Taxa de Juros Real de Equilíbrio:
Uma Análise via Equações em Diferenças
Adriana Inhudes Mestrado em Economia-UFF
dricainhudes@ig.com.br Joana Duarte Ouro Alves
Mestrado em Economia-UFF joanadoa@terra.com.br Renata Del-Vecchio
Programa de pós-graduação Economia-Inst. De Mat. – UFF renata@vm.uff.br
I. INTRODUÇÃO
O presente estudo tem por objetivo principal verificar a existência de uma taxa de juros real de equilíbrio intertemporal na economia brasileira e determinar sua magnitude, além de analisar a trajetória temporal dessa solução, com base na metodologia de equações em diferenças. Essa análise mostra-se relevante no atual contexto, em que o regime de metas para a inflação é o mecanismo adotado pelo Brasil para condução da política monetária, e a taxa básica de juros da economia é o principal instrumento utilizado pelo Banco Central para o controle da inflação.
O conceito técnico de taxa de juros de equilíbrio (ou taxa de juros natural) é de suma importância para o entendimento da execução da política monetária no país. Para Borges e Silva (2006), a taxa de juros natural é aquela que mantém a taxa de inflação constante no horizonte de atuação da política monetária. Segundo os autores, essa definição é de grande utilidade prática para a autoridade monetária, que necessita de um acompanhamento preciso de seu instrumento, a taxa de juros.
Com o conhecimento da taxa de juros natural, sob essa definição, a direção em que o Banco Central deveria atuar seria determinada da seguinte maneira: se a inflação, ou as expectativas de inflação, estão acima da meta estipulada, bastaria elevar a taxa de juros nominal de tal forma que a taxa de juros real ficasse superior à taxa de juros natural, reduzindo a inflação nos períodos seguintes.
Para estimar a taxa de juros natural para o Brasil, Borges e Silva (2006) utilizam como metodologia um sistema de vetores autoregressivos (VAR) estrutural, no qual o modelo econômico é estimado com diversas variáveis endógenas, como taxa de juros real de mercado e variação da inflação, consideradas ao mesmo tempo, e cada uma delas é explicada por seus valores defasados e pelos valores defasados de todas as outras variáveis endógenas no modelo. São inseridas algumas restrições para que o modelo estrutural seja recuperado e assim as teorias econômicas possam ser testadas.
Já para Miranda e Muinhos (2003), a taxa de juros de equilíbrio é definida como a taxa compatível com a economia no seu produto potencial, ou seja, o patamar no qual a diferença entre o nível de produto atual e o nível de produto de equilíbrio é zero (hiato do produto igual a zero). Ainda segundo os autores, as altas taxas de juros praticadas no Brasil são um desafio à política macroeconômica e precisam ser explicadas. Assim, a estimação da taxa de juros de equilíbrio brasileira permitiria uma análise da implementação da política monetária, verificando se há alguma relação efetiva entre execução da política monetária e o conceito de taxa de juros de equilíbrio. Para calcular a taxa de juros real de equilíbrio os autores utilizaram vários métodos, tais como: cálculo da média da taxa de juros real para o período em análise; cálculo baseado em modelos de crescimento de longo prazo; etc. Nenhum dos métodos utilizados por esses autores, nem por Borges e Silva (2006), é
semelhante ao modelo que é construído no presente artigo.
É importante destacar que alguns autores, como Bresser-Pereira (2002), defendem a possibilidade da existência de equilíbrios múltiplos para a taxa de juros real. Sendo assim, haveria a possibilidade de manter a inflação estável e condizente com a meta de inflação com diferentes níveis de taxa de juros real. Sob esse ponto de vista, o argumento do autor é que o Brasil estaria em um equilíbrio perverso, ou em uma armadilha de juros, pois seria necessária uma taxa de juros real muito elevada para manter a inflação controlada.
II. METODOLOGIA
2.1. Equações em Diferenças
As equações em diferença são equações que expressam relações entre as mudanças das variáveis no caso discreto, ou seja, de períodos determinados. A solução para a equação em diferenças é a função que satisfaz esta relação.
