FACULDADE IBMEC SÃO PAULO. Paulo Roberto Nascimento Ribeiro

FACULDADE IBMEC SÃO PAULO

Programa de Mestrado Profissional em Economia

Paulo Roberto Nascimento Ribeiro

COMPARAÇÃO DE MODELOS DE ESTIMAÇÃO DA

ESTRUTURA A TERMO DAS TAXAS DE JUROS: Um Estudo

Exploratório do Mercado Brasileiro.

São Paulo

2007

Livros Grátis

http://www.livrosgratis.com.br

Paulo Roberto Nascimento Ribeiro

Comparação de Modelos de Estimação da Estrutura a Termo das

Taxas de Juros: um estudo exploratório do mercado brasileiro.

Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia da Faculdade Ibmec São Paulo como parte dos requisitos para obtenção do título de mestre. Área de concentração: Finanças e Macroeconomia Aplicadas.

Orientador: Prof. Dr. Ricardo Dias de Oliveira Brito – Ibmec SP.

São Paulo

2007

2 Ribeiro, Paulo Roberto Nascimento

Comparação de Modelos de Estimação da Estrutura a Termo das Taxas de Juros: um estudo exploratório do mercado brasileiro. / Paulo Roberto Nascimento Ribeiro; orientador: Ricardo Dias de Oliveira Brito – São Paulo: Ibmec São Paulo, 2007.

51 f.

Dissertação (Mestrado – Programa de Mestrado Profissional em Economia. Área de concentração: Finanças e Macroeconomia Aplicadas) Faculdade Ibmec São Paulo.

1. Estrutura a termo das taxas de juros 2. Estimação 3. Comparação de modelos

FOLHA DE APROVAÇÃO

Paulo Roberto Nascimento Ribeiro

Comparação de Modelos de Estimação da Estrutura a Termo das Taxas de Juros: um estudo exploratório do mercado brasileiro.

Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia da Faculdade Ibmec São Paulo como parte dos requisitos para obtenção do título de mestre.

Área de concentração: Finanças e Macroeconomia Aplicadas.

Aprovado em: Julho/2007.

Banca Examinadora

Prof. Dr. Ricardo Dias de Oliveira Brito

Instituição: Faculdade Ibmec São Paulo Assinatura: ________________________

Prof. Dr. Marcelo Leite de Moura e Silva

Instituição: Faculdade Ibmec São Paulo Assinatura: ________________________

Prof. Dr. Gyorgy Varga

Instituição: FCE Consultoria Assinatura: ________________________

AGRADECIMENTOS

Em primeiro lugar gostaria de agradecer ao professor Ricardo Brito por sua dedicação e apoio incondicional para a realização desta obra tanto no campo acadêmico quanto no campo pessoal.

Agradecimento especial ao professor Marcio Laurini por todo seu apoio no campo acadêmico e mais ainda no desenvolvimento do modelo computacional que suportou este trabalho.

Tenho muito a agradecer aos professores Marcelo Moura e Gyorgy Varga por seus valiosos préstimos ao desenvolvimento deste trabalho e por seu tempo dedicado à banca examinadora. Professor Eurilton Alves, obrigado pelo apoio pessoal e inspiração na superação dos obstáculos do percurso. Sua serenidade é um porto seguro e amigável nestes tempos de turbulência.

Natália seu amor me da força e alumina a minha vida.

Agradecimentos especiais ao Sr. Antonio Carlos Del Cielo por sua dedicação pessoal para que esta etapa de minha se concretizasse.

Tenho a agradecer também a todos os professores do curso de mestrado em economia do Ibmec São Paulo, aos funcionários do apoio acadêmico e help desk, especialmente aos colaboradores da Biblioteca Telles e mais ainda aos meus companheiros de curso.

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho à minha mãe, Dna. Lina, exemplo maior de amor, dedicação e carinho. Que Deus em sua infinita bondade continue sempre a abençoá-la assim como a senhora tem feito comigo, meus irmãos, sobrinhos e todo o restante da família.

Resumo

Ribeiro, Paulo Roberto Nascimento. Comparação de Modelos de Estimação da Estrutura a Termo das Taxas de Juros: um estudo exploratório do mercado brasileiro. São Paulo, 2007. 51 f. Dissertação (Mestrado) – Faculdade Ibmec São Paulo, São Paulo, 2007.

O objetivo deste trabalho é comparar o desempenho de modelos alternativos de estimação da Estrutura a Termo das Taxas de Juros aplicados ao mercado brasileiro. Os modelos utilizados na comparação foram McCulloch (1971 e 1975), Fisher, Nychka e Zervos (1995), Nelson e Siegel (1987) e Fama e Bliss (1987). O desempenho dos modelos foi comparado através de uma série de medidas seguindo a metodologia desenvolvida por Bliss (1997). De maneira geral encontramos o modelo de McCulloch (1971 e 1975) como o de melhor desempenho no que tange o apreçamento de títulos zero cupom.

Palavras chave: Estrutura a termo das taxas de juros, interpolação, comparação de modelos.

Abstract

Ribeiro, Paulo Roberto Nascimento. Comparison Models of Estimation of the Term Structure of Interest Rates: an exploratory Study of the Brazilian Market. São Paulo, 2007. 51 f. Dissertation (Mastership) – Faculdade Ibmec São Paulo, São Paulo, 2007.

The objective of this study is to compare the performance of alternative term structure estimation models applied to the Brazilian market. Methods used were McCulloch (1971 and 1975), Fisher, Nychka and Zervos (1995), Nelson and Siegel (1987) and Fama and Bliss (1987). Model performance was compared through a series of measures following the methodology developed by Bliss (1997). In general manner we found that the McCulloch’s (1971 e 1975) method shows the better fit to pricing zero coupon bonds.

Key words: Term structure of interest rates, interpolation, comparison models.

SUMÁRIO

1. - INTRODUÇÃO ... 11

2. - REVISÃO TEÓRICA ... 14

2.1. - Função de apreçamento de títulos ... 14

2.2. - Taxa de Juros a Termo (Forward Rate) e Taxa de Juros de Títulos sem Cupom (Spot Rate)... 16

2.3. - Taxa de Juros Livre de Risco ... 17

2.4. - Descrição dos Modelos... 20

2.4.1. - Modelo McCulloch (MC) ... 20

2.4.2. - Modelo Fisher-Nychka-Zervos (FZ)... 22

2.4.3. - Modelo Nelson-Siegel (NS)... 23

2.4.4. - Modelo Fama-Bliss (FB) ... 25

3. - DESCRIÇÃO DOS DADOS ... 26

4. - METODOLOGIA ... 29

5. - ANÁLISE DOS RESULTADOS... 32

5.1. - Toda a amostra de dados ... 33

5.2. - Amostra de estimação... 35

5.3. - Amostra de teste ... 36

5.4. - Erro de apreçamento... 41

5.4.1. - Matriz de transição dos erros ... 41

5.4.2. - Coincidência de erros... 43

5.4.3. – Regressão dos erros... 44

6. - CONCLUSÕES... 46

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA... 48

LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Exemplo de interpolação de dados pelo modelo de McCulloch (1971 e 1975). __ 22 Figura 2: Exemplo de interpolação de dados pelo modelo Nelson-Siegel (1987). ________ 24 Figura 3: Simulação de 1 dia da ETTJ. _________________________________________ 32 Figura 4: Série de tempo do EAPM para os modelos analisados. _____________________ 40

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Estatística Descritiva dos dados analisados.______________________________ 27 Tabela 2: Erros de ajuste dos modelos para a amostra sem repartição. _________________ 33 Tabela 3: Taxa de Acerto em diferentes graus de maturidade. _______________________ 34 Tabela 4: Erro Absoluto Ponderado Médio – amostra de estimação. __________________ 35 Tabela 5: Taxa de Acerto por faixa de vencimentos. _______________________________ 36 Tabela 6: Estatística de Friedman. _____________________________________________ 37 Tabela 7: Erro Absoluto Ponderado Médio – amostra de teste. _______________________ 37 Tabela 8: Taxa de Acerto por faixa de vencimento.________________________________ 38 Tabela 9: Percentual de Preferência. ___________________________________________ 39 Tabela 10: Matriz de transição dos erros.________________________________________ 42 Tabela 11: Coincidência de erros na amostra de teste.______________________________ 43 Tabela 12: Regressão dos erros de apreçamento. __________________________________ 45

11 1. - INTRODUÇÃO

A Estrutura a Termo das Taxas de Juros (ETTJ) refere-se à disposição das taxas de desconto uma de coleção de títulos sem cupom (zero coupon bonds) que diferem uns dos outros apenas pelo tempo até o seu resgate. A estrutura a termo das taxas de juros faz a ligação entre as taxas de juros de curto e longo prazo.

Possuir uma estrutura a termo das taxas de juros confiável é de fundamental importância para no cálculo do valor do mercado de uma carteira de ativos, na avaliação de derivativos de renda fixa, e no contexto da Política Monetária é um indicador primário das expectativas de mercado relativo à taxa de juros e inflação.

Existem duas formas distintas de se modelar a estrutura a termo das taxas de juros. A primeira é baseada em modelos que fazem suposições explícitas sobre a evolução do estado das variáveis utilizando argumentos de equilíbrio e/ou arbitragem e são conhecidos como modelos de equilíbrio ou modelos econômicos. Alternativamente, a segunda forma é, essencialmente, utilizar técnicas estatísticas para extraí-la – dados suavizados obtidos dos preços dos ativos para descrever a curva de juros corrente sem observar os fatores que a estão guiando.

Os modelos de não arbitragem têm foco no perfeito ajuste da estrutura a termo em um dado ponto do tempo assegurando que não existam possibilidades de arbitragem, o que é importante para o apreçamento de derivativos. Os modelos de equilíbrio têm foco na modelagem da taxa instantânea, utilizando tipicamente modelos afim, depois disso, as taxas de outros vencimentos podem ser derivadas sob várias suposições acerca do prêmio de risco. Os exemplos mais importantes de modelos de taxa curta incluem os trabalhos de Vasicek (1977), Cox, Ingersoll e Ross (1985), Hull e White (1990) e Heath, Jarrow e Morton (1992). No cenário nacional encontramos exemplo de modelo de taxa curta no trabalho de Vieira Neto e Valls Pereira (2005). Em termos de comparação destes modelos encontramos o trabalho de Chan et. al. (1992) como um representante no cenário internacional e uma aplicação feita à realidade brasileira é encontrada no trabalho de Dario e Barossi-Filho (2003). Do outro lado estão os modelos que podem extrair a estrutura a termo em qualquer ponto do tempo utilizando dados dos preços dos títulos empregando técnicas de estimação de

12 da estrutura a termo baseada em splines marcaram um passo significativo, atuando como base para muitos dos atuais trabalhos acadêmicos a este respeito.

Trilhando os caminhos de McCulloch encontramos os trabalhos de Chambers, Carleton e Waldman (1984) que utilizam polinômios para estimar a curva de juros, Vasicek e Fong (1982) utilizaram o spline exponencial para estimar a função de desconto (discount function), Sheafer (1981) utilizou um polinômio de Bernstein para estimar a função de desconto de forma semelhante ao que fez McCulloch. Fisher, Nychka e Zervos (1995) modificaram o procedimento de spline cúbico adicionando uma função que penaliza grandes oscilações na curva de juros estimada. Fama e Bliss (1987) fizeram uso de um método interativo de extração das taxas de juros a termo (forward rate) e Nelson e Siegel (1987) assumem que as taxas de juros são geradas por uma equação diferencial.

Existem dois problemas fundamentais que precisam ser mencionados em qualquer modelo que tente estimar a estrutura a termo de taxa de juros implícita no preço dos títulos. O primeiro problema são as lacunas no que diz respeito aos vencimentos destes títulos. Não é sempre que se encontram títulos vencendo em todos os prazos que se deseja. Segundo, a ETTJ é definida em termos de títulos com desconto puro ou sem cupom e na grande maioria dos mercados o que se encontra são títulos que fazem pagamento de cupom. Estes dois fatos levam a problemas práticos de estimação. Primeiro, há a decisão de como preencher as lacunas – qual é o formato que a estrutura a termo deve ter? Para responder a esta questão deve-se decidir pelo trade-off entre alisamento dos dados (remoção dos ruídos) e representatividade (flexibilidade de manter os vértices genuínos na estrutura a termo).

Este trabalho tem como objetivo abordar estes dois problemas. Primeiro qual é o título mais adequado (no que se refere à liquidez e risco) à realidade brasileira para fazermos à estimação da ETTJ. Para tanto construiremos um arcabouço teórico que suporte nossa decisão. De posse deste título, faremos à comparação de 4 modelos de estimação da ETTJ, desta forma poderemos escolher qual a melhor maneira de preenchermos as lacunas existentes entre os títulos de diferentes prazos efetivamente negociados.

Os modelos que serão diretamente testados são: McCulloch (1971 e 1975), Fisher, Nychka e Zervos (1995), Nelson e Siegel (1987) e Fama e Bliss (1987). A escolha do melhor modelo utilizará como base a metodologia desenvolvida por Bliss (1997). Neste trabalho o autor

13 investiga a existência de relação sistemática no erro dos preços estimados comparando o desempenho dos modelos na amostra de estimação e na amostra de teste.

O trabalho está estruturado da seguinte forma: além desta introdução segue a revisão teórica acerca dos temas mais pertinentes para este trabalho e que nos dão sustentação para a escolha do ativo livre de risco e para a metodologia de análise dos modelos. Em seguida faz-se a descrição dos dados utilizados e da metodologia empregada para a avaliação. Por fim são analisados os resultados empíricos do mercado local culminando com as conclusões.

2. - REVISÃO TEÓRICA

Esta seção introduz algumas das ferramentas necessárias para a avaliação da estrutura a termo das taxas de juros. Em particular, ela faz a introdução de títulos livres de risco, a forma como a estrutura a termo é representada e a associação das técnicas aritméticas necessárias para sua análise.

2.1. - Função de apreçamento de títulos

A função de apreçamento mais simples, apropriada para um mundo sem impostos, opções embutidas ou outros atritos, é simplesmente o valor presente dos fluxos de caixa futuro prometido. O primeiro estágio é considerar o valor hoje de um único e garantido pagamento nominal feito em uma data futura. Por exemplo, qual o valor de um montante, X , feito , anos à frente. Supondo que a taxa de juros, , do período seja conhecida, então o valor presente, , de m z P X é: m z X X P ) 1 ( ) ( + = (1)

A taxa de juros, , é normalmente conhecida como taxa de juros à vista (spot) com vencimento de anos, porque esta é a taxa de juros que é aplicada hoje a um empréstimo de

anos.

z

m m

Considere um único pagamento de tamanho X feito no tempo t . O seu valor presente,

utilizando (1) é simplesmente: X t z X P _t . )) ( 1 ( 1 ) ( _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = (2)

O fator pelo qual X é multiplicado para obter o seu valor presente é conhecido como fator de desconto (discount factor), sendo uma simples transformação da taxa à vista apropriada. Desta forma o valor presente de qualquer título pode ser calculado através da multiplicação de seu fluxo de caixa nominal pelo apropriado fator de desconto no tempo.

Considerando que o tempo é contínuo, o fator de desconto pode ser transformado em função do tempo. Dada esta função, o valor presente de qualquer fluxo de caixa futuro pode ser calculado multiplicando o valor nominal do fluxo pelo ponto apropriado da função de desconto- denotado por δ . (⋅)

(3)

X t X

P( )=δ( ).

Um título é simplesmente uma seqüência de fluxos de caixa futuro, uma série de pagamentos de cupons de tamanho C pagos no tempo 1, 2,.., m e o do pagamento final de resgate R

feito na data de vencimento anos no tempo. Supondo que a taxa de juros à vista para todos os períodos futuros seja conhecida, então o valor presente de um título de anos será:

m m m m z R C z C z C P ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2 1 + + + + + + + = _L (4)

A equação (4) é conhecida como função de apreçamento de títulos, formalizando a relação existente entre as taxas de juros à vista e o preço dos títulos.

Considerando tempo contínuo e a função de desconto apresentada em (3) podemos reescrever (4) da seguinte forma: R t t C p _m m i i) ( ) ( 1 δ δ + =

∑

Infelizmente, o mundo real (fonte dos nossos dados) não esta livre de fricções. Na prática nós não usamos uma relação de apreçamento exata com em (5), mas uma relação inexata, ou seja, com a probabilidade direta de erros. Dessa forma podemos considerar que os valores encontrados em (5) apresentam algum tipo de ruído, ou seja:

t t R C f p = [ , ,δ( )]+ε (6)

onde captura tudo o que sabemos, ou que assumimos, sobre como os títulos são

apreçados, e ) (⋅ f ) (t

δ é ajustada para minimizar o valor de ε_t, que nesta hipótese deve ser

aleatório. Qualquer tipo de estrutura tanto na média quanto na variância de εt sugerem que existe informação adicional disponível que pode ser incluída em f(⋅).

