Identificação de modelos lineares para dinâmica de elastomassas MEMS utilizando critérios da modelagem caixa preta

Texto

(1)0. UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL. Cícero José Matuella Moreira. IDENTIFICAÇÃO DE MODELOS LINEARES PARA DINÂMICA DE ELASTOMASSAS MEMS UTILIZANDO CRITÉRIOS DA MODELAGEM CAIXA PRETA. Ijuí 2013.

(2) 1. CÍCERO JOSÉ MATUELLA MOREIRA. IDENTIFICAÇÃO DE MODELOS LINEARES PARA DINÂMICA DE ELASTOMASSAS MEMS UTILIZANDO CRITÉRIOS DA MODELAGEM CAIXA PRETA. Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática na Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – UNIJUÍ – como parte dos requisitos necessários para a obtenção do Grau de Mestre em Modelagem Matemática Orientador: Prof. Dr.Manuel Martín Pérez Reimbold Co-Orientador: Prof. Dr. Airam T. Z. Romcy Sausen. Ijui 2013.

(3) 2.

(4) 3 AGRADECIMENTOS. Quero agradecer primeiramente a Deus, não por clichê, mas de verdade mesmo. Sem Deus, eu não estaria aqui. Há momentos em nossa trajetória que pensamos em desistir e Ele nos dá força e ânimo para superar as dificuldades. Aos meus pais, José e Sirlei, por terem me proporcionado a oportunidade de estudar, acreditar nas escolhas que fiz e por tudo que abriram mão por mim. Um agradecimento especial a minha namorada Franciele, pelo amor, por ser paciente na minha ausência e pela compreensão com minhas dificuldades, minhas loucuras e por me dividir com a matemática. Gostaria de expressar a minha mais sincera gratidão ao meu orientador, professor Dr. Manuel Martín Pérez Reimbold, o Manolo. Obrigado por ter me aceitado como orientando. Obrigado por me ajudar e motivar. Pela confiança depositada em meu trabalho, mesmo quando demorei em mostrar resultados. O senhor me proporcionou um amadurecimento tanto profissional, quanto pessoal, tornando-se um valioso amigo ao longo do mestrado. Aos professores da Unijuí e UPF que estiveram presentes nas etapas que me fizeram chegar até aqui. Aos meus colegas da turma 2011. Foi um prazer conhece-los e estudar com vocês. Ao colega Marlon Machado, meu irmão emprestado, pela amizade sincera, discussão, troca de ideias e as palavras de coragem quando batia o desânimo. Aos colegas Cássia e Paulo, companheiros de nivelamento, infelizmente seguimos caminhos diferentes, mas que estão em paralelo. Aos amigos que não vou citar em virtude do espaço, mas que sabem que contribuíram de alguma forma em minha caminhada. Novamente a Deus, por colocar as pessoas, citadas acima, em minha vida. Agradeço ao apoio financeiro da CAPES..

(5) 4. “Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo real.” Nikolai Ivanovich Lobachevsky “Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam seriamente esta ciência acabam tomados de uma espécie de paixão pela mesma. Em verdade, o que proporciona o máximo de prazer não é o conhecimento e sim a aprendizagem, não é a posse, mas a aquisição, não é a presença, mas o ato de atingir a meta.” Carl Friedrich Gauss.

(6) 5 RESUMO. Os MEMS (MicroElectroMechanical Systems) fazem parte de uma tecnologia que vem conquistando o mercado mundial. Seu desempenho, confiabilidade e economia de energia são suas principais características. O interesse comercial nesta tecnologia movimenta bilhões de dólares ao ano. Esta crescente demanda de MEMS exige que cada dispositivo seja testado, garantindo a qualidade de todos os dispositivos que vão para o mercado. Porém o custo dos testes é elevado, podendo chegar a 50% do custo dependendo da complexidade da estrutura. Os sensores MEMS, principalmente os de ação inercial, necessitam diversos testes baseados em estímulos físicos. Com a finalidade de reduzir os custos dos testes, a simulação fornecida pela modelagem matemática se apresenta como uma ferramenta de baixo custo. Porém os conhecimentos físicos da escala micrométrica são limitados. Uma alternativa para superar estes problemas é a identificação de sistemas. A identificação é uma técnica não invasiva que obtém o modelo matemático que explica de forma aproximada, a relação de causa e efeito entre dados observados. Por isso, este trabalho propõe o uso da identificação de sistemas para representar o modelo comportamental de MEMS baseados em deformação elástica. São identificados dois conjuntos de modelos: ARX para sistemas sem ruído e ARMAX para sistemas com ruído. Na maioria dos casos os modelos apresentaram desempenho eficiente. Apenas um dos casos do modelo ARMAX apresentou desempenho abaixo do esperado. Os resultados são validados através da análise do desempenho comportamental e análise do erro percentual. Logo, as técnicas utilizadas se mostram práticas e validas na identificação do modelo de um dispositivo MEMS. Palavras chave: Identificação de Sistemas, Econometria, Modelos Autorregressivos, Elastomassas, Autocorrelação.

(7) 6. ABSTRACT. MEMS (MicroElectroMechanical Systems) are part of a technology that is conquering the global market. Their performance, reliability and power saving are its main features. The commercial interest in this technology moves billions of dollars a year. This growing demand for MEMS requires that each device must be tested, ensuring the quality of all devices that go to market. However, the cost of testing is elevated, reaching 50% of the cost depending on the structure complexity. MEMS sensors, especially the inertial action, requires several tests based on physical stimuli. In order to reduce the test costs, the simulation provided by mathematical modeling is presented as an inexpensive tool. But physical knowledge of the micrometer scale is limited. An alternative to overcome these problems is the systems identification. System identification is a noninvasive technique which obtains the mathematical model that approximately explains the cause and effect between the observed data. Therefore this work proposes the use of system identification to represent the behavioral model of MEMS based in elastic deformation. Two set of models are identified: ARX for systems without noise and ARMAX for systems with noise. In most cases, the models showed efficient performance. Only one case of ARMAX model presented underperformance. The results are validated through the analysis of behavioral performance and analysis of the percentage error. Thus, the shown techniques are practical and valid in identify MEMS device model. Key Word: System Identification, Econometrics, Autorregressive models, Micro-Nuclei, Autocorrelation..

(8) 7 LISTA DE FIGURAS. Figura 1.1 – Mercado global de MEMS para tablets e celulares (em milhões) ....................... 16 Figura 1.2 - Receita dos principais fornecedores de MEMS para tablets e celulares em 2011 (em milhões). Discriminação por tipo de produto .................................................................... 22 Figura 2.1 - Wafer de silício ..................................................................................................... 21 Figura 2.2 - Aplicações automotivas de MEMS. Sensores inerciais (verde), sensores de fluxo e pressão (azul), sensores de rádio frequência (vermelho). ......................................................... 23 Figura 2.3 - Funcionamento de um sensor Bio-MEMS ........................................................... 24 Figura 2.4 - CardioMEMS: Aplicação de sensores no corpo humano. .................................... 25 Figura 2.5 - Produção de MEMS inerciais nas áreas automotivas e de produtos eletrônicos. . 27 Figura 2.6 - MEMS presentes em um Smartphone com pico projetor. .................................... 27 Figura 2.7 - Concepção do modelo analítico de atuadores eletrostáticos MEMS. ................... 28 Figura 2.8 - Atuador eletrostático MEMS (a) parâmetros concentrados, (b) corpo livre......... 29 Figura 3.1 - Diagrama de um sistema estudado pela identificação de sistemas ....................... 32 Figura 3.2 - Estruturas das Elastomassas MEMS. (a) Ponte Simples; (b) Ponte Dupla; (c) Dobradiça.................................................................................................................................. 34 Figura 3.3 - Geometria da estrutura Ponte Simples desenvolvida no software ANSYS. ......... 35 Figura 3.4 - Geometria da estrutura Ponte Dupla desenvolvida no software ANSYS. ............ 36 Figura 3.5 -Geometria da estrutura Dobradiça desenvolvida no software ANSYS. ................ 36 Figura 3.6 - Representação esquemática do modelo AR(p) ..................................................... 48 Figura 3.7 - Representação esquemática do modelo MA(q) .................................................... 49 Figura 3.8 - Representação esquemática do modelo ARMA(p,q)............................................ 49 Figura 3.9 - Representação esquemática do modelo ARX ....................................................... 50 Figura 3.10 - Representação esquemática do modelo ARMAX(p,q,r) .................................... 50 Figura 3.11- Representação esquemática do modelo ARIMA(p,d,q) ...................................... 51 Figura 3.12 - Representação esquemática do modelo ARIMAX(p,d,q,r) ................................ 52 Figura 4.1 - Função de Autocorrelação Parcial: Sinais de entrada sem ruído. ......................... 64 Figura 4.2 - Comparação entre as dinâmicas dos modelos identificados e os dados da plataforma. Experimento 01 – (a) ARX(2,1) (b) ARX(2,2) (c) ARX(3,1) (d) ARX(3,2) ....... 67 Figura 4.3 - Comparação entre as dinâmicas dos modelos identificados e os dados da plataforma. Experimento 02 – (a) ARX(2,1) (b) ARX(2,2) (c) ARX(3,1) (d) ARX(3,2) ....... 68.

