Publicações do PESC Estudo de Propriedades de Conjuntos e Cones Poliédricos Convexos e Suas Aplicações a Alguns Algoritmos de Grande Porte

ESTUDO D E ' PROPRIEDADES DE CQNJUNTOS- E C 0

-

NES-

POLIBDRICOS-

CONVEXOS E SUAS A P L I C A C O E S A AL@JNS ALGORITMOS' DE GRANDE PORTE

M a r i a A m e l i a T e l l e s

TESE SUBMETIDA AO ~ CORPO DOCENTE DA C O O R D E N A Ç ~ DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO R I O DE J A N E I R O COMO PARTE DOS R E Q U I S I T O S N E C E S S ~ R I O S PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS ( M . S c . 1 .

A p r o v a d a p o r : P r o f . N e l s o n M a c u l a n F i l h o - P r o f . C l á u d i o T . B o r n ç t e i n ~ r o f

..

J o ã ò L i z a r d o R.H

.

de AraÚj o

p M w - & - &

P r o f . Antonio Alberto F . O l i v e i r a R I O DE J A N E I R O , R J

-

B R A S I L AGOSTO DE 1 9 7 8

TELLES, MARIA AMELIA E s t u d o s de P r o p r i e d a d e s de C o n j u n t o s e Cones ~ o l i é d r i c o s Convexos e s u a s A p l i c a ç õ e s a Alguns A l g o r i t m o s de Grande P o r t e

I

~ i o de ~ a n e i r o

1

1978. IX, 106 p . 29,7cm (COPPE-UFRJ, M.Sc, E n g e n h a r i a de S i s t e m a s e Computação, 1978)

.

Tese

-

Univ. Fed. R i o de J a n e i r o , Fac .i

E n g e n h a r i a . 1. A s s u n t o : Programação L i n e a r , E s t u d o de Cones P o l i é d r i c o s

,

P o l i e d r o s em G e r a l . I . COPPE/ UFRJ..II. ~ i ' t u l o : E s t u d o s de P r o p r i e d a d e s de Con - j u n t o s e Cones ~ o l i é d r i c o s Convexos e s u a s A p l i - c a ç õ e s a Alguns A l g o r i t m o s de Grande - P o r t e .

A G R A D E C I M E N T O S

_{- - -}

Ao P r o f e s s o r N e l s o n Maculan F i l h o p e l a s u a d e d i c a d a o r i e n t a ç ã o e a p o i o desde. o meu i n g r e s s o na COPPE.

Ao P r o f e s s o r . A n t o n i o A l b e r t o F e r n a n d e s de O l i v e i r a p o r s u a v a l i o s a c o l a b o r a ç ã o n e s t e t r a b a l h o . A CAPES p e & a c o n t r i b u i ç ã o f i n a n c e i r a p r e s

-

t a d a d u r a n t e o p e r g o d o de minha p e r m a n ê n c i a n e s t a I n s t i t u i ç ã o e ao CNPq p e l a

contribuição

no i n í c i o de meus e s t u d o s em pós- Graduação no IMPA. A UFPb p e l a c o l a b o r a ç ã o p r e s t a d a p a r a a c o n c l u s ã o d e s t e meu t r a b a l h o .

Aos meus amigos e c o l e g a s que m u i t o me i n

-

c e n t i v a r a m no d e c o r r e r dos meus e s t u d o s .

A Angela M a r i a S c h w a r t z C u p o l i l l o p e l o s e u t r a b a l h o p r e c i s o de d a t i l o g r a f i a e

2

S u e l y Klajman p o r s e u i n c e n t i v o .

R E S U M O

- - -

A f i n a l i d a d e d e s t e t r a b a l h o f o i a p r e s e n t a r uma c o l a b o r a ç ã o d i d á t i c a s o b r e a l g u n s c o n c e i t o s matemáticos de fundamental i m p o r t â n c i a em Programação L i n e a r .

Dentre e s s e s c o n c e i t o s fixamos o nosso e s _- tudo em p r o p r i e d a d e s de Cones e Conjuntos ~ o l i é d r i c o s Convexos do Espaço Real n-dimensional.

~ l é m

d i s s o i n c l u í m o s algumas

_-

_a p l i c a ç õ e s d e s s e s c o n c e i t o s d e n t r o dos Algoritmos de P a r t i ç ã o de Benders e de Decomposição de Dantzig-Wolfe.

A B S T R A C T

T h i s t h e s i s c o n s i s t s mainly of a comprehensible p r e s e n t a t i o n o f r e l e v a n t concepts and r e s u l t s i n L i n e a r

Programming

.

Among t h e s e , we c o n c e n t r a t e d i n p r o p e r t i e s of p o l y h e d r a l convex s e t s and cones i n n-dimensional r e a l ' s p a c e . B e s i d e s , we ' h a v e d i c r e s s e d some a p p l i c a t i o n s of t h e s e c o n c e p t s i n Bender's p a r t i t i o n i n g and Dantzig-Wolfe decomposi t i o n ' a l g o -

I N D I C E ...

Páginas

INTRODUÇÃO

...

1

CAP

f

TULO I . Sistemas Diaais de ReXações Lineares Homogêneas

. .

3

I

.

i

.

I N T R O D U Ç ~ O

...

3 1 . 2 . NOÇÕES PRELIMINARES

...

5 Lema 1

...

6 C o r o l á r i o 1 (Lema de Farkas)

...

₆

...

C o r o l á r i o 2 7

...

C o r o l á r i o 3 8 Teorema 1

...

9 C o r o l á r i o

...

11 1 . 3 . ASPECTOS FUNDAMENTAIS DO PGSD

...

11 Teorema 2

...

11 D e f i n i ç ã o

...

1 3 Teorema 3

...

1 3 P r o p r i e d a d e c a r a c t e r í s t i c a do PGSD

...

1 6 Exemplo de um PGSD

...

1 6 CAPfTULO I1 i. Conks ~ o l i é d r i c o s Convexos

...

18

I I

.

i

.

INTRODUÇÃO

...

1 8

1 1 . 2 . ESTRUTURA FACIAL DE UM C P C

...

2 2 1 1 . 2 . 1 . Conceitos Fundamentais

...

2 2

p á g i n a s D e f i n i ç ã o 1

...

22

...

D e f i n i ç ã o 2 2 3 D e f i n i ç ã o 3

...

24 D e f i n i ç ã o 4

...

24 1 1 . 2 . 2 . P r o p r i e d a d e s F u n d a m e n t a i s

...

24 P r o p o s i ç ã o

...

24 Lema 1

...

25 Teorema 1

...

29

...

C o r o l á r i o 1 30 C o r o l á r i o 2

...

32 1 1 . 2 . 3 . Exemplo

...

3 3 1 1 . 3 . ALGUNS TEOREMAS FUNDAMENTAIS

...

36

D e f i n i ç ã o 5

...

36

...

T e o r e m a 2 37 C o r o l á r i o

...

3 9 T e o r e m a 3

...

₃₉ T e o r e m a - 4

...

40 C o r o l á r i o

...

4 2 Exemplo

...

4 3

I I

.

4 . FACES EXTREMAS E CONJUNTOS M Í N I ~

E

EXPANSÃO

...

4 7

. . 1 1 . 4 . 1 . P r o p r i e d a d e s R e l a t i v a s a uma F a c e E x t r e

-

m a

...

4 7 D e f i n i ç ã o 6

...

4 7

...

Lema 2 4 7 Lema 3

...

..

...

_{4 8}

P a g i n a s

...

-Teorema 5 49 Lema 4

...

50 Lema 5

...

5 2 1 1 . 4 . 2 . E s c o l h a ~ i ' n i m a d o C o n j u n t o ~ x p a n s ã o

...

5 3

...

T e o r e m a 6 5 3

1 1 . 5 . CONSIDERAÇÕES SUPLEMENTARES SOBRE C P C

...

54 D e f i n i ç ã o 7

...

5 4 ! D e f i n i ç ã o 8

...

55

...

Lema 6 60 Lema 7

...

_{6 3}

...

Teorema 7 _{6 3} CAPITULO 111

-

C o n j u n t o s P o l i é d r i c o s Convexos

...

6 4 111.1. INTRODUÇÃO . . . 6 4

I I I

.

1. 1

.

Caracterização de um Conjunto P o l i é d r i c o Convexo

.

6 4

D e f i n i ç ã o

...

6 4 O b s e r v a ç ã o

...

6 5

+ 1

1 1 1 . 1 . 2 . Caracterização do Cone ~ o l i é d r i c o Convexo

C"

...

6 7 Pré-Lema 1

...

6 7 CORRESPONDÊNCIA ENTRE CCPC ( S ) E CPC (C n + l )

...

...

Pré-Lema 2 6 8

...

Pré-Lema 3 6 8

...

Pré-Lema 4 70

...

Pré-Lema 5 70 Lema 1

...

7 1

P á g i n a s

...

Iluç t r a ç ã o 72

1 1 1 . 3 . RESOLUÇÃO DE CCPC

...

76

Teorema 1

...

76

I I I

.

4

.