2.2. - Taxa de Juros a Termo (Forward Rate) e Taxa de Juros de Títulos sem Cupom (Spot Rate)

As taxas a termo são as taxas de juros implícitas entre os diversos vencimentos de títulos que não possuem pagamento de cupom (zero coupon bonds).

O fator de desconto para um período de tempo discreto j (encerrando no tempo ), , é

dado em termos de taxa à vista, por:

j t dj j z (7) j j j j t z d =δ( )=(1+ )−

O fator de desconto é o fator de desconto aplicável a um único pagamento realizado ao

final do período j d

j , e a taxa à vista é a única taxa de retorno aplicada sobre todos os períodos de hoje até o final do período

j z

j . Algebricamente, se representa a taxa de juros aplicável do final do período ao final do período

j f 1 − j j , temos: ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( / 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 ( / 1 ) 1 ( ) 1 ( / 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 j j j j z f f f d f f z d f z d + + + = + = + + = + = + = + = K M (8)

Isolando f_j através de simples manipulações algébricas temos:

(9)

j j

j d d

f =−Δ /

A série de fatores de desconto descreve a série de taxas de juros de um único

período entre o final de e o final de

j d d d₁, ₂,_K, 1 −

j j . As taxas implícitas nos fatores de desconto são conhecidas como taxa de juros a termo implícita, e se organizarmos estes valores no tempo produziremos a curva de taxa de juros a termo implícita.

j f f f1, 2,K,

Uma vez que a taxa à vista descreve a taxa de retorno média dos j períodos, então a taxa a termo implícita descreve a taxa de retorno marginal sobre o período j . A equação da taxa a termo descrita acima pode ser transformada em uma curva de taxa a termo instantânea ρ(t)

através da função de desconto contínua δ(t), considerando que os períodos j e j−1 estão infinitesimalmente pertos. ) ( ) ( ' t t δ 17 ) (t δ ρ = − j d / 1 ( = (10)

A taxa à vista é algumas vezes chamada de retorno do título zero cupom uma vez que ela

representa a taxa interna de retorno de um título de desconto puro (título sem cupom). j

z

Dado um fator de desconto observado , o retorno de um título zero cupom pode ser

facilmente derivado utilizando:

1 )1/j − j

j d

z (11)

A série de taxas à vista ( onde representa algum vencimento arbitrário) é a

estrutura a termo das taxas de juros à vista ou a curva de juros de títulos zero cupom. A aproximação contínua da estrutura a termo das taxas de juros, assumindo que

j z j=1,2,_Km m ( δ 0)=1, é dada por: t t)] ( ln[ − = δ (12) t) ( η 2.3. - Taxa de Juros Livre de Risco

De forma direta, definimos que o ativo livre de risco é aquele que possui retorno certo. O investidor que adquire um título livre de risco no início de determinado período sabe exatamente qual será o valor deste investimento ao final do período pré-estabelecido. Neste caso identificamos a taxa de juros livre de risco (risk free rate) como a taxa de retorno de um ativo livre de risco.

A equação do Modelo de Apreçamento de Ativos (CAPM) determina que a taxa de retorno, , esperada para qualquer investimento é função linear crescente da taxa de juros livre de

risco, , mais um prêmio associado ao nível de risco sistemático do investimento. Este

prêmio de risco é proporcional ao coeficiente beta, j

r

f r

j

a covariância dos retornos do ativo com os retornos da carteira de mercado, σ , e a _jM variância dos retornos desta carteira, σ2M.

(

Como, por definição, não há incerteza com relação ao valor no vencimento de um ativo livre de risco, dizemos que retorno deste investimento é determinístico e sua variância é zero. Conseqüentemente, também será zero a covariância entre os retornos de tal ativo e os retornos de qualquer outro ativo com risco presente na economia. Diante do exposto podemos dizer que o ativo livre de risco tem beta nulo βjM =0). Esta constatação serve de base para muitos

trabalhos que visam identificar ativos livre de risco.

A literatura internacional parece sugerir que a taxa livre de risco de determinado país é expressa pela rentabilidade de mercado dos títulos emitidos pelo governo federal, teoricamente, o emissor de menor risco de inadimplência (default risk) da economia em razão de sua capacidade de tributar e/ou emitir moeda para honrar seus débitos.

Fabozzi (2000) afirma que participantes do mercado de todo o mundo encaram os títulos emitidos pelo Tesouro dos Estados Unidos da América (Treasuries) como isentos de risco de crédito (credit risk ou default risk). Conseqüentemente, a curva de juros à vista construída a partir do rendimento destes títulos zero cupom representam a estrutura temporal de taxas de juros de aplicação de mínimo risco na economia americana e, conseqüentemente, nos mercados internacionais. A curva de juros construída com base nos títulos do governo federal americano tem sido utilizado na prática financeira como uma aproximação (proxy) da ETTJ livre de risco.

Para investidores com horizonte temporal de curto prazo a taxa de juros livres de todos os riscos financeiros (crédito, liquidez e mercado) seria a rentabilidade dos títulos mencionados acima com prazo de vencimento de um dia. Mas como não existe uma série de títulos com vencimento a cada dia útil, Hull (2003) sugere que o rendimento de operações compromissadas (repurchase agreements) com prazo de um dia (overnight repo rate) seria o equivalente a esta taxa.

No caso do ambiente econômico do Brasil, como a maior parte dos empreendimentos gera fluxos de caixa livre em reais, a taxa de desconto relevante para estes investimentos é o custo

de oportunidade de operações em reais. Dessa forma devemos identificar qual é o título público federal que possui as características de um ativo livre de risco.

Os títulos públicos federais possuem algumas restrições à sua utilização. A primeira delas é a baixa participação de títulos prefixados na composição da dívida pública. Segundo, ao contrário da prática dos mercados desenvolvidos, no Brasil os títulos federais são adquiridos na sua emissão e mantidos em carteira pelos investidores até o vencimento. Desta forma o mercado secundário destes títulos caracteriza-se pela baixa liquidez. Outro problema é a limitação de prazos de vencimento (problema encontrado em outros mercados).

O trabalho de Famá, Barros e Silveira (2002) faz a aplicação de testes econométricos para encontrar a taxa de juros livre de risco para o Brasil. Os testes são aplicados ao C-Bond, a

Caderneta de Poupança e ao CDI-over visando identificar como hipótese nula, ( ), quais

destes ativos possuem beta,

0

H

j

β , medido em relação à carteira de mercado (Índice Bovespa) igual a zero.

O C-Bond foi escolhido por ser o título mais freqüentemente transacionado entre os chamados

Brady Bonds e possui uma taxa fixada quando da sua emissão. Alguns problemas, entretanto,

podem surgir da utilização do retorno desse título como aproximação da taxa livre de risco. O primeiro problema decorre do risco de inadimplência de tais títulos, o que é por definição contrária à mensuração de uma taxa de juros livre de qualquer forma de risco. Outro problema relacionado à utilização deste título como aproximação da taxa de juros livre de risco é a correlação que os mesmos apresentam com outros ativos presentes na economia.

Os autores avaliaram o rendimento do C-Bond ao longo do período de janeiro de 1997 até setembro de 2001 e rejeitaram a hipótese nula de que o beta deste ativo seja zero, pois o beta medido em relação ao Índice Bovespa (carteira de mercado) foi estatisticamente significante e com valor em torno de 0,30.

No caso dos rendimentos da Caderneta de Poupança, tem-se que o ativo comporta-se como a definição teórica da taxa de juros livre de risco no que diz respeito a sua correlação com outros ativos existentes na economia.

Entretanto a captação de recursos via caderneta de poupança é bem menos atrativa que seus concorrentes em função de seus custos operacionais uma vez que ela é caracterizada como um 19

20 instrumento típico de varejo. Outro problema é o direcionamento do crédito bancário imposto pelas autoridades monetárias. Parte considerável da captação em poupança deve ser recolhida junto ao Banco Central (Bacen) a título de depósito compulsório e uma parcela ainda maior deve ser obrigatoriamente aplicada no crédito imobiliário.

O CDI-over foi testado e o valor encontrado para o beta foi muito próximo a zero. Desta forma Famá et al. (2002) afirmam que o CDI-over, pode ser utilizado como uma aproximação adequada em termos teóricos para a taxa de juros livre de risco no Brasil.

Ainda que a taxa do CDI-over seja a melhor representação da taxa de juros livre de risco no curtíssimo prazo e a mais freqüentemente empregada por pesquisadores brasileiros, ela ainda não atende ao requisito de prazo exigido em determinadas aplicações financeiras.