(9) 8 Figura 4.4 - Comparação entre as dinâmicas dos modelos identificados e os dados da plataforma. Experimento 03 – (a) ARX(2,1) (b) ARX(2,2) (c) ARX(3,1) (d) ARX(3,2) ....... 69 Figura 4.5 - Erro Percentual dos modelos identificados – Experimento 01 ............................. 70 Figura 4.6 - Erro Percentual dos modelos identificados – Experimento 02 ............................. 71 Figura 4.7 - Erro Percentual dos modelos identificados – Experimento 03 ............................. 72 Figura 4.8 - Comparação entre as dinâmicas dos modelos identificados e os dados da plataforma. Experimento 04 – (a) ARX(2,1) (b) ARX(2,2) (c) ARX(3,1) (d) ARX(3,2) ....... 75 Figura 4.9 - Comparação entre as dinâmicas dos modelos identificados e os dados da plataforma. Experimento 05 – (a) ARX(2,1) (b) ARX(2,2) (c) ARX(3,1) (d) ARX(3,2) ....... 76 Figura 4.10 - Comparação entre as dinâmicas dos modelos identificados e os dados da plataforma. Experimento 06 – (a) ARX(2,1) (b) ARX(2,2) (c) ARX(3,1) (d) ARX(3,2) ....... 77 Figura 4.11 - Erro Percentual dos modelos identificados – Experimento 04 ........................... 78 Figura 4.12 - Erro Percentual dos modelos identificados – Experimento 05 ........................... 79 Figura 4.13 - Erro Percentual dos modelos identificados – Experimento 06 ........................... 80 Figura 4.14 - Comparação entre as dinâmicas dos modelos identificados e os dados da plataforma – Experimento 07 (a) ARX(2,1,1) (b) ARX(3,1,1) ................................................ 83 Figura 4.15 - Comparação entre as dinâmicas dos modelos identificados e os dados da plataforma – Experimento 08 (a) ARMAX(2,1,1) (b) ARMAX(3,1,1) ................................... 83 Figura 4.16 - Comparação entre as dinâmicas dos modelos identificados e os dados da plataforma – Experimento 09 (a) ARMAX(2,1,1) (b) ARMAX(3,1,1) ................................... 83 Figura 4.17 - Erro Percentual dos modelos identificados – Experimento 07 ........................... 84 Figura 4.18 - Erro Percentual dos modelos identificados – Experimento 08 ........................... 85 Figura 4.19 - Erro Percentual dos modelos identificados – Experimento 09 ........................... 86 Figura 4.20 - Comparação entre as dinâmicas dos modelos identificados e os dados da plataforma – Experimento 10 (a) ARMAX(2,1,1) (b) ARMAX(3,1,1) ................................... 88 Figura 4.21 - Comparação entre as dinâmicas dos modelos identificados e os dados da plataforma – Experimento 11 (a) ARMAX(2,1,1) (b) ARMAX(3,1,1) ................................... 88 Figura 4.22 - Comparação entre as dinâmicas dos modelos identificados e os dados da plataforma – Experimento 12 (a) ARMAX(2,1,1) (b) ARMAX(3,1,1) ................................... 88 Figura 4.23 - Erro Percentual dos modelos identificados – Experimento 10 ........................... 89 Figura 4.24 - Erro Percentual dos modelos identificados – Experimento 11 ........................... 90 Figura 4.25 - Erro Percentual dos modelos identificados – Experimento 12. 89.

(10) 9 LISTA DE TABELAS. Tabela 3.1 – Sinais testes para sistemas ................................................................................... 38 Tabela 4.1 - Organização das simulações e coleta de dados realizadas no software ANSYS ® .................................................................................................................................................. 63 Tabela 4.2 - Parâmetros estimados nos modelos identificados para o Experimento 01 ........... 66 Tabela 4.3 - Parâmetros estimados nos modelos identificados para o Experimento 02 ........... 66 Tabela 4.4 - Parâmetros estimados nos modelos identificados para o Experimento 03 ........... 66 Tabela 4.5 – Índices estatísticos dos modelos identificados para o Experimento 01 ............... 70 Tabela 4.6 - Índices estatísticos dos modelos identificados para o Experimento 02................ 71 Tabela 4.7 - Índices estatísticos dos modelos identificados para o Experimento 03................ 73 Tabela 4.8 -Parâmetros estimados nos modelos identificados para o Experimento 04 ............ 73 Tabela 4.9 - Parâmetros estimados nos modelos identificados para o Experimento 05 ........... 74 Tabela 4.10 - Parâmetros estimados nos modelos identificados para o Experimento 06 ......... 74 Tabela 4.11 - Índices estatísticos dos modelos identificados para o Experimento 04.............. 78 Tabela 4.12 - Índices estatísticos dos modelos identificados para o Experimento 05.............. 79 Tabela 4.13 - Índices estatísticos dos modelos identificados para o Experimento 06.............. 80 Tabela 4.14 - Parâmetros estimados nos modelos identificados para o Experimento 07 ......... 82 Tabela 4.15 - Parâmetros estimados nos modelos identificados para o Experimento 08 ......... 82 Tabela 4.16 - Parâmetros estimados nos modelos identificados para o Experimento 09 ......... 82 Tabela 4.17 - Índices estatísticos dos modelos identificados para o Experimento 07.............. 84 Tabela 4.18 - Índices estatísticos dos modelos identificados para o Experimento 08.............. 85 Tabela 4.19 - Índices estatísticos dos modelos identificados para o Experimento 09.............. 86 Tabela 4.20 - Parâmetros estimados nos modelos identificados para o Experimento 10 ......... 87 Tabela 4.21 - Parâmetros estimados nos modelos identificados para o Experimento 11 ......... 87 Tabela 4.22 - Parâmetros estimados nos modelos identificados para o Experimento 12 ......... 87 Tabela 4.23 - Índices estatísticos dos modelos identificados para o Experimento 10.............. 89 Tabela 4.24 - Índices estatísticos dos modelos identificados para o Experimento 11.............. 90 Tabela 4.25 - Índices estatísticos dos modelos identificados para o Experimento 12.............. 91.