C(NS1DERAÇãES SOBRE VETORES EXTREWS DE UM C B C

...

80

Lema 2

...

80 C o r o l á r i o 1

...

84 4 C o r o i a r i o 2

...

8 5

...

1 1 1 . 5 . SEPARAÇAO DE CCPC 86 Lema 3

...

86 Teorema 2

...

86 CAPfTULO I V

.

E s t u d o dos ~ l ~ o r í t m o s de D a n t z i g - W o l f e e d e B e n d e r s do P o n t o d e V i s t a d a T e o r i a de C o n j u n t o s e Cones P o l i é d r i c o s Convexos

...

90 1 V . l . INTRODUÇÃO

...

90

I V

.

2

.

CONSIDERAÇUES SOBRE O A L a R I m DE PJXTIÇÃO DE BENDERS

....

90 I V

.

3

.

CONSIERAÇÕES SOBE O ALCX)RITMO DE DECOMPOSIÇÃO

IIE

IXNTZIG

...

WOLE 9 8

...

I N T R O D U Ç Ã O

- - -

Neste t r a b a l h o , procuramos a p r e s e n t a r uma e x p o s i ç ã o d e t a l h a d a de alguns r e s u l t a d o s matemáticos fundamen

-

t a i s da t e o r i a de inequações l i n e a r e s , que tem s i d o de grande i m p o r t â n c i a à s n e c e s s i d a d e s de Programação L i n e a r e M a t r i z e s dos J o g o s .

O C a p í t u l o I , e s t r u t u r a d o p r i n c i p a l m e n t e com b a s e no A r t i g o 1 de Kuhn-Tucker ( v e r r e f e r ê n c i a

1 1 )

,

tem a f i n a l i d a d e de f o r n e c e r alguma informação fundamental s o b r e s i s t e m a s l i n e a r e s homogêneos, que formam a b a s e dos s i s t e m a s l i n e a r e s não homogêneos que aparecem em Programas L i n e a r e s Duais

.

P a r t e d e s s a informação vem apenas c o n s o l i d a r a 1 guns r e s u l t a d o s matemáticos

j á

c o n h e c i d o s . Mas em p a r t e ,

é

uma i n -

formação completamente nova s o b r e uma p r o p r i e d a d e de Comple

-

mentaridade de Folga que

6

uma característica dos s i s t e m a s d u a i s de ampla g e n e r a l i d a d e . 0s s i s t e m a s e s t u d a d o s c o n s i s t e m de i n e -

quações l i n e a r e s homogêneas, e s c r i t a s uniformemente 2 - 0 e p o s s i v e l m e n t e de equações l i n e a r e s . Encontramos no Lema de Farkas ( c o r o l á r i o 1 , ( I .2) um i m p o r t a n t e r e s u l t a d o que s e r á usado em forma geométrica p a r a p r o v a r o Teorema 4 (11.3) e Lema 3 ( 1 1 1 . 5 ) .

No ~ a p í t u l o 1 1 , baseado no A r t i g o 2 de Kuhn-Tucker (

1 1

)

,

tomamos A*, c o n j u n t o de s o l u ç õ e s de um s i s -

tema f i n i t o A X ' L - O de inequações l i n e a r e s homogêneas em n v a r i á v e i s , r e p r e s e n t a d o em R n , como a i n t e r s e ç ã o de um número

f i n i t o de s e m i - e s p a ç o s f e c h a d o s AiX1

<

- O ( i = 1

.

.

.

p ) ( v e r d e f i n i ç ã o de Cone P o l i é d r i c o Convexo ( I . 1))

.

. ' Z n i c i a l m e n t e fazemos um e s t u d o da e s t r u t u r a f a c i a l do CPC A* a f i m . de

termos uma b o a b a s e p a r a tomar A* como s e n d o a e n v o T t 6 r i a convexa de um número f i n i t o de s e m i - r e t a s ( v e r Teorema 2 , ( 1 1 . 3 ) ) . A l é m d e s s e i m p o r t a n t e r e s u l t a d o destacamos os Teo- remas 31 e 4 ( I I . 3 ) , t o d o s e s t a b e l e c i d o s p a r a u s o no C a p í t u - l o 111. Ainda chegamos ao f a t o de que A*

é

a e n v o l t ó r i a con

-

vexa de s u a s f a c e s e x t r e m a s e p o r t a n t o pode s e r g e r a d o de um mo do mínimo ( I I . 4)

.

No C a p í t u l o 111 tomamos S , c o n j u n t o s o

-

l u ç ã o do s i s t e m a de m i n e q u a ç õ e s l i n e a r e s nã-o hombgêneas A - X ' < 1 = B ' a n i n c ó g n i t a s , como s e n d o a i n t e r s e g ã o de m s e m i

-

e s p a ç o s f e c h a d o s AiX1 - bi ( i = 1 , .

.

.

,m)

,

v e r D e f i n i ç ã o de Conjunto ~ o l i é d r i c o Convexo ( 1 1 1 . 1 . l )

.

E n t r e - t o d o s o s r e s u l t a d o s mostramos que um t a l c o n j u n t o ( s e n ã o v a z i o )

é

a soma de um P o l i e d r o Convexo L i m i t a d o pA e um Cone ~ o l i é d r i c o Con

-

<

vexo Q . i (Teorema 1 , (111.3)

.

Nosso o u t r o i m p o r t a n t e r e s u l -

<

t a d o (Teorema 2 , (111.5)) m o s t r a que pA e Q podem s e r s e p a - r a d o s , s e p A n 9 < =

4 .

E s t e c a p í t u l o f o i t i r a d o p r i n c i p a l m e n

-

t e do A r t i g o 3 de Kuhn-Tucker (

1 1

)

.

F i n a l m e n t e a p r e s e n t a m o s , num Último _{c a}

_-

p i ' t u l o , f o c a l i z a ç õ e s dos CPC e CCPC n o s A l g o r i t m o s de P a r t i

-

SISTEMAS DUAI S DE RELAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS

I . 1. INTRODUÇÃO

O nosso o b j e t i v o n e s t e c a p í t u l o

é

a p r e s e n t a r a l g u n s r e s u l t a d o s fundamentais s o b r e S i s t e m a s L i n e a r e s Homogê -

n e o s , formados de equações e inequações l i n e a r e s homogêneas. A s s i m _{sendo o elemento p r i n c i p a l d e s t e c a p í -} t u 1 0 é um Par G e r a l de Sistemas Duais, o q u a l chamamos de PGSD p a r a s i m p l i f i c a r a n o t a ç ã o , a p r e s e n t a d o como s e g u e : U l i v r e - A X - B Y = O V 2 0 -

-

C X - D Y L O - A r U + :C1 V 2 _- O e X - _- >

o

B ' U + D r V = O Y l i v r e onde a s l e t r a s A, B , C e D indicam m a t r i z e s U, V, X e Y v e t o r e s ( m a t r i z e s de uma c o l u n a ) e o símbolo

" ' "

i n d i c a t r a n s p o s i ç ã o .

P a r a uma melhor a n á l i s e d e s t e PGSD, vamos d e s c r e v ê - l o de uma maneira mais d e t a l h a d a . I s t o

é,

p a r a

A = ( a .)

h j pxn ' B = (Bhklpxq3 C = (cijImxn e

com v a l o r e s r e a i s a r b i t r á r i o s p a r a os r e s p e c t i v o s c o e f i c i e n t e s

u

= (u, . . e Uh u ) E R',

P

Y

= (yl

...

Yk

.

Yq) & R q . temos o PGSD e s c r i t o do s e g u i n t e modo:

4

bk

%

+

li

d, vi = O yk l i v r e

0bs.ervando o PGSD na forma ( I . l . 2) podemos não

s ó

e n t e n d e r melhor o s e n t i d o da p a l a v r a d u a l , bem como t e r uma v i s ã o mais o b j e t i v a de uma c a r a c t e r í s t i c a das inequações i n

-

d i v i d u a i s .de um PGSD, a s e r f o c a l i z a d a mais t a r d e , com o nome d e P r o p r i e d a d e - d e Complementaridade de F o l g a .

Por o r a , notemos que e x i s t e uma c o r r e s p o n -

d ê n c i a b i u n i v o c a e n t r e . a s v a r i á v e i s l i v r e s de um s i s t e m a e e q u a ç õ e s do o u t r o e e n t r e a s v a r i á v e i s não n e g a t i v a s d e u m s i s -

tema e i n e q u a ç õ e s do o u t r o . A l é m d i s s o . observemos que a ma -

t r i z dos c o e f i c i e n t e s num s i s t e m a

é

a t r a n s p o s t a , com s i n a l c o n t r á r i o , m a t r i z dos c o e f i c i e n t e s do. o u t r o s i s t e m a . 1 . 2 . NOÇÕES PRELIMINARES I n i c i e m o s com a l g u n s r e s u l t a d o s n e c e s s á - r i o s a o ' n o s s o e s t u d o q u e , dizem r e s p e i t o a d o i s p a r e s de s i s

-

temas d u a i s o b t i d o s do PGSD m e d i a n t e algumas t r a n s f o r m a ç õ e s . Tomemos o s e g u i n t e p a r de, S i s t e m a s D u a i s U l i v r e A ' U L _- O que f o i o b t i d o do PGSD n a forma ( I . 1 . 1 ) , f a z e n d o - s e B , C e D v a z i a s e t r o c a n d o - s e

-

AX = O p o r AX = 0 .

