ASL visao geral

(1)

Disciplina: An´alise de Sistemas Lineares

Prof. Rodrigo Gusm˜ao Cavalcante

rodgcav@ifba.edu.br rodgcav@gmail.com

Departamento de Engenharia El´etrica Instituto Federal da Bahia

(2)

1 O que ´e um sinal?

2 O que ´e um sistema?

3 Vis˜ao geral de sistemas espec´ıficos Sistemas de comunica¸c˜ao Sistemas de controle

4 Processamento de sinal anal´ogico versus digital

5 Tamanho do sinal

6 Algumas opera¸c˜oes ´uteis com sinais

(3)

8 Classifica¸c˜ao dos sistemas

Sistemas lineares e n˜ao lineares

Sistemas invariantes e variantes no tempo Sistemas invariantes e variantes no tempo Sistemas instantˆaneos e dinˆamicos

Sistemas causal e n˜ao causal

Sistemas em tempo cont´ınuo e em tempo discreto Sistemas anal´ogicos e digitais

Sistemas invers´ıveis e não invers´ıveis Sistemas estáveis e instáveis

9 Modelo de sistema: descri¸c˜ao entrada-sa´ıda Sistemas El´etricos

Sistemas Mecˆanicos Sistemas Eletromecˆanicos

10 Descri¸c˜ao interna e externa de um sistema

(4)

3 Vis˜ao geral de sistemas espec´ıficos

5 Tamanho do sinal

7 Classifica¸c˜ao dos sinais

9 Modelo de sistema: descri¸c˜ao entrada-sa´ıda

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Os sinais, de uma forma ou de outra, constituem um ingrediente b´asico de nossa vida di´aria.

Por exemplo, uma forma comum de comunica¸cão humana se desen-volve através do uso de sinais da fala, seja na conversa¸cão frente a frente ou por um canaltelefônico.

Um sinal é formalmente definido como uma fun¸cão de uma ou mais variáveis, a qual veicula informa¸cões sobre a natureza de um fenˆ o-meno f´ısico.

O sinal de fala ´e um exemplo de sinalunidimensional, cuja amplitude varia com o tempo.

Uma imagem ´e um exemplo de sinal multidimensional, com duas dimens˜oes.

(6)

5 Tamanho do sinal

(7)

Nos exemplos de sinais mencionados, há sempre um sistema as-sociado à gera¸cão de cada sinal, e outro associado à extra¸cão da informa¸cão do sinal.

Sistema Sinal de saída Sinal de entrada

Um sistema ´e formalmente definido como uma entidade que mani-pula um ou mais sinais para realizar uma fun¸c˜ao, produzindo, assim, novos sinais.

A intera¸cão entre um sistema e seus sinais de entrada e sa´ıda de-pendem, naturalmente, da aplica¸cão pretendida pelo sistema ( clas-sifica¸cão):

Lineares e Não Lineares Estáveis e Instáveis Analógicos e Digitais Causal e Não Causal

Tempo Cont´ınuo e em Tempo Discreto Invariantes e Variantes no Tempo Instantâneos e Dinâmicos Invers´ıveis e Não Invers´ıveis

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5 Tamanho do sinal

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Vis˜ao geral de sistemas espec´ıficos

Existem três elementos básicos em todo sistema de comunica¸cões, a saber, o transmissor, ocanal e oreceptor.

mensagem Sinal da Transmissor Transmitido Sinal Canal Recebido Sinal Receptor do sinal da Estimativa mensagem

Cada um desses trˆes elementos pode ser visto como um sistema com sinais pr´oprios associados.

O transmissor converte o sinal da mensagem produzido por uma fonte de informa¸c˜ao para uma forma apropriada para ser transmitida por um canal.

O canalpode ser de fibra óptica, cabo coaxial, canal de satélite, ou canal de rádio móvel.

O receptor produz uma estimativa do sinal da mensagem original e entrega ao usu´ario final.

(10)

Diagrama de bloco de um sistema de comunica¸c˜ao anal´ogico

Ruído _Canal Modulador (Transmissor) Demodulador (Receptor) Transdutor Transdutor Destinatário Fonte

(11)

Diagrama de bloco de um sistema de comunica¸c˜ao digital

Ruído Canal Demodulador Modulador de Canal Codificador de Canal Decodificador de Fonte Decodificador de Fonte Codificador Destinatário Fonte

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A informa¸cão a ser enviada por um dos canais de transmissão citados anteriormente precisa estar na forma de sinais elétricos, magnéticos ou eletromagnéticos.

Os sinas el´etricos podem seranal´ogicos oudigitais.

A voz, a música, a imagem, o v´ıdeo, etc. podem ser convertidos em sinas elétricos analógicos portransdutores.