(11) 10 LISTA DE ABREVIATURAS. ACF. Função de Autocorrelação (Auto Correlation Function). ANSYS. Analysis System. AR. Autorregressivo (Autoregressive). ARIMA. Autorregressivo Integrado de Média Móvel (Autoregressive Integrated Moving Avarage). ARIMAX. Autorregressivo Integrado de Média Móvel com Entradas Exógenas (Autoregressive Integrated Moving Avarage with Exogenous Inputs). ARMA. Autorregressivo de Média Móvel (Autoregressive Moving Avarage). ARMAX. Autorregressivo de Média Móvel com Entradas Exógenas (Autoregressive Moving Avarage with Exogenous Inputs). ARX. Autorregressivo com Entradas Exógenas (Autoregressive with Exogenous Inputs). BEM. Método de Elementos de Fronteira (Boundary Element Method). BIOMEMS. Sistemas Microeletromecânicos Biológicos (Biological Microelectromechanical Systems). ELS. Mínimos Quadrados Estendidos (Extended Least Squares ). FEM. Método de Elementos Finitos (Finite Element Method). GPS. Sistema de Posicionamento Global (Global Positioning System). IDG. International Data Group. MAD. Desvio Médio Absoluto (Mean Absolute Deviation). MAPE. Erro Percentual Absoluto Médio (Mean Absolute Percentual Error). MATLAB. Matrix Laboratory. MEMS. Sistemas Microeletromecânicos (Microelectromechanical Systems). MPE. Erro Percentual Médio (Mean Percentual Error). MQ. Mínimos Quadrados (Least Squares - LS). MSE. Erro Quadrático Médio (Mean Square Error). ODE. Equação Diferencial Ordinária (Ordinary Differential Equations). PACF. Função de Autocorrelação Parcial (Partial Auto Correlation Function).

(12) 11 PE. Erro Percentual (Percentual Error – PE). RF. Rádio Frequência (Radio Frequency). RMSE. Raiz do Erro Quadrático Médio (Root Mean Square Error).

(13) 12 LISTA DE SÍMBOLOS. . Coeficiente de amortecimento. . Constante. . / ( ).

(14) / ()

(15).

(16) / () . Coeficiente de rigidez/elasticidade Defasagem (lag) Entrada em função do tempo (tempo contínuo). Entrada no instante (tempo discreto). Erro do modelo / Resíduo no instante . Erro do modelo / Resíduo no instante (tempo discreto) Esperança matemática. . Frequência com amortecimento. . Frequência natural. . ( ) . Frequência do sinal Função impulso / Delta de Dirac Grau/Ordem do operador diferença Grau/Ordem do polinômio de operadores de atraso referente à entrada. . Grau/Ordem do polinômio de operadores de atraso referente à saída. . Instante do tempo. . Δ . Grau/Ordem do polinômio de operadores de atraso referente ao ruído Intervalo de tempo discreto Massa. . Média. . Operador de avanço (Forward lag operator) de ordem . ∇. Operador diferencial discreto. Δ !. "(). #

(17) / #(). $ / $( ) $%(). Operador de atraso (Backward lag operator) de ordem . Operador Delta / Operador Diferença (Delta operator). Operador soma (Sum operator) Polinômio de operador de atraso. Ruído branco no instante (tempo discreto). Saída em função do tempo (tempo contínuo). Saída estimada no instante (tempo discreto).

(18) 13 $

(19) / $() &. Saída no instante (tempo discreto) Taxa de amostragem. Tempo contínuo.

(20). Termo de Autocorrelação. '& (

(21)

(22) ). Tempo de amostragem Termo de Autocorrelação Parcial Unidade de força Newton. *. Variável dinâmica de saída. ,

(23). Vetor de regressores. +. Vetor de parâmetros.

(24) 14 SUMÁRIO. 1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 16 1.1 Mercado Mundial de MEMS ........................................................................................... 16 1.2 Motivação ....................................................................................................................... 18 1.3 Objetivo .......................................................................................................................... 19 1.4 Contribuições .................................................................................................................. 19 1.5 Organização do Trabalho ............................................................................................... 20 2 SISTEMAS MICRO ELETROMECÂNICOS (MEMS) ................................................. 21 2.1 Aplicação de MEMS ....................................................................................................... 22 2.1.1 Aplicações automotivas .......................................................................................... 23 2.1.2 Biotecnologia e medicina ....................................................................................... 24 2.1.3 Comunicação .......................................................................................................... 26 2.1.4 Produtos eletrônicos ............................................................................................... 26 2.2 Modelagem Caixa-Branca clássica de MEMS ................................................................ 28 3 MODELAGEM MATEMÁTICA ...................................................................................... 31 3.1 Introdução a Identificação de Sistemas ........................................................................... 31 3.2 Testes dinâmicos e coleta de dados ................................................................................. 33 3.2.1 Plataforma de Testes ............................................................................................... 33 3.2.2 Sinais Testes ........................................................................................................... 37 3.2.3 Escolha do tempo de amostragem .......................................................................... 39 3.3 Análise de Séries Temporais ........................................................................................... 39 3.4 Classe de Modelos Autoregressivos ................................................................................ 40 3.4.1 Estacionariedade ..................................................................................................... 42 3.4.2 Operador de Atraso (Lag Operator) ....................................................................... 43 3.4.3 Operador de Avanço (Forward Lag Operator) ...................................................... 45 3.4.4 Operador Diferença (Difference Operator) ............................................................ 46 3.4.5 Operador Soma (Summation Operator) ................................................................. 46 3.4.6 Aplicação dos Operadores ...................................................................................... 47 3.5 Representações dos modelos autorregressivos ................................................................ 47 3.5.1 Modelos AR(p) e ARMA(p,q)................................................................................ 47 3.5.2 Modelo ARX(p,r) e ARMAX(p,q,r) ...................................................................... 50.

(25) 15 3.5.3 Modelo ARIMA (p,d,q) e ARIMAX (p,d,q,r)........................................................ 51 3.6 Escolha da ordem do Modelo .......................................................................................... 52 3.6.1 Função de Autocorrelação (ACF) e Autocorrelação Parcial (PACF) .................... 52 3.7 Estimação de parâmetros ................................................................................................. 54 3.7.1 Método dos Mínimos Quadrados (LS) ................................................................... 54 3.7.2 Estimador de mínimos quadrados estendidos (ELS) .............................................. 56 3.8 Validação do modelo ....................................................................................................... 58 3.8.1 Métodos subjetivos ................................................................................................. 58 3.8.2 Métodos quantitativos............................................................................................. 60 3.8.3 Índices de erro ........................................................................................................ 61 4 RESULTADOS OBTIDOS ................................................................................................. 63 4.1 Resultados e validação do Modelo ARX......................................................................... 63 4.2 Resultados e validação do Modelo ARMAX .................................................................. 81 CONCLUSÃO......................................................................................................................... 92 REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 95.

(26) 16 1 INTRODUÇÃO. 1.1 Mercado Mundial de MEMS A constante evolução na área de microestruturas, com a miniaturização de sistemas mecânicos, oferece oportunidades para o progresso tecnológico e científico, e consolida um novo ramo nas indústrias, denominado MEMS (Micro Electro Mechanical System – Sistemas Micro Eletromecânicos). A aplicação destes transdutores é ampla nas diversas áreas da ciência como: biotecnologia, medicina e telecomunicações. Na última década houve um aumento na utilização de MEMS em sistemas eletrônicos, tais como smartphones e tablets. Atualmente dentre estes dispositivos se destacam os acelerômetros. Estes trocam automaticamente a orientação da tela de retrato para paisagem. Outro dispositivo que cabe destacar é o magnetômetro, utilizado em serviços baseados em localização, como o GPS (Global Positioning System – Sistema de Posicionamento Global). Sensores inerciais, como o giroscópio, permitem a criação de aplicativos controlados por movimento e realidade aumentada (JOHNSON, 2012). A adoção de sensores MEMS nesses dispositivos móveis triplicou de 2009 para 2011, conforme é mostrado na Figura 1.1. Figura 1.1 – Mercado global de MEMS para tablets e celulares (em milhões). Fonte: Adaptado de MEMS Trends Issue nº 11 (2012).

