Fun c oes Trigonom etricas Fun c oes Trigonom etricas ( ) Fun c oes Trigonom etricas Matem atica II 2008/2009

Fun¸c˜

oes Trigonom´etricas

Muitos dos fen´omenos correntes tˆem um comportamento peri´odico, isto ´e, um comportamento que se repete em per´ıodos de tempo iguais. Entre outros exemplos temos, o comportamento das mar´es, as contrac¸c˜oes da musculatura do cora¸c˜ao, o ciclo respirat´orio (inspira¸c˜ao e expira¸c˜ao), o movimento do pˆendulo de um rel´ogio, etc. Para estabelecermos modelos que descrevam este tipo de comportamento necessitamos de estudar fun¸c˜oes peri´odicas, isto ´e, fun¸c˜oes cujo valor se repete em intervalos regulares.

Uma fun¸c˜ao f diz-se peri´odicase existir um n´umero T tal que f(x + T ) = f (x)

qualquer que seja o x. O n´umero T designa-se por per´ıododa fun¸c˜ao f .

Observe que se uma fun¸c˜ao tem per´ıodo T ent˜ao

f(x + nT ) = f (x) para todo n inteiro, ou seja, ´e tamb´em

peri´odica de per´ıodo nT .

Dada uma fun¸c˜ao peri´odica f chamamos per´ıodo fundamentalde f ao menor dos T > 0 (se existir) para o qual f ´e peri´odica de per´ıodo T .

Consideremos uma circunferˆencia centrada na origem do plano cartesiano e com raio r conforme ilustra a figura seguinte.

Designemos por α o ˆangulo definido pelas semi-rectas OA e OP .

Se as coordenadas do ponto P forem (x, y) ent˜ao definimos duas

quantidades `a custa destas coordenadas (x, y) e do raio r:

sin(α)= y r

(designada seno do ˆangulo α)

cos(α)= x r

A partir de posi¸c˜oes de pontos na circunferˆencia podemos marcar

todo o tipo de ˆangulos. A tabela seguinte indica os valores do seno

e do cosseno de quatro ˆangulos t´ıpicos.

posi¸c˜ao de P tipo de ˆangulo seno cosseno

P _{≡ A} ˆangulo nulo 0 1

P _{≡ B} ˆangulo recto 1 0

P _{≡ C} ˆangulo raso 0 ₋₁

P _{≡ D} – ₋₁ 0

Designemos por β o ˆangulo que resulta de dividirmos um ˆangulo recto ao meio.

Determinemos o seno e o cosseno deste ˆangulo.

Pelo Teorema de Pit´agoras temos

r2= x2+ y2

Como x = y ent˜ao

r2 = x2+ x2 r2 = 2x2

r=√_2.|x|

Como x > 0 (pois P est´a no primeiro quadrante) ent˜_{ao |x| = x e}

r=√2x Assim sin(β)= y r = x √ 2x = 1 √ 2 = √ 2 √ 2√2 = √ 2 2

logo (como x = y ent˜ao sin β = cos β),

cos(β)= √

2 2

Medida de ˆ

angulos

A unidade de medida de ˆangulos mais usada ´e ograu. Contudo, na

teoria que iremos desenvolver a seguir, a unidade mais adequada ´e o radiano.

Convers˜ao de graus em radianos e de radianos em graus

graus radianos 0 0 45 π 4 90 π₂ 180 π 270 3π₂ 360 2π

Convers˜ao de graus em radianos e de radianos em graus

Para sabermos quanto mede em radianos, um ˆangulo de a graus, fazemos uma regra de trˆes simples:

180 graus − − − π radianos a _{graus − − − x radianos} logo x = πa

180

Para sabermos quanto mede em graus, um ˆangulo de a radianos, fazemos uma regra de trˆes simples:

180 graus − − − π radianos x _{graus − − − a radianos} logo x = 180aπ

Fun¸c˜

oes Seno e Cosseno

Seja x um n´_{umero tal que 0 ≤ x ≤ 2π. Podemos marcar sobre a} circunferˆencia a posi¸c˜ao de P que corresponde ao ˆangulo com medida x e considerar o seno e o cosseno deste ˆangulo.

Assim, fazemos corresponder ao n´umero x um n´umero designado por sin(x) e outro n´umero designado por cos(x). Assim, definimos duas fun¸c˜oes, designadasseno e cossenoembora, por enquanto, o argumento est´a compreendido entre 0 e 2π.