Lema 1 : "O p a r de s i s t e m a s d u a i s ( I . 2.1) p o s s u i s o l u ç õ e s U e X t a i s que

A i

U + xl > O . Sendo AI a p r i m e i r a c o l u n a da m a t r i z A

e x1 a p r i m e i r a componente do v e t o r X".

Demonstração: e s t a prova

é

e n c o n t r a d a na r e f e r ê n c i a

l 3

1

.

orol lá rio

1: (Lema de Farkas)

-

"Se a inequação AO U O v a l e

-

-

p a r a t o d a s o l u ç ã o U do s i s t e m a A ' U

2

- 0 , e n t ã o A o = A X p a r a _{a 1 -} gum X 2 O".

Demonstração: s e j a o p a r de s i s t e m a s d u a i s

U l i v r e

[-

Ao A] [xo X] ' = O

Apliquemos o Lema 1 a e s t e p a r , sendo que A I e xl s ã o s u b s t i

-

t u i d o s p o r

-

Ao e x r e s p e c t i v a m e n t e . Então e s t e s s i s t e m a s pos

O -

-

Temos que

A ; Ü L O -

p o i s por h i p ó t e s e , p a r a t o d a s o l u ç ã o U do s i s t e m a A'U

2

- O tem- s e que A; U -

>

0 .

-

De ( I .2.2) vem que xo > A; U e por ( I . 2.4) temos

De ( 1 . 2 . 3 ) vem que Ao xo =

AX

e p o r (1.2.5) temos

Ao = AXO com XO =

-

- > O Xo Logo Ao = AXO p a r a um XO - 0 . C o r o l á r i o 2 : "O p a r de s i s t e m a s d u a i s ( I . 2 . l ) p o s s u i s o l u ç õ e s

-

U* e X* t a i s que A ' U * + X* > O ( i s t o

é,

t o d a s as componentes de A ' U * + X* são p o s i t i v a s )

."

Demonstração: O r e s u l t a d o do Lema 1 d i z r e s p e i t o

2

p r i m e i r a co

---

- l u n a da m a t r i z A , i n d i c a d a por A I . E n t r e t a n t o , s e reenumerar mos a s c o l u n a s de A, podemos t e r no l u g a r de A1 urna o u t r a c o l u -

na q u a l q u e r A Consequentemente o r e s u l t a d o do Lema 1 , agora

j *

d i z r e s p e i t o a e s t a c o l u n a A

.

Logo, p a r a j = 1 ,

..

. , n e x i s t e m

j ~j e ~j t a i s que

Tomando-se obtemos

~ l é m

d i s s o , p a r a j = 1 ,

.

.

.,

n , temos que k A! U* +

x

'

!

=

1

(A!

uk

+

x . ) , A ' u j

+

x j

k

J j ( 1 . 2 . 7 ) J J J - j De ( I . 2 . 6 ) e ( I - 2 . 7 ) temos que

o que nos l e v a a c o n c l u i r que A ' U * + X* > 0 .

c o r o l á r i o 3 : "O s i s t e m a de equações A X . = O tem

i) uma s o l u ç ã o X completamente p o s i t i v a (ou s e j a xi > O p a r a i = 1 ,

...,

m) s e não e x i s t e s o l u ç ã o U t a l que A ' U - O e A ' U O

i i ) uma s o l u ç ã o X não n e g a t i v a e não t r i v i a l (ou s e j a xi

2

O , i = 1 , . e 3 j = 1 , .

.

. , n t a l que x f O) s e não e x i s t e j U t a l que A ' U > 0". Demonstração: P e l o c o r o l á r i o 2 e x i s t e m U* e X* t a i s que

-

AIU*

2

_- O, AX* = O, X*

2

_- O e i ) # U

/

A I U > - O e A'U + - O

=>

A'U* = O i m p l i c a p o r ( 1 . 2 . 8 ) que X* > O

i i )

#

u

/

A ' U > O

=>

e x i s t e alguma coordenada j de A'U* ,

A'. U* t a l que A ' U* = O

=

)

por ( I . 2.8)

x?.

> O

~ * f :

O

J j J Observação: os i ' t e n s ( i ) e ( i i ) s ã o mutuamente e x c l u s i v o s . E s

-

t a e x c l u s i v i d a d e -

é

d e c o r r e n t e da p r o p r i e d a d e de Complementari- dade de F o l g a , ( v e r Teorema 3)

,

p r o p r i e d a d e e s t a ; c a r a c t e r i s t i

-

c a do PGSD e consequentemente do p a r de s i s t e m a s d u a i s ( I . 2.1)

.

Tomemos a g o r a o s e g u i n t e p a r de s i s t e m a s du

-

a i s o b t i d o do PGSD, f a z e n d o - s e A, B e D v a z i a s . Teorema 1 : '!O p a r de s i s t e m a s d u a i s ( I . 2.9) p o s s u i s o l u ç õ e s V* e X* t a i s que V*

-

CX* > O e C ' V * + X* > 0 . "

Demonstração: Consideremos o s e g u i n t e p a r de s i s t e m a s d u a i s onde I é' a m a t r i z i d e n t i d a d e . A p l i c a n d o - s e o c o r o l á r i o 2 a e s t e p a r , vemos que e x i s t e m s o _- l u ç õ e s V* e, (W*, X*) t a i s q u e : ( I . 2.11) (1.2.12)1

Por ( 1 . 2 . 1 0 ) temos que V* _- O e C ' V * 2 _- 0 , l o g o V*

6

uma s o

_-

l u ç ã o do s i s t e m a

P o r ( I . 2 . 1 1 ) temos W* + CX* = O ou

-

CX* = W*. Como P o r ( I . 2.12) W *

2

- 0 , e n t ã o

-

CX*

2

- O .

~ l é m

d i s s o a i n d a P o r (I..2.12) temos X*

2

- 0 , l o g o X*

é

uma s o l u ç ã o do s i s t e m a

Finalmente por ( I . 2.13) temos que .V* + W* > O e como W* = -CX*, e n t ã o V*

-

CX* > O . Ainda p o r ( I . 2.13) temos que C ' V * + X* > 0 .

C o r o l á r i o :

"

O p a r .de s i s t e m a s d u a i s ( I . 2 . 9 ) p o s s u i s o l u ç õ e s V*

-

e X* p a r a as q u a i s s ã o v e r d a d e i r a s a s s e g u i n t e s a l t e r n a t i v a s : i ) ou C'V*

f

O O U X* > O i i ) ou C ' V * > O O U X*

$

O i i i ) ou V* > -0 ou

-

CX*

f

O i v ) ou V*

$

O ou - C X * > O . "

Demonstração : I! uma c o n s e q u ê n c i a i m e d i a t a do Teorema 1 que, s e

-

a p r i m e i r a p a r t e dos "itens ( i ) - ( i v ) não s e v e r i f i c a , e n t ã o a segunda deve s e r v e r d a d e i r a . Se ao c o n t r á r i o , a p r i m e i r a p a r t e

6

v e r d a d e i r a , e n t ã o a segunda não deve v a l e r porque

Essa e x c l u s i v i d a d e e n t r e a s duas s i t u a ç õ e s - a p r e s e n t a d a s em t o d o s o s ? t e n s de ( i ) - ( i v ) ,

6

d e c o r r e n t e da p r o p r i e d a d e de Complementaridide de F o l g a .

1 . 3 . ASPECTOS

-

FUNDAMENTAIS DO PGSD

Teorema 2 : "O PGSD p o s s u i s o l u ç õ e s (U*, V*) e (X*, Y*) t a i s que

V*

-

CX*

-

DY* > O

D e m o n s t r a ç ã o - : S e j a m o s s i s t e m a s d u a i s

A p l i c a n d o - s e o T e o r e m a 1 a e s t e p a r de s i s t e m a s , e x i s t e m s o l u - ções

t a i s q u e :

- A I U ; + A ' U ; + C ' V * - - > O AX* + BYT

-

BY* ₂ = > O

- B I U ; + B ' U ; + D ' V * _{- - > O} -AX*

-

BY; + BY* > O 2 = e B ' U ;

-

B ' U ;

-

D ' V * _{- - > O} -CX*

-

DY; + DY?

2

O F a z e n d o - s e U* = U;

-

U i e Y* = Y;

-

Y; , e n t ã o A ' U * + C ' V * - _- > O -AX*

-

BY* = O B I U * + D ' V * = O e -CXX

-

DY* L - O A ' U *

+

C I V *

+

X* > O V*-CX*

-

DY* > O o que c o m p l e t a a p r o v a .

D e f i n i ç ã o :

-

denomina-se inequação com f o l g a de um s i s t e m a , uma inequação

(2

- 0) que

6

s a t i s f e i t a e s t r i t a m e n t e (> 0) p o r alguma s o l u ç ã o do s i s t e m a .

