Fun¸c˜
oes Trigonom´etricas
Muitos dos fen´omenos correntes tˆem um comportamento peri´odico, isto ´e, um comportamento que se repete em per´ıodos de tempo iguais. Entre outros exemplos temos, o comportamento das mar´es, as contrac¸c˜oes da musculatura do cora¸c˜ao, o ciclo respirat´orio (inspira¸c˜ao e expira¸c˜ao), o movimento do pˆendulo de um rel´ogio, etc. Para estabelecermos modelos que descrevam este tipo de comportamento necessitamos de estudar fun¸c˜oes peri´odicas, isto ´e, fun¸c˜oes cujo valor se repete em intervalos regulares.
Uma fun¸c˜ao f diz-se peri´odicase existir um n´umero T tal que f(x + T ) = f (x)
qualquer que seja o x. O n´umero T designa-se por per´ıododa fun¸c˜ao f .
Observe que se uma fun¸c˜ao tem per´ıodo T ent˜ao
f(x + nT ) = f (x) para todo n inteiro, ou seja, ´e tamb´em
peri´odica de per´ıodo nT .
Dada uma fun¸c˜ao peri´odica f chamamos per´ıodo fundamentalde f ao menor dos T > 0 (se existir) para o qual f ´e peri´odica de per´ıodo T .
Consideremos uma circunferˆencia centrada na origem do plano cartesiano e com raio r conforme ilustra a figura seguinte.
Designemos por α o ˆangulo definido pelas semi-rectas OA e OP .
Se as coordenadas do ponto P forem (x, y) ent˜ao definimos duas
quantidades `a custa destas coordenadas (x, y) e do raio r:
sin(α)= y r
(designada seno do ˆangulo α)
cos(α)= x r
A partir de posi¸c˜oes de pontos na circunferˆencia podemos marcar
todo o tipo de ˆangulos. A tabela seguinte indica os valores do seno
e do cosseno de quatro ˆangulos t´ıpicos.
posi¸c˜ao de P tipo de ˆangulo seno cosseno
P ≡ A ˆangulo nulo 0 1
P ≡ B ˆangulo recto 1 0
P ≡ C ˆangulo raso 0 −1
P ≡ D – −1 0
Designemos por β o ˆangulo que resulta de dividirmos um ˆangulo recto ao meio.
Determinemos o seno e o cosseno deste ˆangulo.
Pelo Teorema de Pit´agoras temos
r2= x2+ y2
Como x = y ent˜ao
r2 = x2+ x2 r2 = 2x2
r=√2.|x|
Como x > 0 (pois P est´a no primeiro quadrante) ent˜ao |x| = x e
r=√2x Assim sin(β)= y r = x √ 2x = 1 √ 2 = √ 2 √ 2√2 = √ 2 2
logo (como x = y ent˜ao sin β = cos β),
cos(β)= √
2 2
Medida de ˆ
angulos
A unidade de medida de ˆangulos mais usada ´e ograu. Contudo, na
teoria que iremos desenvolver a seguir, a unidade mais adequada ´e o radiano.
Convers˜ao de graus em radianos e de radianos em graus
graus radianos 0 0 45 π 4 90 π2 180 π 270 3π2 360 2π
Convers˜ao de graus em radianos e de radianos em graus
Para sabermos quanto mede em radianos, um ˆangulo de a graus, fazemos uma regra de trˆes simples:
180 graus − − − π radianos a graus − − − x radianos logo x = πa
180
Para sabermos quanto mede em graus, um ˆangulo de a radianos, fazemos uma regra de trˆes simples:
180 graus − − − π radianos x graus − − − a radianos logo x = 180aπ
Fun¸c˜
oes Seno e Cosseno
Seja x um n´umero tal que 0 ≤ x ≤ 2π. Podemos marcar sobre a circunferˆencia a posi¸c˜ao de P que corresponde ao ˆangulo com medida x e considerar o seno e o cosseno deste ˆangulo.
Assim, fazemos corresponder ao n´umero x um n´umero designado por sin(x) e outro n´umero designado por cos(x). Assim, definimos duas fun¸c˜oes, designadasseno e cossenoembora, por enquanto, o argumento est´a compreendido entre 0 e 2π.
