AL aula2

(1)

Álgebra Linear

Cleide Martins

DMat - UFPE - 2019.2

(2)

Objetivo

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Sistemas de Equações Lineares

Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares nas mesmas variáveis. Geralmente, quando são poucas as variáveis, usamos as letras x, y, z, w, t

Caso o número de variáveis seja grande, usamos uma dessas letras com um índice, por exemplo x1, x2, x3, x4, x5,etc.

(4)

Forma matricial de um sistema linear

Exemplo de um sistema linear nas variáveis x, y, z    2x + 3y − z = 3 x − 4y + 5z = −3 3x + y + 3z = 7

Escrito na forma matricial   2 3 −1 1 −4 5 3 1 3     x y z  =   3 −3 7  

(5)

Propriedades das soluções de um sistema linear

Considere um sistema de m equações lineares nas variáveis x1, x2, . . . xn

AX = B

Onde A é a matriz dos coecientes, X é a matriz das variáveis e B é a matriz dos termos independentes A =      a11 a12 a13 · · · a1n a21 a22 a33 · · · a2n ... ... ... ··· ... am1 am2 am3 · · · amn      X =        x1 x2 x3 ... xn        B =        b1 b2 b3 ... bm       

(6)

Propriedades das soluções de um sistema linear

(7)

Propriedades das soluções de um sistema linear

A sequência X? _{satisfaz cada equação do sistema AX = B, em particular}

(8)

Propriedades das soluções de um sistema linear

ai1x?1+ ai2x?2+ ai3x?3+ · · · + ainx?n= bi

e

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Propriedades das soluções de um sistema linear

e

aj1x?1+ aj2x?2+ aj3x?3+ · · · + ajnx?n= bj

Se multiplicamos qualquer uma dessas equações por um número diferente de zero, obtemos uma equação que continua sendo verdadeira.

λai1x?1+ λai2x?2+ λai3x?3+ · · · + λainx?n= λbi

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Propriedades das soluções de um sistema linear

e

aj1x?1+ aj2x?2+ aj3x?3+ · · · + ajnx?n= bj

Se multiplicamos qualquer uma dessas equações por um número diferente de zero, obtemos uma equação que continua sendo verdadeira.

λai1x?1+ λai2x?2+ λai3x?3+ · · · + λainx?n= λbi

kaj1x?1+ kaj2x?2+ kaj3x?3+ · · · + kajnx?n= kbj

Agora se somamos essas duas equações, obtemos ainda uma equação válida

(11)

Propriedades das soluções de um sistema linear

Concluímos que as soluções de um sistema linear não se alteram se trocamos duas equações de posição

multiplicamos uma de suas equações por um número diferente de zero

substituímos uma de suas equações por um múltiplo não nulo dela mesma somado com um múltiplo não nulo de alguma outra equação

(12)

Propriedades das soluções de um sistema linear

(13)

Propriedades das soluções de um sistema linear

(14)

Propriedades das soluções de um sistema linear

Como associamos as equações de um sistema linear com as linhas de uma matriz, denimos as operações elementares nas linhas de uma matriz

(15)

Propriedades das soluções de um sistema linear

trocar duas linhas de posição

multiplicar uma linha por um número diferente de zero

substituir uma linha por um múltiplo não nulo dela mesma somado com um múltiplo não nulo de alguma outra linha

(16)

Propriedades das soluções de um sistema linear

trocar duas linhas de posição

multiplicar uma linha por um número diferente de zero

substituir uma linha por um múltiplo não nulo dela mesma somado com um múltiplo não nulo de alguma outra linha

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Sistemas Equivalentes e Matrizes Linha-Equivalentes

Dois sistemas lineares são equivalentes se têm as mesmas soluções.

Duas matrizes são linha-equivalentes se uma é obtida da outra por uma sequência nita de operações elementares nas linhas.

(18)

Exemplo

Vamos resolver o sistema do início da aula escrevendo a forma matricial de cada passo    2x + 3y − z = 3 x − 4y + 5z = −3 3x + y + 3z = 7   2 3 −1 1 −4 5 3 1 3     x y z  =   3 −3 7  

(19)

Exemplo

Vamos resolver o sistema do início da aula escrevendo a forma matricial de cada passo    2x + 3y − z = 3 x − 4y + 5z = −3 3x + y + 3z = 7   2 3 −1 1 −4 5 3 1 3     x y z  =   3 −3 7      x − 4y + 5z = −3 2x + 3y − z = 3 3x + y + 3z = 7   1 −4 5 2 3 −1 3 1 3     x y z  =   −3 3 7  

(20)

Exemplo

Vamos resolver o sistema do início da aula escrevendo a forma matricial de cada passo    2x + 3y − z = 3 x − 4y + 5z = −3 3x + y + 3z = 7   2 3 −1 1 −4 5 3 1 3     x y z  =   3 −3 7      x − 4y + 5z = −3 2x + 3y − z = 3 3x + y + 3z = 7   1 −4 5 2 3 −1 3 1 3     x y z  =   −3 3 7              x − 4y + 5z = −3 −x − 3 2y + 1 2z = − 3 2 −x − 1 3y − z = − 7 3       1 −4 5 −1 −3 2 1 2 −1 −1 3 −1             x y z       =       −3 −3 2 −7 3      

(21)

Exemplo - continuação

           x − 4y + 5z = −3 − 11₂y + 11₂ z = −9₂ − 13 3y + 4z = − 16 3       1 −4 5 0 −11₂ 11₂ 0 −13 3 4             x y z       =       −3 −9₂ −16 3      

(22)

Exemplo - continuação

           x − 4y + 5z = −3 − 11 2y + 11 2 z = − 9 2 − 13 3y + 4z = − 16 3       1 −4 5 0 −11 2 11 2 0 −13 3 4             x y z       =       −3 −9 2 −16 3                  x − 4y + 5z = −3 y − z = ₁₁9 − 13 3 y + 4z = − 16 3       1 −4 5 0 1 −1 0 −13 3 4             x y z       =       −3 9 11 −16 3      

(23)

Exemplo - continuação

           x + z = ₁₁3 y − z = ₁₁9 − 1 3z = − 59 33       1 0 1 0 1 −1 0 0 −1 3             x y z       =       3 11 9 11 −59 33      

(24)

Exemplo - continuação

           x + z = ₁₁3 y − z = ₁₁9 − 1 3z = − 59 33       1 0 1 0 1 −1 0 0 −1 3             x y z       =       3 11 9 11 −59 33                  x + z = ₁₁3 y − z = ₁₁9 z = 59₁₁       1 0 1 0 1 −1 0 0 1             x y z       =       3 11 9 11 59 11      

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Exemplo - continuação

           x = −56₁₁ y = 68₁₁ z = 59₁₁       1 0 0 0 1 0 0 0 1             x y z       =       −56₁₁ 68 11 59 11      

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Método: Escalonamento

Para resolver por escalonamento um sistema linear m × n (m equações e n variáveis) AX = B

1 Escreva a matriz ampliada do sistema

A | B

a matriz ampliada do sistema é a matriz com n + 1 colunas: as n de A e a única coluna de B

2 Efetue operações elementares na matriz ampliada dos sistema até que as n primeiras

colunas se assemelhem o melhor possível com uma matriz identidade

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Método: Escalonamento

A | B

(28)

Método: Escalonamento

A | B

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Exercícios

As matrizes a seguir são matrizes ampliadas de sistemas lineares. Resolva cada um deles por escalonamento 1. 1 1 1 4 2 5 −2 3 2.     1 1 1 1 0 1 1 1 −1 4 1 1 −1 1 −4 1 −1 1 1 2     3.   1 2 3 0 2 1 3 0 3 2 1 0   4.       3 2 −4 1 1 −1 1 3 1 −1 −3 −3 2 3 −5 0 −1 1 1 1      

(30)

Matrizes na Forma Escada

Denição

Uma matriz M está na forma escada ou é linha-reduzida à forma escada se o primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1

cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha, tem as demais entradas iguais a zero

todas as linhas nulas ocorrem abaixo das linhas não nulas

se há r linhas não nulas e o primeiro elemento não nulo da linha i ocorre na coluna ki

(31)

Exercícios

Decida se cada matriz está ou não na forma escada. Quando não estiver, reduza à forma escada

1. 1 0 1 4 0 1 −5 2 2.     0 1 0 1 0 0 0 0 −1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0     3.   1 2 −1 0 0 0 0 1 0 0 0 0   4.       0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0      

Considere cada matriz na forma escada como sendo a matriz ampliada de algum sistema linear. O que se pode dizer sobre a solução de cada sistema?

(32)

O POSTO e a NULIDADE de uma Matriz

Toda matriz é linha equivalente a uma única matriz na forma escada Denição

O posto de uma matriz Mm×n, p(M), é o número de linhas não nulas na sua reduzida à forma

escada. Denição

A nulidade de uma matriz Mm×n é n − p(M)

Exercício: Para os exercícios propostos nessa aula, determine o posto e a nulidade de cada matriz de coecientes e o posto de cada matriz ampliada. Associe esses valores ao tipo de soluções de cada sistema

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Conclusões

De acordo com as observações dos exercícios concluímos que

O sistema AX = B tem solução se e somente se o posto de A é igual ao posto da matriz ampliada do sistema

Se o sistema com m equações e n variáveis, AX = B, tem solução e p(A) = n então essa solução é única

Se o sistema com m equações e n variáveis, AX = B, tem solução e p(A) < n então a nulidade de A, n − p(A), é o grau de liberdade do sistema, ou seja, p variáveis são determinadas em função de n − p(A) variáveis livres.