Bancos domésticos tipicamente captam recursos em reais através da emissão de certificados de depósito indexados à taxa CDI-over e operações compromissadas, e caso desejem fixar o custo de captação por determinado período superior a um dia recorrem a instrumentos derivativos, tais como contratos DI Futuro na BM&F ou swap CDI-Pré interbancário.

A aplicação financeira de mínimo risco a taxa prefixada em reais por determinado período consiste, por conseguinte, na combinação de operações com investimento de recursos monetários líquidos em operação com CDI-over e operações com derivativos pelo prazo desejado.

2.4. - Descrição dos Modelos

Quatro modelos foram utilizados para estimar a estrutura a termo das taxas de juros a partir da mesma função de apreçamento e utilizando o mesmo ativo livre de risco. Os modelos são McCulloch (1971 e 1975), Fisher-Nychka-Zervos (1995), Nelson-Siegel (1987) e Fama-Bliss (1987). Estes 4 (quatro) modelos representam uma grande variedade de funções de aproximação e métodos de estimação o que é extremamente importante para a identificação de resultados específicos ao método utilizado.

2.4.1. - Modelo McCulloch (MC)

Em seu primeiro artigo McCulloch (1971) utilizou um spline quadrático para estimar a função de desconto. Este procedimento possui propriedades superiores às de se utilizar um simples polinômio como função de aproximação, mas em compensação também possui grandes

inconvenientes e o maior deles é apresentar segunda derivada descontínua, ou seja, taxa de juros a termo descontínua. A maneira óbvia de se evitar este efeito é aumentar a ordem da função de aproximação e utilizar, por exemplo, um spline cúbico.

A implementação mais simples de um spline cúbico é apresentada por McCulloch (1975) que utilizou a equação de apreçamento de títulos como uma função contínua da função de desconto e com suposição de capitalização contínua. O spline cúbico ou de ordem superior é preferível ao spline quadrático por apresentar a curva de taxa de juros a termo mais suave e contínua.

Nestes dois trabalhos McCulloch (1971 e 1975) desenvolveu um spline cúbico e o utilizou para aproximar uma família de funções de desconto com κ parâmetros sobre um intervalo

2 −

κ delimitado por κ −1 pontos de quebra em que, a função de desconto ,δ(m), pode ser expressa por:

∑

Os f's são funções polinomiais no argumento de prazo dos pagamentos, . Os coeficientes

(

m

i

a i=1,2,_K,κ) podem ser estimados diretamente pelo método dos mínimos quadrados

ordinários (MQO).

0 500 1000 1500 2000 0 200 400 600 800 10 20 30 40 50 Tempo McCulloch Vencimento (Dias) T a xa s ( % )

Figura 1: Exemplo de interpolação de dados pelo modelo de McCulloch (1971 e 1975).

2.4.2. - Modelo Fisher-Nychka-Zervos (FZ)

Fisher et al. (1995) ajustaram um spline cúbico suavizado para a curva de taxas de juros a termo.

A estratégia seguida pelos autores foi utilizar um grande número de pontos de vértice, mas ao mesmo tempo penalizar o excesso de oscilação na função de desconto estimada. Este fato produz o efeito de reduzir o efetivo número de parâmetros do modelo uma vez que a penalidade imposta força um relacionamento implícito entre os parâmetros do spline. A penalidade do modelo é definida por:

∫

uma constante multiplicada pela integral da segunda derivada ao quadrado da função que está sendo interpolada pelo spline.

Assumindo que λ é fixo ao longo do tempo, o problema agora consiste em minimizar a soma dos erros de apreçamento ao quadrado mais a penalidade descrita acima. Desta forma temos:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ _{− +}

∫

∑

onde é a função utilizada para calcular o preço estimado do título, , podendo ser o

fator de desconto, a função de desconto ou a função da taxa de juros a termo. O parâmetro i

Pˆ

λ controla o trade-off entre alisamento e oscilação sendo auto selecionado como parte do processo de estimação.

2.4.3. - Modelo Nelson-Siegel (NS)

Nelson e Siegel (1987) desenvolveram um modelo flexível o suficiente para representar um grande leque de formatos, normalmente, associados à curva de retorno: monotônico, curvado ou em S. Eles apresentaram uma forma funcional que é uma aproximação conveniente e parcimoniosa (se existe mais de uma explicação para uma dada observação, devemos adotar aquela mais simples) de três fatores.

Se a taxa de juros a termo instantânea de prazo m , denotada por é dada pela solução de uma equação diferencial de 2ª (segunda) ordem com raízes reais e iguais, o modelo mais parcimonioso que pode gerar a mesma gama de formatos é dada pela equação:

) (m r ] ) / [( ) ( 2 ( / ) ) / ( 1 0 τ τ _{β τ} β β m m e m e m r = + ⋅ − + ⋅ ⋅ − (14)

Integrando a função acima no intervalo relevante e dividindo-a por m , temos:

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⋅ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ + = − − (− / ) ) / ( 2 ) / ( 1 0 / 1 / 1 ) ( τ τ τ τ β τ β β m m m e m e m e m R (15) Transformando m/τ em λτ , temos: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − ⋅ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ + = − − (− ) ) ( 2 ) ( 1 0 1 1 ) ( λτ λτ λτ λτ β λτ β β e e e m R ₍₁₆₎

O parâmetro λτ governa a taxa de decaimento exponencial, pequenos valores de λτ

produzem um vagaroso decaimento exponencial ajustando-se de forma melhor a longos

vencimentos, enquanto pequenos valores de λτ produzem um rápido decaimento exponencial e é mais bem ajustado a curtos vencimentos.

Nós interpretamos β₀,β₁ e β₂ como três fatores dinâmicos latentes. A carga de β₀ é 1 , uma constante que no limite não decai a zero, então β0 pode ser visto como um fator de longo

prazo. A carga de β₁ é ( , uma função que tem início em 1 , mas que decai

monotônica e rapidamente a 0 (zero), então λτ λτ / ) − 1− e 1

β pode ser visto como um fator de curto prazo.

A carga de β₂ é , que começa em 0 (zero) (não sendo assim o termo de

curto prazo) aumenta até certo ponto e depois decai a 0 (zero) (não sendo assim o termo de longo prazo) sendo vista então como o fator de médio prazo.

λτ − − e ) ) λτ − − e 1 (( /λτ

Os termos de curto, médio e longo prazo também são conhecidos pelos termos descritos por Litterman e Scheinkman (1991) como nível, inclinação e curvatura. O fator de longo prazo,

0

β , por exemplo, governa o nível da curva de retorno. O fator de curto prazo, β₁, está intimamente relacionado à inclinação da curva e, finalmente, β₂ esta relacionado à curvatura da curva de retorno.

A seguir temos um exemplo de interpolação através do modelo Nelson-Siegel (1987):

24 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 0 100 200 300 400 500 600 700 800 10 15 20 25 30 35 40 45 Tempo Nelson-Siegel Ta x a s ( % ) Vencimento (Dias)

25 2.4.4. - Modelo Fama-Bliss (FB)

O procedimento de Fama e Bliss (1987) considera a estrutura a termo das taxas de juros em termos de taxa de juros a termo. O modelo de Fama-Bliss não suavizado faz a extração de taxas de juros a termo do preço dos títulos através de uma função de desconto. A função de desconto é estendida a cada passo através da taxa de juros a termo necessário para apreçar sucessivamente títulos com vencimentos mais longos resultando na função de retorno ajustada ao item previamente incluído.

A taxa de juros a termo resultante deste procedimento é uma função com saltos (descontínua) em relação ao vencimento do título que esta sendo utilizado.

Este procedimento é amplamente utilizado no Brasil e conhecido no mercado financeiro como

26 3. - DESCRIÇÃO DOS DADOS

A base de dados que foi utilizada em nosso trabalho utilizou dados brutos referentes ao

CDI-over e ao Futuro de DI. Para as informações de curtíssimo prazo, 1 dia, utilizamos as cotação

máxima e mínima do CDI-over. Os dados foram extraídos diretamente do site da Central de Liquidação de Títulos Privados (Cetip).

Para os vencimentos mais longos que 1 dia, utilizamos as cotações do contrato Futuro de Taxa Média de Depósitos Interfinanceiros de Um Dia (Futuro de DI). A base de dados de Futuro de DI foi obtida na Bolsa de Mercadorias e Futuros (BM&F) através de seu site. As informações que utilizamos formam: as cotações de fechamento do preço de compra e do preço de venda do contrato, além da quantidade de dias de saque reserva que é compreendida entre a data de negociação, inclusive, e a data de vencimento do contrato, inclusive.

