PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
Manuel Moisés Bessa
Análise e Avaliação do Desempenho dos Controladores em Sistemas Elétricos com Ressonância.
Florianópolis 2020
Análise e Avaliação do Desempenho dos Controladores em Sistemas Elétricos com Ressonância.
Dissertação submetida ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal de Santa Catarina para a obtenção do título de mestre em Engenharia Elétrica.
Orientador: Prof. Aguinaldo Silveira e Silva, Ph.D.
Florianópolis 2020
Bessa, Manuel Moisés
Análise e Avaliação do Desempenho dos Controladores em Sistemas Elétricos com Ressonância / Manuel Moisés Bessa ; orientador, Aguinaldo Silveira e Silva, 2020.
104 p.
Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Florianópolis, 2020.
Inclui referências.
1. Engenharia Elétrica. 2. Ressonância Forte. 3. Modos de Oscilação. 4. Interação Modal. 5. Estabilidade para Pequenas Perturbações. I. e Silva, Aguinaldo Silveira . II. Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de Pós Graduação em Engenharia Elétrica. III. Título.
Análise e Avaliação do Desempenho dos Controladores em Sistemas Elétricos com Ressonância.
O presente trabalho em nível de mestrado foi avaliado e aprovado por banca examinadora composta pelos seguintes membros:
Prof. António Jose Alves Simões Costa, Ph.D. Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC
Prof. Gustavo Kaefer Dill, Dr.
Centro Federal Celso Suckow da Fonseca - Cefet/RJ
Certificamos que esta é a versão original e final do trabalho de conclusão que foi julgado adequado para obtenção do título de mestre em Engenharia Elétrica.
Prof. Telles Brunelli Lazzarin, Dr. Coordenador do Programa
Prof. Aguinaldo Silveira e Silva, Ph.D. Orientador
Em primeiro lugar, gostaria de agradecer ao meu orientador, professor Aguinaldo Silveira e Silva, pelo apoio, paciência, motivação e orientação durante a etapa da realização deste trabalho.
Agradeço aos professores do programa de pós-graduação em engenharia elé-trica, especialmente aos professores do grupo de estudo de sistemas de potência, que se dedicaram em transmitir os seus conhecimentos.
Desejo igualmente agradecer a todos os meus colegas do laboratório em siste-mas de potência, pela amizade e apoio.
Aos meus pais, amigos e familiares, agradeço por estarem sempre presentes em todos os momentos, mesmo a distância.
Ao CNPq pela bolsa de estudo concedida, a qual possibilitou a realização deste trabalho.
aquilo que todo mundo vê.” (Arthur Schopenhauer)
Essa dissertação apresenta a análise e condições para a ocorrência de ressonância quase forte em sistemas elétricos, e avalia o desempenho dinâmico dos estabilizadores de sistemas de potência (PSSs - Power System Stabilizers), perante esta ocorrência em comparação com o mecanismo convencional de perda de estabilidade. O estudo mostra, como a variação de um parâmetro do sistema pode provocar interação entre dois modos de oscilação. A análise é feita usando-se um sistema teste de 2 áreas e 4 máquinas, em que um modo inter-área interage com um modo da excitatriz, causando a perda de amortecimento do modo inter-área após a interação. O crescimento do acoplamento entre os modos envolvidos na ressonância é mensurado através do ras-treamento do ângulo entre os autovetores associados a esses modos. O mecanismo convencional de perda de estabilidade considerada, consiste na perda do amorteci-mento de um único modo inter-área de forma isolada. A função do PSS é fornecer o torque de amortecimento aos sistemas, quando sujeitos à oscilações eletromecânicas de baixa frequência. Os projetos dos controladores usados neste trabalho são basea-dos no critério de estabilidade de Nyquist e na otimização basea-dos índices de desempenho e robustez. Controladores de ordem fixa e realimentação de saídas são considerados, bem como a estrutura que utiliza sinais locais com as configurações de controle de uma entrada e uma saída (SISO) e controle multivariável (MIMO). O objetivo principal dos PSSs projetados é garantir, além da estabilidade global do sistema, a robustez e o bom desempenho dinâmico em todo intervalo de operação considerado. O desempe-nho dos PSSs é analisado através do amortecimento do modo de oscilação inter-área, tomando a curva de amortecimento do sistema não controlado como índice de desem-penho. A avaliação do desempenho não linear é investigada através da aplicação de um curto-circuito trifásico em uma das barras do sistema.
Palavras-chave: Ressonância Forte. Modos de Oscilação. Interação Modal.
This dissertation presents the analysis and conditions for the occurrence of near strong resonance in power systems, and evaluates the dynamic performance of PSSs (Power System Stabilizers), in view of this occurrence in comparison with the conventional mechanism of loss of stability. The study shows, how the variation of a parameter can cause interaction between two oscillation modes of the system. The analysis is carried out using a 2-area and 4-machine test system, in which an inter-area mode interacts with an exciter mode, causing loss of inter-area mode damping after the interaction. The growth of the coupling between the modes involved in the resonance is measured by tracking the angle between the eigenvectors associated with these modes. The conventional mechanism of loss of stability considered, consists of the loss of damping in a single inter-area mode. The purpose of the PSSs is to provide the damping torque to the systems, when subjected to low frequency electromechanical oscillations. The controller designs used in this work are based on Nyquist’s stability criterion and on the optimization of performance and robustness indices. Fixed order controllers and output feedback are considered, as well as the structure that uses local signals with the SISO (Single Input and Single Output) control settings and multivariable control (MIMO - Multiple Inputs and Multiple Outputs). The main objective of the projected PSSs is to guarantee, in addition to the overall stability of the system, the robustness and the good dynamic performance in the entire operation interval considered. The performance of the PSSs is analyzed through the damping of the inter-area mode, taking the damping curve of the compensated system as a performance index. The evaluation of non-linear performance is investigated through the application of a three-phase short-circuit on one bus of the system.
Keywords: Strong Resonance. Oscillation Modes. Modal Interaction. Small-signal
Figura 2.1 – Diagrama de blocos do estabilizador de sistemas de potência (IEEE
type PSS1A). . . 29
Figura 2.2 – Diagrama esquemático de um sistema realimentado . . . 32
Figura 3.3 – Ressonância forte de dois pares complexos . . . 39
Figura 3.4 – Ressonância quase forte de dois pares complexos . . . 40
Figura 4.5 – Diagrama esquemático de P(s) realimentado por K (s) . . . 45
Figura 5.6 – Diagrama esquemático do sistema teste de 2 áreas e 4 máquinas . . 51
Figura 5.7 – Movimento dos autovalores dos modos dominantes do sistema com a configuração base, em função da variação da potência de transfe-rência entre as áreas . . . 54
Figura 5.8 – Taxa de amortecimento dos modos de oscilação do sistema com a configuração base, em função da variação da potência de transferên-cia entre as áreas . . . 55
Figura 5.9 – Movimento dos autovalores dos modos dominantes do sistema com a configuração modificada, em função da variação da potência de transferência entre as áreas . . . 57
Figura 5.10–Taxa de amortecimento dos modos de oscilação do sistema com a configuração modificada, em função da variação da potência de transferência entre as áreas . . . 57
Figura 5.11–Trajetória do alinhamento dos autovetores associados aos modos envolvidos na ressonância ao longo da variação do fluxo de interligação 58 Figura 5.12–Fatores de controlabilidade do modo inter-área referente à tensão de referência do regulador de tensão . . . 60
Figura 5.13–Fatores de observabilidade do modo inter-área referente à veloci-dade do eixo da máquina . . . 60
Figura 5.14–Taxa de amortecimento do modo inter-área do sistema compensado com configuração base, com controlador K1 - Método de posiciona-mento de pólos . . . 62
