EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO

(1)

EXERCÍCIOS

DE

APLICAÇÃO

FÍSICA PARA ENGENHARIA ELÉTRICA

José Fernando Fragalli

Departamento de Física – Udesc/Joinville

“Near the end of this decade, when they begin enumerating the names of the people who had the greatest impact on the 20th century, the name of John Bardeen, who died last week, has to be near, or perhaps even arguably at, the top of the list... Mr. [sic] Bardeen shared two Nobel Prizes and won numerous other honors. But what greater honor can there be when each of us can look all around us and everywhere see the reminders of a man whose genius has made our lives longer, healthier and better.” – Editorial do Chicago Tribune em 03/02/1991.

(2)

1. Introdução

2. Conceitos de Relatividade 3. Radiação de Corpo Negro

4. Propriedades Corpusculares da Radiação 5. Propriedades Ondulatórias da Matéria

6. Conceitos de Mecânica Quântica 7. Modelos Atômicos

8. Átomos de Muitos Elétrons e Moléculas

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

(3)

1. Introdução

2. Conceitos de Relatividade

3. Radiação de Corpo Negro

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

(4)

Exercícios da Lista 1

1. Uma barra de

1,00 m

é projetada ao espaço com

velocidade tão grande que seu comprimento aos olhos de um observador na Terra parece contraído para apenas

0,500 m

. Determine a velocidade de percurso desta barra.

Trata-se de analisar o comportamento cinemático da barra que se move com uma velocidade elevada.

2. CONCEITOS DE RELATIVIDADE

Para todos os efeitos, um observador solidário à barra está em repouso em relação à ela.

Por sua vez, um observador na Terra desloca-se com a velocidade que queremos determinar em relação à barra lançada ao espaço.

(5)

Para resolver este problema, usamos a fórmula que relaciona os comprimentos medidos em dois referenciais que estão a velocidades diferentes.

Como visto em sala de aula, a relação entre os comprimentos medidos por um referencial S’ que se move com velocidade V em relação a um referencial S em repouso é

γ

S S S

L

c

V

L

=

∆

⋅

−

=

∆

_'

1

₂2

(6)

É importante ter clareza aqui que neste problema S’ é o observador na Terra e S o observado solidário à barra.

Assim, temos que

γ

00 ,

1

00 ,

1

500 ,

0

₂ 2

=

−

⋅

=

c

V

m

L

_S

_'

=

0 ,

500 ∆

∆

L

_S

=

1 ,

00 m

00 ,

2 =

γ

⇒

(7)

Com o valor de

γγγγ

determinado, é possível calcular a velocidade com que se move a barra.

00 , 2 1 1 2 2 = − = c V

γ

c

V

=

0 ,

867 ⋅

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

⇒

₁

₀

_,

₂₅₀

2 2

=

−

c

V

750 ,

0

2 2

=

c

V

⇒

(8)

2. Um foguete possui na Terra um comprimento de

100 m

.

Quando está voando o seu comprimento é de

99,0 m

para um

observador situado na Terra. Determine o valor de sua velocidade.

Trata-se, como no problema anterior, de analisar o comportamento cinemático do avião que se move com uma velocidade elevada.

Para todos os efeitos, um observador solidário ao avião está em repouso em relação à ele.

Por sua vez, um observador na Terra desloca-se com a velocidade que queremos determinar em relação ao avião.

(9)

Para resolver este problema, usamos a fórmula que relaciona os comprimentos medidos em dois referenciais que estão a velocidades diferentes.

Como visto em sala de aula, a relação entre os comprimentos medidos por um referencial S’ que se move com velocidade V em relação a um referencial S em repouso é

γ

S S S

L

c

V

L

=

∆

⋅

−

=

∆

_'

1

₂2

(10)

É importante ter clareza aqui que neste problema S’ é o observador na Terra e S o observado solidário ao avião.

γ

100

1

100

0 ,

99

₂ 2

=

−

⋅

=

c

V

m

L

_S

_'

=

99 ,

0 ∆

∆

L

_S

=

100 m

01 ,

1 =

γ

⇒

(11)

Com o valor de

γγγγ

determinado, é possível calcular a velocidade com que se move a barra.

01 , 1 1 1 2 2 = − = c V

γ

c

V

=

0 ,

141 ⋅

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

⇒

₁

₀

_,

₉₈₀

2 2

=

−

c

V

0199

,

0

2 2

=

c

V

⇒

(12)

3. Um foguete deixa a Terra com uma velocidade de

0,980

⋅

c

. Um observador situado na Terra mede o tempo que o ponteiro dos minutos de um relógio da nave leva para efetuar uma revolução completa. Determine o valor deste tempo.

