Cap16 Sec7 2x4

(1)

Capítulo 16

Cálculo Vetorial

16.7 Integrais de Superfície

Nesta seção, aprenderemos sobre: Integrais de diferentes tipos de superfície. CÁLCULO VETORIAL

A relação entre integral de superfície e área de superfície é semelhante àquela entre a integral de linha e o comprimento de arco. Suponha que f seja uma função de três

variáveis cujo domínio inclui uma superfície S.

Definiremos a integral de superfície de f em

S de modo que, nos casos em que

f(x, y, z) = 1, o valor da integral de superfície seja igual à área de superfície de S.

Começamos com superfícies parametrizadas e então trataremos o caso especial em que S é o gráfico de uma função de duas variáveis.

INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

Suponha que a superfície S tenha equação vetorial

r(u, v) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k

(u, v) D

Vamos admitir inicialmente que o domínio dos parâmetros D seja um retângulo e vamos dividi-lo em sub-retângulos R_ijcom dimensões u e v. SUPERFÍCIES PARAMETRIZADAS Então, a superfície é dividida em retalhos correspondentes

S

_ij

.

SUPERFÍCIES PARAMETRIZADAS Calculamos f em um ponto P_ij* de cada retalho, multiplicamos pela área S_ijdo retalho e formamos a soma de Riemann * 1 1

( )

m n ij ij i j

f P

'

S

¦¦

SUPERFÍCIES PARAMETRIZADAS

(2)

INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE Equação 1

A seguir, tomamos o limite quando o número de retalhos aumenta e definimos a integral

de superfície de f na superfície S como

* , ₁ ₁

( , , )

lim

m n

( )

ij ij m n i j S

f x y z dS

f P

S

of

¦¦

'

³³

Observe a analogia com

a definição de integral de linha (16.2.2); a definição de integral dupla (15.1.5). INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

Para calcular a integral de superfície na Equação 1, aproximamos a área do retalho S_ijpela área de um paralelogramo

aproximador no plano tangente.

Em nossa discussão sobre a área de superfície na Seção 16.6, fizemos a aproximação

S_ij |r_ux r_v| u v onde:

são os vetores tangentes em um canto de S_ij.

u v x y z x y z u u u v v v w w w w w w w w w w w w r i j k r i j k INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE

Se as componentes são contínuas e r_ue r_v são não nulos e não paralelos no interior de

D, pode ser mostrado, da Definição 1,

mesmo quando D não é retangular, que

( , , )

( ( , )) |

u v

|

S D

f x y z dS

f

u v

u

dA

³³

r

r r

INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE Fórmula 2

Compare com a fórmula para a integral de linha:

Observe também que

( , , )

b

( ( )) | '( ) |

C

f x y z ds

a

f

t

t dt

³

r

1 |

u v

|

( )

S D

dS

u

dA

A S

³³

r r

A Fórmula 2 nos permite calcular a integral de superfície, convertendo-a em uma integral dupla sobre o domínio dos parâmetros D. Quando usamos essa fórmula, precisamos lembrar que f(r(u, v) deve ser calculada escrevendo-se

x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v)

na fórmula de f(x, y, z).

Calcule a integral de superfície

,

onde S é a esfera unitária

x

2

_{+ y}

2

_{+ z}

2

_{= 1.}

2

S

x dS

³³

(3)

Como no Exemplo 4 da Seção 16.6, utilizamos a representação paramétrica

x = sen cos , y = sen sen , z = cos ,

0 S, 0 2S

ou seja,

r(, ) = sen cos i + sen sen j + cos k

INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE EXEMPLO 1

Como no Exemplo 10 da Seção 16.6, podemos obter que

|r

x r

| = sen

Portanto, pela Fórmula 2,

As integrais de superfície têm aplicações semelhantes àquelas das integrais que estudamos anteriormente.

Por exemplo, se uma folha fina (digamos, uma folha de alumínio) tiver:

 a forma de uma superfície S e se;

a densidade (massa por unidade de área) no ponto (x, y, z) for r(x, y, z).

