RELATÓRIO VESTIBULAR UFSC/2013 MATEMÁTICA
(Prova AMARELA) 1. INTRODUÇÃO
As questões foram elaboradas visando incluir todos os tópicos do programa, com ênfase nos conceitos e suas conexões entre os diversos campos da Matemática, e com diferentes estratégias de resolução. Na questão discursiva, os conteúdos proporcionalidade e medidas estão presentes em diversos aspectos do cotidiano.
2. ANÁLISE DAS QUESTÕES
Questão 21
Considere a função ݂: ܴ → ܴ, dada por ( )
1, x se x f x n se x e n x n n ∈ = ∉ < < + ∈
que associa a cada número real
x
o maior inteiro não superior ax
. Veja alguns exemplos: 5 22 f =
, f −( 12)= −12, f −( 2, 3)= −3. O gráfico desta função é dado na figura a seguir.
Com estas informações, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. A função f é injetora.
02. Se
m
é um número inteiro negativo, então 1 1 2f m − = −m
.
04. Existe uma infinidade de números reais
x
tais que f x( )=x. 08. A imagem da função f é o conjunto dos números reais.16. A soma das áreas de todos os retângulos formados entre o gráfico de f e o eixo X, quando
x
varia de−
n
an
,n ∈
, é 2 n . 32. A função f é ímpar. y x 1 2 3 4 -3 -2 -1 1 2 3 -1 -2 -3 . . . . n -n . . .No de proposições: 6
Gabarito: 2+4+16 = 22 No de acertos: 235 (2,47%)
Grau de dificuldade previsto: Médio Grau de dificuldade obtido: Difícil
A questão aborda conteúdos relativos a função, gráfico de função, função injetora, função ímpar e área de retângulo. Também requeria conhecimentos de álgebra e sequências (progressões). A maior frequência de respostas foi 04 (981), indicando que os candidatos consideraram apenas a proposição 04 como verdadeira; também foi a maior escolha no total de candidatos: 5515 (57,41%). A segunda frequência mais alta foi para 13 (468), indicando que os candidatos consideraram a proposição 01 (falsa) como verdadeira; além disso, o total de escolhas da proposição 01 como verdadeira foi de 3076 (32,02%). Aparentemente, esta escolha deve-se ao desconhecimento do conceito de função injetora, assunto pouco trabalhado no Ensino Médio.
Questão 22
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Uma conhecida marca de chocolate utiliza como embalagem um prisma regular de base triangular cuja aresta da base mede 3,5 cm. Se sua altura tem o dobro do perímetro da base, então sua área lateral é igual a 220,5 cm2.
02. Seja f : → , f x( ) | | cos= x − x. Então existem exatamente dois valores reais
x
tais que f x =( ) 0. 04. Dadas as matrizes −−−− −−−− −−−− ==== 1 2 0 2 2 1 A e
−−−−
====
1
0
3
0
5
1
B
, então a matriz D ==== A⋅⋅⋅⋅Bnão admite inversa.
08. A equação
log (cos ) 1
2x =
tem exatamente duas soluções no intervalo[
0, 2
π
]
. 16. 23 14 tg sec 1 4 3π
π
+ = −32. Sabemos que aplicando um capital
C
0 após n meses a uma taxa i, obtemos o valor a ser resgatado Cf através da seguinte equaçãoCf ====C0((((
1++++i))))
n. Dessa forma, umapessoa que aplica um capital de R$10 000,00 a uma taxa de 1% ao mês durante três meses deve resgatar um valor igual a R$ 10 303,01.
64. Quatro cidades, A, B, C, D, estão localizadas nos vértices de um quadrado. As linhas nas figuras 1 e 2 são dois caminhos que interligam as quatro cidades. O ângulo
A B D
E C
ˆ
AQB mede 120o e os segmentos AQ, BQ, CP e DP têm a mesma medida. Então o comprimento do caminho na figura 1 é menor do que o comprimento do caminho na figura 2.