Observação: dado um s i s t e m a A I U L - O B ' U = 0 , s e j a J o c o n j u n

-

t o de í n d i c e s j t a l que A' U . > O p a r a alguma s o l u ç ã o U do s i s

j~ j

-

tema. Então

l j

U j

6

uma s o l u ç ã o do s i s t e m a , t a l que A!

(I.

U.) > O j E J . I s t o mostra que inequações com f o l g a

J J J

de um s i s t e m a , podem s e r c a r a c t e r i z a d a s como o c o n j u n t o m~ximo de inequações do s i s t e m a que são s a t i s f e i t a s e s t r i t a m e n t e por alguma s o l u ç ã o do s i s t e m a . A s inequações r e s t a n t e s s ã o a q u e l a s s a t i s f e i t a s e s t r i t a m e n t e por t o d a s a s s o l u ç õ e s do s i s t e m a .

Teorema 3 : "No PGSD cada um dos m + n p a r e s de inequações c o r

-

r e s p o n d e n t e s

contém exatamente uma inequação com f o l g a (com r e l a ç ã o a o s e u r e s p e c t i v o s i s t e m a )

"

.

Demonstração: Sejam (U,V) e ( X , Y ) s o l u ç õ e s q u a i s q u e r do PGSD

.

d u a i s , o b t e m o s : U ' (-AX

-

BY) = - U 1 AX

-

U 1 BY = O V' ( - C X

-

DY) = -V' CX

-

V' DY

2

- 0 ( A I U + C ' V ) X . = U I A X + V ' C X - - > O ( B ' U + D ' V ) Y = U ' B Y + V'DY = O A d i c i o n a n d o - s e ( I .3 . 2 ' ) a ( 1 . 3 . 4 ) e ( I . 3 . 3 ) a ( I . 3 . 5 ) , o b t e m o s

-

U'BY + V' CX

2

_- O e U'BY

-

V' C X L O . - L o g o t e m o s que : U ' BY

-

V ' . C X = O C o m b i n a n d o - s e ( 1 . 3 . 6 ) c o m ( 1 . 3 . 2 ) e .CO m ( I . 3 . 5 )

,

t e m o s que : e usando e s t a s i g u a l d a d e s e m ( 1 . 3 . 3 ) e ( 1 . 3 . 4 ) v e m o s que

O = (A'U + C t V ) ' X =

1.

(h

ahj.uh+

li

cij V - ) X ( 1 . 3 . 8 )

A equação (1.3.7) m o s t r a q u e : s e vi > O en -

e n t ã o vi = 0 .

De modo a n á l o g o , ' p o r ( I .3.8) v e r i f i a a m o s que: Se

(Ih

a h j Uh +

li

c i j v..) 1 > O e n t ã o x = O e s e x > O e n t ã o

j j

( I h a h j uh +

l i

c i j vi) = O . I s t o é, que em cada p a r de inequa

-

ções d u a i s c o r r e s p o n d e n t e s ( I . 3.1)

,

p e l o menos um s i n a l de i g u a l d a d e deve v a l e r p a r a todas a s s o l u ç õ e s . P o r t a n t o c o n c l u í -

mos q u e :

( i ) cada p a r de inequações c o r r e s p o n d e n t e s contém no máximo uma inequação com f o l - .

Mas , pe 10 Teorema 1 e x i s t e m s o l u ç õ e s (U* ,V*) e (X*

,Y*)

do PGSD, t a i s que:

v; + (-

x j

c i j X ? J

-

I

k i k d y*) k > 0 , .i = 1

,...,

m

u* +

li

C i j v?) + x? >

o

,

( I h a h j h 1 J j = I , . ' .

.

, n

o que nos l e v a

à

conclusão s e g u i n t e :

( i i ) cada p a r de inequações c o r r e s p o n d e n t e s contém p e l o menos uma inequação com f o l g a .

Então de ( i ) e ( i i ) conclul'mos que cada p a r de inequações c o r r e s p o n d e n t e s do PGSD, contém exatamente uma inequação com f o l g a ( r e l a t i v a ao s e u r e s p e c t i v o s i s t e m a ) .

P r o p r i e d a d e C a r a c t e r í s t i c a do PGSD: como podemos o b s e r v a r , o Teorema 3 a t r i b u i

2s

inequações i n d i v i d u a i s do PGSD, uma p r g p r i e d a d e que descrevemos c o l e t i v a m e n t e como

Complementaridade de Folga: o c o n j u n t o de

-

inequações com f o l g a de um s i s t e m a

é

o complementar do conjunto de inequações com f o l g a do s e u s i s t e m a d u a l . Exemplo de um PGSD: s e j a o PGSD, em pequena

-

e s c a l a , dado abaixo : >

o *

- - y1 ( l i v r e ) y 2 ( l i v r e ) Notemos ,que as inequações d e s t e p a r de s i s -

temas d u a i s i n d i c a d a s p e l o a s t e r l ' s c o

"*"

são inequações com f o l g a e que exibem a p r o p r i e d a d e Complementaridade de Folga

p o i s , tomando-se

( u l ; v17 v 2 , v3) = ( - 1 ; 1 , 0 , 1) e

como s o l u ç õ e s dos r e s p e c t i v o s s i s t e m a s , observamos que e s t a s so

-

luções s a t i s f a z e m e s t r i t a m e n t e (> O ) as inequações i n d i cadas com I!*" e a s r e s t a n t e s (que não s ã o de f o l g a , consequentemente

devido ao i t e m (i) da demonstração do Teorema 3) como equações

C A P I T U L . 0 I1

- - -

-

CONES

POLIEDRICOS

CONVEXOS

-

11.1. I n t r o d u ç ã o

I n i c i a r e m o s e s t e c a p í t u l o , recordando alguns c o n c e i t o s que e s t a r ã o constantemente em uso no d e c o r r e r do nos -

s o t r a b a l h o .

E!

conveniente, a i n d a , e s p e c i f i c a r m o s que todo o nosso e s t u d o f o i f e i t o no e s p a ç o v e t o r i a l r e a l de dimensão n ,

OU s e j a , em IRJ1.

Produto E s c a l a r : Sejam X e Y d o i s v e t o r e s q u a i s q u e r de R n , _{i s -} t o

é,

X = ( x l ,

..

. , x n ) e Y = (yl

,...

,yn) com xi e yi em IR p a r a i = 1 , .

. .

, n . Chama-se p r o d u t o e s c a l a r de X p o r Y ao número

R e t a : Sejam X1 e X 2 d o i s v e t o r e s q u a i s q u e r de e A um r e a l q u a l q u e r . Chama-se r e t a em

IR^,

ao c o n j u n t o

Segmento de r e t a : Sejam X1 e X2 d o i s v e t o r e s q u a i s q u e r de IRn e

-

X

um r e a l t a l que O 5 - h 5 - 1. Chama-se segmento de r e t a que une o s v e t o r e s X1 e X2, ao c o n j u n t o

S e m i - r e t a (ou r a i o ) gerad-a p o r um v e t o r : S e j a V

#

O um v e t o r de llXn e V

2

- O um r e a l . Chama-se s e m i - r e t a gerada p o r V, ao con

-

j u n t o r =

I X

E R ~ / X = V . V ) . H i p e r p l a n o : Chama-se h i p e r p l a n o em IRn , ao c o n j u n t o H = CX E R ~ / C X ' = z} onde C f O

é

um ve

-

t o r de IRn e

z

E IR. Observemos que o v e t o r C é o r t o g o n a l a . q u a l

-

quer v e t o r do h i p e r p l a n o , o que nos l e v a a v e r que C

é

normal ao h i p e r p l a n o . Ainda

é

c o n v e n i e n t e lembrar que o h i p e r p l a n o H d i v i d e IRn em semi-espaços

S1 =

I X

E lRnn/c X 1 <

z}

,

. S2

= . { x

E IRn/ C X 1 > Z ) a b e r t o s e

S3 = . { X & l R n / c X 1 - 5

z,

,

S4 = { X E ~ R ~ / C X 1 - > z} f e c h a d o s .

Conjunto Convexo: Diz-se que um c o n j u n t o C de IRn é convexo s e ,

C = { X E IRn/x = h X 2 + ( 1

-

h)

X1l

onde X i e X2 e s t ã o em C e O 5 - h ( 1 .

Observemos q u e , t a n t o um c o n j u n t o u n i t á r i o de n

Vetor Extremo de um Conjunto Convexo: um v e t o r X de

m"

é

e x t r e

-

-

mo de um c o n j u n t o convexo s e e somente s e não e x i s t e m v e t o r e s X1 e X2 do c o n j u n t o com X1 f X2 t a i s que X = hX2 + (1-h) X1

,

O < h < 1 p a r a h E I R .

Nota: faremos a s e g u i r algumas afirmações apenas como l e m b r e t e , p o i s e s t a s s ã o f&xis de serem v e r i f i c a d a s . i ) A i n t e r s e ç ã o de d o i s c o n j u n t o s convexos

é

um c o n j u n t o conve - XO i i ) A i n t e r s e ç ã o de d o i s h i p e r p l a n o s

é

um h i p e r p l a n o . i i i ) A i n t e r s e ç ã o de d o i s semi-espaços ( a b e r t o - f e c h a d o )

é

um semi-espaço ( a b e r t o - f e c h a d o )

.

