Departamento de Matemática - UEL Ulysses Sodré. 1 Retas no plano e suas inclinações 2

Matemática Essencial

Derivadas de Funções Reais

Departamento de Matemática - UEL - 2010

Ulysses Sodré

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Conteúdo

1 Retas no plano e suas inclinações 2

2 Circunferências e algumas relações 8

3 Tangentes e secantes em gráficos de funções 10

4 Derivadas de funções reais 12

5 Derivadas laterais 14

6 Regras gerais de derivação 16

7 Regra da cadeia 16

8 Fórmulas para derivadas de algumas funções 17

9 Exercícios especiais aplicados 17

‘O temor do Senhor é o princípio do conhecimento; mas os insensatos desprezam a sabedoria e a instrução.’ A Bíblia Sagrada, Provérbios 1:7

Seção 1 Retas no plano e suas inclinações 2

1 Retas no plano e suas inclinações

1. Uma reta no plano cartesiano possui a equação reduzida na forma y = ax + b

se ela não é uma reta vertical e

(a) a é o coeficiente angular (ou declividade, ou inclinação), e (b) b é o coeficiente linear (ou intercepto) da reta.

2. O coeficiente angular a é a tangente do ânguloα formado entre a reta e o eixo OX orientado positivamente, isto é, a = tan(α).

Figura 1: Uma reta e os seus coeficientes

3. O coeficiente linear b (ou intercepto) é a distância marcada no eixo OY desde a origem do sistema até o ponto da reta que corta o eixo OY . 4. A reta horizontal que passa por P = (a,b) é denotada por y = b.

Figura 2: Uma reta vertical e outra reta horizontal

Seção 1 Retas no plano e suas inclinações 3

6. A reta com equação reduzida y = x representa a função identidade. 7. As três retas definidas por y = 2x − 3, y = 2x e y = 2x + 3, possuem

o mesmo coeficiente angular a = 2, o que significa que elas são retas paralelas, pois possuem coeficientes lineares diferentes.

Figura 3: Três retas paralelas com coeficiente angular a=2

8. As três retas definidas por y = −2x − 3, y = −2x e y = −2x + 3, possuem o mesmo coeficiente angular a = −2, significando que elas são retas paralelas, pois possuem coeficientes lineares diferentes.

Figura 4: Três retas paralelas com coeficiente angular a=-2

9. Quando uma reta tem equação y = kx onde k ∈ R, esta reta passa pela origem do sistema, representando um tipo muito importante de função denominada função linear.

Seção 1 Retas no plano e suas inclinações 4

10. Seja uma família de retas da forma y = kx. Usando os valores reais de k = −3,−2,−1,−1₂, 0,1₂, 1, 2, 3 podemos observar as suas formas gráficas.

Figura 5: Retas passando pela origem com coeficientes angulares diferentes

11. Dada uma variável x, que assume dois valores x0(x inicial) e x1(x final), definimos a diferença entre estes dois valores por

∆x = x1− x0= xfinal− xinicial A diferença entre x0= 5 e x1= 12 é igual a

∆x = x1− x0= 12 − 5 = 7 e a diferença entre x0= −5 e x1= 12 é igual a

∆x = x1− x0= 12 − (−5) = 17

12. Se y = g (x) e y0= g (x0) e y1= g (x1), definimos a diferença entre estes dois valores y0(y inicial) e y1 (y final) por

∆y = y1− y0= yfinal− yinicial= g (x1) − g (x0)

Se y = g (x) = x3, x0 = 5 e x1 = 7, a diferença entre y0 = g (5) = 125 e y1= g (7) = 343 é igual a

Seção 1 Retas no plano e suas inclinações 5

Se y = g (x) = x3, x0= −3 e x1= 7, a diferença entre y0= g (−3) = −27 e y1= g (7) = 343 é igual a

∆y = y1− y0= g (x1) − g (x0) = g (7) − g (−3) = 343 − (−27) = 370 13. Para determinar o coeficiente angular de uma reta, devemos ter dois

pontos A = (x1, y1) e B = (x2, y2) da reta e construir a razão: a = ∆y

∆x =

y2− y1 x2− x1

Figura 6: Coeficiente angular de uma reta

14. Cuidado: Mantenha a mesma ordem dos índices tanto no numerador como no denominador.

15. Se A = (−2,3) e B = (5,8) são pontos de uma reta, então ∆y = 8 − 3 = 5, ∆x = 5 − (−2) = 7, e o coeficiente angular da reta é obtido por:

a = ∆y ∆x =

5 7

16. Se A = (5,8) e B = (−2,3) são pontos de uma reta, então ∆y = 3−8 = −5, ∆x = (−2) − 5 = −7, e o coeficiente angular da reta é obtido por:

a = ∆y ∆x = −5 −7 = 5 7

Seção 1 Retas no plano e suas inclinações 6

17. Calcular os coeficientes angulares das retas y = 2x +3 e y = −2x +3 que passam pelo ponto P = (0,3) e têm o mesmo coeficiente linear b = 3.

Dica: Usar as medidas da grade quadriculada no desenho:

Figura 7: Retas com coeficientes lineares iguais

18. Com o coeficiente angular a calculado e com as informações do ponto A = (x1, y1) podemos obter a equação reduzida da reta:

y − y1= a(x − x1) 19. A equação geral da reta possui a forma geral

px + q y + r = 0 onde p, q e r são números reais.

20. Temos duas retas paralelas, quando as duas: (a) são horizontais, ou (b) são verticais, ou (c) possuem o mesmo coeficiente angular.

21. Se o coeficiente angular de uma reta é a, então o coeficiente angular da reta perpendicular é igual a k = −1

a.

22. Se uma reta passa pelos pontos A = (1,3) e B = (4,7), então a = 4 3 e a sua equação reduzida é dada por

y − 3 =4

Seção 1 Retas no plano e suas inclinações 7

O coeficiente angular da reta perpendicular é k = −3

4 e a equação reduzida da reta perpendicular que passa por A = (1,3) é dada por

y − 3 = −3

4(x − 1)

23. Temos duas retas perpendiculares (ou ortogonais), quando, (a) uma é horizontal e a outra é vertical, ou, (b) se uma tem coeficiente angular k1= a, a outra tem coeficiente angular k2= −

1

a. Tais retas formam um ângulo de 90 graus.

Figura 8: Retas perpendiculares

24. Alternativamente, duas retas p x + q y + r = 0 e p0x + q0_{y + r}0 _{= 0 são} perpendiculares se

p · p0+ q · q0= 0 25. As retas y = 2x + 3 e y = −1

2x + 5 são perpendiculares. Escrever estas retas formando um sistema com 2 equações e 2 incógnitas.

2x − 1y = −3 1x + 2y = 10

Resolvendo este sistema, podemos obter o ponto P = (x0, y0) que está na interseção destas retas perpendiculares.

Seção 2 Circunferências e algumas relações 8

Exercícios: Com as propriedades indicadas em cada item, obter a equação

da reta que passa por: 1. A = (6,−2) e B = (9,4) 2. A = (2,3) e B = (2,5) 3. A = (2,3) e B = (5,3) 4. A = (−1,2) e declividade a = 3 5. (5, 3) e é paralela à reta y = 2x+7 6. (5, 3) e é paralela ao eixo OX 7. (5, 3) e é paralela ao eixo OY 8. (0, 0) e (1, 1) 9. (5, 3) e é ortogonal ao eixo OX 10. (5, 3) e é ortogonal ao eixo OY 11. (1, 2) e é perpendicular à reta y = 1₂x + 5 12. (1, 2) e é paralela à reta y = 1₂x + 5

2 Circunferências e algumas relações

1. A equação da circunferência centrada no ponto C = (0,0) e raio r > 0 é: x2_{+ y}2_{= r}2

Se o raio r = 1 então a equação é x2+ y2= 1.

Figura 9: Circunferência com raio unitário

Se r = 0, a equação fica na forma x2+ y2= 0 e esta equação representa o ponto C = (0,0), que é uma circunferência degenerada.

Seção 2 Circunferências e algumas relações 9

2. A circunferência centrada em C = (a,b) e tendo raio r > 0 tem equação (x − a)2+ (y − b)2= r2

Se C = (3,4) e o raio r = 7 a equação é (x − 3)2+ (y − 4)2= 49.

3. Se P = (x0, y0) é um ponto da circunferência com equação x2+ y2= r2 onde (r > 0), então a equação da reta tangente a esta circunferência e que passa pelo ponto P = (x0, y0) é dada por

x_{0x + y0y = r}2

Por exemplo, a reta tangente à circunferência x2_{+ y}2_{= 100 e que passa} pelo ponto P = (6,8) tem equação

6x + 8y = 100

Figura 10: Circunferência e reta tangente em um ponto

Exercícios:

1. Obter a interseção da circunferência x2_{+ y}2_{= 9 com a reta y = 2x + 3.} 2. Obter valores de b para que a reta y = 2x + b tenha interseção com a

Seção 3 Tangentes e secantes em gráficos de funções 10

3. Obter valor de b de modo que a reta y = 2x + b seja tangente à circunferência x2_{+ y}2_{= 9.}

4. Obter valores de b de modo que a reta y = 2x + b não tenha interseção com a circunferência x2+ y2= 9. Exibir um de tais valores.

5. Obter a equação da circunferência centrada no ponto C = (3,3) e que é tangente aos eixos OX e OY .

3 Tangentes e secantes em gráficos de funções

1. O quociente das diferenças (de Newton) de uma função y = f (x) no ponto x0 é definido como

QN =∆y

∆x =

f (x) − f (x0) x − x0 sendo que x deve ser um número próximo de x0.

2. Seja a função f : R → R definida por f (x) = 5x2, cujo gráfico é uma parábola dada por y = 5x2.

Figura 11: Gráfico da função f (x) = 5x2

3. Ligando dois pontos da parábola, obtemos uma reta secante à parábola. 4. A equação da reta que passa pelos pontos P = (1,5) e Q = (2,20) tem

coeficiente angular:

a =∆y ∆x =

20 − 5 2 − 1 = 15

Seção 3 Tangentes e secantes em gráficos de funções 11

e a equação desta reta é da forma y = 15(x −1)+5, ou seja, y = 15x −10. 5. A equação da reta que passa pelos pontos P = (1,5) e Q = (1.8,16.2)

tem coeficiente angular: a =∆y ∆x = 16.2 − 5 1.8 − 1 = 11.2 0.8 = 14

e a equação desta reta é da forma y = 14(x − 1) + 5, ou seja, y = 14x − 9. 6. A equação da reta que passa pelos pontos P = (1,5) e Q = (1.6,12.8)

tem coeficiente angular: a = ∆y ∆x = 12.8 − 5 1.6 − 1 = 7.8 0.6 = 13

e a equação desta reta é da forma y = 13(x − 1) + 5, ou seja, y = 13x − 8. 7. Podemos montar uma tabela com estas informações e muitas outras:

P Q ∆x ∆y a Reta secante

(1,5) (2.0,20.00) 1.00 15.00 15.0 y = 15.0x − 10 (1,5) (1.9,18.05) 0.90 13.05 14.5 _{y = 14.5x − 9.5} (1,5) (1.8,16.20) 0.80 11.20 14.0 y = 14.0x − 9 (1,5) (1.7,14.45) 0.70 9.45 13.5 _{y = 13.5x − 8.5} (1,5) (1.6,12.80) 0.60 7.80 13.0 y = 13.0x − 8 (1,5) (1.5,11.25) 0.50 6.25 12.5 _{y = 12.5x − 7.5} (1,5) (1.4,9.80) 0.40 4.80 12.0 y = 12.0x − 7 (1,5) (1.3,8.45) 0.30 3.45 11.5 _{y = 11.5x − 6.5} (1,5) (1.2,7.20) 0.20 2.20 11.0 y = 11.0x − 6 (1,5) (1.1,6.05) 0.10 1.05 10.5 _{y = 10.5x − 5.5} (1,5) (1.01,5.1005) 0.01 0.1005 10.05 y = 10.05x − 5.05 (1,5) (1.001,5.010005) 0.001 0.010005 10.005 _{y = 10.005x − 5.005} ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ (1,5) (1,5) 0 0 10 _{y = 10x − 5}

8. Em geral, quando há mudança de x0 = 1 para x1 = 1 + h, ocorre uma variação ∆x = x1− x0 = h e o valor de f (x) muda de y0 = f (1) para y1= f (1 + h), sendo que a variação de y é dada por:

Seção 4 Derivadas de funções reais 12

Assim, o coeficiente angular da reta secante é o quociente de Newton: ah = ∆y

∆x =

10h + h2

h = 10 + 5h

9. Desse modo, calculamos o quociente de Newton da função f (x) = 5x2 no ponto x = 1 e depois calculamos o limite

lim h→0 ∆y ∆x = limh→0 10h + h2 h = limh→0(10 + 5h) = 10

10. Quando o limite do quociente de Newton existe em um dado ponto, dizemos que o limite é a derivada de f = f (x) neste ponto.

4 Derivadas de funções reais

1. Se y = f (x) é uma função contínua sendo x a variável independente e y a variável dependente de x e x0 é um ponto pertencente ao domínio de f = f (x) e x é um ponto móvel próximo a x0, podemos tomar as diferenças∆x = x − x0 e∆y = y1− y0, onde y0= f (x0) e y = f (x).

2. O quociente das diferenças (de Newton) é definido por ∆y ∆x = y − y0 x − x0 = f (x) − f (x0) x − x0

3. Derivada de uma função: Se existe o limite do quociente de Newton quando x se aproxima de x0, este limite recebe o nome de derivada da função f = f (x) em x0e indicado por qualquer uma das formas abaixo:

f0(x0) = lim x→x0 ∆y ∆x = limx→x0 f (x) − f (x0) x − x0 = limh→0 f (x0+ h) − f (x0) h

4. Notações para a derivada de uma função y = f (x) no ponto x0, são: f0(x0) D f (x0) d f d x(x0) d y d x(x0) • f (x0)

Seção 4 Derivadas de funções reais 13

5. Obtemos a derivada de y = f (x) = x2em x0= 3, com o limite: f 0_{(3) = lim} h→0 f (3 + h) − f (3) h = limh→0 (3 + h)2− 32 h = lim h→0 (9 + 6h + h2) − 9 h = limh→0 6h + h2 h = limh→0(6 + h) = 6

6. Interpretação geométrica: Ver Figura 12. O valor f0_{(3) = 6 significa} que a reta tangente à curva y = x2 no ponto P = (3,9) tem coeficiente angular a = 6 e a reta tangente é y = 6(x − 3) + 9, isto é, y = 6x − 9.

Figura 12: Circunferência e reta tangente em um ponto

7. Função derivada: Podemos derivar uma função f = f (x) em um ponto arbitrário x do seu domínio, construindo uma outra função f0_{= f}0(x) que é a função derivada da função f = f (x). Por exemplo, se f (x) = x3, então a função derivada é f0_{(x) = 3x}2, pois:

f0_{(x) = lim} h→0 f (x + h) − f (x) h = limh→0 (x + h)3− x3 h = lim h→0 (x3+ 3x2h + 3xh2+ h3) − x3 h = lim h→0 3x2_{h + 3xh}2+ h3 h = limh→0(3x 2 + 3xh + h2) = 3x2

Seção 5 Derivadas laterais 14

8. Com a notação da derivada d y d x = f

0_{(x), semelhante a uma fração} com numerador d y e denominador d x, definimos a diferencial d y da função y = f (x) por

d y = f0(x)d x = y0(x)d x

onde d x = ∆x, isto é a expressão ∆x é definida como sendo d x, quando ∆x é muito pequeno (próximo de zero).

Por exemplo, se y = x3então d y = y0(x)d x = 3x2d x.

9. Taxa média de variação: A taxa média de variação ym da variável y

com respeito à variável x, é obtida pelo quociente de Newton: ym=

∆y ∆x

Exemplo: Se uma pessoa viaja 140 km em 2 horas, segue que∆e = 140 e∆t = 2, logo a velocidade média na viagem foi de

vm=

∆e ∆t =

140

2 = 70 km/h

10. Taxa de variação instantânea: A derivada de uma função y = f (x) pode ser pensada como uma taxa de variação instantânea da variável y com respeito à variável x, de modo que

f 0_{(x) = lim} ∆x→0

∆y ∆x

Exemplo: Se um carro viaja em uma estrada satisfazendo a equação horária e = f (t) = 100 + 156t − 4t2, a sua velocidade instantânea no instante t = 10, denotada por v(10) é dada pela derivada de e = f (t) calculada no ponto t = 10, isto é,

v(10) = f0(10) = [ f0(t )]_{t =10= [156 − 8t ]t =10= 156 − 80 = 76}

5 Derivadas laterais

1. Para analisar se uma função possui derivada em x = a, devemos estudar dois tipos de derivadas laterais: pela esquerda do ponto x = a (x < a) e pela direita do ponto x = a (x > a).

Seção 5 Derivadas laterais 15

2. A derivada lateral pela esquerda é o coeficiente angular da reta tan-gente à curva y = f (x) no ponto x = a analisando apenas a parte da curva à esquerda do ponto x = a, isto é, quando x < a

3. A derivada lateral pela direita é o coeficiente angular da reta tangente à curva y = f (x) no ponto x = a analisando apenas a parte da curva à direita do ponto x = a, isto é, quando x > a

4. Devemos calcular estas derivadas laterais, pois a função pode ter um comportamento quando os valores de x são menores do que a e outro comportamento quando os valores de x são maiores do que a.

5. Seja a função modular f (x) = |x|, com o gráfico mostrado na Figura13. A tangente à curva y = |x| à esquerda de x = 0 tem inclinação a = −1, e a tangente à curva y = |x| à direita de x = 0 tem inclinação a = +1, logo, esta função contínua não possui derivada em x = 0.

Figura 13: Função modular e as derivadas laterais em x=0

6. Uma função f = f (x) tem derivada lateral pela esquerda em x = a, se existe o limite f0(a_{−) = lim} h→0 h<0 f (a + h) − f (ax) h

e tem derivada lateral pela direita em x = a, se existe o limite f0(a_{+) = lim}

h→0

h>0

f (a + h) − f (ax)

Seção 6 Regras gerais de derivação 16

7. Se as duas derivadas laterais de f = f (x) no ponto x = a são iguais, dizemos que a função f = f (x) tem derivada em x = a.

8. Se as duas derivadas laterais de f = f (x) no ponto x = a são diferentes, dizemos que a função f = f (x) não tem derivada em x = a.

6 Regras gerais de derivação

Se u = u(x) e v = v(x) são funções contínuas reais que possuem derivadas em um ponto x eα ∈ R é uma constante, então:

1. (α)0_{= 0} 2. (u + v)0(x) = u0(x) + v0(x) 3. (u − v)0(x) = u0(x) − v0(x) 4. (αv)0_{(x) = αv}0(x) 5. (u.v)0_{(x) = u}0_{(x).v(x)+u(x).v}0(x) 6. ³u v ´0 (x) = v(x).u 0_{(x) − u(x).v}0_(x) v2_(x) 7. (α)0_{= 0} 8. (u + v)0= u0+ v0 9. (u − v)0= u0− v0 10. (αv)0_{= αv}0 11. (u.v)0= u0.v + u.v0 12. ³u v ´0 = v.u 0_{− u.v}0 v2

7 Regra da cadeia

É usual definirmos uma função y = g (x) e depois definirmos x = f (t). Assim, temos uma composição das funções g e f , que é denotada por y = g (f (t)). A derivada da função composta g ◦ f é dada por

(g ◦ f )0(t ) = g0( f (t )) · f0(t )

Exemplo: Se g (x) = x4 e x = 1 + t7, então (g ◦ f )(t) = g ( f (t)) = g (1 + t7) = (1 + t7)4 e desse modo a derivada é dada por

(g ◦ f )0(t ) = g0( f (t )) · f0(t ) = (4x3)(7t6_{) = 4(1 + t}7)3(7t6_{) = 28t}6_{(1 + t}7)3 Exemplo: Se g (x) = sin(x) e x = 1+2t, então (g ◦ f )(t) = g ( f (t)) = g (1+2t) = sin(1 + 2t) e assim a derivada é dada por

Seção 8 Fórmulas para derivadas de algumas funções 17

8 Fórmulas para derivadas de algumas funções

9 Exercícios especiais aplicados

1. Extraído de Risebrough,R.W. “Effects of environmental pollutants upon animals other tham man” Proceedings of the 6th Berkeley Symposium on Mathematics and Statistics, VI, p.443-463. (Berkeley, University of California Press, 1972).

Altos níveis de PCB (Bifenil Policlorado), no ambiente afetam peli-canos. Ver

http://pt.wikipedia.org/wiki/Bifenilpoliclorado

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ascarel

A tabela abaixo mostra que o aumento da concentração (ppm)1de PCB nas cascas dos ovos, diminui a espessura da casca (mm)2, provavel-mente causando a quebra de ovos.

Concentração c (ppm) 87 147 204 289 356 452 Espessura h (mm) 0,44 0,39 0,28 0,23 0,22 0,14 Obter a taxa média de variação na espessura da casca quando a concentração de PCB varia de 87 ppm para 452 ppm. Não deixe de indicar o resultado nas unidades apropriadas.

Solução:

∆h ∆c =

. .

1_{ppm = partes por milhão} 2_{mm = milímetros}

Seção 9 Exercícios especiais aplicados 18

2. Extraído de “Investigating the next ‘Silent Spring’.” US News e World Report, p.50-52. (11 de março de 1996).

Alguns cientistas suspeitam que certos produtos químicos sintéticos interferem no sistema hormonal humano. Em estudo controverso feito na Dinamarca em 1992, foi relatado que a contagem média de esperma masculino humano tinha decrescido de 113 milhões por mililitro em 1940 para 66 milhões por mililitro em 1990.

(a) Obter a taxa média de variação da contagem de esperma.

(b) Sabe-se que a fertilidade de um homem é afetada se a sua con-tagem de esperma cai abaixo de 20 milhões por mililitro. Se a taxa média de variação continuar igual à obtida no estudo da Dinamarca, em que ano a contagem média de esperma masculino cairá abaixo de 20 milhões por mililitro?

3. Nas montanhas dos Andes, no Perú, o número de espécies de morce-gos decresce quando a elevação3 aumenta. Seja a figura: Zoólogos

Figura 14: Número de morcegos em função da elevação

afirmam que o número N de espécies de morcegos em uma dada elevação é uma função da elevação h (metros), tal que N = f (h).

(a) Interpretar a afirmação f (150) = 100 em função do número de espécies de morcegos.

(b) Quais são os significados de k no intercepto vertical e de c na linha horizontal.

Seção 9 Exercícios especiais aplicados 19

4. O número S de sons emitidos a cada minuto por um grilo de árvore é uma função da temperatura T medida em graus Fahrenheit, pela equação S = f (T ) = 4T − 160. Obter a taxa média de variação de sons por minuto S quando a temperatura muda de 600 F para 700 F.

5. Em geral, quanto mais fertilizante se usa, melhor é o rendimento da colheita, mas, se for aplicado muito fertilizante o rendimento da col-heita cai rapidamente. Esboçar um gráfico que mostra o rendimento da colheita em função da quantidade de fertilizante aplicado.

6. Extraído de “Average Weight of Americans by Height and Age” The World Almanac (New Jersey) Funk and Wagnalls, p.956., 1979.

Segundo o estudo sobre Figuras e Pressão sanguínea, realizado pela Sociedade dos Atuários, que fornece o peso médio w (libras) para homens americanos de 60 a 70 anos, para várias alturas h (polegadas).

Altura h 68 69 70 71 72 73 74 75 Peso w 167 172 176 181 186 191 196 200 De acordo com a tabela acima:

(a) Obter uma função linear que fornece uma boa aproximação do peso médio em função da altura para homens nesta faixa etária. (b) Indicar a inclinação desta reta obtida no item anterior.

(c) Indicar as unidades para esta inclinação.

(d) Interpretar esta inclinação em função da altura e do peso.

7. O gráfico da temperatura em graus Fahrenheit 0F em função da tem-peratura em graus Celcius 0C é uma reta. Temos que 2120F corre-sponde a 1000C4e 320F corresponde a 00C5.

