EXERCICIOS
PROPORÇÃO
GRANDEZAS
Abaixo segue uma lista de exercícios relativos ao conceito de grandezas diretamente
proporcionais e inversamente proporcionais. O bloco inicial é composto por questões
do ENEM dos últimos 7 anos , seguido por um bloco de questões elaboradas pelo
professor André Paegle.
Ao final dessa lista segue o gabarito, acompanhado das questões resolvidas. Bom
estudo.
1-)(ENEM-2016)
Para a construção de isolamento acústico numa parede cuja área mede 9 m², sabe-se que, se a fonte sonora estiver a 3 m do plano da parede, o custo é de R$ 500,00. Nesse tipo de isolamento, a espessura do material que reveste a parede é inversamente proporcional ao quadrado da distância até a fonte sonora, e o custo é diretamente proporcional ao volume do material do revestimento. Uma expressão que fornece o custo para revestir uma parede de área A (em metro quadrado), situada a D metros da fonte sonora, é
A-) B-) C-) D-) E-) 2-)(ENEM-2016)
O veículo terrestre mais veloz já fabricado até hoje é o Sonic Wind LSRV, que está sendo preparado para atingir a velocidade de 3 000 km/h. Ele é mais veloz do que o Concorde, um dos aviões de passageiros mais rápidos já feitos, que alcança 2 330 km/h.
Para uma distância fixa , velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Para percorrer uma distância de 1 000 km, o valor mais próximo da diferença, em minuto, entre os tempos gastos pelo Sonic Wind LSRV e pelo Concorde, em suas velocidades máximas, é
A-) 0,1. B-) 0,7. C-) 6,0 D-) 11,2 E-) 40,2.
3-)(ENEM-2013)
Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”. Isso é equivalente a
dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão:
A-) B-) C-) D-) E-)
4-)(ENEM-2012)
José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 6 : 5 : 4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4 : 4 : 2, respectivamente. Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?
A-)600 , 550 , 350 B-)300,300 , 150 C-)300,250 , 200 D-)200,200,100 E-)100,100,50
5-)(ENEM-2012)
A resistência mecânica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proporcional à sua largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga.
A expressão que traduz a resistência S dessa viga de madeira é A-) B-) C-) D-) E-)
6-)(ENEM-2012)
Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a relação entre medidas de diferentes partes do corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície corporal de
uma pessoa relaciona-se com a sua massa m pela fórmula A = , em que k é uma constante positiva. Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a área da superfície corporal?
A-) B-)4 C-) D-)8 E-)64
7-)(ENEM-2011)
A resistência das vigas de dado comprimento é diretamente proporcional à largura (b)
e ao quadrado da altura (d) , conforme a figura.A constante de proporcionalidade K varia de acordo com o material utilizado na construção.
Considerando-se S a resistência , a relação algébrica que exprime essa relação é.... A-) B-) C-) D-) E-)
8-)(ENEM-2010)
Há um novo impulso para produzir combustível a partir de gordura animal. E Em abril, a High Plains Bioenergy , inaugurou uma biorrefinaria próxima a uma fábrica de processamento de carne suína em Guymon ,Oklahoma .A refinaria converte a gordura do porco , juntamente com o óleo vegetal , em biodiesel.A expectativa da fábrica é transformar 14 milhões de quilogramas de banha em 112 milhões de litros de biodiesel. Considere que haja uma proporção direta entre a massa de banha transformada e o volume de biodiesel produzido. Para produzir 48 milhões de litros de biodiesel, a massa de banha necessária, em quilogramas, será de, aproximadamente,
A-)6 milhões B-)33 milhões C-)78 milhões D-)146 milhões E-)384 milhões
9-)No quadro abaixo tem-se as idades e os tempos de serviços de dois funcionários de uma empresa.
Esses funcionários foram incumbidos de digitar determinado trabalho. As páginas que deveriam ser digitadas foram divididas entre os dois funcionários de modo diretamente proporcional às suas idades e inversamente proporcional ao tempo de serviço. João digitou 27 páginas. Qual o total de páginas do trabalho?