Figura 5.15–Taxa de amortecimento do modo inter-área do sistema com a con-figuração base, com controlador K2 - Método de minimização da abscissa espectral . . . 63
Figura 5.16–Taxa de amortecimento do modo inter-área do sistema com a confi-guração base, com controlador K3 - Método de maximização do raio de estabilidade . . . 65
Figura 5.17–Taxa de amortecimento do modo inter-área do sistema com a con-figuração base, com controlador K4 - Método de minimização da norma H∞. . . 66
Figura 5.19–Fluxo de potência ativa entre barras 5-6 - Maximização do raio de estabilidade . . . 69 Figura 5.20–Fluxo de potência ativa entre barras 5-6 - Minimização da norma H∞ 70 Figura 5.21–Movimento dos autovalores dos modos dominantes do sistema com
a configuração modificada, com controlador K5 - Método de posicio-namento de pólos . . . 71 Figura 5.22–Taxa de amortecimento do modo inter-área do sistema com a
confi-guração modificada, com controlador K5- Método de posicionamento
de pólos . . . 72 Figura 5.23–Movimento dos autovalores dos modos dominantes do sistema com
a configuração modificada, com controlador K6 - Método de posicio-namento de pólos . . . 73 Figura 5.24–Taxa de amortecimento do modo inter-área do sistema com a
confi-guração modificada, com controlador K6- Método de posicionamento de pólos . . . 73 Figura 5.25–Movimento dos autovalores dos modos dominantes do sistema com
a configuração modificada - Método de minimização da abscissa espectral . . . 76 Figura 5.26–Taxa de amortecimento do modo inter-área do sistema com a
confi-guração modificada - Método de minimização da abscissa espectral 76 Figura 5.27–Taxa de amortecimento do modo inter-área do sistema com a
confi-guração modificada - Método de maximização do raio de estabilidade 78 Figura 5.28–Taxa de amortecimento do modo inter-área do sistema com a
confi-guração modificada - Método de minimização da norma H∞ . . . 80 Figura 5.29–Taxa de amortecimento do modo inter-área do sistema com a
confi-guração base - Controladores MIMO . . . 84 Figura 5.30–Fluxo de potência ativa entre barras 5-6 do sistema com a
configura-ção base - Controladores MIMO . . . 85 Figura 5.31–Taxa de amortecimento do modo inter-área do sistema com a
confi-guração modificada - Controladores MIMO . . . 88 Figura 5.32–Movimento dos autovalores dos modos dominantes do sistema com
a configuração modificada - Controladores MIMO . . . 90 Figura 5.33–Fluxo de potência ativa entre barras 5-6 do sistema com a
configura-ção modificada - Controladores MIMO . . . 91 Figura B.34–Diagrama de blocos do sistema de excitação (IEEE type AC4A) . . . 104
Tabela 5.1 – Modos de oscilação do sistema com a configuração base - 1◦ ponto de operação (180.9MW ) . . . 53 Tabela 5.2 – Modos de oscilação do sistema com a configuração base - 49◦ponto
de operação (419.5MW ) . . . 53 Tabela 5.3 – Modos de oscilação do sistema com a configuração modificada - 1◦
ponto de operação (180.9MW ) . . . 55 Tabela 5.4 – Modos de oscilação do sistema com a configuração modificada - 49◦
ponto de operação (419.5MW ) . . . 56 Tabela 5.5 – Modos de oscilação do sistema compensado com a configuração
base - 1◦ ponto de operação (180.9MW ) . . . 61 Tabela 5.6 – Modos de oscilação eletromecânico do sistema com a configuração
base, com controlador K2 - Método de minimização da abscissa espectral . . . 63 Tabela 5.7 – Modos de oscilação eletromecânico do sistema com a
configura-ção base, com controlador K3 - Método de maximização do raio de estabilidade . . . 64 Tabela 5.8 – Modos de oscilação eletromecânico do sistema com a configuração
base, com controlador K4 - Método de minimização da norma H∞ . 66 Tabela 5.9 – Modos de oscilação eletromecânico do sistema com a
configura-ção modificada, com controlador K7 - Método de minimização da abscissa espectral . . . 75 Tabela 5.10–Modos de oscilação eletromecânico do sistema com a
configura-ção modificada, com controlador K8 - Método de minimização da abscissa espectral . . . 75 Tabela 5.11–Modos de oscilação eletromecânico do sistema com a configuração
modificada, com controlador K9 - Método de maximização do raio de estabilidade . . . 77 Tabela 5.12–Modos de oscilação eletromecânico do sistema com a configuração
modificada, com controlador K10- Método de maximização do raio de estabilidade . . . 77 Tabela 5.13–Modos de oscilação eletromecânico do sistema com a configuração
modificada, com controlador K11- Método de minimização da norma H∞ . . . 79 Tabela 5.14–Modos de oscilação eletromecânico do sistema com a configuração
modificada, com controlador K12- Método de minimização da norma H∞ . . . 80
abscissa espectral . . . 83
Tabela 5.16–Modos de oscilação eletromecânico do sistema com a configuração base, com controlador MIMO K14- Método de maximização do raio de estabilidade. . . 83
Tabela 5.17–Modos de oscilação eletromecânico do sistema com a configuração base, com controlador MIMO K15- Método de minimização da norma H∞ . . . 83
Tabela 5.18–Modos de oscilação eletromecânico do sistema com a configuração modificada, com controlador MIMO K16- Método de minimização da abscissa espectral . . . 87
Tabela 5.19–Modos de oscilação eletromecânico do sistema com a configuração modificada, com controlador MIMO K17 - Método de maximização do raio de estabilidade . . . 87
Tabela 5.20–Modos de oscilação eletromecânico do sistema com a configuração modificada, com controlador MIMO K18- Método de minimização da norma H∞ . . . 87
Tabela 5.21–Maior valor do ângulo entre os autovetores associados aos modos de oscilação no ponto de operação de maior amortecimento . . . 89
Tabela A.1–Dados de máquinas síncronas na base do gerador (900MVA) para sistema com a configuração base. . . 101
Tabela A.2–Dados da excitatriz e AVR para sistema com a configuração base. . 101
Tabela A.3–Dados de máquinas síncronas na base do gerador (900MVA) para o sistema com a configuração modificada. . . 101
Tabela A.4–Dados da excitatriz e AVR para sistema com a configuração modifi-cada. . . 101
Tabela A.5–Parâmetros complementares da máquina (base de 900MVA). . . 102
Tabela A.6–Dados de linha na base do sistema (100MVA). . . 102
Tabela A.7–Dados de carga do i-ésimo ponto de operação (1≤i≤49). . . 102
1 INTRODUÇÃO . . . . 21
1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO . . . 21
1.2 OBJETIVOS . . . 22
1.2.1 Objetivos Específicos . . . 22
1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO . . . 23
2 ESTABILIDADE PARA PEQUENAS PERTURBAÇÕES . . . . 24
2.1 INTRODUÇÃO . . . 24
2.2 MODELO PARA ESTUDOS DE ESTABILIDADE PARA PEQUENAS PERTURBAÇÕES . . . 24
2.3 AUTOVALORES E MODOS DO SISTEMA . . . 26
2.4 NATUREZA DAS OSCILAÇÕES EM SISTEMAS DE POTÊNCIA . . . 27
2.5 AÇÕES DE MELHORIA DE ESTABILIDADE PARA PEQUENAS PER-TURBAÇÕES . . . 28
2.5.1 Amortecimento do modo inter-área . . . 28
2.5.2 Estrutura do estabilizador de sistemas de potência . . . 29
2.6 ESTRUTURA DE CONTROLE . . . 30 2.6.1 Controle descentralizado . . . 30 2.6.2 Controle quase-descentralizado . . . 30 2.6.3 Controle centralizado . . . . 31 2.6.4 Controle hierárquico . . . . 31 2.7 MODELO DO CONTROLADOR . . . 31
2.7.1 Modelo da estrutura do controlador . . . 33
2.8 LOCALIZAÇÃO DE CONTROLADORES DE SISTEMAS DE POTÊNCIA 34 2.8.1 Fatores de participação . . . . 34
2.8.2 Índice de controlabilidade, observabilidade e resíduo . . . . 34
2.9 MÉTODOS DE CONTROLE . . . 35
2.9.1 Métodos clássicos de controle . . . 35
2.9.2 Métodos de controle robusto . . . 36
2.10 CONCLUSÃO . . . 36
3 RESSONÂNCIA . . . . 37
3.1 INTRODUÇÃO . . . 37
3.2 RESSONÂNCIA FORTE DE DOIS PARES COMPLEXOS . . . 37
3.3 RESSONÂNCIA QUASE FORTE DE DOIS PARES COMPLEXOS . . 39
3.4 RESSONÂNCIA QUASE FORTE DE MODOS DE OSCILAÇÃO EM SISTEMAS DE POTÊNCIA . . . 41
3.7 CONCLUSÃO . . . 43
4 MÉTODOS DE PROJETO DE CONTROLADORES . . . . 44
4.1 INTRODUÇÃO . . . 44
4.2 MÉTODO DE POSICIONAMENTO PARCIAL DE PAR DE PÓLOS COMPLEXOS CONJUGADOS . . . 44
4.3 MÉTODO DE OTIMIZAÇÃO DE ÍNDICES DE DESEMPENHO E RO-BUSTEZ . . . 47
4.3.1 Índices de desempenho e robustez . . . . 47
4.3.1.1 Abscissa espectral . . . 47
4.3.2 Norma H∞ . . . 48
4.3.3 Raio de estabilidade . . . 48