Das especificações do contrato de Futuro de DI, destacamos:

• Taxa DI: Taxa Média de Depósitos Interfinanceiros de Um Dia calculada pela Central de Custódia e de Liquidação Financeira de Títulos (Cetip), expressa em taxa efetiva anual de 252 dias úteis.

• Preço Unitário: o valor em ponto, correspondente a 100.000, descontado pela taxa de juros que é objeto de negociação.

• Saques-reserva: dia útil para fins de operações praticadas no mercado financeiro, conforme estabelecido pelo Conselho Monetário Nacional.

• Objeto de Negociação: A taxa de juro efetiva até o vencimento do contrato, definida para este efeito pela acumulação das taxas diárias de DI compreendida entre a data de negociação, inclusive, e o último dia de negociação do contrato.

• Meses de vencimento: Os quatro primeiros meses subseqüentes ao mês em que a operação foi realizada e, a partir daí, os meses que se caracterizarem com início de trimestre.

Nós utilizamos dados diários compreendido entre 01/05/2002 e 31/12/2006 em um total de 1706 dias.

Desta base de dados, eliminamos algumas emissões para evitarmos problemas de liquidez, distorções nos preços e inconvenientes econométricos.

Primeiramente eliminamos emissões com menos de 3 negócios por dia. De acordo com Varga (2006 b) a utilização do número de negócios é preferível à quantidade de contratos, pois em um único negócio podemos encontrar um grande número de contratos. Eliminamos as emissões onde a taxa de juros à vista de compra ou de venda fosse igual a 0 (zero), também foram eliminadas as emissões com menos de 2 dias de saque até o vencimento. Outro motivo de exclusão foi os dias que apresentaram apenas dois pontos de vencimento.

Após estas exclusões ficamos com um total de 1154 dias observados. Estes dados foram agrupados por seu prazo de vencimento e separados alternadamente entre amostra de estimação e amostra de teste.

Adicionalmente, na amostra de teste foram eliminadas as emissões onde o maior vencimento para um determinado dia fosse superior ao maior vencimento da amostra de estimação para este mesmo dia. Este procedimento foi realizado para evitarmos que os modelos fizessem extrapolações dos dados.

Abaixo temos uma visão geral das taxas utilizadas em nosso trabalho.

Média Desvio-Padrão Mínimo Máximo

0 - 1 18,00 3,24 12,96 25,45 2 - 21 17,96 3,13 13,77 25,98 22 - 42 17,99 3,48 13,29 26,16 43 - 63 18,37 3,83 13,15 27,12 64 - 126 17,61 3,46 13,83 23,03 127 - 252 19,65 5,36 13,60 27,98 253 - 504 19,30 5,11 13,96 29,03 505 - 756 18,09 4,49 14,14 25,44 757 - 1008 17,51 2,57 15,44 20,10 Superior a - 1008 14,94 0,24 14,77 15,11 17,94 3,49 13,89 24,54 Estatística Descritiva Dias até o Vencimento Todos os vencimentos

Tabela 1: Estatística Descritiva dos dados analisados.

28 Observamos na tabela 1 a estatística descritiva para diferentes vencimentos das taxas à vista que serviram de base para este trabalho. De forma geral observamos que as médias das taxas à vista apresentam certa oscilação e também um formato arqueado.

Os desvios padrão crescem até o vencimento de 1 ano e depois caem até o final do mais longo intervalo de vencimento.

As amplitudes de taxas entre 1 dia e 3 meses apresentam valores próximos. A maior amplitude de taxas é observada no intervalo de vencimento entre 1 e 2 anos com variação entre 13,96% a.a. e 29,03% a.a.. Do outro lado, as menores amplitudes de taxas são observadas nos vencimentos mais longos demonstrando que as taxas tendem a se estabilizar no longo prazo.

4. - METODOLOGIA

Para cada um dos dias de nossa base foram estimados os parâmetros de cada um dos modelos utilizando como base o valor médio entre a taxa à vista de compra e taxa à vista de venda extraídas dos dados brutos do preço de fechamento de compra e de venda descritos na seção anterior. A estrutura a termo estimada foi então utilizada para calcular os preços e os erros de apreçamento dos títulos nas amostras de estimação e de teste. O processo foi repetido para cada um dos 1154 dias, empregando cada um dos modelos de estimação. Os resultados foram sumarizados em séries temporais que serviram de base para os testes de desempenho.

Para fazermos uma comparação formal dos modelos utilizamos o teste de Friedman. Este é um teste não-paramétrico que compara grupos relacionados. A questão central do teste é controlar a variabilidade experimental entre os objetos. Uma vez que o teste de Friedman testa o valor do posto de cada uma das linhas (que representa cada um dos dias de emissão), ele não é afetado por forças que variem igualmente afetando todos os valores de uma linha.

Neste teste, o p-valor (p-value) responde a seguinte questão: Se a diferença entre as médias é realmente zero, qual a chance de uma amostra aleatória apresentar média distante de zero? Se o p-valor for pequeno, pode-se rejeitar a idéia de que todas as diferenças entre as colunas (que representam cada um dos vencimentos) são coincidências e concluir que uma das colunas difere do restante do grupo. Olhar o resultado deste teste significa ver se um grupo é diferente do restante dos outros grupos. Se o p-valor for grande os dados não apresentam nenhuma evidência para concluirmos que todas as médias diferem umas das outras. Isto não é o mesmo que dizer que as médias são as mesmas.

Para analisarmos o desempenho de cada um dos modelos avaliaremos o erro de apreçamento. O erro ajustado de apreçamento será igual a 0 (zero) somente no caso de estar inserido no intervalo do spread de compra e venda, como segue:

⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − − = 0 ˆ ˆ P P P P c v ε v c c v P P seP P P se P P se > > > < ˆ ˆ ˆ (19) 29

onde P é o preço de venda; v P o preço de compra e; c Pˆ o preço estimado.

Para comparar o desempenho de cada um dos modelos de estimação da estrutura a termo das taxas de juros foram considerados os 4 (quatro) tipos de erro a seguir:

1. Erro Médio (EM)

∑

2. Erro Absoluto Médio (EAM)

∑

3. Erro Quadrático Médio (EQM)

∑

4. Erro Absoluto Ponderado Médio (EAPM)

∑

[

]

∑

ω e D representa a duração (duration) simples.

Ao combinarmos os erros de ajuste em uma mesma data através dos vencimentos nós ponderamos o erro pelo inverso da duração de cada emissão. Esta ponderação é proposta por Bliss (1997) que argumenta que este procedimento reflete o relacionamento teórico entre o preço do título e a taxa de juros.

Uma vez que qualquer ponto situado dentro do intervalo do spread de compra e venda é um preço viável para a nossa comparação, uma medida de desempenho relacionada à precisão é verificar a freqüência com que o preço ajustado está inserido entre os preços de compra e de

venda correntes. Essa medida de desempenho é a Taxa de Acerto (TA) ou o percentual de emissões que possuem erro igual a 0 (zero). A TA é calculada da seguinte forma:

[

]

∑

Sendo que é um indicador que assume valor 1 quando o preço ajustado do título está

entre os preços de compra e venda e 0 (zero) para qualquer outro.

[

_]

Quando comparamos procedimentos de estimação da estrutura a termo das taxas de juros é importante que controlemos a variação sistemática da magnitude da medida de desempenho ao longo do tempo. Para determinar qual modelo é preferido quando o desempenho é comparado aos pares, Jeffrey et al. (2000) sugeriram a mensuração do Percentual de Preferência (PP): [ ] [ ]

∑

∑

∑

onde é o número total de observações e _] é um indicador que tem valor 1 quando o

modelo é preferido ao modelo

N _[

i i Y

X I _>

X Y , e 0 (zero) caso contrário.

Os erros de ajuste são examinados para verificar uma possível má especificação na função de apreçamento. Caso ela esteja corretamente especificada, então os erros não podem apresentar persistência ao longo do tempo, uma vez que se assume que a função de apreçamento reflete toda a informação disponível em qualquer ponto do tempo. Para avaliarmos este item analisaremos a Matriz de Transição de Erros.

Para encontrarmos onde o comportamento do erro ao longo do tempo é específico ao método avaliamos a Coincidência de Erros (CE) entre os métodos de estimação.

