Exercícios Movimento em 1 D. Retornando ao Movimento em uma Dimensão (1D):

(1)

Fundamentos de Mecânica – 4300151 Prof. Renato F. Jardim – 2020-2

Exercícios – Movimento em 1 D

Retornando ao Movimento em uma Dimensão (1D):

(1) Foi abordado o Movimento Uniforme com Aceleração Nula e Velocidade Constante assim como as relações que determinam o estado físico do Sistema (Equações do

Movimento);

(2) Foi também abordado o Movimento não Uniforme, com Aceleração Constante ( 0) e

Velocidade variando de Maneira Progressiva e a uma Taxa ou Variação Constante,

assim como as relações que determinam o estado físico do Sistema (Equações de Movimento);

(2)

Relembrando alguns Pontos de Interesse, os objetivos são:

⬤ Generalizar a definição matemática da aceleração média de um objeto em movimento para a

aceleração instantânea por meio de um processo de limite.

⬤ Representar o movimento com mudanças contínuas na velocidade usando gráficos de

movimento e um pouco de matemática.

⬤ Relacionar o conceito de linha ou reta tangente em um gráfico de velocidade versus tempo

com a aceleração instantânea.

⬤ A aceleração média a_m ao longo de um eixo x é definida, analogamente à velocidade média,

como:

a

_m,x

=



𝑣𝑥



𝑡

=

𝑣_𝑥 ,𝑓 −𝑣𝑥,𝑖 𝑡_𝑓 −𝑡𝑖

Caso da aceleração constante

(3)

⬤ E se a aceleração não for constante?

⬤ A figura mostra a curva v_x(t) para um movimento onde a aceleração

não é constante.

⬤ A aceleração instantânea é a

inclinação da tangente da curva v_x(t) no tempo t: a_x = lim 𝑡0 𝑣𝑥/𝑡 = 𝑑𝑣_𝑥 𝑑𝑡 ⬤ Ou ainda

Aceleração Instantânea – Movimento em 1 D

Aceleração Constante tangente à curva v_x(t) em P Necessário o conhecimento de derivadas !!! Já vimos !!!

(4)

⬤

Para encontrar e estudar a mudança na velocidade durante um intervalo de tempo (Δt), é

possível usar a área sob a curva a_x(t) em gráficos a_x(t).

⬤Embora a aceleração possa não ser constante através do movimento, é possível dividir o

movimento em pequenos intervalos de tempo Δt nos quais ela pode ser considerada constante. ⬤No limite Δt⟶ 0, é possível encontrar (_{já vimos integrais}_):

v_x = ׬_𝑡 𝑖

𝑡_𝑓

𝑎_𝑥 𝑡 𝑑𝑡

Vamos olhar, uma vez +, ao desenvolvido em gráficos de v(t) para movimentos com velocidades

constantes (aceleração zero)! Relembrando....

x = (x_f - x_i) = v_x  (t_f – t_i) x_f(t) = x_i + v  (t_f – t_i)

(5)

• Uma vez conhecida a velocidade de um dado movimento

NÃO UNIFORME em 1 D, é possível usar a mesma

abordagem empregada acima para obter o deslocamento em graficos de v_x versus t:

Portanto, é necessário abordar conceitos de integrais !

nesta pequena regiao, o deslocamento é v_xt

área sob a curva é x_f - x_i

(6)

Para encontrar a mudança na velocidade ao longo do intervalo de tempo, aproximamos a curva de

aceleração por etapas, faixas ou passos

(t) de aceleração constante

Durante esta etapa, a velocidade é alterada para a_x(t₄)t

A mudança de velocidade em todo o intervalo é a soma das mudanças de velocidade em faixas, etapas ou passos

A mudança de velocidade durante a etapa 4 é igual a a_x(t₄)t (área do retângulo)

Conforme tornamos t menor, a aproximação

melhora e a soma das áreas retangulares se aproxima da área sob a curva

área sob a curva é v_x,f - v_x,i Aceleração Variável – Gráficos – Área sob Curvas - Movimento Não Unifrome em 1 D

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Ferramentas Quantitativas: Movimento Acelerado (NÃO UNIFORME)

• A componente x da aceleração média é

• A componente x da aceleração instantânea é

• A componente x da mudança na velocidade ao longo de um intervalo de tempo é dado por

• A componente x do deslocamento ao longo de um intervalo de tempo é dada por

(8)

Resumo – Derivadas e Integrais

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Utilizando Cálculo

Usando cálculo para determinar o Deslocamento

• Suponha que um objeto inicialmente em x_i em t_i = 0 tenha uma aceleração constante cuja

componente x é a_x. Use o cálculo integral para mostrar que a componente x da velocidade e a

coordenada x em algum instante final t_f são dados pelas Equações:

Velocidade v_x (t)

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SOLUÇÃO

Como a aceleração a_x assume valor constante, é possível “tirá-la” da integração, ou seja:

Substituindo t_i = 0 e reorganizando os termos, obtém-se:

Que é exatamente a equação para o

Movimento não Uniforme com Aceleração Constante com t_i = 0 !

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SOLUÇÃO

Como a aceleração a_x assume valor constante, é possível tirá-la da integração, ou seja: Para um instante final arbitrário t_f, é possível abandonar o subscrito f. Sabendo que o

deslocamento (ou a distância percorrida) é a área sob a curva do Gráfico de velocidade versus Tempo,

ou, retirando termos constantes da integração e, em seguida, realizando a integração

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Exercício

A relação 3t = 𝟑 𝒙 + 6 descreve o

deslocamento de uma partícula em 1 D,

onde x é dado em metros e t em segundos. Encontre o deslocamento quando a

velocidade da partícula for zero e a Equação para a aceleração da partícula. Solução

Passo 1 – Isolar a variável de interesse: x

3t = 𝟑 𝒙 + 6  𝟑 𝒙 = 3t - 6

Passo 2 - Elevando ao quadrado os dois

lados da Equação e simplificando:

3x = (3t – 6)2 = 9t2 – 36t + 36 ou ainda

x(t) = 3t2 – 12t + 12

Passo 3 – A partir de x(t) obter a Equação para a

velocidade v(t) = 𝒅(𝒙 𝒕 ) 𝒅𝒕 = 𝒅(𝟑𝒕𝟐 −𝟏𝟐𝒕 + 𝟏𝟐) 𝒅𝒕 v(t) = 𝒅(𝟑𝒕 𝟐₎ 𝒅𝒕 − 𝒅 𝟏𝟐𝒕 𝒅𝒕 + 𝒅(𝟏𝟐) 𝒅𝒕  v(t) = 6t - 12 Se v_x = 0, então 0 = 6t – 12, ou t = (12/6) = 2 s

Passo 4 – Uma vez obtido t = 2s, substituir em

x(t)

x(t = 2s) = 3t2 – 12t + 12 = [3(22)] – (122) +12 x(t = 2s) = 12 – 24 + 12 = 0 m

Passo 5 – Encontrar a Equação para a aceleração

a(t) = 𝒅(𝒗 𝒕 ) 𝒅𝒕 = 𝒅(𝟔𝒕 − 𝟏𝟐) 𝒅𝒕 = 𝒅(𝟔𝒕) 𝒅𝒕 − 𝒅 𝟏𝟐 𝒅𝒕 = 6 m/s 2

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Exercício

A equação da velocidade de um objeto se deslocando em 1 Dimensão é dada por v(t) = 2t + 5. Sabendo que o

deslocamento do objeto é x = 6 m para t = 0 segundos, encontre o deslocamento em t = 7 s e escreva a equação horária (x(t)) do objeto para qualquer t.