Trata-se, como no problema anterior, de analisar o comportamento cinemático do avião que se move com uma velocidade elevada.

Para todos os efeitos, um observador solidário ao foguete está em repouso em relação à ele.

Por sua vez, um observador na Terra desloca-se com a velocidade de 0,980

⋅⋅⋅⋅

c.

(13)

Neste caso, queremos determinar o tempo medido por um observador na Terra após o observador no foguete ter observado que o relógio marcou a passagem de 1 hora

(uma revolução completa no ponteiro dos minutos).

Como visto em sala de aula, a relação entre os tempos medidos por um referencial S’ que se move com velocidade V em relação a um referencial S em repouso é

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

S S S

t

c

V

t

⋅

∆

−

=

∆

⋅

=

∆

2 2 '

1

1 γ

(14)

É importante ter clareza aqui que neste problema S’ é o observador na Terra e S o observado solidário ao avião.

hora

t

_S

=

1 ,

00 ∆

03 ,

5 =

γ

⇒

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

2 2 980 , 0 1 1 1 1       ⋅ − =       − = c c c V γ

c

V

=

0 ,

980 ⋅

(15)

Com o valor de

γγγγ

determinado, é possível calcular o tempo que o observador em S’ (na Terra) mede no relógio do foguete.

horas

t

_S

_'

=

5 ,

03 ∆

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

⇓

00 ,

1

03 ,

5

'

=

⋅

∆

=

⋅

∆

t

_S

γ

t

_S

(16)

4. Um avião faz a volta em torno da Terra com uma velocidade de

300 m/s

. Determine o número de anos antes que um relógio no avião e outro na Terra difiram de

1,00 s

.

Neste caso trata-se de analisar o comportamento cinemático de um relógio dentro de um avião viajando a 300 m/s com outro na Terra.

Fazemos a suposição que antes do avião decolar o relógio na Terra e aquele no avião foram sincronizados.

Também neste caso um observador solidário ao avião está em repouso em relação a ele.

(17)

Também aqui um observador na Terra desloca-se com a velocidade de 300 m/s em relação ao avião.

Para resolver este problema, usamos a fórmula que relaciona os tempos medidos em dois referenciais que estão a velocidades diferentes.

S S S t c V t t ⋅∆ − = ∆ ⋅ = ∆ 2 2 ' 1 1

γ

(18)

Como o relógio na Terra viaja a 300 m/s em relação ao relógio no avião, então o tempo se dilatará para o observador na Terra, tal que

Em 1 ANO (1 ANO = 3,11

××××

106 _s_{), os dois relógios vão}

diferir de A T t t ⋅∆       × − = ∆ 2 8 10 00 , 3 300 1 1

⇒

∆tT ≈ ∆tA A T t t ≠ ∆ ∆

Assim, para que a diferença entre eles seja de 1,00 s, o número de anos deve ser igual a

(19)

5. Um homem deixa a Terra em um foguete que faz uma viagem de ida e volta à estrela mais próxima distante

4,00

anos

⋅

luz

com uma velocidade de

0,900

⋅

c

. No seu retorno determine o tempo que ele é mais jovem do que seu irmão gêmeo que permaneceu na Terra.

Neste caso trata-se de analisar o comportamento cinemático do irmão gêmeo que viaja ao espaço com velocidade 0,900

⋅⋅⋅⋅

c comparando sua idade com a do irmão gêmeo que fica na Terra.

Fazemos a suposição que antes do foguete decolar os dois irmãos gêmeos tenham a mesma idade.

(20)

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Neste caso o irmão gêmeo solidário ao foguete está em repouso em relação a ele.

Por outro lado, o irmão gêmeo que ficou na Terra desloca-se com a velocidade de 0,900

⋅⋅⋅⋅

c em relação ao seu irmão que viaja no foguete.

Para resolver este problema, usamos a fórmula que relaciona os tempos medidos em dois referenciais que estão a velocidades diferentes.

(21)

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

S S S t c V t t ⋅∆ − = ∆ ⋅ = ∆ 2 2 ' 1 1

γ

Como o irmão gêmeo que fica na Terra viaja a 0,900

⋅⋅⋅⋅

c

em relação ao irmão que está no foguete, então o tempo se dilatará para o irmão gêmeo na Terra, tal que

GF GT t c c t ⋅∆       ⋅ − = ∆ 2 900 , 0 1 1

⇒

∆

_t

_GT

=

₂

_,

₂₉

⋅

∆

_t

_GF

(22)

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Precisamos calcular agora quanto tempo durou a viagem do irmão gêmeo que está no foguete.