5. - ANÁLISE DOS RESULTADOS

Uma vez que o objetivo fundamental de um modelo de estimação da estrutura a termos das taxas de juros é estimar o preço de um título que, atualmente, não é negociado para o período que necessitamos, é de nosso interesse conhecer o desempenho relativo da interpolação de cada um dos modelos que apresentamos.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 15,00 15,50 16,00 16,50 17,00 17,50 18,00 18,50 19,00 19,50 Vencimento (Dias) Ta x a s ( % ) Taxa à Vista McCulloch Fisher-Nychka-Zervos Nelson-Siegel Fama-Bliss

Figura 3: Simulação de 1 dia da ETTJ.

Na figura 3, observamos a interpolação feita por cada um dos modelos para o dia 30/07/2004. O nosso objetivo é comparar este desempenho para cada um dos dias de nossa base.

Para compararmos o desempenho dos diferentes modelos de estimação da estrutura a termo da taxa de juros consideramos 5 (cinco) critérios: o Erro Médio (EM), o Erro Absoluto Médio (EAM), o Erro Quadrático Médio (EQM), o Erro Absoluto Ponderado Médio além do Percentual de Acerto (PA).

As medidas de desempenho descritas acima foram calculadas para cada um dos modelos de extração da estrutura a termo e para diferentes amostras.

5.1. - Toda a amostra de dados

A tabela 2 permite uma visão geral acerca da habilidade de cada um dos modelos em ajustar os dados quando a amostra não está seccionada.

EM EQM EAM EAPM

McCulloch 0,00 0,00 0,00 0,00 Fisher-Nychka-Zervos -0,01 4,49 0,08 0,13 Nelson-Siegel -8,84 120.971,82 21,21 495,82 Fama-Bliss 0,00 0,00 0,00 0,00 Tipos de Erro Modelos de Estimação Utilizado

Tabela 2: Erros de ajuste dos modelos para a amostra sem repartição.

O EM demonstra a média do erro em termos de PU, onde todos os títulos avaliados têm valor de face (virtual) igual a 100.000.

Por construção, o modelo FB promove um ajuste perfeito dos preços de todos os títulos da amostra.

Focando os outros modelos de extração da estrutura a termo vemos que por esta medida (EM) os modelos MC e FZ apresentam erros com magnitude semelhantes enquanto o modelo NS aparece num patamar superior.

O Erro Quadrático Médio serve para que tenhamos noção da dimensão dos erros, pois no erro médio as medidas de cargas opostas se anulam, mas no erro quadrático estes valores têm sua dimensão ampliada. Com isto constatamos que o modelo NS pertence realmente a outro patamar de em termos de magnitude. E que o modelo MC é superior ao modelo FZ.

O EAMP apresenta resultados semelhantes aos outros erros analisados.

Outra forma de medir o desempenho dos modelos é testar a taxa de acerto de cada um deles. Sendo assim, a tabela a seguir demonstra os valores da taxa de acerto para cada faixa de vencimento.

McCulloch

Fisher-Nychka-Zervos Nelson-Siegel Fama-Bliss

0 - 1 100,00 100,00 0,17 100,00 2 - 21 100,00 97,96 97,95 100,00 22 - 42 100,00 97,97 97,82 100,00 43 - 63 100,00 98,04 97,77 100,00 64 - 126 100,00 99,23 99,10 100,00 127 - 252 100,00 99,54 99,32 100,00 253 - 504 100,00 99,72 99,19 100,00 505 - 756 100,00 99,91 99,29 100,00 757 - 1008 100,00 99,98 99,47 100,00 Superior a - 1008 100,00 100,00 99,47 100,00 100,00 99,24 88,95 100,00 Taxa de Acerto Dias até o Vencimento Todos os vencimentos

Tabela 3: Taxa de Acerto em diferentes graus de maturidade.

Assim como já havíamos visto na tabela dos erros os modelos MC e FB apresentaram 100% de acerto considerando toda a amostra de dados. Os outros dois modelos também apresentam excelentes desempenhos, com exceção do NS quando avaliado o prazo de 1 dia. Por esta métrica temos que o modelo FZ é superior ao modelo NS em todos os intervalos de vencimento.

As medidas de desempenho analisadas em toda a amostra de dados apontam que os modelos McCulloch e Fama-Bliss são os melhores no que diz respeito ao apreçamento de títulos pré-fixados seguidos pelos modelos Fisher-Nychka-Zervos e finalmente pelo modelo Nelson-Siegel.

A fim de compararmos o desempenho dos modelos de forma mais acurada separamos a nossa base em duas partes: amostra de estimação e amostra de teste. Na primeira amostra estimamos os modelos e analisamos os seus resultados. E para verificarmos a sua real eficiência realizamos os mesmos testes na segunda amostra, porém os parâmetros dos modelos são os mesmos utilizados na amostra de estimação. Os resultados encontrados estão listados na seção seguinte.

Uma vez que o EAMP possui conteúdo tanto estatístico quanto econômico, o desempenho desta métrica é o mais importante para a avaliação dos modelos. Sendo assim nas amostras de estimação e teste avaliaremos apenas o seu desempenho além da Taxa de Acerto.

5.2. - Amostra de estimação

A tabela 4 apresenta o valor do EAMP para cada um dos modelos de estimação da estrutura a termo: modelo de McCulloch (MC), modelo Fisher-Nychka-Zervos (FZ), modelo Nelson-Siegel (NS) e modelo Fama-Bliss (FB) dentro da amostra de estimação.

McCulloch

Fisher-Nychka-Zervos Nelson-Siegel Fama-Bliss

2002* 0,00 0,20 939,96 0,00 2003 0,00 0,20 694,16 0,00 2004 0,00 0,12 576,38 0,00 2005 0,00 0,09 201,22 0,00 2006 0,00 0,05 213,62 0,00 Todos 0,00 0,13 495,82 0,00

Erro Absoluto Ponderado Médio Erro Absoluto Ponderado

Médio

Tabela 4: Erro Absoluto Ponderado Médio – amostra de estimação. *O ano de 2002 é analisado a partir do mês de maio.

De forma semelhante ao que aconteceu na análise dos dados para toda a amostra os modelos de MC e FB possuem 100% de acerto em todos os anos analisados. Desta forma concentraremos nossa análise nos modelos FZ e NS.

Os modelos FZ e NS apresentaram queda constante ao longo dos anos. O modelo FZ passou de 0,37 em 2002 para apenas 0,06 em 2006. Já o modelo NS passou de mais de 2.200 para apenas 709.

Quando consideramos toda a amostra de dados e a amostra de estimação percebemos que o desempenho na amostra completa é superior ao da amostra repartida. Este fato indica que o desempenho dos modelos é crescente à medida que aumenta o número de pontos de nó nos vencimentos.

A Taxa de Acerto foi analisada em termos de vencimentos.

McCulloch

Fisher-Nychka-Zervos Nelson-Siegel Fama-Bliss

0 - 1 100,00 99,57 1,21 100,00 2 - 21 100,00 99,99 99,99 100,00 22 - 42 100,00 99,20 99,16 100,00 43 - 63 100,00 98,90 98,86 100,00 64 - 126 100,00 99,57 99,53 100,00 127 - 252 100,00 99,69 99,65 100,00 253 - 504 100,00 99,65 99,54 100,00 505 - 756 100,00 99,75 99,54 100,00 757 - 1008 100,00 99,88 99,65 100,00 Superior a - 1008 100,00 99,97 99,55 100,00 100,00 99,62 89,67 100,00 Taxa de Acerto

Desempenho Amostra de Estimação Dias até o

Vencimento

Todos os vencimentos

Tabela 5: Taxa de Acerto por faixa de vencimentos.

O modelo FZ apresenta desempenho superior ao modelo NS em todos os vencimentos. O que chama a atenção mais uma vez é a péssima capacidade do modelo NS em ajustar-se ao vencimento de curtíssimo prazo.

Aqui o desempenho relativo dos modelos foi similar ao que encontramos na amostra completa. De forma geral temos os modelos MC e FB com 100% de acerto no preço dos títulos analisados e o modelo FZ apresentando desempenho superior ao modelo NS.

O que nos chama atenção, e corrobora com a teoria a respeito da estimação da estrutura a termo das taxas de juros, é o fato de que o desempenho dos modelos é superior, quando consideramos toda a amostra de dados em comparação a amostra de estimação. Este melhor ajuste dos modelos é uma indicação de que a quantidade de pontos de nó é positiva e diretamente relacionada ao ajuste dos modelos de estrutura a termo das taxas de juros.

5.3. - Amostra de teste

Um procedimento formal de comparação de modelos foi conduzido pelo teste de Friedman. Este método de comparação cruzada é feito nas séries de tempo do erro, onde os resultados dos vários modelos de estimação foram utilizados para determinar se há um indicativo de má especificação da função de apreçamento utilizada.