Então, a massa total da folha será

( , , )

S

m

³³

U

x y z dS

CENTRO DE MASSA E MOMENTOS DE INÉRCIA

O centro de massa será onde

Os momentos de inércia também podem ser definidos como antes (veja o Exercício 39).

x y z, ,

1 _{( , , )} 1 _{( , , )} 1 _{( , , )} S S S x x x y z dS m y y x y z dS m z z x y z dS m U U U

³³

Qualquer superfície S com equação

z = g(x, y) pode ser considerada uma

superfície parametrizada com equações paramétricas x = x y = y z = g(x, y) e, então, temos x y g g x y § · w w § · _¨ _¸ _{¨ ¸} w w © ¹ © ¹ r i k r j k De modo que, e x y

g

x

w

u

w

r r

i

j k

2 2

|

x y

|

1 z

z

x

y

§

· w

w

§

· u

_¨

_¸

_¨

_¸

w

©

¹ © ¹

r r

GRÁFICOS Equação 3

Logo, neste caso, a Fórmula 2 se torna:

2 2

( , , )

( , , ( , ))

1

S D

f x y z dS

z

f x y g x y

dA

x

y

§

· w

w

§

· ¨

¸

¨

_w

¸

_w

©

¹ © ¹

³³

GRÁFICOS Fórmula 4

(4)

Existem fórmulas análogas para quando for mais conveniente projetar S no plano yz ou no plano xz.

GRÁFICOS

Por exemplo, se S for a superfície com equação y = h(x, z) e D for sua projeção no plano xz, então 2 2

( , , )

( , ( , ), )

1

S D

f x y z dS

y

f x h x z z

dA

x

z

w

§

· §

· ¨

_w

¸ ¨

_w

¸

©

¹ ©

¹

³³

GRÁFICOS

Calcule onde S é a superfície

z = x + y2_{, 0 x 1, 0 y 2}

S

y dS

³³

GRÁFICOS EXEMPLO 2

Como ʳz/ʳx = 1 e ʳz/ʳy= 2y, a Fórmula 4 dá

2 2 1 2 ₂ 0 0 1 2 ₂ 0 0 2 2 3/ 2 1 2 4 3 ₀ 1 1 1 4 2 1 2 13 2 2 (1 2 ) 3 S D z z y dS y dA x y y y dy dx dx y y dy y § · w w § · _¨ _¸ _{¨ ¸} w w © ¹ © ¹ º _¼

³³

³ ³

³

Se S é uma superfície lisa por partes, ou seja, uma união finita de superfícies lisas S₁,

S₂, . . . , S_nque se interceptam somente ao longo de suas fronteiras, então a integral de superfície de f sobre S é definida por:

1 ( , , ) ( , , ) ( , , ) n S S S f x y z dS f x y z dS f x y z dS

³³

GRÁFICOS

Calcule , onde S é a superfície cujo:

 lado S1é dado pelo cilindro x2+ y2= 1.

 fundo S2é o círculo x2+ y2 1 no plano z = 0.

 topo S3é a parte do plano z = 1 + x que está

acima de S2.

S

z dS

³³

A superfície S está ilustrada. Trocamos a posição

usual dos eixos para enxergar melhor S.

Para S₁, usamos como parâmetros e z (veja o Exemplo 5 da Seção 16.6) e escrevemos suas equações paramétricas como: x = cos  y = sen  z = z onde:  0 2S  0 z 1 + x = 1 + cos  GRÁFICOS EXEMPLO 3

(5)

Portanto,

e

Então, a integral de superfície em S₁é:

Como S₂está no plano z = 0, temos:

z dS

S₂

0dS

S₂

0

A superfície do topoS₃está acima do círculo

D e é parte do planoz = 1 + x. Portanto, tomando g(x, y) = 1 + x na Fórmula 4 e transformando para coordenadas polares, temos o resultado que segue. GRÁFICOS EXEMPLO 3

Portanto,

SUPERFÍCIES ORIENTADAS

Para definir integrais de superfície de campos vetoriais, precisamos excluir superfícies não orientáveis como a faixa de Möbius, mostrada na figura.