(27) 17 Estima-se que as vendas de MEMS para dispositivos móveis aumentarão cerca de 20% anualmente nos próximos cinco anos. A previsão de vendas para 2017 é de 5,4 bilhões de dólares (MEMS’ Trends, 2012; JOHNSON, 2012). A utilização dos MEMS em aparelhos portáteis é recente, impulsionada pelas reduções de custo, tamanho e consumo de energia dos componentes, causando um rápido crescimento do setor, atingindo um rendimento de 7,1 bilhões de dólares em 2010, 22% a mais que 2009 (IDG Now!, 2012). Jeff Hilbert, diretor executivo e fundador da companhia WiSpry, afirma que a novidade em dispositivos móveis são os MEMS de rádio frequência (RF MEMS). Estes ajustam a conexão, assegurando que o aparelho esteja transmitindo e recebendo ondas de forma eficiente, o que evita queda de ligações e maior duração de bateria (IDG Now!, 2012). Espera-se que a indústria de RF MEMS cresça 200 vezes mais até 2015, à medida que os aparelhos adotem estes componentes (IDG Now!, 2012). No setor automotivo, os principais fornecedores de sensores MEMS obtiveram entre 15% e 20% de crescimento. As leis governamentais exigem a instalação de unidades eletrônicas de controle de estabilidade e o uso de aribags em todos os automóveis (MEMS Trends Issue nº10, 2012). É possível ver o crescimento das empresas fabricantes de MEMS com base nos rendimentos obtidos no ano de 2011, conforme a figura 1.2. Figura 1.2 - Receita dos principais fornecedores de MEMS para tablets e celulares em 2011 (em milhões). Discriminação por tipo de produto. Fonte: Adaptado de MEMS Trends Issue nº 11 (2012).

(28) 18 1.2 Motivação Os MEMS são amplamente utilizados em diversas áreas, cada vez mais impulsionando inovações tecnológicas e conquistando o mercado mundial, portanto, a confiabilidade do dispositivo é fundamental para a indústria. Os sensores inerciais MEMS, como acelerômetros e giroscópios, estão entre os dispositivos mais desafiadores para serem testados, pois sua caracterização requer uma variedade de estímulos físicos (MEMS Journal, 2011). Nesse sentido, surgiram desafios e oportunidades para a mecânica e pesquisa dinâmica das microestruturas, tais como simulações numéricas precisas, projeto, ensaios de vibração e mecanismos de dissipação têm sido revistos e estudados na literatura técnica (LIN; WANG, 2006). Os testes fornecem aos desenvolvedores de MEMS as ferramentas necessárias para avaliações rápidas e precisas, tanto para o desenvolvimento quanto para a produção (MEMS Journal, 2011). Porém a falta de normas de ensaio está aumentando os custos e a agilidade na criação de novos MEMS. Os gastos com os testes é, em média, 22% do custo do dispositivo, porém, quanto mais complexo é o dispositivo, mais elevados são os valores para testá-los, podendo atingir até 50% do custo. (MEMS Industry Group, 2011). Os principais desafios para os testes de MEMS inerciais é desenvolver o hardware da plataforma de movimento e os protocolos de teste (MEMS Journal, 2011). De acordo com Romanowicz (1998) modelagem, simulação e otimização de MEMS antes da fabricação, apesar de muitas vezes ser complexa não deixa de ser rentável. Diferentes pesquisas foram realizadas visando os MEMS, principalmente nas últimas duas décadas. Entre essas pesquisas cabe salientar as publicações focadas na fabricação de dispositivos MEMS: Yao et al (1992), Shaw et al (1993) e Chen (2008). Nestas investigações a base do estudo é o processo de litografia, o método de construção dos MEMS por camadas, de estruturas compostas por poli silício. Também se destacam as pesquisas na área de modelagem e simulação: Zhang (1991), Shi et al (1995), Ardito et al (2011) e Tarabini et al (2011). Ainda na área da modelagem, evidenciam os trabalhos de Reimbold (2006) e Bedendo (2012), os quais estudam técnicas de identificação para modelagem matemática de MEMS. O comportamento de MEMS é extremamente sensível à geometria e tensões físicas aplicadas, devido ao seu tamanho. Portanto, a modelagem matemática torna-se uma técnica de grande importância para a compreensão física destes sistemas. Como o conhecimento dos fenômenos da escala micro ultrapassa o limite da física clássica, se faz necessário uma alternativa para a modelagem destas estruturas. Além disso, os dispositivos na escala.

(29) 19 micrométrica são frágeis e podem ser danificados ainda no estágio de testes. A identificação de sistemas se apresenta como uma alternativa ideal para modelar matematicamente os MEMS, pois se trata de um método não invasivo. A identificação constrói “modelos matemáticos de sistemas dinâmicos com base em dados observados a partir dos sistemas” (LJUNG, 1987). Ljung (1987) e Aguirre (2004) reuniram em suas obras a teoria da identificação de sistemas. É possível encontrar modelos que satisfazem os problemas de diversas áreas, mas não são focados em apenas um tipo de modelo, sendo necessário recorrer a outros autores para adquirir informações complementares sobre modelos mais específicos. A literatura na área de identificação de sistemas e suas ramificações são extensas. Esta é uma área de aplicação relativamente nova para a modelagem matemática de microestruturas. Bedendo (2012) utilizou a teoria da identificação de sistemas em sua pesquisa, porém a ordem do modelo, o que determina o número de termos do modelo, era obtido através do uso de discretizadores.. 1.3 Objetivo Propor através das técnicas de Identificação de Sistemas, modelos matemáticos lineares adequados para representar o modelo comportamental de MEMS baseados em deformação elástica (elastomassas). Para que o objetivo principal seja alcançado, podem-se destacar os seguintes objetivos específicos: investigar na literatura específica sobre modelos paramétricos no domínio do tempo discreto, com o intuito de complementar a teoria utilizada; Estruturar de forma mais evidente a teoria dos modelos autorregressivos; Propor o uso de métodos de determinação de ordem ou estrutura de modelo, utilizadas na modelagem caixa preta com propósito de reduzir o tempo de execução das etapas da identificação de sistemas.. 1.4 Contribuições A expectativa é reproduzir o desempenho comportamental das estruturas através do modelo identificado com qualidade, acurácia e menor número de parâmetros possíveis. Além disso, estabelecer uma base teórica melhor fundamenta para utilizar a identificação de sistemas como uma alternativa para modelagem matemática de MEMS..

(30) 20 1.5 Organização do Trabalho Esta dissertação está organizada em quatro capítulos. Cada um dos quais apresentam os aspectos essenciais para o desenvolvimento deste estudo. No capítulo 2 é apresentado o objeto de estudo deste trabalho, os MEMS, sua definição e aplicações. No capítulo 3 encontra-se a metodologia desenvolvida e o conhecimento necessário para utilizar a técnica de identificação de sistemas na modelagem matemática de MEMS. No capítulo 4 são expostos os resultados obtidos através das simulações computacionais comentados e a comparação entre os modelos obtidos. E por fim serão expostas as conclusões e comentários deste trabalho. Posteriormente, propõem-se as sugestões para novos trabalhos que consolidem e propiciem a continuidade desta investigação..

(31) 21 2 SISTEMAS MICRO ELETROMECÂNICOS (MEMS). Os Sistemas Microeletromecânicos (Micro-Electro-Mechanical Systems – MEMS) de uma forma geral podem ser definidos como elementos mecânicos e eletromecânicos miniaturizados, produzidos por técnicas de micro usinagem. Maluf e Willians (2004) definem MEMS como “microtransdutores que desempenham funções de sensoriamento e atuação”. Reimbold (2008) os define como,. [...] um microssistema de princípio invasivo com capacidade de intermediação e interação que resulta da combinação das capacidades de sensação, atuação, autonomia, transporte e adaptação ao meio, pré-determinadas através de processamento computacional, condicionamento de sinal, transferência de dados. Estes gerenciados por algoritmos matemáticos que imitam o pensamento humano tornam o comportamento dos MEMS inteligente, versátil e eficiente.. Estas funções tornam estes microssistemas atrativos em inúmeras aplicações industriais e bens de consumo de dimensões micrométricas. A combinação das capacidades de sensoriamento e atuação podem apresentar aplicações de interesse para as indústrias, como por exemplo, relés, pinças, osciladores, filtros, transformadores, giroscópios, acelerômetros, entre outros dispositivos na escala micro (CHAVARETTE et al., 2009). A área de pesquisa e de produção de MEMS vem apresentando um rápido crescimento, devido à miniaturização dos dispositivos, redução de custos de longo prazo, e em muitos casos melhor desempenho e confiabilidade. Romanowicz (1998) afirma que o baixo custo dos MEMS é garantido pelas técnicas de processamento em pacote onde milhões de componentes são fabricados em um único wafer de silício (Figura 2.1) ou outro substrato. No entanto, os custos de prototipagem são elevados, devido ao número de etapas necessárias para a produção de um único dispositivo. Além disso, a execução dos testes de qualidade destes dispositivos apresenta custo elevado..

(32) 22 Figura 2.1 - Wafer de silício. Fonte: ZEGERS (2011).. 2.1 Aplicação de MEMS MEMS apresentam três atributos marcantes: tamanho compacto, bom desempenho e baixo custo de produção. Pequenas dimensões oferecem características de desempenho propícias, tais como frequência de ressonância, velocidade de resposta e sensibilidade. A combinação de micro transdutores com circuitos proporcionam desempenho superior e melhor qualidade do sinal. E por fim, os MEMS apresentam potencial de atingir um baixo custo devido às técnicas de fabricação em massa, especialmente se tratando de produtos vendidos em grande volume, como aparelhos eletrônicos (LIU, 2010). Além destas, os MEMS possuem outras vantagens como baixo consumo de energia, facilidade de integração com sistemas, tolerância à expansão térmica e pode apresentar alta resistência à vibração, impacto e radiação. A competência tecnológica e empresarial em MEMS compreende um ciclo composto pelos fatores de concepção, projeto, desenvolvimento, fabricação, testes e comercialização. O tamanho em nível micrométrico dos MEMS permite que eles se encaixem em uma ampla gama de produtos em diversos segmentos industriais (BEDENDO, 2012 p. 24)..

(33) 23 2.1.1 Aplicações automotivas Este foi o segmento industrial pioneiro na utilização de MEMS. De acordo com Dixon e Bouchaud (2007) um dos fatores do crescimento significativo de MEMS é o setor automotivo, uma vez que, o uso de sensores no apoio as tecnologias de segurança obrigatória é exigido pela legislação norte-americana e alguns países europeus. Entre algumas dessas orientações destacam-se o controle eletrônico de estabilidade e sistemas de monitoramento de pressão dos pneus. Atualmente os veículos contam com mais de 100 sensores diferentes e cerca de 30 destes são MEMS. As principais aplicações são de sensores de pressão, sensores inerciais e, em alguns casos, de rádio frequência (Figura 2.2). Figura 2.2 - Aplicações automotivas de MEMS. Sensores inerciais (verde), sensores de fluxo e pressão (azul), sensores de rádio frequência (vermelho).. Fonte: Adaptado de Dixon e Bouchaud (2007)..

(34) 24 2.1.2 Biotecnologia e medicina Há uma ampla variedade de aplicações de MEMS na medicina. O desenvolvimento de MEMS para aplicações biológicas e médicas tornou-se um novo campo da própria investigação conhecido como Bio-MEMS (Biológical MicroElectroMechanical Systems). Se tratando de números de dispositivos e o mercado, é aplicação mais bem sucedida na área da medicina. Os sensores de pressão sanguínea são os pioneiros na área, inseridos na medicina na década de 80. Recentemente estes sensores tem sido utilizados em conjunto com RF MEMS (Radio Frequency MicroElectroMechanical Systems) facilitando a comunicação do sensor com um monitor externo. De acordo com Simons et al (2004), a principal vantagem no uso de sensores BioMEMS na medicina se deve ao tamanho reduzido de dispositivos e sensores, o que facilita os implantes. O risco de infecção é muito baixo, pois não há necessidade de implantes de bateria. A comunicação entre o sensor e a unidade de monitoramento dispensa o uso de fios, pois é realizada por rádio frequência também reduzindo o risco de infecção, além de facilitar a mobilidade do paciente. Um exemplo desta tecnologia é o sensor de pressão sanguínea (Figura 2.3). Figura 2.3 - Funcionamento de um sensor Bio-MEMS. Fonte: Danise Jones.

(35) 25 O circuito do sensor de pressão sanguínea vai entrar em operação somente quando o dispositivo externo exigir, minimizando a dissipação de energia no tecido biológico, o que evita o aquecimento local e prologa a vida útil do sensor (SIMONS et al, 2004) Além de sensores de pressão, existem outros dispositivos médicos baseados em MEMS, como por exemplo: CardioMEMS, monitores cardíacos MEMS e Micro chips dosadores de remédios (Figura 2.4). Figura 2.4 - CardioMEMS: Aplicação de sensores no corpo humano.. Fonte: Adaptada de Dolan (2010). Os Bio-MEMS podem facilitar o procedimento de uma consulta, tanto para o médico como o paciente. Durante a consulta o paciente não precisa mais tirar a roupa. Basta posicionar o dispositivo no peito do paciente, por exemplo, e as ondas de rádio frequência de baixa potência ativam o sistema enviando as medições para o receptor do monitor externo..

(36) 26 2.1.3 Comunicação Nesta área se destaca a tecnologia de RF MEMS (Radio Frequency MEMS). Basicamente são microssistemas com partes móveis capazes de reconfigurar as características de um dispositivo de rádio frequência. Os RF MEMS podem ser utilizados em diversas áreas, mas destaca-se a área de comunicação. Os RF MEMS são compostos de ressonadores, osciladores e indutores integrados. Os componentes básicos fabricados com esta tecnologia são variados, tais como interruptores ôhmicos e capacitivos; capacitores fixos e variáveis; indutores e ressonadores variáveis. Para redes mais complexas, se utiliza a combinação desses componentes básicos. Esta combinação resulta em dispositivos como filtros RF ajustáveis, divisores e atenuadores de potência, transformadores de fase reconfiguráveis, entre outros. O uso de RF MEMS na comunicação apresenta certas vantagens como baixa perda do sinal, baixo consumo de energia, pequenas dimensões e peso reduzido.. 2.1.4 Produtos eletrônicos A integração de componentes e sensores MEMS não é novidade, principalmente se tratando em telefonia, um dos segmentos da área de comunicação. De acordo com Yole Développment (2010) filtros e microfones baseados na tecnologia RF MEMS são utilizados desde 2002. Atualmente novas aplicações em RF MEMS permitem a troca rápida entre as redes, no caso dos celulares com recurso dual-chip. Porém uso de sensores inerciais MEMS vem se tornando uma tendência em dispositivos móveis. Atualmente a produção de MEMS inerciais para produtos eletrônicos supera a área automotiva (Figura 2.5). Os sensores inerciais MEMS, mais especificamente os acelerômetros e giroscópios, começaram a integrar celulares a partir de 2010 e rapidamente ganhou a aprovação neste mercado..

(37) 27 Figura 2.5- Produção de MEMS inerciais nas áreas automotivas e de produtos eletrônicos.. Fonte: FINKBEINER (2013). Um dos fatores responsáveis pelo sucesso dessa aplicação em dispositivos móveis é a aprovação do público quanto aos smartphones, e recentemente os tablets. Os smartphones ganharam espaço no mercado devido à diversidade de recursos disponíveis em apenas um aparelho. Além de ser tipicamente um telefone celular possui funções como jogos, câmera digital, tocador de música, TV portátil, acesso à internet e até mesmo um projetor portátil. Estimava-se que no ano de 2015, 44% dos celulares vendidos seriam smartphones (Yole Développment, 2010), quando atualmente representam cerca de 50% (PENNWELL, 2013). Figura 2.6 - MEMS presentes em um Smartphone com pico projetor.. Fonte: PERKINS (2013).

(38) 28 Os smartphones e tablets que possuem GPS integrado, combinando um magnetômetro ao acelerômetro ou giroscópio, permitem novos serviços baseados em localização sejam implantados. De acordo com o site IDG Now! (2012) o diretor executivo da Bosh Sensortec, Frank Melzer, afirma que será comum encontrar barômetros MEMS dentro de smartphones. Os barômetros detectam pequenas flutuações na pressão do ar, calculando mudanças relativas na altitude, permitindo que os smartphones saibam em qual andar a pessoa está ou um GPS funcionar dentro de prédios.. 2.2 Modelagem Caixa-Branca clássica de MEMS Na literatura encontra-se o modelo analítico clássico de atuadores MEMS eletrostáticos. Este modelo relaciona o conjugado, força aplicada versus deslocamento obtido, representado pelo esquema ilustrado na Figura 2.7. Figura 2.8 - Concepção do modelo analítico de atuadores eletrostáticos MEMS.. Fonte: Adaptado de Reimbold (2008). Os três blocos da Figura 2.7 representam três equações presentes no próprio modelo. Uma das equações descreve o comportamento elétrico e a outra mostra o desempenho mecânico. A terceira faz o acoplamento entre as duas primeiras, ou, entre as diferentes formas de energia. A relação estabelecida entre fluxos de energia, elétrico e mecânico é representada, também, através de um diagrama de corpo livre, resultado da aplicação da Segunda Lei de Newton, conforme a Figura 2.8.

(39) 29 Figura 2.8 - Atuador eletrostático MEMS (a) parâmetros concentrados, (b) corpo livre.. (a). (b) Fonte: Adaptado de Reimbold (2008). A Figura 2.8 mostra que o comportamento mecânico é descrito pela inércia do corpo ,. o amortecimento e a rigidez ou elasticidade da estrutura, à qual é aplicada uma força. eletrostática. Portanto o modelo analítico que decorre da análise do corpo livre é uma EDO de segunda ordem, linear, não homogênea e de parâmetros constantes. Esta representação tem sido atribuída indiferentemente a sensores ou atuadores (BEDENDO, 2012, p. 54). O modelo é definido pelas equações (2.1), para o domínio de tempo contínuo, e (2.2), para o domínio de tempo discreto. - *( ) + *( ) + *( ) = 0 ( ) . . (2.1). Esse modelo proposto é válido para sistemas que incorporam o atuador e o sensor simultaneamente. De acordo com Maluf (2004) os acelerômetros “compartilham uma estrutura básica que consiste de uma massa de inércia suspensa a partir de uma mola. No entanto, diferem na detecção da posição relativa da massa inercial enquanto se desloca sob o efeito de uma aceleração aplicada externamente”. A partir da solução da Equação (2.1) pode-se obter tanto a frequência natural do sistema. , equação (2.2), como a frequência com amortecimento , equação (2.3). A física básica apresenta que “um sistema mecânico composto de uma massa, , e uma constante de rigidez da mola, , ressoa em uma frequência natural” (MALUF, 2004) expressa pela equação: 1 4 = 23 . (2.2).

(40) 30. 1 4 − = 23 4-. (2.3). A rigidez da mola é definida como a força necessária para produzir uma unidade de deslocamento em uma direção específica (REIMBOLD, 2006). A redução de tamanho traz a diminuição da massa e rigidez da mola, aumentando assim a frequência ressonante. Verifica-se que a frequência natural depende das características geométricas e das propriedades dos materiais que formam a estrutura. Neste sentido, torna-se importante a determinação dos parâmetros físicos para estabelecer o comportamento destes atuadores, bem como, a avaliação coerente de seu funcionamento (BEDENDO, 2012, p. 56)..

(41) 31 3 MODELAGEM MATEMÁTICA. Neste capítulo será feita uma revisão bibliográfica com o objetivo de explicitar os conceitos fundamentais para o desenvolvimento do trabalho. Formalizando o conhecimento, facilitará a compreensão da metodologia aplicada neste trabalho de investigação.. 3.1 Introdução a Identificação de Sistemas Os modelos descrevem as relações entre variáveis e os elementos dos sistemas. A modelagem matemática visa estudar maneiras de desenvolver e implementar modelos matemáticos adequados a estes sistemas reais (BEDENDO, 2012). Os modelos matemáticos podem ser obtidos através de três grupos de técnicas. O primeiro grupo é denominado modelagem caixa-branca, que é a modelagem pela física do processo. De acordo com Garcia (1997), nesta técnica o processo de obtenção do modelo se baseia em leis e princípios físicos. Desta forma, todos os parâmetros são conhecidos ou previamente determinados. Os dados de entrada e saída do sistema, quando disponíveis, são usados unicamente para validar o modelo. Aguirre (2004) destaca a dificuldade na obtenção de modelos por intermédio da modelagem-caixa branca, afirmando que a complexidade nas equações físicas envolvidas e por vezes, o desconhecimento das mesmas, assim como seus parâmetros e o tempo despendido em suas análises, são as principais desvantagens da técnica. O segundo grupo é referenciado como modelagem caixa-preta, também conhecida como modelagem empírica, ou ainda identificação caixa-preta. Este procedimento normalmente não requer qualquer conhecimento prévio do sistema. Neste caso, apenas os dados de entrada e saída do processo são usados durante a identificação. Desta forma não existe nenhuma relação óbvia entre a estrutura e seus parâmetros com os aspectos físicos do sistema sendo identificado. A vantagem da técnica é a possibilidade de escolher estruturas mais adequadas para o projeto. A dificuldade para a seleção dos modelos e, em alguns casos, o número excessivo de parâmetros são as principais desvantagens desta técnica. (BEDENDO, 2012) Estes dois grupos podem ser interpretados como dois extremos das técnicas de modelagem. No entanto, a incorporação de informações adicionais sobre o sistema, além dos dados coletados, aprimoraram os métodos de identificação. A identificação de sistemas é um procedimento alternativo.

(42) 32 de modelagem matemática. Nela há a necessidade de desenvolver formas de se obter modelos matemáticos a partir de dados observados e não exclusivamente partindo-se das equações que descrevem a física do modelo (LJUNG, 1987). Sobre isso Aguirre, Rodrigues e Jacomé (1998) afirmam que,. Procedimentos com esta característica são denominados métodos de identificação caixa-cinza e são especialmente interessantes por que não exigem do usuário um profundo conhecimento “a priori” do processo, mas permitem a utilização de conhecimento prévio. Isso normalmente resulta em melhores modelos e, principalmente, modelos mais significativos.. Aguirre (2004) afirma que “[...] poucas situações práticas haverá tempo e conhecimento suficientes para desenvolver um modelo a partir das equações que regem a física do processo”. Pelo fato da complexidade dos fenômenos físicos na escala micro, a identificação de sistemas é ideal para a modelagem matemática de MEMS. A motivação básica é simples. Suponha que estejam disponíveis os sinais de entrada,. (), e saída $(), de um sistema real qualquer. A identificação de sistemas se propõe a obter um modelo matemático que explique, pelo menos em parte e de forma aproximada, a relação. de causa e efeito dos presentes dados (AGUIRRE, 2004). Diversas situações das ciências e engenharias envolvem o conceito de sistema dinâmico, onde há uma entrada (), uma saída. $() e uma função de transferência, conforme a Figura 3.1.. Figura 3.1 - Diagrama de um sistema estudado pela identificação de sistemas. Fonte: Adaptado de Reimbold (2008). Ogata (2005) define um modelo matemático de sistemas dinâmicos como sendo um conjunto de equações que representam a dinâmica de um sistema de forma precisa. O modelo matemático é o primeiro passo para a representação de sistemas dinâmicos (OGATA, 2005)..

(43) 33 Os modelos matemáticos podem ser classificados por alguns aspectos: ser representado de forma contínua ou discreta, em relação ao tempo, determinístico ou estocástico, linear ou nãolinear, entre outros. Estes aspectos determinam o tipo de equações a diferença ou equações diferenciais a serem utilizadas (LJUNG, 1987). Pelo fato de serem observados os dados em função de intervalos de tempo, os modelos estudados neste trabalho são modelos paramétricos discretos. Segundo Aguirre (2004) as principais vantagens desta forma de identificação na literatura técnica são: (i) diminuição do número de parâmetros nos modelos, (ii) maior capacidade de reproduzir características fora dos dados de identificação, (iii) maior robustez e (iv) maior adequação para o desenvolvimento de sistemas de controle. O processo de identificação caixa-cinza é dividido em etapas, que são aplicadas a modelagem caixa cinza. Essas etapas são: testes dinâmicos e coleta de dados, escolha da representação matemática a ser usada, determinação da estrutura do modelo, estimação dos parâmetros e validação do modelo (AGUIRRE, 2004). Neste trabalho investigativo, as estruturas são consideradas como um sistema linear.. 3.2 Testes dinâmicos e coleta de dados Uma vez que a identificação se propõe a obter modelos a partir de dados, é necessário gerar tais dados. Os dados utilizados para identificar os sistemas dinâmicos são gerados a partir de medições da resposta do sistema, de acordo com o sinal de excitação. Os dados devem conter a informação necessária sobre o sistema a ser modelado. Três aspectos fundamentais em identificação de sistemas são: onde excitar a planta, que tipo de sinais se devem usar a fim de obter dados que sejam representativos dessa dinâmica e como amostrar tais dados. (AGUIRRE, 2004). 3.2.1 Plataforma de Testes Na literatura, são identificadas três formas básicas de topologia de atuadores eletromecânicos MEMS baseados em deformação elástica. Neste trabalho foram estudadas essas estruturas básicas de MEMS: Ponte Simples, Ponte Dupla e Dobradiça (Figura 3.2)..

(44) 34 Figura 3.2 - Estruturas das Elastomassas MEMS. (a) Ponte Simples; (b) Ponte Dupla; (c) Dobradiça. (a). (b). (c). Fonte: Reimbold (2008). O critério de seleção dessas estruturas baseia-se na sua simplicidade estrutural. Elas apresentam apenas um grau de liberdade e acessibilidade ao modelo analítico. O atuador ponte simples é teórico, o que permite compreender o princípio de atuação. O atuador ponte dupla, é utilizado em dispositivos como: acelerômetros, indutores, pinças, sensores e interruptores. O mesmo pode ainda ser empregado na construção de simples interruptores. Por outro lado, o atuador baseado na estrutura dobradiça, tem vasta aplicação em telecomunicações, como amplificadores, mixers, transformadores, entre outros dispositivos, além de aplicações na medicina (BEDENDO, 2012, p. 83). Neste trabalho a coleta de dados é realizada a partir da plataforma de testes desenvolvida no aplicativo computacional ANSYS (Analysis System). O aplicativo ANSYS apresenta uma ampla gama de capacidades de simulação e aplicações na engenharia. O software realiza de forma eficiente simulações complexas que envolvem a interação de múltiplos domínios. Desta forma pode ser utilizado para prever o comportamento da estrutura durante a fase de projeto ou como os processos de fabricação serão operados em ambientes do mundo real. Seu prestígio a nível acadêmico garante caracterizar as simulações desenvolvidas como sendo a parte experimental do trabalho. (BEDENDO, 2012, p. 58) O software analisa as informações utilizando dois métodos: Elementos Finitos (FEM – Finite Element Method) e Elementos de Fronteira (BEM – Boundary Element Method). Estas análises utilizarão como base as propriedades dos materiais e geometrias de cada estrutura. A plataforma consiste de uma estrutura em que se aplica uma força que provoca o seu movimento, mostradas nas Figuras 3.3, 3.4 e 3.5..

(45) 35 Esta força substitui a ação eletrostática presente nos comb-drive, mantendo o sistema sem comportamentos não-lineares. Os sinais testes utilizados para excitar o sistema e gerar o. conjunto de dados são aplicados no instante = 0, com amplitude de 0,14 ∙ 10:; ). Esta. amplitude foi selecionada dentro de uma faixa de valores, de forma que as estruturas não entrem em colapso quando estimuladas (BEDENDO, 2012, p.83). Figura 3.3 - Geometria da estrutura Ponte Simples desenvolvida no software ANSYS.. Fonte: Desenvolvida pelo autor.

(46) 36 Figura 3.4 - Geometria da estrutura Ponte Dupla desenvolvida no software ANSYS.. Fonte: Desenvolvida pelo autor Figura 3.5 -Geometria da estrutura Dobradiça desenvolvida no software ANSYS.. Fonte: Desenvolvida pelo autor.

(47) 37 3.2.2 Sinais Testes Na análise e projeto de sistemas de controle, deve-se ter uma base para comparar o desempenho de vários sistemas de controle. Esta base pode ser obtida especificando-se sinais testes de entrada particulares e comparando-se as respostas de vários sistemas a estes sinais de entrada (OGATA, 2005, p. 246). Ainda de acordo com Ogata (2005, p. 246), “[...] o uso de sinais de teste pode ser justificado pela correlação que existe entre as características de um sistema para um sinal de entrada de teste típico e a capacidade do sistema para responder aos sinais de entrada reais”. Para se analisar o desempenho do sistema o sinal de entrada não pode ser complicado, portanto são escolhidos sinais típicos (NISE, 2004). Com estes sinais de teste, tanto análises matemáticas como experimentais de sistemas podem ser feitas com facilidade, pois estes sinais são muito simples (OGATA, 2005, p. 246). A entrada do sistema pode ser impulso, degrau, rampa, parábola ou senóide. O impulso, também conhecido como delta de Dirac (HSU, 2004) é um sinal que tem valor infinito no instante inicial (zero) e é nulo em qualquer outra região. Uma aproximação deste tipo de sinal é utilizada para colocar a energia inicial no sistema, de modo que a resposta devido a esta energia inicial é apenas o regime transiente de um sistema. A partir desta resposta é possível obter um modelo matemático do sistema (NISE, 2004). O sinal de entrada degrau, também conhecido como função de Heavside (HSU, 2004), representa um comando constante, tal como posição, velocidade ou aceleração. Tipicamente, o comando de entrada degrau tem a mesma unidade de medida da saída. Este sinal é utilizado porque o sistema apresenta nitidamente o regime transiente e o regime estacionário (NISE, 2004) A rampa é um sinal que representa um comando linearmente crescente. A resposta a um sinal de rampa gera informações adicionais sobre o erro do regime estacionário (NISE, 2004). Este argumento pode ser estendido para o sinal de entrada parábola, que também apresenta informações utilizadas para avaliar o erro do regime estacionário. Entradas senoidais podem também ser utilizadas para testar um sistema físico para se chegar a um modelo matemático (NISE, 2004). Na tabela 3.1 são apresentados os sinais testes de forma resumida.

(48) 38. Tabela 3.1 – Sinais testes para sistemas. Entrada. Impulso. ( ). Degrau. ( ). Rampa. ( ). Definição. Esboço. ∞ > = 0 ( ) = < 0 > ≠ 0. 1 > > 0 ( ) = < 0 > < 0. > ≥ 0. ( ) = < 0 > < 0. 1 1 ( ) = C2 > ≥ 0 1 2. ( ) 0 > < 0 2. Aplicação. Resposta Transiente Modelo. Resposta Transiente Estado Estacionário. Estado Estacionário. Parábola. Estado Estacionário. Resposta Transiente. Senóide. sen G. Modelo Estado Estacionário Fonte: Adaptado de NISE (2004).