N° de proposições: 6
Gabarito: 01+02+04+32 = 39 N° de acertos: 65 (0,68%)
Grau de dificuldade previsto: Médio Grau de dificuldade obtido: Difícil
A questão aborda conteúdos relativos a: geometria espacial, funções, matrizes e determinantes, logaritmos, trigonometria e juros compostos. Dentre as seis proposições apresentadas, quatro são verdadeiras, o que torna a questão mais trabalhosa. É válido destacar que dentre os candidatos inscritos, 4149 (43,20%) assinalaram como verdadeira a proposição 08 ou a proposição 16, que são incorretas. Esse fato pode sugerir falta de conhecimentos nos conteúdos de logaritmos e trigonometria.
Questão 23
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Considere um octaedro regular inscrito em uma esfera de raio 6 cm. O volume do octaedro é 288 cm3.
02. Na figura ao lado, ABCD é um quadrilátero e o segmento DB é paralelo ao segmento CE. Então a área do quadrilátero ABCD é igual à área do triângulo ADE.
C B A D C B A D P Q Figura 1 Figura 2
04. Na figura ao lado, o triângulo ABC é retângulo e o ponto M é o ponto médio da hipotenusa AC. A perpendicular à hipotenusa AC pelo ponto M cruza o segmento BC no ponto E, que está entre B e C. Então a área do triângulo MEC é menor do que a metade da área do triângulo ABC.
08. Na figura ao lado, o triângulo ABC é equilátero e o quadrilátero MNPQ é um quadrado. Então os pontos P e Q são pontos médios dos lados BC e AC, respectivamente.
16. Se em um quadrilátero as diagonais são bissetrizes dos ângulos internos, então o quadrilátero é um losango.
No de proposições: 5 Gabarito: 1+2+4+16 = 23 No de acertos: 103 (1,08%)
Grau de dificuldade previsto: Difícil Grau de dificuldade obtido: Difícil
A questão aborda conteúdos de geometria plana e espacial: propriedades dos triângulos e quadriláteros, áreas de triângulo e quadrilátero e volume do octaedro. As maiores frequências de resposta foram 08 (845), 12 (683) e 10 (636). Além disso, a escolha da proposição 08 como correta foi feita por 5846 candidatos. Isso indica que os candidatos consideraram a proposição 08 (falsa) como verdadeira. Provavelmente os candidatos guiaram-se pelo desenho, que apresenta os pontos P e Q “próximos” dos pontos médios dos lados BC e AC, respectivamente; em questões de geometria, o desenho pode ser um auxílio, mas não um argumento. O baixo número de acertos provavelmente deve-se à pouca ênfase dada aos conteúdos de geometria no Ensino Básico.
Questão 24
Na segunda-feira, um comerciante decide vender um produto com um desconto de 10%. Na sexta-feira, como não obteve muito sucesso, decide acrescentar um novo desconto de 20% sobre o valor obtido após o primeiro desconto. Calcule o desconto total no preço original do produto.
No de proposições: questão aberta
Gabarito: 28
No de acertos: 4684 (49,30%)
Grau de dificuldade previsto: Fácil Grau de dificuldade obtido: Fácil
C B A M Q N P B C A M E • •
A questão aborda conteúdos relativos a porcentagem. Foi a questão que obteve o maior índice de acertos. Mesmo assim, houve considerável ocorrência de resposta 30 (1498) e, surpreendentemente, 72 (498). A ocorrência de resposta 30 justifica-se pela interpretação errônea de “soma” das porcentagens sucessivas, sem considerar que, após o primeiro desconto, o preço do produto é menor. A ocorrência de resposta 72 provavelmente deve-se ao uso da técnica de considerar o preço do produto igual a 100 e calcular os descontos, e dar a resposta como o preço final do produto e não como o total de descontos. Nesta situação, o preço final do produto é 72, e o desconto é de 100 – 72 = 28%.
Questão 25
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. O conjunto solução da inequação
(
)
5 4 2
1
31
0
4
x
x
−
⋅
−
<
é o intervalo 1 1 , 2 2 − 02.2 5
< +
2
6
04. 0,999... 0, 444... 55 1 0, 424242... 141 + = +08. Entre os números 1 e 1 000 000 (incluindo 1 e 1 000 000), existem 1 000 números naturais quadrados perfeitos.
16.
( ) (
1 2) (
3) (
10)
( )
111 1!
⋅
⋅
2 2!
⋅
⋅
3 3! ... 10
⋅
⋅ ⋅
⋅
10!
