n. 4 SISTEMAS LINEARES

n. 4 – SISTEMAS LINEARES

Sistema linear homogêneo

 Quando os termos independentes de todas as equações são nulos, ou seja, iguais à zero.

 Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível.

 Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.

 Se o sistema homogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não são todas nulas, a solução será chamada solução não-trivial.

Forma Algébrica de um Sistema de Equações Lineares com m

equações e n incógnitas (número de linhas maior que número de colunas)                    m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a        2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11

            mn m m n n a a a a a a a a a       2 1 2 22 21 1 12 11              n x x x  2 1              m b b b  2 1

Matriz Aumentada ou Matriz Completa do Sistema

B

A

Classificação dos Sistemas

Podemos classificar um sistema linear de três maneiras:

 SPD – Sistema possível determinado: existe apenas um conjunto solução e o número de equações é igual ao número de incógnitas.

 e (equações) = i (incógnitas) Quando o det ≠ 0  SPD

Onde:

 A  matriz dos coeficientes;

 x  vetor das incógnitas (ou vetor solução);

 SPI – Sistema possível indeterminado: existem inúmeros conjuntos solução e número de equações é menor que o número de incógnitas.

 e (equações) ˂ i (incógnitas) Quando o det = 0

Num sistema possível e indeterminado, calculando por Cramer teremos det = 0 (determinante igual à zero) e cada um dos determinantes (det x, det y, det z) iguais à zero, logo teremos

uma indeterminação: 0

0

 SI – Sistema impossível: não é possível determinar um conjunto solução.

 0 x1 + 0 x2 + ... + 0 xn = β Logo, ∄ β

0 Quando o det = 0 Num sistema impossível teremos det = 0 (determinante igual a zero) mas cada um dos determinantes (det x, det y, det z) é diferente zero: 𝛼

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES 2 X 2

 Sistemas de equações lineares de duas equações com duas incógnitas representam retas no plano.

 As retas no plano podem ser: concorrentes; paralelas coincidentes e paralelas distintas.

Podemos conhecer a posição das retas por meio dos coeficientes das equações: n = (a, b) n’ = (a’, b’).

Logo, n = (a, b) n’ = (a’, b’) são os vetores normais a r e a s. Então: 𝒓 ⫽ 𝒔 ↔ 𝒏 ⫽ 𝒏′ ↔ 𝒂 𝒂′ = 𝒃 𝒃′ ↔ | 𝒂 𝒃 𝒂′ 𝒃′| = 𝟎

𝒓 ⨉ 𝒔 ↔ 𝒏 ∦ 𝒏′ ↔ 𝒂 𝒂′ ≠ 𝒃 𝒃′ ↔ | 𝒂 𝒃 𝒂′ 𝒃′| ≠ 𝟎 Quando 𝑎 𝑎′ = 𝑏 𝑏′ = 𝑐

𝑐′ as retas são paralelas coincidentes

e quando 𝑎

𝑎′ = 𝑏 𝑏′ ≠

𝑐

𝑐′ as retas são paralelas distintas

Exemplos

1. Resolva e interprete geometricamente a solução dos sistemas: a. {2𝑥 + 𝑦 = 5 𝑥 − 3𝑦 = 6 b. { 2𝑥 + 𝑦 = 5 6𝑥 + 3𝑦 = 15 c. { 2𝑥 + 𝑦 = 5 6𝑥 + 3𝑦 = 10

Resolução das questões

a. {2𝑥 + 𝑦 = 5 𝑥 − 3𝑦 = 6

Solução: S.P.D.

x = 3 e y = -1

Como o sistema tem solução única, o sistema é possível e determinado – SPD.

A solução é representada pela intersecção das retas cujas equações gerais são:

2

x



y



5

x



3

y



6

b. { 2𝑥 + 𝑦 = 5 6𝑥 + 3𝑦 = 15 Solução: S.P.I. {𝑥 = − 1 2𝑦 + 5 2 𝑦 = 𝛼 𝜖 𝑅

 x depende dos valores atribuídos a y

1, …

Como o sistema tem infinitas soluções, o sistema é possível e indeterminado – SPI. A solução é representada pela intersecção das retas cujas equações gerais são:

5

2

x



y



c. { 2𝑥 + 𝑦 = 5 6𝑥 + 3𝑦 = 10

Como as retas cujas equações gerais são:

2𝑥 + 𝑦 = 5 𝑒 6𝑥 + 3𝑦 = 10

são paralelas não coincidentes, ou distintas, o sistema não tem solução.

