• Nenhum resultado encontrado

MATEMÁTICA HOJE. 22 TEMAS & DEBATES - SOCiedade Brasileira de Educação Matemática

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "MATEMÁTICA HOJE. 22 TEMAS & DEBATES - SOCiedade Brasileira de Educação Matemática"

Copied!
7
0
0

Texto

(1)

MATEMÁTICA HO

J

E

João

P

itombeira de Carvalho*

Na década de 60, Freudenthal, ao abrir um Congresso Internacional sobre Ensino de Matemática, podia afirmar que não havia necessidade de discutir por quê se ensina matemática. Para ele, o único ponto a discutir era como ensiná-Ia. Desde então, todavia, esta pergunta tem sido feita constantemente.

Isso por um lado reflete o amadurecimento da consciência crítica das pes-soas que se dedicam

à

Educação Matemática como campo de estudo autônomo, e por outro lado as perplexidades de uma sociedade que verifica não ser o processo educativo a panacéia para todos os males, como alguns mais otimistas julgavam há poucas décadas.

Que a ciência e a tecnologia desempenham o papel cada vez mais importan-te em nossa sociedade global é indubitável, Estamos hoje percorrendo velozmente um caminho que começou aser trilhado na Grécia antiga, com os pitagóricos, no Século VI a.C., que diziam ser o universo constituído pelos números. Mais tarde, por intermédio dos néopitagóricos, esta crença muito influenciou a filosofia de Platão e, por intermédio dela, quando foi redes coberta no Renascimento, ajudou a colocar a matemática em posição preeminente entre as várias áreas do saber.

Na Idade Média, a matemática constitui a o" quadrivium ",o ciclo de estu-dos que se seguia ao "trivium". Este último era composto pela gramática, retórica e dialética. Já por sua vez, o"quadrivium" era formado pela aritmética (os núme-ros em repouso), a música (os números em movimento), a geometria (os corpos em repouso), e a astronomia (os corpos em movimento). O trivium e o quadrivium formavam as sete artes liberais, que sobrevivem ainda hoje no conceito de " Edu-cação liberal", aquela que todo homem culto deveria possuir, independentemente da especialização que possa escolher, entre os inúmeros ramos do saber.

São bem conhecidas as palavras de Galileu: " O livro da natureza está escri-to em caracteres matemáticos". A partir dele, a matemática passou a ser considera-da ferramenta essencial para a compreensão do universo. Esta ferramenta revelou-se imprescidível para a construção de uma visão racional-científica do cosmos. Graças à síntese de Newton, explorada pelos Bernoullis, Laplace e outros, foi possível compreender e prever muitos fenômenos importantes do mundo físico.

A partir do século XVII a matemática começa a mudar de caráter. Até en-tão, podemos dizer que o matemático trabalhava com abstrações diretas da realida-Departamento de Matemática,PUC/RJ

(2)

de. A geometria euclidiana é uma abstração direta das propriedades das formas espaciais. O cálculo infinitesimal, como concebido por Newton epior Leibniz, éa formulação matemática das idéias intuitivas de velocidade, tangente e área. No entanto, a partir do Século XVII, a matemática começa a trabalhar com abstrações de abstrações.

É

como se estivéssemos trabalhando em'andares sucessivamente mais altos, cada um deles mais afastado darealidade primitiva e dependendo, para sua sustentação, dos andaimes inferiores.

Paradoxalmente, o caráter cada vez mais abstrato e axiomatizado da mate-mática, que culminou em nosso século em suas grandes teorias estruturais, éque tem ampliado as possibilidades de aplicação da matemática. Isso é uma conse-qüência natural da aplicação do método axiomãtico-dedutivo: como estudamos as propriedades das grandes estruturas, sem nos prendermos a exemplos específicos e" concretos ", podemos aplicar os resultados de nosso estudo a situações à pri-meira vista muito distintas. Decorre daí um grande desafio aoensino da matemáti-ca em todos osníveis: como conciliar a necessidade da compreensão intuitiva e da exemplificação frutífera com a axiomatização que é a característica e aforça da matemática contemporânea.

A aplicabilidade da matemática a problemas do mundo físico sempre foi motivo de interrogação para matemáticos e filósofos. Como é que uma ciência, cujos praticantes insistem em afirmar ser uma criação livre e independente do espírito humano, éachave para a compreensão do mundo físico?

Frequentemente ferrametas matemáticas são posteriormente aplicadas a pro-blemas que não tinham sido cogitados no momento de sua criação. O exemplo clássico são as seções cônicas. Os gregos as estudavam sem interesse em suas aplicações (os matemáticos gregos, com exceção de Arquimedes, consideravam a matemática como uma atividade sem aplicações). As propriedades destas curvas foram brilhantemente estudadas por Apolonio, no século Ill

a

.c

.

1800 anos mais tarde, no século XVI, Kepler, ao estudar os movimentos dos planetas em tomo do sol, percebeu que suas órbitas são elipses. Logo depois, Newton demonstrou as leis de Kepler, apartir de sua leida gravitação universal, concluindo que a órbita de qualquer corpo em um campo gravitacional é sempre uma cônica (elipse, hipérbole ou parábola). Além disso, as cônicas serevelaram importantes em ótica, no estudo dos espelhos parabólicos, usados para a construção detelescópios refle-tores, entre outras aplicações.

Os exemplos desta aplicabilidade inesperada dos conceitos e idéias mate-máticos se multiplicam a partir de então. Frequentemente, pesquisas altamente abstratas, que pareciam interessar somente amatemáticos puros, revelaram-se pos-teriormente essenciais em algumas aplicações. No século passado, as investiga-ções de Boole, de Morgan e de outros, que pareciam sem interesse prático, não obstante aidéia de Leibniz da criação de.sua" Algebra Universalis ", passaram a

(3)

ser aplicadas no desenho de circuitos digitais. O estudo dos fundamentos da mate -mática, que se desenvolveu muito a partir dos problemas criados pela teoria dos conjuntos e suas antinomias, começou recentemente a ter aplicação no projeto teórico decomputadores, na procura de computadores capazes de"pensar", o ca m-po da chamada inteligência artificial.

Outro exemplo nos é fornecido pelo cálculo tensorial dos geômetras ita lia-nos, que não despertara muito interesse quando criado, e que se revelou, nas mãos de Einstein, a ferramenta natural para escrever as leis de sua física relativistica.

A teoria das matrizes, criada como parte da álgebra, teve aplicação poste -riormente em 1926, no estudo da teoria atômica e na mecânica quântica.

Outro exemplo é dado pelo desenvolvimento por auto-funções dos op era-dores diferenciais e integrais e sua aplicação na mecânica ondulatória, em 1927.

Mais um exemplo: o método dos elementos finitos é muito importante em mecânica; ele consiste em discretizar problemas de mecânica decompondo oscor

-pos rígidos em pequenos elementos, que são estudados isoladamente e em suas

interações. Inicialmente, as razões para explicar o funcionamento do método eram

puramente heurísticas. Mais tarde, verificou-se que Courant, desde 1943, tinha

desenvolvido as ferramentas matemáticas necessárias para explicar ejustificar o

método. Estes estudos envolvem análise funcional, cálculo das variações e outras

ferramentas poderosas da análise matemática.

Muitos campos deestudo que pareciam refratários

à

utilização da mate

má-tica, ciência "exata" e "quantitativa", empregam hoje os métodos qualitativos,

ori-ginados em trabalhos sobre equações diferenciais, e que frutificaram na teoria das

bifurcações, das catástrofes, das singularidades, que tem permitido atacar mate

-maticamente fenômenos até então intratãveis, por serem demasiadamente de

sor-ganizados, caóticos. Existe hoje a teoria matemática do caos, que consegue expli

-car matematicamente fenômenos aparentemente totalmente desorganizados. Além destas contribuições por vezes essenciais da matemática para o pro -gresso de outras ciências, é importante não esquecer que a matemática não é só uma ferramenta. Encará-Ia de um ponto de vista puramente utilitário invalida por vezes as idéias de pessoas competentes em outras áreas, eque se desbruçam sobre

amatemática sem uma percepção nítida de sua estrutura edinâmica interna. Ela

cresce e se organiza respondendo a desafios internos e externos. Em nosso século esta crescente estruturação da matemática, com feições crescentemente axiomáticas, se constitui em uma das grandes aventuras do espírito humano, devendo ser colo-cada em pé da igualdade, do ponto de vista cultural, com afilosofia, amúsica, a poesia, a pintura e a literatura modernas. Neste sentido, convém lembrar que a criação das geometrias não-euclidianas alterou radicalmente nossa maneira de en-carar o conceito de espaço, que atéKant eraconsiderado euclidianó. Jáneste sécu-lo, alógica matemática, atingiu sua maturidade eos resultados de Godel sobre a

(4)

não-consis

ncia de sistemas

axiomáticos

lev

an

t

a

m

rias

pe

rg

un

tas

so

bre a n

a

tu-r

eza da ver

d

ade matemática. Considerados co

mo

pertencent

e

s a u

m ramo sub

s

idi-ári

o do

tr

o

nc

o pr

i

nc

i

pal da matemática, estes

res

ultados,

e o

s rel

a

tivos ao axioma

d

a escolha,

à

h

i

pótese do contínuo e outros, m

o

s

t

ram a

i

m

po

rtân

cia de um

a

ref

l

e-x

ão sobre

a pr

ópria matemática, com profund

as

i

mpli

ca

ç

ões

filo

s

óficas

.

O l

a

d

o cultural da matemática não te

m

s

i

do

m

ui

to e

nfat

i

zado. E

m

geral,

ci

ta-se so

m

e

n

te

a ap

l

icabilidade realmente es

p

a

n

tosa dest

a c

riaç

ão da mente hu

-m

an

a.

No

e

n

tan

t

o, se perco

r

rermos a

h

istória

ob

s

e

rvamos

mo

men

tos de in

fl

uência

da ma

t

emá

ti

c

a na maneira de ver o mundo. Iss

o

t

e

ve in

í

c

io co

m a

c

rença pitagórica

d

e que os

n

ú

me

r

os formam o universo, passa

p

e

l

a fé d

e

G

ali

leu

d

e que é

p

ossível

exp

li

car o

u

n

i

verso usando a mate

m

ática,

e

a

ti

nge seu

ap

oge

u com a síntese

n

ewton

i

an

a.

O sucesso da matemática em e

xp

l

i

car o

f

u

n

c

i

ona

m

ento do mundo

físico fez

co

m que se tentasse, com maior ou

m

e

nor suc

e

ss

o

, in

t

roduzir

o

pensa-m

ento " ge

o

métrico" em várias áreas do conh

e

c

i

mento

,

c

om

o por

exempl

o

até em

f

ilosofia,

c

o

m Spinoza em seu" E

t

hica, Or

di

n

e

Geo

m

et

ric

a D

emontra"

(1660-1

675).

A m

a

t

emática permeia hoje to

d

a nossa

civ

i

l

i

za

ç

ão

c

nico

-científica

.

Pode-s

e

até duvi

d

ar da conveniência ou va

l

idade de

u

m

t

al mo

de

l

o

de s

ociedade

.

É uma

pos

i

ção qu

e

não discutiremos aqui

.

No entan

t

o

,

o ca

m

i

nho

que

nossa ci

vi

lização

per

c

orre,

a p

artir do século XVII, com Galile

u, N

ewto

n

e

t

a

n

tos

o

utros, é

d

efiniti-v

amente ra

c

i

onalista e científico

.

Di

z

er isso

o

é

ad

o

ta

r um

a p

o

sição po

s

itivista

s

i

m

p

l

i

sta o

u

uma concepção evolucionista li

ne

a

r

da h

i

stó

ria

. Há

áreas es

s

enciais

d

a v

i

da qu

e

a

'

matemática ou a ciência não po

de

m

ex

pli

c

a

r

,

nem

mesmo p

e

netrar,

Est

e m

ovimento de

m

atematização da

s

o

c

i

eda

de é c

resc

e

nte

.

As

t

écn

i

cas

mate

mátic

a

s

invadem todas as prof

i

ssões

,

O

c

r

e

s

cim

ento ex

trao

r

d

i

nário

d

os

mo-de

los qu

ali

t

a

t

i

vos (teoria dos sis

t

emas dinâm

ico

s,

te

o

r

ia da

s

cat

á

strofes)

f

ez com

qu

e

ca

m

p

o

s

a

t

é então

i

mpenetráveis às técn

i

c

a

s

quant

i

t

ativ

as s

e rendes

s

em aos

nov

os

m

é

t

o

d

os. A teoria dos fractais

é

quase

im

e

d

i

ata

m

e

nte

apli

c

ada a pr

o

blemas

v

ar

i

ados,

c

o

mo o de s

i

mula

r

paisagens em t

e

l

a

s d

e

co

m

put

ador

, t

entar

pr

ever o

asp

ec

to

de

o

u

tr

os

p

lanetas, etc, O desenvolv

im

en

to

de

p

r

ogr

ama

s para ex

ib

ir g

r

a-fi

camente

e

m

computadores situações comple

xa

s

(em

m

e

tere

olog

i

a, biolo

gi

a, etc.)

exi

g

e a c

onst

rução de modelos matemáticos

be

m

sofis

ti

c

ado

s e a

capaci

da

de para

tratá-los

n

u

mer

icamente, o que ocasionou um

de

s

env

olv

i

me

nto e

xplosivo

d

as

téc-n

i

cas de c

á

l

culo científico.

o se

pode d

i

zer que tudo

i

sso são a

p

l

i

c

a

ções ex

tre

mam

e

n

t

e sof

isti

cadas,

e

que

é

n

e

ce

ssário somente um pequeno nú

me

r

o

de

p

ess

oas

par

a

l

idar c

o

m elas.

Em

p

rime

i

ro

l

u

gar,

e

mbora seja verd

a

de que

o

tr

a

balh

o diret

o co

m

estas fe

r

ramen-t

as

n

ão

sej

a

g

e

nera

li

za

d

o

,

o

n

úme

r

o

d

e pesso

as

q

ue

l

i

d

a

m c

om e

l

as não

é t

ão

pe-q

ueno assi

m

, e te

nd

e a

c

r

esc

er

. Eng

enhei

ros

,

méd

i

cos

,

b

iólog

os, e

conom

ista

s

, e

co-l

og

i

sta

s

,

e

tc, u

s

am,

c

a

da vez ma

is

,

m

étod

os

mate

m

át

ic

os

em sua

s ativid

a

d

e

s

.

(5)

A

m disso,

os c

onhecim

e

ntos nece

s

sários para d

o

minar

estas técnicas e

métodos

n

ão podem pertencer a

u

ma elite cuidadosament

e

educad

a

.

foi

d

e

fen

-dido con

vin

centemen

te

que o cr

esci

mento

da

matemática

a p

artir d

os

f

in

s d

a Idade

Média

teve

como

ca

u

sa a

perce

ão de que saber é poder

,

de que

a ma

te

mática é

r

ea

l

men

te

uma ferra

m

enta cujo

do

mínio aumenta o poder

de

seu d

etentor sobre os

outros h

o

mens e so

b

r

e

a nature

za.

Assim

, é

perigoso exi

s

tirem d

ua

s

e

sp

écies de

ma

t

emá

tica

, uma p

ara

uso r

a

stei

ro,

lim

i

tado às n

e

cessidad

es

m

a

is t

riv

i

ais

d

o d

i

a-a-di

a,

e ou

tr

a p

a

ra us

o d

o

s

que o

cu

par

ã

o po

s

içõe

s

d

e

lide

ra

a.

Se

ri

a

u

m

modelo

bem per

ve

rso de so

ci

edade aq

uel

e que tentasse instituci

o

nali

z

a

r div

isõe

s como

esta. To

do

s devem ser treinado

s e

adqui

r

ir

a

ba

s

e suficiente par

a poderem, caso

necess

i

t

e

m, estudar e

a

plica

r

os

p

oderosos métodos matemáticos

em s

ua

s

profis-sões.

C

e

rtamente nem todos ut

il

i

z

arão matemática de alto nível e

m

s

ua

vi

d

a.

Mas

um bom ensino de matemática

,

acessível a todos, independente

men

t

e

d

e s

t

atus

econôm

ic

o ou socia

l,

permitirá

a

os que têm talento e vocação par

a c

arre

i

ras

que

utilizam

a m

atemáti

ca

encontra

r s

eu caminho profissional

.

A alter

nativa

é

v

e

rmos

pessoas

d

escobrirem qu

e

não p

od

erã

o

real

i

zar-se plenamente dev

ido a

def

iciênci-as básic

as

em sua formação ma

te

mática.

P

or

outro lado

,

não dev

em

os

pensar que o talento matemá

tico

é re

partido

,

igualme

nt

e entre to

d

os.

I

sso nã

o

acontece, por exemplo

,

com o tal

ento

mu

sical, ou

a habili

da

de mec

â

n

i

ca, ou a co

o

rdenação motora que faz grande

s

a

tle

tas.

Tod

o

s

podem,

co

m

a

lgum esforço

,

apr

e

nder a tocar razoavelmen

t

e um ins

tru

mento m

usi

-cal.

Pou

c

os são cap

a

zes de extr

ai

r deste instrumento sentimento e

indiv

idu

al

i

dade

que com

o

vam.

O mesmo acont

ec

e com o emprego da língua. De

ve-s

e ex

igi

r

q

u

e

cada um tenha condições de co

m

unicar-se inteligivelmente e de es

tru

turar de

ma

-neira cl

ara

seu discurso. Pouco

s

serão escritores. Muitos menos ai

nda

ser

ã

o g

ran

-des escr

it

ores, capa

z

es de mud

ar

as próprias regras do escrever, d

e cri

ar e m

od

i

fi

-car a lín

g

ua.

Devido a razões históric

as

e filosóficas, a capacidade de ap

ren

der m

a

t

emá

-tica foi

se

mpre cons

i

derada como medida da inteligência de uma p

es

so

a

.

N

i

ng

uém

é consi

d

erado mais ou menos i

n

teligente se é bom ou fraco em m

úsic

a. Po

r ou

t

r

o

lado, se

r

fraco em matemática

é

um estigma que pode m

a

rcar a p

es

s

o

a po

r t

o

da

a

vida.

O prestígio da matemát

ic

a na explicação do universo a

parti

r do S

éc

u

lo

XVII, muito contribuiu para es

ta v

alorização. Ta

l

vez ela

e

steja ta

mbé

m

ass

o

ciad

a

a resqu

íci

os místicos, inconsci

e

ntes

,

da magia numérico

-

mística

dos

pit

agó

r

ico

s,

que ex

pl

icavam o universo

pe

los números, e que perdura p

opul

arm

ente

n

a

numero

l

ogia.

~

matemática é única

. C

ertamente deve ser ensin

a

da de

manei

ra

s

diferen-tes, dependendo dos al

u

nos. Is

so

já tinha sido reconhecido por T

omá

s de

A

q

uin

o,

(6)

que chamava a atenção para o fato de que o professor deve valorizar aespontanei

-dade dos alunos e falar sua língua. Assim, a matemática é uma só, para filhos de

favelados ou para filhos de diplomatas. Obviamente, a maneira de ensinar aos favelados deverá ser diferente dade ensinar aos filhos de diplomatas. Como diz Rouanet, em " O Novo Irracionalismo Brasileiro", diferencia o tipo de matemática que é ensinado aos dois grupos de alunos équerer perpetuar uma divisão social injusta e perversa.

O ensino tradicional voltava-se para a formação de uma pequena elite diri

-gente. Nele, amatemática tinha mais um papel dedisciplinadora, de formadora do caráter. Assim, por exemplo, na Inglaterra até bem pouco osjovens futuros admi

-nistradores do Império eram educados em um regime de latim ede EucIides. Na França, os estudantes da École Polytechnique, que durante muito tempo forneceu quase todos os quadros técnicos-administrativos de alto nível, tinham na matemá

-tica um dos mais fortes componentes de seus estudos. A filosofia positivista do século XIX, repetindo em um certo sentido as concepções pitagóricos-platônicas sobre amatemática deu-lhe grande ênfase, que serefletiu, por exemplo, no Brasil, no currículo das escolas militares. Este estudo tradicional, que em verdade não dava ênfase àoriginalidade e criatividade 'matemática, sempre dispôs de m ecanis-mos de cooptação que permitiam a assimilação dos jovens muito bem dotados para amatemática. Como exemplo, temos a utilização por Napoleão de excelentes matemáticos em seus quadros administrativos ou militares.

A escola aberta a todas as classes econômico-sociais (pelo menos em teo

-ria) forçou uma alteração profunda neste quadro. Já não se trata mais de formar uma elite pensante, mas sim de formar cidadãos capazes de participarem ativa \! inteligentemente de um mundo realmente" permeado pela ciência epela tecnologia".

Deparamo-nos assim, como educadores matemáticos, com umgrande desafio: como fazer para que, em uma sociedade que cada dia mais repousa sobre amatemática, mas que tem profundas e injustas divisões sociais, todos, quer sejam bem dotados ou não para amatemática, tenham um bom ensino desta ciência,para serem capa

-zes de atuar como cidadãos críticos econscientes em uma sociedade complexa.

Este desafio vem sendo enfrentado. Entre outras atividades, pesquisa-se e experimenta-se como adaptar o ensino da matemática aestudantes de culturas di

-ferentes (etno-matemática), procuram-se formas de ensinar mais adaptadas ao dia

-a-dia das crianças; investigam-se os fundamentos psicológicos do desenvol vimen-to cognitivo, como pré-condição para uma compreensão mais cIara da aprendiza

-gem; tenta-se compreender como a mente ataca eresolve um problema matemáti

-co; procuram-se formas de como resolver o grande problema, comum a países desenvol vidas e em desenvolvimento, demelhorar a formação deseus professores de matemática; investigan-se novos currículos para todos os graus de instrução procura-se formar uma comunidade de pesquisadores; dá-se ênfase ao papel do

(7)

professor em tentar recontextualizar, para o aluno, a matemáti

c

a

descontext

ualiz

ada

dos

livros-textos; tentam

-

se formular teorias, imprecisas a

i

nda, de como

o e

stu-dante aprende

certos campos específicos

da matemática, com

o

por

exempl

o a g

eo-metria. Tudo isso carac

t

eriza o aparecimento e a consoli

d

a

ç

ão de

um

a área

do

saber bem definida.

Inte

r

disciplinar mas com problemas be

m

específicos

e obj

eti-vos que a identificam realmente como um campo válido

de i

n

vestigação

e de

tra-balho:

A Educação Matemática.

Referências

Documentos relacionados

Tóxico para os organismos aquáticos, podendo causar efeitos nefastos a longo prazo no ambiente

Eleita para a Academia Francesa de Letras em 03 de maio (2018), Barbara Cassin explica porque é preciso não ceder ao ―global english‖, uma língua inglesa

(i) Para resolver este problema, poderíamos pensar da seguinte forma: já que não sabemos a idade da mulher, mas conhecemos a soma das idades do casal, podemos supor que se

Os alunos das séries iniciais da Escola tenente Rêgo Barros em Belém, afirmam que gostam de aprender Matemática quando trabalham com instrumentos como o ábaco, porque a

Com essa proposta, buscamos desenvolver uma prática de interpretação de textos que privilegiasse a leitura crítica diante de posicionamentos divergentes sobre uma mesma

CIZINA CÉLIA FERNANDES PEREIRA RESSTEL D esamparo psíquico nos filhos De dekasseguis no retorno ao B rasil Desamparo_psi_nos_filhos_de_dekasseguis__[MIOLO]__Graf_v1.indd

Os Ministros receberam uma informação actualizada sobre o grau de execução da Estratégia para o Sector dos Serviços Postais da SADC, bem como um relatório de

Tem como objetivo descrever a metodologia do Cálculo de Custos Operacionais do Serviço Convencional do Sistema de Transporte Coletivo Público, empregada na planilha