Seu nome é uma homenagem ao geômetra alemão August Möbius (1790-1868). FAIXA DE MÖBIUS

Você pode construir uma:

tomando uma faixa retangular longa de papel; torcendo-a por um angulo S;

(6)

Se uma formiga andasse sobre uma faixa de Möbius começando no ponto P, ela acabaria do “outro lado” da faixa (ou seja, com sua parte de cima apontando para o sentido oposto).

FAIXA DE MÖBIUS

Então, se a formiga continuasse a andar na mesma direção, ela acabaria de volta no mesmo ponto P sem ter nunca cruzado uma aresta.

Se você construiu uma faixa de Möbius, tente desenhar uma linha a lápis pelo meio.

Portanto, na verdade, uma faixa de Möbius tem apenas um lado.

Você pode traçar a faixa de Möbius usando as equações paramétricas no Exercício 32 da Seção 16.6.

Daqui para a frente consideraremos somente as superfícies orientáveis (com dois lados).

Começaremos com uma superfície S que tenha um plano tangente em todos os pontos (x, y, z) sobre S (exceto nos pontos da fronteira).

 Em cada ponto (x, y, z) existem dois vetores normais unitários n1e

n₂= –n₁.

SUPERFÍCIES ORIENTADAS

SUPERFÍCIE ORIENTADA & ORIENTAÇÃO

Se for possível escolher um vetor normal unitário n em cada ponto (x, y, z) de modo que n varie continuamente sobre S, então

S é chamada superfície orientada.

A escolha dada de n fornece a S uma

orientação.

ORIENTAÇÕES POSSÍVEIS

Existem duas possíveis orientações para qualquer superfície orientada.

ORIENTAÇÃO PARA CIMA Equação 5

Para uma superfície z = g(x, y) dada como o gráfico de g, usamos a Equação 3 e vemos que a orientação induzida é dada pelo vetor normal unitário

 Como a componente na direção de k é positiva, isso fornece a orientação para cima da superfície.

2 2 1 g g x y g g x y w w w w § · w w § · _¨ _{¸ ¨} _¸ w w © ¹ © ¹ i j k n

(7)

Se S for uma superfície orientada lisa dada na forma paramétrica pela equação vetorial

r(u, v), então ela está automaticamente

associada a orientação do vetor normal unitário

e a orientação oposta é dada por –n.

|

u v u v

u

r r

n

r r

ORIENTAÇÃO Equação 6

Por exemplo, no Exemplo 4 da Seção 16.6 encontramos a representação paramétrica

r(, )

= a sen cos i + a sen sen j + a cos k

para a esfera x2_{+ y}2_{+ z}2_{= a}2

ORIENTAÇÃO

Então, no Exemplo 10 da Seção 16.6, encontramos que: rx r= a2_sen2 _{cos i} + a2_sen2 _{sen j} + a2 _{sen cos k} e |rx r| = a2_sen ORIENTAÇÃO

Assim, a orientação induzida por r(, ) é definida pelo vetor normal unitário

ORIENTAÇÃO

Observe que n aponta na mesma direção que o vetor posição, ou seja, para fora da esfera.

A orientação oposta (para dentro) poderia ser obtida se tivéssemos trocado a ordem dos parâmetros, porque

rx r= –rx r

SUPERFÍCIES FECHADAS

Para uma superfície fechada, isto é, uma superfície que seja a fronteira de uma região sólida E, a convenção é que a orientação

positiva é aquela para a qual os vetores

normais apontam para fora de E. Os vetores normais que apontam para dentro correspondem à orientação negativa.

INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES DE CAMPOS VETORIAIS

Suponha que S seja uma superfície orientada com vetor normal unitário n, imagine um fluido com densidade (x, y, z) e campo de velocidade v(x, y, z) escoando através de S.

 Pense em S como uma superfície imaginária que não impeça a passagem do liquido, como uma rede de pesca em uma corrente de água.

(8)

Então a vazão (massa por unidade de tempo) por unidade de área é v.

Se dividirmos S em pequenos retalhos

S

_ij

,

então

S

_ijé aproximadamente plana

.