A informa¸cão digital é obtida deconversores de sinal analógico em digital (A/D), pelas seguintes etapas:

amostragem: convertendo o sinal em um conjunto de n´umeros, representando a amplitude do sinal em cada instante de tempo;

quantiza¸cão: representando cada número produzido pelo amostra-dor no n´ıvel mais próximo dentre um número finito de n´ıveis de amplitude discreta;

codifica¸cão: representando cada amostra quantizada em uma pala-vra código composta por um número finito de s´ımbolos.

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Amostragem Quantiza¸c˜ao (8 n´ıveis)

Amostras N´ıveis [_{−1.00, −0.75) −0.875} [_{−0.75, −0.50) −0.625} [_{−0.50, −0.25) −0.375} [−0.25, 0) −0.125 [0, 0.25) 0.125 [0.25, 0.50) 0.375 [0.50, 0.75) 0.625 [0.75, 1.00] 0.875

Codifica¸c˜ao (bin´aria-3 bits)

N´ıveis _−0.875 _−0.625 _−0.375 _−0.125 0.125 0.375 0.625 0.875

C´odigo 111 011 101 000 001 100 101 110

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Ocontrole em sistemas f´ısicos ´e generalizado na aplica¸c˜ao de sinais e sistemas.

Como alguns exemplos espec´ıficos em que o controle é aplicado, mencionamos os pilotos automáticos de aviões, ve´ıculos de trans-porte coletivo, motores de automóveis, ferramentas de máquina, refinarias de petróleo, fábricas de papel, reatores nucleares, usinas elétricas e robôs.

O objeto a ser controlado ´e comumente chamadoplanta.

Do ponto de vista da engenharia, existem dois importantes motivos para o uso de sistemas de controle:

1 _{resposta satisfat´}_oria_{- sa´ıda segue ou acompanha uma entrada de}

referˆencia espec´ıfica (processo deregula¸c˜ao);

2 _{desempenho robusto}_{- exibir boa regula¸}_c˜_{ao, apesar da presen¸}_{ca de}

perturba¸cões externas e de mudan¸cas nos parâmetros da planta devido a condi¸cões ambientais variáveis.

(15)

A obten¸cão dessas propriedades desejáveis normalmente exige o uso de realimenta¸cão. Neste caso, o sistema de controle é chamado de

sistema de controle de malha fechada ou sistema de controle com realimenta¸c˜ao. Controlador Planta Saída v(t) Sistemaderealimentação r(t) y(t) + n(t) Perturbação Entradade referên iax(t) − e(t) Σ Σ Sensor(es)

Um sistema de controle pode ser do tipo:

sistema de entrada ´unica/sa´ıda ´unica (SISO- single-input/single-output)

sistema de m´ultiplas entradas/m´ultiplas sa´ıdas (MIMO - multiple-input/multiple-output)

(16)

4 Processamento de sinal anal´ogico versus digital 5 Tamanho do sinal

(17)

As opera¸c˜oes de processamento de sinal podem ser implementadas de duas maneiras diferentes:

1 _{abordagem anal´}_{ogica ou de tempo cont´ınuo} _{- recorre ao uso de}

elementos de circuitos anal´ogicos como, por exemplo, resistores, capacitores, indutores, amplificadores transistorizados, diodos.

2 _{abordagem digital ou de tempo discreto}_{- recorre a trˆ}_{es elementos}

de computador digitais básicos: somadores e multiplicadores (para opera¸cões aritméticas) e memória (para armazenamento).

Abordagem anal´ogica

O principal atributo dessa abordagem é a capacidade natural de resolver equa¸cões diferenciais que descrevem sistemas f´ısicos, sem ter de lan¸car mão de solu¸cões aproximadas para elas.

Estas solu¸cões também são obtidas emtempo real,independente da faixa de frequência do sinal de entrada, uma vez que os mecanismos subjacentes responsáveis pelas opera¸cões da abordagem analógica são todos f´ısicos por natureza.

(18)

Abordagem digital

Em contrapartida, a abordagem digital recorre a computa¸cões nu-méricas para suas opera¸cões.

O tempo necessário para executar estas computa¸cões determina se a abordagem digital é capaz de operar em tempo real, ou seja, manter-se a par das mudan¸cas no sinal de entrada.

Vantagens: flexibilidade, pela qual a mesma máquina digital pode ser usada para implementar deferentes versões de uma opera¸cão de processamento de sinal;repetitividade, a qual uma opera¸cão ode ser repetida de maneiraexata muitas vezes.

An´alise final

A escolha de uma abordagem analógica ou digital para a solu¸cão de uma problema de processamento de sinais somente pode ser deter-minada pela aplica¸cão de interesse, pelos recursos dispon´ıveis e pelo custo envolvido na constru¸cão do sistema.

(19)

5 Tamanho do sinal

(20)

Genericamente falando, a amplitude do sinal varia com o tempo. Como um sinal que existe em um certo intervalo de tempo com amplitude variante pode ser medido por um n´umero que ir´a indicar o tamanho ou a for¸ca do sinal?