Como a estrela para a qual o irmão gêmeo do foguete se destinou está a 4,00 anos

⋅⋅⋅⋅

luz da Terra e como ele se desloca

a 0,900c, então o tempo de viagem deste gêmeo (ida e volta

até a estrela) é

Por sua vez, para o gêmeo que ficou na Terra, o tempo que seu irmão demorou para ir e vir da estrela a 4,00 anos

⋅⋅⋅⋅

luz é dado por

c

anos

c

t

_GF

⋅

=

∆

900 ,

0

00 ,

4

2 _t

_anos

GF

=

8 ,

89 ∆

⇒

(23)

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Assim, o diferença entre estes dois tempos é o quanto o irmão gêmeo que ficou no foguete é mais jovem do que aquele que ficou na Terra.

89 ,

8

4 ,

20 −

=

∆

t

⇒

GF GT

t

=

⋅

∆

2 ,

29 ∆

t

_GT

=

20 ,

4 anos

anos

t

=

11 ,

5 ∆

⇒

(24)

6. Certa partícula possui vida média igual a

1,00

×

10

-7

_s

quando medida em repouso. Determine o valor desta vida média caso a sua velocidade no instante de sua criação for igual a

0,990

⋅

c

.

Neste caso trata-se de analisar o comportamento cinemático dos “dois relógios” naturais, um no referencial da partícula em repouso e outro no referencial da partícula em movimento com velocidade V = 0,990

⋅⋅⋅⋅

c.

Tanto o tempo medido em repouso quanto aquele medido em movimento dizem respeito à medidas feitas no referencial do laboratório.

(25)

O tempo de vida médio obtido com a partícula em repouso corresponde ao tempo medido no referencial S’, já que este referencial está solidário à partícula.

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

S S S

t

c

V

t

⋅

∆

−

=

∆

⋅

=

∆

2 2 '

1

1 γ

(26)

É importante ter clareza aqui que neste problema S’ é o observador no laboratório e S o observado solidário à partícula.

s

t

_S

=

1 ,

00 ×

10 −

7 ∆

09 ,

7 =

γ

⇒

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

2 2 990 , 0 1 1 1 1       ⋅ − =       − = c c c V γ

c

V

=

0 ,

990 ⋅

(27)

Com o valor de

γγγγ

determinado, é possível calcular o tempo que o observador em S’ (na Terra) mede no relógio do foguete.

s

t

_S

_'

=

7 ,

09 ×

10 −

7 ∆

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

⇓

7 '

7 ,

09

1 ,

00

10

−

×

⋅

=

∆

⋅

=

∆

t

_S

γ

t

_S

(28)

1. Introdução

2. Conceitos de Relatividade

3. Radiação de Corpo Negro

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

(29)

1. Em que comprimento de onda um irradiador de cavidade a

6000 K

irradia mais energia por comprimento de onda? Justifique a sua resposta.

Um irradiador de cavidade é uma outra forma de se referir a um corpo negro.

3. RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO

Por outro lado, a energia por comprimento de onda é proporcional à radiância espectral R_λλλλ.

Desta forma o problema nada mais pede do que o comprimento de onda na qual a radiância espectral emitida por um corpo negro é máxima.

(30)

Abaixo mostramos espectros de R_λλλλ(

λλλλ

) = I_λλλλ(

λλλλ

) de um corpo negro para várias temperaturas.

b

T

MAX

⋅

=

λ

K

m

b

=

2 ,

89 ×

10

−3

⋅

(31)

Para determinar este comprimento de onda onde a radiação emitida seja máxima usamos a Lei de Deslocamento de Wien.

No problema em questão temos que T = 6000 K, o que nos conduz ao seguinte resultado para o comprimento de onda onde a radiação emitida pelo irradiador é máxima

b

T

MAX

⋅

=

λ

K

m

b

=

2 ,

89 ×

10

−3

⋅

nm

MAX

=

481 λ

azul

455 nm ≤ λ_azul ≤ 492 nm

(32)

3. Um irradiador de cavidade a

6000 K

tem um orifício de

0,10 mm

de diâmetro feito em sua parede. Determine a potência irradiada através do orifício

a) no intervalo de comprimentos de onda entre

550

e

552 nm

.

Queremos determinar a potência irradiada por um orifício, que neste caso representa o corpo negro.

A radiância é definida como sendo a energia irradiada por unidade de área, por unidade de tempo.

Assim, a radiância nada mais é do que a potência irradiada por unidade de área.

(33)

Assim, como a área do orifício é A =

π⋅

D2_/4_{, onde} _D _{é o}

seu diâmetro, temos que

Por sua vez, a radiância é determinada através da integração da radiância espectral no intervalo de comprimentos de onda solicitado, isto é

4 2 D R A R P = ⋅ = ⋅π ⋅

( )

∫

⋅

=

2 1 λ λ

R

λ

d

λ

R

Vamos usar nesta equação a fórmula de R_λλλλ(

λλλλ

) obtida por Planck para a radiação de corpo negro.

(34)

Desta forma, usamos

Substituímos então a fórmula de Planck e calculamos a radiância no intervalo de comprimentos de onda solicitado.

( )

      −       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 1 exp 1 2 5 2 T k c h c h R B λ λ π λ λ

∫

⋅













−













⋅

=

2 1

1 exp

1

2

5 2 λ λ

λ

π

d

T

k

c

h

c

h

R

B

(35)

Aqui nós observamos que o intervalo de comprimentos de onda solicitado é de apenas 2 nm (de 550 a 552 nm)

Para intervalos de comprimentos de onda suficientemente pequenos (como é o caso neste problema), podemos aproximar o resultado da integral por

( )

λ λ λ λ λ π λ λ λ ⋅ = ⋅∆       −       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

_∫

d R T k c h c h R B 2 1 1 exp 1 2 5 2

Nesta equação

λλλλ

= 551 nm é a média do intervalo de comprimentos de onda considerado e

∆λ

= 2 nm.

(36)

Assim, obtemos então o seguinte resultado para a potência irradiada pelo orifício

λ π λ λ π _⋅ ⋅ _⋅_∆         −       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 4 1 exp 1 2 2 5 2 D T k c h c h P B Usamos h = 6,63

××××

10-34 _J

⋅⋅⋅⋅

_s_, _{c = 3,00}

××××

₁₀8 _m/s_,

λλλλ

_{= 551} nm, k_B = 1,38

××××

10-23 _J/K_, _{T = 6000 K}_, _{D = 0,10 mm}_,

∆λ

_{= 2 nm}_{, e} obtemos

mW

P

=

1 ,

50

(37)

3. Um irradiador de cavidade a

6000 K

tem um orifício de

0,10 mm

de diâmetro feito em sua parede. Determine a potência irradiada através do orifício

b) no intervalo de comprimentos de onda entre

200

e

800 nm

.

Neste caso, não podemos simplificar o cálculo da integral.

Para tanto devemos resolver a integral nos limites solicitados pelo problema.

∫ ⋅       −       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 2 1 1 exp 1 2 5 2 λ λ λ λ λ π d T k c h c h R B

(38)

Esta integral não tem solução analítica e para o seu cálculo devemos fazê-lo através de métodos numéricos.

Para resolver esta integral, fazemos a seguinte mudança de variável

( )

T

k

c

h

x

B

⋅

=

λ

Assim, nos limites entre 200 nm e 800 nm, obtemos

= ⋅       −       ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

_∫

nm nm B d T k c h c h D P 800 200 5 2 2 1 exp 1 1 2 4 λ λ λ π π

( )

T

k

x

c

h

x

B

⋅

=

λ

_dx

x

T

k

c

h

d

⋅

−

=

1

₂

λ

(39)

Substituímos a expressão para

λλλλ

e d

λλλλ

na integral e obtemos a seguinte expressão para a potência

∫

⋅

−

⋅

=

12,0 00 , 3 3 2 3 4 4 2 2

1

2 e

dx

x

c

h

T

k

D

P

π

B _x

Para determinar os limites de integração, usamos

( )

T

k

c

h

x

B

⋅

=

λ

T

k

c

h

x

B mai

⋅

=

λ

min

nm

mai

=

800 λ

T

k

c

h

x

B men

⋅

=

λ

max

x

min

=

3 ,

00 x

max

=

12 ,

0 nm

men

=

200 λ

(40)

Calculamos a integral numericamente e obtemos

[ ]

dx

a

e

x

−

⋅

=

∫

₃12_,₀₀,0 3

1 a

P

=

8 ,

84 ×

10

−2

⋅

Usamos h = 6,63

××××

10-34 _J

⋅⋅⋅⋅

_s_, _{c = 3,00}

××××

₁₀8 _m/s_, _{D = 0,10} mm, k_B = 1,38

××××

10-23 _J/K_, _{T = 6000 K} _{e obtemos}

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

∫

⋅

−

⋅

=

12,0 00 , 3 3 2 3 4 4 2 2

1

2 e

dx

x

c

h

T

k

D

P

π

B _x

(41)

3. Admita que o Sol comporte-se como um corpo negro.

a) Supondo que a temperatura da superfície do Sol é

5700

K

, use a

Lei de Stefan-Boltzmann

para determinar a massa de repouso perdida por unidade de tempo pelo Sol na forma de radiação eletromagnética. Para este cálculo, considere que o diâmetro do Sol seja

1,40

×

10

9

_m

_.

A Lei de Stefan-Boltzmann relaciona a intensidade da radiação eletromagnética irradiada pelo corpo negro com a temperatura.

4 T

R

=

σ

⋅

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

4 2 8

/

10

67 ,

5 ×

W

m

⋅

K

=

−

σ

(42)

Calculamos então a intensidade de radiação irradiada pelo Sol, considerando que sua temperatura seja de 5700 K.

Como já visto antes, podemos calcular a potência irradiada pelo Sol multiplicando a radiância pela área do Sol.

2

7 /

10

99 ,

5 W

m

R

=

×

2

4 r

_SOL

A

=

⋅

π

⋅

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Em termos do seu diâmetro, a área do Sol é dada por

A

R

P

=

⋅

Logo, temos que 2

d

R

P

=

⋅

π

⋅

d r =

(43)

Como d = 1,40

××××

109 _m_{, temos que a potência irradiada é}

igual a

W

P

=

3 ,

69 ×

10

26

A hipótese é que a energia irradiada associada a esta potência seja transformada em perda de massa do Sol.

2

c

m

E

=

⋅

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

2

c

m

E

=

∆

⋅

∆

2

c

t

m

t

E

P

⋅

∆

=

∆

=

Igualamos esta potência relativística com a potência irradiada pelo corpo negro e determinamos então a taxa de perda de massa

∆∆∆∆

m/

∆∆∆∆

t.

(44)

Exercícios da Lista 2 25 2

10

22 ,

9 ×

=

⋅

∆

c

t

m

_Usamos _{c = 3,00}

_××××

₁₀8 _m/s_{, e} obtemos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

s

kg

t

m

/

10

08 ,

4 ×

9

=

∆

b) Que fração da massa de repouso do Sol é perdida cada ano sob forma de radiação eletromagnética? Para este cálculo considere a massa do Sol como sendo

2,00

×

10

30

_kg

_.

Com o valor da taxa de perda de massa calculada acima, podemos determinar a massa do Sol perdida em um ano.

(45)

Para isto, basta fazer

∆∆∆∆

t = 1 ano = 3,15

××××

107 _s_.

kg

m

=

1 ,

29 ×

10

17

∆

Assim, temos que em um ano a massa perdida é igual a

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

14

10

44 ,

6 ×

−

=

f

A fração de massa perdida pelo Sol em forma de radiação é então f =

∆∆∆∆

m/M_SOL.

(46)

1. Introdução

4. Propriedades Corpusculares da Radiação

5. Propriedades Ondulatórias da Matéria 6. Conceitos de Mecânica Quântica

7. Modelos Atômicos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

(47)

1. A energia necessária para que um elétron seja removido do sódio é

2,30 eV

. O sódio apresenta Efeito Fotoelétrico para a luz amarela com comprimento de onda

λ

= 589 nm

?

Queremos saber se ao incidir luz de comprimento de onda

λλλλ

= 589 nm (amarela ⇒⇒⇒⇒ 565 nm

≤≤≤≤ λλλλ

_amarela

≤≤≤≤

590 nm) estes fótons terão energia suficiente para retirar elétrons de uma placa de sódio.

Para isto usamos o balanço de energia para o Efeito Fotoelétrico e calculamos o valor do potencial de corte V₀.

Se V₀ > 0, então ocorre Efeito Fotoelétrico e se V₀ < 0, então tal efeito não se manifesta.

4. PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO

(48)

Abaixo mostramos o gráfico de V₀ em função da frequência da luz

νννν

que incide sobre um dado metal.

0

0 h

E

V

e

⋅

=

⋅

ν

−

λ

ν

=

c

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

(49)

O balanço de energia imposto ao Efeito Fotoelétrico

conduz à seguinte relação entre o potencial de corte V₀ e o comprimento de onda da luz incidente

λλλλ

0

0 E

c

h

V

e

⋅

=

⋅

−

λ

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Nesta equação E₀ é a chamada função trabalho, que significa a menor energia que prende um elétron ao metal, ou a menor energia necessária para liberar o elétron do metal.