Desse modo, podemos aproximar a massa de fluido que passa por S_ijna direção da normal n por unidade de tempo pela quantidade

(v· n)A(S_ij)

onde , v e n são calculados em algum ponto de S_ij.

Lembre-se de que a componente do vetor v na

direção do vetor unitário n e v· n.

CAMPOS VETORIAIS Equação 7

Somando essas quantidades e tomando o limite, obtemos, de acordo com a Definição 1, a integral de superficie da função v· n sobre S:

e ela é interpretada fisicamente como a vazão através de S. ( , , ) ( , , ) ( , , ) S S dS x y z x y z x y z dS U U

³³

v n v n

Se escrevermos F = v, então F também é um campo vetorial em R³.

A integral da Equação 7 fica:

S

dS

³³

F n

Uma integral de superfície dessa forma aparece frequentemente em física, mesmo quando F não é v, e é denominada

integral de superficie (ou integral de fluxo)

de F em S.

Se F for um campo vetorial contínuo definido sobre uma superfície orientada S com vetor normal unitário n, então a integral de

superfície de F em S é

Essa integral é também chamada fluxo de F através de S.

S S

d

dS

³³

F S

³³

F n

INTEGRAL DE FLUXO Definição 8

Em palavras, a Definição 8 diz que:

a integral de superfície de um campo vetorial sobre S é igual a integral de superfície de sua componente normal em S (como definido anteriormente).

(9)

Se r(u, v) é uma função vetorial dada, então

n é dado pela Equação 6 da Definição 8

e, da Equação 2, temos

onde D é o domínio dos parâmetros.

( ( , )) u v u v S S u v u v u v D d dS u v dA u u ª _u º u « _u » ¬ ¼

³³

r r F S F r r r r F r r r r r INTEGRAL DE FLUXO

Então, temos

(

u v

)

S D

d

dA

u

³³

F S

³³

F r r

INTEGRAL DE FLUXO Fórmula 9

Determine o fluxo do campo vetorial

F(x, y, z) = z i + y j + x k

através da esfera unitária

x

2

_{+ y}

2

_{+ z}

2

_{= 1}

INTEGRAL DE FLUXO EXEMPLO 4

Usando a representação paramétrica

r(, )

= sen cos i + sen sen j + cos k 0 S 0 2 S

temos

F(r(, ))

= cos i + sen sen j + sen cos k

Do Exemplo 10 da Seção 16.6,

rx r

= sen2 _{cos i + sen}2 _{sen j}

+ sen cos k Portanto,

F(r(, )) · (rx r)

= cos sen2 _{cos + sen}3 _sen2

+ sen2 _{cos cos}

Então, pela Fórmula 9, o fluxo é:

pelos mesmos cálculos que no Exemplo 1.

INTEGRAL DE FLUXO

A figuramostra o campo vetorial F do Exemplo 4 em pontos da esfera unitária.

CAMPOS VETORIAIS

Se, por exemplo, o campo vetorial do Exemplo 4 é um campo de velocidade descrevendo o escoamento de um fluido de densidade 1, então a resposta 4S/3

representa a vazão através da esfera unitária em unidade de massa por unidade de tempo.

(10)

No caso de uma superfície dada por um gráfico z = g(x, y), podemos considerar x e y como parâmetros e usar a Equação 3 para escrever: ( x y) ( ) g g P Q R x y § w w · u _¨ _¸ w w © ¹ F r r i j k i j k CAMPOS VETORIAIS

Logo, a Fórmula 9 se torna

:

 Esta fórmula pressupõe uma orientação de S para cima.

Para uma orientação para baixo, multiplicamos por -1.

S D

g

d

P

Q

R dA

x

y

§

w

· _¨

_¸

w

©

¹

³³

F S

³³

CAMPOS VETORIAIS Fórmula 10

Fórmulas semelhantes podem ser obtidas se

S for dada por y = h(x, z) ou x = k(y, z).

veja os Exercícios 35 e 36.

CAMPOS VETORIAIS EXEMPLO 5

Calcule

onde:

 F(x, y, z) = y i + x j + z k

 S é a fronteira da região sólida E delimitada pelo paraboloide z = 1 – x2_{– y}2_{e pelo plano z = 0.}

S

d

³³

F S

A superfície S é constituída pela:

 Superfície parabólica do topo S1.

