GA aula15

Geometria Analítica

Cônicas em posição geral

Cleide Martins

DMat - UFPE

Mudanças de Coordenadas

Os eixos de simetria de uma cônica que não está em posição canônica podem ser obtidos a partir do sistema de coordenadas padrão xOy por

Mudanças de Coordenadas

Os eixos de simetria de uma cônica que não está em posição canônica podem ser obtidos a partir do sistema de coordenadas padrão xOy por

Translação

x y

Mudanças de Coordenadas

Os eixos de simetria de uma cônica que não está em posição canônica podem ser obtidos a partir do sistema de coordenadas padrão xOy por

Rotação

x y

Mudanças de Coordenadas

Os eixos de simetria de uma cônica que não está em posição canônica podem ser obtidos a partir do sistema de coordenadas padrão xOy por

Translação e rotação

x y

Translação de Eixos

Dois sistemas de coordenadas construídos com uma mesma base e origens diferentes estão relacionados por translação

Se B = (e→1,e→2) é uma base ortonormal e O e Q são pontos distintos, considere os sistemas de

coordenadas xOy construído com O e B e uQv construído com Q e B

Considere um ponto P desse plano. Qual a relação entre as coordenadas (x, y) de P em (O, B)e as coordenas (u, v) de P em (Q, B)?

Lembre que

(x, y) =OP→ e (u, v) =QP→ Lembre também que

→

OP =OQ +→ QP→ Então, se OQ= (x→ 0, y0), ou seja Q = (x0, y0) em xOy, temos

(x, y) = (x0, y0) + (u, v) Portanto _ x = u + x0 y = v + y0 ou  u = x − x0 v = y − y0

Cônicas transladadas

Se os eixos de simetria de uma determinada cônica são uma translação uCv com C = (x0, y0)

do sistema xOy, então em uCv sua equação é reduzida e em xOy é uma das seguintes

(x−x0)2 h2 + (y−y0)2 k2 = 1 (x−x0)2 h2 − (y−y0)2 k2 = ±1 y − y0= (x−x0) 2 4p x − x0= (y−y0) 2 4p

Rotação de Eixos

Considere duas bases ortonormais B = (→i,→j )e E = (e→1,e→2) e um ponto O.

Se xOy é o sistema de coordenadas (O, B) e uOv é o sistema de coordenadas (O, E), dizemos que esses sistemas estão relacionados por rotação, um é uma rotação do outro. O ângulo de rotação é θ =Ang(e→1,

→

i ).

Assumiremos que o ângulo θ é agudo e é marcado no sentido anti-horário de →i parae→1. Então

x y u v → e1 → e2 θ θ b cos θ sin θ − sin θ cos θ → e1= cosθ → i +sen θ→j → e2= −sen θ → i + cos θ→j

x y u v b b P u v

Considere um ponto P com coordenadas (u, v) no sitema uOv e (x, y) no sistema xOy

x y u v b b P x y u v

Considere um ponto P com coordenadas (u, v) no sitema uOv e (x, y) no sistema xOy

x y u v b b P x y u v Para relacionar as

coordenadas de P nos dois sistemas, consideramos o vetorOP→ . Temos → OP = x→i +y→j e → OP = ue→1 +ve→2

Relacionando coordenadas por rotação de eixos

Lembrando que as coordenadas de um vetor em qualquer base são únicas, temos

→ OP = ue→1 +ve→2 = u(cos θ →i +sen θ → j ) +v(−sen θ→i + cos θ → j ) = (u cos θ − vsen θ)→i +(usen θ + v cos θ)→j = x→i +y→j Logo  x = u cos θ − vsen θ y = usen θ + v cos θ e  u = x cos θ + ysen θ v = −xsen θ + y cos θ

Exemplo

Se uOv foi obtido de xOy por uma rotação de π

3 radianos e são dados no sistema xOy os

seguintes objetos geométricos, determine suas coordenadas/equações no sistema uOv Os pontos A = (3, 0) e B = (3, 2)