Passo 1 – condições iniciais: x(t = 0) = x₀ = 6 m

Visualizando! Duas maneiras de resolver o problema: (i)

Integral Indefinida; e (ii) Integral Definida. (i) Solução por Integral Indefinida

Definição de velocidade instantânea v(t) = 𝒅𝒙(𝒕)

𝒅𝒕

Passo 2 – Calcular a Integral Indefinida

- ׬ 𝑑𝑥 = ׬ 𝑣 𝑡 𝑑𝑡 + C - x(t) = ׬(𝟐𝒕 + 𝟓) 𝒅𝒕 + C = ׬ 𝟐𝒕 𝒅𝒕 + ׬ 𝟓 𝒅𝒕 + C - x(t) = (2t2_{/2) + 5t + C} x(t) = t2 _{+ 5t + C} Mas, em t = 0 s, x(t = 0) = 6 m e substituindo em x(t) x(t) = t2 _{+ 5t + C} _{6 = 0 + 0 + C ou C = 6 m}

Logo, x(t) pode ser determinada completamente

x(t) = t2 + 5t + 6  Equação Horária com o Valor inicial dado !

Passo 3 – Calcular o Deslocamento em t = 7 s

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(ii) Solução por Integral Definida

Passo 1 – calcular a Equação Horária

(sabendo que x(t = 0 s) = 6 m

v(t) = 𝒅𝒙(𝒕)

𝒅𝒕

v(t) dt = dx e tomamos a Integral Definida entre t = 0 s (que conhecemos) e um t arbitrário, genérico

׬₀𝑥𝑑𝑥′ = ׬₀𝑡 2𝑡 + 5 𝑑𝑡′, dt’ aqui é só para diferenciar de t (o mesmo é válido para dx’).

Passo 2 - Integrando 𝑥′|₀𝑥 = 𝑡′2_| 0 𝑡 _{+ 5𝑡′|} 0 𝑡 _ _{(x – 6) = (t}₂ _{– 0) + (5t – 0)}

x(t) = t2 + 5t + 6 mesmo resultado obtido acima!

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Exercício

Passo 3 – Encontre o deslocamento em t = 7 s (sabemos que x(t = 0 s) = 6 m)

׬₀𝑥 𝑑𝑥′ = ׬₀7 2𝑡′ + 5 𝑑𝑡, t’ aqui é só para diferenciar de t (o mesmo válido para x’).

Passo 4 - Integrando 𝑥′|₀𝑥 = 𝑡′2_| 0 7 _{+ 5𝑡′|} 0 7 _ _{(x(t =7) – 6) = (t}₂ _{– 0) + (5t – 0)}_ _{(x(t = 7) – 6) = ((7)}₂ _{– 0) + (5}__{(7) – 0)}

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Movimento com Aceleração Constante (Movimento NÃO UNIFORME)

• Se um objeto tem aceleração constante, a curva v_x(t) é uma linha reta que tem uma inclinação

diferente de zero e a curva a_x(t) é uma linha horizontal.

• Se um objeto se move na direção x com um eixo de aceleração constante começando em

t = 0, com velocidade inicial v_x,i na posição inicial x_i, sua coordenada x em qualquer instante t é dada por:

• A componente x de sua velocidade instantânea em um dado tempo t é dada por:

• E a componente x de sua velocidade final é dada por:

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Conceitos: Queda Livre e Movimento de Projétil

• Um objeto sujeito apenas à gravidade está em queda livre. Todos os objetos em queda livre próximos à superfície da Terra têm a mesma aceleração, que é direcionada para baixo. Chamamos essa aceleração de aceleração da gravidade e

denotamos sua magnitude pela letra g.

• Um objeto que é lançado, mas não autopropulsado, está em movimento de projétil. Depois de lançado, ele está em queda livre. O que segue é chamado de trajetória.

Ferramentas Quantitativas: Queda Livre e Movimento de Projéteis

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Resumo – Movimento em 1 Dimensao

Conceitos: Movimento ao Longo de um Plano Inclinado

• Um objeto que se move para cima ou para baixo em um plano inclinado no qual o atrito é desprezível tem uma aceleração constante que é direcionada paralelamente à superfície do plano e aponta para baixo ao longo da

superfície.

Ferramentas Quantitativas: Queda Livre e Movimento de Projéteis

• Quando o atrito é desprezível, a componente x do eixo de aceleração para um objeto que se move em um plano

inclinado que se eleva em um ângulo θ acima da horizontal é

a

_x

Exercícios Movimento em 1 D. Retornando ao Movimento em uma Dimensão (1D):

a

=





=

⬤

a

= + g sen θ