Equação 1 Equação 2

x y x y

-1 7 -1 16/3 = 5,33

0 5 0 10/3 = 3,33

1 3 1 4/3 = 1,33

O sistema não tem solução, portanto é um Sistema Impossível – SI.

Interpretação Geométrica de Sistemas de Equações 3 x 3

Dado um sistema de equações com três equações com três incógnitas:





























b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

 Cada equação representa um plano no espaço tridimensional.  Assim, cada equação do sistema representa um plano:

𝛼, 𝛽 𝑒 𝛾

 As soluções do referido sistema pertencem à interseção 𝛼 ∩ 𝛽 ∩ 𝛾 desses planos.

Sistema possível e indeterminado: interseção é uma reta

 Os três planos são distintos e tem uma reta r em comum, isto é 𝛼 ∩ 𝛽 ∩ 𝛾 = 𝑟

 Neste caso o sistema é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema.

Exemplo:               6 4 2 5 3 2 1 z y x z y x z y x

 Dois dos planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma reta r. Neste caso o sistema é indeterminado e qualquer ponto da reta r é uma solução do sistema.

Exemplo:               9 6 3 6 2 4 2 3 2 z y x z y x z y x

 Os três planos coincidem. Neste caso o sistema é indeterminado e quaisquer pontos dos planos é uma solução do sistema. Exemplo:               9 3 6 3 6 2 4 2 3 2 z y x z y x z y x

Sistema impossível : interseção 𝜶 ∩ 𝜷 ∩ 𝜸 é vazia

 Dois planos coincidem e o terceiro é paralelo a eles. Neste caso o sistema é impossível. Exemplo:               8 3 6 3 6 2 4 2 3 2 z y x z y x z y x

 Os planos 𝛼 e 𝛽 e são paralelos e o plano 𝛾 os intersecta segundo duas retas paralelas. Neste caso o sistema é impossível. Exemplo:               9 2 5 2 4 2 3 2 z y x z y x z y x

 Os três planos se intersectam, dois a dois, segundo retas r = 𝛼 ∩ 𝛽, s = 𝛼 ∩ 𝛾 e t = 𝛽 ∩ 𝛾, paralelas umas às outras. Neste caso o sistema é impossível.

Exemplo:               6 6 8 2 3 1 3 2 z y x z y x z y x

 Os três planos são paralelos dois a dois. Neste caso o sistema é impossível. Exemplo:               5 3 6 3 4 2 4 2 3 2 z y x z y x z y x

Sistema possível e determinado

 Os três planos se intersectam em apenas um ponto. Neste caso, o sistema é possível e determinado (solução única).

Exemplo:               1 2 3 2 2 1 3 2 z y x z y x z y x Exercícios:

1. Resolva por escalonamento e discuta os sistemas lineares: a. { 𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3 3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 7 b. { 𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3 3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 8 c. { 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3 3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 d. { 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0 4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 𝑒. { x − y − z = 0 x + 2y − z = 6 2x − z = 5

a. { 𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3 3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 7 [ 1 2 1 | 4 2 −3 4 | 3 3 −1 5 | 7 ] {𝐿2 = 𝐿2 − 2𝐿1 𝐿3 = 𝐿3 − 3𝐿1 [ 1 2 1 | 4 0 −7 2 | −5 0 −7 2 | −5 ] [ 1 2 1 | 4 0 −7 2 | −5 0 −7 2 | −5 ] {𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿2 [ 1 2 1 | 4 0 −7 2 | −5 0 0 0 | 0 ] {𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 −7𝑦 + 2𝑧 = −5 Logo, y = 2𝑧 + 5 7 e x + 2y +z = 4  x =4 - 4𝑧 + 10 7 – z  x = 18−11𝑧 7

Portanto, o sistema é compatível e indeterminado, pois para cada valor real de z, obteremos uma das infinitas soluções que o sistema linear admite.