(50)

Deduzimos então que para o problema proposto temos que E₀ = 2,30 eV = 3,68

××××

10-19 _J_.

V

₀

=

−

0 ,

19 LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Usamos e = 1,6

××××

10-19 _C_, _{h = 6,63}

××××

₁₀-34 _J

⋅⋅⋅⋅

_s_, _{c = 3,00}

××××

₁₀8

m/s e neste caso temos que

λλλλ

= 589 nm.

Obtemos então o seguinte valor para V₀

0

0 <

V

Desta forma concluímos que quando incidimos luz de comprimento de onda 589 nm sobre uma placa de sódio, NÃO ocorre Efeito Fotoelétrico.

(51)

2. Luz de comprimento de onda

200 nm

incide sobre uma superfície de alumínio. Para o alumínio, são necessários

4,2 eV

para remover um elétron.

a) Qual a energia cinética do elétron mais rápido emitido?

Como vimos, elétrons fotoejetados com maior velocidade (mais rápidos) são aqueles associados ao potencial de corte V₀.

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

0

0 h

E

V

e

(52)

Assim, para determinar a energia cinética do elétrons mais rápido, precisamos conhecer o valor do potencial de corte V₀. 0 0

h

E

V

e

⋅

=

⋅

ν

−

λ

ν

=

c

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

0

0 E

c

h

V

e

⋅

=

⋅

−

λ

O problema informa que são necessários 4,2 eV para retirar um elétron do alumínio.

Isto significa que a função trabalho do alumínio é igual a este valor, ou seja, E = 4,20 eV = 6,73

××××

10-19 _J_.

(53)

J

K

V

e

⋅

₀

=

_MAX

=

3 ,

23 ×

10

−19

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Assim, usamos os valores das constantes do problema e = 1,6

××××

10-19 _C_, _{h = 6,63}

××××

₁₀-34 _J

⋅⋅⋅⋅

_s_, _{c = 3,00}

××××

₁₀8 _m/s _e

neste caso temos que

λλλλ

= 200 nm.

Obtemos então o seguinte valor para e

⋅⋅⋅⋅

V₀

eV

K

_MAX

=

2 ,

02

(54)

200 nm

4,20 eV

b) Qual a energia cinética do elétron mais lento emitido?

Elétrons são fotoejetados com uma distribuição de velocidades que vai desde a mais baixa (v = 0) até a mais alta, calculada a partir da energia cinética máxima.

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

0 =

MIN

K

Desta forma, o elétron mais lento (não) sai do alumínio com velocidade nula, e portanto sua energia cinética também é zero.

(55)

200 nm

4,2 eV

c) Qual o valor do potencial de corte?

Como vimos, existe uma relação direta entre a energia cinética máxima dos elétrons fotoejetados e o potencial de corte V_o.

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Já determinamos o valor de

K_MAX e obtemos o valor 3,23

××××

10-19 J

(56)

J

K

V

e

⋅

₀

=

_MAX

=

3 ,

23 ×

10

−19

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

××××

10-19 _C _{e determinamos facilmente o valor}

de V₀.

V

₀

=

2 ,

02

(57)

200 nm

4,2 eV

d) Qual o comprimento de onda limite para o alumínio?

Para determinar o comprimento de onda de corte do alumínio, usamos a equação do balanço de energia do efeito fotoelétrico.

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Para o caso limite, fazemos V₀ = 0 e obtemos então 0 0

E

c

h

V

e

⋅

=

⋅

−

λ

E

₀

c

h

C

⋅

=

λ

(58)

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

××××

10-19 _C_, _{h = 6,63}

××××

₁₀-34 _J

⋅⋅⋅⋅

_s_, _{c = 3,00}

××××

₁₀8 _m/s _e

neste caso para o alumínio temos que E₀ = 4,20 eV = 6,72

××××

10 -19 _J_.

nm

C

=

294

(59)

3. O potencial de corte para elétrons emitidos por uma superfície atingida por luz de comprimento de onda

491 nm

é

0,71 V

. Quando se muda o comprimento de onda da radiação incidente encontra-se para este potencial um valor de

1,42 V

. Qual é o valor do comprimento de onda da luz?

Neste problema não conhecemos o metal sobre o qual incidimos luz, mas por outro lado conhecemos tanto o valor do potencial de corte V₀ = 0,71 V, bem como o comprimento de onda utilizado

λλλλ

= 491 nm.

Usamos então o balanço de energia para o Efeito Fotoelétrico para determinar o valor da função trabalho E₀.

(60)

Abaixo mostramos o gráfico de V₀ em função da frequência da luz

νννν

que incide sobre um dado metal.

0 0

h

E

V

e

⋅

=

⋅

ν

−

λ

ν

=

c

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

0

0 E

c

h

V

e

⋅

=

⋅

−

λ

(61)

J

E

₀

=

2 ,

91 ×

10

−19

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Usamos e = 1,6

××××

10-19 _C_, _{h = 6,63}

××××

₁₀-34 _J

⋅⋅⋅⋅

_s_, _{c = 3,00}

××××

₁₀8

m/s e neste caso temos que V₀ = 0,71 V e

λλλλ

= 491 nm. Obtemos então o seguinte valor para E₀

Conhecido o valor da função trabalho E₀, voltamos ao balanço de energia e podemos calcular o valor do comprimento de onda

λλλλ

quando V₀ = 1,42 V.

eV

E

₀

=

1 ,

82

0 0

E

c

h

V

e

⋅

=

⋅

−

λ

(62)

nm

384 =

λ

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Usamos e = 1,6

××××

10-19 _C_, _{h = 6,63}

××××

₁₀-34 _J

⋅⋅⋅⋅

_s_, _{c = 3,00}

××××

₁₀8

m/s e neste caso temos que V₀ = 1,42 V e E = 2,91

××××

10-19 _{J =}

1,82 eV.

Obtemos então o seguinte valor para

λλλλ

nm

UV

≤

390 λ

(63)

13. Fótons com comprimento de onda

2,40

×

10

-12 m _incidem

sobre elétrons livres.

a) Determine o comprimento de onda de um fóton que é

espalhado de um ângulo de

30 °

em relação à direção de

incidência, e a energia cinética transmitida ao elétron.

Para resolver este problema começamos usando a fórmula obtida por Compton para comprovar o efeito que leva o seu nome.

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

(

θ

)

λ

=

⋅

1 −

cos

∆

_C m c m h C 12 0 10 43 , 2 × − = ⋅ = λ

(64)

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Na equação acima,

θθθθ

é o ângulo entre a radiação espalhada (de comprimento de onda

λλλλ

’)e a radiação incidente (de comprimento de onda

λλλλ

), como mostra a figura abaixo, a qual ilustra o Efeito Compton.

Para

θθθθ

= 30

°°°°

, temos então que

m

13

10

26 ,

3 ×

−

=

∆

λ

Sabemos que

∆λ

=

λλλλ

’ –

λλλλ

, logo, temos que

m

12

10

76 ,

2 '

=

×

−

λ

Raios-X

(65)

13. Fótons com comprimento de onda

2,40

×

10

-12 m _incidem

sobre elétrons livres.

b) Faça o mesmo para um ângulo de espalhamento de

150 °

.

Repetimos o mesmo procedimento usado na primeira parte deste problema e encontramos

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

m

12

10

53 ,

4 ×

−

=

∆

λ

m

12

10

96 ,

6 '

=

×

−

λ

Raios-X

(66)

1. Introdução

4. Propriedades Corpusculares da Radiação

5. Propriedades Ondulatórias da Matéria

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

(67)

2. O comprimento de onda da emissão espectral amarela de sódio é

589 nm

. Com que energia cinética um elétron livre tem o mesmo

comprimento de onda de De Broglie

?

O comprimento de onda de De Broglie é dado por

5. PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DA MATÉRIA

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

p

h

DB

=

λ

Nesta equação h = 6,63

××××

10

-34 _J

⋅⋅⋅⋅

_s _{é a}

constante de Planck e p é o momento linear da partícula (neste caso, o elétron).

Neste caso, temos que

λλλλ

_DB = 589 nm, e com isto obtemos

s

m

kg

(68)

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Desejamos determinar a energia cinética de um elétron livre que tem o momento linear determinado acima.

Sabemos que para um elétron livre a sua energia cinética é dada por

e

m

p

K

⋅

=

2

2 Consideramos m_e = 9,11

××××

10-31 _kg_{, e}

com isto obtemos

J

K

=

6 ,

96 ×

10

−25

eV

K

=

4 ,

35 µ

(69)

6. O espaçamento planar principal em um cristal de

KCl

é

0,314 nm

. Compare o ângulo de reflexão de Bragg de primeira ordem por esses planos, de elétrons livres com energia cinética de

40 keV

com o de fótons de energia

40 keV

.

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Como vimos, a condição de reflexão de Bragg é dada por













⋅

=

⋅

2 cos

θ

λ

d

n

(70)

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Precisamos então determinar o comprimento de onda tanto do feixe de fótons, quanto do feixe de elétrons, e a partir disto, determinar o ângulo de reflexão para cada caso.