=
10!
32. Se
a
eb
são números reais positivos, então a b 2 b+ ≥a No de proposições: 6Gabarito: 1+8+16+32 = 57 No de acertos: 80 (0,84%)
Grau de dificuldade previsto: Médio Grau de dificuldade obtido: Difícil
A questão aborda conteúdos relativos a conjuntos numéricos, contagem e inequações. O índice de acertos extremamente baixo (0,84%) provavelmente deve-se ao fato de ser um assunto pouco trabalhado no Ensino Médio como um conteúdo próprio. É sabido que a maioria dos livros didáticos trabalha pouco com números irracionais e suas aproximações (proposição 02), processos de contagem que não sejam fórmulas (proposições 08 e 16) e dízimas periódicas (proposição 04). A proposição 32 (verdadeira) teve o maior número de escolhas como correta, 5750 (59,86%), e também o maior número de respostas (1696). O grande número de candidatos que considerou a proposição 02 (falsa) como correta (3336, 34,73%) provavelmente indica a pouca ênfase dada à relação de ordem no conjunto dos números reais e às aproximações de irracionais por racionais.
r C s y x Questão 26 Considerando um polinômio 1 2 1 2 1 0 ( ) n n n ... p x =x +a −x − + +a x +a x+a , com
a a a
0, ,
1 2,...,
a
nnúmeros reais e
n ∈
, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).01. Se
k
é um número real, o resto da divisão de p x( ) porx k
+
é p k( ). 02. Se1
+
a
n−1+ +
...
a
2+ +
a
1a
0=
0
, então p(1)=0.04. Suponha que p x( ) tenha
n
raízes reaisα α
1,
2,...,
α
n. Considere que o polinômio1 2
1 2 1 0
( ) n n ...
n
q x =x +b− x − + +b x +b x b+ , com coeficientes reais, tem
n
raízes reais1
,
2,...,
nβ β
β
de modo queβ
1=
α β
1,
2=
α
2, ... ,
β
n−1=
α
n−1 eβ
n= −
α
n. Nessas condições, podemos afirmar que o polinômio soma p x( )+q x( ) tem uma raiz nula. 08. Quando o resto da divisão de p x( ) por um polinômio k x( )é zero, então as raízes de( )
k x são raízes de p x( ).
16. Se o polinômio m x( ) tem as mesmas raízes que p x( ), então m x( )= p x( ) para todo número real
x
.No de proposições: 5 Gabarito: 2+4+8 = 14 No de acertos: 277 (2,92%)
Grau de dificuldade previsto: Médio Grau de dificuldade obtido: Difícil
A questão aborda conteúdos relativos a polinômios: operações, raízes e teorema do Resto. A maior frequência de resposta foi 08 (1493), indicando que os candidatos consideraram apenas a proposição 08 (verdadeira) como correta. Houve um número significativo de escolha da proposição 16 (falsa) como correta (42,08%); provavelmente os candidatos consideram verdadeira a recíproca da afirmação “Se dois polinômios são iguais então eles têm as mesmas raízes”, sem considerar o coeficiente dominante.
Questão 27
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. As retas r e s são tangentes à circunferência C de centro
( )
4, 0
, como mostra a figura ao lado. Se2 x
y = − é a equação da reta r,
então a equação da reta s é 2 x y = .
02. O ponto
( )
a b
,
pertence à reta 2x− =y 0, está no primeiro quadrante e forma com os pontos( )
1, 0
e( )
3,1
um triângulo com 5 unidades de área. Entãoa b
+ =
9
.04. Para que a circunferência 2 2
6
4
12
0
x
+
y
−
x
−
y
+
=
e a reta y=bx tenham pelo menos um ponto em comum, o número realb
deve pertencer ao conjunto3 3 3 3 ; ou 4 4 S =x∈ x< − x> + .