Combinação Convexa de um número f i n i t o de v e t o r e s : Sejam os ve -

t o r e s Xi de

lR"

com i = 1 , .

. .

,m. Chama-se combinação convexa des -

m m

s e s

m

v e t o r e s ao v e t o r X =

1

v i

X . com r e a i s

vi

2

0 e

1

v - = l .

i =l 1 i = l

hembremo-nos q u e , um c o n j u n t o formado p o r todas as combinações convexas de um número f i n i t o de v e t o r e s a i n d a

é

um c o n j u n t o convexo.

~ n v o l t ó r i a Convexa de um Conjunto A não convexo: Da(do um con

-

-

j u n t o não convexo A de IRn, chama-se e n v o l t ó r i a convexa de A, ao menor c o n j u n t o convexo que contenha A .

P o l i e d r o Convexo gerado p o r um número f i n i t o de v e t o r e s : Chama

-

-

- s e p o l i e d r o convexo gerado p o r um número f i n i t o : m, de v e t o r e s

Notemos que o p o l i e d r o assim g e r a d o , t e r á no máximo m v e t o r e s e ~ t r e m o s . I s s o nos s u g e r e que o p o l i e d r o

convexo pode s e r r e p r e s e n t a d o p e l o c o n j u n t o das combinações convexas desses m v e t o r e s extremos.

Cone: Diz-se que um. c o n j u n t o C de IRn é um cone s e , p a r a t o d o

I

v e t o r X de C e p a r a todo e s c a l a r ( r e a l ) h

2

- 0 , tem-se XX em

v é r t i c e de um cone: Diz-se que um cone tem v é r t i c e s e , o ve

-

t o r O de IRn e s t á em C . N e s t e caso o cone pode s e r chamado de

Cone P o l a r : Tomemos um c o n j u n t o q u a l q u e r A de JRn formemos

-

o c o n j u n t o A* = {X E J R n / ~ x l ( - O} chamado P o l a r de A, c o n s i s - t i n d o de todos os v e t o r e s X de 1Eln t a i s que Y X ' 5 - O p a r a cada Y do c o n j u n t o A.

Observemos que o conjunto A*, assim d e f i - n i d o , é um cone convexo.

Cone P o l i é d r i c o Convexo: S e j a A um c o n j u n t o f i n i t o de IR" t a l

-

que A = {A1,.

.

.

,A } com A. emJRn p a r a i = 1,.

..

, p . Ou a i n d a ,

P 1 s e j a a m a t r i z A = ( a i j ) com a i j E I R p a r a i = 1,.

..

, p e Pxn j = 1 , .

. .

, n t a l que Ai = ( a i l , a i 2 ,

.. .

_' "in ) E I R ~

é

a i - é s i m a l i n h a da m a t r i z A.

Chama-se cone p o l i é d r i c o convexo, a o con -

j u n t o A* = { X E I R " / A ~ X '

<

- O , .

. .

,A X ' 5 O}.

P -

um número f i n i t o de semi-espaços da forma Ai X '

<

-

O

( i = l > .

.

.

, p ) c u j o s h i p e r p l a n o s f r o n t e i r a s , Ai

X'

= O ( i = 1 , p ) passam p e l a origem. De um p o n t o de v i s t a mais c o n c r e t o , A*

é

o c o n j u n t o de s o l u ç õ e s de um s i s t e m a homogêneo f i n i t o de p i n e q u a - ções l i n e a r e s a n i n c ó g n i t a s . É de n o s s o i n t e r e s s e d e s e n v o l v e r nas p a r t e s subsequentes d e s t e c a p í t u l o , t o d a uma t e o r i a em r e l a ç ã o a um Cone ~ o l i é d r i c o Convexo, o q u a l indicaremos p o r CPC, apenas p a

r a s i m p l i c i d a d e de n o t a ç ã o . 1 1 . 2 . ESTRUTURA - FACIAL DE UM CPC 1 1 . 2 . 1 . - Conceitos Fundamentais D e f i n i ç ã o 1: Face Aberta g e n é r i c a de um CPC. - Dado o CPC A* t a l que e tomando-se o c o n j u n t o de í n d i c e s I = ( 1 , .

. .

, p ) , d i z - s e que

,

a cada subconjunto H (que pode s e r vazio) de I corresponde um subconjunto FH de A*, d e f i n i d o como o c o n j u n t o

e chamado Face A b e r t a de A* c o r r e s p o n d e n t e a H .

Podemos o b s e r v a r que A* a p r e s e n t a 2P f a c e s , sendo que alguma d e l a s pode s e r v a z i a , s e p a r a i s s o observamos que H pode s e r r e c o l h i d o de

zP

maneiras p o s s í v e i s e que f a c e s não v a z i a s , c o r r e s p o n d e n t e s a s u b c o n j u n t o s de í n d i c e s d i s t i n

-

t o s , s ã o d i s j u n t a s . L Se FH f @ e n t ã o FH = O

n

LH, onde O H e o H c o n j u n t o ( a b e r t o ) t a l que e hH

6

O subespaço l i n e a r t a l que L~ = { X E I R ~ / A ~ X 1 = O, Vh E (I-H)

O U - V ~

6

H}

~ e f i n i ç ã o 2: Dimensão de uma FH ( g e n é r i c a ) não v a z i a de A*.

-

Sejam n = dimensão de lRn

r = r@ = p o s t o da m a t r i z A = número máximo de v e t o r e s linearmen - t e i n d e p e n d e n t e s de A.

rH= número máximo de v e t o r e s l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e s de LH = número máximo de equações l i n e a r m e n t e i n d e p e n d e n t e s no s ub

-

espaço l i n e a r LH. d = d = n -

@

r = dimensão da f a c e F @ ( f a c e de A* de menor dimen

-

dH = dimensão de uma f a c e g e n é r i c a FH de A * .

Diz-se que FH

é

uma f a c e de dimensão dH, com d H = n - r ~ *

D e f i n i ç ã o 3 : Face Limite de uma FH.

-

S e j a I o c o n j u n t o de í n d i c e s e G C H C I. Se FG f

O

e FH

#

0 ,

d i z - s e que FG

é

uma f a c e l i m i t e de FH.

D e f i n i ç ã o

- 4 : Chama-se Conjunto L i m i t e de uma FH a o c o n j u n t o f o r -

mado p e l a s f a c e s l i m i t e s de FH.

I I . 2 . 2 . - P r o p r i e d a d e s Fundamentais

P r o p o s i ç ã o : ''Se FG

é

uma f a c e l i m i t e de FH, e n t ã o dG < dH".

Demonstração: Como p o r h i p ó t e s e .FG

é

uma f a c e l i m i t e de FH, t e -

-

mos que

G C H C I , FG

#

O, FH +'O, onde

F~ =

oH

n

L, = { X E ~ n / ~ h ~ f O , *h E H ; A ~ X I = O , E (I-H)}. Se G C B e n t ã o (I-G) Z) (I-H) o que i m p l i c a em que o s i s t e m a de equações que d e f i n e LH

é

um s u b c o n j u n t o do s i s t e m a de equaçóes

que d e f i n e L G . Logo

dG

5

dH

S e j a g E (H-G), i s t o

6

g E H e g q! G . Supo- nhamos que dG = dH. Como dH = d (LH) = n

-

rH e dG = d (LG)="-rG, temos que rG = rH. Então a equação

é

l i n e a r m e n t e dependente das equações

de t a l modo que q u a l q u e r X que s a t i s f a ç a (11.2.2.3) s a t i s f a z ( 1 1 . 2 . 2 . 2 ) .

Temos e n t ã o que FH = @, o que v a i c o n t r a a h i p ó t e s e . Logo

Por (11.2.2.1) e ( I 1 . Z . 2 . 4 ) concluímos que dG < d H .

Lema 1: '<Um v e t o r Xo s i t u a d o na f a c e FH de dimensão dH > d + 1,

--

pode s e r e x p r e s s o como a soma Xo = X1 + X 2 , onde X1 e X 2 s ã o v e t o r e s das f a c e s l i m i t e s de FH de dimensões > d (e n e c e s s a r i a -

mente dH) . I 1

onde d = d (H=@)

,

podemos a c h a r em LH um v e t o r t a l q u e

X

g! S

,

@ s e n d o S o s u b e s p a ç o l i n e a r g e r a d o p o r X o e p e l o s v e t o r e s de F @ A s s i m com Xo e

X

podemos d e f i n i r um e s p a ç o l i n e a r b i d i m e n s i o n a l L 0 formado p o r v e t o r e s X t a i s que com t e s emIR. O - . L e um s u b e s p a ç o de LH p o i s , como Xo E LH (porque Xo E FH) e

X

E LH, temos q u e : S e j a Um v e t o r X d a forma ( 1 1 . 2 . 2 . 5 ) e s t á em LH e p o r t a n t o a u t o m a t i c a

-

mente s a t i s f a z ( 1 1 . 2 . 2 . 6 ) #h

é

H. A s s i m X E ~ O , s e e somente s e , X s a t i s f a z ( 1 1 . 2 . 2 . 6 ) #h E H . Observemos que H f -

4

p o r q u e , p o r h i p ó t e s e

_,

d H > d + l > d = d .