4.3.4 Métodos de otimização e software HIFOO . . . 49
4.4 CONCLUSÃO . . . 49
5 RESULTADOS . . . . 51
5.1 INTRODUÇÃO . . . 51
5.2 SISTEMA TESTE . . . 51
5.3 CONDIÇÕES DE ESTUDO . . . 52
5.4 ANÁLISE DE OCORRÊNCIA DE RESSONÂNCIA . . . 52
5.4.1 Configuração base . . . 53
5.4.2 Configuração modificada . . . 55
5.5 APLICAÇÃO DE CONTROLE . . . 58
5.5.1 Alocação de controladores . . . 59
5.5.2 Caso de um único estabilizador de sistemas de potência . . . 60
5.5.2.1 Projeto de controladores para o sistema com a configuração base . . 61
5.5.2.1.1 Método de posicionamento de pólos . . . 61
5.5.2.1.2 Método de minimização da abscissa espectral . . . 62
5.5.2.1.3 Método de maximização do raio de estabilidade . . . 64
5.5.2.1.4 Método de minimização da norma H∞ . . . 65
5.5.2.2 Análise de desempenho não linear dos controladores projetados para o sistema com a configuração base . . . 67
5.5.2.2.1 Método de minimização da abscissa espectral . . . 67
5.5.2.2.2 Método de maximização do raio de estabilidade . . . 68
5.5.2.2.3 Método de minimização da norma H∞ . . . 69
5.5.2.3 Projeto de controladores para o sistema com a configuração modificada 70 5.5.2.3.1 Método de posicionamento de pólos . . . 70
5.5.2.3.2 Método de minimização da abscissa espectral . . . 74
5.5.3 Caso de múltiplos estabilizadores de sistemas de potência . . . . 81
5.5.3.1 Projeto de controladores para o sistema com a configuração base . . 81
5.5.3.2 Análise de desempenho não linear dos controladores projetados para sistema base . . . 84
5.5.3.3 Projeto de controladores para o sistema com a configuração modificada 86 5.5.3.4 Análise de desempenho não linear dos controladores projetados para o sistema com a configuração modificada . . . 90
5.6 CONCLUSÃO . . . 92
6 CONCLUSÃO . . . 93
6.1 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . 93
6.2 TRABALHOS FUTUROS . . . 94
REFERÊNCIAS . . . 96
APÊNDICE A – DADOS DO SISTEMA DE 2 ÁREAS E 4 MÁQUINAS101 A.1 SISTEMA COM A CONFIGURAÇÃO BASE . . . 101
A.2 SISTEMA COM A CONFIGURAÇÃO MODIFICADA . . . 101
A.3 DADOS PARA AMBAS CONFIGURAÇÕES . . . 102
APÊNDICE B – MODELAGEM DO SISTEMA DE POTÊNCIA . . . . 103
B.1 MODELO DO GERADOR . . . 103
B.2 MODELO DO SISTEMA DE EXCITAÇÃO . . . 103
1 INTRODUÇÃO
1.1 CONTEXTUALIZAÇÃO
No histórico mundial de sistemas de potência, tem se verificado diversas mudan-ças no setor, muitas delas motivadas pelo aumento da demanda de energia elétrica devido ao crescimento populacional e econômico, restrições ambientais ou mesmo devido ao avanço da tecnologia. As assimetrias das regiões geoelétricas em termos de capacidade de geração de energia elétrica para se atender a demanda local reque-rida faz com que surjam um número de interligações de sistemas cada vez maior. As interligações, no entanto, aumentam a complexidade e a criticidade de sistemas, pois envolvem equipamentos e redes de transmissão de diversas naturezas, conectando re-giões de um país ou áreas de diferentes países. Este fato faz com que surjam grandes desafios para manter a estabilidade do sistema, motivando estudos de novas técnicas e emprego de novas tecnologias para operação adequada e segura do sistema.
Quando os sistemas de potência operam no modo interligado tendem a apre-sentar modos de oscilação eletromecânicos de baixa frequência, originados como consequência de interações dinâmicas entre geradores síncronos quando o sistema é submetido a um distúrbio. Essas oscilações normalmente quando pouco amortecidas podem ocasionar danos aos equipamentos, limitar a transferência de potência entre as áreas do sistema, provocar atuação indevida de proteção e a abertura de linhas de transmissão, levando assim o sistema à perda de estabilidade. As oscilações ele-tromecânicas estão relacionadas à estabilidade dos ângulos do rotor dos geradores síncronos. Uma solução adequada e constantemente empregada é a introdução de amortecimento através da aplicação de PSSs (Power System Stabilizers), POD (Power Oscillation Damping) ou links HVDC (KUNDUR; BALU; LAUBY, 1994).
A estabilidade do sistema de potência é associada à capacidade do sistema de manter-se em um ponto de equilíbrio em condições normais de operação e alcançar um novo ponto de equilíbrio aceitável após submetido a uma perturbação. Geralmente são abordados dois tipos de estabilidade do ângulo do rotor. A estabilidade transitória diz respeito aos fenômenos que seguem à ocorrência de uma grande e súbita per-turbação em um sistema de potência, e o termo estabilidade dinâmica (ou pequenas perturbações) é empregado para descrever a resposta de um sistema a pequenas perturbações ou aos controles automáticos mal ajustados (KUNDUR; BALU; LAUBY, 1994) e (ANDERSON; FOUAD, 2008).
Sistemas elétricos são continuamente sujeitos a variações de carga e geração. Essas variações são suficientemente pequenas para que a trajetória do sistema per-turbado permaneça na vizinhança de um ponto de equilíbrio e a dinâmica do sistema possa ser descrita por um modelo linearizado (KUNDUR; BALU; LAUBY, 1994). O mo-delo linear e seus modos de oscilação associados variam conforme os parâmetros do
sistema variam. Como consequência, os modos de oscilação bem amortecidos podem eventualmente se aproximar e interagir de forma que um dos modos se torna instável. Isto ocorre quando dois pares complexos conjugados de autovalores coincidem na frequência e no amortecimento. A este fenômeno dá-se o nome de ressonância. A ressonância é dita fraca se o sistema linearizado for diagonalizável no ponto de resso-nância, ou seja, os dois autovalores possuem autovetores distintos associados a eles. Se o sistema linearizado não for diagonalizável no ponto de ressonância, isto implica que os dois autovalores possuem os mesmos autovetores e neste caso a ressonância é chamada de ressonância forte (DOBSON et al., 2001).
A análise convencional de oscilações considera os modos de oscilação sem le-var em conta a possibilidade de interação entre eles. Neste caso um modo de oscilação de forma isolada cruza para o lado direito do plano complexo. No entanto, o fenômeno de ressonância forte deve ser considerado como um possível mecanismo alternativo para a perda de estabilidade do sistema (DOBSON et al., 2001). Neste caso a insta-bilidade ocorre após dois modos interagirem através do fenômeno da ressonância. A análise isolada do movimento e diminuição do amortecimento do autovalor que cruza o eixo imaginário não é suficiente para uma avaliação do desempenho do sistema.
Assim sendo, busca-se nesta dissertação, analisar a ocorrência de ressonância forte como mecanismo de perda de estabilidade e condições pelas quais ocorre, e avaliar o desempenho dinâmico de PSSs com esta ocorrência em comparação com o mecanismo convencional de perda de estabilidade.
1.2 OBJETIVOS
O objetivo principal deste trabalho é a análise e condições para a ocorrência de ressonância forte e como o projeto de controladores é afetado com esta ocorrência em comparação com o mecanismo convencional de perda de estabilidade.
1.2.1 Objetivos Específicos
Os objetivos específicos decorrentes ao objetivo geral são:
• Detectar a instabilidade através das condições nominais de operação do sistema; • Detectar a ressonância quais forte e as condições pelas ocorrem;
• Identificar elementos do sistema associados à ressonância forte;
• Projetar PSSs para o fornecimento de amortecimento adicional ao modo inter-área crítico;
1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO
A dissertação está organizada em 6 capítulos. A introdução no capítulo 1 fornece informações básicas e também faz referência do problema a ser estudado. A motivação e os objetivos deste trabalho também são descritos neste capítulo.
O capítulo 2 descreve o problema de estabilidade para pequenas perturba-ções, bem como os modelos e as ferramentas utilizados para esse tipo de estudos. Já o capítulo 3 apresenta os conceitos de ressonância, e mostra matematicamente e geometricamente o comportamento de modos do sistema diante da condição de ressonância forte e ressonância quase forte observadas nos sistemas reais. O capítulo 4 apresenta o resumo dos métodos de projetos dos controladores utilizados.