Q M P C1 C2 C3 C4 08. Na figura ao lado, os eixos
coordenados foram apagados,
mas sabe-se que as
circunferências
C
1 eC
2 têm centro no ponto (0, 9) e raios 9 cm e 4 cm, respectivamente. A circunferênciaC
3 tem centro no ponto (0, 3) e raio 1 cm. A circunferênciaC
4 é tangente às circunferênciasC
1,
C
2 eC
3, respectivamente nos pontos,
P Q e M . A distância entre os centros das circunferências
C
3 e4
C
é 3,5 cm.16. Considere uma função
f
: 0, 5
[ ]
→
dada por2 0 2 ( ) 4 8 2 5 3 3 x se x f x x se x − + ≤ ≤ = − < ≤
A área da região limitada pelo gráfico de f e pelo eixo X é igual a 8 unidades de área.
No de proposições: 5
Gabarito: 1+2+8+16 = 27 No de acertos: 237 (2,49%)
Grau de dificuldade previsto: Médio Grau de dificuldade obtido: Difícil
A questão aborda conteúdos relativos a geometria analítica, geometria, funções, gráficos de funções e inequações. A maior frequência de resposta foi 09 (1556), seguida de 01 (1350), o que indica que os candidatos concluíram corretamente que as proposições 01 e 08 eram verdadeiras. A escolha da proposição 04 (falsa) como correta (23,11%) provavelmente se deve à resolução incorreta da inequação resultante de
∆ ≥
0
na equação quadrática proveniente da intersecção da reta com a circunferência.Questão 28
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. O lucro, em reais, para a comercialização de x unidades de um determinado produto
é dado por 2
148
1120
)
(
x
x
x
L
=
−
+
−
. Então, para que se tenha lucro máximo, deve-se vender 74 produtos.02. Jonas possui um carro bicombustível que funciona com gasolina e álcool ou com a mistura dos dois. Em certo posto de abastecimento, em virtude do preço, colocou 45 litros de combustível, entre gasolina e álcool. Se a quantia de álcool colocada foi exatamente
5 4
da de gasolina, então o total de gasolina nesse abastecimento foi de 20 litros.
04. Se
x
é um número real positivo elog
10(
log
10x <
)
1
, então10
10 x < .
08. No ano de 2014, o Brasil irá sediar a Copa do Mundo de Futebol. Em 1950, nosso país já foi sede da Copa e na ocasião obtivemos o 2o lugar. Sabendo que as edições
Fonte: IBGE, Censo Demográfico 2000/2010. [Adaptado]
desse campeonato ocorrem de quatro em quatro anos, então, contando as edições desde 1950 até a que acontecerá em 2014, incluíndo essas, tem-se um total de 16 Copas do Mundo de Futebol.
16. O fisiologista francês Jean Poisewille, no final da década de 1830, descobriu a fórmula matemática que associa o volume V de líquido que passa por um vaso ou artéria de raio r a uma pressão constante:
Com isso, pode-se estimar o quanto se deve expandir uma veia ou artéria para que o fluxo sanguíneo volte à normalidade. Portanto, uma artéria que foi parcialmente obstruída, tendo seu raio reduzido à metade, tem também o volume do fluxo sanguíneo reduzido à metade.
32. O sistema
====
−−−−
++++
====
−−−−
++++
4
3
2
3
1
z
y
x
z
py
x
é um sistema possível e indeterminado para
3
2
====
p
. 64. Com base nos dados do gráfico abaixo, pode-se concluir que, do ano de 2000 para oano de 2010, o rendimento real médio dos domicílios da Região Centro-Oeste aumentou mais que 22%.
N° de proposições: 7 Gabarito: 01+04+64 = 69 N° de acertos: 513 (5,38%)
Grau de dificuldade previsto: Fácil Grau de dificuldade obtido: Difícil
A questão aborda conteúdos relativos a: funções, sistemas lineares, logaritmos, sequências numéricas, interpretação de gráficos e porcentagem. De modo geral, esta questão aborda os conteúdos anteriormente citados através de aplicações no cotidiano. Embora mais de 30% dos inscritos tenham obtido alguma pontuação na questão, apenas 513 (5,38%) obtiveram acerto integral. Muitos candidatos consideram verdadeiras proposições falsas, em especial a 08 e 16, o que pode indicar uma dificuldade dos vestibulandos, associada a questões em que a interpretação textual se faz necessária.
R$ 0 R$ 500 R$ 1,000 R$ 1,500 R$ 2,000 R$ 2,500 R$ 3,000 R$ 3,500 2,297 1,739 1,361 2,812 2,378 2,541 2,653 2,115 1,708 3,122 2,890 3,136
Rendimento real médio mensal dos domicílios por Grandes Regiões - 2010
ANO 2000 ANO 2010
4
r
k
V
====
⋅⋅⋅⋅
Questão 29
Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01. Jogam-se simultaneamente dois dados, um vermelho e outro branco. A probabilidade de que a soma dos números mostrados nas faces de cima seja menor ou igual a 6 é
1 2.
02. A Agência Nacional de Telecomunicações (ANATEL) determinou a inclusão do dígito 9 à frente de todos os números de telefone celular do estado de São Paulo. Dessa forma, cada número de telefone será constituído de nove dígitos. Suponhamos que, em uma determinada região, todos os números de telefone comecem da seguinte forma:
Sabendo que os algarismos 9, 8 e 6 permanecem fixos na posição apresentada, e que os números de telefone celular são formados por dígitos distintos, então nessa região pode-se fazer 1 000 000 de números de telefone diferentes.
04. Numa empresa, existem 7 funcionários, entre eles Francisco. A direção-geral pediu para formar um grupo de trabalho com 4 desses funcionários de modo que Francisco esteja nesse grupo, então o número de maneiras distintas de formar esse grupo é 35.
08. O termo independente do desenvolvimento de
100
1
x
x
+
quandox
é um númeroreal não nulo é o termo de ordem 51.
16. A expressão
40.39.38. ... .11.10 30!
M = é um número inteiro.
32. Há exatamente 36 anagramas da palavra SORTE em que duas vogais não estão juntas.
N° de proposições: 6 Gabarito: 08+16 = 24 N° de acertos: 556 (5,84%)
Grau de dificuldade previsto: Médio Grau de dificuldade obtido: Difícil
Dentre as questões de múltipla escolha (tipo somatório), esta foi a que registrou o maior número de acertos entre os candidatos inscritos. A questão cobrava conhecimentos de Análise Combinatória, de Binômio de Newton e de Probabilidade. Em algumas proposições apresentou situações do cotidiano. Mais de 20% dos candidatos obtiveram pontuação parcial na questão, contudo, apenas 5,84% dos inscritos acertaram a questão de forma integral. Um número expressivo de candidatos 5529 (57,56%) considerou as proposições 02 e 04 corretas e na realidade são falsas. O fato pode sugerir falta de domínio do conteúdo trabalhado nas proposições, problemas de contagem. Em contraponto, apenas 23 (0,24%) erraram a proposição 32, que cobrava conhecimentos sobre permutações. Além disso, 2801 (21,16%) dos candidatos também consideraram verdadeira a proposição 01, que era falsa, e abordava o assunto Probabilidade.
C
Linha do nível do olho
Q P O α αα α 8m 10m Questão 30
Em um centro de eventos na cidade de Madri, encontra-se um mural de Joan Miró (1893-1983) confeccionado pelo ceramista Artigas. O mural está colocado no alto da parede frontal externa do prédio e tem 60 m de comprimento por 10 m de altura. A borda inferior do mural está 8 m acima do nível do olho de uma pessoa. A que distância da parede deve ficar essa pessoa para ter a melhor visão do mural, no sentido de que o ângulo vertical que subtende o mural, a partir de seu olho, seja o maior possível? O matemático Regiomontanus (1436-1476) propôs um problema semelhante em 1471 e o problema foi resolvido da seguinte maneira:
imagine uma circunferência passando pelo olho O do observador e por dois pontos P e Q, verticalmente dispostos nas bordas superior e inferior do mural. O ângulo
α
será máximo quando esta circunferência for tangente à linha do nível do olho, que é perpendicular à parede onde se encontra o mural, como mostra a figura. Com estas informações, calcule a que distância OC da parede deve ficar o observador para ter a melhor visão do mural de Joan Miró e apresente o resultado no cartão-resposta.No de proposições: questão aberta Gabarito: 12
No de acertos: 1499 (16,04%) Grau de dificuldade previsto: Fácil Grau de dificuldade obtido: Médio
A questão aborda conteúdos relativos à geometria plana, mas também requer interpretação das instruções dadas no enunciado. A técnica de resolução mais eficiente é via potência de ponto:
