DESEMPENHO DE ESTUDANTES DO ENSINO FUNDAMENTAL EM SITUAÇÕES DE ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS

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147 RPEM, Campo Mourão, Pr, v.8, n.15, p.147-168, jan.-jun. 2019.

DESEMPENHO DE ESTUDANTES DO ENSINO FUNDAMENTAL EM

SITUAÇÕES DE ESTRUTURAS MULTIPLICATIVAS

Eurivalda Ribeiro dos Santos Santana1 Irene Mauricio Cazorla2 Ernani Martins Santos3 Resumo: Este artigo tem por objetivo analisar os principais resultados do diagnóstico da pesquisa intitulada “Um estudo sobre o domínio das Estruturas Multiplicativas no ensino fundamental” – E-Mult, desenvolvida em rede entre pesquisadores de sete instituições de Ensino Superior dos estados Bahia, Pernambuco e Ceará. A concepção do projeto seguiu princípios do Programa Observatório da Educação, o objeto matemático foi a estrutura multiplicativa, com arcabouço da Teoria dos Campos Conceituais. Foi elaborado um instrumento contendo 13 situações envolvendo as estruturas multiplicativas, respondido por 3906 estudantes, do 1º ao 9º ano do Ensino Fundamental de 12 escolas públicas. Analisamos o desempenho dos estudantes ao longo dos anos de escolarização e em cada uma das situações agrupadas por relações, eixos, classes, tipos e operação fundamental. Os resultados evidenciam que o desempenho dos estudantes em situações-problema de estruturas multiplicativas aumenta com a escolaridade, porém não supera 60% no 9º ano. A análise por situação mostra que as maiores taxas de acerto se encontram em situações com a relação quaternária e, dentre essas, o que mais se destaca em todos os anos escolares são as taxas nas situações de Proporção Simples “um para muitos”. Esses resultados apontam para a necessidade de investir em ações para ensinar esses conceitos matemáticos.

Palavras-chave: OBEDUC. Estrutura multiplicativa. Campo conceitual. Desempenho.

STUDENTS PERFORMANCE IN ELEMENTARY EDUCATION IN

SITUATIONS OF MULTIPLICATIVE STRUCTURE

Abstract: This article aims to analyze the main results of the diagnosis of the research entitled “Um estudo sobre o domínio das Estruturas Multiplicativas no ensino fundamental” (A study on the domain of Multiplicative Structures in Elementary Education) – E-Mult, developed in a network among researchers from seven institutions of higher education in the states of Bahia, Pernambuco and Ceará. The conception of the project followed principles of the Education Observatory Program). The mathematical object was the multiplicative structure, with a framework of the Conceptual Field Theory. An instrument was developed containing 13 situations involving multiplicative structures, which was answered by 3906 students, from the 1st to the 9th year of elementary education in 12 states. We analyzed the performance of students in each of the problems-situations of multiplicative structures grouped by relationships, axes, classes, types and fundamental operations throughout the years of schooling. The results show that students' performance increases with schooling, but does not exceed 60% in the 9th year. The analysis by situation shows that the highest hit rates are in situations with the quaternary relation, and among these, what stands out most in all school years are the rates in situations of Simple Proportion "One-to-many", indicating the need to invest in actions to teach these mathematical concepts.

Keywords: OBEDUC. Multiplicative structure. Conceptual field. Performance.

1_{Doutora em Educação Matemática, Universidade Estadual de Santa Cruz, UESC, E-mail: eurivalda@uesc.br} 2_{Doutora em Educação, Universidade Estadual de Santa Cruz, UESC, E-mail: icazorla@uol.com.br}

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Introdução

O projeto “Um estudo sobre o domínio das Estruturas Multiplicativas no ensino fundamental” – E-Mult, recomendado pelo processo de análise do Edital 049/2012/CAPES/INEP, nº 15727, do Programa Observatório da Educação, foi instituído no ano de 2013 numa rede de pesquisa envolvendo sete instituições de ensino superior, sendo o desenvolvimento das ações de pesquisa realizadas com 12 escolas parceiras nos estados da Bahia, Ceará e Pernambuco. Um dos objetivos gerais da pesquisa era de analisar os desempenhos dos estudantes do 1º ao 9º ano do Ensino Fundamental em situações do Campo Conceitual Multiplicativo. Este objetivo estava pautado na necessidade de se obter um panorama mais amplo do domínio dos conceitos subjacentes, por estudantes do ensino fundamental, no que diz respeito às situações que envolvem as operações de multiplicação ou de divisão em sua resolução.

No ano de 2014 uma pesquisa realizada por Gitirana et al. (2014) indicou um pífio domínio dos estudantes do 2º ao 9º do Ensino Fundamental em situações do Campo Multiplicativo em escolas do estado de São Paulo, apresentando um panorama do desempenho e dos esquemas de resolução utilizados pelos estudantes participantes da pesquisa. Nas ações do E-Mult se realizou inicialmente um diagnóstico do desempenho de estudantes de três estados da região Nordeste do Brasil (Bahia, Ceará e Pernambuco), para que pautado nos resultados fossem feitas as reflexões iniciais do processo formativo com os professores desses estudantes, em cada escola parceira. Para Santana et al. (2016); Lautert, Castro Filho, Santana (2017); Santana, Lautert, Castro Filho (2017); Castro Filho, Santana, Lautert (2017) e Santana et al. (2018), nesse processo foi possível a construção de sequências de ensino para as ações em sala de aula, no intuito de reverter o panorama diagnosticado, trazendo indicativos das reflexões dos professores sobre os desempenhos dos seus estudantes e as situações elaboradas por eles para melhorar esse desempenho dos estudantes.

Neste artigo focamos a análise no desempenho dos estudantes, ao resolverem as 13 situações- problema do instrumento diagnóstico, bem como no desempenho em cada uma das situações, para verificar em que tipos de situações os estudantes encontram maior dificuldade:

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por tipo de relação: Quaternária (Q) versus Ternária (T); por eixo: Proporção Simples (PS), Comparação Multiplicativa (CM) ou Configuração Retangular (CR); por classe: Um para Muitos (1xM), Muitos para Muitos (MxM), Relação desconhecida (Rel?), Referente ou Referido desconhecido (Ref?), Configuração Retangular (CR) ou combinatória (Comb); tipo: Discreta (Disc) versus Contínua (Cont); operação fundamental: Multiplicação (Mult) versus Divisão (Div).

O objeto matemático: a Teoria dos Campos Conceituais e a estrutura multiplicativa

A Teoria dos Campos Conceituais é uma teoria oriunda da Didática Francesa, que visa apoiar o professor e o pesquisador no processo de analisar a aprendizagem, de modo que seja possível compreender as filiações e rupturas entre os conhecimentos, no aprendiz (VERGNAUD, 1996).

Nessa teoria, conforme descreve Vergnaud (1998), o conhecimento é concebido em Campos Conceituais e, esses, são definidos como um conjunto de situações-problema, conceitos, propriedades, teoremas e relações pertinentes a essas situações que possibilitam a sua resolução. De modo que as operações de pensamentos e relações que podem ser estabelecidas, para a sua resolução, estão interligadas durante o processo de aquisição da aprendizagem de um determinado conceito (VERGNAUD, 1982).

O Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas ou Estrutura Multiplicativa é definido por Vergnaud (1996) como o conjunto das situações que em sua resolução requer o uso de uma ou várias multiplicações ou divisões, bem como os conhecimentos dos conceitos e teoremas que permitem analisar e resolvê-las, como, por exemplo: proporção, comparação multiplicativa, múltiplo, divisor, fração, dentre outros.

Baseados nos princípios da Teoria dos Campos Conceituais, Magina, Merlini e Santos (2014) apresentam um esquema que sintetiza o Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas. Os autores agruparam as situações em relações (quaternária versus ternária), eixos (Proporção simples, Proporção dupla, Proporção Múltipla, Comparação Multiplicativa e Produto de Medidas), classes (Um para muitos, muitos para muitos, relação desconhecida, referente ou referido desconhecido, Configuração Retangular e Combinatória) e tipos

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(Discreto versus Contínuo), tendo como base para a resolução dessas situações as operações de multiplicação ou de divisão, como sintetizado na Figura 1.

Inicialmente os autores classificaram as situações conforme a quantidade de elementos envolvidos na relação. Quando se relaciona três elementos (quantidades) estarão na relação ternária e, quando quatro elementos (quantidades) estarão na relação quaternária. Quando ternárias estarão no eixo da comparação multiplicativa ou do produto de medidas que são situações que estabelecem uma relação de multiplicação entre duas quantidades sendo a terceira quantidade, o produto das duas primeiras. E, as situações quaternárias estão nos eixos que estabelecem uma proporcionalidade, e essas situações são aquelas que estabelecem relações diretamente proporcionais (a teoria não estabeleceu uma classificação para as situações inversamente proporcionais). As quantidades envolvidas em cada situação podem ser do tipo discreto ou contínuo.

Figura 1: Estrutura do Campo Conceitual das Estruturas Multiplicativas

Fonte: Magina, Merlini e Santos (2014).

O que as pesquisas anteriores pontuam

De modo geral, estudos sobre o campo multiplicativo investigam o desempenho e as estratégias de resolução de estudantes em função da escolaridade, da idade, da comparação entre diferentes tipos de problemas e exploram a compreensão de estudantes sobre os princípios que envolvem as operações de multiplicação e divisão neste campo conceitual.

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Fischbein, Deri, Nello e Marino (1985) argumentam que as operações aritméticas geralmente permanecem ligadas a modelos comportamentais primitivos implícitos, em que tais modelos, para multiplicação e divisão, podem ser a fonte de equívocos tais como “o divisor deve ser o todo” e “a multiplicação sempre aumenta em relação a divisão”. Com base nesses pressupostos eles investigaram como estudantes de 5ª, 7ª e 9ª séries de escolas italianas escolhiam a operação para resolver problemas que envolviam a multiplicação ou divisão (por cotas ou partição). Os resultados evidenciaram que, apesar de estarem em séries mais avançadas, os estudantes utilizavam a adição de parcelas repetidas como resolução para as situações de multiplicação e a partição como resolução prototípica para a divisão. Apenas os estudantes da 9ª série buscaram soluções que envolvessem a divisão por cotas. Os autores presumem que há modelos pré-estabelecidos pelos estudantes para operar no campo multiplicativo.

Kouba (1989) realizou um estudo com crianças de três diferentes níveis escolares, que receberam dois problemas escritos de multiplicação e quatro de divisão que diferiam na estrutura semântica. As estratégias de solução das crianças foram classificadas por grau de abstração em representação direta, dupla contagem, contagem transicional, aditiva ou subtrativa, ou relembrar o fator numérico. As análises das estratégias indicaram a existência de um modelo intuitivo de multiplicação em duas etapas, dois modelos intuitivos comuns para divisão partitiva e divisão de medição, cada um deles relacionado a um modelo intuitivo de subtração e um terceiro modelo para divisão partitiva.

Pessoa e Matos Filho (2006) analisaram as habilidades dos estudantes de 3ª e de 5ª séries na resolução de problemas multiplicativos, além de observarem a influência do tempo de escolaridade neste desempenho, comparando as resoluções dos estudantes das duas séries analisadas. Como resultado, os autores identificam que os problemas de tipos mais complexos e provavelmente menos trabalhados em sala de aula e nos livros didáticos são os de maior percentual de erro relacional. Eles destacam no estudo que é necessário investir na diversificação dos tipos de problemas, nas suas formas de representação e nas situações apresentadas aos estudantes.

Lara (2011) apresenta um estudo de caso sobre a construção da estrutura multiplicativa, realizado com estudantes dos anos iniciais do Ensino Fundamental em uma

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escola pública. Por meio da análise de como resolveram duas situações-problema sobre multiplicação, foi constatado que estudantes do 1° e 2° anos tiveram desempenho melhor do que alguns do 4º e 5º anos, que já faziam o uso de algoritmos. Tal resultado permite refletir sobre a exigência usual quanto à memorização dos resultados de uma multiplicação, concebidos tradicionalmente como “tabuada”, vista como prejudicial aos estudantes no desenvolvimento da sua capacidade de pensar matematicamente, o que implica fazer estimativas e criar suas próprias estratégias de resolução.

O estudo desenvolvido por Zaran (2013) investigou o desempenho de estudantes do 5º ano do Ensino Fundamental de uma escola pública de São Paulo, em problemas do campo multiplicativo, a partir de dados da Prova Brasil, que foram indicativos para a formação de professores no âmbito do Programa Observatório da Educação, Edital 2010. Os resultados dão indícios de que a intepretação dada pelos estudantes aos problemas, por muitas vezes, não revela a percepção da relação entre operações e, algumas vezes, demostram que os estudantes realizaram a operação sem levar em conta o significado do contexto da situação.

Magina, Merlini e Santos (2014) analisaram o desempenho e as estratégias de estudantes dos 3º e 5º anos do Ensino Fundamental, de uma escola pública de São Paulo, na resolução de duas situações do Campo Conceitual Multiplicativo, classificando os níveis de raciocínio empregados por eles. A discussão centrou-se em duas classes de situações: uma envolvendo a correspondência um para muitos, e a outra, a correspondência de muitos para muitos. Os resultados apontaram para uma evolução limitada da competência dos estudantes ao lidarem com problema multiplicativo, onde os estudantes do 5º ano utilizaram prioritariamente estratégias com procedimentos multiplicativos, enquanto os do 3º ano usaram aditivos.

Santana, Lautert, Castro e Santos (2016), com base em dados parciais da pesquisa, demonstram preocupação em relação à compreensão dos estudantes sobre estruturas multiplicativas, uma vez que verificam que apesar do leve crescimento no desempenho ao longo da escolarização, o número de acertos ainda é baixo mesmo nos anos finais onde se esperava maior domínio desse campo conceitual.

Analisando-se a literatura na área, percebe-se também um interesse em investigar sobre a formulação e abordagem de problemas de estrutura multiplicativa, por parte dos

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professores que ensinam matemática na Educação Básica.

Num estudo com professores iniciantes e com professores já atuantes nas séries elementares, sobre as operações de multiplicação e divisão, Graeber, Tirosh e Glover (1989) exploraram se esses professores cometem os mesmos equívocos conceituais e se os equívocos cometidos apenas pelos professores iniciantes seriam semelhantes aos equívocos previamente identificados em crianças. Os autores buscaram, também, identificar se os professores iniciantes selecionavam a operação aritmética envolvida quando os problemas apresentavam dados explícitos. Os resultados sugerem claramente que os professores iniciantes são influenciados pelos mesmos modelos comportamentais para a multiplicação e a divisão encontrados com estudantes de 10 a 15 anos de idade, corroborando com Fischbein et al. (1985). Além disso, os erros mais comuns de professores iniciantes estão atrelados às dificuldades com a seleção de operações de multiplicação e divisão para problemas verbais, sugerindo que eles podem cometer outros erros mais básicos.

A pesquisa desenvolvida por Oliveira Filho (2009) apresenta uma análise da abordagem de problemas de estruturas aditivas e multiplicativas em livros didáticos do Ensino Fundamental, observando o impacto das edições do Plano Nacional do Livro Didático, publicadas entre 2004 e 2008, no tratamento dos problemas, quanto ao significado das operações apresentados e quanto as formas de representações simbólicas trabalhadas nas obras. No que tange às estruturas multiplicativas, não foram observadas mudanças nos tipos de problemas trabalhados nas edições analisadas, sendo encontradas diferentes representações, mas, com pouco estímulo ao uso de metodologias diferentes como o uso de jogos e de materiais manipuláveis.

Magina, Merlini e Santana (2013), ao analisarem situações-problema do Campo Multiplicativo, elaboradas por professores de Matemática do Ensino Fundamental ou médio, identificam que esses professores apresentam uma visão estreita desse Campo Conceitual, já que a maioria das situações-problema elaboradas é do eixo proporções simples, na classe “um para muitos”.

Spinillo, Soares, Moro e Lautert (2016) discutem acerca da interpretação que professores e futuros professores fazem dos erros de estudantes do Ensino Fundamental, na solução de problemas de estrutura multiplicativa. Os resultados apontam que os professores

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analisados identificaram erros de natureza procedimental, linguística e conceitual, além de identificarem os erros nos problemas de produto de medidas, sobretudo erros conceituais, e os erros nos problemas de isomorfismo de medidas, sobretudo os linguísticos.

Souza (2016), ao discutir o tipo de situação-problema que o professor dos anos finais do Ensino Fundamental elabora, em um estudo realizado em duas escolas públicas no interior da Bahia, envolvendo o campo conceitual multiplicativo, aponta para uma predominância, por parte desses professores, em elaborar situações cujo nível de complexidade é elementar.

Spinillo, Lautert, Borba, Santos e Silva (2017) investigaram como professores do Ensino Fundamental concebem e formulam situações-problema inseridas no campo conceitual das estruturas multiplicativas. Os resultados mostram que os professores compreendem o que uma situação multiplicativa significa e formulam problemas apropriadamente, sendo poucos os enunciados em que se omitem informações ou que apresentam imprecisões linguísticas. Verificou-se que a maioria dos problemas eram de um mesmo tipo, proporção simples, e envolviam apenas um passo para sua resolução.

Tendo como base o cenário construído com esses estudos, percebe-se que a resolução de problemas de estrutura multiplicativa pelos estudantes, em específico os de multiplicação e divisão, tem um valor inquestionável para a Educação Básica e o estudo de situações-problema pode ser estendido para além da compreensão da resolução e pensado, também, em termos da sua formulação pelos professores que ensinam matemática nesse nível escolar.

Assim, neste trabalho apresentamos um panorama do desempenho dos estudantes de todos anos que compreendem Ensino Fundamental ao resolverem problemas envolvendo a estrutura multiplicativa, nas suas diversas categorias, abrangendo tanto as relações quaternárias como ternárias, o que contribuirá para um mapeamento do que a escola ainda precisa trabalhar, visando a ampliação e apropriação deste campo conceitual, base da construção do conhecimento matemático.

Percurso metodológico

O E-Mult realizou uma pesquisa diagnóstica com estudantes do 1º ao 9º ano do Ensino Fundamental. Para este artigo, seguimos com uma abordagem quantitativa e de natureza

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descritiva e interpretativa, pois o método descritivo objetiva “a descrição das características de determinada população ou fenômeno” (GIL, 2002, p.42), complementado pelo método interpretativo que requer “[...] habilidades de observação, comparação, contraste e reflexões que todo humano possui” (ERICKSON, 1986, p. 157), fazendo uso da interpretação que privilegie observação e reflexão, de maneira sistemática e discutida.

Participaram 3.906 estudantes, de 12 escolas parceiras de três estados brasileiros (Bahia, Pernambuco e Ceará), distribuídos nos nove anos escolares.

O instrumento foi delineado de acordo com os pressupostos da TCC, assim as situações foram desenhadas a fim de contemplar as relações, os eixos, as classes, os tipos e as operações envolvidas, conforme apresentado na Figura 2.

Figura 2: Delineamento do instrumento diagnóstico

Fonte: Rede E-Mult (2013-2017).

Observa-se na Figura 2 que os eixos Proporção Dupla e Proporção Múltipla não foram contemplados no instrumento. Essa escolha foi feita devido à complexidade das situações dessa classe, que comumente são abordadas na escola apenas nos anos finais do Ensino Fundamental, e os resultados de estudos anteriores como o de Gitirana et al. (2014), indicavam baixo percentual de acerto dos estudantes dos anos iniciais do Ensino Fundamental

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nesse tipo de situação. Assim, a escolha metodológica foi da não necessidade desse diagnóstico nessa fase da pesquisa, tendo em vista a aplicação do instrumento com estudantes de todos os anos escolares desse nível de ensino.

No Quadro 1 apresentamos o enunciado de cada situação de acordo com sua classificação e a operação esperada em sua resolução.

Quadro 1: Estrutura do instrumento diagnóstico e siglas utilizadas para referenciar as situações Relação Eixo Classe Tipo Operação

fundamental Situação Enunciado

Q u at er n ár ia ( Q ) P ro p o rç ão s im p le s (P S ) Um para muitos (1xM) Disc Mult S1

Joana sabe que em um pacote há 6 biscoitos. Ela tem 5 pacotes. Quantos biscoitos Joana têm?

Um para muitos

(1xM) Disc Div S4

A Escola Recanto fará uma festa para 36 convidados. Em cada mesa ficarão 4 convidados. Quantas mesas a escola precisará alugar?

Um para muitos

(1xM) Cont Div S8

Um supermercado fez uma promoção: “Leve 4 litros de suco por apenas 12 reais”. Quanto vai custar cada litro de suco? Muitos para

muitos (MxM) Cont Mult S3

Para fazer 3 fantasias são necessários 5m de tecido. Ana tem 35m de tecido. Quantas fantasias ela pode fazer?

Muitos para

muitos (MxM) Cont Div S6

Caio comprou 9 caixas de suco e pagou 15 reais. Se ele comprasse 3 caixas de suco quanto precisaria pagar? Muitos para

muitos (MxM) Disc Mult S12

Em uma gincana na Escola Saber, a cada 3 voltas correndo na quadra o aluno ganha 4 pontos. Alex deu 15 voltas correndo na quadra. Quantos pontos ele marcou?

Te rn ár ia ( T) C o m p ar aç ão mu lt ip li ca ti v a (C M ) _desconhecidoReferido (Ref?) Cont Mult S2

A distância entre a casa de Luís e a escola é de 5 quilômetros e a casa de José é 4 vezes mais distante. Qual a distância entre a casa de José e a escola?

Relação desconhecida

(Rel?)

Disc Div S10

Cido tem uma coleção de 6 carrinhos e José tem uma coleção de 24 carrinhos. Quantas vezes a coleção de Cido é menor do que a de José?

Referido desconhecido

(Ref?)

Disc Div S13 Ontem Tonho tinha 18 figurinhas. E hoje ele tem 3 vezes menos. Quantas figurinhas ele tem hoje?

P ro d u to d e me d id as (P M ) Configuração retangular (CR) Cont Mult S5

Rute quer mudar o piso do quarto dela. Este quarto tem 3m de largura e 6m de comprimento. Quantos metros quadrados, de piso, Rute precisa comprar?

Cont Div S7 A área do jardim da casa de Vera é retangular e tem 24m

2_{. A}

largura é 4m. Qual é comprimento em metros desse jardim?

Combinatória (Comb)

Disc Div S9

A Lanchonete do Ernani vende 15 tipos de sanduíches. Para cada sanduíche é usado apenas um tipo de pão e um tipo de recheio. Tem 3 tipos de pão (leite, integral e francês). Quantos tipos de recheio são necessários para fazer todos os tipos de sanduíches?

Disc Mult S11

Na aula de dança de forró tinha 6 rapazes (Alex, Beto, Caio, Davi, Edu, Ivo) e 4 moças (Mari, Fabi, Lara, Suzi). Todas as moças dançaram com todos os rapazes. Quantos casais diferentes foram formados?

Legenda: T = Ternária; Q = Quaternária; PM = Produto de Medidas; CM = Comparação Multiplicativa; OS = Proporção simples; 1xM = Um para Muitos; MxM = Muitos para Muitos; Cont = Contínua; Disc = Discreta; Mult = Multiplicação; Div = Divisão.

A coluna situação, do Quadro 1, apresenta a ordem na qual as situações compuseram o instrumento diagnóstico. A S1 foi escolhida como a primeira, por ser a de menor complexidade, trata-se de uma situação de relação quaternária (Q), do Eixo Proporção

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Simples (PS), da Classe “Um para Muitos” (1xM), que pode ser resolvida com a operação de multiplicação (Mult); uma vez que um dos elementos (quantidade) é igual a um, facilita a realização da operação, pois esse é o elemento neutro da multiplicação. As demais situações foram ordenadas por meio de um sorteio, com o objetivo que o grau de complexidade das situações fosse aleatorizado no instrumento.

O instrumento foi aplicado de forma coletiva, com duração de duas horas aula. O aplicador leu cada uma das situações para os estudantes, independente do ano escolar em que se encontravam e deixou os estudantes resolverem de forma individual. Para isso, foi fornecido a cada estudante, lápis, borracha e um livreto contendo as 13 situações, sendo no máximo duas situações por página. Para cada situação havia um espaço para registrar a resposta e um espaço destinado os registros e procedimentos utilizados pelos estudantes no processo de resolução. As respostas foram categorizadas em corretas (1) ou não corretas (0) que incluía as erradas e as deixadas em branco.

Os dados foram transcritos para uma planilha eletrônica e foram analisados utilizando o pacote estatístico Statistical Package for the Social Sciences (SPSS). Para comparar o desempenho dos estudantes no instrumento foi criada a variável número de respostas corretas, que variou de zero a treze. Para analisar se o desempenho médio variou por ano escolar foi utilizado o teste F e para verificar em quais anos haviam diferenças foi utilizado o teste de comparações múltiplas de Tukey.

Para analisar a complexidade das situações por categorias (relações, eixo, classe, tipo e operação fundamental), foi calculada a taxa de acerto. Neste caso, foram consideradas apenas as situações respondidas de forma correta. Para analisar diferenças entre as taxas de acerto pelas categorias de análise, foi utilizado o teste Qui-quadrado. O Nível de significância utilizado foi 5%.

Principais resultados

Desempenho dos estudantes

No Quadro 2 e na Figura 3 apresentamos o desempenho dos estudantes ao longo dos nove anos do Ensino Fundamental e podemos observar que esse vai aumentando à medida

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que a escolaridade avança, sendo essas diferenças estatisticamente significativas (F(8,3891) =

407,7; p = 0,000). O teste de comparações múltiplas de Tukey indica não haver diferença significativa entre o 1º e 2º ano e entre o 6º e 7º ano.

Quadro 2: Desempenho médio dos estudantes nas estruturas multiplicativas no Ensino Fundamental Ano escolar Nº de estudantes Média (1) Desvio Padrão Intervalo de confiança

de 95% para média _Mínimo _Máximo Limite inferior Limite superior 1º 402 0,34 a 0,674 0,27 0,40 0 4 2º 391 0,80 a 1,090 0,69 0,90 0 6 3º 591 1,47 b 1,662 1,34 1,61 0 8 4º 483 2,10 c 1,815 1,94 2,26 0 9 5º 569 3,18 d 2,179 3,00 3,36 0 11 6º 471 4,31 e 2,650 4,07 4,55 0 12 7º 395 4,78 e 2,919 4,49 5,07 0 12 8º 364 5,82 f 2,821 5,53 6,11 0 13 9º 240 7,19 g 3,311 6,77 7,61 0 13 Total 3906 3,05 2,969 2,95 3,14 0 13

(1) Letras iguais indicam médias iguais segundo o teste de comparações múltiplas de Tukey. Fonte: Rede E-Mult (2013-2017).

Figura 3: Desempenho médio dos estudantes nas estruturas multiplicativas no Ensino Fundamental

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situação por ano e, no 9º ano os estudantes respondem corretamente 50% das situações. Este resultado deve ser analisado de forma mais minuciosa a fim de compreendermos em que tipo de situações os estudantes apresentam mais dificuldade ou qual das suas características as tornam mais complexas.

Assim, a seguir apresentamos o desempenho dos estudantes por situação segundo categoria de análise.

Desempenho dos estudantes por situação segundo categoria de análise

No Quadro 3 apresentamos a taxa de desempenho de todos os estudantes (independentemente do ano escolar) nas 13 situações, agrupados de acordo com as categorias de análise, bem como o resultado do teste Qui-quadrado e nesse podemos observar que as taxas diferem significativamente.

Quadro 3: Taxa de acerto e resultado do teste Qui-quadrado, segundo categorias de análise das estruturas multiplicativas

Categorias de análise (*)

Relações Eixos Classes Tipo OF

Q T PS CM PM 1xM MxM Ref? Rel? CR Comb Disc Cont Mult Div

Taxa (%) 28,5 19,1 28,5 24,5 15,1 43,7 13,3 29,4 14,8 16,4 13,9 22,9 24,1 28,9 18,8

Qui-quadrado 609,43 940,15 4.279,40 9,91 714,22

Graus de

liberdade 1 2 5 1 1

p-valor 0,000 0,000 0,000 0,002 0,000

(*) As siglas encontram-se no Quadro 1

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Figura 4: Taxa de acerto segundo categorias de análise das estruturas multiplicativas

(*) As siglas encontram-se no Quadro 1

A taxa de acerto nas 13 situações foi de 23,4%. Quando agrupamos as seis situações que envolvem relações quaternárias verificamos uma taxa de 28,5%, superior à taxa nas sete situações que envolvem relações ternárias, que foi de 19,1%, isto é, quase 50% menor. Analisando por eixo, dentro das relações ternárias verificamos que a taxa na comparação multiplicativa foi de 24,5%, maior do que a taxa no produto de medidas, 15,1%, menor em quase 40%.

Quando analisamos a taxa por classe, verificamos que dentro da proporção simples, a classe um para muitos se destaca isoladamente com 43,7%, quando comparado ao 13,3% da classe muito para muitos, que é um pouco mais do que o triplo. Dentro do eixo da comparação multiplicativa, as situações envolvendo os referidos apresentam uma taxa superior (29,4%), quando comparado com a situação que envolve relação desconhecida (14,8%), isto é quase o dobro.

Quando agrupamos as situações por tipo verificamos que as situações envolvendo quantidades discretas apresentam uma taxa de 22,9% e as situações que envolvem quantidades contínuas 24,1%, muito próximas. Quando agrupamos as situações que envolvem a multiplicação, a taxa foi de 28,9% e nas situações que envolvem divisão a taxa cai para

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18,8%.

Na Figura 5 apresentamos as situações agrupadas pelas classes e podemos observar que apenas 5 das 13 situações atingem taxas acima da média, sendo as três situações da Proporção simples, um para muitos (S1, S4 e S8), a de comparação multiplicativa com referente desconhecido (S2) e a de configuração Retangular (S5), estes dois últimos envolvendo a operação de multiplicação.

Na Figura 6 apresentamos a trajetória nas seis situações envolvendo proporção simples, ao longo dos nove anos escolares, e podemos observar a regularidade dessas trajetórias. No caso das três situações da classe “um para muitos”, verificamos que só na S1 que envolve a operação de multiplicação apresenta a maior taxa, quando a operação é a divisão verificamos uma queda substancial, da ordem de 20%. A taxa nas três situações da classe “muitos para muitos” não apresentam diferenças, sendo que até o 5º ano chega a 10% e no 9º ano chegam a 50% de acerto. O nível médio é um pouco menos do que um terço do acerto na classe “um para muitos”.

O que podemos concluir é que nas situações “um para muitos” a taxa de acerto cai quando envolve a operação de divisão; já nas situações “muitos para muitos” oferece mais complexidade para os estudantes e isso independe da operação (multiplicação ou divisão) ou do tipo (discreto ou contínuo).

Figura 5: Taxa de acerto segundo categorias de análise das estruturas multiplicativas

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Figura 6: Taxa de acerto nas situações de Proporção simples

Na Figura 7 apresentamos a trajetória nas três situações envolvendo comparação multiplicativa, ao longo dos nove anos escolares. Podemos verificar que a maior taxa é alcançada na situação que envolve referido desconhecido e as palavras do enunciado são congruentes, com operação de multiplicação. As outras duas situações que envolvem uma relação desconhecida e um referente desconhecido, ambas com operação de divisão, a taxa cai substancialmente. Verificamos também que nessas duas situações a taxa é inferior a 30% até o 8º ano e no 9º ano chegam a 43%.