A reta 3x + 2y = 4

Exemplo

Se uOv foi obtido de xOy por uma rotação de π

3 radianos e são dados no sistema xOy os

seguintes objetos geométricos, determine suas coordenadas/equações no sistema uOv Os pontos A = (3, 0) e B = (3, 2)

A reta 3x + 2y = 4

A parábola 4x2_{+ 12x − y + 6 = 0}

Solução: A transformação de coordenadas é dada por ( x = 1₂u −√₂3v y = √₂3u +1₂v e ( u = 1₂x +√₂3y v = −√₂3x +1₂y

Exemplo

Se uOv foi obtido de xOy por uma rotação de π

3 radianos e são dados no sistema xOy os

seguintes objetos geométricos, determine suas coordenadas/equações no sistema uOv Os pontos A = (3, 0) e B = (3, 2)

A reta 3x + 2y = 4

A parábola 4x2_{+ 12x − y + 6 = 0}

Solução: A transformação de coordenadas é dada por ( x = 1₂u −√₂3v y = √₂3u +1₂v e ( u = 1₂x +√₂3y v = −√₂3x +1₂y Para o ponto A, x = 3 e y = 0. Então u = 3

2 e v = −3 √ 3 2 . Para o ponto B, x = 3 e y = 2. Então u = 3 2+ √ 3 e v = −3 √ 3 2 + 1.

Equação da reta 3x + 2y = 4 no sistema rotacionado uOv

Basta substituir as expressões de x e y diretamente na equação

3x + 2y = 4 ⇐⇒ 3(1 2u − √ 3 2 v) + 2( √ 3 2 u + 1 2v) = 4  3 2 + √ 3  u + −3 √ 3 2 + 1 ! v = 4

Equação da parábola 4x

2

_{+ 12}

_{x − y + 6 = 0}

_{no sistema rotacionado uOv}

Novamente, basta substituir as expressões de x e y diretamente na equação, mas antes vamos identicar o sistema de coordenadas onde essa parábola está em posição canônica. Para isto basta completar quadrados

4(x2+ 3x +9 4) −y + 6 − 9 = 0 ⇐⇒ 4  x +3 2 2 − (y + 3) = 0 ⇐⇒ y + 3 = x + 3 2
2 1 4

O vértice dessa parábola é o ponto V = −3 2, −3

e seu eixo de simetria é paralelo ao eixo Oy

4x2+ 12x − y + 6 = 0 ⇐⇒ 4(1 2u − √ 3 2 v) 2_{+ 12(}1 2u − √ 3 2 v) − ( √ 3 2 u + 1 2v) + 6 = 0 4 u 2 4 − √ 3 2 uv + 3v2 4 ! + 6 − √ 3 2 ! u −  6 √ 3 +1 2  v + 6 = 0 u2− 2√3uv + 3v2+ 6 − √ 3 2 ! u −  6√3 +1 2  v + 6 = 0

Desenhando

x y

u v

A equaçao geral do segundo grau

Nosso objetivo agora é identicar o lugar geométrico cuja equação é

Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0

Esse lugar geométrico é chamado genericamente de CÔNICA mas pode não ser nenhuma das três que estudamos, quando for esse o caso, diremos que temos uma cônica degenerada. Podemos considerar dois casos separadamente

B = 0 B 6= 0

B = 0

Se a equação é

Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0

basta completar quadrados para identicar uma translação de eixos que forneça uma equação reduzida para esse lugar geométrico.

A natureza dessa cônica depende dos valores de A e C

Para ser uma elipse A e C devem ter o mesmo sinal Para ser uma hipérbole A e C devem ter sinais contrários Para ser uma parábola ou A = 0 ou C = 0

B = 0

Se a equação é

Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0

basta completar quadrados para identicar uma translação de eixos que forneça uma equação reduzida para esse lugar geométrico.

