Ensaios Econômicos. Desempenho de Estimadores de Volatilidade na Bolsa de Valores de São Paulo. Outubro de Escola de. Pós-Graduação.

(1)

Ensaios Econômicos

Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas N◦ ₄₅₈ _{ISSN 0104-8910}

Desempenho de Estimadores de Volatilidade

na Bolsa de Valores de São Paulo

Marcelo Fernandes, Bernardo de Sá Mota

(2)

Os artigos publicados são de inteira responsabilidade de seus autores. As

opiniões neles emitidas não exprimem, necessariamente, o ponto de vista da

Fundação Getulio Vargas.

ESCOLA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ECONOMIA Diretor Geral: Renato Fragelli Cardoso

Diretor de Ensino: Luis Henrique Bertolino Braido Diretor de Pesquisa: João Victor Issler

Diretor de Publicações Cientícas: Ricardo de Oliveira Cavalcanti

Fernandes, Marcelo

Desempenho de Estimadores de Volatilidade na Bolsa de Valores de São Paulo/ Marcelo Fernandes, Bernardo de Sá Mota Rio de Janeiro : FGV,EPGE, 2010

(Ensaios Econômicos; 458) Inclui bibliografia.

(3)

Desempenho de Estimadores de Volatilidade na

Bolsa de Valores de S˜

ao Paulo

Bernardo de S´a Mota

Escola de Pós-Gradua¸cão em Economia, Funda¸cão Getulio Vargas Praia de Botafogo, 190, 22253-900 Rio de Janeiro, Brasil

E-mail: bernardo@fgvmail.br Marcelo Fernandes

Escola de Pós-Gradua¸cão em Economia, Funda¸cão Getulio Vargas Praia de Botafogo, 190, 22253-900 Rio de Janeiro, Brasil

E-mail: mfernand@fgv.br

Resumo: O objetivo deste trabalho é avaliar o desempenho de diferentes métodos de extra¸cão da volatilidade do Índice da Bolsa de Valores de São Paulo (IBOVESPA) tendo como referência a volatilidade realizada. Comparamos modelos da fam´ılia GARCH com estimadores alternativos baseados em cota¸cões de abertura, fechamento, máximo e m´ınimo. Os resultados indicam que os estimadores alternativos são tão precisos quanto os modelos do tipo GARCH, apesar de serem muito mais econômicos em termos computacionais.

Classifica¸c˜ao do JEL:C22, G12.

Palavras Chave: Martingala local, valor em risco, varia¸cão quadrática, variância realizada.

Agradecimentos: Os autores são gratos a Osmani Guillén, João Victor Issler, Hedibert Lopes, e Pedro Saffi pelos comentários e ao apoio financeiro prestado por CAPES, CNPq, FAPERJ, e PRONEX. Qualquer erro é de exclusiva responsabilidade dos autores.

(4)

1 Introdu¸

c˜

ao

O estudo da volatilidade tem grande importância na área de finan¸cas, em especial no apre¸camento de derivativos e no gerenciamento de risco. Em particular, para calcular o valor em risco (VaR), a precisão da estimativa de volatilidade é fundamental. Métodos com diversos graus de dificuldade de implementa¸cão têm sido utilizados na extra¸cão da volatilidade. O mais simples é o desvio padrão histórico, que atribui peso uniforme para todas as observa¸cões. Em contraste, o alisamento exponencial (EWMA) atribui peso maior para as observa¸cões mais recentes, mas apresenta o inconveniente da escolha arbitrária do peso utilizado. Os modelos da fam´ılia GARCH e de volatilidade estocástica não sofrem destes problemas, de modo que são bastante utilizados na literatura. Cabe citar ainda a metodologia de volatilidade impl´ıcita, que extrai a volatilidade compat´ıvel com os pre¸cos de op¸cões observados através de modelos de apre¸camento de op¸cões à la Black-Scholes.

Apesar da maioria dos estudos utilizando modelos do tipo GARCH e de volatilidade estocástica encontrarem coeficientes altamente significantes, estes modelos exibem um fraco desempenho em termos de previsão do retorno futuro ao quadrado. Andersen & Bollerslev (1998) demonstram que o problema não reside no poder de previsão dos modelos, mas sim na base de compara¸cão. Apesar de ser um estimador não viesado da variância, o retorno ao quadrado é altamente volátil e inconsistente. Andersen & Bollerslev sugerem então uma base de compara¸cão alternativa denominada variância realizada, que é um estimador assintoticamente livre de erro. Andersen & Bollerslev mostram ainda que os modelos da fam´ılia GARCH apresentam boas previsões da variância realizada.