Estando o ponto P na posi¸c˜ao indicada, se der uma volta
completa a partir dessa posi¸c˜ao, ent˜ao o novo ˆangulo mede α + 2π
radianos. Os valores do seno e do cosseno deste novo ˆangulo s˜ao
iguais aos do ˆangulo inicial, isto ´e,
sin(α + 2π) = sin(α) cos(α + 2π) = cos(α)
Este racioc´ınio pode ser feito para todo o ˆangulo x, assim sin(x + 2π) = sin(x)
cos(x + 2π) = cos(x) para todo o x.
Ou ainda,
sin(x + 2kπ) = sin(x) cos(x + 2kπ) = cos(x) para k ∈ Z.
As fun¸c˜oes seno e cosseno s˜ao ambas peri´odicasde per´ıodo (fundamental) 2π.
Os gr´aficos das fun¸c˜oes seno e cosseno demonstram bem o seu car´acter peri´odico.
Gr´afico da fun¸c˜ao seno (y= sin(x))
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Gr´afico da fun¸c˜ao cosseno (y= cos(x))
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
Valores do seno e do cosseno a saber
graus radianos sin(x) cos(x)
0 0 0 1 30 π6 12 √23 45 π 4 √ 2 2 √ 2 2 60 π3 √23 12 90 π 2 1 0 180 π 0 −1 270 3π2 −1 0 360 2π 0 1
Algumas propriedades das fun¸c˜oes seno e cosseno 1 −1 ≤ sin(x) ≤ 1 −1 ≤ cos(x) ≤ 1 2 sin2(x) + cos2(x) = 1 3 sin(x + 2π) = sin(x) cos(x + 2π) = cos(x)
4 sin(x + y) = sin(x). cos(y) + cos(x) sin(y) 5 cos(x + y) = cos(x). cos(y) − sin(x) sin(y) 6 sin(x − y) = sin(x). cos(y) − cos(x) sin(y) 7 cos(x − y) = cos(x). cos(y) + sin(x) sin(y)
Por exemplo: Fazendo x = π2 obtemos 1 sin(π2 + y) = cos(y) 2 cos(π2 + y) = − sin(y) 3 sin(π2 − y) = cos(y) 4 cos(π2 − y) = sin(y) Fazendo x = π obtemos 1 sin(π + y) = − sin(y) 2 cos(π + y) = − cos(y) 3 sin(π − y) = sin(y) 4 cos(π − y) = − cos(y)
Derivada de f (x) = sin(x) f′(x) = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 sin(x + h) − sin(x) h = lim h→0
sin(x) cos(h) + cos(x) sin(h) − sin(x) h
= lim
h→0
sin(x)[cos(h) − 1] + cos(x) sin(h) h = lim h→0[ sin(x)[cos(h) − 1] h + cos(x) sin(h) h ] = lim h→0[sin(x) cos(h) − 1 h + cos(x) sin(h) h ]
Derivada de f (x) = sin(x) (cont.) Demonstra-se que lim h→0 cos(h) − 1 h = 0 e limh→0 sin(h) h = 1 Assim, f′(x) = lim h→0[sin(x) cos(h) − 1 h + cos(x) sin(h) h ] = sin(x) lim h→0 cos(h) − 1 h + cos(x) limh→0 sin(h) h = sin(x) × 0 + cos(x) × 1 = cos(x) Assim, [sin(x)]′ = cos(x)
Derivada de f (x) = cos(x) f′(x) = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 cos(x + h) − cos(x) h = lim h→0
cos(x) cos(h) − sin(x) sin(h) − cos(x) h
= lim
h→0
cos(x)[cos(h) − 1] − sin(x) sin(h) h = lim h→0[ cos(x)[cos(h) − 1] h − sin(x) sin(h) h ] = lim h→0[cos(x) cos(h) − 1 h − sin(x) sin(h) h ]
Derivada de f (x) = cos(x) (cont.) f′(x) = lim h→0[cos(x) cos(h) − 1 h − sin(x) sin(h) h ] = cos(x) lim h→0 cos(h) − 1 h − sin(x) limh→0 sin(h) h = cos(x) × 0 − sin(x) × 1 = − sin(x) Assim, [cos(x)]′= − sin(x)