As soluções são as infinitas ternas ordenadas {(18−11𝑧

7 ,

2𝑧 + 5

b. { 𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3 3𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 8 [ 1 2 1 | 4 2 −3 4 | 3 3 −1 5 | 8 ] {𝐿2 = 𝐿2 − 2𝐿1 𝐿3 = 𝐿3 − 3𝐿1 [ 1 2 1 | 4 0 −7 2 | −5 0 −7 2 | −4 ] [ 1 2 1 | 4 0 −7 2 | −5 0 −7 2 | −4 ] {𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿2 [ 1 2 1 | 4 0 −7 2 | −5 0 0 0 | 1 ] { 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 −7𝑦 + 2𝑧 = −5 0𝑥 + 0𝑦 + 0𝑧 = 1 Como 𝟏 𝟎 ∄

Portanto, o sistema é incompatível, pois 0x + 0y + oz = 1, o sistema de equações não tem solução.

c. { 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 3 3𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3 [ 1 2 1 | 4 2 −3 4 | 3 3 −1 1 | 3 ] {𝐿2 = 𝐿2 − 2𝐿1 𝐿3 = 𝐿3 − 3𝐿1 [ 1 2 1 | 4 0 −7 2 | −5 0 −7 −2 | −9 ]

0 −7 −2 | −9 0 0 −4 | −4 {−7𝑦 + 2𝑧 = −5𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4

−4𝑧 = −4

Logo, z = 1 y = 1 e x = 1

Portanto, o sistema é compatível e determinado admitindo uma única solução S:{(1,1,1)} 𝑑. { 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0 4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0 𝑅: 𝑆𝑃𝐷, {(0, 0, 0)} 𝑒. { x − y − z = 0 x + 2y − z = 6 2x − z = 5 [ 1 −1 −1 | 0 1 2 −1 | 6 2 0 −1 | 5 ] {𝐿2 = 𝐿2 − 𝐿1 𝐿3 = 𝐿3 − 2𝐿1 [ 1 −1 −1 | 0 0 3 0 | 6 0 2 1 | 5 ] [ 1 −1 −1 | 0 0 3 0 | 6 0 2 1 | 5 ] 𝐿3 = 3𝐿3 − 2𝐿2 [ 1 −1 −1 | 0 0 3 0 | 6 0 0 3 | 3 ]

{ x − y − z = 0 3y = 6 3z = 3 → { x − 2 − 1 = 0 y = 2 z = 1 → { x = 3 y = 2 z = 1 R: Sistema possível e deteminado, S = {3, 2, 1 }

Lista de exercícios:

1. Resolva por escalonamento e discuta os sistemas lineares: a. { 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 4𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 5 R: {(1,1,1)} - SPD b. { 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 5𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 10 R: {(3−𝑧 2 , 5−𝑧 4 , z)} - SPI c. { 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 2𝑥 − 4𝑦 = 5 R: SI d. { 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 4 3𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 5 2𝑦 + 𝑧 = 0 −𝑥 − 𝑦 + 2𝑡 = 6 R: 𝑆𝑃𝐷, 𝑆 = {(1, −1, 2 , 3)}. e. { 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0 −𝑥 + 2𝑦 + 𝑡 = 0 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 0 R: 𝑆𝑃𝐼, 𝑆 = {(2𝑦 + 𝑡, 𝑦, −2𝑡, 𝑡)}.

