UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE FÍSICA CAMPINAS

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

INSTITUTO DE FÍSICA

CAMPINAS

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jr*-f3*^o. C^r^t^r

MODELO DE UH GAS DE BURACOS NEGROS SUJEITO A UM CAMPO GRAVITACIO-HAL DE FUNDO PARA NtfCLEOS ATIVOS DE GALÁXIAS COR APLICAÇÃO AO CALCULO DOS ESPECTROS CONTÍNUOS DE EHISSXO DE PARTÍCULAS DE MASSA NULA (PÓTONS. NEUTRINOS E GRAVITONS).

ANTONIO PINTO NETO

Orientador; Prof* Dr. José Inácio Cotrla Vasconcellos

Tese apresentada no Instituto de Física "Gleb Uataghln" da UNI-CAHP C O M O parte dos requisitos para a obtenção do Título de Mes-tre em Física.

Janelro/87

UNICAMP

X alnha tia Mantllde dos Anjo*

. Â9ra^ec!a«ntos

Ao Profs Dr. José Inicio Cotrla Vasconcellos pela c 'e-i*.«.*»o • aalsade • ale dedicadas durante» este trabalho.

Ao» «algos do Grupo de Espectroscopla óptica, Astrofí-•*<"» e S'rteaas Dispersos paio apoio, aalzade e cliea de trabalho q^9 ;*!!-» contribuiu para que essa tese fosse levada a terão.

A Universidade Federal do MaranhSo pela concessSo de bolsa 1'fü-PICD, e ea espec' il aos professores do Departaaento Co Pfsl. relo es'tfaulo e apoio dispensados durante minha Gradua*

'ÍNDICE P«9 Reauao 01 Capítulo 1 02 * Introdução Geral Capítulo II 06 * 0 Foraallsao da Relatividade Garai • as Equações da Caapo

Capítulo III 23 * Colapso Gravitaclonal, Buracos Hagroa, Buracos nagros

prl-•ordtats-e Teraodlnaalca da Buracos Magros

- Introdução 23 -' Colapso Gravitaclonal 23

- Colapso Gravitaclonal da usa Estrela 26 - Colapso Gravitaclonal da Objetos, C O M pouca Massa 40

- Teraodlnaalca de Buracos Negros 42

Capítulo IV 52 * Ca Direção a ua Modelo de ua Gás de Buracos Negros ea

Inte-ração «??) ua Caapo Gravitaclonal de Pundo

- Introdução 52 - Considerações Gerais 53

- Equaçôaa d» Roviaanto d* ua* Partícula Honopolo 54

- Equaçtfas d a u a a Partícula Polo-dlpolo 57

- Canárloa 64

Capítulo V 68

* Buraco* Magros • Rodaloa da Hdclaos Ativoa d* Galáxias

- IntroduçSo • Fanoaanologta 68

- Rodaloa para Ndclaos Ativos da Galáxias 77

Capítulo VI 90

* Ioda Io da ua Gás da Buracos Magros oovando-sa contra ua

Caapo Gravltaclonal d* Fundo Aplicado a Húclaos Ativos da

Galáxias

- Introdução 90

- A Ealssto da Partículas por ua Buraco Hagro 90

- 0 Capactro da Eaissao da ua Buraco Hagro 92

- RodaIo para Húclaoa Ativos da Galáxias - 0 Espsctro da ua

Gás d* Buracos Magros 106

Capítulo VII 130

* Conaldaraçoas Finais * Parspactlvas Futuras

Rafartnclas Ra-01

Apandlca

h

Ap-01

Apêndice B Ap-05

* Anel Is* Tentorial

Apêndice C Ap-15

* Propriedades Algdbrlcas do Tensor Curvatura de Rte»ann-Chrletoffel

Apêndice D Ap-19

Resuao

«presentaaos neste trabalho, ua novo aodtlo teórico pa-ra Núcleos Ativos d* Galáxias que descreve o espectro contínuo da partícula* d* aassas d* rapouao nulas (fótons. neutrinos • grávl-tons) no Intervalo da freqüências desde o rádio até ralos T* . 0 , aodslo consists ea us gás d* buracos negros ea Intsraçlo cos us

caspo gravltacional ds fundo.

Os soda 1 os antsrlorssnts proposto para os Núcleos Ati-vos'da Galáxias, saja» aqualas qua adaltea ua buraco negro euper-aasstvo no centro ds galáxia.(sodalos d* Lyndan-Bstl a Hills), saja o soda Io ds us gás tdsal ds buracos nsgros na ausência da caapos gravltaclonals ds fundo (NGBN) proposto por Vasconcsllos-Cusrra sSo taabss expostos.

Toda a fundassntaçao teórica baseada na Tsoria Geral da Relatividade de Einstein para a definição e estudo d*«e proprieda-des das singularidaproprieda-des (buracos negros), sejas coso ua dos possí-veis estados teralnais da evoluçVo estelar, sejaa na foraa de bu-racos negros prieordlals sSo taabea apresentados.

Capítulo I

Introduçlo Geral

Um dos problemas mais Iaportantes na Astrofísica atual •sta rolacionado C O M O S possíveis processos físicos d» produçSo do enormes «norglas de radiação eletromagnética emitidas por cer-tos objecer-tos, astronômicos, associados a Núcleos Ativos de Galá-xias. Quasares, galáxias Seyfert e objetos BI Lac Inserem-se nes-ses problemas ( 0 1 ) .

Qual (ou quais) seria o mecanismo de emissão elelrosag-netlca sais eficaz para produzir energias da ordea de IO*47 erg/ seg, sete ordens de grandeza superiores a uma das sai ores galá-xias denominadas normais? Esse foi um problema desde a descoberta dos quasares em I960, • a compreensão da natureza do espectro de

linhas do objeto 3C 273 na-região do visível ea 1963, por H. Sch-midt ( 02 ) , que esteve sempre Intrlnsicamente ligado ao próprio problema da natureza desses objetos e da distancia que os separa de nós. De fato, tal problema tem Implicações cosmologicas impor-tantes, visto que se admitirmos que o Universo efetivamente se expande e o deslocamento para o vermelho das linhas espectrais está de fato associado s tal expansão, os quasars* nao seriam apenas os objetos mais distantes <ís nós, como poderiam Inclusive dar Informações observaclonale compstívels com uma possível dis-tinção (e portanto, escolha) entro diferentes modelos

cosaológl-coa.

O estudo de tais objetos tea conseqüências isportantos para a dinâmica de galáxias e para o estudo de sua formação e evolução, se pensarmos nos mesmos como estágios sais prlaltivos das galáxias normais.0 estudo observaclonal desses objetos tea sido enfaticamente Intensificado nos ültimos anos. Basta Mencio-nar que o primeiro objeto foi. Identificado em I960 (3C 48), em

1967 Já a primeira listagem realizada por Burbldge e Burbldge já enumerava 148 objetos ( 0 3 ) e o último catálogo de tais objetos preparado por H-P Véron-Cetty e P. Veron que data de janeiro de 85 ( 0W ) aponta ?855 quasares e 739 galáxias ativas das quais 236 sSo'Seyfert 1, 73 sab Bi Lac, e o restante sao Seyfert 11 é

Ly-ners. Es recente preprints do European Southern Observatory (ns 381 - julho de 85), Barbleri m Cristianl, apresentam um apanhado no campo de S.A. 94 (2h 53"^ •*• Os 20') com placas do telescópio Schmidt UK com objetiva prisma, selecionando 206 possíveis novos candidatos a quasares es 39 graus quadrados.

Com isto, podemos adquirir uma idéia do crescimento des-se campo de pesquisa e da desanda de novas Idéias para a Inter-pretação teórica dos novos objetos e fenômenos estudados.

Esta tese trata de modelos teóricos para Húcleos Ativos de Galáxias que procuram descrever os espectros contínuos de emissão de radlaçSo eletromagnética (fótons), de grávltons e de neutrinos, ou seja, os espectros contínuos de emissão dessas par-tículas de massa nula desde a região do rádio até as freqüências de ralo "V .

I

a - O nücleo ativo da galáxia é constituído de apenas un buraco negro supermasslvo; os modelos de Lynden-Bells ( OS" > e Hllls

( 0 6 ) s3o discutidos

b - 0 núcleo ativo da galáxia é constituído de um gás de buracos negros; Vasconcel los.-Guerra e usa nova versão deste, com ura campo gravltactonal de fundo.

O modelo de un gás de buracos negros (HGBN) foi proposto por Vasconcellos-Guerra ( 0 7 ) o consiste basicamente em substi-tuir o buraco negro supermasslvo dos modelos de Lynden-Bel1 e Hllls por um gás de mini-buracos negros, sem interação entre si

(aproximação de gás ideal). A radlaçSo de Hawking é o mecanismo responsável pelo espectro contínuo de enlesao de radiação eletro-magnética (fótons). 0 gás de buracos negro* apresenta uma distri-buição de velocidades de Synge ( 0 8 ) e uma distridistri-buição de mas-sas deduzidas pelo modelo. Na presente tese, tal modelo é aper-feiçoado de modo a Incluir a interação de cada buraco negro do gás com um campo gravltaclona] de fundo, e abre também a

possibi-lidade de explorar modelos de gases nao ideais de buracos negros, (embora por questões de brevidade, isso seja apenas indicado).

Os buracos negros.no modelo original de Vasconcellos-Guerr a eram de SchwarzschlId enquanto que na presente versSo es-ses sao considerados do tipo Kerr. 0 espectro de emissão contínua de grávltons e neutrinos também sao calculados sem a presença do campo gravltaclonal de fundo e com a presença do campo gravlta-cional de fundo para fótons, grávltons e neutrinos. As diferenças entre os espectros de emlssSo com e sem campo gravltaclonal de fundo sio também apresentados, a fim de evidenciar mais

te os efeitos do campo gravltacional externo nos espectros de emissão contínua.

No capítulo II, o formalismo da Relatividade Geral e o conceito de curvatura são discutidos, bem como as equaçBes do campo de Einstein. No capítulo 111, o fenômeno do colapso gravl-tacional a luz da Teoria de Gravltaçlo de Einstein é apresentado. Parte-se da consideração do colapso gravltacional de uma estrela • discute-se também o colapso gravltacional de objetos com pouca massa (buracos negros primordiais). A Termodinâmica de Buracos Negroa também e examinada nesse capítulo. 0 capítulo IV é dedica-do à elaboração dedica-do modelo de interação de cada buraco negro com um campo gravltacional de fundo. No capítulo V, é exposta breve-mente a fenomeno1og1 a dos Núcleos Ativos de Galáxias (em especial

, do quasar 3C 273) e os modelos de Lynden-Bell e Hills. No capí-tulo VI, o modelo de um gás de buracos negros de Vasconcellos-Guerra, o modelo de emissão de partículas por um gás de buracos negros e o espectro de emlss3o de um buraco negro são apresenta-dos Inicialmente. Então, o estudo relativo ao espectro conhínuo de emissão de partículas de massa nula na presença de um campo gravltacional de fundo aplicado ao núcleo ativo de uma galáxia é exposto em todos os seus detalhes. 0 capítulo Vil apresenta nos-sas considerações finals e algumas perspectivas futuras. Nos apêndices A, B, C e D, tópicos de Relatividade Geral necessários para uma devida apresentação do texto são apresentados, destacan-do-se uma breve discussão de Análise Tensoríai no apêndice B.

Capítulo 11

O Formal lato da Relatividade Geral • as EquaçSe* da Canpo.

Em S O U Ityro "Philosophlae Haturalls Principia Matheaa-tlca' (1686), Newton apresentou as Lets da Mecânica e da Gravita-ç3o ( 0 9 ) .

Usando a 2s Lei veaos que a força exercida sobre um cor-po é procor-porcional a massa do corcor-po sobre o qual esta atua. Da Lei de GravItaçSo, esta força também 4 proporciona) a massa que atua como fonte. Isto é, podemos definir a força de duas formas»

F = Orvu£ (II-l )

e

F = °m<>c£ ' (

u-1 )

ondet

• i é a -massa inércia! •o. é a massa gravltaclona) ãf é a aceleraçSo do corpo g* 6 a aceleraçSo da gravidade

assim, a aceleraçSo desse corpo é dada por*

Para detectar a diferença entre as massas inerctal e gravltacio-nai, Newton realizou uaa série de experimento ~oa .pêndulos de diferentes materiais. Entretanto por não encontrar qualquer dife-rença , concluiu que estas ser1 an Iguais. Outros tipos, de experi-mentos coa o objetivo de detectar essa diferença são dados na re-ferência ( iO). Essa igualdade numérica contribuiu mais tarde para que Einstein formulasse o Princípio de Equivalência, como veremos posterloraente.

Newton enuncia suas Leis em ua slsteaa de referência de-noalnado 'referencial Inerclal'. Essas Leis são Invarlantes por uaa transformação do tipo:

U l - S - c O

t s

-t + *r

onde V» D e T são constantes e R uma matriz real ortogonal. Isso é conhecido como Princípio de Relatividade de Call leu e Newton e

a transformação coao Transformação de Gall leu.

Com o desenvolvimento da Eletrodinamica Clássica por Maxwell (1864), foi demonstrado que a luz é uma radiação eletro-magnética cuja velocidade de propagação no vácuo é uma constante C. 0 fato das equaçOes do Eletromagnetlsmo não obedecerem ao Princípio de Call leu, levou Einstein a propor (1905) ( A i ) que as Leis da Física sejam Invarlontes por uma transformação que mantenha as equaçOes do Eletromagnetlsmo e a velocidade da luz Invarlantes, e a reformular a Mecânica Newton lana, de modo que, também fique invarlante por esta transformação. Esta

çSo é conhecida coao Transformação de Loreniz. O postulado que afirma que as Leis da Física slo Invar I antes por usa Transforma-ção de Lorentz é conhecido coao Princípio de Relatividade Espe-cial, h Transformação de Lorentz é uma transformação do tipo:

x « /\:x'

Ul-H-(r')

onde •* e A* sSo constantes que satisfazem as condições

Av

6'

|«/J = ^ S

%

_«ft

-1 SE « * / Í = 0

0. SE «. £/S

( r i - s - c ò

( U - s - D

A propriedade fundamental da TransformmacSo de Lorentz é que esta deixa Invariant© o tempo próprio, definido por:

Seja uma partícula em repouso em relação a um observador O e com velocidade V constante em relação a outro observador 0'. De <II-4-b>,

cU'*-- A^dx*

então

dx" = A^df-

(i]-7)

4 t \ A°.dt

diferenciando (II-7) por dt'

a

A*.

A

A*. =, v

A"

- 1 * A o A o ^ ^

A

. .

[ 1 - N /

] '

( i j - e^

( 1 1 - 9 ^

A

. -- M i V

Os outros A<* n3o s3o unicamente determinados porque se A ^ leva uma partícula do repouso a uma velocidade V, então, A-JIKA

também lava, onde R é uma rotaçlo arbitrária. Uma escolha conve-niente que satisfaz (II-4-b) é dada por:

A V = é c ,

v

v

C^jò

A\ =:

W>

generalizou sua Teoria de morto a considerar também referin.lais acelerados. Tal Princípio d«. "jerove o comportamento de um Intena físico arbiter Io sobre a a„âo de um campo gravitaclonal c erno e está baseado na Igualdade entre as massas Inerclal e gra- ltaclo-nal. Como conseqüência desse fato, Einstein deduziu qu«? nenhum campo gravitaclonal hcvogêneo e estático poderia ser detectado em um elevador em queda livro, pois, para os observadores, seus cor-pos de prova e o preprio elevador responderiam ao campo C O B a mesma aceleração.

O Princípio de Equivalência não se restringe a campos gravltaclonals homogêneos e estáticos. Embora as forças tnerclats não cancelem exatamente as forças gravltaclonais inomogêneas ou dependentes do tempo, podemos esperar um cancelamento aproximado se restringirmos nossa atenção a uma região tão pequena no espa-ço-tempo que a variação do campo seja desprezível.

Vale a pena observar a analogia entre o Princípio de Equivalência e o axioma que Gauss tomou como base na Geometria não-EuclIdeana. 0 Princípio de Equivalência afirma que em qual-quer ponto no espaço-tempo podemos construir um sistema de coor-denadas localmente inerclal em que a matéria satisfaz as Leis da Relatividade Especial. Em seu axioma, Gauss assumia que em qual-quer ponto em um espaço curvo, podemos construir um sistema de coordenadas carteslanas em que seja válido o Teorsma de Pltágo-ras. Vemos daí, que deve haver uma estreita analogia entre as Leis da Gravltação e a Geometria não-EuclIdeana (Geometria Rle-mannlana).

Conforme o Princípio de Equivalência, uma partícula

vendo-i-3 11 v: &Ber.t© sob a açSo de forçar de naturtzi puramente gravt t»?!ona>. existe un slstena de ref .-ôncla 0 , «n queda li-vre, «n r%'aç'ao ao qual sua equtçSo de movimento é uma reta:

Jü - o

iu

-

n)

C|T'

onde d T c c ' empo próprIo

Constderemr? aç<ora, um out"*o sistema de coordenadas XA , que pode ser carteslano, em repouso no laboratório, como também pode ser curvllíneo, acelerado, em rotação, ou em movimento arbitrário. Os sistemas de coordenadas a em queda livre s3o funções de XM .As-sim, de (11-11), temost

OU A\NDft

Hu11 i p11cando por e usando que

obtemos que a equação de movimento é

onde /^y é a conexSo afim, definida por:

O teapo próprio, equaç3o (11-12), ea ua slsteaa de cooi— denadas arbltárlo, e dado por

4 T *

- ^ ^ \ d x " V ^ c W

, -cj

c\xNx

onde QJULV • ° tensor aetrlco, definido C O M O

C}

v = ^ ^ ^ V ? ->\^ n i - i ^

Os valores do tensor aetrlco e da conexão ar Is es ua ponto X, ea ua slsteaa de coordenadas arbitrário X ^ . fornecem

Inforaaçoes suficientes para deterainar o slsteaa de coordenadas localaente lnerclal 3 (x), nas vizinhanças de X.

De (11-15), teaos:

Multiplicando por e utilizando a relação (11-13), obte-•os

1 1 1 ,

T* Zl

cuja solução é dada por:

s\*\* a*- + %c.x-•x

M

)ufií(x'*. x

M

i.

.(x

- X ) + •••

o.voo - « - ^

( X l

<j«*(XL ^

a

< ; < í

-71

x

••ala, dados /^y e QM V °" *• "" coordenadas local Mente tner-clals sao determinadas até a ordem de (x - X) , a menos na ambi-güidade nas constantes a ^ e b x • Esse comportamento reflete o fa-to de que se 3 **° coordenadas localmente InercIaJs, também o serão A a J + C . Isto é, *MV • ÇVA*"* determinam as coordenadas

localmente Inerclals J a menos de uma Transformação de Lorentz tnomogenea. Como o campo gravltacionai nao pode produzir nenhum efeito no sistema de coordenadas localmente Inerclal, todos os efeitos gravltaclonals estão contidos em /^v * Q > u v

Até agora em nossa análise sobre partículas em queda livre, vimos que o campo qu<> determina a força gravltacíonal é a conexão afim, enquanto o tensor métrico determina o Intervalo de tempo próprio entre dois eventos. Mostramos no Apêndice A, que podemos determinar o campo ' ^ v •• termos das derivadas do ten-sor métrico

'\* - -

v?r

^ãx

x

aí* •*$*

Dessa equaçSo, vemos que QM V é também o potencial gravltaclonal . Nesse mesmo Apêndice, mostra-se que uma partícula caindo livre-mente em um campo gravltaclonal descreve uma curva denominada geodéslca.

Um outro modo do Introduzirmos os efeitos da Gravltaç3o em sistemas físicos é usando o Princípio de Covarlanclr- Geral, que consiste em uma versSo alternativa do Princípio de Equivalên-cia.

O Princípio de CovsriAneta Geral afirma que uma equação

é vil Ida em um campo gravltaclonal arbitrário se:

ls-esta equação 4 válida na ausência da gravltaç<k>, Isto é, con-corda coa as Leis da Relatividade Especial quando a métrica Qu-g é Igual ao tensor de Minkowski Ti e a conexão afia / . v »< anuI a;

2*-esta equação é covarlante. Isto é, preserva sua forma por um« transformação geral de coordenadas x—»M*.

Ho Apenctce B fazemos ua suaárlo da Análise Tensor!ai necessária ao nosso desenvolvlaento.

Nosso próxtao passo é construir ua tensor usando a mé-trica e suas derivadas. Ao tentarmos construir ua tensor usando apenas a métrica e suas derivadas primeiras, nosso Intento é frustrado pois em qualquer ponto podemos encontrar um sistema de coordenadas em que suas derivadas primeiras se anulam. Consequen-temente, esse tensor será função apenas da métrica e Isso será válido em todos os sistemas de coordenadas. Uma outra possibili-dade é tentarmos construir esse tensor usando o tensor métrico e suas derivadas primeira e segunda. Da regra de transformação da conexão afim. Apêndice B, temoss

que pode ser escrito como:

•^x

^x

^ x ' "ox* ^x^

Derivando p a r c i a l m e n t e em r e l a ç S o a xK , t e m o s :

^x

àx*>*

f

ax*!.*** ax* -**>

J

~òx

^ x

^ x

^ x ^ ^ x * ~òx»n

r©arranjando o s t e r n o s ,

-n't 7i*1

n

9X

W x W " èx

^*» >X* ^X

lT?-v "

> /

7''' /

+

tonando a equação aclna con JUL e (c pernutados e subtraindo essas

equações, encontramos que:

. * •—>X — • « —> X

+

tr '"tjp +• '*~n (cr/3

l>x

*x

> x

( a

^ àx

"

que pode ser escrito da forna

t o ^ - a£jta? ^2? ZX_

&*

3X

3tf

^ ^ ^ V

yUV K

(IW7)

onde R

definido como:

, que

ú

o tensor curvatura de Rlenann-Christoffe),

é

"^X à X *

(U-./S)

Na ausência da gravitaç3o,

Mo Apêndice C descrevemos algumas propriedades do tensor

Deduziremos agora, as equações que governas os campos gravltactonals - as equaçSes de Einstein.Devido ao fato do cawpo gravltaclonal atuar também coso fonte, as equações de Einstein ser3a equações diferenciais parciais nlo lineares, onde essa nao

linearidade represente os efeitos da gravitaçao sobre si mesma. Dado us ponto X do espaço-tempo en us canpo gravltaclo-nal arbitrário, podeaos definir us sisteaa de coordenadas local-aente Inercial, tal que:

%(S X) =. -n

ZàQL.«fi^

«fl

= o

^ V J x.- X

onde, para pontos x pró*iaos de X, o tensor aétrico Q.0C3 difere d» 'Y\^(t) apenas por ternos quadráticos eu (x - X ) . Nesse sistema, para pontos próximos de X,' o campo gravltaclonal é fraco o as equações diferenciais parciais lineares. Una vez determinadas as equações de campos fracos, fazemos o procedlaento Inverso, deter-minando assim as equaçdes para campos gravitaclonais fortes.

Seja p a densidade de matéria n%o rei ativista. A com-ponente tempo-tempo do tensor métrico é dada por

(Apêndice D ) , onde $ é o potencial newtonlano que é soluçSo da equação de Polsson

Entretanto, a densidade de energia para a matéria n3o rei ativista

T

é sua densidade de Matéria p .

T

= p •

ÍIS-21)

Substituindo <11-193 e (11-21) em (11-20), vemos que:

essa equaçSo leva-nos a admitir que para uma distribuição geral

Trf« de momento e energia, seja:

onde

Qecft

•

combinação linear da métrica e suas derivadas

primeira e segunda. Do Princípio de Equivalência, a»* equações

pa-ra campos gpa-ravltaclonais de Intensidade arb tpa-raria, tomam a foi—

ma: '

onde

Qjxv

*

tensor que se reduz a

G^â

para campos fracos.

Para construirmos as equações de campo devemos observar

que:

ls-por definlç3o, G ^ y é um tensor;

2s-admitimos que G ^ y consiste apenas de termos que ou eao

qua-drat! cos nas «erivadas primeiras ou lineares nas derivadas

segun-das da métrica;

3z-como T^tv • simétrico, O ^ v também é simétrico;

G,u.y = G yM

4s-como T ^ v é conservado (no sentido de diferenciação cova-rlante) G ^ v também 9 conservado;

» >

=. O

52-para campos gravitaclonais fracos produzidos por matéria n3o rei ativista

Goo

=

V*'

A saneIra sais geral de construirmos um campo gravita-cional que satisfaz as condições Is e 22 é através da forma con-traída do tensor curvatura B^vtc • Pela assimetria de R ^V K , decorre que existe somente dois tensores que podem ser formados p-la contração de R „< ) t t o t e m o r de Rlccl,

e a curvatura escalar

« . = K*

Assim, escrevemos C ^ v ' como

onde C1 e Cj, s3o constantes. Da Identidade de Blanchi, equaçSo (C-14), Apêndice C,

G Í ;

í j ^

c,

fc;v

da 4s c o n d i ç ã o temos que ou

A.

ou

ÍIW

em qualquer lugar. De (11-24) e (11-25), temos

Se

entlo

o que nVo seria verdade na presença de matéria inomogênea n3o re-lattvlsta. Sendo assim,

De (11-25)

^ v x c

A

U

A V

: i. g.

AV

&) (ix-ae'

A 5s condição determina C^ . Para sistemas não rei ativistas:

lTcj.1 << l Toe

l o g o

I GcJ < < I God

de (II-28)

Para campos fracos temos que:

e a curvatura escalar é dada por:

k. - N K K - 'ioo

= 3. ft. - Roo - ^ «eoo

Substituindo esses resultados em (11-28)

Goo H A CxR.

UI-A9)

Para calcularmos R 0 o , consideremos a parte linear de R X ^ V K , » equaçSo (C-2), Apêndice C,

se o campo tf estático

H'

oo= 0 E. C^ovo = i- ^J2CCU°

De ( 1 1 - 2 9 ) ,

logo

/fc

oo

e (11-28) rica:

« M V = V ^ -• " 4 " ^ M V d

assim.

CO

que s3o as equações de campo de Einstein. Contraindo (11-30) con Q M V, temos:

d

- a. (L = -

JP^É

r

A*-Usando (11-30)

M.

'

^ V ^ -£>/M?^

-

J-^MVT-*}

No vácuo T „v = O e de (11-31) vemos que as equações no espaço vazio s3o dadas por

As equações de Einstein s2o fundamentals para a Teoria de Gravltaçao visto que permitem determinar o campo gravltaclo-nal, uma vez dada a distribuição de matérla-energia através do tensor momento-energia T „ ^ . Em particular a CosmologIa Re 1 ati-vista se utiliza dessas equações como sua peça fundamental. A ca-da distribuição Tn-y , obtemos um modelo cosmológico que determi-na o surgimento e a evolução do Universo.

Há uma grande variedade de soluções dessas equações. Um excelente texto referente as soluções ditas 'exatas' s3o dadas na referência ( 13 )

Examinaremos en capítulos subsequentes aigunas das soluções ditai 'singulares', que descrevem os tipos de buracos negros que utili-zaremos na dlscut»s3o de alguns node 1 os de Núcleos Ativo? de Galá-xias. Ho próximo capítulo discutiremos em linhas gerais o colapse gravltaclonal, ue forma a embasir, no contexto astrofísico, os buraco, negros.

Capítulo III

Colapso Gravltaclonal, Buraco* Negros, Buracos Negro» Primordiais

• Termodinâmica d* Buracos Negros.

111 - 1 - Introdução

Uaa das conseqüências na is interessantes e Importantes da Teoria de GravttaçSo de Einstein é o denonlnado colapso gra-vitaclonal. 0 resultado desse colapso gravltaclonal, os denomina-dos buracos negros, apareces quanco uaa quantidade de matéria é multo compactada num voluae suficientemente pequeno. Neste capí-tulo, faremos inicialmente, uma caracterização geral do fenômeno do colapso gravltaclonal no contexto da Teoria de Gravitaçâo do Einstein. Analisaremos brevemente algumas soluções singulares das equações de Einstein, tais como as métricas de Kerr-Newmann, Kerr, Retssner-Nordstrom e Schwarzf*-hl ld. Em seguida, examinare-mos as formas de ocorrência de buracos negros no contexto físico, com especial ênfase no conceito de buracos negros primordiais de Hawking. A Termodinâmica dos Buracos Negros é também considerada em detalhe nesse capítulo.

III - 2 - Colapso Gravltaclonal

Seja T o tensor tens3o-energia em uma regi3o do espa

ço-tempo. 0 compr.-taaento do campo gerado por esse tensor é oo-vernado pelas equações de caapo de Einstein

que e» termos de suas coaponentes e escrita coso

Essas equações aostraa coao o tensor tensao-energla curva o espa-ço-teapo eu torno de una detersInada regl3o. Es certos casos, de-vido a usa grande concentração de sassa, esse efeito é t3o forte que o espaço curva-se sobre si aesao tornando Inacessível *• ob-servadores externos, todo e qualquer tipo d? inforaação contida no Interior dessa regi3o. O Interior d»çsa região é o que denomi-namos de buraco negro, estado esse resultante do fenômenno ou processo que é conhecido como colapso gravltacional.

A solução aais gerai das equações de campo que represen-ta ua buraco negro, é conhecida coao solução de Kerr-Newmann ( iH

) que descreve a geometria do espaço-tempo de um buraco negro re-sultante do colapso gravltacional de uma massa < H ), com carga ( Q ) e momento angular ( L ) . Quaisquer outros parâmetros ou in-formações da constituição da materia colapsada s3o perdidos. Em coordenadas de Boyer-Llndqulst, ( \ , *1, ô , ô ) ( i f ) a métrica que descreve um buraco negro de Kerr-Newmann, tem a forma

+ -gí-clr^ p

d ^ (in .j.)

onde*

<x= L/w

A equação (II1-2) deve obedecer a condlçSo de vínculo

Essa condlç3o Impede aforeaçSo de singularidades nuas. Qualquer

buraco negro que nüo obedeça (111-3), terá seu colapso interroa-pldo por forças centrífugas e/ou eletrostátlcas.

Vejamos age a alguaae deflntçOes de regtOes da geosetrla de Kerr-Nevaannt

1-llaite estético - é a superfície descrita pela equação

Todos os observadores dentro e na superfície aclaa citada C O B r e O fixos, devea orbltar o buraco negro na aesaa dlreç3o que es-te roda, com uma velocidade angular dada por*

-EL.B

H/&.

f i n - s )

( I * + O Í ) S G * Í G

- \ Í A o^ôEM

e

-TL ^ 0 TAHA

' <*. > 0

2-horlzonte de «ventos - * a superfície descrita pela relaçac

3-ergosfera - 4 a rag I So coapreendida entre o Halt» estático e < horizonte de eventos.

Na figura (111-1), tesoa a representação qualitativa d< Halt* estático, horizonte de eventos • ergosfera. Na tabela (I-11-Dsostraaos as aetricas dos diferentes tipos de buracos negroí existentes.

III - 3 - a - Colapso Cravltacional de usa Estrela.

Consldereaos usa estrela esférica de sassa (H) e raio < R),.ee* carga e se* soaento angular. Daresos aqui us tratasentc rei ativista.

A sdtrlca exterior a estrela é dada port

eU*

a

-e**dtVe*

A

di

E

+?*4.n; mi-'»

onde

í>« $(1)

E

A= A(a\

Figura (lll-l)

Representação qualitativa do horizonte de eventos, er-goefera e 1 leite estático.

Tabela tIII-l>

Hetrlcas dos diferentes tipos de buracos negros.

1 denominação 1 geoaetrta 1 1 Sch»arzschl Id I J s*= L _ ^ 1 ^ < h * + tf[dS+±efM 1 L * 0 , Q « O 1 u 1 1 Reissner-Hords- 1 c U S - [ l - ;? M + télA^ dl1 , » I t r o . . L , * ^ J . ' L-imblrCi/i*- , 1 L • 0 . 1 1

, » i±» m i N l m

- ^ ' A = v»*7Í ,

P p*

as L/m

' c v

K / W

'

' p^s.^+oícos^e ft _ v^Ci^vaM '

Com boa precisSo, podeaos considerar que a materia da •strata comporta-se coao ua fluido perfeito. Assta, para descre-varaos asaa fluido, precisamos dos segui nt«>s parteatros:

/K'Y'O * dans I dada da eater I a-anarg I a (ill - 0)

-pCYVl « pressão U I J - ^ 1T\. • danaIdada da bartons U H - I O )

JjfKl) » quadrl-vetor velocidade ^J I^ ~A i*

~TM*= ( p + yiJUfÂC+yQf* - tansor tensao-energ I a. (. J 11 - I i) Pala 1aposição da qua a astral a seja estática

JüJ

= d a / d T = o

U

= d e / a r = o (in.-ií

M* = d^/dr^ o

Da normalização da quadrl-velocidade, temos que:

M-M = - i

-

V*

U

J U ?

= «Jtt^Al*^ e^A^M*

assim, _

JUL*

dt/dr = e"*

De (1II-7), (111-12), (111-13) a (111-14), determinamos as compo-nentes do tensor tensão energia T,HV

29

f

"7-°° ^ ~

Í -r-ia ^"

-r~o« „ - i

I = p e I = p e I

-pi *

(lll-i$^

Un-iü

LÜ\ e*dt £*= e

A

d?

uj*~ i d e u5 =

TSEMGCIÍ

IIII-/7)

Assim, a s componentes de u • T. n e s s e s i s t e m a , sSo dadas port

*> ** v

i e 4 *

Ak s XC .s AJL = 0

uiwá

Usando as equações de Einstein e a lei de conservação local de energia, TM1?V • 0 , podemos encontrar o restante das equações que determinam a estrutura de uaa estrela relativists.

Projetando T^Vy * 0 na direção de tf, teremos a

çao d* Eular* da hldrodlnaalca relattvlsta:

tosando a coapon«nt9 radial da equação aciaa, tereaos:

=

_ (p +f) 7]l Mo u° Uu-ií)

Da coaponenta ôo das equações da caapo,

o o — ° ' o o

W ^ _ U i ( i - e"

aA

3 = 97?p {111-2.1)

)af lnlndo

2inti^ - ^Ci - e~

iA

) uii-^-cò

I 8 0 l « , 2/\ ,

e

a

ci - ^ W i V un-23-0

I

a

da

essa equação C O M m(0> = O é Interpretada COBO sendo a quantidade de Massa energia dentro do ralo r.

Da componente rr das equações de campo,

Gtf = Sir Ttf

é = U - min.) Uii-23-ch

jl4

/vn+ V/ÍJ^jB. (JJJ-27)

Áf. . - (p tf^Tri * P/fofe) (IIMS)

cia i K - ^ ' w O

Essa equação e conhecida como equação de equilíbrio hidrostático

de Oppenhelmei—Volkoff. No limite clássico, temos a soluçSo usual neutonlana

ú

Fora da estrela, Isto é, r > R, a pressão e a densidade se anulam e • = m(r> é a massa da estrela (M) . Integrando

(I-11-27) com p - 0 , m c H e a condição de que $ Ci=co) ~ 0

e = ( i -

>** _ f . _ 3 |VWn\ ClIÍ-30-l

A M / ^

substituindo (111-30-b) e (III-23-b) em (111-7-a), teremos;

l i

- zmn)

f THdo* + s£M

Bcl0^ (III-7-É)

eesa métrica ó a métrica de SchwarzschlId e é uma solução das equ açdes de campo que representa JH> buraco negro.

Das equaçòes (111-8), (III-9), (111-25), (111-27) e (1-11-2B), com as condi çòes de que ?(a=0) = fc . $(rL=0) = $o .771 (1*%=

0 e que Qflzjòf* J~ C'>\ (l -Am/fi.), podemos construir modelos este-lares cujas soluções s3o únicas,

A autogravldade da estrela prrvô altas temperaturas de

•iodo a possibilitar reações termonucleares. Os elementos s3o con-sumidos na seguinte ordem: hidrogênio, hélio, carbono, neõnio, oxigênio e grupo do silício. A matéria final será constituída ba-sicamente de elementos do grupo do ferro. Como a fusSo de ferro e de elementos mais pesados n3o liberam energia por fus3o, o pro-cesso de produção de energia por reações termonucleares para aí. A autogravldade aumenta o processo de contração, haven-do apenas três estahaven-dos de configuração de equilíbrio: ana branra, estrela de neutrons » buracos negros.

Mas an3s brancas a autogravldade é contrabalançada pela pressão de elétrons degenerados, e o limite máximo de sua massa é estimado em 1,4 M © , se possuir baixa rotação e em 3 M © , se pos-suir alta rotação.

Caso esteja acima desse limite, os elétrons combinan-se com os prótons, transformando-se em neutrons. Temos aqui, uma es-trela de neutrons. Sua autogravldade é contrabalançada por neu-trons degenerados e sua massa n3o pode exceder o limite estimado entre 1,3 e 2,5 H o .

Se a pressão dos neutrons degenerados n3o for suficien-te para desuficien-ter o processo de contração, a estrela colapsa em uma singularidade, no referencial em repouso na estrela. Para um ob-servador distante, o ralo da estrela se aproxima assintotlcamente de seu ralo gravltacloral (Rg)

a luminosidade decai exponenclai mente no tempo da forma

L oc

ex?

- ^ - ± - (111-32)

.3\|3 2 m J

e a freqüência da luz emitida é deslocada para o vermelho, so-frendo um deslocamento Infinito quando a rua superfície lntercep-ta-se com seu rato gravltaclonal.

Vale ressaltar que o ralo gravltacicnal atua como um horizonte de eventos. Toda Informação contida no Interior deste é

inacessível para observadores externos.

Uma forma de entendermos melhor o colapso gravltaclonal é estudarmos o comportamento de partículas teste caindo livremen-te em um campo gravltaclonal descrito pela métrica de Schwarzs-chlld.

Orientando o sistema de coordenadas de modo que a pro-jeção radial da órbita coincida com O = '1/2, , temos que:

rp

=

1

da

d - 2m/7) dx

ÜI1-Í3)

?*- *. - £

P* = tL

Observando que a magnitude do quadri-vetor momento-energia é dado pela massa de repouso da partícula, temos:

^ P W ^ -

f*KT* <^= O

C1I1-3S)

de (III-33), teremos:

:

- ^

.

+ , 1—

j-, IM\

- ^ 4- AJL*= 0

(ill

-*0

Pelo fato de que pelo Princípio de Equivalência, partículas teste seguem a mesma linha de universo independentemente de sua massa, o que é apropriado na descrição do movimento n3o é nem sua ener-gia nem seu momento angular, mas as razBes

Ê = E//JL E U = L/M. UII-30

Def i n i ndo X como

>\ s T / u UlI-37)

usando (111-36) e (111-37), a equaçSo UI1-C5) toma a forma

Ar,

onde

la\ = Ê - V

n ) UH-3ÉÜ

r)

Na figura (II1-2), mostramos o gráfico de VeplT^ P°r r/N, para vários valores de L. Analisando esse gráfico tiramos como principais conclusões que:

1-órbitas com periélio em 1 "^ CO têm a forma usual newtoniana,

J I I • 11 I 11 11 I I I I I I I I 1111 I

092TI illi 111111111 it 111 i,l 1111 0 5 10 15 20 25

—r/M—+~

Figura Uil-2)

Gráfico de V C F Í I ) Po r r/,H para vários valores d© I».

37

exceto pelo deslocamento do perléilo .

2-órbltas C O B perléilo es *Z -^ i-OfT» te» uaa nítida diferença do coaportaaento usual neutonlano.

3-para n3o há perléilo; qualquer partícula que en-tra, é arrastada para r - 2H.

4-para 2\J3<L/fíl < ^ , existes órbitas ligadas cos perléilo e aféllo; nas qualquer partícula vinda de r - 00 é t. rastada para r = 2H

5-Para L_= L/fYl ^> *t , exlstea órbitas ligadas; partículas vin-das de r 3 CD cosi

COB

6"

atinges o perléilo e retornan para r = CD ; aas, partículas vln-das de r - CD com E > VM^X serSo arrastadas para r = 2H.

Observando (III-7-b>

h \ d±L

4

(i-2w/^di*+i

x

(do

x

+sE*i*odí*)

vemos que quando r-»2H, a aétrlca torna-se singular. Qual o sen-tido físico dessa singularidade em r = 2H?

Calculando as componentes do tensor de Riemann, vemos que as componentes n3o nulas desse tensor s3o proporcionais ai/n'

38

(If), isto é, possuem valores flnltos em r = 2H. Calculando a

A A A A

curvatura Invariant»,! = R.S./5?D- R-°t^>irC^ V&fll^/t*» vemos que esta, en r = O é Infinita. Interpretamos esses resultados da seguinte formas a geometria do espaço-tempo é bem comportada no raio gra-vltaclonal, e o comportamento singular da métrica em r = 2H ú conseqüência da patologia do sistema de coordenadas usado; em r c 0 temos uma singularidade física no espaço-tempo.

Devemos portanto, encontrar um sistema de coordenadas , onde o comportamento singular em r = 2M seja removido. Um sistema

de coordenadas adequado a tal propósito é conhecido como sistema de coordenadas de Kruskal-Szekeres. Nesse sistema de coordenadas, a mótrlca de SchwarzschlId é dada por

onde r é relacionado com u e v pela equaçSo abai:.o

(n/^(\l-r>e

''

AX

-M

UII-MÜ

A coordenada radial sem dimensão u e a coordenada temporal sem dimensão v estão relacionadas com as coordenadas r e t de Sch-warzschl Id port

39

M r U-^liAi} *e se«A(£/W») I ^ G *

t

III - 3 - b - Colapso Gravltaclonal do Objetos C O B pouca Massa. Alem dos buracos negros formados por evolução estelar, •xlste us outro tipo de buraco negro, denoslnado de buraco negro primordial. Tais buracos negros poderia» ter sido Tornados nos primeiros estágios de evolução do Universo ( f7>, aqui considera-do .apreciávelsente Inomogdneo.

Caso a densidade de matéria es usa regi3o fosse maior que a densidade média es sua vizinhança ou se a taxa de expansão fosse baixa, a força gravitaclonal poder 1? sobrepor a força da pressão e a energia clnétlca da matéria eu expansão. Para sobre-por a força da pressão, a energia gravitaclonal,-Jí-, teria que ser salor que a energia Interna,JX •

Quando a pressSo CP) 6Jill3 e U^JÜifL , a condição necessária para que ocorra o colapso é,

Quando-prjUcCco.yU/.M.) e U~M* d &a (jU/jJ.*) a condlçSo para que ocorra o colapso e

Considerando que a regi3o colapsada n3o possa formar um Universo desconexo do nosso, temos que

p. t~ l

De CI 11-48) e daB condições anteriores, (111-44) e (111-43), no momento do colapso

JUL & ^~ ±

T K C A

-p=^l/3

Como o colapso gravliaclonal é essencialmente um fenô-meno clássico, é provável que o ralo de um buraco negro

prlmor--33

dial seja sempre maior que o comprimento de Planck ( 1 0 CYn). Bu-racos negros com ralo acima desse valor, teriam uma massa acima

de 10 o .

Depois de formados, esses buracos negros primordi as au-mentariam sua massa por acrescimento. 0 primeiro cálculo da taxa de acrescimento feito por Zeldovlch e Novlkov { X8 ) , mostra que considerando o acrescimento como um processo quasi-estacionarIo, essa taxa 4 dada por:

JJM — MH\ ^ / A M * ' (XJI- M9)

clt"

onde JJ> (JJ,r^ i ) é a densidade de fundo do Universo de

Frled-mann. Assim,

41

ÍY\ ^

±

__

( l l l

-tol Al o )

onde H o é a massa Inicial do buraco negro e tc , o tempo de for-mação. Para Hopequeno comparado a t0 , a diferença M - H„ perma-neceria pequena e o buraco negro cresceria pouco por acresci men-t e Para Ho da mesma ordem que men-to os argumenmen-tos Indicam que H

<~t. Isto é, o acrescimento faria com que o buraco negro cres-cesse a mesma taxa que o horizonte de partículas, levando assim a una Inconsistência com as observações atuais, que mostram que o Universo é homogêneo em larga escala. Entretanto, podemos supor que os buracos negros cresceriam com a mesma taxa do horizonte de partículas apenas durante a época em que p = a | 3 - Nesse caso suas

massas cresceriam de 10 a IO*'Me.

Entretanto, Hawking e Carr ( 19 ), mostram que a hipóte-se do acrescimento como um processo quasi-estacionário n3o é uma boa hipótese e que o aumento de massa por acrescimento n3o é maior que uma ordem de grandeza de sua massa.

Ill - 4 - Termodinâmica de Buracos Negros.

A primeira conexão entre buracos negros e Termodinâmica, foi dado por Hawking, quando demonstrou que a área do horizonte de eventos na"o decresce em qualquer que seja o processo envoi vi-do. No caso de haver uma coalescêncla de dois buracos negros de áreas A^ e \^ , a área final, A^ , é maior ou Igua) a soma das áreas iniciais ( ) . conforme a figura <II1-3)

tempo

U

Quando dois buracos negros com áreas hL e k,

coales-ces, o buraco negro resultante, com área A 3 , obedece a relação A 3 > * i * »4

A

> A, + A

Se o buraco negro ausenta sua massa, sua área também aunenta, conforme figura (111-4). A área do horizonte e análoga à entro-pia.No caso sals geral (buracos negros de Kerr-Newaann), a área do horizonte de eventos e dada por ( *»* )

A

<iíif 2m

- G S im

( i - aVm

- LVn

)

í üii-5ii

onde

CL < w

L < M

Una Importante conseqüência do teoreaa de Hawking, é a Impossibi-lidade de decaimento ou quebra de um buraco negro

Essa forte analogia entre a área do horizonte de eventos com a entropia, leva-nos a denominar o teoreaa de Hawking como Segunda Lei da Termodinâmica de Buracos Negros,

d A > O (111-53)

Diferenciando Cl 11-52), tenos a energia total do sistema

dm= xdA + jadL + $da mi-s*/)

8ÍT

que corresponde a Primeira Lei da Termodinâmica de Buracos Ne-gros , onde t

44

buraco negro matérI a sendo absorvida horlzonte de ©ventos espaço Figura (1II-4)

Quando un buraco negro absorve matéria, sua área aumen-ta.

Ic

Mint- rO) (1I1-S5-)

ft

é a gravidade s u p e r f i c i a l ,

or

A

e a freqüência angular de rotaçlo, e

T

A

6 o potencial elétrico no horizonte de eventos.

Comparando (111-54) con a Primeira Lei da Termodinâmica

d ü

=

TdS-PdV

UII-SSÍ

onde:

U rfa energia interna S 6 a entropia

P d a pressão V * é o volume

vemos que se a área (A) corresponde à entropia (S), a gravidade superficial ( K > corresponde à temperatura (T). Os outros termos correspondem ao trabalho feito (energia extraída) referentes a mudanças do momento angular e carga elétrica.

Pode-se mostrar que a gravidade superficial é constante no horizonte de eventos («23 >• Essa é a Lei Zero da Termodinâmi-ca de Buracos Negros.

46

(rii-b-e)

(II1-S7)

A Igualdade de (I11-3)

leva a una gravidade superficial nula, com área do horizonte de eventos dada por:

Um buraco negro dessa forma é conhecido como buraco negro extremo de Kerr-Newmann. Se

o horizonte de eventos desapareceria, e teríamos uma singularida-de nua. Isto é, a singularidasingularida-de posingularida-deria ser observada. A não existência de singularidades nuas no Universo é denominada de Hi-pótese de Censura Cósmica. A censura cósmica Implica na lnatingi-bi 1 Idade do zero absoluto, K = 0 , que corresponde a Terceira Lei da Termodinâmica de Buracos Negros.

Na tabela (111-2) ,mostramos um quadro comparativo entre a Termodinâmica usual e a de Buracos Negros.

Consideremos um buraco negro de Schwarzschild, teremos:

Para um buraco negro com energia finita, temperatura zero Impli-caria entropia infinita. Sabendo que

Tabela (111-2)

Quadro comparativo entre a Termodinâmica usual e a de Buracos Negros.

Termodinâmica I Termodinâmica de Buracos Negros I.

Let Zero: Se dois sistemas ou duaB partes do mesmo sistema estSo em equilíbrio termodinâ-mico, então eles. estSo a mesma temperatura.

Lei Zeros Para qualquer buraco negro em equilíbrio, a gravi-dade superficial K é constan-te sobre toda a superfície.

1* Lei: Em um sistema Isolado, a energia total desse sistema

é conservada. dU = TdS - PdV

12 Leii Cm um sistema Isolado, Incluindo buracos negros, a energia total do sistema é

conservada.

dM= K/8ÍT+XLC!L + $dQ.

22 Leis Durante qualquer pro-cesso a entropia de um siste-ma isolado aumenta ou persiste-ma- perma-nece a mesma.

ds >o

22 Lei; A área da superfície de um buraco negro, sempre permanece a mesma ou aumenta, durante qualquer processo.

dA > 0

3s Lei; t Impossível reduzir a temperatura de um sistema a zero, por um número flnlto de processos.

32 Lei; t Impossível reduzir a gravidade superficial K de um buraco negro por um número fl-nlto de processos.

energia • 2 entropia x temperatura (if 1 - 6 ^

de (111-62) e CIÜ-&3)

m

ALI uii-és)

Observamos que o lado direito dessa equação é o produto de duas quantidades fInibas.

0 entendimento desse problema é ciarIf lead" quando rela-cionamos

lnformacio •—* entropia negativa

Como estimar a quantidade de informação com o tamanho do buraco negro? Hawking sugeriu que cada partícula contribuiria com um 'bit' de Informação. Assim, teríamos que calcular a quantidade de partículas para formar um buraco negro de massa K. De acordo com a Física Clássica, esse numero seria infinito, pois podería-mos escolher partículas com massas arbitrariamente pequenas, o que nos levaria a uma entropia Infinita.

Usando a Teoria Quantlca, esse problema e contornado. Não podemos escolher como constituintes dos buracos negros, mas-sas arbitrariamente pequenas, pelo fato de que a energia das par-tículas está relacionada com o comprimento de onda por;

E

* k / X UII

(>G)

49

e no mínimo, o comprimento de onda associado a cada partícula de-vo ser menor que o tamanho do buraco negro. Escolhendo X ^ - ' i M . a energia mínima das partículas é da ordem de K / P*"\ - O numero máximo de tais partículas em um buraco negro de massa H, é em torno de PI l \ • Assim; podemos estimar sua entropia como:

onde k é constante de Boltzmann e i é uma constante a ser de-terminada. Usando (111-62) encontramos que:

s

=fck\

A

^-^

De (111-64), temos que a temperatura é

UiJ-é,9-q}

Usando (111-63) em (111-69-a),

(ni-tf-tí

Os resultados expressos em <111-68) e (111-69-a) s3o exatamente o que esperávamos das Leis da Termodinâmica de Buracos Negros.

O que aconteceria se atirássemos um corpo C O B deter*(na-da entropia em um buraco negro? A entropia do Unl\arso diminuiria

, seria a resposta. Como um observador externo n3o poderia veri-ficar se a entropia do Universo diminuiu, a Segunda Lei da Termo-dinâmica de Buracos Negros torna-se um tanto abstrata. Para con-tornar esse problema Bekenstetn ( A n ) generalizou a Segunda Lei:

'A entropia comum (Sc) mais a entropia do buraco negro (Sb) nunca diminui',

S = S

+ Sç > o ( i n - 7 0 )

Una grande dificuldade com a Termodinâmica de Buracos Negros surgia quando Imaginávamos um buraco negro com uma tempe-ratura Tb, imerso em uma caixa onde havia radiação a uma tempera-tura Tc. Da Primeira Lei, a temperatempera-tura do sistema deveria e \rar em equilíbrio térmico a uma temperatura Te, situada entre Tb e Tc. Entr«l«nto, como o horizonte de eventos funciona como uma membrana assimétrica que só permite a passagem em um sentido (pa-ra dentro), a (pa-radiação da caixa seria totalmente absorvida pelo buraco negro. Nessa situação, o buraco negro estaria 3 uma tempe-ratura de zero absoluto. Esse problema foi resolvido por Hawking e será abordado no capítulo VI.

Capítulo IV

Ea Direção a u» Hodelo de um Gás de Buracos Negros es Interação es us Caspo CravItacionai de Fundo.

IV - 1 - Introdução

Um dos objetivos principais desta tese é elaborar um

mo-delo de us gás de buracos negros es Interação con um campo gravl-taclonal de fundo. 0 gás de buracos negros pode ser Ideal ou constituído por buracos negros que interagem entre si. A motiva-ção para tal estudo tem um duplo caráter: 1-investigar o fenômeno do ponto de vista da Teoria de Gravltação de Einstein, encarado como um problema de Relatividade Geral relativo às propriedades dos buraccs negros, suas interações rrituas e com campos gravita clonals; 2-elaborar um modelo teórico para os Núcleos Ativos de Galáxias mais completo que o modelo desenvolvido anteriormente por Vasconcellos e Guerra ( 0 7 > para tais objetos. Dessa forma, o problema e tanto encarado como de enteresse Intrínslco em Teo-ria de Gravltação como de Interesse de aplicação à Astrofísica dos Núcleos Ativos de Galáxias.

Com esse objetivo em vista, procuraremos primeiramente responder à questão: Qual seria o movimento de um corpo com spin em um campo grav'* acionai externo?

Para tempos de ordem multo pequena, a Interação seria

predominantemente newtonkana. Has considerando o problema em sua generalidade, devemos fazer correçSes relatlvlstas ao movimento newtonlano, que seria modificado pela Interação spln-órblta e spln-spln do buraco negro com o campo externo. Trataremos esse problema usando o método proposto por Fock e desenvolvido por Pa-papetrouí £o ) . Mostraremos que em particular, quando o corpo e considerado uma partícula monopolo (slngle-pole), o resultado en-contrado concorda cca o de Infeld e Schild, que trataram o pro-blema acima citado utilizando o método EiH (Elnsteln-lnfeld-Hoff-raann) ( i ° ) . A seguir damos o resultado da interação do corpo com spin com o campo de fundo.

IV - 2 - Considerações Gerais.

Assumimos que a dimensão da partícula teste é multo pe-quena comparada com o comprimento característico do campo de fun-do. Assim, a partícuie irá descrever um 'tubo estreito' no espaço -tempo. Escolhemos uma linha L nesse tubo, cujas coordenadas X* representarão o movimento da partícula e X é função de t = X ou do tempo próprio s. Para caracterizar a partícula, assumiremos que TMtf será nulo para todo t fora da esfera centrada em X e tendo um pequeno ralo R. Para termos um resultado rigoroso, te-ríamos que fazer R — * C . Seja í x" = x " - X* , e consideremos as

integrais feitas no espaço trl-dimensional com t constante,

T

HV

dv , fíx-T^dv , f f i x - í x - T ^ d v , . . .

Uma partícula monopolo é definida como sendo u* a partícula que

tem no mínimo uia das Integrals

í

•"Tdv

diferente de zero e todas as outras Iguais a zero. Para uma par-tícula polo-dlpolo, no mínimo algumas das Integrais

/ (

T-Jv E J i ^ T ^ d

s3o diferentes de zero, e todas as outras s3o Iguais a zero. Com as considerações acima, nas seções posterir^es, de-terminaremos as equações de movimento das partículas monopolo e polo-dlpolo.

IV - 3 - • - Equações de MoviBento de uaa Partícula Honopolo. Temos da 'equaçSo dinâmica' que

T** - o

Tonando a expressão para e usando (IV-1), temos que

?x« ^

Integrando (IV-l) e (IV-2-a) no espaço tri-dimensional com t constante.

dt

i

(T"

dM,-í^cÍM

i i v - v c O

Í ^ T ^ ^ . Í T ^ -

f x ^ ^ r ^ v

O

*-M-C0

No Interior da partícula, podemos desenvolver a conexão afim em série de potência Co índice o significa o valor no ponto Xo 4)

T><

/4.V = O ^ U V "*• °'MV/V

Substituindo (1V-5) em (IV-3-a), considerando a partícula como monopolo e omitindo o índice o;

iLÍT^dv^ 7^

s

ÍT^d

Ms

o

( i v - s - £ )

Fazendo esse mesmo procedimento com (lV-4-a) e considerando (IV-3-b>, temos:

drt

ÍT""^

C i M - M - 4 )

m^

=

W

ÍT^dV

t i i -

t )

onde

" ,

AX"

XX

às

c k * r CJ

^ d X d X

as equações ( l V - 3 - a ) e ( l V - 4 - b ) s 3 o dadas por

4-í-JSCrl + £ > " = 0 (w-3-0

.11"'

Tomando fi - 4 em (IV-4-c),

A"

Introduzindo o resultado acima em (IV-4-c) e chamando 'vn=. (*)/(IJL*) entSo

Colocando esse resultado em UV-3-c), teremos:

que contem tanto a equação de movimento quanto a equaçlo para m. Multiplicando (lV-3-d) por' u^_, podemos separar essas equações.

56

Asa1m,

JU^-d-lU*

! + '/^v>U.o

M

M

- 0

v

_cU

âyn _ 0

Das equações a c t n a , ( l V - 3 - d ) f l e a

ds

que sab geodesic as do caapo Quy e * ° M S I O resultado encontrado por Infeld e Schild.

A seguir, tratareaos o sovlsento de usa partícula polo-dlpolo.

IV - 3 - b - Equações de uaa Partícula Polo-dlpolo.

Tosando a expressão usando (1V-1),

te-•OS

2>x* ( I M - O

Integrando a equaçSo (IV-1) no espaço trl-dlsemslonal com t cons-tante, usando a expansão es serie da conexão afln (equação

(1V-5)), omitindo o índice o e considerando ainda que a partícula seja polo-dlpolo

dt) «JtJ dtj

+tl\i* T-dv

(iv-^-al

Repetindo novamente o procedimento acima e usando (IV-7), (IV-8-a). tQaos de (1V-6)

b X

«T*ív

Sx'T^cKi

( i v / - a )

encontrá-las.

Definindo as quantidades

I Y 1 ^

- u

èx

T^

clv

(IV 10^

«c>

_.«-rW

s^cU/rdv-Ux^rav

(IM-il)

(a equação (IV-11) é a definição de momento angular). De (IV-IO) e <1V-11), <IV-9) pode ser escrita cornos

T O M ando perautaçSes cíclicas d e oí/3v em ( 1 V - 1 2 ) , c o m a n d o as d u a s p r i m e i r a s e subtraindo d a ú l t i m a . T o n a n d o (IV-12) c o « V = 4 e u s a n d o (IV-10) e ( I V - 1 1 ) , teremos-.

M

_{C I M - I ^ - ^}

JU

d si

JUC

/ ^

^

ds\

xc )

7

^

m"^

(IV

hr

p

= a^

,co

< ^ . | ( l ! Ç l . ?^>7

XI

eis

JUL

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