Tal medida deve considerar não apenas a amplitude do sinal, mas também sua dura¸cão.

Energia do sinal

A ´area abaixo do sinal x2(t) ´e definida como a energia do sinal, Ex =

Z ∞ −∞

x2(t) dt .

Essa defini¸c˜ao pode ser generalizada para um sinal complexo x(t), sendo dada por

Ex = Z ∞

−∞|x (t)| 2_dt_.

(21)

A energia do sinal deve ser finita para que seja uma medida signifi-cativa do tamanho do sinal.

Uma condi¸cão necessária para que a energia seja finita é que a am-plitude do sinal _{→ 0 quando |t| → ∞}.

Quando a amplitude do sinal x(t) não _{→ 0 quando |t| → ∞, a} energia do sinal é infinita. Neste caso, uma medida mais significativa do tamanho do sinal é apotênciado sinal.

Potˆencia do sinal

Para um sinal x(t), define-se sua potˆencia Px por Px = lim T→∞ 1 T Z T /2 −T /2 x2(t) dt .

Para um sinal complexo x(t), essa defini¸c˜ao ´e dada por Px = lim T→∞ 1 T Z T /2 −T /2|x (t)| 2_dt_.

(22)

Sinal omenergianita x(t)

x(t)

t

Sinal ompotên ianita

(23)

A potência do sinal Px é uma média temporal do quadrado da am-plitude do sinal, ou seja, o valor médio quadrático de x(t).

De fato, a raiz quadrada de Px é o conhecido valor rms(raiz média quadrática) de x(t).

Quando x(t) é periódica, |x (t)|2 _tamb´_{em ´}_{e peri´}_{odica e a potˆ}_encia de x(t) pode ser calculada efetuando a média de _{|x (t)|}2 em um per´ıodo.

Aten¸c˜ao

A energia e a potência, tal como foram definidas aqui, não indicam a energia ou a potênciareal(no sentido convencional) do sinal. Essas medidas são indicadores convencionais do tamanho do sinal, sendo bastante úteis em várias aplica¸cões.

As unidades de energia e potˆencia, como definidas aqui, dependem da natureza do sinal x(t).

(24)

Exemplo 1 - resolvido em sala de aula

Determine as medidas de tamanho adequadas dos sinais abaixo.

t x(t) t x(t) 2e−t/2 (a) 0 −1 4 0 1 2 3 4 −3 −2 −1 1 2 (b) 2

(25)

Exemplo 2 - resolvido em sala de aula Determine a potˆencia e o valor rms de

a) x(t) = C cos(ω0t + θ)

b) x(t) = C1cos(ω1t + θ1) + C2cos(ω2t + θ2) c) x(t) = Dej ω0t

Exerc´ıcio 1

Mostre que as energias dos sinais das figuras (a), (b), (c) e (d) são 4, 1, 4/3 e 4/3, respectivamente. Observe que o dobro do sinal quadruplica sua energia e o deslocamento no tempo de um sinal não possui efeito em sua energia. Mostre também que a potência do sinal da Fig.e) é 0.4323. Qual ´

e o valor rms do sinal da Fig.e)?

(26)

Exerc´ıcio 1 - continua¸c˜ao t x1(t) t x2(t) t x3(t) t x4(t) t e−t x5(t) 1 2 0 (a) 1 0 (b) 1 1 2 0 ( ) (d) 2 0 0 1 (e) 2 3 4 −3 −2 −1 1 −1

(27)

Exerc´ıcio 2

Refa¸ca o exemplo 2-a) para determinar a potência da senóide Ccos(ω0t+ θ) calculando a média da energia do sinal em um per´ıodo T0 = 2π/ω0(em vez de calcular a média em um intervalo infinitamente grande de tempo). Mostre também que a potência de um sinal CC x(t) = C0 é C02 e seu valor rms é C0.

Exerc´ıcio 3

Mostre que seω1= ω2, a potˆencia de C1cos(ω1t+ θ1) + C2cos(ω2t+ θ2) ´

e [C₁2+ C₂2+ 2C1C2cos(θ1− θ2)]/2, o qual n˜ao ´e igual a [C12+ C22]/2.

(28)

5 Tamanho do sinal

6 Algumas opera¸cões úteis com sinais 7 Classifica¸cão dos sinais

(29)

Deslocamento temporal

Considerando um sinal x(t) (Fig.a) e o mesmo sinal atrasado por T se-gundos (Fig.b), o qual chamaremos de φ(t). O que acontecer em x(t) em algum tempo t também aconte-cerá com φ(t) T segundos após, no instante t+ T. Portanto, φ(t + T ) = x (t) e φ(t) = x (t− T ). t φ(t) = x(t− T ) t x(t) t T φ(t) = x(t + T ) T Atrasado Avançado 0 (b) (a) 0 ( ) 0

(30)

Escalonamento temporal

A compressão ou expansão de um si-nal no tempo é chamada de escalo-namento temporal. Em geral, sex(t)

for comprimido no tempo por um fa-tora (a > 1), o sinal resultanteφ(t)

´e dado por

φ(t) = x (at).

Usando um argumento similar, pode-mos pode-mostrar que quando x(t) ´e ex-pandido no tempo por um fator a

(a > 1), temos φ(t) = x t a . t φ(t) = x(2t) t x(t) t φ(t) = x(t/2) Comprimido Expandido T1 T2 T1 2 T2 2 2T2 2T1 0 (b) (a) 0 ( ) 0

(31)

Revers˜ao temporal

Na reversão temporal dex(t), rotaci-onamos esta forma em 180◦ com re-la¸cão ao eixo vertical. Observe que o que acontece na Fig.a) em algum ins-tantet também acontecerá na Fig.b) no instante _−t, e vice versa. Por-tanto, φ(t) = x (−t). t t x(t) φ(t) = x(−t) (b) (a) 0 −1 5 2 −2 2 2 0 −5 −1

(32)

5 Tamanho do sinal

7 Classifica¸c˜ao dos sinais 8 Classifica¸c˜ao dos sistemas

(33)

Sinais cont´ınuos e discretos no tempo

Um sinal que ´e especificado para valores cont´ınuos de tempo t ´e um

sinal cont´ınuo no tempo.

Um sinal que ´e especificado apenaspara valores discretos de t ´e um

sinal discreto no tempo.

(34)

Sinais anal´ogicos e digitais

Os termos cont´ınuo no tempo e discreto no tempo qualificam a natureza do sinal ao longo do eixo de tempo.

Os termosanal´ogico e digitalqualificam a natureza daamplitude do sinal.

A amplitude de um sinal anal´ogico pode assumir infinitos valores (qualquer valor em um faixa cont´ınua).

Um sinal digital pode assumir M valores (sinal M -ário, M = 2 é um exemplo de sinal binário).

Um sinal analógico não é necessariamente um sinal cont´ınuo no tempo

(35)

Exemplo de sinais - Classifique! t x(t) t x(t) x(t) t x(t) t (a) (b) ( ) (d)

(36)

Sinais periódicos e não periódicos

Um sinal x(t) ´e dito peri´odico se para alguma constante positiva T0 x(t) = x (t + T0), para todo t .

O menor valor de T0 que satisfaz a condi¸cão de periodicidade da equa¸cão acima é o per´ıodo fundamentalde x(t).

Uma propriedade útil adicional de um sinal periódico x(t) com per´ıodo T0 é que Z a+T0 a x(t) dt = Z b+T0 b x(t) dt . t x(t) 0 6 12 −6

(37)

Sinais de energia e potˆencia

Como a média é calculada em um intervalo infinitamente grande, um sinal com energia finita possui potência nula e um sinal com potência finita possui energia infinita.

Portanto, um sinal n˜ao pode ser tanto de energia quanto de potˆencia. Exemplo 3 - resolvido em sala de aula

Mostre que a exponencial de dura¸cão infinita e−at não é nem um sinal de energia nem de potência para qualquer valor real de a. Entretanto, se a for imaginário, ela é um sinal de potência (Px = 1), independente do valor de a.

(38)

Sinais determin´ısticos e aleat´orios

Um sinal cuja descri¸cão f´ısica é completamente conhecida, seja na forma matemática ou na forma gráfica é um sinal determin´ıstico. Um sinal cujos valores não podem ser preditos precisamente, mas são conhecidos apenas em termos de uma descri¸cão probabil´ıstica, tal como valor médio ou valor médio quadrático, sãosinais aleatórios. Nesta disciplina, trabalharemos exclusivamente com sinais determi-n´ısticos.

(39)

5 Tamanho do sinal

(40)

Classifica¸c˜ao dos sistemas

Conceito de linearidade

Um sistema cuja sa´ıda seja proporcional a sua entrada ´e umexemplo

de um sistema linear.

Mas a linearidade implica em mais do isso, ela tamb´em implica a propriedade aditiva.

x1 → y1 e x2 → y2 ⇒ x1+ x2 → y1+ y2. Propriedade de homogeneidade ou escalamento

Para um número real ou imaginário arbitrário k , se uma entrada aumentar k vezes, seu efeito também aumentará k vezes.

x → y ⇒ kx → ky.

Propriedade da superposi¸c˜ao

Atente as propriedade aditiva e de escalonamento simultaneamente. Parak1 e k2 números reais ou imaginários arbitrários, tem-se

(41)

Resposta de um sistema linear

A sa´ıda de um sistema para t _{≥ 0 ´e o resultado de duas causas} independentes: a condi¸c˜ao inicial do sistema (ou estado do sistema) para t = 0 e a entrada x (t) para t _{≥ 0.}

A resposta de umsistema linearpode ser expressa como a soma das componentes deentrada nula(resultante das condi¸cões iniciais para t = 0 com entrada x (t) = 0 para t _{≥ 0) e} estado nulo(resultante apenas da entrada x(t) para t ≥ 0 quando as condi¸cões iniciais são consideradas iguais a zero):

resposta total = resposta a entrada nula + resposta ao estado nulo. Essa propriedade dos sistemas lineares, a qual permite a separa¸cão de uma sa´ıda em componentes resultantes das condi¸cões iniciais e da entrada, é chamada de propriedade de decomposi¸cão.

(42)

Classifica¸c˜ao dos sistemas + − − + _y(t) vc(t) C R x(t)

Para o circuito RC descrito acima, a resposta y(t) ´e dada por:

y(t) = vc(0) | {z } entrada nula + Rx (t) + 1 C Z t 0 x(τ ) d τ | {z } estado nulo

(43)

Mostre que o sistema descrito pela equa¸c˜ao abaixo ´e linear. dy

dt + 3y(t) = x (t) Exerc´ıcio 4

Mostre que o sistema descrito pela equa¸c˜ao abaixo ´e linear. dy

dt + t

2_y_{(t) = (2t + 3)x (t)} Exerc´ıcio 5

Mostre que o sistema descrito pela equa¸cão abaixo não é linear.

y(t)dy

dt + 3y(t) = x (t)

(44)

Sistemas cujos parâmetros não são alterados com o tempo são inva-riantes no tempo (também chamados de sistemas com parâmetros constantes).

Em tais sistemas, se a entrada for atrasada por T segundos, a sa´ıda ´

e a mesma anterior, porém atrasada também por T segundos (as-sumindo que as condi¸cões iniciais também sejam atrasadas de T segundos). x(t) x(t) Sistema Atrasode T segundos y(t_{− T )} y(t_{− T )} Sistema Atrasode T segundos y(t) x(t_{− T )}

(45)

Circuitos compostos por elementosRLCe outros componentes ativos tais como transistores s˜ao sistemas invariantes no tempo.

Um sistema com uma rela¸cão de entrada/sa´ıda descrita por uma equa¸cão diferencial linear é um sistema invariante linear (LIT), quando os coeficientes forem constantes.

Mostre que um sistema com sa´ıda y(t) = e−tx(t) ´e um sistema variante no tempo.

Exerc´ıcio 6

Mostre que o sistema descrito pela seguinte equa¸cão é um sistema com parâmetros variantes no tempo:

y(t) = sin(t)x (t_{− 2).}

(46)

Geralmente, a sa´ıda de um sistema em um instante t qualquer de-pende de todo o passado da entrada.

Entretanto, nos sistemas instantˆaneos ou sem mem´oria, a sa´ıda a qualquer instante t depende apenas da entrada naquele instante.

Por exemplo, em circuitos resistivos, qualquer sa´ıda do circuito em qualquer instante de tempo t depende da entrada no instante t. Caso contrário, o sistema é chamado de dinâmico (ou sistema com memória).

Circuitos contendo elementos indutivos e capacitivos possuem me-mória infinita, porque a resposta de tais circuitos a qualquer instante t é determinada por todo o passado de suas entradas(−∞, t). Nesta disciplinas, trabalharemos com sistemas dinâmicos. Os siste-mas instantâneos são um caso especial de sistemas dinâmicos.

(47)

Um sistema causal (também conhecido como f´ısico ou não anteci-pado) é aquele no qual a sa´ıda em qualquer instante t0 depende apenas do valor da entrada x(t) para t ≤ t0.

Em outras palavras, o valor de sa´ıda no instante presente depende apenas do valor presente e passado da entrada x(t), e n˜ao de seus valores futuros.

Um sistema não causalé um sistema hipotéticoque conhece a en-trada futura e atua nela no presente.

Portanto, se aplicarmos uma entrada come¸cando em t = 0 a um sistema n˜ao causal, a sa´ıda pode come¸car mesmo antes de t = 0. Por exemplo, considere o sistema especificado por

y(t) = x (t_{− 2) + x (t + 2)}

(48)

Por que estudar sistemas n˜ao causais?

1 Sistemas não causais são realizáveis quando a variável independente

for outra que n˜ao o“tempo”(por exemplo, o espa¸co).

2 Mesmo para sistemas temporais, tais como os utilizados para o

pro-cessamento de sinais, temos todos os dados de entrada gravados anteriormente, e com isso os valores futuros da entrada est˜ao dispo-n´ıveis para nosso uso.

3 Al´em disso, os sistemas n˜ao causais fornecem um limitante superior

para o desempenho de sistemas causais. Por exemplo, um filtro que separa um sinal do ru´ıdo ´e um filtro n˜ao causal.

(49)

Se quisermos saber o que acontecerá daqui a um ano, temos duas escolhas: ir a um profeta (uma pessoa não realizável) que nos dirá as respostas instantaneamente ou ir a um sábio e permitir a ele um atraso de

um ano para nos dar as respostas!

(50)

Sistemas cujas entradas e sa´ıdas s˜ao sinais cont´ınuos no tempo s˜ao

sistemas em tempo cont´ınuo.

Por outro lado, sinais definidos apenas em instantes discretos de tempo t0, t1, t2, . . . , tn, . . . s˜ao sinais discretos no tempo, repre-sentados pelos s´ımbolos x(tn), y(tn) e assim por diante.

Sistemas cujas entradas e sa´ıdas s˜ao sinais discretos no tempo s˜ao

sistemas em tempo discreto (ousistemas discretos no tempo).

tempodis reto Sistemaem dis reto

Contínuopara x(t Dis retopara

n) y(tn) y(t)

x(t)

ontínuo

C/D D/C

(51)

O sinais analógicos e digitais foram discutidos anteriormente. Um sistema cujos sinais de entrada e sa´ıda são analógicos é um

sistema anal´ogico.

Um sistema cujos sinais de entrada e sa´ıda s˜ao digitais ´e umsistema digital

Um computador digital ´e um exemplo de um sistema digital (bin´ a-rio). Observe que um computador digital ´e um sistema digital e em tempo discreto.

(52)

Um sistemaS executa uma certa opera¸cão em um sinal de entrada. Se pudermos obter a entrada x(t) da sa´ıda y(t) correspondente através de alguma opera¸cão, o sistemaS é ditoinvers´ıvel.

Quando várias entradas diferentes resultam na mesma sa´ıda, é im-poss´ıvel obter a entrada da sa´ıda e o sistema é não invers´ıvel. Portanto, para um sistema invers´ıvel, é essencial que toda entrada possua uma única sa´ıda, de forma que exista um mapeamento de um-para-um entre a entrada e a sa´ıda correspondente.

O sistema que efetua a opera¸cão inversa (de obten¸cão de x(t) a partir de y(t)) é o sistema inversodeS.

Por exemplo, se S é um integrador ideal, então o sistema inverso é diferenciador ideal.

(53)

A estabilidade pode ser internaouexterna.

Se cada entrada limitada aplicada ao terminal de entrada resultar em uma sa´ıda limitada, o sistema é dito serexternamente estável. Este tipo de estabilidade também é conhecida como estabilidade no sentido BIBO (bounded-input/bounded-output), entrada limi-tada/sa´ıda limitada.

O conceito de estabilidade interna ser´a deixado para mais adiante, pois requer algum conhecimento do comportamento interno do sis-tema.

Mostre que o sistema descrito pela equa¸cão y(t) = x2(t) é não invers´ıvel com estabilidade no sentido BIBO.

(54)

5 Tamanho do sinal

9 Modelo de sistema: descri¸c˜ao entrada-sa´ıda 10 Descri¸c˜ao interna e externa de um sistema

(55)

A descri¸cão de um sistema em termos de medidas nos terminais de entrada e sa´ıda é chamado de descri¸cão entrada-sa´ıda.

O primeiro passo na análise de um sistema é a constru¸cão de um modelo do sistema, o qual é a expressão matemática ou regra que aproxima satisfatoriamente o comportamento dinâmico do sistema.

Inicialmente, consideraremos apenas sistemas cont´ınuos no tempo (a modelagem de sistemas discretos no tempo ser´a apresentada mais adiante).

Modelos de sistemas abordados: Sistemas El´etricos

Sistemas Mecˆanicos Sistemas Eletromecˆanicos

(56)

Modelo de sistema: descri¸c˜ao entrada-sa´ıda

Em sistemas elétricos devemos determinar um modelo satisfatório para a rela¸cão tensão-corrente de cada elemento.

Para tanto, devemos determinar as várias rela¸cões nas tensões e correntes quando vários elementos estão conectados.

→ vR(t) = R i (t) → vC(t) = 1 C Z t t0 i(t) dt → vL(t) = L d dti(t)

Al´em de usar as conhecidas Leis de Kirchhoff para tens˜ao e corrente (LKT e LKC).

(57)

Para o circuito RLC série abaixo, determine a equa¸cão de entrada-sa´ıda que relaciona a tensão de entrada x(t) com a corrente de sa´ıda (corrente da malha) y(t). x(t) y(t) L = 1H R = 3 Ω vC(t) C =1 2F Resposta: d 2_y dt2 + 3 d y dt + 2y = d x dt .

(58)

Determine a equa¸cão relacionando a entrada e a sa´ıda para o circuito RC série da figura abaixo, se a entrada for a tensão x(t) e a sa´ıda for

a) a corrente de malha i(t) b) a tens˜ao no capacitor y(t)

x(t) R = 15 Ω y(t) C =1 5F i(t)

(59)

Exerc´ıcio 7

Para o circuito RLC do Exemplo 7, determine a rela¸c˜ao de entrada sa´ıda se a sa´ıda for a tens˜ao vL(t) do indutor.

