Geometria Analítica
Cônicas em posição geral
Cleide Martins
DMat - UFPE
Turmas E1 e E3
Rotação de Eixos
Considere duas bases ortonormais B = (→i,→j )e E = (e→1,e→2) e um ponto O.
Se xOy é o sistema de coordenadas (O, B) e uOv é o sistema de coordenadas (O, E), dizemos que esses sistemas estão relacionados por rotação, um é uma rotação do outro. O ângulo de rotação é θ =Ang(e→1,
→
i ).
Assumiremos que o ângulo θ é agudo e é marcado no sentido anti-horário de →i parae→1. Então
x y u v → e1 → e2 θ θ b cos θ sin θ − sin θ cos θ → e1= cosθ → i +sen θ→j → e2= −sen θ → i + cos θ→j
x y u v b b P u v
Considere um ponto P com coordenadas (u, v) no sitema uOv e (x, y) no sistema xOy
x y u v b b P x y u v
Considere um ponto P com coordenadas (u, v) no sitema uOv e (x, y) no sistema xOy
x y u v b b P x y u v Para relacionar as
coordenadas de P nos dois sistemas, consideramos o vetorOP→ . Temos → OP = x→i +y→j e → OP = ue→1 +ve→2
Relacionando coordenadas por rotação de eixos
Lembrando que as coordenadas de um vetor em qualquer base são únicas, temos
→ OP = ue→1 +ve→2 = u(cos θ →i +sen θ → j ) +v(−sen θ→i + cos θ → j ) = (u cos θ − vsen θ)→i +(usen θ + v cos θ)→j = x→i +y→j Logo x = u cos θ − vsen θ y = usen θ + v cos θ e u = x cos θ + ysen θ v = −xsen θ + y cos θ
Exemplo
Se uOv foi obtido de xOy por uma rotação de π
3 radianos e são dados no sistema xOy os
seguintes objetos geométricos, determine suas coordenadas/equações no sistema uOv Os pontos A = (3, 0) e B = (3, 2)
A reta 3x + 2y = 4
Exemplo
Se uOv foi obtido de xOy por uma rotação de π
3 radianos e são dados no sistema xOy os
seguintes objetos geométricos, determine suas coordenadas/equações no sistema uOv Os pontos A = (3, 0) e B = (3, 2)
A reta 3x + 2y = 4
A parábola 4x2+ 12x − y + 6 = 0
Solução: A transformação de coordenadas é dada por ( x = 12u −√23v y = √23u +12v e ( u = 12x +√23y v = −√23x +12y
Exemplo
Se uOv foi obtido de xOy por uma rotação de π
3 radianos e são dados no sistema xOy os
seguintes objetos geométricos, determine suas coordenadas/equações no sistema uOv Os pontos A = (3, 0) e B = (3, 2)
A reta 3x + 2y = 4
A parábola 4x2+ 12x − y + 6 = 0
Solução: A transformação de coordenadas é dada por ( x = 12u −√23v y = √23u +12v e ( u = 12x +√23y v = −√23x +12y
Equação da reta 3x + 2y = 4 no sistema rotacionado uOv
Basta substituir as expressões de x e y diretamente na equação 3x + 2y = 4 ⇐⇒ 3(1 2u − √ 3 2 v) + 2( √ 3 2 u + 1 2v) = 4 3 2 + √ 3 u + −3 √ 3 2 + 1 ! v = 4
Equação da parábola 4x
2+ 12
x − y + 6 = 0
no sistema rotacionado uOv
Novamente, basta substituir as expressões de x e y diretamente na equação, mas antes vamos identicar o sistema de coordenadas onde essa parábola está em posição canônica. Para isto basta completar quadrados
4(x2+ 3x +9 4) −y + 6 − 9 = 0 ⇐⇒ 4 x +3 2 2 − (y + 3) = 0 ⇐⇒ y + 3 = x + 3 2 2 1 4
O vértice dessa parábola é o ponto V = −3 2, −3
e seu eixo de simetria é paralelo ao eixo Oy 4x2+ 12x − y + 6 = 0 ⇐⇒ 4(1 2u − √ 3 2 v) 2+ 12(1 2u − √ 3 2 v) − ( √ 3 2 u + 1 2v) + 6 = 0 4 u 2 4 − √ 3 2 uv + 3v2 4 ! + 6 − √ 3 2 ! u − 6 √ 3 +1 2 v + 6 = 0
Desenhando
x y
u v
Desenhando
x y
u v
E se trocássemos os nomes dos eixos? A gura caria assim
Desenhando
x y
u v
E se trocássemos os nomes dos eixos? A gura caria assim
x y
A equaçao geral do segundo grau
Nosso objetivo agora é identicar o lugar geométrico cuja equação é Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0
Esse lugar geométrico é chamado genericamente de CÔNICA mas pode não ser nenhuma das três que estudamos, quando for esse o caso, diremos que temos uma cônica degenerada. Podemos considerar dois casos separadamente
B = 0 B 6= 0
B = 0
Se a equação é
Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0
basta completar quadrados para identicar uma translação de eixos que forneça uma equação reduzida para esse lugar geométrico.
A natureza dessa cônica depende dos valores de A e C
Para ser uma elipse A e C devem ter o mesmo sinal Para ser uma hipérbole A e C devem ter sinais contrários Para ser uma parábola ou A = 0 ou C = 0
B = 0
Se a equação é
Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0
basta completar quadrados para identicar uma translação de eixos que forneça uma equação reduzida para esse lugar geométrico.
A natureza dessa cônica depende dos valores de A e C Para ser uma elipse A e C devem ter o mesmo sinal
Para ser uma hipérbole A e C devem ter sinais contrários Para ser uma parábola ou A = 0 ou C = 0
B = 0
Se a equação é
Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0
basta completar quadrados para identicar uma translação de eixos que forneça uma equação reduzida para esse lugar geométrico.
A natureza dessa cônica depende dos valores de A e C Para ser uma elipse A e C devem ter o mesmo sinal Para ser uma hipérbole A e C devem ter sinais contrários
Para ser uma parábola ou A = 0 ou C = 0
B = 0
Se a equação é
Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0
basta completar quadrados para identicar uma translação de eixos que forneça uma equação reduzida para esse lugar geométrico.
A natureza dessa cônica depende dos valores de A e C Para ser uma elipse A e C devem ter o mesmo sinal Para ser uma hipérbole A e C devem ter sinais contrários Para ser uma parábola ou A = 0 ou C = 0
AC > 0
Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0 Completando quadrados em x e em y obtemos
A(x − x0)2+C(y − y0)2=F0
Se AF0 > 0temos uma elipse
Se AF0 ≤ 0temos uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma elipse
I um ponto se F0= 0ou
I o conjunto vazio se F06= 0
AC > 0
Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0 Completando quadrados em x e em y obtemos
A(x − x0)2+C(y − y0)2=F0
Se AF0> 0 temos uma elipse
Se AF0 ≤ 0temos uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma elipse
I um ponto se F0= 0ou
AC > 0
Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0 Completando quadrados em x e em y obtemos
A(x − x0)2+C(y − y0)2=F0
Se AF0> 0 temos uma elipse
Se AF0≤ 0 temos uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma elipse
I um ponto se F0 = 0ou
I o conjunto vazio se F06= 0
AC < 0
Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0 Completando quadrados em x e em y obtemos
A(x − x0)2+C(y − y0)2=F0
Se F0 6= 0 temos uma hipérbole
Se F0 = 0 temos uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma hipérbole
AC < 0
Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0 Completando quadrados em x e em y obtemos
A(x − x0)2+C(y − y0)2=F0
Se F0 6= 0 temos uma hipérbole
Se F0 = 0 temos uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma hipérbole
I um par de retas concorrentes
AC < 0
Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0 Completando quadrados em x e em y obtemos
A(x − x0)2+C(y − y0)2=F0
Se F0 6= 0 temos uma hipérbole
Se F0 = 0 temos uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma hipérbole
C = 0
em Ax
2+
Cy
2+
Dx + Ey + F = 0
Se y2 não aparece na equação, completamos os quadrados em x
A(x − x0)2+Ey + F0 = 0
Se E 6= 0 temos uma parábola
A(x − x0)2+E(y − y0) = 0
Se E = 0 temos uma equação de segundo grau em x, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola
I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)
I uma reta ( uma raiz real dupla)
I o conjunto vazio (duas raízes complexas)
C = 0
em Ax
2+
Cy
2+
Dx + Ey + F = 0
Se y2 não aparece na equação, completamos os quadrados em x
A(x − x0)2+Ey + F0 = 0
Se E 6= 0 temos uma parábola
A(x − x0)2+E(y − y0) = 0
Se E = 0 temos uma equação de segundo grau em x, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola
I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)
I uma reta ( uma raiz real dupla)
C = 0
em Ax
2+
Cy
2+
Dx + Ey + F = 0
Se y2 não aparece na equação, completamos os quadrados em x
A(x − x0)2+Ey + F0 = 0
Se E 6= 0 temos uma parábola
A(x − x0)2+E(y − y0) = 0
Se E = 0 temos uma equação de segundo grau em x, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola
I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)
I uma reta ( uma raiz real dupla)
I o conjunto vazio (duas raízes complexas)
C = 0
em Ax
2+
Cy
2+
Dx + Ey + F = 0
Se y2 não aparece na equação, completamos os quadrados em x
A(x − x0)2+Ey + F0 = 0
Se E 6= 0 temos uma parábola
A(x − x0)2+E(y − y0) = 0
Se E = 0 temos uma equação de segundo grau em x, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola
I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)
I uma reta ( uma raiz real dupla)
C = 0
em Ax
2+
Cy
2+
Dx + Ey + F = 0
Se y2 não aparece na equação, completamos os quadrados em x
A(x − x0)2+Ey + F0 = 0
Se E 6= 0 temos uma parábola
A(x − x0)2+E(y − y0) = 0
Se E = 0 temos uma equação de segundo grau em x, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola
I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)
I uma reta ( uma raiz real dupla)
I o conjunto vazio (duas raízes complexas)
C = 0
em Ax
2+
Cy
2+
Dx + Ey + F = 0
Se y2 não aparece na equação, completamos os quadrados em x
A(x − x0)2+Ey + F0 = 0
Se E 6= 0 temos uma parábola
A(x − x0)2+E(y − y0) = 0
Se E = 0 temos uma equação de segundo grau em x, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola
I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)
A = 0
em Ax
2+
Cy
2+
Dx + Ey + F = 0
Se x2 não aparece na equação, completamos os quadrados em y
C(y − y0)2+Dx + F0 = 0
Se D 6= 0 temos uma parábola
C(y − y0)2+D(x − x0) = 0
Se D = 0 temos uma equação de segundo grau em y, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola
I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)
I uma reta ( uma raiz real dupla)
I o conjunto vazio (duas raízes complexas)
A = 0
em Ax
2+
Cy
2+
Dx + Ey + F = 0
Se x2 não aparece na equação, completamos os quadrados em y
C(y − y0)2+Dx + F0 = 0
Se D 6= 0 temos uma parábola
C(y − y0)2+D(x − x0) = 0
Se D = 0 temos uma equação de segundo grau em y, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola
I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)
I uma reta ( uma raiz real dupla)
A = 0
em Ax
2+
Cy
2+
Dx + Ey + F = 0
Se x2 não aparece na equação, completamos os quadrados em y
C(y − y0)2+Dx + F0 = 0
Se D 6= 0 temos uma parábola
C(y − y0)2+D(x − x0) = 0
Se D = 0 temos uma equação de segundo grau em y, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola
I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)
I uma reta ( uma raiz real dupla)
I o conjunto vazio (duas raízes complexas)
A = 0
em Ax
2+
Cy
2+
Dx + Ey + F = 0
Se x2 não aparece na equação, completamos os quadrados em y
C(y − y0)2+Dx + F0 = 0
Se D 6= 0 temos uma parábola
C(y − y0)2+D(x − x0) = 0
Se D = 0 temos uma equação de segundo grau em y, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola
I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)
I uma reta ( uma raiz real dupla)
A = 0
em Ax
2+
Cy
2+
Dx + Ey + F = 0
Se x2 não aparece na equação, completamos os quadrados em y
C(y − y0)2+Dx + F0 = 0
Se D 6= 0 temos uma parábola
C(y − y0)2+D(x − x0) = 0
Se D = 0 temos uma equação de segundo grau em y, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola
I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)
I uma reta ( uma raiz real dupla)
I o conjunto vazio (duas raízes complexas)
A = 0
em Ax
2+
Cy
2+
Dx + Ey + F = 0
Se x2 não aparece na equação, completamos os quadrados em y
C(y − y0)2+Dx + F0 = 0
Se D 6= 0 temos uma parábola
C(y − y0)2+D(x − x0) = 0
Se D = 0 temos uma equação de segundo grau em y, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola
I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)
B 6= 0
A equação tem todos os termos quadráticos
Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0
Fazer uma translação de eixos (completar quadrados) não ajuda a identicar a cônica. Precisamos determinar o ângulo de uma rotação de eixos
x = u cos θ − vsen θ y = usen θ + v cos θ ou x y = cosθ −sen θ sen θ cosθ u v
que transforma essa equação em uma equação sem o termo misto
A0u2+B0uv + C0v2+D0u + E0v + F0 = 0 com B0 = 0
Observações
Após a substituição x = u cos θ − vsen θ y = usen θ + v cos θ em Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0 obtemos A0u2+B0uv + C0v2+D0u + E0v + F0= 0 Onde F0 =FOs coecientes A0, B0 e C0 só dependem dos coecientes A, B e C
Os coecientes D0 e E0 só dependem dos coecientes D e E
Observações
Após a substituição x = u cos θ − vsen θ y = usen θ + v cos θ em Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0 obtemos A0u2+B0uv + C0v2+D0u + E0v + F0= 0 Onde F0 =FOs coecientes A0, B0 e C0 só dependem dos coecientes A, B e C
Os coecientes D0 e E0 só dependem dos coecientes D e E
A natureza da cônica só depende da parte quadrática
Observações
Após a substituição x = u cos θ − vsen θ y = usen θ + v cos θ em Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0 obtemos A0u2+B0uv + C0v2+D0u + E0v + F0= 0 Onde F0 =FOs coecientes A0, B0 e C0 só dependem dos coecientes A, B e C
Os coecientes D0 e E0 só dependem dos coecientes D e E
Observações
Após a substituição x = u cos θ − vsen θ y = usen θ + v cos θ em Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0 obtemos A0u2+B0uv + C0v2+D0u + E0v + F0= 0 Onde F0 =FOs coecientes A0, B0 e C0 só dependem dos coecientes A, B e C
Os coecientes D0 e E0 só dependem dos coecientes D e E
A natureza da cônica só depende da parte quadrática
Observações
Após a substituição x = u cos θ − vsen θ y = usen θ + v cos θ em Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0 obtemos A0u2+B0uv + C0v2+D0u + E0v + F0= 0 Onde F0 =FAnalizando a parte quadrática
Observe que a parte quadráticaAx2+Bxy + Cy2 pode ser escrita como um produto de matrizes
x y A B2 B 2 C x y Além disso x y = cosθ −sen θ sen θ cosθ u v ⇐⇒ x y = u v cosθ sen θ −sen θ cos θ
Transformando a parte quadrática
Fazendo as substituições u v cosθ sen θ −sen θ cos θ A B2 B 2 C cosθ −sen θ sen θ cosθ u vobtemos a parte quadrática da equação em u e v. Ou seja, u v A0 B20 B0 2 C0 u v Portanto, A0 B20 cosθ sen θ A B2 cosθ −sen θ
Analizando a natureza da cônica
Depois que determinarmos o ângulo que faz B0 = 0 teremos
A0u2+C0v2+D0u + E0v + F0 = 0 que é uma elipse se A0C0 > 0 uma hipérbole se A0C0 < 0 uma parábola se A0C0 = 0
Analizando a natureza da cônica
Depois que determinarmos o ângulo que faz B0 = 0 teremos
A0u2+C0v2+D0u + E0v + F0 = 0 que é uma elipse se A0C0 > 0 uma hipérbole se A0C0 < 0 uma parábola se A0C0 = 0 Voltando às matrizes A0 0 0 C0 = cosθ sen θ −sen θ cos θ A B2 B 2 C cosθ −sen θ sen θ cosθ
Analizando a natureza da cônica
Depois que determinarmos o ângulo que faz B0 = 0 teremos
A0u2+C0v2+D0u + E0v + F0 = 0 que é uma elipse se A0C0 > 0 uma hipérbole se A0C0 < 0 uma parábola se A0C0 = 0 Voltando às matrizes A0 0 0 C0 = cosθ sen θ −sen θ cos θ A B2 B 2 C cosθ −sen θ sen θ cosθ
e lembrando que o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes das matrizes A0C0 =AC −B 2 4 = − B2− 4AC 4
Identicando a natureza da cônica
Dada a equação
Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0 Considere o discriminante
Identicando a natureza da cônica
Dada a equação Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0 Considere o discriminante ∆ =B2− 4AC Se ∆ < 0 temos I uma elipse ou I um ponto ou I o conjunto vazio Se ∆ > 0 temos I uma hipérbole ou I um par de retas concorrentres Se ∆ = 0 temos I uma parábola ouI um par de retas paralelas ou
I o conjunto vazio
Fazendo as multiplicações de matrizes
A0 B20 B0 2 C0 = cosθ sen θ −sen θ cos θA cos θ +B2sen θ −Asen θ + B2 cosθ
B
2 cosθ + Csen θ −B2sen θ + C cos θ
Fazendo as multiplicações de matrizes
A0 B20 B0 2 C0 = cosθ sen θ −sen θ cos θA cos θ +B2sen θ −Asen θ + B2 cosθ
B 2 cosθ + Csen θ − B 2sen θ + C cos θ Obtemos
A0 = cosθ(A cos θ +B
2sen θ) + sen θ( B 2 cosθ + Csen θ) B0 2 = cosθ(−Asen θ + B 2 cosθ) +sen θ(− B 2sen θ + C cos θ) C0 = −sen θ(−Asen θ + B 2 cosθ) + cos θ(− B 2sen θ + C cos θ)
Determinando o ângulo de rotação
A0 = A cos2θ + Bsen θ cos θ + C sen2θ B0
2 = −Asen θ cos θ + B
2(cos
2θ −sen2θ) + C cos θsen θ
C0 = Asen2θ − B cos θsen θ + C cos2θ
Se A = C então cos 2θ = 0, ou seja 2θ = π
2. Portanto θ = π4 Se A 6= C então sen 2θ cos 2θ = B A − C ⇒ tan 2θ = B A − C
Determinando o ângulo de rotação
A0 = A cos2θ + Bsen θ cos θ + C sen2θ B0
2 = −Asen θ cos θ + B
2(cos
2θ −sen2θ) + C cos θsen θ
C0 = Asen2θ − B cos θsen θ + C cos2θ O ângulo que faz B0 = 0 satisfaz
B cos 2θ + (C − A)sen 2θ = 0
Se A = C então cos 2θ = 0, ou seja 2θ = π
2. Portanto θ = π4 Se A 6= C então sen 2θ cos 2θ = B A − C ⇒ tan 2θ = B A − C
Determinando o ângulo de rotação
A0 = A cos2θ + Bsen θ cos θ + C sen2θ B0
2 = −Asen θ cos θ + B
2(cos
2θ −sen2θ) + C cos θsen θ
C0 = Asen2θ − B cos θsen θ + C cos2θ O ângulo que faz B0 = 0 satisfaz
B cos 2θ + (C − A)sen 2θ = 0 Se A = C então cos 2θ = 0, ou seja 2θ = π
2. Portanto θ = π4 Se A 6= C então sen 2θ cos 2θ = B A − C ⇒ tan 2θ = B A − C
Determinando o ângulo de rotação
A0 = A cos2θ + Bsen θ cos θ + C sen2θ B0
2 = −Asen θ cos θ + B
2(cos
2θ −sen2θ) + C cos θsen θ
C0 = Asen2θ − B cos θsen θ + C cos2θ O ângulo que faz B0 = 0 satisfaz
B cos 2θ + (C − A)sen 2θ = 0 Se A = C então cos 2θ = 0, ou seja 2θ = π
2. Portanto θ = π4 Se A 6= C então sen 2θ cos 2θ = B A − C ⇒ tan 2θ = B A − C
Determinando os novos coecientes
Para θ tal quesen 2θ cos 2θ =
B A − C temos B0 = 0 e
A0 = A cos2θ + Bsen θ cos θ + C sen2θ C0 = Asen2θ − B cos θsen θ + C cos2θ
Determinando os novos coecientes
Para θ tal quesen 2θ cos 2θ =
B A − C temos B0 = 0 e
A0 = A cos2θ + Bsen θ cos θ + C sen2θ C0 = Asen2θ − B cos θsen θ + C cos2θ Daí
A0+C0 = A + C
A0− C0 = (A − C) cos 2θ + Bsen 2θ = B cos 2θ
sen 2θ cos 2θ + Bsen 2θ
= B
sen 2θ
Determinando a transformação
Precisamos determinar a expressão nal da rotação, ou seja, os valores de sen θ e cos θ a partir de
tan 2θ = B A − C
Determinando a transformação
Precisamos determinar a expressão nal da rotação, ou seja, os valores de sen θ e cos θ a partir de tan 2θ = B A − C Temos cos22θ = 1 sec22θ = 1 1 + tan22θ
Determinando a transformação
Precisamos determinar a expressão nal da rotação, ou seja, os valores de sen θ e cos θ a partir de tan 2θ = B A − C Temos cos22θ = 1 sec22θ = 1 1 + tan22θ
Observe que o sinal de cos 2θ é o mesmo de tan 2θ e sen θ e cos θ serão sempre positivos cos2θ = 1 + cos 2θ
2 1 − cos 2θ
Exercícios
Classique e esboce as seguintes cônicas
1 xy − x − 1 = 0
2 18x2− 48xy + 32y2+ 225x − 300y + 625 = 0 3 9x2− 24xy + 16y2+ 406x + 392y − 399 = 0 4 225x2− 324xy + 360y2− 312x − 1560y + 676 = 0 5 33x2+ 8xy + 18y2+ 306x − 68y + 867 = 0