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(1)Universidade Federal de Juiz de Fora PROFMAT - Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional. Augusto Frederico Burle Neto. Potência de Expoente Irracional: Uma aula para os alunos da 3a série do Ensino Médio. Juiz de Fora 2013.

(2) Augusto Frederico Burle Neto. Potˆ encia de Expoente Irracional: Uma aula para os alunos da 3a s´ erie do Ensino M´ edio. Disserta¸caõ apresentada ao Programa de Pós-gradua¸caõ PROFMAT (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) na Universidade Federal de Juiz de Fora, como requisito parcial para obten¸cão do grau de Mestre. Orientadora: Sofia Carolina da Costa Melo. Juiz de Fora 2013.

(3) Burle, Augusto Frederico Neto. Potência de Expoente Irracional: Uma aula para os alunos da 3a série do Ensino Médio Augusto, Frederico Burle Neto. - 2013. 50f. Disserta¸c˜ ao (Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional) Universidade Federal de Juiz de Fora, 2013. 1. Matem´ atica. 2. Irracional. 3. Sequência. 4. Limite. I. T´ıtulo..

(4) Augusto Frederico Burle Neto. Potˆ encia de Expoente Irracional: Uma aula para os alunos da 3a s´ erie do Ensino M´ edio. Disserta¸cão aprovada pela Comissão Examinadora abaixo como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática pelo Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional na Universidade Federal de Juiz de Fora.. Prof. Dra. Sofia Carolina da Costa Melo (Orientadora) PROFMAT Instituto de Ciências Exatas - UFJF. Prof. Dr. Regis Castijos Alves Soares J´ unior PROFMAT Instituto de Ciências Exatas - UFJF. Prof. Dr. Augusto César de Castro Barbosa PROFMAT Instituto de Matemática e Estat´ıstica - UERJ. Juiz de Fora, 04 de abril de 2013..

(5) AGRADECIMENTOS. Agrade¸co a minha orientadora Sofia que me disponibilizou tempo precioso do seu trabalho para me dar suporte seguro e atencioso. Agrade¸co também a minha esposa Marina por sua paciência e compreens˜ ao nos meus momentos de tensão e ansiedade. Não poderia também deixar de agradecer a CAPES pela concessão da bolsa..

(6) RESUMO. Este trabalho de conclus˜ ao de curso apresenta uma proposta de aula sobre potência de expoente irracional para alunos da terceira série do Ensino Médio. A defini¸cão de tal conte´ udo envolve o conceito de limite de sequência, que é um tema não pertencente ao conte´ udo programático da imensa maioria das escolas brasileiras. Aqui, a proposta é abordá-lo de uma maneira acess´ıvel aos alunos do Ensino Médio. No final deste trabalho são feitas as demonstra¸cões formais que embasam tudo que na aula foi mostrado sem o devido rigor matemático. Palavras-chave: Matem´ atica. Irracional. Sequência. Limite..

(7) ABSTRACT. This course conclusion work proposes a lesson about the power of irrational exponent for high school students. The definition of such content covers the limit of sequence concept, which does not constitute the curriculum of almost every Brazilian schools. This work aims at approaching the subject in an accessible to high school students. At the end, formal demonstrations are made to theorize the subjects presented in class without the proper mathematical formality. Key words: Mathematics. Irrational. Sequence. Limit..

(8) ´ SUMARIO. ˜ 1 INTRODUC ¸ AO ˜ 2 CONSIDERAC ¸ OES INICIAIS. 9 10. 2.1. OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.2. ´ PUBLICO ALVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.3. ´ PRE-REQUISITOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.4. MATERIAIS E TECNOLOGIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.5. ˜ ´ RECOMENDAC ¸ OES METODOLOGICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2.6. DIFICULDADES PREVISTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 2.7. ˜ GERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . DESCRIC ¸ AO. 11. 2.8. POSSÍVEIS DESDOBRAMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. ˜ NOS LIVROS DA EDUCAC ˜ BASICA ´ 3 A POTENCIAC ¸ AO ¸ AO. 13. 3.1. ˆ POTENCIA DE EXPOENTE NATURAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 3.2. ˜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . PROPRIEDADES DA POTENCIAC ¸ AO. 13. 3.3. ˆ POTENCIA DE EXPOENTE INTEIRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 3.4. ˆ POTENCIA DE EXPOENTE RACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 3.5. ´ NUMEROS IRRACIONAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 3.6. ˆ POTENCIA DE EXPOENTE IRRACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16. ˆ 4 PROPOSTA DE AULA SOBRE POTENCIA DE EXPOENTE IRRACIONAL. 20. 4.1. ˜ CONSIDERAC ¸ OES SOBRE A PROPOSTA DE AULA . . . . . . . . . . . . . .. 20. 4.2. ˆ SEQUENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 4.3. ˆ LIMITES DE SEQUENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21.

(9) 4.4. ˆ ˆ CONVERGENCIA DE SEQUENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 4.5. ˜ DE POTENCIA ˆ CONCEITUAC ¸ AO DE EXPOENTE IRRACIONAL . . . . . .. 26. 5 CONCEITOS FORMAIS. 38. ˜ 6 CONSIDERAC ¸ OES FINAIS. 49. ˆ 7 REFERENCIAS. 50.

(10) 9. 1. ˜ INTRODUC ¸ AO. No Ensino Médio é estudado o conceito de fun¸cão exponencial, cujo dom´ınio é apresentado como sendo todos os n´ umeros reais, os quais englobam os inteiros, os racionais e os irracionais. Porém, geralmente, s´ o s˜ ao definidas as potências de expoentes inteiros ou racionais. Vários livros didáticos de Ensino Médio abordam fun¸cão exponencial simplesmente omitindo a extensão para expoente irracional. O grau de dificuldade que apresenta a defini¸cão de potência de expoente irracional é o principal motivo para que tal t´ opico não seja estudado neste n´ıvel de escolaridade, não tendo sido inclu´ıdo no curr´ıculo do Ensino Médio. Apesar desse empecilho, este trabalho de conclus˜ ao de curso se prop˜ oe a apresentar uma aula de potência de expoente irracional para alunos da terceira série do Ensino Médio. Este trabalho est´ a dividido da forma que apresentamos a seguir. O cap´ıtulo 2 é composto das seguintes se¸cões: objetivos, p´ ublico alvo, pré-requisitos, materiais e tecnologias, recomenda¸c˜ oes metodológicas, dificuldades previstas, descri¸cão geral e poss´ıveis desdobramentos. No cap´ıtulo 3 s˜ ao apresentadas as propriedades da potencia¸cão e os conceitos de potências de expoente natural, inteiro e racional. Além disso, é mostrado como alguns livros didáticos da Educa¸c˜ ao B´ asica abordam o conceito de n´ umero irracional e como alguns livros do Ensino Médio tratam, sem defini-las, as potências de expoente irracional. No cap´ıtulo 4 é mostrada a aula sobre a potência de expoente irracional para os estudantes da terceira série do Ensino Médio. No cap´ıtulo 5 é feita a demonstra¸cão formal do que foi ensinado nessa aula, sendo portanto um conte´ udo que n˜ ao é apresentado aos alunos. O cap´ıtulo 6 trata da expectativa quanto ao rendimento dos alunos da terceira série do Ensino Médio em rela¸c˜ ao ` a aula de potência de expoente irracional..

(11) 10. 2. 2.1. ˜ CONSIDERAC ¸ OES INICIAIS. OBJETIVOS O objetivo deste trabalho de conclusão de curso é apresentar ao aluno da terceira série do. Ensino Médio alguns conceitos de Análise que possibilitem, nessa fase de aprendizado, o estudo de potência de expoente irracional. Para tal, é necessária uma abordagem que permita ao aluno aprender conceitos cuja nota¸c˜ ao formal é matéria espec´ıfica do Ensino Superior. Há uma lacuna no ensino de fun¸cão exponencial, uma vez que o aluno aprende a tra¸car o gráfico de fun¸c˜ oes exponenciais mas geralmente não tem contato com n´ umeros que são imagens de elementos irracionais do dom´ınio dessas fun¸cões. Pretendemos preencher essa lacuna conceituando ideias matem´ aticas desconhecidas pelo aluno com uma terminologia que ele seja capaz de compreender, valendo-se dos conhecimentos adquiridos até essa série. Portanto, a explica¸c˜ ao dos sucessivos passos dessa abordagem que prescinde do formalismo da linguagem matem´ atica é o objetivo desse trabalho. 2.2. ´ PUBLICO ALVO A proposta dessa aula de potência de expoente irracional destina-se a estudantes da 3a série. do Ensino Médio. 2.3. ´ PRE-REQUISITOS Os conte´ udos que s˜ ao pré-requisitos para que os alunos da 3a série do Ensino Médio com-. preendam a aula sobre potência de expoente irracional são: resolu¸cão de equa¸cões e inequa¸c˜ oes do 1o e do 2o grau, resolu¸c˜ ao de inequa¸cões modulares, fun¸cão quadrática, fun¸cão exponencial e método de demonstra¸c˜ ao por absurdo. 2.4. MATERIAIS E TECNOLOGIAS Para o desenvolvimento da aula é necessária uma calculadora, pois algumas divisões feitas. à mão consumiriam um tempo demasiado, sem nenhum ganho pedagógico..