10-) Trabalhando em uma experiência em laboratório, um pesquisador realizou as medições de 3 grandezas, A,B,C. Foi constatado que A é diretamente proporcional ao cubo de B e inversamente proporcional ao quadrado de C. Responda aos itens abaixo:
a) Quadruplicando-se o valor de B e duplicando-se o valor de C, o valor de A fica multiplicado por qual fator?
b) Multiplicando-se a grandeza B por 9, de quanto se deve multiplicar a grandeza C, de modo que A não sofra alteração?
c) Sabe-se que quando B= 5 e C= 5, tem-se A=15. Qual o valor de A quando B = 3 e C = 7?
11-) Uma pequena empresa de jardinagem é contratada para cuidar da grama de um terreno cuja área é igual a 4800 . Cada funcionário consegue cortar em média, 200 por dia de trabalho. Seja N o número de funcionários que irão trabalhar no jardim e T o tempo gasto para se cortar toda a grama do jardim de 4800
a) As grandezas N e T são diretamente ou inversamente proporcionais? b) Escreva a equação matemática que relaciona as grandezas T e N? c) Qual o valor da constante de proporcionalidade da equação em b? d) Esboce o gráfico com T no eixo dos ordenados e N no eixo das abscissas? e) Quanto tempo 4 jardineiros gastariam para cortar toda a grama do jardim?
12-) Considere as afirmativas abaixo. Decida se casa uma delas é verdadeira ou falsa.
12.1 – Considerando a expressão V = π , que fornece o volume da esfera em função do seu raio, pode-se afirmar que o volume é diretamente proporcional do raio.
12.2 – O comprimento de uma circunferência C=2πR, onde R é o raio da circunferência, é diretamente proporcional ao raio R, com constante de proporcionalidade 2π.
Idade (anos) Tempo Serviço (anos) João 36 8 Maria 30 12
12.3- A força eletrostática entre duas cargas Q1 e Q2 separadas por uma distância d é dada por
F= , o que nos permite concluir que a força F é diretamente proporcional à carga Q1 e
inversamente proporcional ao quadrado da distância.
12.4 - A superfície de uma casca esférica de raio R é dada por S = 4π . Concluímos que se quisermos dobrar a superfície S, o raio deve ser multiplicado pelo fator . Caso queira-se reduzir a superfície S a metade deve-se dividir o raio por .
12.5 – O gráfico abaixo nos permite concluir que as grandezas Y e X são diretamente proporcionais.
13-) Uma carga elétrica q, dotada de velocidade v, e com massa m, ao ser submetida a um campo magnético B, sob certas condições descreve uma trajetória circular com período T. Sabe-se que o período é diretamente proporcional à massa m, inversamente proporcional ao campo magnético B e inversamente proporcional à carga q, com constante de proporcionalidade 2 . Escreva a expressão matemática do período T.
14-) O pêndulo cônico é uma situação clássica da mecânica Newtoniana, cujo desenho está descrito abaixo.
Para valores pequenos de ϴ o período do movimento é dado por , onde L é o comprimento do fio e G a gravidade.
a) Pode-se afirmar que o período é diretamente proporcional ao comprimento L do fio? b) Caso queira-se triplicar o valor do período, qual a alteração que deve ser feita no
comprimento L do fio c)
15-) Em uma determinada semana, a mega-sena acumulou R$ 45.000,00. A quantia recebida dependerá do número de ganhadores segundo tabela abaixo:
Nº DE GANHADORES QUANTIA RECEBIDA POR CADA GANHADOR
01 R$ 45.000,00
02 R$ 22.500,00
03 R$ 15.000,00
04 R$ 11.250,00
Chamando o número de ganhadores de N e a quantia recebida por cada um de Q, estabeleça uma relação matemática que vincula as duas grandezas. Calcule o prêmio que cada ganhador receberá no caso de existirem 6 acertadores da mega-sena.
16-)Um pai deseja dividir entre seus três filhos , Paulo , Maria e Ana. O critério utilizado considera que cada filho receberá uma quantia diretamente proporcional à nota em matemática , diretamente proporcional ao número de boas ações e inversamente proporcional ao número de faltas. Paulo teve nota 3 , 2 boas ações e 5 faltas. Maria teve , nota 4 , 3 boas ações e 6 faltas .Ana teve nota 5 , 4 boas ações e 15 faltas. Quanto recebrá cada filho?
GABARITO
1-)B 2-)C 3-)D 4-)B 5-)A 6-)B 7--)C 8-)A 9-)42 10-) a-)16 b-)27 c-) 11-) a-)inversamene proporcionais b-) c-)24
d-)
12-) a-)FALSA b-) VERDADEIRA c-)VERDADEIRA d-)VERDADEIRA e-)FALSA 13-) 14-)a-)NÃO b-) 9 15-) 7500 reais 16-)PAULO=720;MARIA=1200;ANA=800
RESOLUÇÕES
1-)SOLUÇÃOInicialmente , vamos estabelecer os elementos envolvidos no problema:
Pelo enunciado temos que:
Mas o volume é dado pelo produto da espessura pela área , ou seja , Substituindo a expressão obtida para o volume na equação do custo temos que ( note que
Substituindo os valores dados no inínico da questão descobriremos o valor de . 500=
Logo vale 500.
Portanto a expressão que fornece o custo é dada por:
RESPOSTA:B
2-)SOLUÇÃO:
Nesse problema , o melhor é utilizar a clássica relação
(Note que o dado fornecido , onde se afirma que velocidade e tempo são inversamente proporcionais é expresso na clássica fórmula escrita acima)
Tempo gasto pelo SONIC: Tempo=
Tempo gasto pelo concorde
Tempo=
Como o problema pede a diferença entre os tempos gastos temos:26 -20=6 minutos
SOLUÇÃO: 6 minutos
3-) SOLUÇÃO
Pelo enunciado podemos escrever:
Calculando a raíz cúbica de ambos os membros da igualdade acima obtemos: RESPOSTA: D 4-)SOLUÇÃO
Pelo enunciado , na primeira viagem José ,Carlos e Paulo dividiram a carga total em partes proporcionais a 6 , 5 e 4. Ou seja :
Pelo enunciado , na segunda viagem José , Carlos e Paulo dividiram a carga total de laranjas em partes proporcionais a 4 ,4 e 2 , ou seja:
Perceba que as constantes de proporcionalidade são distintas
Note que a quantidade total de laranjas é a mesma nas duas viagens , o que nos permite escrever:
Substituindo nas equações da segunda viagem temos que : =6k
Comparando os da primeira viagem com os da segunda viagem temos que o único que aumentou sua quantidade de laranjas foi Carlos , a qual variou de para . Pelo enunciado podemos escrever que
Logo , João receberá 6k=6.50=300 , Carlos receberá 6k=6.50=300 e Paulo receberá 3k=3.50=150
RESPOSTA; B
5-)SOLUÇÃO
Pelo enunciado , de imediato, podemos montar a equação abaixo
OBS:Um modo prático de pensar , em questões desse tipo, é sempre associar a grandeza diretamente proporcional ao numerador da fração e a grandeza inversamente proporcional ao denominador da fração.Veja que no exemplo anterior , e , são diretamente proporcionais a , e portanto aparecem no numerador da fração , enquanto que , por ser inversamente proporcional a S , aparece no denominador da fração.
RESPOSTA: A
6--)SOLUÇÃO:
Para uma massa , a área A vale .
Multiplicando-se a massa por 8 , teremos uma massa , e uma área
Logo , a área fica multiplicada por 4.
RESPOSTA:B
7-)
SOLUÇÃO:
Pelo enunciado , e considerando o exposto na solução da questão 5 , é imediato
concluir que:
RESPOSTA:C
8-)
SOLUÇÃOP- quantidade em litros ,de banha porco , a ser transformada em biodiesel. B- quantidade de biodiesel produzida a partir da banha de porco.
O enunciado diz que P e B são grandezas diretamente proporcionais.Logo podemos montar a equação:
14 milhões de litros de banha de porco , produzem 112 milhões de litros de biodiesel(ENUNCIADO).
14000000=k.112000000 K =
Logo , temos que em geral vale a relação:
Sendo assim , fazendo B=48000000 , temos que:
Portanto , são necessários 6 milhões de litros de banha de porco , para se produzir 48 milhões de biodiesel.