Diversos modelos de extra¸cão de volatilidade são regularmente aplicados às séries financeiras brasileiras. Pereira, Hotta, Souza & Almeida (1999) e Issler (1999) analisam o desempenho de diversos modelos em termos de ajuste e previsão para as séries de taxa de câmbio (BRL/USD), t´ıtulo

(5)

da d´ıvida brasileira (C-Bond) e Telebrás PN. Os resultados mostram que os modelos de volatilidade estocástica (Pereira et al. 1999) e EGARCH (Issler 1999) são os melhores em termos de previsões um passo a frente. Sobrinho (2001) realiza um estudo similar para o ´ındice da Bolsa de Valores de São Paulo (IBOVESPA), comparando modelos da fam´ılia GARCH e de volatilidade estocástica. Os resultados mostram que o modelo EGARCH(1,1) possui o melhor desempenho.

Neste trabalho investigamos o desempenho dos estimadores alternativos de Garman & Klass (1980) — doravante estimadores GK — na extra¸cão da volatilidade do IBOVESPA através da metodologia desenvolvida por Andersen & Bollerslev (1998). Mais especificamente, mensuramos a precisão das estimativas e previsões de cada estimador GK com base na volatilidade realizada do IBOVESPA. Os estimadores GK têm como principal caracter´ıstica a facilidade de implementa¸cão, pois dependem apenas de dados publicados diariamente nas se¸cões de finan¸cas de jornais especializados, a saber cota¸cões de abertura, fechamento, máximo e m´ınimo. Para efeito de compara¸cão, examinamos também a acurácia dos modelos do tipo GARCH, usualmente adotados pela literatura. Os resultados são de certa forma surpreendentes, pois indicam que alguns estimadores GK têm desempenho comparável aos dos modelos GARCH.

O restante do trabalho está estruturado da seguinte forma. A se¸cão 2 descreve estatisticamente os dados e introduz a nota¸cão utilizada ao longo do trabalho. A se¸cão 3 apresenta a metodologia da volatilidade realizada e a estimativa da volatilidade do IBOVESPA. As se¸cões 4 e 5 apresentam as estimativas dos modelos da fam´ılia GARCH e as medidas alternativas de volatilidade de Garman & Klass (1980), respectivamente. A se¸cão 6 avalia o desempenho dos diversos estimadores em termos de aderência e previsão um passo a frente, além da precisão das respectivas medidas de valor em risco. Finalmente, a se¸cão 7 tece alguns comentários finais.

(6)

2 Base de Dados e Nota¸

c˜

ao

Nesta se¸cão apresentamos uma descri¸cão estat´ıstica dos dados utilizados e introduzimos a nota¸cão empregada ao longo do trabalho. Utilizamos as séries de retornos diários, de cota¸cões de abertura, fechamento, máximos, e m´ınimos, além de uma série dos retornos intra-diários do IBOVESPA à vista. Classificamos as amostras da seguinte maneira: (i) dados de retornos diários abrangendo o per´ıodo de 01/08/1994 até 24/10/2001; (ii) cota¸cões de abertura, fechamento, máximo e m´ınimo, abrangendo o per´ıodo de 01/08/1994 até 24/10/2001; (iii) dados de retornos intra-diários abrangendo o per´ıodo de 06/04/1998 a 24/10/2001.1 _{Os retornos intra-diários foram} obtidos a partir da última cota¸cão observada em cada intervalo de 15 minutos.

2.1 S´erie de retornos di´arios

Particionamos a amostra dos retornos diários em dois conjuntos. O primeiro cobre o per´ıodo de 01/08/1994 a 03/04/1998, e serve para a estima¸cão dos parâmetros dos modelos da fam´ılia GARCH, enquanto que realizamos previsão um passo à frente na segunda sub-amostra (06/04/1998 a 24/10/2001). Consideramos então, três subconjuntos da amostra para efeito de análise, as duas parti¸cões mencionadas e a amostra completa. A Figura 1 apresenta, além da evolu¸cão do IBOVESPA (em log) entre agosto de 1994 e outubro de 2001, as respectivas séries de retorno e de volatilidade realizada.

A Figura 1 evidencia diferentes regimes de volatilidade no primeiro subconjunto da amostra, validando a aplica¸cão de modelos de heterocedasticidade condicional. O primeiro regime consiste em um pequeno per´ıodo de baixa volatilidade, seguido por um per´ıodo de alta volatilidade devido provavelmente à crise do México em dezembro de 1994. Em seguida, a mudan¸ca da banda de flutua¸cão da taxa de câmbio brasileira em mar¸co 1 _{Betina D. Martins (DEE, PUC-Rio) forneceu gentilmente a série do IBOVESPA com} amostras em intervalos de 15 minutos (fonte: CMA).

(7)

de 1995 aparentemente não altera o regime de elevada volatilidade na BOVESPA. Segue-se uma nova redu¸cão da volatilidade, que volta a a se elevar somente após a crise da Ásia em outubro de 1997. Percebemos ainda um per´ıodo de alta volatilidade associado à moratória da Rússia em agosto de 1998, seguido de baixa volatilidade. Destacamos também o forte impacto no grau de incerteza causado pelo ataque terrorista em 11 de setembro.

A Tabela 1 documenta as principais estat´ısticas descritivas para as três sub-amostras. Em comum, todas as sub-amostras rejeitam da hipótese de normalidade. As estat´ısticas de Jarque & Bera (1980) e seus respectivos p-valores indicam a rejei¸cão da hipótese nula ao n´ıvel de confian¸ca de 99%. Como a rejei¸cão é praticamente ditada pelo excesso de curtose, a estima¸cão de modelos de heterocedasticidade condicional se mostra natural. Encontramos ainda evidência a favor de autocorrela¸cão tanto no primeiro subconjunto da amostra quanto na amostra inteira. A autocorrela¸cão foi detectada pela estat´ıstica Q de Ljung & Box (1978) e pela fun¸cão de autocorrela¸cão amostral. Não encontramos nenhuma evidência de autocorrela¸cão no segundo subconjunto da amostra. Independentemente da amostra, a fun¸cão de autocorrela¸cão amostral e a estat´ıstica Q indicam evidência de autocorrela¸cão positiva no quadrado do retorno.

2.2 Nota¸c˜ao

Nas próximas se¸cões deste trabalho utilizaremos a seguinte nota¸cão. Denotaremos o logaritmo do IBOVESPA avaliado no instante t por pt. Considerando m observa¸cões por dia, os retornos intra-diários serão escritos como

rm,t ≡ pt− pt−1

m, (1)

onde t = 1/m, 2/m, . . . O retorno diário é então r1,t ≡ pt− pt−1. Em tempo cont´ınuo, o retorno instantâneo é simplesmente rt ≡ limm→∞rm,t ≡ dpt, enquanto que a sua variância instantânea é σ2

(8)

3 Volatilidade Realizada

Nesta se¸c˜ao apresentamos a metodologia de extra¸c˜ao de volatilidade desenvolvida por Andersen & Bollerslev (1998). Em seguida, apresentamos a estimativa que obtivemos para o IBOVESPA segundo esta metodologia.

3.1 Metodologia

Para que possamos fazer uso dos resultados de Andersen & Bollerslev (1998) temos que fazer certas hipóteses sobre o processo gerador dos dados. Assumiremos que o IBOVESPA é gerado por uma difusão

dpt= µtdt + σtdWt, (2)

onde µté um componente de arrastamento càdlàg (cont´ınuo à direita, com limite à esquerda), σt um processo estocástico estritamente estacionário de volatilidade, e Wt um movimento Browniano padrão. O processo descrito em (2) é extremamente flex´ıvel e geral, permitindo volatilidade estocástica e um arrastamento caracterizado por saltos (Andersen, Bollerslev, Diebold & Labys 2001). Nelson (1990a) mostra inclusive que, no limite em tempo cont´ınuo, os modelos GARCH convergem para processos de difusão que são casos particulares de (2).

Por simplicidade, vamos assumir que o termo de arrastamento µt´e nulo em (2). Podemos ent˜ao escrever o pre¸co em t da seguinte maneira

pt= p0+ Z t

0

σsdWs. (3)

Os retornos amostrais intra-diários são então rm,t = pm,t− p_m,t−1 m = Z t t−1 m σsdWs = Z _m1 0 σ_t−1 m+τdWt− 1 m+τ, (4) onde t = 1/m, 2/m, . . .

Assumindo que Wte σts˜ao independentes, e condicionando a esperan¸ca matem´atica no caminho amostral da volatilidade©σ2

s ªt+1 s=t, temos que Ehr1,t+1|©σs2 ªt+1 s=t i = 0. (5)

(9)

Adicionalmente, Varhr_1,t+12 ¯¯ ¯©σ 2 s ªt+1 s=t i = Z t+1 t σ2_sds,

devido `a isometria de Itˆo. Portanto, podemos afirmar que r1,t+1|©σ2s

ªt+1

s=t ∼ N (0, Ωt+1) , (6)

onde Ωt+1 ≡ R₀1σ2t+τdτ é a variância integrada (Andersen & Bollerslev 1998). Como a variância integrada não é observável, precisamos estimá-la.