Modelos P-valor McCulloch 1679 0,00 Fisher-Nychka-Zervos 5359 0,00 Nelson-Siegel 4850 0,00 Fama-Bliss 5546 0,00 Estatística de Friedman i S

Tabela 6: Estatística de Friedman.

Os valores dos testes analisados em relação ao EAMP foram obtidos na amostra de teste. De acordo com ele podemos rejeitar a hipótese de que não há diferença entre os 4 modelos analisados.

De forma esperada, as medidas de desempenho provenientes da tabela 6 não são tão boas quanto as suas contrapartes da amostra de estimação quando analisamos os modelos MC e FB. Em contrapartida vemos grandes melhoras nos modelos FZ e, principalmente, no modelo NS.

McCulloch

Fisher-Nychka-Zervos Nelson-Siegel Fama-Bliss

2002* 0,12 0,07 97,73 0,08 2003 0,16 0,10 69,18 0,10 2004 0,04 0,05 30,74 0,06 2005 0,05 0,03 9,07 0,03 2006 0,03 0,03 16,47 0,03 Todos 0,08 0,05 44,64 0,06

Erro Absoluto Ponderado Médio Anos

Tabela 7: Erro Absoluto Ponderado Médio – amostra de teste.

No ano de início de nossa análise o melhor desempenho vem do modelo FZ, seguido pelos modelos FB, MC e NS. No ano seguinte, emparelham-se em primeiro lugar os modelos FZ e FB seguidos pelo modelo MC e com grande diferença pelo modelo NS. Em 2004, o melhor desempenho é alcançado pelo modelo MC, depois pelos modelos FZ e FB e como dito anteriormente, pelo modelo NS. Em 2005, novo empate entre os modelos FZ e FB e, no ano seguinte, temos os modelos MC, FZ e FB com desempenho semelhante em primeiro lugar.

A tabela 7, que apresenta os valores do EAPM dentro da amostra de teste, demonstra que o desempenho dos modelos é consistentemente menor em períodos mais recentes. Porém o que mais chama atenção é a alternância dos modelos na melhor posição de desempenho ao longo dos anos quando o assunto é o apreçamento de títulos pré-fixados.

McCulloch

Fisher-Nychka-Zervos Nelson-Siegel Fama-Bliss

0 - 1 - - - -2 - 21 98,00 97,96 97,98 97,96 22 - 42 98,68 98,68 98,67 98,68 43 - 63 98,97 98,95 98,92 98,94 64 - 126 99,59 99,58 99,55 99,57 127 - 252 99,67 99,66 99,65 99,66 253 - 504 99,66 99,64 99,59 99,65 505 - 756 99,77 99,75 99,68 99,77 757 - 1008 99,84 99,85 99,79 99,85 Superior a - 1008 99,95 99,96 99,95 99,96 99,35 99,34 99,31 99,34 Taxa de Acerto

Desempenho Amostra de Teste Dias até o

Vencimento

Todos os vencimentos

Tabela 8: Taxa de Acerto por faixa de vencimento.

Podemos observar as variações de desempenho no espectro dos vencimentos através de seu agrupamento em faixas. Por força de construção de nossa base a amostra de teste não conta com observações para o vencimento de curtíssimo prazo – 1 dia.

De maneira geral os modelos de estimação mostraram que o seu desempenho cresce à medida que os vencimentos se tornam mais longos.

O desempenho do modelo FZ está bem próximo dos modelos com 100% de aproveitamento diferentemente do modelo NS. No modelo FZ vemos que de 2002 a 2003 o valor do erro absoluto ponderado médio mantém-se estável com queda sucessiva nos anos seguintes. Este mesmo comportamento é demonstrado pelo modelo NS. Desta forma podemos avaliar que os modelos possuem ajuste melhor aos dados mais recentes da economia que por sua vez não apresentaram sobressaltados.

Com relação à tabela 8, para o vencimento de 1 mês o melhor desempenho foi apresentado pelo modelo MC, seguido pelo modelo NS e depois pelos modelos FB e FZ. Pela primeira vez em nossa análise o modelo NS apresenta desempenho superior que um de seus concorrentes.

Em todos os níveis de vencimento o modelo MC apresenta melhor desempenho que seus concorrentes e a segunda colocação é alternada entre os modelos FZ e FB. O modelo FZ apresenta melhor desempenho que FB em vencimentos mais curtos, até 252 dias, e o modelo FB é melhor nos vencimentos superiores a 1 ano.

O modelo NS mesmo ficando na última colocação nos vencimentos superiores a 21 dias a magnitude dos valores de seu desempenho é bem próxima a de seus concorrentes. O que é uma grande melhora em relação ao seu próprio desempenho na amostra de estimação.

Quando estamos comparando modelos de estimação da estrutura a termo é importante controlar a variabilidade sistemática na magnitude do erro ao longo do tempo. Para tanto, calculamos a fração de tempo em que um modelo de estimação é estritamente preferível a outro.

Utilizando os dados da amostra de teste o percentual de preferência foi calculado para cada par de modelos de extração da estrutura a termo com base no EAMP. Os valores omitidos na tabela abaixo são complementares aos valores expostos, sendo que a soma destes perfaz um total de 100%. 2 22 43 64 127 253 505 757 Superior a - - - -21 42 63 126 252 504 756 1008 1008 McCulloch X Fisher-Nychka-Zervos 50,26 50,14 50,07 50,01 49,97 49,98 50,00 50,00 50,00 50,05 McCulloch X Nelson-Siegel 50,39 50,22 50,17 50,07 50,05 50,07 50,06 50,03 50,00 50,12 McCulloch X Fama-Bliss 50,24 50,14 50,04 49,97 49,98 49,97 49,98 49,99 50,01 50,04 Fisher-Nychka-Zervos X Nelson-Siegel 50,39 50,21 50,17 50,07 50,05 50,07 50,06 50,03 50,00 50,12 Fisher-Nychka-Zervos X Fama-Bliss 50,11 49,89 49,97 49,97 50,00 49,99 49,98 49,99 50,01 49,99 Nelson-Siegel X Fama-Bliss 49,61 49,79 49,83 49,93 49,95 49,93 49,94 49,96 50,00 49,88 Comparação de Modelos Todos os vencimentos Dias até o Vencimento

Tabela 9: Percentual de Preferência.

Observamos clara dominância dos modelos de MC e FB. Dos nove intervalos de vencimento, o modelo MC é preferido em relação ao modelo FZ em 4 intervalos, de 2 a 126 dias, o modelo FZ é preferido entre 127 e 504 dias e nos três últimos intervalos os modelos tem igualdade de preferência. Ainda em relação ao modelo MC este é preferido em relação ao modelo NS em 39

todos os vencimentos, já com relação ao modelo FB, ele dominada os vencimentos mais curtos entre 2 e 63 dias e é preterido entre 64 e 1008 dias. No último intervalo temos nova preferência pelo modelo MC. Quando analisamos todos os vencimentos o modelo MC tem melhor desempenho que seu concorrente visto que a magnitude dos seus resultados é maior que a magnitude dos valores do modelo FZ.

O modelo FZ em relação aos outros modelos tem desempenho superior ao modelo NS e inferior ao modelo FB. E o modelo NS quando comparado ao modelo FB é preterido em todos os intervalos de vencimentos.

Um fato ignorado até o momento na discussão acima é: Como esta medida de desempenho (EAPM) se comporta ao longo do tempo?

A figura 4 demonstra a série temporal do EAMP dentro da amostra de teste. De forma geral as variações nas observações são semelhantes para os modelos MC, FZ e FB e para NS temos os valores em escala bastante diversa.

0 500 1000 1500 0 2 4 6 8 McCulloch EA PM 0 500 1000 1500 0 1 2 3 Fisher-Nychka-Zervos 0 500 1000 1500 0 5000 10000 15000 Nelson-Siegel Maturidade (dias) EA PM 0 500 1000 1500 0 1 2 3 Fama-Bliss Maturidade (dias)

Figura 4: Série de tempo do EAPM para os modelos analisados.

Dessa forma acreditamos que os erros dos modelos de apreçamento possuem certa estrutura semelhante quando analisados ao longo do tempo.

Analisando os resultados dos testes feitos na amostra de teste temos que o modelo FZ apresentou o melhor resultado entre os modelos analisados no teste referente ao EAPM ao longo dos anos da amostra. Quando observamos a Taxa de Acerto o melhor foi o modelo de MC. O resultado do teste Percentual de Preferência, por fazer a análise dos modelos aos pares serviu como critério de desempate. Na comparação direta dos modelos MC e FZ temos ligeira vantagem para o primeiro deles.