4

Como t(AhXA) + s ( A ~ X ' )

5

O Vh E H , t e s em IR e n t ã o Ah X; < O . Logo

11

.

Fazendo-se f h =

- -

,

temos que

*hX;

Observemos que (11.2.2.7)

é

(11.2.2.6) r e e s c r i t a p a r a vh E H

.

Em ( I I . 2 . 2 . 6 ) , levando-se em c o n t a somente a i g u a l d a d e , temos a s equações

que s ã o r e p r e s e n t a d a s , num p l a n o (s

,

t )

,

p o r um c o n j u n t o de r e - t a s passando p e l a origem, com i n c l i n a ç õ e s

Notemos que s e f f o s s e c o n s t a n t e , t e r í a m o s o c o n j u n t o de r e t a s , dado p e l a s equações ( I I . 2 . 2 . 8 ) , com apenas um e l e m e n t o ,

.

i s t o

4

e

,

uma r e t a de equação

passando p e l a origem com i n c l i n a ç ã o f .

Como Xo e

X

e s t ã o em LH, (-11.2.2.9) s e r i a a i n d a v á l i d a p a r a h $ H, o que s i g n i f i c a r i a que

Ah(f X o

+X)'

= 0 t a l que f Xo

+ X E F @

e i s t o i r i a em c o n t r a d i ç ã o

à

maneira p e l a q u a l

X

f o i e s c o l h i - do. Logo f não pode s e r c o n s t a n t e , i s t o é, no p l a n o ( s , t ) t e r e - mos mais de uma r e t a .

P o r t a n t o o c o n j u n t o de r e t a s contém r e t a s de i n c l i n a ç ã o máxima ( f h l ) e mínima ( f h , , ) correspondendo a h ' e h" em H ( f b , f h n ) . - Fazendo-se X1 = t X + s l X e X 2 = t X + 1 o 2 o

-

+ s 2 X p a r a Xo = X1 + X 2 = ( t l + t 2 ) X o + ( s l + s 2 ) X , obtemos o s i s t e m a l i n e a r homogêneo de 4 equações a 4 i n c ó g n i t a s c u j a s o l u ç ã o

é:

Vemos que X1 s a t i s f a z (11.2.2.7) ( l o g o s a t i s f a z também -

(11.2.2.6)) como uma equação p a r a h = h ' e como uma i n e q u a ç ã o e s t r i t a p a r a h = h" ; enquanto X2 s a t i s f a z (11.2.2.7) ( l o g o s a

-

t i s f a z também (11.2.2.6)) como uma equação p a r a h = h" e como uma 5nequação e s t r i t a p a r a h = h ' .

A s s i m cada X1 e X2 s a t i s f a z (11.2.2.6) _{co -} mo inequação e s t r i t a p a r a algum, mas nem t o d o , h de H. Ainda, como X1 e X 2 e s t ã o em LH

,

e l e s s a t i s f a z e m (11.2.2.6) como uma equação p a r a cada h não de H. Consequetemente X1 e X 2 e s t ã o s i t u a d o s em f a c e s l i m i t e s de FH de dimensão maior que d (e ne -

c e s s a r i a m e n t e menor que dH)

.

Teorema 1: "Dado A* ou, A*

é

s u a p r ó p r i a f a c e F ou, A*

é

a

-

₄

e n v o l t ó r i a convexa de s u a f a c e F e de s u a s f a c e s de dimensões

4

d + 1".

L

Demonstração: a ) s a b e - s e que a f a c e de menor dimensão de A* e

-

a f a c e F (onde H =

4

e d4 = d ) . I s t o

é,

A* não tem f a c e s com

4

dimensões menores que d . Logo temos que A* tem f a c e s de dimen -

s õ e s i g u a i s ou maiores que d.

No caso de A* t e r somente a f a c e F temos que

4

,

b ) suponhamos agora que A* não s e j a c o n s t i t u í d o apenas da f a c e F mas s i m d e s t a e de o u t r a s f a c e s , c u j a s d i

4

,

-

menções s ã o maiores que d.

de dimensão maior que d + 1. Temos, p e l o Lema 1 , que

X = Xi com Xi E FH e dH = d * l

i = l i i

e p a r a m > O temos m Xi E FH

_,

_{l o g o}

i

i s t o é, X é' i g u a l

à

combinação convexa dos v e t o r e s das f a c e s FH. , donde concluÍmos ,que X e s t á n a . e n v o l t ó r i a convexa das

1 f a c e s FH

.

i 0 s demais v e t o r e s de A * e s t ã o em Fb O U em FH

,

l o g o e s t a r ã o também na e n v o l t ó r i a convexa da f a c e F i <p e das f a c e s FH

.

7

i ) Assim c o n c l u ~ m o s que A* e s t á c o n t i d o n a e n v o l t ó r i a conve - xa da f a c e F

e

das f a c e s FH

.

<p i

i i ) Como A*

é

convexo e contém F e as f a c e s FH e n t ã o A*

<p : 7

I

contém a e n v o l t ó r i a convexa das f a c e s F e FH

.

<p i

Por ( i ) e ( i i ) temos que A*

é

a ' e n v o l t õ r i a convexa das f a c e s

C o r o l á r i o 1: "A i n t e r s e ç ã o de um número f i n i t o de semi-espa-

-

ços

é :

a ) um subespaço l i n e a r de dimensão d , ou

de dimensões d + 1 , l i m i t a d o s p o r um subespaço comum de d i -

mensão d t f .

Demonstração: Vimos em (11.1.10) q u e o CPC A* pode s e r i n t e r -

-

p r e t a d o como s e n d o a i n t e r s e ç ã o de um número f i n i t o de semi -

e s p a ç o s f e c h a d o s , Ai X '

<

- O

,

ou s e j a Observemos que A* . a i n d a

é

wn s e m i - e s p a ç o . P e l o Teorema 1 , temos q u e a ) A* = Fm

,

onde F = 0 4 n L$

4

=

{x

6 I R " / A ~ x ' < o ,

h.

E 4;

%x'

=

O,%

E (1-4)) p o r t a n t o Fb = L e d = dL = d . Logo A*

é

um s u b e s p a ç o l i n e -

4

Q

0. a r de dimensão d . Ou, b ) A*

6

a e n v o l t ó r i a convexa de s u a f a c e F e de s u a s f a c e s ,

4

FH

,

de dimensões d + 1. i p a r a i = 1 , .

.

.

, R

.(R < p )

,

s ã o s e m i - e s p a ç o s de dimensões d + l

.

F~

-

f a c e l i m i t e das f a c e s FH _i

é

um s u b e s p a ç o de dimensão d . Logo A*

é

a e n v o l t ó r i a convexa de um número f i n i t o d e s e m i

-

e s p a ç o s (F ) de dimensões d + 1, l i m i t a d o s p o r um s u b e s p a ç o

Hi

comum (F ) de dimensão d .

a

C o r o l á r i o 2 : "Se o p o s t o da m a t r i z A é i g u a l a n e n t ã o A* e : a > {O) ou

b) a e n v o l t ó r i a convexa de {O

1

e dos r a i o s de A*." Demonstração : i ) s e d = d = n -

o .

onde r

o

= n = p o s t o da m a t r i z A , e n t ã o d = O . Logo F = ' { O ) , ou s e j a , F

o

o

c o n s i s

-

t e apenas do v e t o r z e r o de IRn. P e l a p a r t e (a) do ~ e o r e m a 1 e p o r ( i )

,

t e

-

.

_*_..-

mos que A* = {O

I ,

ou s-eg-.a, A* tem apenas uma f a c e c u j a dimen -

s ã o

é

z e r o ( i s t o

é ,

F

é

um " v é r t i c e 1 ' de A*). Geometricamente

o

a

dizemos que o CPC A* e "pontudo".

i i ) s e dH = d + 1 e d = 0 , e n t ã o

%

= 1.

-.

-

I I Logo a s f a c e s FH s ã o s e m i - r e t a s a b e r t a s ou r a i o s de A*. i P e l a p a r t e (b) do Teorema 1 e p o r ( i i ) t e

-

mos e n t ã o que A*

é

a e n v o l t ó r i a convexa de C01 e dos r a i o s de A*.

Nota: v a l e a pena a s s i n a l a r que e s t a s semi

-

r e t a s a b e r t a s ou r a i o s de A* podem s e r achadas p o r um p r o c e s

-

s o d i r e t o (embora traba1hos.o). E s t e p r o c e s s o c o n s i s t e em es

-

colhermos (de todos o s modos p o s s i ' v e i s ) um subconjunto de n-1 v e t o r e s l i n e a r m e n t e independentes de A . O c o n j u n t o s o l u ç ã o do s i s t e m a de equações homogêneas c o r r e s p o n d e n t e , c o n s i s t e de t o

-

dos os m ú l t i p l o s t X de uma s o l u ç ã o p a r t i c u l a r , não t r i v i a l , X. Se X s a t i s f a z AX' 5 - 0 , e n t ã o a s e m i - r e t a a b e r t a tX, p a r a t > O ,

é

um r a i o de A * ; s e X s a t i s f a z AX'

,

- O e n t ã o a s e m i - r e t a a b e r

-

t a t ( - X ) , p a r a t > 0 ,

é

um r a i o de A*.