Nesta equação n é a ordem de reflexão,

λλλλ

é o comprimento de onda do objeto a ser refletido, d é o espaçamento entre os planos do cristal usado e

θθθθ

é o ângulo de reflexão.

Para os fótons a relação entre energia e comprimentos de onda é dada por F F

c

h

E

λ

ν

=

⋅

=













⋅

=

⋅

2 cos

θ

λ

d

n

(71)

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Para o cálculo de

λλλλ

_F, usamos os valores das constantes h = 6,63

××××

10-34 _J

⋅⋅⋅⋅

_s _e _{c = 3,00}

××××

₁₀8 _m/s_{, além de}

neste caso termos que E_F = 40,0 keV = 6,40

××××

10-15 J, e obtemos

Substituímos este valor de na condição de reflexão de Bragg com n = 1 e d = 0,314 nm e obtemos

m

F 11

10

11 ,

3 ×

−

=

λ

0990

,

0

2 cos



=











θ

_F o

169 =

F

θ

(72)

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Para o cálculo de

λλλλ

_e, usamos o fato que toda energia do elétron é cinética, e assim podemos determinar o seu momento linear através da equação

Usamos m_e = 9,11

××××

10-31 _kg _{e para a}

energia cinética K_e = 40 keV = 6,40

××××

10-15 _J

obtemos e

m

p

K

⋅

=

2

s

m

kg

p

=

1 ,

08 ×

10

−22

⋅

/

Usamos então a fórmula de De Broglie para determinar o comprimento de onda do elétron.

p

h

DB

=

(73)

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Usamos h = 6,63

××××

10-34 _J

⋅⋅⋅⋅

_s _{e obtemos então}

m

e 12

10

14 ,

6 ×

−

=

λ

Substituímos este valor de na condição de reflexão de Bragg com n = 1 e d = 0,314 nm e obtemos

196 ,

0

2 cos



=











θ

_e

o

157 =

e

θ

(74)

12. Determine a incerteza na medida da velocidade de uma partícula quando a incerteza na medida de sua posição é

aproximadamente igual ao seu

comprimento de onda de De

Broglie

.

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Usamos aqui o Princípio da Incerteza de Heisenberg no limite de sua igualdade, isto é

h

=

∆

⋅

∆

p

x

O texto do problema afirma que

p

h

x

=

_DB

=

(75)

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Desta forma, temos que

π

⋅

=

⋅

∆

2 h

p

h

p

h

_que _a Sabemos_relação _entretambém_o

momento linear de uma partícula de massa m e sua velocidade é dada por

v

m

p

=

⋅

π

⋅

=

∆

2

1 p

p

v

m

p

=

⋅

∆

v

m

v

m

p

⋅

∆

⋅

=

∆

π

⋅

=

∆

2

1 v

v

π

⋅

=

∆

2 v

v

(76)

17. A energia de uma partícula em um movimento harmônico linear é

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

2 2 2 2 1 2 m m x p E + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ω

Nesta equação

p

é o momento linear da partícula,

m

a sua massa e

ω

a sua frequência angular.

a) Determine o valor da distância

a

que minimiza a energia da partícula.

a) Admitimos que a partícula em movimento harmônico oscila em um intervalo definido.

(77)

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Do gráfico e do tipo de movimento executado pela partícula, temos que se soltarmos a partícula de uma posição x = a, ela oscilará em posições no intervalo –a

≤≤≤≤

x

≤≤≤≤

+a.

Este intervalo está associado à curva de energia potencial associada ao movimento desta partícula.

2 2

2

1 )

(

x

m

x

U

=

⋅

ω

⋅

(78)

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Assim, a incerteza na medida da posição desta partícula admite o valor do próprio intervalo, isto é

Por sua vez, dada a característica do movimento, também podemos afirmar que a incerteza da medida de seu momento linear é igual à medida do próprio momento linear, isto é

a

x

=

⋅

∆

2 p

p

=

∆

Para provar este resultado,

(79)

LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Usamos então o Princípio da Incerteza de Heisenberg para procurar uma relação entre o momento linear da partícula e a amplitude de sua oscilação.

h

=

∆

⋅

∆

p

x

Obtemos então a relação entre p e a, dada ao lado.

a

p

⋅

=

2 h

a

x

=

⋅

∆

2 ∆

p

=

p

Lembremos os resultados encontrados para a incerteza na medida da posição e do momento linear da partícula.