(49) 39 3.2.3 Escolha do tempo de amostragem De acordo com Aguirre (2004), o período entre duas amostras é chamado de período ou tempo de amostragem ('& ). Na etapa de coleta dos dados da plataforma, é indispensável a. escolha de um tempo de amostragem, uma vez que a quantidade de amostras deve ser finita. Este processo torna discreto o conjunto de dados do sistema. A importância do tempo de amostragem é devida ao fato de que tempos de amostragem. diferentes, geram modelos diferentes. Se assumir um valor de '& muito pequeno, tende-se a obter dados superamostrados, tornando a estimação de parâmetros mal condicionada. Por outro. lado, se obter dados subamostrados pode-se levar a uma perda de informação dinâmica entre uma amostra e outra. Em consequência disso, ocorre uma redução na qualidade do modelo estimado (BEDENDO, 2012, p. 60). Uma forma de estabelecer o tempo de amostragem é o teorema de Shannon/Nyquist: & ≥ 2. (3.1). Um sinal do tempo contínuo $( ) pode ser processado a partir de amostras por um. sistema de tempo discreto desde que a taxa de amostragem (& ) seja superior a duas vezes a maior frequência do sinal a ser amostrado ( ).. 3.3 Análise de Séries Temporais A maior parte de dados obtidos em atividades comerciais, economia, engenharia e ciências naturais aparecem na forma de séries temporais (BOX; JENKINS, 1976). Séries temporais são conjuntos de observações de uma coleção de variáveis ordenadas em sequência ao longo do tempo (MORETTIN, TOLOI, 2006). É aplicada principalmente nos estudos de econometria, onde o objetivo é realizar previsões de valores futuros com base em valores atuais e passados. As técnicas de séries temporais são baseadas na identificação de padrões existentes nos dados históricos para posterior utilização no cálculo do valor previsto (WANKE; JULIANELLI, 2006). Embora seja mais comum à ordenação das séries ao longo de unidades de tempo, como por exemplo, horas, dias, meses ou anos, também é possível que sua ordenação seja construída.

(50) 40 ao longo de outras unidades, tais como, volume, latitude, longitude, espaço, entre outros (MORETTIN, TOLOI, 2006) Há basicamente, dois enfoques na análise de séries temporais. De acordo com Guilart (2007). “em ambos o objetivo é construir modelos para as séries, com propósitos determinados. No primeiro enfoque, a análise é feita no domínio temporal e os modelos propostos são modelos paramétricos, com um número finito de parâmetros. No segundo caso, a análise é conduzida no domínio de frequências e os modelos propostos são modelos não paramétricos.”. Os modelos paramétricos são considerados modelos probabilísticos ou estocásticos. Estes devem ser simples e parcimoniosos, isto significa que o número de parâmetros envolvidos deve ser o menor possível. Neste trabalho, o foco será a análise no domínio de tempo, no qual os modelos propostos para estudo são paramétricos, ou seja, possuem um número finito de parâmetros. De acordo com Maddala (1992) por longo tempo, houve pouca comunicação entre estudiosos de econometria e analistas de séries temporais. Os economistas enfatizaram a teoria da economia e um estudo de relações contemporâneas. Variáveis defasadas foram introduzidas, mas não de uma maneira sistemática qualquer, e não foram feitos esforços para estudar a estrutura temporal dos dados. Teorias foram impostas sobre os dados mesmo quando a estrutura temporal dos dados não estava em conformidade com as teorias. Os analistas de séries temporais, por outro lado, não acreditavam nas teorias da economia e pensavam que estavam em situação melhor, apenas trabalhando com os dados para determinar o modelo. Desde meados de 1970, essas duas abordagens têm sido convergentes, a econometria agora usa elementos básicos da análise de séries temporais. Estes métodos têm sido aplicados por décadas nas áreas da economia, e recentemente começaram a ser aplicadas em processamento digital de sinais.. 3.4 Classe de Modelos Autoregressivos Dentre os modelos paramétricos, se destaca a classe de modelos autorregressivos. Esses modelos ajustam os dados de uma série temporal, estacionária e univariada, como uma combinação linear de valores passados (SOUZA et al, 2011). Também é possível ajustar os modelos a uma série temporal não estacionária, se puder torná-la estacionária a partir de.

(51) 41 diferenciações. A metodologia proposta por Box e Jenkins (1970), conhecida como modelos ARIMA, é bastante retratada em estudos de dados e na modelagem de séries temporais. A classe dos modelos ARIMA é capaz de descrever de maneira satisfatória séries estacionárias e não estacionárias, desde que não apresentem comportamento explosivo (MORETTIN, TOLOI, 1987) Conforme Aguirre (2004) a estrutura geral de modelos paramétricos pode ser definida pela equação (3.4) "()$() = $() =. H() I() () + #() () (). H() I() () + #() "()() "()(). $() = J()() + K()#(). (3.2). (3.3). (3.4). onde J() é a função de transferência do processo e K() é a função de transferência do ruído,. $() é a saída estacionária do sistema, () é a entrada do sistema e #() é o ruído branco. (variável aleatória). Se a saída não for estacionária é necessário aplicar o operador diferença,. com o objetivo de obter a saída $() estacionária. De acordo com Gujarati (2000) #(),. conhecido como termo de perturbação ou erro, é uma variável aleatória (estocástica) que possui propriedades probabilísticas bem definidas. O termo de perturbação #() pode representar bem. todos os fatores que afetam o consumo, mas que não são considerados explicitamente. "(),. H(), I(), () e () são polinômios de operadores de atraso, representado pelo conjunto de equações (3.5):. "() = 1 + LM + L- - + ⋯ + LO O. H() = PQ + PM + P- - + ⋯ + PR R I() = 1 + M + - - + ⋯ + S S. () = 1 + M + - - + ⋯ + () = 1 + M + - - + ⋯ + T T. Os operadores de atraso serão definidos no item 3.4.2.. (3.5).

(52) 42 O modelo representado pela equação (3.2) pode ser classificado como modelo ARIMAX(p,d,q,r), onde p é a ordem do processo autorregressivo (saída), d é a ordem de diferença necessária para tornar a série estacionária, q é a ordem da média móvel e r é a ordem referente a entrada. Tal metodologia é utilizada quando se dispõe de uma sequência de dados obtidos em intervalos regulares de tempo durante um período específico (SILVA et al., 2008). A estratégia para construção deste modelo é baseada em um ciclo interativo, no qual a escolha da estrutura do modelo baseia-se nos próprios dados (MORETTIN; TOLOI, 2006).. 3.4.1 Estacionariedade O conceito de estacionariedade na análise de uma série temporal é fundamental. Verificar se os dados são estacionários ou não é a primeira etapa para a identificação do modelo a ser utilizado. Uma série temporal é dita estacionária quando ela se desenvolve no tempo aleatoriamente em torno de uma média constante, refletindo alguma forma de equilíbrio estável (MORETTIN, TOLOI, 1987). A estacionariedade significa que as características do processo estocástico permanecem invariantes ao longo do tempo. Em um sentido estrito, implica que as. variáveis aleatórias $() e $( + U) têm idênticas distribuições de probabilidade qualquer que seja U. (GUJARATI, 2000). Segundo Silva (2010) uma condição menos restritiva é a estacionariedade em sentido. lato ou de segunda ordem (estacionariedade fraca) na qual se considera como sendo estacionário um processo com valor médio constante (Equação 3.6), variância constante (Equação 3.7) e autocovariâncias (Equação 3.8) dependentes apenas do intervalo de tempo (lag) entre as observações.. ($

(53) ) = ($

(54) V ) = ∀ . (3.6). X($

(55) − )- Y = Z - ∀. (3.7). I[#($

(56) , $

(57) V ) = I[# ($

(58) VT , $

(59) VVT )∀ \. (3.8).