RESPOSTA:A
9-)SOLUÇÃO
quantidade de páginas digitadas idade do funcionário
tempo de serviço do funcionário Pelo enunciado podemos escrever:
Pelo enunciado . Substituindo k = 6 , nas expressões acima temos:
10-)SOLUÇÃO
Pelo enunciado podemos escrever:
a-)Quadruplicando e duplicando , temos que: Logo , quadruplicando B e duplicando C , A fica multiplicado pelo fator 16.
RESPOSTA:16
b-)Vejamos a alteração que A sofre quando B é multiplicado por 9.
= .
Logo , A fica multiplicado por 729. Como desejamos que não ocorra alteração em A , devemos multiplicar C por 27 . De fato , pois como na expressão de A temos , multiplicando C por 27 temos , o que anularia o efeito de B ter sido multiplicado por 9.
RESPOSTA: 27
OBS:Para uma melhor compreensão do porque multiplicar C por 27 , façamos simultaneamente em A , 9B e 27C .
c-) Substiuindo inicialmente B=5 e C=5 e A=15 encontraremos a constante .
Logo , a constante de proporcionalidade é .Assim sendo , a expressão para A torna-se:
Quando RESPOSTA:
11-)SOLUÇÃO
a-) Aumentando-se o número de funcionários , o tempo para se realizar o serviço diminui , e na proporção inversa. Por exemplo , dobrando-se N , o número de funcionários , o tempo T para se realizar o serviço cai pela metade. Logo N e T são grandezas inversamente proporcionais.
RESPOSTA: inversamente proporcionais.
b-) Como T e N são inversamente proporcionais podemos escrever:
RESPOSTA:
c-)Primeiramente deve-se notar que se um trabalhador corta em um dia 200
, o
jardim em sua totalidade de 4800
será cortado em um dia por
funcionários.Logo , 24 funcionários realizam todo o serviço em um dia , ou seja ,
quando N=24 , T=1.Substituindo esses valores em b tem-se:
RESPOSTA: 24
d-)
e-)Pelos itens anteriores podemos escrever
.
Quando a quantidade do número de funcionários é , o tempo gasto será de
dias.
RESPOSTA : 6 dias.
12-)SOLUÇÃO 12.1-) FALSAO volume é diretamente proporcional ao cubo o raio , e não ao raio como afirma a sentença. Na verdade , quando o raio aumenta , o volume aumenta , mas não na mesma proporção.Por exemplo , dobrando-se o raio , o volume aumenta 8 vezes.
Observe que a expressão enquadra-se dentro da forma geral da definição de grandezas diretamente proporcionais , , com a constante de proporcionalidade
12.3-)VERADEIRA
Justificativa análoga ao item anterior
12.4-)VERDADEIRA
12.5-)FALSA
13-)SOLUÇÃO:
Pelo enunciado podemos escrever :
14-)SOLUÇÃO:
a-)NÃO. Podemos reescrever o período na forma
.
Fica mais claro o fato de que o período , é diretamente proporcional
RESPOSTA :NÃO
b-)A fim de triplicar o período , devemos multiplicar o comprimento do fio por 9. De fato, observe o cálculo abaixo:
RESPOSTA: 9 15-)SOLUÇÃO
Observando a tabela , nota-se que dobrando os número de ganhadores de 1 para 2 , o prêmio destinado a cada ganhador cai pela metade ,de 45000 para 22500, triplicando-se o número de ganhadores de 1 para 3, o prêmio destinado a cada ganhador cai de um terço , de 45000 para 15000. Logo o número de ganhadores N e o prêmio destinado a cada ganhador Q são grandezas inversamente proporcionais , o que nos permite escrever:
Escolhend0-se dois valores da tabela de Q e N , e substituindo na equação acima obtemos Quando Q=45000 , temos N=1. Logo 45000=
Fazendo , temos RESPOSTA:7500 reais 16-)SOLUÇÃO Pelo enunciado podemos escrever:
Substituindo temos :
Pelo enunciado podemos escrever:
Substituindo o valor de , obtemos:
