbol´oide de duas folhas da maneira mais

(8)

−x 2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 1,

chamada forma canónica do hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo Oy. As outras duas formas são

x2 a2 − y2 b2 − z2 c2 = 1 e − x2 a2 − y2 b2 + z2 c2 = 1,

e representam hiperbol´oide de duas folhas ao longo dos eixos Ox e Oz, respecti-vamente.

Parabol´oides

(i) Parabolóide el´ıptico - Um Parabolóide el´ıptico da maneira mais geral é representado pela equa¸cão z = x 2 a2 + y2 b2,

chamada forma canónica do parabolóide el´ıptico ao longo do eixo Oz. As outras duas formas são y = x_a22 + z2 c2 e x = y2 b2 + z2 c2,

e representam parabolóide el´ıptico ao longo dos eixos Oy e Ox, respectivamente. (ii) Parabolóide hiperbólico - Um parabolóide hiperbólico da maneira mais geral é

(9)

z = x

2

a2 −

y2

b2,

chamada forma canónica do parabolóide hiperbólico ao longo do eixo Oz. As

outras duas formas s˜ao

y = z_c22 − x2 a2 e x = z2 c2 − y2 b2,

e representam parabol´oide hiperb´olico ao longo dos eixos Oy e Ox, respectiva-mente.

1.2 Integrais duplos

As regi˜oes de integra¸c˜ao v˜_{ao ser agora subconjuntos de R}2_{. Primeiramente}

considerar-se-á regiões de integra¸cão rectangulares e depois considerar-se-á regiões mais gerais com fronteiras curvil´ıneos.

Defini¸cão 1.7 Sejam a, b, c e d números reais tais que a < b e c < d. Considere o rectângulo

R = {(x, y) ∈ R2 : a < x < b, c < y < d}

e as parti¸c˜oes dos intervalos [a, b] e [c, d], definidas respectivamente, por

P1 : a = x0 < x1 < . . . < xn−1< xn= b e P2 : c = y0 < y1 < . . . < ym−1 < ym = d,

onde n e m são números naturais arbitrários. Designa-se por Parti¸cão do rectângulo R ao conjunto seguinte

P = {(xi, yj) ∈ R : 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m}.

Figura 1: A Região R e a parti¸cão P, o sólido E e um dos sólidos Ei.

Tal como se definiu anteriormente, a parti¸cão P do rectângulo R determina mn sub-rectângulos de R:

Rij = {(xi, yj) ∈ R2 : xi−1≤ x ≤ xi, yj−1≤ y ≤ yj},

cujas áreas são dadas por 4xi4yi = (xi − xi−1)(yj − yj−1). A coleçcão destes

(10)

Defini¸c˜ao 1.8 Seja f uma fun¸c˜ao definida num rectˆ_{angulo R ⊂ R}2_{. Designa-se por}

soma de Riemann da fun¸cão f no rectângulo R à expressão seguinte:

n,m X i=0,j=0 f (x∗_ij)4xi4yj ≡ m X j=0 n X i=0 f (x∗_ij)4xi4yj ≡ f (x∗11)4x14y1+· · ·+f (x∗nm)4xn4ym,

onde x∗_ij representa os pontos seleccionados aleatoriamente nos sub-rectˆangulos Rij

re-spectivos.

Para a no¸cão de integral duplo, interessa que as parti¸cões sejam muito finas. Defini¸cão 1.9 Sejam f uma fun¸cão definida num rectˆ_{angulo R ⊂ R}2 e

P = {(xi, yj) ∈ R : 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ m}

uma parti¸cão arbitrária de R. Diz-se que a fun¸cão f é integrável (à Riemann) no rectângulo R, se existir o limite finito seguinte:

lim |P |→0 m X j=0 n X i=0 f (x∗_ij)4xi4yj. (1)

No caso o limite (1) existir, esse limite designa-se por integral da fun¸c˜ao e denota-se por Z Z R f (x, y)dxdy ou Z Z R f (x, y)dA

onde dxdy e dA indicam o elemento de ´area.

1.2.1 Integral iterado

A proposi¸cão seguinte permitirá calcular alguns integrais duplos usando integra¸cões simples repetidas, ou seja, usando fun¸cões reais de uma variável real.

(11)

Proposi¸cão 1.10 (Fubini) Seja f uma fun¸cão integrável num rectângulo R = {(x, y) ∈ R2 : a < x < b, c < y < d}, onde a < b e c < d.

Suponha-se queR f (x, y)dx existe para qualquer y ∈ [c, d], e que R f (x, y)dy existe para qualquer x ∈ [a, b]. Ent˜ao

Z Z R f (x, y)dxdy = Z d c Z b a f (x, y)dx dy = Z b a Z d c f (x, y)dy dx. (2)

Os dois últimos integrais de (2) é designa-se por integrais repetidos ou iterados. Note-se que na aplica¸cão do Teorema Fundamental do Cálculo Integral ao cálculo do integral entre parêntesis rectos, se primitiva a fun¸cão f em rela¸cão à variável a´ı referida, fixando a outra como constante.

Observa¸cão 1.11 Em algumas situa¸cões, por muitas razões, é manifestamente im-poss´ıvel calcular relativamente a uma das variáveis. A mais frequente é a impossibil-idade de determinar a primitiva da fun¸cão dada em rela¸cão a essa variável. Nestas situa¸cões, calcula-se o integral repetido apenas numa ordem de integra¸cão poss´ıvel.

Exemplo 1.12 Determine Z Z

R

e−x−ydxdy sobre o rectângulo R = [0, 1] × [0, 1]. Resolu¸cão: Resolvido na Teórica.

Exemplo 1.13 Determine Z Z

R

x2+ y2dxdy sobre o rectângulo R = [−1, 1] × [−1, 1]. Resolu¸cão: Resolvido na Teórica.

Exemplo 1.14 Determine Z π 0 Z 2 0 y sin xdydx. Resolu¸c˜ao: Resolvido na Te´orica.

A proposi¸c˜ao anterior permite generalizar a integra¸c˜ao a qualquer dom´ınio limitado D ⊂ R2_.

1. Tipo I - Sejam g1 e g2 duas fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real, cont´ınuas num

intervalo [a, b] ⊂ R, com a < b, e tais que, para cada a ≤ x ≤ b e g1(x) ≤ g2(x).

Considere ainda a fun¸c˜ao f

D = {(x, y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)}. Ent˜ao Z Z D f (x, y)dxdy = Z b a Z g2(x) g1(x) f (x, y)dy dx.

(12)

2. Tipo II - Sejam h1 e h2 duas fun¸c˜oes reais de uma vari´avel real, cont´ınuas num

intervalo [c, d] ⊂ R, com c < d, e tais que, para cada c ≤ y ≤ d e h1(x) ≤ h2(x).

Considere ainda a fun¸c˜ao f

D = {(x, y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d, h1(y) ≤ x ≤ h2(y)}. Ent˜ao Z Z D f (x, y)dxdy = Z d c Z h2(y) h1(y) f (x, y)dx dy.

Exemplo 1.15 Pretende-se determinar a regi˜ao D limitada pela recta x + y = 2 e

pelos eixos coordenados, no primeiro quadrante.

A regi˜_{ao D = {(x, y) ∈ R}2 : 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 2 − y} ou D = {(x, y) ∈ R2 _{: 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 − x}.} 1 2 1 2 0 x = 2 − y

Nota 1.16 Considere duas fun¸cões integráveis sobre o rectângulo R e seja k uma constante. Então f + g e kf são integráveis, e:

(i) Linearidade Z Z R f (x, y) + g(x, y)dA = Z Z R f (x, y)dA + Z Z R g(x, y)dA. (ii) Homogeneidade Z Z R kf (x, y)dA = k Z Z R f (x, y)dA

(13)

(iii) Monotonicidade Se f (x, y) ≥ g(x, y), ent˜ao Z Z R f (x, y)dA ≥ Z Z R g(x, y) (iv) Aditividade

Se Ri, (com i = 1, . . . , m) grupos de rectˆangulos disjuntos tal que f ´e limitado e

integrável sobre cada Ri e se Q = R1∪ R2 ∪ . . . ∪ Rm for um rectângulo, então

f : Q → R é integrável sobre Q e Z Z Q f (x, y)dA = m X i=1 Z Z Ri f (x, y)dA. (v) Módulo Z Z R f (x, y)dA ≤ Z Z R |f (x, y)|dA.

1.2.2 Integrais duplos e ´Areas

A área de uma região plana fechada e limitada R é dada por

AreaR=

Z Z

R

dxdy.

Exemplo 1.17 Determine a área da região R limitada pela parábola y = x2 _{e pela}

recta y = x + 2.

1.2.3 Integrais duplos e Volumes

Suponha-se que um plano intersecta um sólido onde forma uma seçcão de área no plano de referência Px. Então o volume do sólido é dado por

volume = Z b a A(x)dx = Z b a Z d c f (x, y)dy dx, com A(x) = Z d c f (x, y)dy, onde a e b são as distâncias m´ınima e máxima do plano de referência.

Exemplo 1.18 Determine o volume sob o plano z = 8x + 6y sobre a regi˜ao R =

{(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2x2_}. 1 2 1 2 0 y = 2x2 f

(14)

Resolu¸cão: A região R é representada na figura. Usando a tira vertical, fica: V = Z Z R (8x + 6y)dA = Z 1 0 Z 2x2 0 (8x + y)dy dx = Z 1 0 Z 2x2 0 8xy + 3y2 y=2x2 y=0 dx = Z 1 0 (16x3+ 12x4)dx = (4x4+12 5 x 5₎ 1 0 = 4 + 12 5 = 32 5 .

Pode-se usar a tira horizontal para determinar o mesmo volume. Agora temos uma nova figura: 1 1 2 0 x =py/2 f V = Z Z R (8x + 6y)dA = Z 2 0 Z 1 √ y/2 (8x + y)dx dy = Z 2 √ 0 4x2+ 6xy 1 √ y/2 dy = Z 2 0 (4 + 6y − (2y +√6 2y √ y))dy = Z 2 0 (4 + 4y − 3√2y3/2) = 4y + 2y2− 6 √ 2 5 y 5/2 2 0 = 8 + 8 − 6 √ 2√2 5 = 32 5.

1.2.4 Mudan¸ca de vari´aveis. Coordenadas polares

1.2.5 Coordenadas polares

Seja O um ponto fixo do plano e considere-se um semi-eixo com origem em O. Diz-se que O é o pólo e que o semi-eixo é o eixo polar. Seja P um ponto do plano distinto do pólo O e considerem-se a distância, r, de P a O e o ângulo, θ, orientado no sentido anti-horário e medido em radianos que o eixo polar faz com OP .

P

eixo polar r

O

θ

Sendo r = ||OP ||, com P 6= 0, tem-se r > 0. Impondo que −π ≤ θ ≤ π o par (r, θ) assim definido é único e representa o ponto P . Diz-se que (r, θ) são as coordenadas polares de P 6= 0. Todo o par da forma (0, θ), com θ ∈ [−π, π] é uma representa¸cão do pólo O. Assim, a representa¸cão é única para todos os pontos em coordenadas polares.

(15)

Se um ponto P do plano tem coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, θ), ent˜ao

x = r cos θ y = r sin θ

1.2.6 Mudan¸ca de vari´aveis em Integrais duplos. Coordenadas polares

Considere a fun¸cão integrável f em coordenadas cartesianas (x, y). Considere ainda a fun¸cão cont´ınua, portanto, integrável g em coordenadas polares (r, θ) definida a partir de f , ou seja, g(r, θ) = rf (r cos θ, r sin θ). Assim, considerando que a fun¸cão g é diferenciável em [a, b] × [α, β], conclui-se que

Z Z R f (x, y)dxdy = Z Z [a,b]×[α,β] g(r, θ)drdθ = = Z Z [a,b]×[α,β] f (r cos θ, r sin θ) · r · drdθ = Z b a Z β α r · f (r cos θ, r sin θ)dθ dr = Z β α Z b a r · f (r cos θ, r sin θ)dr dθ

Pode-se tamb´em fazer mudan¸ca de coordenadas cartesianas para coordenadas polares

no caso da região de integra¸cão ser uma região polar de Tipo I ou de Tipo II. Proposi¸cão 1.19

1. Tipo I - Sejam R = {(r, θ) : α ≤ θ ≤ β e h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ)} uma regi˜ao polar

do Tipo I e f uma fun¸c˜ao cont´ınua em R. Ent˜ao Z Z R f (x, y)dxdy = Z β α Z h2(θ) h1(θ) rf (r cos θ, r sin θ)dr dθ.

2. Tipo II - Sejam R = {(r, θ) : a ≤ r ≤ b e g1(r) ≤ θ ≤ g2(r)} uma regi˜ao polar

do Tipo II e f uma fun¸c˜ao cont´ınua em R. Ent˜ao Z Z R f (x, y)dxdy = Z b a Z g2(r) g1(r) rf (r cos θ, r sin θ)dθ dr.

Exemplo 1.20 Calcular o volume do s´olido E limitado superiormente pela superf´ıcie

de equa¸c˜ao z = x2+ y2 e inferiormente pela regi˜ao

{(x, y) ∈ R2 _{: 1 ≤ x}2_{+ y}2 _{≤ 4 e x ≥ 0.}}