Estando o ponto P na posi¸c˜ao indicada, se der uma volta

completa a partir dessa posi¸c˜ao, ent˜ao o novo ˆangulo mede α + 2π

radianos. Os valores do seno e do cosseno deste novo ˆangulo s˜ao

iguais aos do ˆangulo inicial, isto ´e,

sin(α + 2π) = sin(α) cos(α + 2π) = cos(α)

Este racioc´ınio pode ser feito para todo o ˆangulo x, assim sin(x + 2π) = sin(x)

cos(x + 2π) = cos(x) para todo o x.

Ou ainda,

sin(x + 2kπ) = sin(x) cos(x + 2kπ) = cos(x) para k ∈ Z.

As fun¸c˜oes seno e cosseno s˜ao ambas peri´odicasde per´ıodo (fundamental) 2π.

Os gr´aficos das fun¸c˜oes seno e cosseno demonstram bem o seu car´acter peri´odico.

Gr´afico da fun¸c˜ao seno (y= sin(x))

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

Gr´afico da fun¸c˜ao cosseno (y= cos(x))

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

Valores do seno e do cosseno a saber

graus radianos sin(x) cos(x)

0 0 0 1 30 π₆ 1₂ √₂3 45 π 4 √ 2 2 √ 2 2 60 π₃ √₂3 1₂ 90 π 2 1 0 180 π 0 ₋₁ 270 3π_{2 −1} 0 360 2π 0 1

Algumas propriedades das fun¸c˜oes seno e cosseno 1 −1 ≤ sin(x) ≤ 1 −1 ≤ cos(x) ≤ 1 2 sin2(x) + cos2(x) = 1 3 sin(x + 2π) = sin(x) cos(x + 2π) = cos(x)

4 sin(x + y) = sin(x). cos(y) + cos(x) sin(y) 5 cos(x + y) = cos(x). cos(y) − sin(x) sin(y) 6 sin(x − y) = sin(x). cos(y) − cos(x) sin(y) 7 cos(x − y) = cos(x). cos(y) + sin(x) sin(y)

Por exemplo: Fazendo x = π₂ obtemos 1 sin(π₂ + y) = cos(y) 2 cos(π₂ + y) = − sin(y) 3 sin(π₂ − y) = cos(y) 4 cos(π₂ − y) = sin(y) Fazendo x = π obtemos 1 sin(π + y) = − sin(y) 2 cos(π + y) = − cos(y) 3 sin(π − y) = sin(y) 4 cos(π − y) = − cos(y)

Derivada de f (x) = sin(x) f′_{(x) = lim} h→0 f_{(x + h) − f(x)} h = lim h→0 sin(x + h) − sin(x) h = lim h→0

sin(x) cos(h) + cos(x) sin(h) − sin(x) h

= lim

h→0

sin(x)[cos(h) − 1] + cos(x) sin(h) h = lim h→0[ sin(x)[cos(h) − 1] h + cos(x) sin(h) h ] = lim h→0[sin(x) cos(h) − 1 h + cos(x) sin(h) h ]

Derivada de f (x) = sin(x) (cont.) Demonstra-se que lim h→0 cos(h) − 1 h = 0 e limh→0 sin(h) h = 1 Assim, f′_{(x) = lim} h→0[sin(x) cos(h) − 1 h + cos(x) sin(h) h ] = sin(x) lim h→0 cos(h) − 1 h + cos(x) limh→0 sin(h) h = sin(x) × 0 + cos(x) × 1 = cos(x) Assim, [sin(x)]′ _{= cos(x)}

Derivada de f (x) = cos(x) f′_{(x) = lim} h→0 f_{(x + h) − f(x)} h = lim h→0 cos(x + h) − cos(x) h = lim h→0

cos(x) cos(h) − sin(x) sin(h) − cos(x) h

= lim

h→0

cos(x)[cos(h) − 1] − sin(x) sin(h) h = lim h→0[ cos(x)[cos(h) − 1] h − sin(x) sin(h) h ] = lim h→0[cos(x) cos(h) − 1 h − sin(x) sin(h) h ]

Derivada de f (x) = cos(x) (cont.) f′_{(x) = lim} h→0[cos(x) cos(h) − 1 h − sin(x) sin(h) h ] = cos(x) lim h→0 cos(h) − 1 h − sin(x) limh→0 sin(h) h = cos(x) × 0 − sin(x) × 1 = − sin(x) Assim, [cos(x)]′_{= − sin(x)}