(12) 11 2.5. ˜ ´ RECOMENDAC ¸ OES METODOLOGICAS São necess´ arios três tempos de quarenta e cinco minutos para a aula sobre potência de. expoente irracional para os alunos da 3a série do Ensino Médio.. 2.6. DIFICULDADES PREVISTAS A maioria dos alunos que chegam ao Ensino Médio não estão habituados a raciocinar, a des-. cobrir sozinhos as solu¸c˜ oes de determinados problemas, enfim tem pouca base para compreender conceitos matem´ aticos mais complexos presentes no Ensino Médio. Sendo assim, é previs´ıvel que o desenvolvimento da aula de potência de expoente irracional apresente aspectos que boa parte dos alunos tenha dificuldade de compreender. Justamente por isso é que o conceito de potência de expoente irracional, que envolve a no¸cão de limite de sequência, é abordado na aula da forma menos formal poss´ıvel.. 2.7. ˜ GERAL DESCRIC ¸ AO A aula come¸ca com a revis˜ ao das propriedades da potencia¸cão e da potencia¸cão com expoente. racional. Em seguida, é mostrado como os n´ umeros irracionais e as potências de expoente irracional s˜ ao abordados nos livros didáticos. ´ importante que os alunos da 3a série do Ensino Médio entendam que cada n´ E umero real é igual ao limite de uma sequência de n´ umeros racionais que converge para esse n´ umero real. 3, 000; ...), o n´ umero √ 5, 333; ...) e o n´ umero 2 é igual ao limite. Por exemplo, o n´ umero 3 é igual ao limite da sequência (3, 0; 5, 333 . . . é igual ao limite da sequência (5, 0;. 5, 33;. da sequência (1, 4;. 1, 41421;. 1, 41;. 1, 414;. 1, 4142;. 3, 00;. 1, 414213; ...).. Assim, para podermos conceituar potência de expoente irracional, é necessária inicialmente uma abordagem de n´ umero real (em particular, de n´ umero irracional) como o limite de uma sequência. Para compreender essa defini¸cão o aluno deve ser apresentado antes aos conceitos de sequência e limite de sequência. Após definirmos sequência, apresentamos alguns exemplos de sequências convergentes e de sequências divergentes para o aluno perceber a no¸cão de limite de sequência. Em seguida, definimos n´ umero irracional como sendo o limite de uma sequência de racionais que converge para esse irracional. Apresentamos então, na forma de propriedade das sequências convergentes, a defini¸c˜ ao de limite de sequência, sem formalizar demais, ou seja sem o uso das nota¸cões no , ε. Também sem sermos rigorosos na formaliza¸cão, definimos sequência de Cauchy. Em seguida, apresentamos a defini¸cão formal de potência de expoente real, que engloba o.

(13) 12 caso de expoente irracional. Para que essa defini¸cão proceda, mostramos que ax existe, sendo a um n´ umero positivo e ax o limite da sequência aXn , onde Xn é uma sequência de racionais que converge para o n´ umero real x. Antes dessa demonstra¸cão, para ela ser poss´ıvel, apresentamos dois teoremas segundo os quais toda sequência convergente é uma sequência de Cauchy e toda sequência de n´ umeros reais de Cauchy é convergente.. 2.8. POSS´ IVEIS DESDOBRAMENTOS Em um projeto de inicia¸c˜ ao cient´ıfica para alunos do Ensino Médio, com boa base em. Matemática, seria interessante que, na aula de potência de expoente irracional, se abordasse mais formalmente o conceito de limite de sequência. Nesse caso, o cap´ıtulo 4 desse trabalho de conclus˜ ao de curso, a menos de algumas demonstra¸cões, poderia fazer parte dessa aula. Pouqu´ıssimos colégios no Brasil incluem limite, tanto de sequência quanto de fun¸cão, em sua matriz curricular do Ensino Médio. Certamente, é muito proveitoso para o aluno que ingressa em uma faculdade da ´ area de Ciências Exatas já ter obtido, durante o Ensino Médio, algum tipo de conhecimento sobre limite. Quanto mais formalmente, melhor..

(14) 13. 3. ˜ NOS LIVROS DA EDUCAC ˜ BASICA ´ A POTENCIAC ¸ AO ¸ AO. No in´ıcio deste cap´ıtulo s˜ ao definidas as potências de expoente natural, inteiro e racional e também s˜ ao apresentadas as propriedades da potencia¸cão. Em seguida, é mostrado como alguns livros did´ aticos da Educa¸c˜ ao B´ asica abordam os n´ umeros irracionais. No final é apresentada a forma como alguns livros did´ aticos do Ensino Médio tratam das potências de expoente irracional, sem defini-las.. 3.1. ˆ POTENCIA DE EXPOENTE NATURAL Sejam a um n´ umero real e x um n´ umero natural. Definimos a potência de a de expoente. natural x como sendo o n´ umero: ax = a.a.a . . . a.a} {z | x fatores. 3.2. ˜ PROPRIEDADES DA POTENCIAC ¸ AO Devemos recordar as seguintes propriedades relativas à potencia¸cão: I) ax+y = ax .ay II) (ax )y = ax.y III) (a.b)x = ax .bx Vamos demonstr´ a-las: I) ax+y = ax .ay ax .ay = a.a . . . .a} . a.a . . . .a} = a.a . . . .a} = ax+y | {z | {z | {z xf atores II) (ax )y = ax.y. yf atores x + yf atores.

(15) 14 (ax )y = |ax .ax{z. . . ax} = a.a . . . .a} . a.a . . . .a} . a.a . . . .a} = axy | {z | {z | {z yf atores. xf atores xf atores xf atores |. {z. x . y f atores. }. III) (a.b)x = ax .bx x x (a.b)x = a . b . . . a . b} = a | . b . . . a{z | . a{z. . . . a} . b| . b{z. . . . b} = a .b. xf atores. xf atores. xf atores. As três propriedades têm que valer não só para potências de expoente natural, como para as de qualquer expoente real.. 3.3. ˆ POTENCIA DE EXPOENTE INTEIRO Sejam a um n´ umero real n˜ ao nulo e x um n´ umero natural. Temos que a0 = 1, pois: a0+x = a0 .ax (usando a propriedade I) ax = a0 .ax a0 =. ax =1 ax. Como x é um n´ umero natural, −x é um inteiro negativo. Logo, se o expoente for um n´ umero 1 inteiro negativo, ent˜ ao a−x = x , pois: a ax+(−x) = ax .a−x (usando a propriedade I) a0 = ax .a−x 1= ax .a−x a−x =. 3.4. 1 , pois ax 6= 0 ax. ˆ POTENCIA DE EXPOENTE RACIONAL. Sejam a um n´ umero real positivo, x um n´ umero natural e n um n´ umero natural maior que √ x n x 1. Então a n = a , pois: x. ax = a n .n x. ax = (a n )n (usando a propriedade II) Extraindo a raiz de ´ındice n em ambos os membros, obtemos o resultado esperado..

(16) 15 x x é um n´ umero racional positivo, − é um racional negativo. Logo, se o expoente n n for um n´ umero racional negativo, então: Como. a. −x n. x. 1 x , pois: an. = x. a− n + n = a0 = 1 x. x. x. x. a− n .a n = a− n + n = 1 (usando a propriedade I) x 1 x pois a n 6= 0 n a x 1 Logo, a− n = √ n x a x. a− n =. Devemos ressaltar que, no caso de expoente racional, há necessidade de se fazer a restri¸c˜ ao da base a ser positiva. Se consider´ assemos a possibilidade de a ser negativa, ter´ıamos determinadas √ 1 potências de expoente racional que não seriam n´ umeros reais, como por exemplo (−4) 2 = −4.. 3.5. ´ NUMEROS IRRACIONAIS Vejamos agora como alguns livros didáticos da Educa¸cão Básica apresentam os n´ umeros. irracionais. Observe que n˜ ao s˜ ao citados nem n´ umeros irracionais que não possuem uma lei de forma¸cão e nem potências de expoente irracional. Segundo Iezzi, G.; Dolce, O.; Périgo, R. (1998, p.8), temos: Assim como existem n´ umeros decimais que podem ser escritos como fra¸c˜ oes, com numerador e denominador inteiros - os n´ umeros racionais, que acabamos de ver - h´ a os que não admitem tal representa¸cão infinita periódica. Vejamos alguns exemplos: 1 - O n´ umero 0,212112111... não é d´ızima periódica, pois os algarimos ap´ os a v´ırgula não se repetem periodicamente. 2 - O n´ umero 1,203040... também não comporta representa¸cão fracion´ aria, pois n˜ ao é d´ızima periódica. √ √ 3 - Os n´ umeros 2 = 1, 4142135..., 3 = 1, 7320508... e π = 3, 141592..., por n˜ ao apresentarem representa¸cão infinita periódica, também não são n´ umeros racionais. Um n´ umero cuja representa¸cão decimal infinita não é periódica é chamado de n´ umero irracional.. Segundo Machado, A. S. (1998, p.40), temos: H´ a n´ umeros que podem ser escritos na forma decimal com infinitas casas decimais e n˜ ao s˜ ao periódicos. Verifica-se que esses n´ umeros não são racionais (n˜ ao podem ser obtidos por divisão de dois inteiros). Eles são denominados n´ umeros irracionais. S˜ ao exemplos de n´ umeros irracionais: √ 2 = 1, 4142135... √ 10 = 3, 1622776....