Neste trabalho usaremos equações em diferença lineares de primeira ordem com coeficientes e termos constantes, isto é:
(1) yt+1+ayt =c
Nesse caso, a solução de (1) é da forma:
(2)
y
t=
y
pt+
y
ht Onde t p y é a solução particular e t h y é a solução da equação homogênea associada. A solução geral é da seguinte forma:(3)
a
c
a
A
y
t t+
+
−
=
1
)
(
, se a≠−1 e yt = A+ct, se a=−1.Além disso, o equilíbrio é obtido quando
0 =
∆yt , o que implica que yt+1=yt. Essa
condição de equilíbrio aplicada na equação (1) faz com que a solução particular corresponda ao ponto de equilíbrio da equação.
Para Chiang (1982), uma interpretação econômica para isso seria de que a solução particular da equação em diferenças,
t p y ,
representa o nível de equilíbrio intertemporal, e a solução homogênea associada,yht, representa o
desvio do equilíbrio da equação em diferenças. Chiang (1982) ainda afirma que uma equação em diferenças finitas é estável quando a solução da equação homogênea tende a zero, ao longo do tempo (lim =0
∞ → ht t
y ), pois nesse caso, a solução geral se aproxima do equilíbrio.
Finamente, Chiang (1982) classifica a trajetória temporal das soluções de equações em diferença lineares de primeira ordem da seguinte maneira: Trajetória temporal de (−a)t 0 > −a Não-oscilatória 0 < −a Oscilatória 1 = a Uniforme 1 > a Explosiva 1 < a Amortecida
Tabela 1: Trajetória da Solução
A trajetória é convergente se a≠−1 e a <1.
Com base nesses resultados, o passo seguinte é determinar a equação para a taxa de juros, encontrar seu valor de equilíbrio pela solução particular e a trajetória temporal da solução, analisando se ela convergirá ou não ao longo do tempo, e de que maneira ocorre essa convergência.
2.2. Modelo Econômico para a Taxa de Juros Real
Para o problema aqui proposto partimos da suposição de que a taxa de juros real no período t depende do seu valor no período anterior, t-1, e de uma constante c. Segundo Barbosa (2004), um fato estilizado no comportamento dos bancos centrais consiste no ajuste gradual da taxa de juros nominal, evitando movimentos súbitos, e, como conseqüência, tornando a taxa de juros menos volátil. Esta “inércia” da taxa de juros nominal na política monetária é um fenômeno conhecido na literatura econômica como suavização da taxa de juros (interest rate smoothing), e ele traduz-se na dependência da taxa de juros da sua própria história recente, ou
seja, a taxa de juros no período t depende da taxa de juros do período t-1.
Carneiro e Duarte (2001), afirmam que as mudanças observadas na taxa de juros nominal de curto prazo em vários países têm sido pequenas mudanças e na mesma direção, ao invés de respostas bruscas dos bancos centrais a novos fundamentos. Ainda segundo os autores, vários estudos apontam para a importância da primeira defasagem da taxa de juros na determinação, pelo Banco Central, da taxa de juros corrente em diversos países. As decisões de política monetária, para Carneiro e Duarte (2001), evidenciam que a inércia de juros está presente no Brasil.
O fato de que a taxa de juros nominal no período t depende fortemente do seu valor no período anterior, t-1, em um período de inflação relativamente baixa, nos remete ao seguinte modelo econômico para a taxa de juros real:
(4) rt =βo+β1rt−1
onde r é a taxa de juros real mensal.
Esta é uma equação em diferenças linear de primeira ordem, com coeficiente e termo constante. Dessa forma, se os parâmetrosβ1eβ0 forem estimados, a equação poderá ser resolvida. O nível de equilíbrio intertemporal da taxa de juros real pode ser determinado pela solução particular da equação (4), assim como o desvio do equilíbrio, dado pela solução da homogênea associada à mesma equação. Além disso, poderão ser analisadas a estabilidade do equilíbrio e a trajetória temporal da solução encontrada, cujo comportamento dependerá do coeficiente estimado.
2.3. Estimação do Modelo Econométrico
Um modelo de regressão consiste no uso de uma amostra de dados econômicos para obter informações sobre relações entre variáveis econômicas, ou seja, se uma variável X varia de certa maneira, de quanto será a oscilação de uma outra variável Y. Para pesquisar esta relação, deve-se construir um modelo econômico baseado no que a teoria diz sobre a relação entre as variáveis em questão e, em seguida, um modelo econométrico que constitua a base de uma análise econômica quantitativa.
O modelo econômico proposto para o exercício é dado pela equação (4), no qual a taxa de juros real da economia depende dos juros no período anterior e de uma constante. O significado da equação é:
(5) E
(
rt rt−1)
=βo+β1rt−1O valor esperado da taxa de juros no período t, dada a taxa do período anterior – ou média condicional E
(
rt rt−1)
– é denominada função de regressão, e os parâmetros de regressãoo
β e β1 são, respectivamente, o intercepto e o coeficiente angular da função de regressão, grandezas que caracterizam o comportamento econômico entre as variáveis rt e rt−1.
Para utilizar os dados econômicos deve-se especificar um modelo econométrico que descreva como a relação entre as taxas de juros no período atual e no período anterior ocorre na realidade, por meio da estimação dos parâmetros da equação, o que é feito utilizando-se os dados econômicos disponíveis, ou seja, os valores efetivos de taxas de juros.
A essência da análise de regressão é que qualquer observação sobre a variável dependente (rt) pode decompor-se em dois componentes, um sistemático e outro aleatório (HILL et al, 2003). O componente sistemático de rt é sua média
( )
rtE , que não é aleatória, pois é uma esperança matemática. O componente aleatório de rt é a
diferença entre rt e seu valor médio E
( )
rt ,denominado erro aleatório, definido como:
(6) et =rt −E
( )
rt =rt −[
βo+β1rt−1]
Rearranjando a equação (6), temos o modelo econométrico de interesse:
(7) rt =βo+β1rt−1+et
Ou seja, a variável dependente rt é explicada por um componente que varia sistematicamente com a variável independente
1 − t
r e pelo erro aleatório et. Esse modelo constitui
um processo autoregressivo de primeira ordem, no qual a taxa de juros real da economia depende dos juros no período anterior e de uma constante.
Para estimar βo e β1 utilizamos o princípio dos mínimos quadrados, isto é, devemos encontrar os valores dos parâmetros desconhecidos βo e β1 que minimizem a função soma de quadrados:
(
)
∑
(
)
∑
= = − = − − = T t t T t t t r e r S 1 2 1 2 1 1 0 1 0,β β β βA reta ajustada resultante será:
(8) rˆt =bo+b1rt−1
Onde b0 e b1 são as estimativas de mínimos
quadrados de βo e β1. A reta ajustada para os
dados de taxas de juro real está representada no gráfico 1. -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -2 -1 0 1 2 3 4 r(t-1)% r(t)%
Gráfico 1: Reta de regressão ajustada
1 1
ˆt =bo+brt− r
Será utilizado o pacote Econometric Views 4.1 (Eviews), que fornecerá os valores de b0 e b1
da reta de regressão ajustada.
III. RESULTADOS
3.1. Taxa de Juros Real de Equilíbrio
Partindo do modelo econômico teórico para a taxa de juros real, dado pela equação (4), utilizando dados mensais das taxa de juros de agosto/1994 a dezembro/2006, fornecidos pelo Banco Central do Brasil, foi realizada a estimação, por Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), do modelo econométrico proposto (equação 7).
O gráfico 2 reflete o comportamento da taxa de juros mensal ao longo do período analisado: -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 1 9 9 4 0 8 1 9 9 5 0 4 1 9 9 5 1 2 1 9 9 6 0 8 1 9 9 7 0 4 1 9 9 7 1 2 1 9 9 8 0 8 1 9 9 9 0 4 1 9 9 9 1 2 2 0 0 0 0 8 2 0 0 1 0 4 2 0 0 1 1 2 2 0 0 2 0 8 2 0 0 3 0 4 2 0 0 3 1 2 2 0 0 4 0 8 2 0 0 5 0 4 2 0 0 5 1 2 2 0 0 6 0 8 % a.m. Gráfico 2: Taxa de Juros Real (% a.m.)
A tabela 2 indica o resumo dos resultados obtidos pela regressão de MQO:
Variável Dependente: JUROS Método: Mínimos Quadrados Amostra: 1994:09 2006:12 Número de observações: 148
Variável Coeficiente Erro-padrão Estatística t p-valor C 0.292531 0.073142 3.999473 0.0001 JUROS(-1) 0.733568 0.055410 13.23901 0.0000 R2 0.545556 Estatística DW 1.997016 R2Ajustado 0.542443 Estatística F 175.2715 SQResíduos 28.98039 Prob(Estatística F) 0.000000 Tabela 2: Resultados do Modelo Econométrico
(Agosto/1994 a Dezembro/2006)
Esses resultados indicam que os coeficientes estimados foram significativos, com elevadas estatísticas t e baixos p-valores1, indicando que a equação em diferenças estimada para a taxa de juros real brasileira é a seguinte:
(9) rt =0.292531+0.733568rt-1
Rearranjando a equação (9) para colocá-la na forma da equação (1), temos:
(10) rt+1-0.733568rt =0.292531
Como a=−0.733568, a≠−1 e c=0.292531
1
Os resultados são robustos para autocorrelação serial dos resíduos, heterocedasticidade e correlação entre a variável dependente e os resíduos, o que torna válida a estimação de um modelo autoregressivo por MQO. Foi realizada uma correção da estatística DW para autocorrelação serial, já que esta não é apropriada na presença de variável dependente defasada entre os regressores. [ver Greene (2002)]
tem-se a solução particular:
097957
.
1
0.733568
1
0.292531
1
+
=
−
=
=
a
c
r
t p .Ou seja, a solução particular fornece a taxa de juros de equilíbrio intertemporal, denominada aqui como a taxa de juros real de equilíbrio da economia brasileira, que é de, aproximadamente, 1,10% ao mês.
4.2. Estabilidade do Equilíbrio
Para verificar se o equilíbrio encontrado é estável deve-se encontrar a solução da homogênea associada (rt+1-0.733568rt =0) à equação (10) e calcular seu limite, quando
∞ →
t . Pelo método recursivo, tem-se: 0 1 =0.733568r r
(
)
0 2 1 20.733568r
0.733568
r
r
=
=
Logo, (11) r(
0.733568 r)
0 t ht = e então: (12) lim(
0.733568)
0 =0 ∞ → r t t , pois -a =0.7335689<1.Assim, pode-se afirmar que a equação em diferenças é estável, pois sua solução geral se aproxima do nível de equilíbrio com o passar do tempo.
A solução geral da equação (10) é dada combinando a solução particular e a solução da homogênea. Tem-se portanto:
(13) r =
(
0.733568)
r0 +1.097957 tt
4.3. Trajetória Temporal da Solução
Finalmente, a análise da trajetória temporal da solução é feita com base na tabela 2, que leva ao seguinte resultado: 0.733568 − = a 1 < a => Trajetória convergente; 0 > −a => Trajetória não-oscilatória; 1 < a => Trajetória amortecida. Pode-se observar pelo gráfico 3 que o desvio da taxa de juros corrente em relação à taxa de juros real de equilíbrio tende a zero ao longo do tempo. A taxa de juros converge, por conseguinte, para o equilíbrio.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 t bt Gráfico 3: trajetória de (−a)t
4.4. Regime de Metas de Inflação e Quebra Estrutural
É importante destacar que as taxas naturais (de juros reais, emprego ou produto) podem sofrer alterações ao longo do tempo devido a mudanças estruturais. Certos choques sobre a economia são tão fortes que podem provocar mudanças estruturais irreversíveis, as quais afetam estas medidas de equilíbrio. Tais mudanças são as histereses.
Quando um modelo é estimado para todo o período de análise (1994 a 2006), existe, de forma implícita, uma hipótese restritiva, de que o coeficiente da taxa de juros defasada (b1), obtido na estimação, é válido para todo o período. Seria interessante, no entanto, uma análise da possibilidade de existir uma quebra estrutural quando da implantação do regime de metas para inflação no Brasil, em junho de 1999, a qual pode ter alterado o coeficiente b1 e, conseqüentemente, o nível da taxa de juros real de equilíbrio, entre os períodos pré e pós implantação do regime.
Para analisar essa possibilidade, um teste de quebra estrutural denominado Teste de Chow é realizado. O teste supõe dois modelos: o primeiro sob a restrição de que o coeficiente e o intercepto do modelo de regressão são os mesmos para todo o período; e um segundo modelo, sem restrição,
que permite considerar coeficientes distintos para dois períodos (antes e após o regime de metas).
A estatística de teste (F) reflete a comparação da soma de quadrados dos resíduos dos dois modelos (restrito e não-restrito), e permite afirmar se mudanças significativas ocorreram no período em questão. Assim, valores elevados de F sugerem a existência de quebra estrutural na equação estimada. Os resultados encontram-se na tabela 3.
Teste de Quebra Estrutural de Chow: 1999:06
Estatística F 8.042927 Probabilidade 0.000488 Tabela 3: Teste de Quebra Estrutural
Os resultados confirmam a hipótese de quebra estrutural no período de implantação do regime de metas. Assim, duas análises devem ser feitas: uma para o período pré-implementação das metas inflacionárias (agosto/1994 a junho/1999) e outra para o período pós-implantação do regime (julho/1999 a dezembro/2006).
Aplicando o modelo econométrico explicado em 2.3 para o período de 1994 a 1999 obtém-se a equação em diferenças estimada para a taxa de juros real brasileira:
(14) rt+1−0.588147rt =0.669271 Onde a solução particular é:
(15)
1
0.588147
1
.
6250
0.669271
=
−
=
t pr
A taxa de juros de equilíbrio da economia brasileira, para o período de agosto/1994 a junho/1999, é de, aproximadamente, 1,63% ao mês.
Para verificar a estabilidade do equilíbrio basta encontrar a solução da homogênea, e calcular seu limite quando t →∞ :
(16) lim
(
0.588147)
0 =0 ∞ → r t t , pois −a=0.588147<1.Pode-se afirmar que a equação em diferenças é estável, pois sua solução geral se aproxima do nível de equilíbrio.
A solução geral da equação em diferenças, combinando a solução particular e a solução da homogênea, é:
(17) r =
(
0.588147)
r0 +1.6250t
t
Finalmente, a análise da trajetória temporal da solução, leva ao seguinte resultado: trajetória convergente amortecida não-oscilatória, já que
0.588147
− =
a .
Pode-se afirmar, assim, que o desvio do nível da taxa de juros em relação à taxa de juros real de equilíbrio tende a zero, e a taxa de juros converge para o equilíbrio.
Para o período de 1999 a 2006, através do mesmo modelo econométrico, a equação em diferenças estimada é:
(18) rt+1 -0.541021rt =0.361189 E a solução particular é dada por:
(19)
0
.
7869
0.541021
1
0.361189
=
−
=
t pr
Então, para esse período a taxa de juros de equilíbrio da economia brasileira é de, aproximadamente, 0,79% ao mês.
Para verificar a estabilidade do equilíbrio, mais uma vez obtém-se a solução da homogênea associada e calcula-se o limite quando t→∞ : (20) lim
(
0.541021)
0 =0 ∞ → r t t , pois −a=0.541021<1.A equação em diferenças é estável, pois sua solução geral se aproxima do nível de equilíbrio com o passar do tempo. A solução geral da equação em diferenças é dada por:
(21) r =
(
0.541021)
r0 +0.7869 tt
Obtemos novamente uma trajetória convergente, amortecida e não-oscilatória.
Pode-se afirmar que, ao longo do período em questão, a taxa de juros converge para o equilíbrio, que é a taxa de juros real. A tabela 4 sintetiza os resultados encontrados para os diferentes períodos analisados.
1994 – 2006 1994 – 1999 1999 – 2006 Taxa de Juros de Equilíbrio 098 . 1 %a.m. 14% a.a. 625 . 1 %a.m. 34 . 21 % a.a. 787 . 0 %a.m. 86 . 9 % a.a. Estabilidade
do Equilíbrio Estável Estável Estável Trajetória Temporal da Solução Convergente Não-Oscilatória Amortecida Convergente Não-Oscilatória Amortecida Convergente Não-Oscilatória Amortecida Tabela 4: Resumo dos Resultados Encontrados
V. CONCLUSÕES
Os resultados encontrados nesse estudo sugerem que existe uma taxa de juros real de equilíbrio para o período 1994 a 2006, cerca de 1,10% ao mês (ou 14% ao ano), e que este equilíbrio é estável. Além disso, mostram que há convergência para este equilíbrio. Entre 1994 e 1999, o valor encontrado foi de 21,34% a.a., patamar bastante elevado que pode estar relacionado às várias crises em países emergentes entre 1995 e 1998, as quais levaram a um aumento considerável da taxa de juros nominal para fazer frente às saídas de capitais do país.
De 1999 a 2006, a taxa de juros real de equilíbrio ficou em 9,86% a.a. Com a adoção do regime de metas para inflação, a partir de 1999, a inflação tornou-se mais estável. Além disso, com implantação do câmbio flutuante, o país ficou menos suscetível a crises externas. A mudança na taxa natural, ou de equilíbrio, da taxa de juros real fica evidente na análise de quebra estrutural e na diferença marcante entre suas magnitudes nos períodos anterior e posterior a 1999.
Em geral, a taxa de juros de equilíbrio calculada pela metodologia deste artigo parece confirmar os resultados dos demais autores e de suas diferentes metodologias. Em Miranda e Muinhos (2003), nas décadas de 1980 e 1990, a taxa real de juros de equilíbrio ficou entre 11% e 14% ao ano. Entre 1995 e 1999 em 20,55%. No entanto, entre 1999 e 2002, a taxa de juros real de equilíbrio foi bem mais baixa, cerca de 4,6% ao ano.
Em Borges e Silva (2006), a taxa de juros real de equilíbrio foi de aproximadamente 10% ao ano para o período entre 2000 e 2003, valor próximo ao encontrado neste artigo para o período 1999-2006.
Tais resultados trazem algumas implicações econômicas relevantes. Conhecendo-se o nível da taxa de juros real de equilíbrio, a qual seria
compatível com um nível de preços estável, é possível avaliar as ações de política monetária.
V. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] F. H. Barbosa. A inércia da taxa de juros na
política monetária. Ensaios Econômicos, EPGE, Fundação Getúlio Vargas, n. 534, 13 pp., mar, 2004.
[2] BCB. Banco Central do Brasil. Séries Temporais. 2006. Disponível em
www.bcb.gov.br
[3] B. L. Borges; M. B. Silva. Estimando a taxa de juros natural para o Brasil: uma aplicação da metodologia VAR estrutural. Estudos Econômicos, vol. 36, n. 1, pp. 87-114, jan/mar, 2006.
[4] L. C. Bresser-Pereira. A Armadilha dos Juros. Folha de São Paulo, 10/02/2002.
Disponível em
http://www.bresserpereira.org.br/ver_file.as p?id=293.
[5] D. D. Carneiro; P. G. Duarte. Inércia de juros e regras de Taylor: explorando as funções de resposta a impulso em um modelo de equilíbrio geral com parâmetros estilizados para o Brasil. Texto para discussão. Dep. de Economia PUC-Rio. n. 450, 20 pp., jul, 2001.
[6] A. C. Chiang. “Matemática para economistas”. São Paulo, McGraw-Hill, 1982.
[8] W. H. Greene. “Econometric Analysis”. Prentice Hall, 5ª edição, 2002.
[9] R. C. Hill; W. E. Griffiths; G. G. Judge. “Econometria”. 2 ed. São Paulo, Saraiva, 2003.
[10] P. C. Miranda; M. K. Muinhos. A taxa de juros de equilíbrio: uma abordagem múltipla. Trabalho para discussão n. 66. Banco Central do Brasil, 2003.