Desta forma, seguindo os resultados tanto da amostra de estimação quanto da amostra de teste temos que o modelo de McCulloch (1971 e 1975) é o melhor modelo para precificação de títulos zero cupom.

5.4. - Erro de apreçamento

Como mencionamos anteriormente, todos os modelos empiricamente testados neste trabalho são baseados nas mesmas suposições de que o preço dos títulos é determinado pelo valor presente total dos seus fluxos de caixa e que a equação de apreçamento resultante inclui toda informação disponível em qualquer ponto do tempo. Então se este apreçamento está correto, qualquer estrutura de dependência nos erros não deveria ser observada ao longo do tempo.

5.4.1. - Matriz de transição dos erros

Se a função de apreçamento esta corretamente especificada e os erros de apreçamento são um ruído aleatório, então não deveria existir qualquer relação entre o erro de apreçamento ajustado de um título em um período e o erro ajustado para o mesmo título no período seguinte. Uma vez que a estrutura a termo para cada dia esta sendo estimada independentemente não deverá existir relação entre sucessivas observações nos coeficientes estimados do erro de apreçamento.

O que desejamos é testar a matriz de transição de erros consecutivos. Sob a hipótese nula de que os erros são aleatórios, a classificação de um erro no tempo , não deve apresentar

qualquer relação com a classificação observada no tempo .

A freqüência incondicional é simplesmente a razão dos erros positivos, negativos ou nulos sobre a amostra observada. A freqüência condicional demonstra a probabilidade do erro de um dado título no tempo ser positivo (negativo ou nulo) dado que o erro do mesmo título no tempo t ter sido positivo (negativo ou nulo).

1 + t

Se as linhas da matriz de transição 3X3 não forem iguais as probabilidades incondicionais de erro positivo, negativo ou nulo é uma evidência da não aleatoriedade na série de tempo dos erros de apreçamento.

A tabela 10 representa a matriz de transição dos erros, mostrando a freqüência condicional e incondicional do erro de apreçamento ajustado quando positivo, negativo ou nulo.

0,08 49,29 0,18 50,54 99,83 0,00 100,00 0,00 0,09 47,64 0,00 52,36 0,07 50,20 0,00 49,80 99,83 0,00 100,00 0,00 0,10 39,25 0,16 60,59 0,04 42,40 1,38 56,22 99,80 21,43 7,14 71,43 0,16 13,24 1,08 85,68 0,07 71,53 0,00 28,47 99,83 0,00 100,00 0,00 0,16 25,79 0,00 74,21 Fama-Bliss Fisher-Nychka-Zervos Nelson-Siegel Frequência Condicional Frequência Incondicional Modelos de Estimação Utilizado McCulloch 0 > t ε 0 = t ε 0 < t ε 0 > t ε εt =0 εt <0 ) (εi,t+1εit 0 > t ε 0 = t ε 0 < t ε 0 > t ε 0 = t ε 0 < t ε 0 > t ε 0 = t ε 0 < t ε

Tabela 10: Matriz de transição dos erros.

Tomando como base o modelo de MC observamos que dado que o erro corrente é positivo, as probabilidades de migração são de 49,29% de continuar a ser positivo, 0,18% de ser nulo e 50,54% de tornar-se negativo. Quando o erro corrente é nulo, temos total persistência no resultado. E quando o erro é negativo as migrações são semelhantes entre as cargas positiva e negativa.

Nos demais casos, percebemos uma grande persistência nos resultados indicando mais uma vez que os dados possuem algum tipo de estrutura que não está identificada na função de apreçamento.

5.4.2. - Coincidência de erros

Na subseção anterior observamos a existência de persistência nos erros ao longo do tempo e que este fenômeno era comum a todos os modelos considerados. Então é importante examinarmos onde os erros produzidos por diferentes métodos de extração estão relacionados entre eles. A tabela 11 apresenta a freqüência alternada que é a possibilidade de um erro positivo (negativo ou nulo) de um dado título em t produzido por um método específico estar acompanhado de erro positivo (negativo ou nulo) no mesmo título produzido por outros métodos de extração. 59,10 11,33 29,57 0,01 99,98 0,01 14,79 9,27 75,94 19,37 0,55 80,08 0,01 99,97 0,02 17,84 0,84 81,32 50,63 10,65 38,72 0,01 99,98 0,01 21,47 9,75 68,77 14,79 0,54 84,66 0,01 99,97 0,02 18,92 0,75 80,34 68,51 13,86 17,62 0,01 99,98 0,01 13,12 7,68 79,20 27,99 16,49 55,52 0,00 100,00 0,00 36,03 15,79 48,18 Fama-Bliss Nelson-Siegel McCulloch Fisher-Nychka-Zervos Nelson-Sigel Fama-Bliss Nelson-Sigel Fisher-Nychka-Zervos Fama-Bliss Fisher-Nychka-Zervos Modelos de Estimação Utilizado Frequência Condicional McCulloch McCulloch 0 > t ε 0 = t ε 0 < t ε 0 > t ε εt =0 εt <0 0 > t ε 0 = t ε 0 < t ε 0 > t ε 0 = t ε 0 < t ε ) ( tMC A t ε ε 0 > t ε 0 = t ε 0 < t ε 0 > t ε 0 = t ε 0 < t ε 0 > t ε 0 = t ε 0 < t ε

Tabela 11: Coincidência de erros na amostra de teste.

Nós examinamos a probabilidade de uma observação positiva de erro de apreçamento produzida por um modelo de estimação ser também positiva em outros modelos.

De forma geral, observamos uma grande coincidência dos erros entre os métodos analisados. Desta forma, não é prudente avaliarmos que todos os modelos sofram problemas semelhantes de estimação da função de desconto dado que a única característica comum a estes modelos são os dados.

Sendo assim, acreditamos que os dados analisados possuem algum tipo de estrutura específica, pois quando combinamos estes resultados com os resultados da subseção anterior temos que os erros são independentes ao modelo e são persistentes ao longo do tempo.

5.4.3. – Regressão dos erros

A partir da discussão anterior concluímos que os erros de apreçamento eram persistentes ao longo do tempo e que este fenômeno não era específico a um método. Desta forma acreditamos que devam existir alguns fatores comuns que são importantes na determinação do preço dos títulos e que não estão sendo considerados na função comum de apreçamento.

Desta forma regredimos os erros de apreçamento nas variáveis que são consideradas relevantes na determinação do preço dos títulos, mas que não são explicitamente consideradas na função de apreçamento.

As variáveis explicativas incluídas no modelo são uma constante, o prazo de vencimento, o

spread de compra e venda, o prêmio e o desconto em relação ao preço. O prêmio foi

considerado da seguinte forma:

(26)

E de forma análoga temos o desconto:

(27)

A tabela 12 mostra os resultados da regressão dos erros de apreçamento. O número entre parênteses representa o valor da estatística .

McCulloch

Fisher-Nychka-Zervos Nelson-Siegel Fama-Bliss

-0,1500 -0,1093 3,4511 -0,1845 (-2,68) (-3,06) (0,81) (-5,50) -0,0004 0,0003 0,0072 0,0004 (-3,18) (-3,13) (0,67) (4,99) 0,0003 -0,0037 -0,0374 -0,0036 (-0,49) (-9,33) (-0,76) (-9,31) 0,0020 0,0034 0,2222 0,0032 (-2,48) (6,67) (4,28) (7,35) 0,0090 0,0046 0,2431 0,0045 (-11,31) (9,74) (4,18) (10,21) R-quadrado 0,1263 0,2308 0,0672 0,3285 Constante Prazo Spread Prêmio Desconto

Tabela 12: Regressão dos erros de apreçamento.

Para o modelo MC temos que apenas o spread de compra e venda não é significativo. No modelo FZ todas as varáveis explicativas prazo, spread, prêmio e desconto são estatisticamente significantes. No caso do modelo NS temos que apenas as variáveis prêmio e desconto têm valor significativo. E finalmente, para o modelo FB todas as variáveis consideradas são significativas.

De forma geral de acordo com o R-quadrado dos modelos temos que as variáveis prazo, spread, prêmio e desconto explicam entre 7% e 33%. De acordo com Bliss (1997) estes baixos valores de R-quadrado já eram esperados uma vez que as variáveis explicativas devem entrar na equação de apreçamento de uma forma complexa, possivelmente de forma não linear. Os resultados destas regressões confirmam a presença de fatores omitidos no preço dos títulos como já havíamos discutido nas seções sobre a matriz de transição dos erros e na coincidência de erros.