(17) 16 √ 4. 6 = 1, 5650845.... π = 3, 1415926... (razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência) e = 2, 7182818284... (conhecido como n´ umero de Euler - Leonard Euler 1707/1783) √ 1 − 2 = −0, 4142135... −14, 123112311123.... Segundo Bianchini, E.; Paccola, H. (2004, p.50-51), temos: Os n´ umeros racionais também não são suficientes para indicar todas as situa¸c˜ oes. Considere, por exemplo, um quadrado de lado 1. Aplicando o teorema agoras, determinamos que a medida da diagonal desse quadrado é √ √de 2Pit´ 2(( 2) = 12 + 12 ). √ Mostremos que 2 não é um n´ umero racional. √ umeros p e q De fato, se 2 fosse racional, então deveriam existir dois n´ √ √ p primos entre si, tal que 2 = , ou seja, p = q 2. q Elevando ambos os membros ao quadrado, temos p2 = 2q 2 . Logo p2 é par e consequentemente p é par, pois se p fosse ´ımpar, p2 também seria ´ımpar. Fazendo p = 2k(k ∈ Z), temos: 4k 2 = 2q 2 ⇒ 2k 2 = q 2 . Logo, q 2 é par e então q é par. O fato de p e q serem pares nos mostra qua a suposi¸cão de que p e q s˜ ao primos entre si é falsa. √ √ p p Logo, n˜ ao existe o n´ umero racional , tal que 2 = . Portanto, 2 n˜ ao q q é um n´ umero racional. De um modo geral, toda raiz cuja representa¸cão decimal não é exata, assim como todo n´ umero cuja forma decimal não é exata nem periódica, n˜ ao s˜ ao n´ umeros racionais. A esses tipos de n´ umeros chamamos de n´ umeros irracionais. Vejamos outros exemplos de n´ umeros irracionais: a) Escritos na forma decimal: 0,373373337...; 0,412413414...; 2,121221222...; π = 3,14159 √ √ √ 2√ √ √ 4 b) Escritos na forma de radical : 5, − 3, 3 4, 6 5, 2, 23 3 O fato de sempre existir, entre dois n´ umeros racionais, um outro n´ umero racional n˜ ao significa que os n´ umeros racionais preencham completamente os pontos da reta numérica, o que vale dizer que existem pontos da reta que n˜ ao representam n´ umeros racionais. A esses pontos associamos os n´ umeros irracionais.. 3.6. ˆ POTENCIA DE EXPOENTE IRRACIONAL Vejamos agora alguns exemplos da forma como alguns livros didáticos do Ensino Médio. tratam das potências de expoente irracional. Observe que, em nenhum momento, essas potências são definidas. Os livros citam simplesmente aproxima¸cões dessas potências, visto que a defini¸c˜ ao de potência de expoente irracional envolve o conceito de limite de sequência, que não é abordado.

(18) 17 nos livros did´ aticos da Educa¸c˜ ao B´ asica. Segundo Iezzi, G.; Dolce, O.; Murakami, C. (2004, p.21-22), temos: Dados um n´ umero real a > 0 e um n´ umero irracional α, podemos construir, com base nas potências de expoente racional, um u ńico n´ umero real positivo aα que é a potência de base a e expoente irracional α. √. quais são os valores racionais Seja por exemplo a potência 3 2 . Sabendo √ aproximados por falta ou por excesso de 2, obtemos encia os √ em correspondˆ valores aproximados, por falta ou por excesso de 3 2 (potências de base 3 e expoente racional, já definidas): A1. A2. B1. 2. 31. 1, 4. 1, 5. 31,4. 31,5. 1, 41. 1, 42. 31,41. 31,42. 1, 414. 1, 415. 31,414. 31,415. 1, 4143 }. 1,4142 |3. 1. 1, 4142 |. {z √ 2. B2 32. {z √. 3. 31,4143}. 2. Defini¸c˜ ao Sejam a ∈ R, a > 0 e α um n´ umero irracional; consideremos os conjuntos: A1 = {r ∈ Q/r < α} e A2 = {s ∈ Q/s > α} Notemos que: a) todo n´ umero de A1 é menor que qualquer n´ umero de A2 ; b) existem dois racionais r e s tais que r < α < s e a diferen¸ca s − r é menor que qualquer n´ umero positivo arbitrário. Em correspondência aos conjuntos A1 e A2 , consideremos os conjuntos B1 = {ar /r ∈A1 } e B2 = {as /s ∈A2 }. Se a > 1, demonstra-se que: a) todo n´ umero de B1 é menor que qualquer n´ umero de B2 ; b) existem dois n´ umeros ar e as tais que a diferen¸ca as - ar é menor que qualquer n´ umero positivo arbitrário. Nessas condi¸cões, dizemos que ar e as são aproxima¸cões por falta e por excesso, respectivamente, de aα e que B1 e B2 são classes que definem aα . Se 0 < a < 1, tudo acontece de forma análoga. Exemplos de potências com expoente irracional: √. 2. √ 2 , 4 3,. 1+√2 √ √ √ √ 2 5π , , (7)1+ 2 , (7)− 2 , ( 2) 3 3. Se a = 0 e α é irracional e positivo, daremos a seguinte defini¸cão especial 0α = 0 Observa¸cões 1a ) Se a = 1, então 1α = 1, ∀ α irracional..

(19) 18 2a ) Se a < 0 e α é irracional e positivo, então o s´ımbolo aα não tem significado. √ √ √ √ Exemplos: (−2) 2 , (−5) 3 e (− 2) 3 não tem significado. 3a ) Se α é irracional e negativo (α < 0), então 0α não tem significado. 4a ) Para potências de expoente irracional são válidas as propriedades (P).. Segundo Dante, L. R. (2011, p.218), temos: √. 2 Vamos agora dar uma idéia de como caracterizar, por √ exemplo, 2 . Tomamos as aproxima¸cões racionais do n´ umero irracional 2, que são 1; 1, 4; 1, 41; 1, 414; ..., e temos definidas as potências com expoente racional 21 ; 21,4 ; 21,41 ; 21,414 ; .... ` medida que: A 1; 1, 4; 1, 41; 1, 414; ... se aproximam de. √. 2,. 21 ; 21,4 ; 21,41 ; 21,414 ; ... se aproximam de 2. √. 2.. Usando a calculadora: 21 = 2; 21,4 = 2, 639015; 21,41 = 2, 657371; 21,414 = 2, 664749. Obtemos assim, por aproxima¸cão de racionais, a potência ax , com x irracional e a real positivo. Potência com expoente real Lembrando-se que a união dos n´ umeros racionais com os irracionais resulta nos n´ umeros reais, chegamos às potências com n´ umeros reais mantendo as propriedades já mencionadas. Observe algumas potências com expoente real:. 3. 5 6. √. 2. 3. 7π. √. ( 3). √. 2. √5 2 3. −√2 1 2. 54. 7−2. . 2 2 5 − 3. 80. Segundo Iezzi, G.; Dolce, O.; Degenszajn, D.; Périgo, R.; Almeida, N. (2010, p.170), temos: Vamos agora dar o significado às potências do tipo ax , em que a ∈ <∗+ e o expoente x é um n´ umero irracional. √7 √ √ √ √ 1 2 5 3 Por exemplo: 2 , 2 , 10 , , 4− 5 , . . . 2 √. Seja a potência 2 2 . √ Como 2 é irracional, vamos considerar aproxima¸cões racionais para esse n´ umero por falta e por excesso e, com auxilio de uma calculadora cient´ıfica, obter o valor das potências de expoentes racionais: √ Por falta 21 = 2 21,4 ∼ = 2, 639 21,41 ∼ = 2, 657 21,414 ∼ = 2, 6647 21,4142 ∼ = 2, 6651 .. .. 2∼ = 1, 41421356 Por excesso 22 = 4 √ √ 3 21,5 = 2 2 = 8 = 2 2 ∼ = 2, 828 1,42 ∼ 2 = 2, 675 21,415 ∼ = 2, 6665 21,4143 ∼ = 2, 6653 .. ..

(20) 19 √ Note que, à medida que os expoentes se aproximam de 2 por valores racionais, tanto por falta quanto por encias tendem √ excesso, os valores das potˆ a um mesmo valor, definido por 2 2 , que é aproximadamente igual a 2,665. Seja a ∈ R, a > 0. J´ a estudamos os diferentes tipos de potências ax com x racional ou irracional. Em qualquer caso ax > 0, isto é, toda potência de base real positiva e expoente real é um n´ umero positivo. Para essas potências continuam válidas todas as propriedades apresentadas nos itens anteriores deste cap´ıtulo..

(21) 20. 4. 4.1. ˆ PROPOSTA DE AULA SOBRE POTENCIA DE EXPOENTE IRRACIONAL. ˜ CONSIDERAC ¸ OES SOBRE A PROPOSTA DE AULA No Ensino Fundamental o aluno aprende que um n´ umero irracional é um n´ umero que possui. infinitas casas decimais, sem a ocorrência de um per´ıodo, ou seja, sem que, a partir de uma ´ explicado para os determinada casa decimal, um ou mais algarismos passem a se repetir. E alunos que todo n´ umero irracional não pode ser escrito na forma de fra¸cão com numerador √ √ e denominador inteiros. Alguns n´ umeros irracionais são exemplificados, como 2, 4 3, π e o √. n´ umero de Euler e. Porém, n˜ ao s˜ ao nem citados pelos professores n´ umeros irracionais como 3. 2.. Dessa forma, o aluno conclui o Ensino Fundamental sem ter tido nenhum contato com potências de expoente irracional. Na 1a série do Ensino Médio, as fun¸cões exponenciais são apresentadas aos alunos. Como o dom´ınio das fun¸c˜ oes exponenciais é o conjunto dos n´ umeros reais, nessa etapa de suas vidas √. escolares os alunos deveriam ter contato com n´ umeros como 3. 2,. porém deveriam ser alertados. pelo professor que a defini¸c˜ ao formal dessas potências de expoente irracional lhes seriam apresentadas somente na 3a série, quando eles estariam mais maduros para compreendê-la. Dessa forma, os alunos concluiriam o Ensino Médio sem ficar com essa lacuna na aprendizagem da po√. tencia¸cão, podendo, assim, n˜ ao s´ o determinar as primeiras casas decimais de 3 √. o significado de 3. 2,. como conhecer. 2.. Neste cap´ıtulo, apresentamos a proposta de aula sobre potência de expoente irracional para os alunos da 3a série do Ensino Médio. Como o conceito de potência de expoente irracional envolve a no¸c˜ ao de limite de sequência, inicialmente conceituamos sequência. Em seguida, é apresentada a idéia de limite de sequência, através de exemplos de sequências convergentes, além de serem mostrados também exemplos de sequências divergentes. Para podermos mostrar que a defini¸cão de potência de expoente irracional procede, são apresentadas duas propriedades (que correspondem aos conceitos de sequência convergente e sequência de Cauchy) e dois teoremas (que, juntos, correspondem ao Critério de Cauchy). Finalmente, definimos potência de expoente irracional e em seguida mostramos que tal defini¸cão procede..

(22) 21 4.2. ˆ SEQUENCIAS. Definic ¸˜ ao 4.1. Seja A um conjunto qualquer. Uma sequência de elementos de A é qualquer fun¸c˜ ao Ψ : N →A. Podemos denotar, mais informalmente, (X1 , X2 , X3 , ...) ou Xn como sendo uma sequência de elementos de A, onde X1 = Ψ(1), X2 =Ψ(2), e assim por diante. Numa sequência a ordem dos termos é relevante, ou seja, X1 é o primeiro termo, X2 é o segundo termo, e assim por diante. As sequências podem ser expressas na forma expl´ıcita ou na forma recorrente. Exemplo 4.2. Seja a sequˆ encia (2, 4, 6, 8, ...). Observe que X1 = 2 = 2.1 , X2 = 4 = 2.2 , X3 = 6 = 2.3 e, de forma geral, o termo de ordem n é igual ao dobro de n, isto é, o “enésimo” termo é igual ao dobro de n. Logo, podemos expressar essa sequência, na forma expl´ıcita, da seguinte maneira: Xn = 2n. Por outro lado, podemos observar que o primeiro termo é igual a 2 e, a partir do segundo, cada termo é igual ao termo anterior acrescido de duas unidades. Logo, na forma recorrente, Xn é expressa da seguinte maneira: X1 = 2 e Xn+1 = Xn + 2 para n ≥ 1. 4.3. ˆ LIMITES DE SEQUENCIAS Existem sequências Xn tais que, a medida que n aumenta, os valores de Xn cada vez mais. se aproximam de um determinado n´ umero real. Esse n´ umero é chamado de limite da sequência e é representado por lim Xn ( lê-se limite de Xn quando n tende para o infinito). n→∞. Vejamos alguns exemplos de sequências: Exemplo 4.3. Xn =. 1 n. 1 1 1 = 1; para n = 2, temos X2 = ; para n = 3, temos X3 = ; e, de 1 2 3 forma geral, cada termo é igual a fra¸cão cujo numerador é 1 e o denominador é igual a ordem Para n = 1, temos X1 =. desse termo. Assim, temos: . 1,. Exemplo 4.4. Xn =. 1 , 2. 1 , 3. 1 , ... 4. . n n+1. 1 1 2 2 Para n = 1, temos X1 = = ; para n = 2, temos X2 = = ; para n = 3, temos 1+1 2 2+1 3 3 3 X3 = = ; e de forma geral, cada termo é igual a fra¸cão cujo numerador é a ordem desse 3+1 4 termo e o denominador é igual ao sucessor do numerador. Assim, temos:.

(23) 22 . 1 , 2. 2 , 3. 3 , 4. 4 ... 5. . Para calcularmos o limite de uma sequência, temos de descobrir para qual n´ umero ela se aproxima quando n tende para o infinito. Na prática, devemos descobrir o que acontece quando n for muito grande. No exemplo 4.3, se tomarmos n = 1000000, teremos: 1 = 0, 000001. X1000000 = 1000000 Se tomarmos n = 1000000000, teremos: 1 = 0, 000000001. X1000000000 = 1000000000 Vemos que, a medida que n cresce, Xn vai se aproximando de zero. Intuitivamente, percebemos que o limite da sequência Xn = Denotamos lim. n→∞. 1 é igual a zero. n. 1 = 0. n. No exemplo 4.4, se tomarmos n = 999999 teremos: 999999 X999999 = = 0, 999999. 1000000 Se tomarmos n = 999999999, teremos: 999999999 = 0, 999999999. X999999999 = 1000000000 Vemos que a medida que n cresce, Xn vai se aproximando de 1. n = 1. n→∞ n + 1. Intuitivamente, percebemos que lim. Devemos ter cuidado com o fato de que, para calcularmos o limite de determinadas sequências, é necessário que utilizemos um valor exageradamente grande para n. Vejamos o próximo exemplo. Exemplo 4.5. Xn =. 1 n − 999999. Vamos descobrir o limite dessa sequência. Para tal temos que calcular o valor, não do milionésimo termo, e sim de um termo de ordem muito mais elevada, por exemplo, o trilionésimo. Vejamos: Tomando n = 1000000 temos X1000000 =. 1 = 1. 1000000 − 999999. Se tomarmos n = 1000000000000, teremos: 1 1 ∼ X1000000000000 = = = 0. 1000000000000 − 999999 999999000001 Já podemos perceber que o limite dessa sequência é 0, pois o denominador cresce indefinidamente, enquanto o numerador é fixo e igual a 1..

(24) 23 ˆ ˆ CONVERGENCIA DE SEQUENCIAS. 4.4. Quando o limite de uma sequência é o n´ umero real L, dizemos que essa sequência é convergente e ela converge para L. 1 1 = 0. Logo a sequência Xn = converge para 0. n→∞ n n n n = 1. Logo a sequência Xn = converge para 1. No exemplo 4.4 temos que lim n→∞ n + 1 n+1 No exemplo 4.3, temos que lim. Dizemos que uma sequência é limitada superiormente quando existe algum n´ umero real A tal que nenhum termo da sequência é maior que A. Analogamente, uma sequência é limitada inferiormente quando existe algum n´ umero real B tal que nenhum termo da sequência é menor que B. Uma sequência é limitada quando é limitada superior e inferiormente. Quando uma sequência n˜ ao converge para nenhum n´ umero real, dizemos que essa sequência é divergente. Vejamos um exemplo de uma sequência que diverge. A sequência do exemplo 4.2 Xn = 2n diverge, pois, a medida que n cresce, Xn cresce indefinidamente. Observe que, por maior que seja um valor que fixarmos, teremos necessariamente um certo termo da sequência a partir do qual todos os termos s˜ ao maiores do que esse valor fixado. Dizemos que essa sequência tende a infinito e usamos a seguinte nota¸cão: lim 2n = ∞. n→∞. Vamos analisar outras sequências divergentes. Exemplo 4.6. Xn = 2n3 − 100n2 + 3n Todas as sequências expressas por polinômios divergem, pois para valores suficientemente grandes de n, o termo de maior grau “comanda”, isto é, os outros termos ficam desprez´ıveis quando comparados a ele, n˜ ao importando os valores dos coeficientes. Uma maneira prática de percebermos tal fato é colocando encia o termo de maior grau. Vejamos: em evidˆ 50 3 ` medida que n cresce, − 50 e 3 se aproXn = 2n3 − 100n2 + 3n = 2n3 . 1 − + 2 . A n 2n n 2n2 50 3 ximam cada vez mais de zero e, assim, 1 − + 2 se aproxima de 1. Consequentemente, n 2n 50 3 3 2n . 1 − + 2 se torna cada vez mais próximo de 2n3 , ou seja, os termos da sequência n 2n se aproximam cada vez mais do termo de maior grau do polinômio que expressa a sequência. Logo, visto que 2n3 cresce indefinidamente, isto é, visto que lim 2n3 = ∞, conclu´ımos que n→∞. lim 2n3 − 100n2 + 3n = ∞.. n→∞. Observe que essas duas sequências, Xn = 2n e Xn = 2n3 − 100n2 + 3n, não são limitadas e por isso n˜ ao poderiam ser convergentes. Porém não basta uma sequência ser limitada para que seja convergente. Vejamos o seguinte exemplo. Exemplo 4.7. Seja a sequˆ encia (2, −3, 2, −3, 2, −3, ...). Essa sequência é limitada superiormente por 2 e limitada inferiormente por −3, ou seja, nenhum termo dessa sequência é maior que 2 e nenhum termo dessa sequência é menor que −3..

(25) 24 Logo, essa sequência é limitada. Por outro lado, a sequência não se aproxima de um determinado n´ umero quando tomamos os termos de ordem cada vez maior. Observe que, como os termos de ordem ´ımpar (isto é, o 1o termo, o 3o , o 5o , e assim por diante) são todos iguais a 2 e os termos de ordem par (isto é, o 2o termo, o 4o , o 6o , e assim por diante) são todos iguais a −3, os termos da sequência se alternam sempre entre 2 e −3. Assim, os termos não se aproximam cada vez mais de 2, bem como n˜ ao se aproximam de −3. Logo, essa sequência não converge nem para 2, nem para −3 e nem para nenhum outro n´ umero, ou seja, ela diverge. Esse tipo de divergência também ocorre com a sequência do próximo exemplo: 1 2 3 4 n n , ou seja, − , , − , , ... . Exemplo 4.8. Xn = (−1) . n+1 2 3 4 5 Essa sequência é limitada tanto superiormente, quanto inferiormente, pois todos os seus termos são maiores que −1 e menores que 1. Além disso, os termos de ordem ´ımpar se aproximam de −1 e os termos de ordem par se aproximam de 1. Porém, não podemos dizer que os termos se aproximam de 1, bem como n˜ ao é correto afirmar que os termos se aproximam de −1. Existem sequências de n´ umeros racionais que convergem para n´ umeros irracionais. Vejamos o próximo exemplo, no qual a sequência é expressa na forma recorrente: 2 1 Exemplo 4.9. X1 = 2 e Xn+1 = . Xn + 2 Xn Todos os termos dessa sequência são n´ umeros racionais, mas ela converge, como veremos √ adiante, para o n´ umero irracional 2. Observa¸c˜ ao: A origem dessa f´ ormula de recorrência não pode fazer parte da aula de potência de expoente irracional pelo fato de conter a no¸cão de derivada. Vamos determinar os cinco primeiros termos dessa sequência: X1 = 2 1 2 X2 = . 2 + 2 2 . . . =. 3 2. . 1 3 2  1 3 4 X3 = .  +  = . + 2 2 3 2 2 3 2 . . . 1 9+8 = . 2 6. . =. 17 12. . 1  17 2  1 17 24 X4 = .  + + = . 2 12 17 2 12 17 12 . . . . 1 = . 2. . 289 + 288 204. . =. 577 408. . 1  577 2  1 577 816 1 332929 + 332928 665857 X5 = .  + + = . = = .  2 408 577 2 408 577 2 235416 470832 408 Vamos agora com o aux´ılio de uma calculadora calcular os quadrados desses cinco primeiros . termos:. . . .

(26) 25 X12 = 4. X22 =. 9 = 2, 25 4. X32 =. 289 ∼ = 2, 006 ( X32 tem suas três primeiras casas decimais iguais às de 2, 006) 144. X42 =. 332929 ∼ = 2, 000006 (X42 tem suas seis primeiras casas decimais iguais às de 2, 000006) 166464. 443365544449 ∼ = 2, 000000000004 (X52 tem suas doze primeiras casas decimais iguais 221682772224 a`s de 2, 000000000004). X52 =. Cabe lembrar que, se n˜ ao quisermos recorrer a um computador, devemos efetuar manualmente os c´ alculos do quadrado de 665857, do quadrado de 470832 e do quociente aproximado desses dois quadrados, que corresponde ao valor aproximado do quadrado de X5 , devido a quantidade de d´ıgitos de 443365544449 e de 221682772224 ser maior do que a suportada pela calculadora. ` medida que n cresce, Xn elevado ao quadrado se aproxima de 2, ou seja, lim X 2 = 2. A n n→∞. Como os quadrados dos termos da sequência Xn se aproximam cada vez mais de 2, as ra´ızes √ quadradas desses quadrados, isto é, os termos de Xn , se aproximam cada vez mais de 2, ou √ seja, lim Xn = 2. n→∞. Sabemos que uma calculadora n˜ ao trabalha com fra¸cão, e sim com o quociente do numerador pelo denominador da mesma. Se utilizarmos uma máquina de calcular de oito digitos e teclarmos 2 seguido da tecla de raiz quadrada, a máquina de calcular mostrará no seu visor, como resultado, 1, 4142135. Como 1, 41421352 = 1, 99999982358225 6= 2, o resultado não está correto. O fato da m´ aquina de calcular s´ o possuir oito d´ıgitos gera erros que tem de ser percebidos por parte do aluno. Se teclarmos “ 1, 4142135 X 1, 4142135 = ” teremos como resultado 1, 9999998 e não o correto, que seria 1, 99999982358225. Mesmo se utilizarmos um computador capaz de efetuar contas com n´ umeros que possuem uma grande quantidade de casas decimais, ainda assim √ √ o resultado que ele dar´ a para 2 n˜ ao estará correto, já que 2 não possui um n´ umero finito de casas decimais. Vejamos as opera¸c˜ oes que a m´ aquina de calcular de oito d´ıgitos efetua até mostrar o resutado √ de 2: X1 = 2.

(27) 26 1 2 X2 = . 2 + 2 2 . . 1 3 = .(2 + 1) = = 1, 5 2 2. 1 2 X3 = . 1, 5 + 2 1, 5 . . 1 2, 8333333 = . (1, 5 + 1, 3333333) = = 1, 4166666 2 2. 2 1, 4166666 + 1, 4166666. . 1 2, 8284313 = .(1, 4166666 + 1, 4117647) = = 1, 4142156 2 2. 2 1, 4142156 + 1, 4142156. . 1 2, 8284271 = .(1, 4142156 + 1, 4142115) = = 1, 4142135 2 2. 2 1, 4142135. . 1 2, 8284271 = .(1, 4142135 + 1, 4142136) = = 1, 4142135. 2 2. 1 X4 = . 2. . 1 X5 = . 2. . 1 X6 = . 2. . 1, 4142135 +. Por n˜ ao possuir mais casas decimais, a máquina simplesmente pára o processo de calcular os termos seguintes da sequência. Equivocadamente, segundo a máquina, qualquer termo de ordem maior ou igual a cinco é igual a 1, 4142135. Porém, sabemos que, na verdade, os termos vão se tornando cada vez menores, mas sempre tais que seus quadrados são maiores do que 2. Pelo fato de “truncar” os n´ umeros que não cabem no seu visor, a máquina já compromete o processo de determinar corretamente os termos dessa sequência logo no terceiro termo. Quando ela apresenta 1, 3333333 como o resultado da divisão de 2 por 1, 5, já está sendo feita uma aproxima¸c˜ ao de um n´ umero que n˜ ao pode ser expresso com uma quantidade finita de casas decimais. A d´ızima 1, 333..., que é o resultado da divisão de 2 por 1, 5, pode ser expressa como o limite da sequência do pr´ oximo exemplo. Exemplo 4.10. X1 = 1, 3 e Xn+1 = Xn + 0, 1n .0, 3 Vamos determinar os primeiros termos dessa sequência: X1 = 1, 3 X2 = 1, 3 + 0, 1 . 0, 3 = 1, 3 + 0, 03 = 1, 33 X3 = 1, 33 + 0, 12 . 0, 3 = 1, 33 + 0, 01 . 0, 3 = 1, 33 + 0, 003 = 1, 333 X4 = 1, 333 + 0, 13 . 0, 3 = 1, 333 + 0, 001 . 0, 3 = 1, 333 + 0, 0003 = 1, 3333 Podemos perceber que o termo de ordem k, ou seja, Xk possui k casas decimais, todas compostas pelo algarismo 3. Por outro lado, sabemos que 2 ÷ 1, 5 tem infinitas casas decimais com o algarismo 3. Logo, o limite dessa sequência é exatamente o resultado da divisão de 2 por 1, 5, ou seja lim Xn = 1, 333.... n→∞. 4.5. ˜ DE POTENCIA ˆ CONCEITUAC ¸ AO DE EXPOENTE IRRACIONAL Nessa se¸c˜ ao, é feita uma abordagem de n´ umero real que não é vista pelos alunos da Educa¸c˜ ao. Básica. Em seguida, s˜ ao apresentadas duas propriedades e dois teoremas que serão utilizados.

(28) 27 na explica¸c˜ ao da coerência da defini¸cão formal de potência de expoente irracional. Vamos inicialmente abordar os n´ umeros irracionais fazendo uma rela¸cão com o conceito de limite de sequência. Cada n´ umero real (e, consequentemente, cada n´ umero irracional) é igual ao limite de alguma sequência de racionais que converge para esse n´ umero real. Por exemplo, o n´ umero. √ 2 é igual ao limite da sequência do exemplo que segue.. Exemplo 4.11. (1, 4 ; 1, 41 ; 1, 414 ; 1, 4142 ; 1, 41421 ; ...) Essa sequência é constru´ıda de seguinte forma: como 1, 42 = 1, 96 < 2 e 1, 52 = 2, 25 > 2, √ temos que a primeira casa decimal de 2 é 4 e assim o primeiro termo da sequência é 1, 4; analogamente, como 1, 412 = 1, 9881 < 2 e 1, 422 = 2, 0164 > 2, temos que a segunda casa decimal √ de 2 é 1 e assim o segundo termo da sequência é 1, 41 ; e da´ı em diante. Observe que cada termo dessa sequência tem uma casa decimal a mais que o termo anterior, sendo que o termo √ √ de ordem n tem as n primeiras casas decimais de 2. Por isso o limite dessa sequência é 2. √ Como j´ a vimos, 2 tamb´ em é igual ao limite da sequência do exemplo 4.9, 3 17 577 665857 2, , , , , ... , 2 12 408 470832 √ que, do quarto termo em diante, oferece aproxima¸cões melhores para 2 do que a sequência . do exemplo 4.11. Observe, como j´ a vimos, que o quadrado do quarto termo da sequência do exemplo 4.9 é aproximadamente igual a 2, 000006 (cuja diferen¸ca, em módulo, para 2 é igual a 0, 000006), enquanto que o quadrado do quarto termo da sequência do exemplo 4.11 é igual a 1, 41422 =1,99996164 (cuja diferen¸ca, em módulo , para 2 é igual a 0, 00003836). Já o quadrado do quinto termo da sequência do exemplo 4.9 é aproximadamente igual a 2, 000000000004 (cuja diferen¸ca, em m´ odulo, para 2 é igual a 0, 000000000004), enquanto que o quadrado do quinto termo da sequência do exemplo 4.11 é igual a 1, 414212 = 1, 9999899241 (cuja diferen¸ca, em módulo, para 2 é igual a 0, 0000100759). Vamos agora enunciar a primeira de duas importantes propriedades. Propriedade 4.12. Seja Xn uma sequência que converge para um n´ umero real L. Ent˜ ao, a diferen¸ca, em m´ odulo, entre os termos da sequência e L fica t˜ ao pequena quanto se queira, a partir de um determinado termo, ou seja, sempre existe um determinado termo da sequência a partir do qual |Xn − L| é menor que qualquer n´ umero previamente estabelecido, por menor que esse seja. Vejamos alguns exemplos. Já vimos que a sequência do exemplo 4.3 Xn =. 1 converge para 0. n. Se quisermos que a diferen¸ca, em módulo, entre os termos de Xn e o seu limite, que é zero, 1 fique menor do que , devemos resolver a seguinte inequa¸cão: 100

(29)

(30)

(31) 1

(32)

(33) − 0

(34) < 1 .

(35) n

(36) 100.

(37) 28 Como. 1 é sempre positivo, temos: n. 1 1 < n 100 n > 100. Logo, a partir do centésimo-primeiro termo, a diferen¸ca, em módulo, entre qualquer termo 1 de Xn e 0 é menor do que . 100 Agora, se quisermos que a diferen¸ca, em módulo, entre os termos de Xn e o seu limite, que 1 , devemos resolver a seguinte inequa¸cão: é zero, fique menor do que 1000000

(38)

(39)

(40)

(41) 1 1

(42) − 0

(43) <

(44) 1000000 .

(45) n 1 é sempre positivo, temos: n 1 1 < n 1000000. Como. n > 1000000. Logo, a partir do milionésimo-primeiro termo, a diferen¸ca, em módulo, entre qualquer termo 1 de Xn e 0 é menor do que . 1000000 Será que j´ a podemos concluir que, a partir de um determinado termo, a diferen¸ca, em módulo, entre os termos de Xn e 0 fica tão pequena quanto se queira? Veremos mais adiante que a resposta é n˜ ao. Vejamos outro exemplo. Já vimos que a sequência do exemplo 4.4 Xn =. n converge para 1. n+1. Se quisermos que a diferen¸ca, em módulo, entre os termos Xn e 1 fique menor do que devemos resolver a seguinte inequa¸cão:

(46)

(47)

(48) n

(49) 1

(50)

(51)

(52) n + 1 − 1

(53) < 200 .. n n < 1, qualquer que seja n, pois n > 0 e n + 1 > n, temos − 1 < 0. n+1 n+1

(54)

(55)

(56) n

(57) n n

(58)

(59) Assim,

(60) − 1

(61) = − −1 = 1− , visto que |a| = −a se a < 0. n+1 n+1 n+1 Como. Continuando a resolu¸c˜ ao da inequa¸cão, temos: 1−. n 1 < n + 1 200. n+1−n 1 < n+1 200. 1 , 200.

(62) 29. 1 1 < n + 1 200. n + 1 > 200 n > 199. Logo a partir do ducentésimo termo, a diferen¸ca , em módulo, entre qualquer termo de Xn 1 e 1 é menor que . 200 Se quisermos que a diferen¸ca, em módulo, entre os termos de Xn e 1 fique menor do que 1 , devemos resolver a seguinte inequa¸cão: 5000000

(63)

(64)

(65) n

(66) 1

(67)

(68)

(69) n + 1 − 1

(70) < 5000000 . n n Como < 1, para qualquer valor de n, temos − 1 < 0. n+1 n+1

(71)

(72)

(73) n

(74) n

(75) Assim,

(76) − 1

(77)

(78) = 1 − . n+1 n+1. Continuando a resolu¸c˜ ao da inequa¸cão, temos: 1−. n 1 < n + 1 5000000. n+1−n 1 < n+1 5000000 1 1 < n + 1 5000000. n + 1 > 5000000 n > 4999999. Logo, a partir do termo de ordem 5000000, a diferen¸ca, em módulo, entre qualquer termo 1 de Xn e 1 é menor do que . 5000000 Ainda n˜ ao podemos concluir que, a partir de um certo termo, a diferen¸ca, em módulo, entre os termos de Xn e 1 fica t˜ ao pequena quanto se queira. Veremos mais adiante o porquê. Para comprovarmos que estamos certos no cálculo do limite de uma sequência expressa na forma expl´ıcita, temos que utilizar a Propriedade 4.12..

(79) 30 n . Vimos que essa sequência n+1 achássemos que lim Xn fosse igual a 0, 99.. Vejamos novamente a sequência do exemplo 4.4 Xn = converge para 1. Suponhamos que,. erroneamente,. n→∞. Se quisermos descobrir a partir de qual termo dessa sequência o módulo da diferen¸ca entre 1 , devemos resolver a inequa¸cão abaixo: qualquer termo e 0, 99 é menor do que 10

(80)

(81)

(82)

(83) n

(84) < 1

(85) − 0, 99

(86) 10

(87) n+1. −. 1 n 1 < − 0, 99 < 10 n + 1 10. −n − 1 < 10n − 9, 9n − 9, 9 < n + 1 −n − 1 < 0, 1n − 9, 9 < n + 1 −n + 8, 9 < 0, 1n < n + 10, 9 Logo, −n + 8, 9 < 0, 1n. e. 0, 1n < n + 10, 9. −1, 1n < −8, 9. e. 1, 1n > 8, 9. 0, 9n > −10, 9. n>. e. 8, 9 89 = 1, 1 11. Logo, n >. −0, 9n < 10, 9. e n>−. 10, 9 109 =− 0, 9 9. 89 = 8, 090909..., ou seja, n ≥ 9. 11. Conclu´ımos que, a partir do nono termo, o módulo da diferen¸ca entre qualquer termo da n 1 sequência Xn = e 0, 99 é menor que . Vejamos o que ocorre se quisermos que essa n+1 10 1 diferen¸ca, em m´ odulo, fique menor que : 100

(88)

(89)

(90) n

(91)

(92)

(93) < 1 − 0, 99

(94) n+1

(95) 100 −. 1 n 1 < − 0, 99 < 100 n + 1 100. −n − 1 < 100n − 99n − 99 < n + 1 −n − 1 < n − 99 < n + 1 −n + 98 < n < n + 100 Logo, −n + 98 < n e n < n + 100 −2n < −98. e n − n < 100. 2n > 98. 0n < 100. e.