O estudo de caso realizado é apresentado no capítulo 5, onde são mostrados os principais resultados desta dissertação. Finalmente as conclusões mais relevantes e a proposta de trabalhos futuros estão apresentadas no capítulo 6.
2 ESTABILIDADE PARA PEQUENAS PERTURBAÇÕES
2.1 INTRODUÇÃO
Durante a operação de sistemas de potência é comum observar-se mudanças de diversas naturezas, dentre elas, variações de cargas, re-despacho de geradores e transferências de potência entre as áreas do sistema, que podem afetar o funciona-mento sincronizado dos diferentes equipafunciona-mentos presentes no sistema, comprome-tendo a segurança na operação. Essas variações são inerentes à operação do sistema e não são consideradas severas, ao ponto de alterarem suficientemente a topologia do sistema, mantendo o atual ponto de equilíbrio próximo ao ponto anterior, razão pela qual são chamadas de pequenas perturbações. A principal motivação do estudo de es-tabilidade para pequenas perturbações reside na necessidade de garantir a operação estável de sistemas de potência sobre condições normais e anormais de operação, mantendo o sincronismo entre os geradores do sistema.
A estabilidade para pequenas perturbações enquadra-se na categoria de esta-bilidade angular, também conhecida como estaesta-bilidade eletromecânica. O problema deste tipo de estabilidade geralmente está relacionado às oscilações eletromecânicas pouco amortecidas introduzidas através dos modos eletromecânicos. A condição de instabilidade é observada em forma do crescimento constante do ângulo do rotor de-vido à falta de torque sincronizante, ou na forma de oscilações de amplitude crescente devido à falta de torque de amortecimento. São requeridas algumas ações para me-lhoria de amortecimento destes modos, para garantir a operação estável e segura do sistema.
Os modos eletromecânicos que dão origem às oscilações eletromecânicas são obtidos através de análise modal, que consiste basicamente na determinação dos autovalores do sistema linearizado em torno de um ponto de equilíbrio.
Neste capítulo são apresentados os conceitos relacionados à estabilidade para pequenas perturbações, a origem e a natureza das oscilações eletromecânicas, os modelos e alguns métodos de análise e síntese de controladores utilizados neste trabalho para elevação de amortecimento do modo de interesse.
2.2 MODELO PARA ESTUDOS DE ESTABILIDADE PARA PEQUENAS PERTURBA-ÇÕES
Genericamente o sistema de potência pode ser descrito por um conjunto de equações algébrico diferenciais da forma
˙
x = f (x,z,u) (2.1)
0 = g(x,z,u) (2.2)
y = h(x,z,u) (2.3)
onde x, z, u, f e g, representam respectivamente, o vetor de variáveis de estados, o vetor de variáveis algébricas, o vetor de variáveis de entradas, o campo vetorial e o vetor de funções.
A expressão (2.1) representa as equações diferenciais dos geradores, contro-ladores e cargas dinâmicas. Já (2.2) representa as equações da rede, as equações de conexão dos componentes dinâmicos à rede, relacionando as variáveis de esta-dos esta-dos componentes com a tensão e a corrente injetada nas barras às quais estes equipamentos estão conectados, e (2.3) representa as equações de saída do sistema.
Linearizando-se (2.1), (2.2) e (2.3), em torno de um ponto de equilíbrio p0 = (x0,z0,u0), obtém-se as seguintes equações
∆ ˙x = ∂f ∂x (x0,z0,u0)∆x + ∂f ∂z (x0,z0,u0)∆z + ∂f ∂u (x0,z0,u0)∆u (2.4) 0 = ∂g ∂x (x0,z0,u0)∆x + ∂g ∂z (x0,z0,u0)∆z + ∂g ∂u (x0,z0,u0)∆u (2.5) ∆y = ∂h ∂x (x0,z0,u0)∆x + ∂h ∂z (x0,z0,u0)∆z + ∂h ∂u (x0,z0,u0)∆u (2.6)
onde a matriz ∆x,∆z e∆u são variações do vetor das variáveis de estados, algébricas e de entradas, em torno do ponto de equilíbrio, respectivamente.
Isolando∆z da equação (2.5), substituindo nas equações (2.4) e (2.6), tem-se a representação do sistema de potência em espaço de estados como
∆ ˙x = A∆x + B∆u (2.7)
∆y = C∆x + D∆u (2.8)
A = " ∂f ∂x – ∂f ∂z ∂g ∂z –1 ∂g ∂x # (x0,z0,u0) (2.9) B = " ∂f ∂u– ∂f ∂z ∂g ∂z –1 ∂g ∂u # (x0,z0,u0) (2.10) C = " ∂h ∂x– ∂h ∂z ∂g ∂z –1 ∂g ∂x # (x0,z0,u0) (2.11) D = " ∂h ∂u– ∂h ∂z ∂g ∂z –1 ∂g ∂u # (x0,z0,u0) (2.12)
A análise de estabilidade de sistemas de potência em geral pode ser feita atra-vés do estudo dos autovalores da matriz A, como veremos mais adiante.
2.3 AUTOVALORES E MODOS DO SISTEMA Seja um sistema linearizado representado por
˙
x = Ax (2.13)
cuja solução no domínio de tempo é dada por (CHEN, 1998):
x(t) = n X i=1 cieλitv i (2.14)
onde A é a matriz de estados, ci é a i-ésima constante que depende das condições iniciais, λi é o i-ésimo autovalor da matriz A, e o termo cieλit é o i-ésimo modo do
sistema. Os autovaloresλi são obtidos através da solução da seguinte equação
det (A –λiI) = 0 (2.15)
que satisfaz a equação
Avi =λivi (2.16)
onde vi é o i-ésimo autovetor a direita associado ao autovalor λi. Aplicando-se a transformação de similaridade ao sistema linearizado, obtém-se os autovalores λ∗i =λi, para qual existem soluções não triviais da equação
u∗
i A = u∗i λi (2.17)
onde u∗
De forma genérica, um autovalorλi é representado por
λi =σi+ jωi (2.18)
cujos termos relacionam-se com o amortecimentoζi e a frequência de oscilação fi do sistema da seguinte forma (CHEN, 1998):
ζi= –q σi σ2i +ω2i
fi= ωi
2π (2.19)
Os autovalores carregam as informações quanto a estabilidade do sistema. Por-tanto, o sistema é estável se e somente se todos os autovalores da matriz A possuem parte real negativa. A parte imaginária do autovalor define se o sistema é oscilatório ou não oscilatório. Assim sendo, se a parte imaginária for diferente de zero, o sistema é oscilatório e a sua frequência de oscilação é representada em (2.19). Caso a parte imaginária seja zero, o sistema é não oscilatório (CHEN, 1998) e (OGATA; SEVERO, 1998).
2.4 NATUREZA DAS OSCILAÇÕES EM SISTEMAS DE POTÊNCIA
Os sistemas de potência apresentam vários modos de oscilação, associados aos estados referentes aos componentes do sistema que eles afetam, como por exem-plo, os controladores e as turbinas do sistema. Os modos de maior interesse são aqueles que predominam nas respostas das variáveis eletromecânicas como a veloci-dade angular do eixo da máquina e o ângulo da máquina, portanto, conhecidos como modos eletromecânicos.
Basicamente, os sistemas de potência apresentam os seguintes tipos de modos de oscilação (KLEIN; ROGERS; KUNDUR, 1991) e (ANDERSON; FOUAD, 2008):
• Modos inter-áreas: associados à oscilação de um conjunto de máquinas de uma determinada área contra o conjunto de máquinas de uma outra área do sistema, geralmente ligados através de uma linha fraca. A sua frequência de oscilação é na faixa de 0.1 a 0.7 Hz.
• Modos locais: associados à oscilação de uma máquina, ou um conjunto de máquinas contra o resto do sistema, numa frequência de 1.0 a 2.0 Hz;
• Modos intra-planta: relacionados à oscilação entre as máquinas da mesma planta, numa frequência de 2.0 a 3.0 Hz;
• Modos do controle: associados às unidades geradoras e outros controladores do sistema, tais como reguladores de velocidade, reguladores de tensão,
siste-mas de excitação, estabilizadores de sistesiste-mas de potência, FATCS, entre outros. As frequências de oscilações são superiores a 3.0 Hz.
• Modos torcionais: são caracterizados pela oscilação de frequência diferentes entre os elementos giratórios do eixo turbo-giradores, na faixa de 10 a 46 Hz. A instabilidade de modos torcionais pode ser causado através da interação entre modos de controles e capacitor de compensação série de linhas.
Neste trabalho o modo de oscilação de interesse é o modo inter-área. A tarefa principal é elevar o amortecimento, para, deste modo, melhorar a estabilidade do sistema em caso de pequenas perturbações.