(a) Obter a inclinação e a equação da reta F = F (C ).

(b) Usar a equação da reta F = F (C ) para obter a temperatura em graus Fahrenheit que corresponde a 200C.

(c) obter o valor numérico em que a temperatura em graus Celsius coincide com a temperatura em graus Fahrenheit.

4_{ponto de ebulição da água} 5_{ponto de congelamento da água}

Seção 9 Exercícios especiais aplicados 20

8. Uma empresa de fotocópias possui duas tabelas de preços. A primeira tabela indica um preço fixo de $100 mais $0,03 por cópia, mas a segunda tabela indica um preço fixo de $200 mais $0,02 por cópia.

(a) Para cada tabela, obter a função que indica o custo total em função do número de cópias.

(b) Construir os gráficos das duas retas.

(c) Determinar qual tabela é mais barata para obter 5000 cópias. (d) Indicar o número de cópias cujo preço é igual nas duas tabelas. 9. Extraído de K. Schmidt-Nielson: Scaling-Why is Animal Size is

Impor-tant? (Cambridge: CUP, 1984).

A massa do coração de um mamífero é linearmente proporcional à massa do seu corpo.

(a) Obter uma fórmula para a massa H do coração em função da massa B do corpo do mamífero.

(b) Um ser humano com massa B = 70 kg tem um coração com massa H = 0,42 kg. Use esta informação para obter a constante de proporcionalidade.

(c) Avaliar a massa do coração de um cavalo, cuja massa corporal é B = 650 kg.

10. Extraído de Scientific American, p.112, (September, 1989).

Se N é o número médio de espécies em uma ilha com área A, obser-vações mostram que N é aproximadamente proporcional à raiz cúbica de A. Escrever uma fórmula para N em função da área A e construir o gráfico desta função. A constante de k de proporcionalidade depende da região do mundo onde você faz a observação.

11. A área S da superfície de um mamífero satisfaz à equação S = kM2/3 onde M é a massa do corpo e a constante k de proporcionalidade depende da forma do corpo do mamífero. Um ser humano de massa M = 70 kg possui uma área superficial S = 18600 cm2. Obter a constante k para seres humanos. Obter a área da superfície de um ser humano com 60 kg.

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12. Extraído de US News & World Report, August 18, 1997, p.79.

Biólogos estimam que o número N de espécies animais com um certo comprimento de corpo é inversamente proporcional ao quadrado do comprimento L do corpo. Escrever uma fórmula para o número N em função do comprimento L. Pergunta: Existem mais espécies com grande comprimento ou com pequeno comprimento?

13. O tempo T de circulação de um mamífero6é proporcional à raiz quarta da massa B do mamífero.

(a) Escrever uma fórmula para o tempo T de circulação em função da massa B do corpo.

(b) Se um elefante tem B = 5230 kg com um tempo de circulação de T = 148 s, obter a constante de proporcionalidade.

(c) Determinar o tempo de circulação de um ser humano que possui a massa B = 70 kg.

14. A massa S de sangue de um mamífero é proporcional à massa B do corpo. Um rinoceronte com massa B = 3000 kg tem massa de sangue S = 150 kg. Obter uma fórmula para a massa S de sangue de um mamífero em função da massa do corpo B e avaliar a massa de sangue S de um ser humano cuja massa corporal é B = 70 kg.

15. Extraído de Problems of Relative Growth, J.S.Huxley: (Dover,1972) e de “On the Dynamics of Exploited Fish Populations” por R.J.Beverton and S.J.Holt, Fischery Investigations, Series II, 19, 1957.

Alometria estuda o tamanho relativo de diferentes partes do corpo em função do crescimento. Aqui analisamos a equação alométrica: “a massa de um peixe é proporcional ao cubo do seu comprimento”.

x(cm) 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

m(g) 332 363 391 419 455 500 538 574 623 674 724 A tabela associa a massa m de um tipo de peixe ao seu comprimento x. Os dados se ajustam à curva m = kx3 de modo aproximado? Se é verdade, obtenha a constante k de proporcionalidade, explicando cada resposta.

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