3𝑥 − 6𝑦 + 12𝑧 − 3𝑡 + 𝑢 + 15𝑣 = 0 2𝑥 − 4𝑦 + 9𝑧 − 3𝑡 + 3𝑢 + 12𝑣 = 0 R: 𝑆𝑃𝐼, 𝑆 = {(2𝑦 − 3𝑡 + 3𝑣, 𝑦 , 𝑡 − 2𝑣 , 𝑡 , 0 , 𝑣)}. Resolução: a. { 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 4𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 5 [ 1 2 1 | 4 3 −2 1 | 2 4 3 −2 | 5 ] {𝐿2 = −3𝐿1 + 𝐿2 𝐿3 = −4𝐿1 + 𝐿3 [ 1 2 1 | 4 0 −8 −2 | −10 0 −5 −6 | −11 ] [ 1 2 1 | 4 0 −8 −2 | −10 0 −5 −6 | −11 ] {𝐿3 = 8𝐿3 − 5𝐿2 [ 1 2 1 | 4 0 −8 −2 | −10 0 0 −38 | −38 ] { 𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 −8𝑦 − 2𝑧 = −10 −38𝑧 = −38 R: {(1,1,1)} - SPD b. { 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 5𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 10

[ 1 2 1 | 4 3 −2 1 | 2 5 2 3 | 10 ] {𝐿2 = −3𝐿1 + 𝐿2 𝐿3 = −5𝐿1 + 𝐿3 [ 1 2 1 | 4 0 −8 −2 | −10 0 −8 −2 | −10 ] [ 1 2 1 | 4 0 −8 −2 | −10 0 −8 −2 | −10 ] {𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿2 [ 1 2 1 | 4 0 −8 −2 | −10 0 0 0 | 0 ] {𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 −8𝑦 − 2𝑧 = −10 { 𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 𝑧 = 10 − 8𝑦 2 {𝑥 + 2 𝑦 + 𝑧 = 4 𝑧 = 5 − 4𝑦 {𝑥 = − 2 𝑦 − 5 + 4𝑦 + 4 𝑧 = 5 − 4𝑦 { 𝑥 = 2 𝑦 − 1 𝑧 = 5 − 4𝑦 R: 𝑆𝑃𝐼, 𝑆 = {(2𝑦 − 1, 𝑦 , 5 − 4𝑦)} 𝑜𝑢 𝑆 = {( 3−𝑧 2 , 5−𝑧 2 , 𝑧)}. c. { 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 4 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 2 2𝑥 − 4𝑦 = 5 [ 1 2 1 | 4 3 −2 1 | 2 2 −4 0 | 5 ] {𝐿2 = 𝐿2 − 3𝐿1 𝐿3 = 𝐿3 − 2𝐿1 [ 1 2 1 | 4 0 −8 −2 | −10 0 −8 −2 | −3 ] [ 1 2 1 | 4 0 −8 −2 | −10 0 −8 −2 | −3 ] {𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿2 [ 1 2 1 | 4 0 −8 −2 | −10 0 0 0 | 7 ]

0𝑥 + 0 𝑦 + 0 𝑧 = 7 0𝑥 + 0 𝑦 + 0 𝑧 = 7 → ∄ O que é impossível! Portanto, SI. d. { 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 4 3𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 5 2𝑦 + 𝑧 = 0 −𝑥 − 𝑦 + 2𝑡 = 6 R: (1,-1,2,3) – SPD [ 2 3 1 1 | 4 3 −3 1 −1 | 5 0 2 1 0 | 0 −1 −1 0 2 | 6 ] {𝐿1 ↔ 𝐿4 [ −1 −1 0 2 | 6 3 −3 1 −1 | 5 0 2 1 0 | 0 2 3 1 1 | 4 ] [ −1 −1 0 2 | 6 3 −3 1 −1 | 5 0 2 1 0 | 0 2 3 1 1 | 4 ] {𝐿2 = 𝐿2 + 3𝐿1 𝐿4 = 𝐿4 + 2𝐿1 [ −1 −1 0 2 | 6 0 −6 1 5 | 23 0 2 1 0 | 0 0 1 1 5 | 16 ] [ −1 −1 0 2 | 6 0 −6 1 5 | 23 0 2 1 0 | 0 0 1 1 5 | 16 ] {𝐿2 = 𝐿2 + 6𝐿4 𝐿3 = 𝐿3 − 2𝐿4 [ −1 −1 0 2 | 6 0 0 7 35 | 119 0 0 −1 −10 | −32 0 1 1 5 | 16 ] [ −1 −1 0 2 | 6 0 0 7 35 | 119 0 0 −1 −10 | −32 0 1 1 5 | 16 ] {𝐿2 ↔ 𝐿4 [ −1 −1 0 2 | 6 0 1 1 5 | 16 0 0 −1 −10 | −32 0 0 7 35 | 119 ]