A natureza dessa cônica depende dos valores de A e C Para ser uma elipse A e C devem ter o mesmo sinal

Para ser uma hipérbole A e C devem ter sinais contrários Para ser uma parábola ou A = 0 ou C = 0

B = 0

Se a equação é

Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0

basta completar quadrados para identicar uma translação de eixos que forneça uma equação reduzida para esse lugar geométrico.

A natureza dessa cônica depende dos valores de A e C Para ser uma elipse A e C devem ter o mesmo sinal Para ser uma hipérbole A e C devem ter sinais contrários

Para ser uma parábola ou A = 0 ou C = 0

B = 0

Se a equação é

Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0

basta completar quadrados para identicar uma translação de eixos que forneça uma equação reduzida para esse lugar geométrico.

A natureza dessa cônica depende dos valores de A e C Para ser uma elipse A e C devem ter o mesmo sinal Para ser uma hipérbole A e C devem ter sinais contrários Para ser uma parábola ou A = 0 ou C = 0

AC > 0

Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0 Completando quadrados em x e em y obtemos

A(x − x0)2+C(y − y0)2=F0

Se AF0 _{> 0temos uma elipse}

Se AF0 _{≤ 0temos uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma elipse}

I um ponto se F0= 0ou

I o conjunto vazio se F06= 0

AC > 0

Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0 Completando quadrados em x e em y obtemos

A(x − x0)2+C(y − y0)2=F0

Se AF0_{> 0 temos uma elipse}

Se AF0 _{≤ 0temos uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma elipse}

I um ponto se F0= 0ou

AC > 0

Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0 Completando quadrados em x e em y obtemos

A(x − x0)2+C(y − y0)2=F0

Se AF0_{> 0 temos uma elipse}

Se AF0_{≤ 0 temos uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma elipse}

I um ponto se F0 = 0ou

I o conjunto vazio se F06= 0

AC < 0

Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0 Completando quadrados em x e em y obtemos

A(x − x0)2+C(y − y0)2=F0

Se F0 _{6= 0 temos uma hipérbole}

Se F0 _{= 0 temos uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma hipérbole}

AC < 0

Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0 Completando quadrados em x e em y obtemos

A(x − x0)2+C(y − y0)2=F0

Se F0 _{6= 0 temos uma hipérbole}

Se F0 _{= 0 temos uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma hipérbole}

I um par de retas concorrentes

AC < 0

Ax2+Cy2+Dx + Ey + F = 0 Completando quadrados em x e em y obtemos

A(x − x0)2+C(y − y0)2=F0

Se F0 _{6= 0 temos uma hipérbole}

Se F0 _{= 0 temos uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma hipérbole}

C = 0

em Ax

2

₊

_Cy

2

₊

_{Dx + Ey + F = 0}

Se y2 _{não aparece na equação, completamos os quadrados em x}

A(x − x0)2+Ey + F0 = 0

Se E 6= 0 temos uma parábola

A(x − x0)2+E(y − y0) = 0

Se E = 0 temos uma equação de segundo grau em x, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola

I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)

I uma reta ( uma raiz real dupla)

I o conjunto vazio (duas raízes complexas)

C = 0

em Ax

2

₊

_Cy

2

₊

_{Dx + Ey + F = 0}

Se y2 _{não aparece na equação, completamos os quadrados em x}

A(x − x0)2+Ey + F0 = 0

Se E 6= 0 temos uma parábola

A(x − x0)2+E(y − y0) = 0

Se E = 0 temos uma equação de segundo grau em x, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola

I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)

I uma reta ( uma raiz real dupla)

C = 0

em Ax

2

₊

_Cy

2

₊

_{Dx + Ey + F = 0}

Se y2 _{não aparece na equação, completamos os quadrados em x}

A(x − x0)2+Ey + F0 = 0

Se E 6= 0 temos uma parábola

A(x − x0)2+E(y − y0) = 0

Se E = 0 temos uma equação de segundo grau em x, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola

I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)

I uma reta ( uma raiz real dupla)

I o conjunto vazio (duas raízes complexas)

C = 0

em Ax

2

₊

_Cy

2

₊

_{Dx + Ey + F = 0}

Se y2 _{não aparece na equação, completamos os quadrados em x}

A(x − x0)2+Ey + F0 = 0

Se E 6= 0 temos uma parábola

A(x − x0)2+E(y − y0) = 0

Se E = 0 temos uma equação de segundo grau em x, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola

I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)

I uma reta ( uma raiz real dupla)

C = 0

em Ax

2

₊

_Cy

2

₊

_{Dx + Ey + F = 0}

Se y2 _{não aparece na equação, completamos os quadrados em x}

A(x − x0)2+Ey + F0 = 0

Se E 6= 0 temos uma parábola

A(x − x0)2+E(y − y0) = 0

Se E = 0 temos uma equação de segundo grau em x, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola

I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)

I uma reta ( uma raiz real dupla)

I o conjunto vazio (duas raízes complexas)

C = 0

em Ax

2

₊

_Cy

2

₊

_{Dx + Ey + F = 0}

Se y2 _{não aparece na equação, completamos os quadrados em x}

A(x − x0)2+Ey + F0 = 0

Se E 6= 0 temos uma parábola

A(x − x0)2+E(y − y0) = 0

Se E = 0 temos uma equação de segundo grau em x, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola

I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)

I uma reta ( uma raiz real dupla)

A = 0

em Ax

2

₊

_Cy

2

₊

_{Dx + Ey + F = 0}

Se x2 _{não aparece na equação, completamos os quadrados em y}

C(y − y0)2+Dx + F0 = 0

Se D 6= 0 temos uma parábola

C(y − y0)2+D(x − x0) = 0

Se D = 0 temos uma equação de segundo grau em y, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola

I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)

I uma reta ( uma raiz real dupla)

I o conjunto vazio (duas raízes complexas)

A = 0

em Ax

2

₊

_Cy

2

₊

_{Dx + Ey + F = 0}

Se x2 _{não aparece na equação, completamos os quadrados em y}

C(y − y0)2+Dx + F0 = 0

Se D 6= 0 temos uma parábola

C(y − y0)2+D(x − x0) = 0

Se D = 0 temos uma equação de segundo grau em y, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola

I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)

I uma reta ( uma raiz real dupla)

A = 0

em Ax

2

₊

_Cy

2

₊

_{Dx + Ey + F = 0}

Se x2 _{não aparece na equação, completamos os quadrados em y}

C(y − y0)2+Dx + F0 = 0

Se D 6= 0 temos uma parábola

C(y − y0)2+D(x − x0) = 0

Se D = 0 temos uma equação de segundo grau em y, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola

I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)

I uma reta ( uma raiz real dupla)

I o conjunto vazio (duas raízes complexas)

A = 0

em Ax

2

₊

_Cy

2

₊

_{Dx + Ey + F = 0}

Se x2 _{não aparece na equação, completamos os quadrados em y}

C(y − y0)2+Dx + F0 = 0

Se D 6= 0 temos uma parábola

C(y − y0)2+D(x − x0) = 0

Se D = 0 temos uma equação de segundo grau em y, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola

I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)

I uma reta ( uma raiz real dupla)

A = 0

em Ax

2

₊

_Cy

2

₊

_{Dx + Ey + F = 0}

Se x2 _{não aparece na equação, completamos os quadrados em y}

C(y − y0)2+Dx + F0 = 0

Se D 6= 0 temos uma parábola

C(y − y0)2+D(x − x0) = 0

Se D = 0 temos uma equação de segundo grau em y, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola

I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)

I uma reta ( uma raiz real dupla)

I o conjunto vazio (duas raízes complexas)