2.5 AÇÕES DE MELHORIA DE ESTABILIDADE PARA PEQUENAS PERTURBA-ÇÕES
Como discutido nas seções anteriores, a elevação de amortecimento dos mo-dos de oscilação pouco amortecimo-dos, principalmente os momo-dos eletromecânicos, é uma tarefa de controle crucial, visto que esses modos introduzem comportamentos indesejados ao sistema quando não forem devidamente amortecidos.
Nesta seção são apresentadas as principais ações empregadas para melhoria de estabilidade do sistema à pequenas perturbações, dando maior ênfase no uso de PSSs como fonte de introdução de amortecimento.
2.5.1 Amortecimento do modo inter-área
Usualmente em sistemas eletricamente interligados através de linhas de trans-missão em corrente alternada (AC), são empregados os PSSs, como fonte de introdu-ção de amortecimento desejado.
A função básica de um PSS é fornecer o amortecimento às oscilações atra-vés do controle de excitação do gerador usando sinais estabilizantes como entrada, garantindo uma boa observabilidade do modo de interesse. Geralmente os sinais esta-bilizantes utilizados são derivados da velocidade angular do eixo do gerador, frequência terminal, potência elétrica, potência de aceleração ou integral da potência de acelera-ção (KUNDUR; BALU; LAUBY, 1994).
Com o desenvolvimento de eletrônica de alta potência, começou-se a empre-gadar os equipamentos baseados na tecnologia de FACTS (Flexible AC Transmission Systems), que numa primeira abordagem eram utilizados somente para compensação de potência reativa, controle de tensão e de fluxo de potência. Para além das suas funções primárias citadas acima, eles atuam nas oscilações eletromecânicas através de uma malha de controle suplementar, conhecido na literatura como POD (Power Oscillation Damping). Como no caso de PSSs, os PODs também fazem uso de sinais
adicionais para garantir a elevação do amortecimento do sistema, atuando no modo de interesse (KUNDUR; BALU; LAUBY, 1994).
A aplicação de links de corrente contínua de alta tensão (HVDC - High Voltage Direct Current) de forma isolada ou paralela para conexão de grandes sistemas tem sido empregados para mitigação das oscilações inter-áreas. Essa técnica é caracte-rizada pela boa capacidade e facilidade de ajuste de controle e respostas rápidas. Comparando com os PSSs e os PODs, os links HVDC possuem melhor desempenho no amortecimento dos modos inter-áreas (HUANG; XIN; WANG, 2018), (JUANJUAN; CHUANG; YAO, 2011) e (TAYLOR; LEFEBVRE, 1991).
Neste trabalho é utilizado o PSS como fonte de introdução de amortecimento, e o sinal estabilizante é obtido através do sinal adicional da velocidade angular do eixo da máquina como entrada do PSS.
2.5.2 Estrutura do estabilizador de sistemas de potência
O diagrama esquemático de um modelo convencional de PSS que usa a veloci-dade do eixo como sinal de entrada é mostrado na Figura 2.1. O PSS deve compensar o atraso de fase da função de transferência que representa o sistema de modo a produzir uma componente de torque em fase com a velocidade para aumentar o amor-tecimento das oscilações.
Figura 2.1 – Diagrama de blocos do estabilizador de sistemas de potência (IEEE type PSS1A).
Fonte – (KUNDUR; BALU; LAUBY, 1994)
Esta compensação na faixa de frequência de interesse é feita através do uso de blocos de avanço e atraso. São comumente utilizados filtros passa-baixa e passa-faixa, para evitar ruídos e minimizar a interação torsional, respectivamente. Também é usado o bloco wash-out para evitar que o PSS atue quando há um desvio permanente de frequência (por exemplo, em uma condição de ilhamento). O sinal de saída é limitado superiormente por VSMAX e inferiormente por VSMIN para evitar a interferência direta na ação do regulador de velocidade.
A função de transferência do PSS representada na Figura 2.1 pode ser descrita como PSSω(s) = KPSS sTW 1 + sTW 1+sT1 1 + sT2 1+sT3 1 + sT4 (2.20) onde T1> T2 e T3> T4 e a constante de tempo do filtro wash-out é TW.
2.6 ESTRUTURA DE CONTROLE
A eficácia dos controladores de sistemas de potência para fornecimento de amortecimento para um ou múltiplos modos de oscilação depende muito da sua atu-ação nas variáveis que fornecem maior controlabilidade e dos sinais que tem mais informações associadas aos modos que se deseja controlar. Dependendo do tipo de modo de oscilação, o uso de variáveis locais não é suficiente para elevar o amorteci-mento do modo aos níveis desejado, tornando a tarefa de controle difícil. Isso ocorre principalmente para modos de oscilação inter-área em que podem ser associados aos estados de outras partes do sistema, tornando-se necessário o uso de sinais remotos para elevação do amortecimento dos mesmos.
Conforme o objetivo de controle e os sinais a serem usados, as estruturas podem ser quacentralizada, descentralizada, centralizada e hierárquica. Nesta se-ção são apresentadas algumas estruturas de controle empregadas para melhoria de estabilidade para pequenas perturbações.
2.6.1 Controle descentralizado
Nesta estrutura, o projeto de controladores é assente no uso dos sinais locais das unidades geradoras do sistema. Essa técnica de controle possui uma série de vantagens, como, evitar o mau desempenho dos controladores devido a falhas ou atrasos de comunicação introduzidas pela aquisição remota de sinais de entrada ou pelo envio de sinais de saída dos controladores ao ponto de ação. Uma limitação desta estratégia está na eficiência de ação no controle do modo inter-área, uma vez que este modo pode estar associado a vários estados do sistema em locais fisicamente distantes, o que exigiria o uso de sinais remotos para estabilização do modo.
Quando há necessidade do uso de um controlador para cada máquina envolvida no amortecimento do modo, a estrutura do controle pode ser coordenada ou não coordenada. Na estrutura não coordenada, os projetos de controladores são feitos de forma sequencial, cada um com uma entrada e uma saída. Neste tipo de projeto o desempenho do sistema pode ser afetado pelas interações das diversas malhas de controles presente no sistema, ocasionando o surgimento de modos de oscilação de controle. A estrutura coordenada elimina o problema de interações provocadas pela atuação dos diversos controladores presentes no sistema. Os controladores são projetados de forma simultânea e cada um contribui para estabilidade global do sistema (POURBEIK; GIBBARD, 1998) e (FURINI; PEREIRA; ARAUJO, 2011).
2.6.2 Controle quase-descentralizado
Na estrutura de controle quase-descentralizada, são utilizados sinais locais e remotos, na entrada do controlador e processados localmente no dispositivo, e um
único sinal de controle é gerado na saída.
Os sinais remotos podem ser obtidos através de uso dados de PMUs (Unidade de Medição Fasorial), usando as fontes de introdução de amortecimento descritas na seção anterior(YANG; DING; YU, 2000), (CHOW et al., 2000), (HUANG; XU, 2004) e (SAMUELSSON et al., 2002).
2.6.3 Controle centralizado
Nesta estrutura, o controlador é localizado em um ponto central do sistema, que pode ser uma subestação ou um centro de operação, onde são captados sinais remo-tos vindo de diversas partes do sistema para a entrada do controlador. O controlador processa os sinais recebidos e envia-os para locais desejados dentro do sistema.
O projeto do controlador que utiliza essa estrutura é muito eficaz no controle dos modos inter-área, já que o controlador tem uma visão global do sistema. Em (WU; HEYDT, 2003) e (WU; TSAKALIS; HEYDT, 2004) são apresentados controles centrais utilizando PMUs.
2.6.4 Controle hierárquico
Neste tipo de estrutura, são combinadas as ações da estrutura descentralizada com a estrutura centralizada, e os sinais de controle são processados e enviados para o local desejado. Geralmente nesta estrutura, a parte do controle descentralizado atua nos modos de oscilação locais, e a parte centralizada controla as oscilações inter-área, aumentando a capacidade de controle do sistema.
Na literatura, existem trabalhos que empregam a estrutura de controle hierár-quico para melhoria de estabilidade geral do sistema, como podem ser vistos em (OKOU; DESSAINT; AKHRIF, 2005), (DOTTA; SILVA, A. e; DECKER, I., 2007) e (ZHANG; BOSE, 2008).
2.7 MODELO DO CONTROLADOR
A Figura 2.2 representa graficamente um sistema com realimentação de saídas, em que o bloco P(s) representa a planta do sistema e K (s) o controlador (ZHOU; DOYLE; GLOVER et al., 1996).