[ −1 −1 0 2 | 6 0 1 1 5 | 16 0 0 −1 −10 | −32 0 0 7 35 | 119 ] {𝐿4 = 𝐿4 + 7𝐿3 [ −1 −1 0 2 | 6 0 1 1 5 | 16 0 0 −1 −10 | −32 0 0 0 −35 | −105 ] { −𝑥 − 𝑦 + 2𝑡 = 6 𝑦 + 𝑧 + 5𝑡 = 16 −𝑧 − 10𝑡 = −32 −35𝑡 = −105 R: 𝑆𝑃𝐷, 𝑆 = {(1, −1, 2 , 3)}. e. { 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0 −𝑥 + 2𝑦 + 𝑡 = 0 2𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = 0 [ 1 −2 1 1 | 0 −1 2 0 1 | 0 2 −4 1 0 | 0 ] { 𝐿2 = 𝐿2 + 𝐿1 𝐿3 = 𝐿3 − 2𝐿1 [ 1 −2 1 1 | 0 0 0 1 2 | 0 0 0 −1 −2 | 0 ] [ 1 −2 1 1 | 0 0 0 1 2 | 0 0 0 −1 −2 | 0 ] {𝐿3 = 𝐿3 + 𝐿2 [ 1 −2 1 1 | 0 0 0 1 2 | 0 0 0 0 0 | 0 ] {𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 𝑡 = 0 𝑧 + 2𝑡 = 0 { 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑡 + 𝑡 = 0 𝑧 = −2𝑡 { 𝑥 = 2𝑦 + 𝑡 𝑧 = −2𝑡 R: 𝑆𝑃𝐼, 𝑆 = {(2𝑦 + 𝑡, 𝑦, −2𝑡, 𝑡)}. f. { 𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 + 5𝑣 = 0 −2𝑥 + 4𝑦 − 7𝑧 + 𝑡 + 2𝑢 − 8𝑣 = 0 3𝑥 − 6𝑦 + 12𝑧 − 3𝑡 + 𝑢 + 15𝑣 = 0 2𝑥 − 4𝑦 + 9𝑧 − 3𝑡 + 3𝑢 + 12𝑣 = 0

2 −4 9 −3 3 12 | 0 0 0 1 −1 3 2 | 0 [ 1 −2 4 −1 0 5 | 0 0 0 1 −1 2 2 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 1 −1 3 2 | 0 ] {𝐿4 = 𝐿4 − 𝐿2 [ 1 −2 4 −1 0 5 | 0 0 0 1 −1 2 2 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 ] [ 1 −2 4 −1 0 5 | 0 0 0 1 −1 2 2 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 ] {𝐿4 = 𝐿4 − 𝐿3 [ 1 −2 4 −1 0 5 | 0 0 0 1 −1 2 2 | 0 0 0 0 0 1 0 | 0 0 0 0 0 0 0 | 0 ] { 𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 − 𝑡 + 5𝑣 = 0 𝑧 − 𝑡 + 2𝑢 + 2𝑣 = 0 𝑢 = 0 { 𝑥 = 2𝑦 − 4(𝑡 − 2𝑣) + 𝑡 − 5𝑣 𝑧 = 𝑡 − 2𝑣 𝑢 = 0 { 𝑥 = 2𝑦 − 4𝑡 + 8𝑣 + 𝑡 − 5𝑣 𝑧 = 𝑡 − 2𝑣 𝑢 = 0 { 𝑥 = 2𝑦 − 3𝑡 + 3𝑣 𝑧 = 𝑡 − 2𝑣 𝑢 = 0 R: 𝑆𝑃𝐼, 𝑆 = {(2𝑦 − 3𝑡 + 3𝑣, 𝑦 , 𝑡 − 2𝑣 , 𝑡 , 0 , 𝑣)}. Referências Bibliográficas

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