A = 0

em Ax

2

₊

_Cy

2

₊

_{Dx + Ey + F = 0}

Se x2 _{não aparece na equação, completamos os quadrados em y}

C(y − y0)2+Dx + F0 = 0

Se D 6= 0 temos uma parábola

C(y − y0)2+D(x − x0) = 0

Se D = 0 temos uma equação de segundo grau em y, uma cônica degenerada, nesse caso, uma degeneração de uma parábola

I um par de retas paralelas (duas raízes reais e distintas)

I uma reta ( uma raiz real dupla)

B 6= 0

A equação tem todos os termos quadráticos

Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0

Fazer uma translação de eixos (completar quadrados) não ajuda a identicar a cônica. Precisamos determinar o ângulo de uma rotação de eixos

 x = u cos θ − vsen θ y = usen θ + v cos θ ou  x y  =  cosθ −sen θ sen θ cosθ   u v 

que transforma essa equação em uma equação sem o termo misto

A0u2+B0uv + C0v2+D0u + E0v + F0 = 0 com B0 = 0

Observações

Após a substituição  x = u cos θ − vsen θ y = usen θ + v cos θ em Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0 obtemos A0u2+B0uv + C0v2+D0u + E0v + F0= 0 Onde F0 =F

Os coecientes A0_{, B}0 _{e C}0 _{só dependem dos coecientes A, B e C}

Os coecientes D0 _{e E}0 _{só dependem dos coecientes D e E}

Observações

Após a substituição  x = u cos θ − vsen θ y = usen θ + v cos θ em Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0 obtemos A0u2+B0uv + C0v2+D0u + E0v + F0= 0 Onde F0 =F

Os coecientes A0_{, B}0 _{e C}0 _{só dependem dos coecientes A, B e C}

Os coecientes D0 _{e E}0 _{só dependem dos coecientes D e E}

A natureza da cônica só depende da parte quadrática

Observações

Após a substituição  x = u cos θ − vsen θ y = usen θ + v cos θ em Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0 obtemos A0u2+B0uv + C0v2+D0u + E0v + F0= 0 Onde F0 =F

Os coecientes A0_{, B}0 _{e C}0 _{só dependem dos coecientes A, B e C}

Os coecientes D0 _{e E}0 _{só dependem dos coecientes D e E}

Observações

Após a substituição  x = u cos θ − vsen θ y = usen θ + v cos θ em Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0 obtemos A0u2+B0uv + C0v2+D0u + E0v + F0= 0 Onde F0 =F

Os coecientes A0_{, B}0 _{e C}0 _{só dependem dos coecientes A, B e C}

Os coecientes D0 _{e E}0 _{só dependem dos coecientes D e E}

A natureza da cônica só depende da parte quadrática

Observações

Após a substituição  x = u cos θ − vsen θ y = usen θ + v cos θ em Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0 obtemos A0u2+B0uv + C0v2+D0u + E0v + F0= 0 Onde F0 =F

Os coecientes A0_{, B}0 _{e C}0 _{só dependem dos coecientes A, B e C}

Os coecientes D0 _{e E}0 _{só dependem dos coecientes D e E}

Analizando a parte quadrática

Observe que a parte quadrática

Ax2+Bxy + Cy2 pode ser escrita como um produto de matrizes

x y
 A B₂ B 2 C   x y  Além disso  x y  =  cosθ −sen θ sen θ cosθ   u v  ⇐⇒ x y
= u v
 cosθ sen θ −sen θ cos θ 

Transformando a parte quadrática

Fazendo as substituições u v
 cosθ sen θ −sen θ cos θ   A B₂ B 2 C   cosθ −sen θ sen θ cosθ   u v 

obtemos a parte quadrática da equação em u e v. Ou seja,

u v
 A0 B₂0 B0 2 C0   u v  Portanto,  A0 B₂0 B0 2 C0  =  cosθ sen θ −sen θ cos θ   A B₂ B 2 C   cosθ −sen θ sen θ cosθ 