(96) 31 n > 49. e. 0 < 100. Logo, n > 49, ou seja, n ≥ 50. Conclu´ımos que, a partir do quinquagésimo termo, o módulo da diferen¸ca entre qualquer 1 n e 0, 99 é menor que . Vejamos o que ocorre se quisermos que termo da sequência Xn = n+1 100 1 essa diferen¸ca, em m´ odulo, fique menor que : 1000

(97)

(98)

(99) n

(100) 1

(101)

(102)

(103) n + 1 − 0, 99

(104) < 1000. −. 1 n 1 < − 0, 99 < 1000 n + 1 1000. −n − 1 < 1000n − 990n − 990 < n + 1 −n − 1 < 10n − 990 < n + 1 −n + 989 < 10n < n + 991 Logo, −n + 989 < 10n 989 < 11n n>. 989 11. e. e. 10n < n + 991. 9n < 991. e n<. 991 9. 991 989 <n< , ou seja, 90 ≤ n ≤ 100. Conclu´ımos que não existe um termo a partir 11 9 1 do qual o m´ odulo da diferen¸ca entre qualquer termo da sequência e 0, 99 é menor do que . 1000 Segundo a Propriedade 4.12, caso essa sequência convergisse para 0, 99, esse termo teria que Logo,. existir. Para comprovar que essa sequência não converge para 0, 99, poder´ıamos ter resolvido a seguinte inequa¸c˜ ao, sendo p um n´ umero positivo arbitrário:

(105)

(106)

(107) n

(108)

(109)

(110) <p − 0, 99

(111) n+1

(112). −p <. n − 0, 99 < p n+1. −pn − p < n − 0, 99n − 0, 99 < pn + p −pn − p < 0, 01n − 0, 99 < pn + p −pn − p + 0, 99 < 0, 01n < pn + p + 0, 99 Logo, −pn − p + 0, 99 < 0, 01n. e. 0, 01n < pn + p + 0, 99. (−p − 0, 01)n < p − 0, 99 e (0, 01 − p)n < p + 0, 99.

(113) 32 e consequentemente −p − 0, 01 < 0, a primeira inequa¸c˜ ao 0, 99 − p é equivalente a (p + 0, 01)n > 0, 99 − p. Logo, temos que: n > . Na segunda inep + 0, 01 qua¸cão, se p for menor que 0, 01 então 0, 01 − p > 0. Nesse caso essa inequa¸cão fica p + 0, 99 . Assim, a primeira e a segunda inequa¸cões, se p < 0, 01, impliequivalente a n < 0, 01 − p 0, 99 − p p + 0, 99 n cam em <n< . Logo, lim não pode ser igual a 0, 99 pois, se fosse, n→∞ n + 1 p + 0, 01 0, 01 − p dever´ıamos ter n maior que uma expressão envolvendo p, e não compreendido entre duas exNa linha anterior, como p > 0. pressões envolvendo p. Observe que, como afirma a Proposi¸cão 4.12, se lim Xn = L, então, por n→∞. menor que seja o n´ umero positivo p, sempre existe algum termo da sequência Xn a partir do qual ocorre |Xn − L| < p, qualquer que seja n. Vamos agora mostrar que, de fato, o limite da sequência do exemplo 4.3 é igual a 0, ou seja, 1 umero positivo arbitrário, temos que resolver a inequa¸cão abaixo: lim = 0. Sendo p um n´ n→∞ n

(114)

(115)

(116) 1

(117)

(118) − 0

(119) < p

(120) n

(121) 1 −0 < p n 1 −p < < p n −p <. −pn < 1 < pn Logo, −pn < 1 pn > −1 n>. −1 p. e. e. 1 < pn. 1 <n p. e n>. 1 p. 1 Como 1 > −1 temos que n > . p Conclu´ımos que, dado um n´ umero positivo p, a partir do termo de ordem igual ao menor 1 1 n´ umero inteiro maior que , o m´ odulo da diferen¸ca entre qualquer termo da sequência Xn = p n 1 e 0 é menor que p. Assim, fica provado que lim = 0. n→∞ n Vamos agora mostrar que de fato o limite da sequência do exemplo 4.4 é igual a 1, ou seja, n lim = 1. Sendo p um n´ umero positivo arbitrário, temos que resolver a inequa¸cão abaixo: n→∞ n + 1

(122)

(123)

(124) n

(125)

(126)

(127)

(128) n + 1 − 1

(129) < p n −1 < p −p < n+1 −pn − p < n − n − 1 < pn + p −pn − p < −1 < pn + p Logo −pn − p < −1 e −1 < pn + p.

(130) 33 −pn < p − 1 pn > −p + 1 n>. −p + 1 p. e. −pn < p + 1. e. pn > −p − 1. e. n>. −p − 1 p. Como −p + 1 > −p − 1 temos que n >. −p + 1 . p. Conclu´ımos que, dado um n´ umero positivo p, a partir do termo de ordem igual ao menor −p + 1 , o módulo da diferen¸ca entre qualquer termo da sequência n´ umero inteiro maior que p n n e 1 é menor que p. Assim, fica provado que lim = 1. Xn = n→∞ n + 1 n+1 −0, 000001 + 1 0, 999999 Por exemplo, se p = 0, 000001, então n > = = 999999, ou seja,n ≥ 0, 000001 0, 000001 n 999999 1000000. Observe que, se n = 999999, = = 0, 999999 e então n + 1 1000000

(131)

(132)

(133)

(134) n

(135)

(136) ao é menor que p. Se n = 1000000,

(137) n + 1 − 1

(138) = |0, 999999 − 1| = |−0, 000001| = 0, 000001, que n˜

(139)

(140)

(141)

(142)

(143)

(144)

(145)

(146)

(147) n

(148)

(149) 1000000

(150)

(151) 1000000 − 1000001

(152)

(153)

(154) 1 ∼ 0, 000000999, que é menor que

(155)

(156)

(157)

(158)

(159)

(160)

(161)

(162) = =

(163) −

(164) n + 1 − 1

(165)

(166) 1000001 − 1

(167) =

(168)

(169) 1000001 1000001

(170) p.. Consideremos novamente a sequˆ encia do exemplo 4.9, expressa na forma recorrente por √ 1 2 X1 = 2 e Xn+1 = . Vimos, sem provar, que essa sequência converge para 2. Xn + 2 Xn Como 1, 41421352 ∼ = 1, 999999824 < 2 e 1, 41421362 ∼ = 2, 000000106 > 2, temos que 1, 4142135 √ 665857 ∼ < 2 < 1, 4142136 . Como X5 = = 1, 414213562, temos que X5 possui suas sete primeiras √

(171)

(172) √ 470832

(173)

(174) casas decimais iguais as de 2 e por isso

(175) X5 − 2

(176) < 0, 0000001. Se quisermos que o m´ odulo da diferen¸ca entre os termos dessa sequência e. √. 2 fique menor. do que, por exemplo, 0, 0000000000000000001, basta continuarmos calculando os termos subsequentes ao quinto termo de modo que, a partir de um determinado termo Xk , teremos, qualquer √ que seja n ≥ k, |Xn − 2| < 0, 0000000000000000001 . Podemos garantir que o módulo da di√ feren¸ca entre cada termo da sequência e 2 se torna cada vez menor. Para provar isso, vamos √ mostrar que a sequência é limitada inferiormente por 2 e é decrescente. Além disso, por ser decrescente, ela é limitada superiormente pelo seu primeiro termo, que é igual a 2. Estamos nos baseando na existência de um teorema cujo enunciado é o seguinte: Teorema 4.13. Toda sequência mon´ otona limitada é convergente. Observe que ser limitada significa ser limitada superior e inferiormente e ser mon´ otona significa ser n˜ ao decrescente (isto é, qualquer termo da sequência é maior ou igual ao termo anterior) ou n˜ ao crescente (ou seja, qualquer termo é menor ou igual ao termo anterior). Note também que ser decrescente (isto é, qualquer termo da sequência é menor que o termo anterior) é um caso particular de ser n˜ ao crescente..