Figura 2.2 – Diagrama esquemático de um sistema realimentado
Fonte – (ZHOU; DOYLE; GLOVER et al., 1996)
Considere a planta P(s) como uma representação genérica de sistemas de potência, e pode ser modelada em espaço de estado da seguinte forma:
˙ x z y = A B1 B2 C1 D11 D12 C2 D21 D22 x ω u (2.21)
onde x ∈ ℜn representa o vetor de variáveis de estado, u ∈ ℜm representa o vetor de variáveis saída do sistema de controle, y ∈ ℜp representa o vetor de variáveis de entrada do sistema de controle, w é o vetor de sinais de entrada de desempenho e z é o vetor de sinais de saída de desempenho. Para simplificação, considera-se o termo de transferência direta D22= 0.
O modelo linear da planta em malha aberta em (2.21) é controlado por outro modelo linear que representa K (s), e pode ser expresso por
" ˙ xk yk # = " Ak Bk Ck Dk #" xk uk # (2.22) onde xk ∈ ℜnk é o vetor de variáveis de estado do controlador, uk ∈ ℜp é o vetor de
sinais estabilizantes, yk ∈ ℜm é o vetor de variáveis de saída do controlador.
Combinando o modelo (2.21) com o (2.22), obtém-se o sistema em malha fe-chada da Figura 2.2, o qual pode ser representado na forma de espaço de estado pelo sistema de equação (2.23) "˙ b x z # = " b A bB b C bD #" b x ω # (2.23) onde o vetor bx=hxT xkTiT.
As matrizes bA, bB, bC e bD, são definidas como: b A = " A + B2DkC2 B2Ck BkC2 Ak # (2.24) b B = " B1+ B2DkD21 BkD21 # (2.25) b C =hC1+ D12DkC2 BkD21i (2.26) b D =hD1+ D12DkD21i (2.27) A função de transferência entre o sinal de entrada de desempenho w e o sinal de saída z é dada por
b
T (s) = bCsI – bA–1B + bb D (2.28) A função de transferência (2.28) é utilizada em projetos de controladores cujo objetivo é minimizar os efeitos de perturbações na saída de desempenho, como será mostrado na Seção 4.
2.7.1 Modelo da estrutura do controlador
Neste trabalho a estrutura de controle usada é descentralizada. Nesta estrutura, o controlador K(s) é representado por uma matriz diagonal onde cada submatriz de controle está associada a uma entrada e saída de um controlador. A matriz K(s) pode ser representada da seguinte forma (DO BOMFIM; TARANTO; FALCAO, 2000):
K (s) = " Ak11 Bk11 Ck11 Dk11 # ··· 0 ... ... ... 0 ··· " Akmp Bkmp Ckmp Dkmp # (2.29)
onde p e m são os números de entradas e de saídas, respectivamente, com m = p, e a função de transferência que representa a matriz K(s) de controladores em (2.29) pode ser expressa da seguinte forma
2.8 LOCALIZAÇÃO DE CONTROLADORES DE SISTEMAS DE POTÊNCIA
Os controladores utilizados para aumentar o amortecimento de modos de osci-lação só são efetivos se forem posicionados em lugares adequados do sistema. No caso de PSSs, a questão é determinar em quais máquinas consegue-se uma atuação mais efetiva do controlador sobre o modo de interesse. Nesta seção, são apresentados os métodos convencionais utilizados na literatura para alocação de controladores.
2.8.1 Fatores de participação
As equações de estado que representam o sistema de potência são da seguinte forma
˙
x = Ax + Bu (2.31)
y = Cx + Du (2.32)
onde u é vetor das variáveis de entrada e y o das variáveis de saída. O i-ésimo autovalor do sistema da matriz A da (2.31) é dado por
λi = σi + jωi (2.33)
Sejam Vi e Ui os autovetores a direita e a esquerda, respectivamente, associa-dos ao autovalor (2.33), em que
Ui=hui1 ui2 ui3 ··· uin
iT
(2.34) Vi =hvi1 vi2 vi3 ··· vin i (2.35) A participação do k-ésimo estado na construção da resposta no tempo do i-ésimo modo de oscilação pode ser escrita como (KUNDUR; BALU; LAUBY, 1994):
pik = uik . vik (2.36)
Escolhendo-se a entrada do PSS como variável do estado, o gerador que tiver o maior módulo de fator de participação é considerado como o apropriado para alocar o PSS (LIU, 2006).
2.8.2 Índice de controlabilidade, observabilidade e resíduo
O método de fatores de participação descrito anteriormente não leva em consi-deração as informações contidas nas matrizes B e C do conjunto de equações (2.31) e (2.32). Portanto, os índices de controlabilidade, de observabilidade e os resíduos,
descritos a seguir, são mais adequados para o efeito de alocação de controladores (MARTINS; LIMA, 1990), (LARSEN; SWANN, 1981), (MESSINA; PEREZ; HERNAN-DEZ, 2003) e (PEREZ; MESSINA; FUERTE-ESQUIVEL, 2000).
Os índices de controlabilidade bi e de observabilidade ci associados ao modo de oscilaçãoλi da matriz A da equação (2.31) são definidos como
bi = Vi . B (2.37)
ci = C . Ui (2.38)
onde Vi e Ui são os autovetores a direita e a esquerda, respectivamente do modoλi. O produto entre os índices de controlabilidade bi e de observabilidade ci são definidos como o resíduo Ri do modoλi, ou seja
Ri = bi . ci (2.39)
O resíduo Ri é uma medida de sensibilidade deλi a uma realimentação adicio-nada à função de transferência do sistema. O índice bi está associado à entrada para adicionar o controlador enquanto que o índice ci está associado ao sinal suplementar escolhido. A melhor localização de instalação de PSS é obtida através do maior mó-dulo do índice de controlabilidade ou resíduo (KUNDUR; BALU; LAUBY, 1994) e (LIU, 2006).
2.9 MÉTODOS DE CONTROLE
A função principal do controlador é de garantir a estabilidade do sistema em ma-lha fechada. No caso de estabilidade para pequenas perturbações, busca-se projetar PSSs ou PODs, capazes de prover amortecimento aos modos de oscilação de baixa frequência. Neste trabalho foca-se no projeto de PSSs como fonte de introdução de amortecimento.
Existem vários métodos de controle já consolidados, utilizados para obtenção do controlador. Nesta seção, uma breve exposição dos métodos para o projeto de controladores de sistemas de potência utilizados neste trabalho são apresentados.
2.9.1 Métodos clássicos de controle
Na literatura, são difundidas várias técnicas do projeto de controladores de sistemas de potência baseadas nos métodos clássicos de controle, usualmente pela resposta em frequência ou lugar das raízes. Nas técnicas convencionais, o projeto de controladores é feito apenas para um ponto de operação, tratado como um problema de controle de uma entrada e uma saída (SISO - Single Input Single Output), consi-derando um gerador por vez (KUNDUR; MORISON et al., 1998) (LARSEN; SWANN,
1981), (KUNDUR; KLEIN et al., 1989), (BOLLINGER; WINSOR; CAMPBELL, 1979) e (GUIMARÃES et al., 2000). Uma limitação dos métodos clássicos de controle é que o desempenho dos controladores depende do ponto de operação no qual foi proje-tado. Esta característica dificulta a obtenção de um desempenho desejado para os controladores projetados através de técnicas clássicas.
2.9.2 Métodos de controle robusto
Nos sistemas reais, o desempenho do sistema é severamente sensível às cons-tantes alterações paramétricas, muitas vezes não previstas, que alteram as condições de operação do sistema. As técnicas clássicas de controle mostram-se limitadas para responder à essas alterações. Portanto, há necessidade de projetar controladores ca-pazes de manter a estabilidade do sistema quando observadas essas mudanças. Para isso são empregadas as técnicas de controle robustos, já difusa na literatura. Alguns trabalhos abordando a aplicação das técnicas de controle robusto para o projeto de PSSs são apresentados em (DILL; SILVA, 2012), (SCAVONI et al., 2001), (DOTTA, Daniel; SILVA, Aguinaldo S e; DECKER, Ildemar C, 2009) e (OLIVEIRA; RAMOS; BRETAS, 2005).
2.10 CONCLUSÃO
Neste capítulo, abordou-se de forma resumida os principais aspectos de estu-dos do problema de estabilidade para pequenas perturbações, bem como as ações necessárias para melhoria da mesma.
Foram apresentadas diversas fontes utilizadas para elevação de amortecimento do modo inter-área, tendo sido dada maior ênfase ao PSS, que é a fonte utilizada neste trabalho. Outras fontes como o POD e os links HVDC também têm sido empregadas nos estudos de estabilidades para pequenas perturbações.