Resposta: D2+ 3D + 2 vL(t) = D2x(t), onde D ´e o operador diferen-cial d/dt.

Exerc´ıcio 8

Para o circuito RLC do Exemplo 7, determine a rela¸c˜ao de entrada sa´ıda se a sa´ıda for a tens˜ao vC(t) do capacitor.

Resposta: D2+ 3D + 2 vC(t) = 2x (t).

(60)

O movimento planar pode ser decomposto em movimento translaci-onal (retil´ıneo) e movimento rotacitranslaci-onal.

Sistemas translacionais: os elementos b´asicos utilizados na modelagem de sistemas translacionais s˜ao massas ideais, molas lineares e amortecedores com amortecimento viscoso.

(61)

Para uma massaM, uma for¸cax(t)causa um momentoy(t)e uma acelera¸c˜ao. A partir da lei de Newton para movimento,

x(t) = M ¨y(t) = Md 2_y

dt2 = M D 2_y_{(t) .}

A for¸cax(t)necess´aria para alongar (ou comprimir) umamola linear por uma certa quantidadey(t)´e dada por

x(t) = K y(t) , onde K ´e a constante da mola.

Para oamortecedor linear, o qual opera em fun¸cão do atrito viscoso, a for¸ca movendo o amortecedor é proporcional a velocidade relativa de uma superf´ıcie em rela¸cão a outra. Logo,

x(t) = B ˙y(t) = Bdy

dt = B D y(t) .

(62)

Determine a rela¸cão entrada-sa´ıda para o sistema mecânico translacional mostrado na figura abaixo. A entrada é a for¸cax(t)e a sa´ıda é a posi¸cão da massa y(t).

Resposta: My¨(t) =−B ˙y(t) − K y(t) + x (t) ou (M D2+ B D + K )y(t) = x (t).

(63)

Sistemas rotacionais: em sistemas rotacionais, o movimento de um corpo pode ser definido como o movimento em um certo eixo. As vari´aveis utilizadas para descrever o movimento rotacional s˜ao

torque (no lugar da for¸ca), a posi¸cão angular (no lugar da posi¸cão linear), a velocidade angular(no lugar da velocidade linear) e a ace-lera¸cão angular (no lugar da acelera¸cão linear).

Os elementos do sistema são a a massa rotacional ou momento de inércia(no lugar da massa),molas de tor¸cão(no lugar de molas lineares) eamortecedores de tor¸cão(no lugar de molas amortecedores lineares).

Como veremos a seguir, as equa¸cões terminais destes elementos são análogas às equa¸cões correspondentes para os elementos translacio-nais.

(64)

SeJ é o momento de inércia de um corpo girando em um certo eixo, então o torque externo necessário para este movimento é igual a

torque = J ¨θ = Jd 2_θ dt2 = J D

2_θ(t)_.

Similarmente, se K é a constante de uma mola de tor¸cão e θ é o deslocamento angular de um terminal da mola com rela¸cão ao outro, então,

torque = K θ.

Por fim, o torque devido ao amortecimento viscoso de uma amorte-cedor de tor¸c˜ao com coeficiente de amortecimento B ´e

(65)

O movimento de uma aeronave pode ser controlado por trˆes conjuntos de super-f´ıcies (mostradas sombreadas na figura abaixo): profundores, lemeeailerons. O ˆ

angulo de giroϕ pode ser controlado deflexão em dire¸cões opostas da superf´ıcie dos dois ailerons. Considerando apenas o movimento de rota¸cão, determine a equa¸cão relacionando o ângulo de giroϕ com a entrada (defle¸cão) θ.

(66)

Exerc´ıcio 9

Um torque T(t)é aplicado ao sistema mecânico rotacional mostrado na figura abaixo. A constante da mola é K, o momento de inércia é J, o coeficiente de amortecimento viscoso entre o cilindro e a superf´ıcie é B. Determine a equa¸cão relacionando o ângulo θ de sa´ıda com o torque T

de entrada

(67)

Modelagem de sistemas mecˆanicos keq = k1+ k2 1 keq = 1 k1 + 1 k2 F = keqx F = keqx F = k1y F = k2(x− y)

(68)

Modelagem de sistemas mecˆanicos beq = b1+ b2 1 beq = 1 b1 + 1 b2 F = beq( ˙y − ˙x ) F = beq( ˙y − ˙x ) F = b1( ˙z− ˙x ) F = b2( ˙y− ˙z )

(69)

Modelagem de sistemas mecˆanicos

Exemplo 11

Considere o sistema massa-mola-amortecedor montado em um carro de massa desprez´ıvel, como mostrado na figura abaixo.