 Superfície circular do fundo S2.

Como S é uma superfície fechada, usamos a convenção de orientação positiva (para fora).

 Isso significa que S1é orientada para cima.

 Podemos usar a Equação 8 com D sendo a projeção de S1sobre o plano xy, ou seja, o

círculo x2_{+ y}2_1.

Como sobre S₁, P(x, y, z) = y Q(x, y, z) = x R(x, y, z) = z = 1 – x2_{– y}2 e

2

2 g

g

x

y

x

y

w

Nós temos:

(11)

O círculo S₂é orientado para baixo, então seu vetor normal unitário é n = –k e temos

já que z = 0 sobre S₂. 2 2 ( ) ( ) 0 0 S S D D d dS z dA dA

³³

F S F k

Finalmente, calculamos, pela definição, como a soma das integrais de superfície de F sobre SS ₁e S₂:

d

³³

F S

1 2

0

2

S S S

d

S

³³

F S

³³

F S

³³

F S

Embora tenhamos exemplificado a integral de superfície de um campo de vetores com seu uso em mecânica dos fluidos, esse conceito também aparece em outras situações físicas.

Por exemplo, se E é um campo elétrico (veja o Exemplo 5 da Seção 16.1), então a integral de superfície

é chamada fluxo elétrico de E através da superfície S.

S

d

³³

E S

LEI DE GAUSS Equação 11

Uma importante lei de eletrostática é a Lei

de Gauss, que diz que a carga total

englobada por uma superfície S é:

onde:

 0é uma constante (denominada permissividade

no vácuo) que depende das unidades usadas (no sistemaSI, 0 8,8542 x 10–12C2/N · m2).

0

S

Q

H

³³

E S

d

Portanto, se o campo vetorial F do Exemplo 4 representa um campo elétrico, podemos concluir que a carga envolvida por S é

Q = 4 ₀/3

FLUXO DE CALOR

Outra aplicação de integrais de superfície ocorre no estudo de fluxo de calor.

 Suponha que a temperatura em um ponto (x, y, z) em um corpo seja u(x, y, z).

Então, o fluxo de calor é definido como o campo vetorial

F = –K Шu

onde K é uma constante determinada experimentalmente, chamada

condutividade da substância. FLUXO DE CALOR

(12)

A taxa de transmissão de calor através da superfície S no corpo é então dada pela integral de superfície S S

d

K

u d

³³

F S

³³

S

FLUXO DE CALOR

A temperatura u em uma bola metálica é proporcional ao quadrado da distância do centro da bola.

Determine a taxa de transmissão de calor através de uma esfera S de raio a e centro no centro da bola quando a é menor que o raio da bola metálica.

FLUXO DE CALOR EXEMPLO 6

Tomando o centro da bola como origem, temos:

u(x, y, z) = C(x2_{+ y}2_{+ z}2₎

onde C é a constante de proporcionalidade.

Então o fluxo de calor é:

F(x, y, z) = –K Шu

= –KC(2x i + 2y j + 2z k)

onde K é a condutividade do metal.

Em vez de usar a parametrização usual da esfera dada no Exemplo 5, observamos que o vetor normal à esfera x2_{+ y}2_{+ z}2_{= a}2_que

Cap16 Sec7 2x4

Cálculo Vetorial

16.7

Integrais de Superfície



S

.

( )

f P

'

S

¦¦

( , , )

lim

( )

f x y z dS

f P

S

¦¦

'

³³

( , , )

( ( , )) |

|

f x y z dS

f

u v

u

dA

³³

³³

r

r r

( , , )

( ( )) | '( ) |

f x y z ds

f

t

t dt

³

³

r

r

1

|

|

( )

dS

u

dA

A S

³³

³³

r r

,

x

+ y

+ z

= 1.

x dS

³³

|r

x r

| = sen

( , , )

m

³³

U

x y z dS

³³

³³

³³

g

g

x

x

w

w

u 



_{+ y}

_{+ z}

_{= 1.}

u

_¨

_¸

_¨

_¸

_w

_w