Analizando a natureza da cônica

Depois que determinarmos o ângulo que faz B0 _{= 0 teremos}

A0u2+C0v2+D0u + E0v + F0 = 0 que é    uma elipse se A0_C0 _{> 0} uma hipérbole se A0_C0 _{< 0} uma parábola se A0_C0 _{= 0}

Analizando a natureza da cônica

Depois que determinarmos o ângulo que faz B0 _{= 0 teremos}

A0u2+C0v2+D0u + E0v + F0 = 0 que é    uma elipse se A0_C0 _{> 0} uma hipérbole se A0_C0 _{< 0} uma parábola se A0_C0 _{= 0} Voltando às matrizes  A0 0 0 C0  =  cosθ sen θ −sen θ cos θ   A B₂ B 2 C   cosθ −sen θ sen θ cosθ 

Analizando a natureza da cônica

Depois que determinarmos o ângulo que faz B0 _{= 0 teremos}

A0u2+C0v2+D0u + E0v + F0 = 0 que é    uma elipse se A0_C0 _{> 0} uma hipérbole se A0_C0 _{< 0} uma parábola se A0_C0 _{= 0} Voltando às matrizes  A0 0 0 C0  =  cosθ sen θ −sen θ cos θ   A B₂ B 2 C   cosθ −sen θ sen θ cosθ 

e lembrando que o determinante de um produto de matrizes é o produto dos determinantes das matrizes A0C0 =AC −B 2 4 = − B2_{− 4AC} 4

Identicando a natureza da cônica

Dada a equação

Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0

Considere o discriminante

Identicando a natureza da cônica

Dada a equação Ax2+Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0 Considere o discriminante ∆ =B2− 4AC Se ∆ < 0 temos I uma elipse ou I um ponto ou I o conjunto vazio Se ∆ > 0 temos I uma hipérbole ou I um par de retas concorrentres Se ∆ = 0 temos I uma parábola ou

I um par de retas paralelas ou

I o conjunto vazio

Fazendo as multiplicações de matrizes

 A0 B₂0 B0 2 C0  =  cosθ sen θ −sen θ cos θ  

A cos θ +B₂sen θ −Asen θ + B₂ cosθ

B

2 cosθ + Csen θ −B2sen θ + C cos θ

Fazendo as multiplicações de matrizes

 A0 B₂0 B0 2 C0  =  cosθ sen θ −sen θ cos θ  

A cos θ +B₂sen θ −Asen θ + B₂ cosθ

B 2 cosθ + Csen θ − B 2sen θ + C cos θ  Obtemos

A0 = cosθ(A cos θ +B

2sen θ) + sen θ( B 2 cosθ + Csen θ) B0 2 = cosθ(−Asen θ + B 2 cosθ) +sen θ(− B 2sen θ + C cos θ) C0 = −sen θ(−Asen θ + B 2 cosθ) + cos θ(− B 2sen θ + C cos θ)