(70)

Exemplo 11 - Solu¸c˜ao

A segunda lei de Newton estabelece que ma=XF md 2_y dt2 =−b dy dt − du dt − k(y − u) md 2_y dt2 + b dy dt + ky = b du dt + ku

(71)

Exerc´ıcio 10

Obtenha as equa¸c˜oes diferenciais que relacionam as sa´ıdas x1(t) e x2(t) com a entrada u(t) do sistema mecˆanico mostrado na figura abaixo.

(72)

Exemplo 12

Um pˆendulo invertido montado em um carro motorizado ´e mostrado abaixo. Esse ´

e modelo de controle de posi¸cão de um foguete na fase de lan¸camento. O pêndulo invertido é instável, pois pode cair a qualquer instante, para qualquer dire¸cão, a menos que uma for¸ca adequada de controle seja aplicada a ele.

(73)

As coordenadas do centro de gravidade da haste s˜ao: xG = x + l sin θ e yG = l cos θ

O movimento rotacional da haste do pˆendulo em torno de seu centro de gravidade pode ser descrito por:

I ¨θ = Vl sin θ_{− Hl cos θ}

onde I é o momento de inércia da haste em rela¸cão ao centro de gravidade. O movimento horizontal do centro de gravidade da haste é dado por:

md

2

dt2(x + l sin θ) = H

O movimento vertical do centro de gravidade da haste do pˆendulo ´e: md

2

dt2(l cos θ) = V − mg

(74)

O movimento horizontal do carro ´e descrito por: Md

2_x

dt2 = u− H

Como o pêndulo invertido deve ser mantido na posi¸cão vertical, podemos admitir queθ(t) e ˙θ(t) sejam grandezas suficientemente pequenaspara que se possa fazer sin θ = 0, cos θ = 1 e θ ˙θ2_{= 0. Então, as equa¸cões anteriores}

podem ser linearizadas como segue:

I ¨θ = Vl θ− Hl m(¨x+ l ¨θ) = H 0 = V_{− mg} A partir da manipula¸c˜ao dessas equa¸c˜oes obtemos:

(75)

Exerc´ıcio 11

Considere o sistema de pˆendulo invertido mostrado na figura abaixo. Nesse sistema a massa est´a concentrada no topo da haste, o centro de gravidade ´

e o centro da bola do pˆendulo e, neste caso, vamos supor I = 0.

(76)

Uma grande variedade de sistemas eletromecânicos converte sinais elétricos em movimento mecânico (energia mecânica) e vice-versa. Considerando um motor CC controlado pela armadura e alimentado por uma fonte de corrente x(t). O torque T(t) gerado pelo motor ´

e proporcional a corrente de armadurax(t). Portanto, T(t) = KTx(t) ,

onde KT ´e a constante do motor. Este torque alimenta uma carga

(77)

Logo,

(J D2+ B D)θ(t) = T (t) = KTx(t) a qual pode ser expressa na forma convencional por

Jd 2_θ dt2 + B

dθ

dt = KTx(t)

(78)

5 Tamanho do sinal

(79)

A rela¸cão de entrada-sa´ıda de um sistema é uma descri¸cão externa

do sistema. Determinamos a descri¸c˜ao externa de sistemas em todos os exemplos discutidos at´e agora.

Uma descri¸cão que pode ser obtida através de medi¸cões de terminais externos (mesmo quando o resto do sistema está selado dentro de uma caixa preta inacess´ıvel)é uma descri¸cão externa.

Uma descri¸cão interna é capaz de fornecer a informa¸cão completa sobre todos os poss´ıveis sinais do sistema.

Uma descri¸cão externa pode não fornecer uma informa¸cão completa como essa.

Uma descri¸c˜ao externa pode ser sempre determinada de uma descri-¸

cão interna, mas o inverso não é necessariamente válido.

(80)

3 Ω 1 Ω 1 Ω i/2 x(t) 3 Ω 2 Ω 2 Ω y(t) 2 Ω 2 Ω i/2 i/2 x(t) _y(t)

A tensão no capacitor é nula (o circuito está balanceado). Portanto, para o propósito de determina¸cão da corrente i(t), o capacitor pode ser removido ou substitu´ıdo por um curto circuito (circuito equiva-lente). Claramente, para a descri¸cão externa, o capacitor não existe.

(81)

Para a maioria dos sistemas, as descri¸cões interna e externa são equivalentes, mas existem algumas exce¸cões, como no caso apresen-tado, nos quais a descri¸cão externa fornece um quado inadequado do sistema.

Isso ocorre quando o sistema é não controlávelounão observável. Em(a)parte do sistema (S2) dentro da caixa não pode ser

contro-lado pela entradax(t).

Em(b)algumas das sa´ıdas do sistema (S2) n˜ao podem ser observa-das a partir dos terminais de sa´ıda.

S1 S2 x(t) Σ S1 S2 (a) x(t) (b) y(t) y(t)