A modelagem que resulta no fechamento da malha do sistema P(s) com o controlador K(s), também foi apresentada. Com isso, o problema de estabilidade do sistema pode ser resolvido através da determinação do controlador K(s), utilizando os métodos difundidos na literatura. Nas próximas seções, serão apresentados os métodos de projeto de controladores utilizados neste trabalho.
3 RESSONÂNCIA
3.1 INTRODUÇÃO
A interação entre os modos de oscilação introduz grandes dificuldades no estudo de comportamento dinâmico dos sistemas de potência, sobretudo no que concerne a estabilidade.
A estabilidade do sistema é determinada por intermédio dos modos do sistema. No entanto, os modos são autovalores obtidos através da linearização do sistema em entorno de um ponto de equilíbrio. Quando algum parâmetro do sistema muda, o modelo linearizado também muda, o mesmo acontece com os seus autovalores. Não é incomum que à medida que esse parâmetro muda, dois ou mais pares complexos de autovalores coincidam na frequência e no amortecimento. Essa condição é chamada de ressonância. Existem dois tipos de ressonância, fraca e forte, caracterizadas em função da possibilidade de diagonalização do sistema linearizado no ponto em que ocorre a coincidência dos autovalores. Assim sendo, a ressonância é fraca se o sistema linearizado for diagonalizável na ressonância, caso contrário, a ressonância é dita forte (SEYRANIAN; MAILYBAEV, 2003).
Este capítulo aborda o conceito genérico sobre ressonância forte. Através de exemplos matemáticos, são mostrados o comportamento da trajetória dos autovalores para casos de ressonância forte, bem como a ocorrência de uma ressonância quase forte e a sua trajetória.
3.2 RESSONÂNCIA FORTE DE DOIS PARES COMPLEXOS
A ilustração da teoria de ressonância em um sistema dinâmico pode ser enten-dida como descrito a seguir (DOBSON et al., 2001).
Considere a matriz M representada por (3.1).
M = α β 0 0 µ α 0 0 0 0 α∗ β∗ 0 0 µ∗ α∗ = " Mµ 0 0 M∗ µ # (3.1)
onde as constantesαeβsão números complexos, com β 6= 0, e o parâmetro µé um número complexo que varia em uma faixa pré-determinada. A matriz M é parametrizada pelo parâmetroµ.
A matriz M pode ser dividida em duas submatrizes complexas conjugadas, como, Mµ e Mµ∗, e os autovalores de M fazem parte do conjunto composto pelos autovalores
λ1,2 = α ±pµ β (3.2)
λ∗1,2 = α∗±pµ β∗ (3.3)
Como a matriz M é subdivida em duas submatrizes complexas conjugadas, a análise detalhada de uma das submatrizes, por exemplo, Mµ, representará o
compor-tamento da matriz M∗
µ.
Na expressão (3.2), quando µ= 0, dois autovalores de Mµ coincidem em αe uma condição de ressonância forte ocorre. Para prever o movimento dos autovalores à medida que µ varia a partir de 0, a sensibilidade dos autovalores para µdeve ser analisada (DOBSON et al., 2001).
∂λ1,2 ∂µ = ±
1
2pµ β (3.4)
A medida que o parâmetro µ →0, a sensibilidade dos autovalores tendem a mais ou menos infinito.
Para verificar as características de movimento dos autovalores, um exemplo real pode ser considerado. Com α= –1.5 + 4j, β= 1 – j, a matriz M em (3.1) pode ser expressa como (DOBSON et al., 2001):
M = –1.5 + 4j 1 + j 0 0 µ –1.5 + 4j 0 0 0 0 –1.5 – 4j 1 – j 0 0 µ –1.5 – 4j (3.5)
ondeµpossui apenas a parte real.
Na Figura 3.3 é mostrado o movimento dos autovalores da matriz M quando o parâmetro µvaria de –2 à 2. Como pode ser observado, uma ressonância forte entre dois autovalores ocorre em µ= 0, onde os dois autovalores coincidem em –1.5 + j4. Quando µ aumenta a partir de 0, o movimento de autovalores muda de direção em torno de um ângulo de 90◦. Um autovalor se torna instável após a ressonância.
Em sistemas dinâmicos reais, é incomum a ocorrência da condição de res-sonância forte. No entanto, ocorre uma condição semelhante, comumente chamada de ressonância quase forte. Na seção a seguir, será demonstrada a ocorrência de ressonância quase forte.
Figura 3.3 – Ressonância forte de dois pares complexos
Fonte – (DOBSON et al., 2001)
3.3 RESSONÂNCIA QUASE FORTE DE DOIS PARES COMPLEXOS Considere a seguinte perturbação (DOBSON et al., 2001)
∆M = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 (3.6)
Adicionando a perturbação (3.6) na matriz A em (3.5), tem-se
M′= –1.5 + 4j 1 + j 0 0 µ –1.5 + 4j 1 0 0 0 –1.5 – 4j 1 – j 2 0 µ –1.5 – 4j (3.7)
Com o parâmetro µ variando de –2 a 2, os dois autovalores da matriz M′ se aproximam e rapidamente repelem-se um do outro. Da mesma forma que o movimento da ressonância forte, o movimento dos autovalores muda de direção em torno de um ângulo aproximadamente de 90◦ à medida que µ aumenta a partir de 0, e um dos autovalores se torna instável após a ressonância. Esse fato faz da ressonância quase forte um precursor da instabilidade oscilatória em sistemas reais (DOBSON et al., 2001).
A Figura 3.4 mostra graficamente o movimento dos autovalores da matriz M′ à medida que o parâmetro µvaria de –2 à 2
Figura 3.4 – Ressonância quase forte de dois pares complexos
Fonte – (DOBSON et al., 2001)
As características típicas de um sistema em condição de ressonância quase forte podem ser sumarizada da seguinte forma (DOBSON et al., 2001):
• Os autovalores e autovetores são muito sensíveis às variações de parâmetros. • Uma variação geral de parâmetro faz com que a direção do movimento dos
autovalores no plano complexo gire rapidamente através de um ângulo aproxima-damente reto.
• Os autovetores à direita e à esquerda são quase ortogonais.
• Os autovetores à direita dos dois modos estão quase alinhados. Isso implica que o padrão de oscilação dos dois modos é semelhante.
3.4 RESSONÂNCIA QUASE FORTE DE MODOS DE OSCILAÇÃO EM SISTEMAS DE POTÊNCIA
Como visto na Seção 3.2, a ressonância forte ocorre quando o parâmetroµ= 0. Nesta condição a matriz M em (3.1) pode ser expressa como
Mµ=0= α β 0 0 0 α 0 0 0 0 α∗ β∗ 0 0 0 α∗ (3.8) onde,β 6= 0.
Portanto, comoµé um parâmetro complexo, a ocorrência de ressonância forte requer variação simultânea dos dois componentes do parâmetro µ, ou seja, a parte real e a parte imaginária devem ser ambas iguais a zero. Entretanto, Variando-se apenas um dos componentes do µ, não é possível encontrar uma ressonância forte, mas o sistema pode passar próximo a uma região de ressonância forte e causar o comportamento semelhante (DOBSON et al., 2001).
Os sistemas elétricos modernos tendem a operar sob várias condições e pró-ximo aos seus limites de operação. Essa variedade de condições operacionais pode ocorrer devido ao aumento de intercâmbio de energia elétrica entre as áreas do sis-tema, originado como consequência do aumento da demanda. A variação de um parâ-metro do sistema, como por exemplo, o fluxo de potência ativa entre as áreas, muda o modelo linear e seus respectivos modos, podendo provocar a aproximação e interação dos modos de oscilação bem amortecidos, e um dos modos tornar-se instável após a interação, e causar oscilações de baixa frequência. Essas oscilações, no entanto, podem limitar a transferência de potência de potência entre as áreas (DOBSON et al., 2001).
A ocorrência de condições de ressonância quase forte em sistemas de potência de 3 e 9 barras é discutida em (DOBSON et al., 2001), no sistema de 2 áreas e 4 máquinas é abordada em (GHAREBAGHI; GHAZI, 2013), (LIU; MESSINA; VITTAL, 2005), (LIU, 2006) e (LIU; MESSINA; VITTAL, 2006) e em sistemas de potência de 3 máquinas e 10 barras, 4 máquinas e 11 barras é apresentada em (JYOTHSNA, T.; VAISAKH, 2011) e (JYOTHSNA, Tummala R; VAISAKH, 2013).
