JUROS. Simples versus Compostos. Componentes da taxa de juros. Linha de tempo. Fórmulas básicas de juros

JUROS

• Simples versus Compostos

• Componentes da taxa de juros

• Linha de tempo

100

10

100

10

100

10

110

11

100

10

121,00

12,10

110

120

130

110

121

133,10

Juros Simples

Ano 1 Ano 2 Ano 3

Juros Compostos

Ano 1 Ano 2 Ano 3

Principal

Juros anuais

Principal + Juros

Simples versus Compostos

(exemplo com juros de 10%)

Componentes da taxa de juros

JUROS



Preferência temporal



Correção monetária

JUROS

Linha de tempo

5.000

800

800

800

800

30.000

0

1

2

3

4

Períodos

Receitas (+)

Custos (-)

JUROS

Derivação da Fórmula Geral

Terceiro Ano

Segundo Ano

Primeiro Ano

V

₁

= V

₀

+ I

V

₁

= V

₀

+ V

₀

(i)

V

₃

= V

₂

+ I

V

₃

= V

₂

+ V

₂

(i)

V

₂

= V

₁

+ I

V

₂

= V

₁

+ V

₁

(i)

V

₁

= V

₀

( 1 + i )

V

₃

= V

₂

( 1 + i )

V

₃

= V

₀

( 1 + i )

2

_{( 1 + i )}

V

₃

= V

₀

( 1 + i )

3

V

₂

= V

₁

( 1 + i )

V

₂

= V

₀

( 1 + i )( 1 + i )

V

₂

= V

₀

( 1 + i )

2

V

_n

= V

₀

( 1 + i )

n

( 1 + i )

n

JUROS compostos: fórmulas básicas

Se a taxa de juros (i) nominal anual é aplicada em m parcelas

dentro do ano, temos:

V

_n

V

_nm

= V

₀

( 1 + i/m )

nm

_{onde nm representa o número total}

de períodos de capitalização

(2)

V

₀

=

Valor presente (descapitalização):

V

_n

= V

₀

( 1 + i )

n

JUROS compostos: fórmulas básicas

Taxa de juros (se conhecidos V

₀

, V

_n

e n):

V

_n

= V

₀

( 1 + i )

n

= ( 1 + i )

n

V

_n

V

₀

(3)

( )

V

n

V

₀

1/n

- 1 = i

ln(V

_n

) = ln (V

₀

) + n ln ( 1 + i )

ln(V

_n

) - ln(V

₀

)

ln(1+i)

= n

V

_n

= V

₀

( 1 + i )

n

a

a

a

a

Séries de Pagamentos Anuais

0

1

n-2

n-1

n

Ano

Pagamentos anuais:

Valor futuro (V

_n

)

(1+i)

a

(1+i)

2

_a

a

+

a

(1+i) +

a

(1+i)

2

_{+ ... +}

_a

_(1+i)

n-1

V

_n

=

...

(1+i)

n-1

_a

Séries de Pagamentos Anuais

V

_n

=

a

+

a

(1+i)

+

a

(1+i)

2

_{+ ... +}

_a

_(1+i)

n-1

Valor futuro (V

_n

)

Multiplicando por (1+i), e subtraindo as expressões resultantes:

(1+i) V

_n

=

a

(1+i) +

a

(1+i)

2

₊

_a

_(1+i)

3

_{+ ... +}

_a

_(1+i)

n

(1+i) V

_n

- V

_n

=

a

(1+i)

n

_-

_a

i V

_n

=

a

[(1+i)

n

– 1]

V

_n

=

a

[(1+i)

n

– 1]

i

Valor presente (V

₀

)

1

(1+i)

n

V

₀

= V

_n

a

[(1+i)

n

– 1]

i

1

(1+i)

n

=

V

0

=

a

[(1+i)

n

– 1]

i (1+i)

n

(5)

(4)

Séries de Pagamentos Periódicas

0

t

(n-2)t

(n-1)t

nt

Ano

Pagamentos anuais:

a

a

a

a

Valor futuro (V

_nt

)

(1+i)

t

_a

(1+i)

2t

_a

a

+

a

(1+i)

t

₊

_a

_(1+i)

2t

_{+ ... +}

_a

_(1+i)

nt-t

V

_n

=

...

(1+i)

nt-t

_a

Séries de Pagamentos Periódicas

V

_nt

=

a

+

a

(1+i)

t

₊

_a

_(1+i)

2t

_{+ ... +}

_a

_(1+i)

nt-t

Valor futuro (V

_nt

)

Multiplicando por (1+i)

t

_{, e subtraindo as expressões resultantes:}

(1+i)

t

_V

nt

=

a

(1+i)

t

+

a

(1+i)

2t

+

a

(1+i)

3t

+ ... +

a

(1+i)

nt

(1+i)

t

_V

nt

- V

nt

=

a

(1+i)

nt

-

a

[(1+i)

t

–1] V

nt

=

a

[(1+i)

nt

– 1]

V

_nt

=

a

[(1+i)

nt

– 1]

[(1+i)

t

–1]

Valor presente (V

₀

)

1

(1+i)

nt

V

₀

= V

_nt

a

[(1+i)

nt

– 1]

[(1+i)

t

–1]

1

(1+i)

nt

=

V

0

=

a

[(1+i)

nt

– 1]

[(1+i)

t

–1] (1+i)

nt

(7)

(6)

Séries Perpétuas

(Valor Presente)

(9)

(8)

Anual:

V

₀

=

a

[(1+i)



– 1]

i (1+i)



De (5) podemos dizer que

V

₀

=

a

i

V

₀

=

a

[(1+i)



– 1]

[(1+i)

t

–1] (1+i)



De (7) podemos dizer que

V

₀

=

a

[(1+i)

t

–1]

Critérios de Avaliação de Projetos

VPL

_i

= VP receitas - VP custos

Valor Presente Líquido:

Mais conhecidos

Razão Benefício/Custo:

B/C

_i

= VP receitas / VP custos

B/C > 1

VPL > 0

B/C < 1

VPL < 0

B/C = 1

Critérios de Avaliação de Projetos

Projeto A

400

100

6.600

0

5

8

30

(meses)

200

15

VP receitas

VP custos

V

al

or pr

es

ente

($)

Inconsistências ao classificar projetos podem surgir devido:



Diferentes horizontes



Múltiplas TIRs



Desproporcionalidade entre projetos

Critérios de Avaliação de Projetos

Critérios de Avaliação de Projetos

6.600

200

Projeto B

400

100

2500

0

5

8

30

1200

15

Projeto A

400

100

0

5

8

15

30

VPL do projeto A

VPL

VPL do projeto B

Mesmo VPL a 6,3%

Critérios de Avaliação de Projetos

“Anualidade” de uma série com VP

_i

= VPL

_i

VPL anualizado:

Menos conhecidos, mas essenciais para os profissionais da área ambiental, florestal e agrícola

Valor Esperado da Terra:

VP

_i

de uma série infinita de ciclos

Critérios de Avaliação de Projetos

é o valor

a

que torna o VP

_i

de uma série de pagamentos

a

igual ao VPL

_i

do projeto

VPLa

6.400

200

VPL

_A

400

100

0

5

8

15

28

VPL

_B

400

100

2800

0

5

8

32

1200

15

a

0

1

2

3

27

28

a

a

a

a

a'

a'

a' a' a'

VP

_A

[(1+i)

28

– 1]

a

=

VPL

_A

i (1+i)

28

a'

=

VPL

_B

i (1+i)

32 Qual o valor de

a

que torna estes valores iguais?

Qual o valor de

a’

que torna estes

valores iguais?

Resposta:

Resposta:

Não comparáveis!

VP*

_A

VP*

_B

0

28

∞

VFL

_A

= VPL

_A

(1+i)

28

56

VFL

_A

0

32

∞

VFL

_B

= VPL

_B

(1+i)

32

64

VFL

_B

Critérios de Avaliação de Projetos

é o valor presente de uma série infinita de VPLs do projeto a uma taxa i

VET

6.400

200

VPL

_A

400

100

0

5

8

15

28

VPL

_B

400

100

2800

0

5

8

32

1200

15

Qual o valor presente de uma série perpétua

de repetições do projeto A?

Qual o valor presente de uma série perpétua

de repetições do projeto B? Resposta:

VET

_A

=

Resposta: VET_B=

Não comparáveis!

VP*

_A

=

VFL

_A

[(1+i)

28

–1]

VP*

_B

=

VFL

_B

[(1+i)

32

–1]

Comparáveis!

Custo Financeiro da Produção

Da definição de Razão B/C, temos:

B/C = (VP receitas) / (VP custos) = (RT

₀

) / (CT

₀

)

Esse quociente pode ainda ser interpretada como

R$ recebidos

por

R$ gasto

E se invertermos a divisão, temos:

R$ gastos

por

R$ recebido









 



































n t t t n t t t

i

R

i

C

RT

CT

0 0 0 0

)

1

(

)

1

(

Que em termos matemáticos

resulta na seguinte expressão:

Lembrando que:

Custo Financeiro da Produção









 



































n t t t n t t t

i

pV

i

C

RT

CT

0 0 0 0

)

1

(

)

1

(









 



































n t t t n t t t

i

V

i

C

RT

CT

p

0 0 0 0

)

1

(

)

1

(

















   







































































n t t t n t t t n t t t n t t t

i

V

i

C

i

V

i

C

p

p

0 0 0 0

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

*

1

O princípio do

Custo Financeiro de Produção

considera que a madeira é