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Figura 7: Taxa de acerto nas situações de Comparação multiplicativa

Na Figura 8 apresentamos a trajetória nas quatro situações envolvendo a classe de “Produto de medidas”, ao longo dos nove anos escolares.

Figura 8: Taxa de acerto nas situações de Produto de medidas

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Podemos verificar que a maior taxa é alcançada na situação que envolve a configuração retangular com operação de multiplicação (S5), e a menor taxa numa situação da mesma classe, porém com operação de divisão. A taxa nas duas situações de combinatória ficam num nível intermediário, porém esta é a única classe na qual o desempenho na situação que envolve divisão supera a taxa na situação que envolve multiplicação.

Na Figura 9 apresentamos a taxa de acerto com as situações agrupadas conforme a relação (ternária ou quaternária).

Figura 9: Taxa de acerto nas situações agrupadas pela relação

Podemos observar que ao longo dos nove anos escolares as maiores taxas de acerto ocorrem nas situações que envolvem uma relação quaternária. Esse resultado traz indícios que o trabalho com os conceitos nas relações quaternárias podem estar sendo mais amplo ou mais efetivo do que com as situações que envolvem as ternárias.

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Considerações finais

A análise das respostas dadas pelos estudantes do 1º ao 9º ano do Ensino Fundamental, para as 13 situações do Campo Conceitual Multiplicativo, revela taxas de crescimento do desempenho ao longo dos nove anos escolares, sendo que entre o 1º e 2º ano e entre o 6º e 7º ano, as diferenças não são estatisticamente significativas, mas os anos de escolaridade parecem influenciar no desempenho dos estudantes. A maior taxa média de acerto geral ocorre no 9º ano, contudo esse não passa de 60%.

Em todos os anos escolares as taxas de acerto foram maiores nas situações quaternárias em comparação com as ternárias. Dentre as situações quaternárias os melhores desempenhos ocorreram em situações do eixo proporção simples classe “um para muitos”. O que nos leva a refletir sobre a relação do que é ensinado pela escola e no que os professores apresentam aos estudantes como situações multiplicativas, pois o perfil apresentado por parte dos professores desses estudantes ao elaborarem situações multiplicativas, é a elaboração de situações-problema do eixo proporções simples, na classe “um para muitos” (MAGINA, MERLINI; SANTANA, 2013). Essa relação pode explicar os melhores desempenhos dos estudantes, o professor pode estar dando mais atenção ao ensino dessa classe e eixo de situações, em detrimento das demais.

As taxas médias de desempenho ao longo dos nove anos escolares nas situações ternárias ficam abaixo de 50%, indicando que nas situações de maior complexidade relacional a taxa de acerto é menor, o que corrobora com os estudos de Pessoa e Matos Filho (2006), ao analisarem as habilidades de estudantes de 3ª e 5ª séries ao resolverem situações multiplicativas, observaram que existe influência do tempo de escolaridade no desempenho. Além disso, os autores chegam a se referir que situações-problema de maior complexidade são provavelmente menos trabalhadas em sala de aula e nos livros didáticos, pois são essas as que apresentam maior percentual de erro relacional. Mesmo investigando apenas dois anos escolares, os autores tecem as mesmas reflexões desse estudo, pois mesmo o desempenho sendo crescente ao longo dos anos escolares, as dificuldades parecem ser maiores nas situações mais complexas, que podem ser referentes a esquemas de resolução que buscam apenas o algoritmo da operação envolvida sem a compreensão do enunciado da situação.

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Ao se observar o desempenho em relação à operação (multiplicação ou divisão) esperada para a resolução da situação, as taxas de acerto são menores nas situações que se espera uma divisão na resolução. Fischbein et al. (1985) argumentam que as operações aritméticas geralmente permanecem ligadas a modelos comportamentais primitivos implícitos, e que podem existir modelos pré-estabelecidos para o uso dessas operações, isso pode conduzir os estudantes ao erro na operacionalização.

No geral, o desempenho dos estudantes se apresenta aquém das expectativas para o Ensino Fundamental, uma vez que é esperado que um estudante do 6º ano domine as quatro operações fundamentais do campo aritmético (adição, subtração, multiplicação, divisão,), visto que a partir do 7º ano inicia-se o campo algébrico. Nesse sentido, estes resultados indicam que é preciso refletir a respeito do ensino do Campo Conceitual Multiplicativo, pois as ações de ensino a serem desenvolvidas em sala de aula precisam contemplar o trabalho com os diferentes conceitos e relações pertinentes a esse Campo, visando um amplo domínio pelo estudante.

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Recebido em: 02 de setembro de 2018 Aprovado em: 07 de janeiro de 2019