(177) 34 Observa¸c˜ ao: A demonstra¸c˜ ao desse teorema foge ao escopo da aula para os alunos. Primeiro, veremos que a sequência é decrescente. Para isto vamos mostrar que, para todo n´ umero natural n ≥ 1,. Xn+2 < Xn+1 . Observe que ficar´ a faltandomostrarmos que X2 < X1 . 2 1 2 1 1 X1 + = 2+ = (2 + 1) = Essa prova, porém, é imediata, pois como X1 = 2 e X2 = 2 X1 2 2 2 3 = 1, 5, temos que X2 < X1 . 2 1 2 Como Xn+1 = Xn + 2 Xn . 1 Xn+2 = 2 Como. . 1 X2 + 2 1 2 = . n e Xn+2 = Xn+1 + , temos que: 2 Xn 2 Xn+1. 1 Xn2 + 2 2.2Xn + 2 . 2 Xn Xn + 2. . !. 1 = 2. . !. 4Xn 1 Xn2 + 2 + 2 . . 2 Xn Xn + 2. 1 1 .a + .a = a podemos reescrever Xn+1 da seguinte forma: 2 2. 1 Xn+1 = 2. !. 1 Xn2 + 2 1 Xn2 + 2 4Xn 1 X2 + 2 . + . . Vamos mostrar que 2 < . n 2 Xn 2 Xn Xn + 2 2 Xn. e ent˜ ao teremos demonstrado que Xn+2 < Xn+1 , ou seja, que a sequência é decrescente. 1 X2 + 2 4Xn ≥ . n . A sequência é formada somente por 2 Xn + 2 2 Xn termos positivos, pois o primeiro termo é igual ao n´ umero positivo 2 e a soma, bem como a Suponhamos, por absurdo, que. divisão, de n´ umeros positivos, resulta sempre em n´ umeros positivos. Considerando que 2Xn > 0, qualquer que seja n, e multiplicando os dois membros da inequa¸cão acima por 2Xn obtemos 8Xn2 ≥ Xn2 + 2. Como Xn > 0, temos que Xn2 + 2 > 0. Xn2 + 2 Logo, segue que 8Xn2 ≥ (Xn2 + 2)2 . Como Xn > 0, temos que 8Xn2 > 0 e (Xn2 + 2)2 > 0. √. Logo, segue que. √ √ 8Xn ≥ Xn2 + 2 ⇒ Xn2 − 8Xn + 2 ≤ 0. O discriminante da equa¸cão Xn2 −. 8Xn + 2 = 0 é igual a : 8 − 4.1.2 = 8 − 8 = 0. √ √ 8 2 2 √ = = 2. Como o coeficiente de Xn2 é igual a 1, que é um Logo, a u ńica raiz é 2.1 2 √ n´ umero positivo, e o discriminante da equa¸cão é nulo, temos que Xn2 − 8Xn + 2 > 0, qualquer √ que seja Xn 6= 2. Como a sequência é formada por n´ umeros racionais, nenhum termo pode ser √ √ igual a 2, que é um n´ umero irracional. Logo, para todo Xn , Xn2 − 8Xn + 2 > 0. Chegamos √ 4Xn 1 X2 + 2 ≥ . n , implica em Xn2 − 8Xn + 2 ≤ 0. Conclu´ımos que a uma contradi¸c˜ ao, pois 2 Xn + 2 2 Xn 4Xn 1 Xn2 + 2 < . e, consequentemente, que a sequência é decrescente. Xn2 + 2 2 Xn √ Agora vamos mostrar que a sequência e limitada ´ inferiormente por 2. Suponhamos, por √ √ √ 1 2 2 absurdo, que Xn+1 < 2, ou seja que Xn + < 2. Logo, Xn + < 2 2. 2 Xn Xn √ √ Como Xn > 0, temos que: Xn2 + 2 < 2 2Xn ⇒ Xn2 − 2 2Xn + 2 < 0. O discriminante da √ equa¸cão Xn2 − 2 2Xn + 2 = 0 é igual a 8 − 8 = 0. Como o coeficiente de Xn2 é igual a 1, que √ é um n´ umero positivo, e o discriminante da equa¸cão é nulo, temos que Xn2 − 8Xn + √ √ 2 ≥ 0. Chegamos a uma contradi¸cão, visto que, se Xn+1 < 2, então Xn2 − 8Xn + 2 < 0..

(178) 35 Conclu´ımos, ent˜ ao, que nenhum termo pode ser menor que √ limitada inferiormente por 2.. √. 2, ou seja, que a sequência é. Vamos agora apresentar uma segunda importante propriedade. Propriedade 4.14. Dizemos que uma sequência é de Cauchy se conseguimos tornar t˜ ao pequena quanto se queira a diferen¸ca, em m´ odulo, entre quaisquer dois termos de ordem maior ou igual a de um determinado termo, ou seja, uma sequência é de Cauchy se, por menor que seja um n´ umero arbitr´ ario p, sempre existir algum termo Xk a partir do qual |Xn − Xm | < p, quaisquer que sejam n e m maiores ou iguais a k. 2 1 Xn + , é Por exemplo, a sequência do exemplo 4.9, expressa por X1 = 2 e Xn+1 = 2 Xn de Cauchy, pois, como j´ a vimos: . . X1 = 2 X2 = 1, 5 17 , que é aproximadamente igual a 1, 4166666 12 577 X4 = , que é aproximadamente igual a 1, 4142156 408 665857 X5 = , que é aproximadamente igual a 1, 4142135. 470832. X3 =. Então, se quisermos tornar menor que 0,01 o módulo da diferen¸ca entre quaisquer dois termos de ordem maior ou igual a de um determinado termo, basta escolhermos o terceiro para ser esse termo, pois, a partir dele, todos os termos são iguais à soma de 1, 41 com valores menores que 0, 01 , ou seja, todos os termos, a partir do terceiro, possuem o algarismo 1 na casa das unidades, 4 na casa dos décimos e 1 na casa dos centésimos. Assim, a diferen¸ca, em módulo, entre quaisquer dois termos, a partir do terceiro, é sempre menor que 0, 01. Por exemplo, |X3 − X5 | ∼ = 1, 4166666 − 1, 4142135 = 0, 0024531 < 0, 01. Analogamente, se quisemos tornar menor que 0, 00000000000000000001 a diferen¸ca, em módulo, entre quaisquer dois termos de ordem maior ou igual a de um determinado termo, devemos prosseguir calculando os termos seguintes ao quinto e, então, em algum momento, as vinte primeiras casas decimais de um certo termo de ordem k serão iguais às vinte primeiras do termo seguinte. Assim, teremos, a partir de Xk , a diferen¸ca, em módulo, entre quaisquer dois termos menor que 0, 00000000000000000001 (ou 10−20 ). Podemos perceber que a diferen¸ca, em módulo, entre quaisquer dois termos de ordem maior ou igual a de um determinado termo fica realmente tão pequena quanto se queira, ou seja, a sequência Xn acima é de Cauchy. Agora j´ a podemos apresentar a defini¸cão formal de potência de expoente real, que engloba o caso de expoente irracional..

(179) 36. Definic ¸˜ ao 4.15. Sejam a um n´ umero real positivo e x um n´ umero real. Seja Xn uma sequência de n´ umeros racionais que converge para x. ax. Ent˜ ao, como a fun¸c˜ ao exponencial f (x) = ax é uma fun¸c˜ ao cont´ınua, temos que Xn = lim a . n→∞. Para essa defini¸c˜ ao fazer sentido, devemos demonstrar que a sequência aXn converge para ax . Para essa demonstra¸c˜ ao, ainda vamos precisar dos dois teoremas que seguem. Teorema 4.16. Toda sequência que possui a Propriedade 4.12, ou seja, que converge, possui obrigatoriamente a Propriedade 4.14, ou seja, é de Cauchy. A idéia desse teorema é a seguinte: Seja Xn uma sequência que converge para L. Para valores grandes de n, os termos Xn vão cada vez mais se aproximando de L (Propriedade 4.12). Nesse caso eles est˜ ao, necessariamente, se aproximando uns dos outros (Propriedade 4.14).. Teorema 4.17. Toda sequência de n´ umeros reais que possui a Propriedade 4.14, ou seja, de Cauchy, possui a Propriedade 4.12, isto é, converge. A idéia desse teorema é a seguinte: Para valores grandes de n os termos Xn vão se aproximando uns dos outros (Propriedade 4.14), ou seja, a diferen¸ca, em m´ odulo, entre quaisquer dois termos pode se tornar tão pequena quanto se queira, a partir de um determinado termo. Assim, sempre existe um determinado termo a partir do qual todos os termos da sequência possuem a mesma parte inteira e as mesmas primeiras n casas decimais, isto é, a diferen¸ca entre quaisquer dois desses termos é menor que 10−n . Ent˜ ao, conclu´ımos que os termos se aproximam de um mesmo n´ umero, que é o limite da sequência. Logo, a sequência converge (Propriedade 4.12). Vamos agora demonstrar que ax existe, isto é, aXn converge para ax . Como Xn converge para x, temos, pelo Teorema 4.16, que Xn é uma sequência de Cauchy. Como Xn é de Cauchy, temos, para valores grandes de n, os termos de Xn se aproximando uns dos outros. Sendo r um n´ umero natural positivo arbitrário, temos, para valores grandes ∼ Xn . Como, para valores grandes de de n, que aXn+r ÷ aXn = aXn+r −Xn ∼ = a0 = 1, pois Xn+r = n, aXn+r ÷ aXn ∼ ao se = 1, temos que aXn+r ∼ = aXn . Logo, os termos da sequência aXn também v˜ aproximando uns dos outros, ou seja, aXn é de Cauchy..

(180) 37 Sendo aXn uma sequência de n´ umeros reais e de Cauchy, conclu´ımos, pelo Teorema 4.17, que aXn converge. Logo, provamos que, sendo a um n´ umero real positivo, x um n´ umero real e Xn uma sequência de n´ umeros racionais que converge para x, o limite lim aXn existe. Vejamos porque esse limite n→∞. é igual a ax , ou seja, porque ax = lim aXn . n→∞. ` medida que os termos de Xn se aproximam de x, os termos de aXn se aproximam de ax . A Assim, como a fun¸c˜ ao exponencial f (x) = ax é uma fun¸cão cont´ınua, temos que o limite de aXn é igual a ax . √. Por exemplo, 2 2 = lim 2Xn , sendo Xn a sequência que converge para n→∞ 2 1 Xn + . X1 = 2 e Xn+1 = 2 Xn. √ 2 e é expressa por.