Determinando o ângulo de rotação

A0 = A cos2θ + Bsen θ cos θ + C sen2θ B0

2 = −Asen θ cos θ +

B 2(cos

2_{θ −sen}2_{θ) + C cos θsen θ}

C0 = Asen2θ − B cos θsen θ + C cos2θ

Se A = C então cos 2θ = 0, ou seja 2θ = π

2. Portanto θ = π4 Se A 6= C então sen 2θ cos 2θ = B A − C ⇒ tan 2θ = B A − C

Determinando o ângulo de rotação

A0 = A cos2θ + Bsen θ cos θ + C sen2θ B0

2 = −Asen θ cos θ +

B 2(cos

2_{θ −sen}2_{θ) + C cos θsen θ}

C0 = Asen2θ − B cos θsen θ + C cos2θ O ângulo que faz B0 _{= 0 satisfaz}

B cos 2θ + (C − A)sen 2θ = 0

Se A = C então cos 2θ = 0, ou seja 2θ = π

2. Portanto θ = π4 Se A 6= C então sen 2θ cos 2θ = B A − C ⇒ tan 2θ = B A − C

Determinando o ângulo de rotação

A0 = A cos2θ + Bsen θ cos θ + C sen2θ B0

2 = −Asen θ cos θ +

B 2(cos

2_{θ −sen}2_{θ) + C cos θsen θ}

C0 = Asen2θ − B cos θsen θ + C cos2θ O ângulo que faz B0 _{= 0 satisfaz}

B cos 2θ + (C − A)sen 2θ = 0 Se A = C então cos 2θ = 0, ou seja 2θ = π

2. Portanto θ = π4 Se A 6= C então sen 2θ cos 2θ = B A − C ⇒ tan 2θ = B A − C

Determinando o ângulo de rotação

A0 = A cos2θ + Bsen θ cos θ + C sen2θ B0

2 = −Asen θ cos θ +

B 2(cos

2_{θ −sen}2_{θ) + C cos θsen θ}

C0 = Asen2θ − B cos θsen θ + C cos2θ O ângulo que faz B0 _{= 0 satisfaz}

B cos 2θ + (C − A)sen 2θ = 0 Se A = C então cos 2θ = 0, ou seja 2θ = π

2. Portanto θ = π4 Se A 6= C então sen 2θ cos 2θ = B A − C ⇒ tan 2θ = B A − C

Determinando os novos coecientes

Para θ tal que

sen 2θ cos 2θ =

B A − C temos B0 _{= 0 e}

A0 = A cos2θ + Bsen θ cos θ + C sen2θ C0 = Asen2θ − B cos θsen θ + C cos2θ

Determinando os novos coecientes

Para θ tal que

sen 2θ cos 2θ =

B A − C temos B0 _{= 0 e}

A0 = A cos2θ + Bsen θ cos θ + C sen2θ C0 = Asen2θ − B cos θsen θ + C cos2θ Daí

A0+C0 = A + C

A0− C0 = (A − C) cos 2θ + Bsen 2θ = B cos 2θ

sen 2θ cos 2θ + Bsen 2θ

= B

sen 2θ

Determinando a transformação

Precisamos determinar a expressão nal da rotação, ou seja, os valores de sen θ e cos θ a partir de

tan 2θ = B

Determinando a transformação

Precisamos determinar a expressão nal da rotação, ou seja, os valores de sen θ e cos θ a partir de tan 2θ = B A − C Temos cos22θ = 1 sec2_2θ = 1 1 + tan2_2θ

Determinando a transformação

Precisamos determinar a expressão nal da rotação, ou seja, os valores de sen θ e cos θ a partir de tan 2θ = B A − C Temos cos22θ = 1 sec22θ = 1 1 + tan22θ

Observe que o sinal de cos 2θ é o mesmo de tan 2θ e sen θ e cos θ serão sempre positivos cos2θ = 1 + cos 2θ

2 sen2_{θ =} 1 − cos 2θ

Exercícios

1 Identique e esboce o lugar geométrico dos pontos P cuja distância ao ponto F = (3, 3) é

o dobro da distância ao eixo Ox

2 Identique e esboce o lugar geométrico dos pontos P cuja distância ao ponto F = (3, 3) é

a metade da distância ao eixo Oy

3 O gráco da função y = f(x) = x2− 4x + 5 é uma parábola. Determine o foco, o vértice e a diretriz dessa parábola.

4 Classique e esboce as seguintes cônicas

1 xy − x − 1 = 0

2 18x2_{− 48xy + 32y}2_{+ 225x − 300y + 625 = 0}

3 16x2_{− 24xy + 9y}2_{+ 392x + 406y − 399 = 0}

4 225x2_{− 324xy + 360y}2_{− 312x − 1560y + 676 = 0}

5 33x2_{+ 8xy + 18y}2_{+ 306x − 68y + 867 = 0}

6 7x2_{+ 2xy + 7y}2_{+ 12x + 12y + 36 = 0}