11.2.3. Exemplo

S e j a A um c o n j u n t o f i n i t o de IR2, t a l que

A = {A1 ,A2} com A1 = ( 1 0 E IR2 e A2 = (O - 1 E IR'. Ou a i n -

da: com Ai E

IR^

= i - é s i m a l i n h a da m a t r i z A p a r a i = 1 , 2 . E n t ã o o CPC A*

é

o c o n j u n t o de IR' t a l que A* = _{{X E IR} 2 _{/ A ~ X ' 5 - O, A2 X ' ( - O}, i s t o}

_é:

2 ou s e j a , A* =-{(X1,X2) & I R /xl

L

O , x 2 = > O } . Como I = . { 1 , 2 1 e n t ã o A* t e r á , no máximo, 2 4 (2 ) f a c e s , achadas do s e g u i n t e modo: Se H =

111

e n t ã o FH = F1 = { ( x 1 , x 2 ) E ~ 2 / ( - 1 , ~ )

(X1j

_{O ,} X2

2 F1 = . { ( x 1 , x 2 ) E I R /xl > O, x2=O} com dH = dl = 2 - 1 = 1 . Logo F1

é

uma s e m i - r e t a , ou r a i o , de A * . 2 X s e H =

I

21

e n t ã o F H = ~ 2 = { (x1 , x 2 ) "IR

/

(0 -1)

(,S)

c 0 , 2 F2 = . { ( x 1 , x 2 ) ~

IR

/x2 > O, xl= 0 ) comd = d = 2 - 1 = 1. Lo H 2

-

go F 2

6

uma s e m i - r e t a , ou r a i o , de A * .

x

se H = m, e n t ã o F~ = F ~ = I ~ ~ , x ~ ) E $ / ( - i O ) ( 1) = O , X2 2 F =

I

(x1,x2) E I R /xl = 0 , x2 = O} com d = d =d=2-2.0.

m

H

m

Logo F = { (0 ,O)}

6

um v é r t i c e de A*.

0

2

Se H = I , e n t ã o FH=F12={ (x l , x 2 ) c ~ i R / ( - I O)(::) c O,

Temos que A* tem q u a t r o ' f a c e s

,

onde as f a c e s F1, F2 e F s ã o f a c e s l i m i t e s de F12 e F

é

a f a c e l i m i t e p a r a

cP cP

11.3.

ALGUNS

TEOREMAS

FUNDAMENTAIS

D e f i n i ç ã o - 5 : Con-junto Expansão. S e j a B = {B1,

...,

B

1

com B emIRn, j p a r a 9 j = 1 ,

.. .

, q e V = ( v l , . . . , v ) um v e t o r de IRq t a l que V

2

O ( i s 9 - - t o

é:

v . > O p a r a j = 1 ,

.. .

, q ) . Chama-se e o n j u n t o expansão de J = <

B , ao cone convexo, i n d i c a d o p o r B , t a l que

B<= {X E ~ / x = VB, V

>

-

o } = ~ x

E R ~ / X = v ~ B ~ +

...

+ V B V . > O}.

9 9' 3=

<

Ou s e j a , o c o n j u n t o expansão B , c o n s i s t e de t o d a s a s combina- ções l i n e a r e s f i n i t a s , com c o e f i c i e n t e s não n e g a t i v o s , de ve

-

t o r e s de B .

Observação : podemos p e n s a r em B

,

como s e n -

do a m a t r i z de c o e f i c i e n t e s r e a i s

onde B E I R ~

é

a j-ésima l i n h a de B , com j = 1

,...,

q . j

É de f á c i l v e r i f i c a ç ã o cada a f i r m a t i v a &ai -

xo:

r a d a s p e l o s v e t o r e s B de B . j

i i ) I n v e r s a m e n t e , a e n v o l t ó r i a convexa de q u a l q u e r f a m í l i a f i

-

<

n i t a de. s e m i * - r e t a s , pode s e r e s c r i t a n a forma B

.

i i i ) P a r a formar B _{escolhemos um v e t o r não n u l o p a r a cada s e -}

m i - r e t a não degenerada.. (Se quizermos e s c o l h e r B = { O )

,

b a s t a usarmos um v e t o r V = O e teremos a s e m i - r e t a dege- n e r a d a )

.

'

-

Teorema 2 : (Teorema de Minkowski) : "Dado um conjunto f i n i t o A

de v e t o r e s em1lIn, e x i s t e um c o n j u n t o f i n i t o B de v e t o r e s em

IR^,

t a l que A* = B < . > '

Demonstração: P e l o Teorema 1 ,

é

s u f i c i e n t e mostrarmos que a f a c e F tem um c o n j u n t o expansão e c a d a uma das f a c e s de d i

4

-

<

menções d + 1 também

têm

c o n j u n t o s expansões e que B pode s e r tomado como a u n i ã o d e s s e s c o n j u n t o s .

i ) Se d = O e n t ã o F = {O). P o r t a n t o {O) é um c o n j u n t o ' expan

@ -

<

s ã o p a r a F i s t o

é,

B = {O). Como temos p e l a p a r t e (a) do

0'

< Teorema 1 , que A* = F$, e n t ã o A* = F@ = {O) = B

.

i i ) Se d > O, tomemos'{B1,

...,

Bd) como u m a b a s e p a r a F Logo:

@

porém nada nos g a r a n t e que todos os ci ( i = 1 , .

. .

, d ) > O . Então façamos:

- -

u = max (ci,O) O e vi = max ( - c i , O )

2

O . P o r t a n t o i - - Segue que

E

= - {B1,.

. .

,Bd,

-

B1 ,

. . .

,-Bd} ex - pande F ou s e j a s e , X p e r t e n c e

à

f a c e F e n t ã o X p e r t e n c e ao

@ '

@ c o n j u n t o e x p a n s ã o de '8 ( i s t o

é:

X E F

+

X E

E').

@

S e j a FH uma f a c e q u a l q u e r de A* de dimensão d + 1. Como

4

C

H, Fg

#

I$ e FH

#

4

e n t ã o F

é

f a

4

-

c e l i m i t e de FH (com d = d e dH = d + 1 ) .

@

Temos que a dimensão de FH

é

dada p o r LH e que LH 3 F g , p o r t a n t o LH

é

g e r a d o l i n e a r m e n t e p e l o s v e t o r e s de F e (mais) p e l o v e t o r BH ( i s t o

é:

BH E LH (.O. BH E FH) t a l

@

que BH g! F + ) . P o r t a n t o Como H

#

4 ,

e n t ã o Logo, =

B

{ B H j

é

uma b a s e p a r a FH. P o r - t a n t o

<

A'expansão t o t a l B.

,

s e r i a a exp-ansão das f a c e s FH e da f a c e F i s t o

é :

0'

Com e s t e f a t o e p e l a p a r t e ( b ) do Teorema < 1 , temos que A* = B

.

a c o r o l á r i o : "Uma i n t e r s e ç ã o f i n i t a de v á r i o s semi-espaços e uma e n v o l t ó r i a convexa f i n i t a de v á r i a s s e m i - r e t a s "

.

Demonstração: E s t e r e s u l t a d o

6

uma consequência i m e d i a t a do

-

Teorema 2 .

Teorema 3 : (Teorema de F a r k a s ) ."Se A

6

um c o n j u n t o f i n i t o de v e t o r e s de IRn, e n t ã o A** = A'"

.

.

Demonstração: De acordo com as d e f i n i ç õ e s de CPC e Conjunto expansão, temos que

A** = (A*)* = { Y & l R n / x ~ ! . 5 O.,

VX

E A*} _e -

> O ) . u i =

Provemos que ( i ) A**

C

A' e que ( i i ) A<C A**. i ) S e j a o C o r o l á r i o 1 (Lema de Farkas) do ( I . 2) e façamos a

C o r o l á r i o 1 Teorema 3 P o r t a n t o temos q u e : s e a i n e q u a ç ã o X Y ' 5 - O v a l e p a r a t o d o s os v e t o r e s X t a i s que AX

<

- 0 , e n t ã o Y = u l A +

...

+ u A p a r a P P algum U = ( u l

,...

, U ) de com u -

>

O, i = l , . .

.

, p . Ou s e j a : P 1 -

a ( ~

E A** - j y =

f

ui Ai, U . > 0 com i = 1

,...,

p-

i = l 1 = Logo A * * C A< i i ) Temos que + Y E A < * Y =

F

ui Ai, U . > O com i = 1

,...,

p e i = l 1 = < O ,

VA

E A , o que i m p l i c a

x

E A* AiX' = i

Logo A<

C

A**.