3.5 ÍNDICE DE ALINHAMENTO DOS AUTOVETORES
Na ressonância quase forte, usando o método de fatores de participação, é difícil distinguir a natureza dos dois modos que interagem, em torno do centro de interação. Esse fato é devido ao crescimento do acoplamento entre os modos. Como solução, é feito o rastreamento do amortecimento de todos os modos de oscilação do sistema
em pontos de operação antes e após o centro de interação (GHAREBAGHI; GHAZI, 2013).
Uma das características típicas de um sistema em condição de ressonância quase forte, é o alinhamento entre os autovetores associados aos modos envolvidos na ressonância, no centro de interação. Usando essa informação, é proposta neste trabalho, a métrica (3.9) para o rastreamento do ângulo entre os autovetores dos modos de oscilação do sistema.
Ii,j= 〈Vi.Vj〉
kVik.kVjk (3.9)
onde Vi e Vj são autovetores à direita associados aos modos i e j, respectivamente. A expressão (3.9) representa o cosseno do ângulo entre os autovetores Vi e Vj (CHEN, 1998). Portanto, os dois autovetores estarão alinhados se Ii,j≃1, que corresponde ao ângulo de aproximadamente zero grau entre eles.
3.6 CONTROLE DE MODOS ENVOLVIDOS NA RESSONÂNCIA QUASE FORTE Na ressonância quase forte, devido à interação de modos do sistema, as osci-lações em uma parte do sistema podem excitar unidades em outra parte do sistema, ocasionando conclusões não adequadas quanto à controlabilidade das oscilações ob-servadas, e como consequência, a adição de PSSs nas máquinas consideradas pelos métodos convencionais não introduzem o amortecimento esperado no modo de inte-resse. Uma razão clara para essa falha é que, os métodos convencionais de alocação de PSSs são baseados nas informações de autovetores associados aos autovalores do sistema, e como na ressonância quase forte os autovalores do sistema são quase idênticos, portanto, os autovetores não são únicos, fazendo com que os fatores de par-ticipação, autovetores e resíduos forneçam informações incorretas (KLEIN; ROGERS; MOORTY et al., 1992).
Liu, Messina e Vittal (2005), fazem o uso de fatores de participação, mode-shapes e resíduos, para identificar a melhor localização para instalação de PSSs, e concluem que as informações incorretas sobre alocação dos controladores fornecidas pelos métodos convencionais são devidos à não consideração dos aspectos de não linearidades do sistema, tornando difícil a tarefa de estabilizar o modo crítico. No entanto, propõem o uso da teoria da forma normal para caracterizar e quantificar a interação modal não linear perto de equilíbrios críticos, a fim de identificar os aspectos não lineares de interesse na análise e projeto de PSSs e na avaliação de margens de estabilidade. Os autores estendem a formulação apresentada no trabalho anterior e concentram-se no uso da teoria da forma normal para determinar a melhor seleção de unidades geradoras a serem equipadas com PSSs (LIU; MESSINA; VITTAL, 2006).
Em (GHAREBAGHI; GHAZI, 2013) os autores verificam que, a conclusão apre-sentada em (LIU; MESSINA; VITTAL, 2005) e (LIU; MESSINA; VITTAL, 2006) sobre os efeitos de não-linearidade, é devido à não consideração do impacto resultante da interação dos modos ao passar próximo a uma ressonância forte. Para simplificar o problema, sugerem o uso da parte real de fatores de participação como um índice para identificação de máquinas adequadas para alocação de PSSs em condições de resso-nância quase forte. Neste caso, a magnitude da parte real de fatores de participação indica a contribuição da máquina nas oscilações do modo, e o seu sinal identifica o desempenho do PSS na estabilização do modo.
TR Jyothsna e Vaisakh (2011) e Tummala R Jyothsna e Vaisakh (2013), utilizam o PSS e o SSSC (Static Synchronous Series Compensator - SSSC), respectivamente, no problema de controle de instabilidade oscilatória provocada pela ocorrência de res-sonância quase forte. Os autores concluem que a escolha apropriada dos parâmetros para o ajuste ideal do controlador, deve levar em consideração o efeito da interação entre os modos envolvidos.
3.7 CONCLUSÃO
Neste capítulo, discutiu-se o problema de ressonância forte, e através da con-sideração de uma perturbação, foi obtida a condição de ressonância quase forte. Foi mostrado matematicamente, como a variação de um parâmetro do sistema pode afetar fortemente o equilíbrio do mesmo, alterando a sua linearização. Como consequên-cia, em algum ponto de operação, os autovalores podem coincidir na frequência e no amortecimento, causando a ressonância forte.
Foi mostrado geometricamente como os autovalores tornam-se sensíveis a va-riação de algum parâmetro do sistema próximo a região de ressonância, provocando uma repulsão dos autovalores cujas trajetórias mudam em um ângulo de aproximada-mente 90◦. Após a interação, um dos autovalores perde o amortecimento até cruzar o eixo imaginário, causando instabilidade oscilatória.
Também foi visto que, o desempenho dos PSSs pode ser afetado devido à forte interação entre os modos envolvidos na ressonância. Portanto, controlar esses modos torna a tarefa de controle mais difícil.
4 MÉTODOS DE PROJETO DE CONTROLADORES
4.1 INTRODUÇÃO
Este capítulo apresenta os métodos utilizados para projetar os controladores de interesse neste trabalho. Para o controle clássico, foi utilizada a técnica baseada no critério de Nyquist, no caso, método de posicionamento parcial de par de pólos complexos conjugados, que consiste em fixar um par de pólos na posição desejada de modo a garantir boa margem de estabilidade do sistema. Para o controle robusto, são utilizadas as técnicas baseadas na otimização dos índices de desempenho e robustez, como, a abscissa espectral, o raio de estabilidade e a norma H∞. Nas seções a seguir é feita uma revisão desses métodos.
4.2 MÉTODO DE POSICIONAMENTO PARCIAL DE PAR DE PÓLOS COMPLEXOS CONJUGADOS
A aplicação do método de posicionamento de pólos em sistemas de potência é muito difundido. Dentre diversas metodologias propostas na literatura pode-se citar as desenvolvidas em (FREITAS; SILVA; COSTA, 1995), (FURINI; PEREIRA; ARAUJO, 2011), (GOMES JR; MARTINS; PINTO, 1998), (GUIMARÃES et al., 2000) e (CHEN, 1998).
Neste trabalho o projeto de controladores pelo método de posicionamento de um par parcial de pólos complexos conjugados utilizado é apresentado em (GUIMA-RÃES et al., 2000) que é uma extensão do método apresentado em (GOMES JR; MARTINS; PINTO, 1998). Os autores utilizam a metodologia que considera os critérios de estabilidade de Nyquist com especificação de amortecimento do modo desejado para determinação dos parâmetros do PSS, cuja estrutura é formada por blocos de avanço-atraso.
O posicionamento parcial de pólos é feito através da adição de uma realimenta-ção de saída com blocos de avanço-atraso de fase, com o objetivo de deslocar pólos indesejáveis para uma posição desejável (GUIMARÃES et al., 2000).
Considerando-se w = 0 no sistema realimentado na Figura 2.2, tem-se o caso particular representado pela Figura 4.5.
Figura 4.5 – Diagrama esquemático de P(s) realimentado por K (s)
Fonte – (GUIMARÃES et al., 2000)
A função de transferência entre a saída y(s) e a entrada u(s) do sistema reali-mentado, mostrado na Figura 4.5 pode ser escrita como
y(s) u(s)=
P(s)
1 + P(s)K (s) (4.1)
Para que a função de transferência (4.1) tenha um par de pólos posicionado em s =σ ±jω, o denominador da expressão deve ser igual a zero nesta posição, ou seja:
1 + P(s)K (s) = 0 ou P(s)K (s) = –1 (4.2)
Para que a equação (4.2) seja atendida, duas condições são necessárias:
6 P(s)K (S) = 180◦ e P(s)K (S) = 1 (4.3) A forma geral de representação do controlador K (s) é:
K (s) = kc1+1 + TsαTs
n
(4.4) A função atraso ou avanço de fase do sistema é definida pela constanteα. Neste caso, se 0 <α< 1, a fase do sistema sofre um atraso, e se α> 1, tem-se um avanço de fase. A constante n na expressão (4.4) é determinada através do tamanho do ânguloφ de compensação de fase. Cada bloco avanço-atraso compensa no máximo um ângulo φ= 60◦. Caso o ângulo a ser compensado seja maior que este valor, pode-se utilizar n blocos avanço-atraso em série, cujo ângulo total a avançar ou atrasar é de nφ.
Na metodologia proposta por GUIMARÃES et al. (2000), o ângulo de compen-sação é calculado considerando-se primeiramente o bloco wash-out em série com a planta.