Por ( i ) e ( i i ) temos e n t ã o q u e A * * = A<

Teorema 4 : (Teorema de Weyl) : " S e j a A um c o n j u n t o f i n i t o de ve

- -

< que A* = B e A' = B * . . ! ~ a) P e l o T e o r e m a 2 , e x i s t e u m c o n j u n t o f i n i t o B de v e t o r e s de <

IR^

t a l que A* = B

.

b ) P r o v a m o s que ( B < ) * = B * . P a r a B = { B l

. . . ,

B

1

c o m B e m I R n ( j = 1

,...,

q) t e m o s que: q j i)

VY

E ( B < )

*

+Y E R ~ / X Y ' - 5 O c o m

x

E B'

e

J Y E R ~ / v B . ) Y ' 5 0 c o m v . > O p a r a j = i

,...,

q j~ - j = l J = *Y E R ~ / _{v j ( B ~ Y ' )}

5

_O

=+

_Y

_{E E P / B . Y~ 5 O c o m} J - j =i B . E B e j = I

,...,

q

=>

Y E B * . L o g o 3

(d)*

C

B ii)

$ Y

E B * - = > Y E I R ~ / B . Y ' 5 O , # B . E B p a r a j = 1

,...,

q J - .J e Y & I R n / v . ( B . F 1 ) 5 0 , c o m v . > 0 4 J J - J =

. e Y E (B<)

*.

Logo

Por ( i ) e ( i i ) vem que (B-')* = B * <

c ) Temos que: p o r (a) A* = B e p o r ( b ) ( B < ) * = B*, logo A**=B*. <

Ainda p e l o Teorema 3 A** = A

,

e n t ã o

C o r o l á r i o : "Toda e n v o l t ó r i a convexa f i n i t a de v á r i a s semi - r e - t a s

6

a i n t e r s e ç ã o f i n i t a de v á r i o s semi-espaços e r e c i p r o c a

-

mente.

"

<

Demonstração: I n i c i a n d o com um c o n j u n t o B que

é

a e n v o l t ó r i a convexa f i n i t a de v á r i a s s e m i - r e t a s , e n t ã o podemos i n v e r t e r os p a p é i s dos c o n j u n t o s A e B no Teorema 4 .

t ai'

podemos a f i r m a r

<

que e x i s t e um c o n j u n t o f i n i t o A t a l q u e , B = A * . A s s i m temos que B'

6

e x p r e s s o como a i n t e r s e ç ã o f i n i t a de v á r i o s semi-espa -

A a f i r m a ç ã o i n v e r s a

é

p r e c i s a m e n t e o Corolá

-

r i o do Teorema 2 (Teorema de Minkowski).

Exemp 10 :

3

S e j a o c o n j u n t o A ={A1,A2} deIR , onde 3

A1 = ( - 2 , - 1 , - 2 ) ~ IR e A 2 = ( - 3 , - 2 , , - 1 ) ~ IR3. Logo A*=0[=(x1,x2,x$

Vemos que A* é d e f i n i d o p e l o s v e t o r e s X de 3

IR que s ã o o r t o g o n a i s (caso l i m i t e ) e o b t u s o s com os v e t o r e s A1 e A2 de A . Como I = - { 1 , 2 } e n t ã o A * t e m z 2 = 4 f a c e s , que s ã o : c o m d = d = n -

4

= 3

-

2 = 1. Logo F $

é

a r e t a d e f i n i d a p e

-

10s r a i o s

X

( - 3 , 4 , 1 ) e A ( 3 , - 4 , - l ) , com

X

E I R t a l que

X 2

- O . 3 H={I}JF _H = F ₁

={x

E

R

/2x1+x2+2x3 > O ; ~ X ~ + Z X ~ + X ~ = 0 1 com dH = dl = n

-

_r~ = 3

-

1 = 2 . Logo F1

é

o p l a n o 3x1+2x2+x3=0 l i m i t a d o p o r F $ * 3 H={2) JFH=F2={X E IR /3x1+2x2+x3 > 0 ; 2x 1+x + 2 x 3 2 = 0 1

com dH = d2 = n

-

r~

= 3

-

1 = 2 . Logo F2

é

o p l a n o 2x1+x2+2x3=0 l i m i t a d o p o r F

dJ

- d12 = n

-

com dH - rH = 3

-

O = 3. Logo F12

é

o i n t e r i o r do co - ne A*, i s t o

é,

a p a r t e do cone ( p a r t e a b e r t a ) l i m i t a d a p e l a s f a c e s F F1 e F2.

4 '

A fim de c a r a c t e r i z a r m o s melhor o CPC

A * ,

procederemos do s e g u i n t e modo: i ) tomemos o c a s o l i m i t e da o r t o g o n a l i d a d e , i s t o

é,

s e j a m os h i p e r p l a n o s (no c a s o , p l a n o s ) (a) 2xl + x 2 + 2x3 = O (b) 3x1 + 2x2 + x 3 = 0

Temos que o v e t o r A1

é

normal ao h i p e r p l a n o (a) e que A2

é

normal ao h i p e r p l a n o ( b ) . Ainda vemos que a _{i n}

_-

t e r s e ç ã o de ( a ) e (b)

6

d e f i n i d a p e l a s s e m i - r e t a s A ( - 3 , - 4 , l ) e h ( 3 , - 4 , - 1 ) com h

2

- 0 , que p o r s u a vez s ã o o r t o g o n a i s a A1 e A 2 simultaneamente. Logo o h i p e r p l a n o -3x1 + 4x2 + x 3 = O _(OU

3x1

-

4x2

-

x 3 = 0) contém A1 e A2 e

é

p e r p e n d i c u l a r (ou o r t o - gonal) simultaneamente aos h i p e r p l a n o s (a) e ( b ) .

i i ) fazendo-se a i n t e r s e ç ã o do h i p e r p l a n o -3x1 + 4x2 + x 3 = O com ( a ) e (b)

,

obtemos d o i s p a r e s de s e m i - r e t a s .

ção de -3x1 + 4x2 + x 3 = O com ( a ) , uma das s e m i - r e t a s i n t e r s e -

ç ã o de -3x1 + 4x2 + x 3 = O com (b) e a i n t e r s e ç ã o de (a) e ( b ) , temos) o cone A* p e r f e i t a m e n t e c a r a c t e r i z a d o . I s t o 6 , teremos uma b a s e p a r a c o n s t r u i r A*. Chamemos de B e s t a b a s e .

A i n t e r s e ç ã o dos h i p e r p l a n o s -3x1 + 4x2 ? x3= = O e ( a ) é dada p e l a s s e m i - r e t a s A ( - 7 , - 8 , l l ) e X(7,8,-11) com

r, o , h 1 0 , ~ o r é m a p r i m e i r a d e l a s não s a t i s f a z 3x1 + 2x2 + x 3 =

logo não p e r t e n c e a A*.

A i n t e r s e ç ã o dos h i p e r p l a n o s -3x1 + 4x2 + x3=

= O e (b)

6

dada p e l a s s e m i - r e t a s A(-1,-3,9) e A ( 1 , 3 , - 9 ) com X - L 0 , mas a segunda d e l a s não s a t i s f a z 2x1 + x 2 + Zx3

2

O,

12

go não p e r t e n c e a A*.

E n t ã o , tomando-se A = 1 , temos que

< Logo A* = , B

Consideremos agora o c o n j u n t o B =

de

3

IR onde B1 = ( 7 , 8 , - 1 1 ) e B 2 = ( - 1 , - 3 , 9 ) . Temos que

A c a r a c t e r i z a ç ã o de B*, e f e t u a n d o - s e o s mes -

mos procedimentos que a n t e r i o r m e n t e , nos levam a a c h a r uma _{ba -} s e A p a r a B * , t a l q u e ,

Logo B * = A < .

1 1 . 4 . FACES EXTREMAS E CONJUNTOS M~NIMIs

I

E

EXPANSÃO

1 1 . 4 . 1 .

-

P r o p r i e d a d e s R e l a t i v a s a uma. Face Extrema

D e f i n i ç ã o 6 : Face Extrema de um CPC

Sejam FH uma f a c e de A*, X1 e X2 v e t o r e s de A* e XH um v e t o r q u a l q u e r de FH.

D i z - s e que FH

é

uma f a c e e x t r e m a de A* s e , XH = X1 + X2 com p e l o menos um :dos v e t o r e s X1, X2 em FH.

Lema 2 : "Se um v e t o r X e s t á em uma f a c e FH de A* e s e X = X1 + +

. .

.

+ Xm com Xi E A* ( 1

5

i

5

m) , e n t ã o c a d a Xi e s t á ou em

F ou em uma f a c e l i m i t e de FH1'. H

Demons t r a c ã o :

+h

'h

H, ou h E ( H ) , temos que AhX1 = A X 1 + . . . + A _{h 1 h} X 1 = O _m

e como p o r h i p ó t e s e Xi E A*, também temos que AhXi

5

O p a r a

1 5 - i 5 - m. Logo temos que

v h j! H, A X! = O p a r a i 5 i 5 m, o que t o r n a impli'ci

h 1 -

-