Assumindo que cada dia possui m observa¸c˜oes intra-di´arias, obtemos r_1,t+12 ≡ ³Pm j=1rm,t+_mj ´2 = m X j=1 r2 m,t+_mj + 2 m X j=1 m X i=j+1 r_m,t+j mrm,t+ i m. (7) Combinando (6) e (7), chega-se a Eh ³Pm j=1rm,t+_mj ´2¯ ¯ ¯©σ 2 s ªt+1 s=t i = E³r2_1,t+1¯¯ ¯©σ 2 s ªt+1 s=t ´ = Ωt+1, e portanto Eh ³Pm j=1rm,t+_mj ´2i = E¡r2 1,t+1¢ = E (Ωt+1) . Deste modo, ³Pm j=1rm,t+_mj ´2 e r2

1,t+1 são ambos estimadores não tendenciosos da variância Ωt+1. O estimador clássico r21,t+1 apresenta no entanto um sério inconveniente. Como sua variância é constante independentemente do tamanho da amostra, o estimador clássico é inconsistente.

Se a série de retornos não apresenta autocorrela¸cão, E¡r2 1,t+1¢ = E ³ Pm j=1r2_m,t+j m ´ , (8) onde ˆσ2 m,t ≡ Pm j=1r_m,t+2 j m

é o estimador de variância realizada. Andersen & Bollerslev (1998) demonstram que, na ausência de autocorrela¸cão serial, a variância realizada satisfaz

plim_m→∞ µZ 1 0 σ_t+τ2 dτ − ˆσ2_m,t ¶ = 0. (9)

(10)

Em outras palavras, a variância realizada é um estimador consistente para a variância integrada (ver Andersen et al. 2001). Denomina-se volatilidade realizada a raiz quadrada positiva da variância realizada.

Oomen (2001) ilustra a diferen¸ca entre os dois estimadores no caso discreto, concluindo que a variˆancia realizada ˆσ2

m,t ´e mais precisa que o estimador cl´assico r2

1,t. Enquanto que o último envolve ru´ıdo na estima¸cão da volatilidade diária, o primeiro é livre de erros de medida quando m é suficientemente grande. Entretanto, se os intervalos de observa¸cão dentro do dia forem muito pequenos (m muito grande), podemos ter viés na estimativa devido aos fenômenos de micro-estrutura (por exemplo, ausência de transa¸cões). Portanto existe um problema de escolha do intervalo de amostragem. Andersen et al. (2001) propõem o uso de retornos de cinco em cinco minutos. Oomen (2001) argumenta que a freqüência ótima para os seus dados é 25 minutos, com base na observa¸cão do comportamento da volatilidade realizada e dos termos cruzados na equa¸cão (7). Giot & Laurent (2001) obtém para os dados que analisam uma freqüência ótima de 15 minutos. A freqüência dos nossos dados intra-diários é de 15 minutos, e os valores da estat´ıstica Q de Ljung-Box sugerem autocorrela¸cão em apenas 15% dos dias estudados.

Na verdade, a presen¸ca de autocorrela¸cão não invalida a metodologia econométrica que utilizamos, pois Bandorff-Nielsen & Shephard (2001, 2002) demonstram a consistência da variância realizada sob condi¸cões mais gerais. Mais especificamente, eles supõem que o retorno segue um semi-martingala do tipo r∞,t= µt+ ξt, onde o componente de arrastamento µt tem varia¸cão limitada em qualquer sub-intervalo finito do intervalo [0, ∞), e ξt é um martingala local (por exemplo, dξt = σtdWt). Desta maneira, permite-se que os retornos intra-diários sejam correlacionados e ainda assim mantém-se a propriedade de consistência da variância realizada.

Neste trabalho escreveremos a variˆancia realizada da seguinte maneira: ˆ σ_32,t2 = 32 X j=1 r_32,t+j/322 , t = 1, . . . , 867 (10)

(11)

onde 32 indica o número de observa¸cões intra-diárias e 867 o número de dias observados. Apresentamos a volatilidade realizada na Figura 1, que ilustra bem o fato que a variância do estimador clássico r2

1,t é superior a variância do estimador de variância realizada.

4 Modelos da fam´ılia GARCH

O objetivo desta se¸cão é apresentar os modelos da fam´ılia GARCH utilizados para estimar e prever a volatilidade diária. Analisamos duas formas para a equa¸cão da média condicional do retorno. Na primeira, a volatilidade não impacta a média, enquanto que na segunda permitimos esta possibilidade. A introdu¸cão de um termo relacionando a variância condicional com a média condicional tem um forte apelo econômico. Agentes avessos ao risco exigem uma compensa¸cão em termos de retorno, de acordo com o grau de risco do ativo. A primeira formula¸cão de modelos de heterocedasticidade condicional com efeito feedback entre os dois primeiros momentos é o modelo ARCH-M desenvolvido por Engle, Lilien & Robins (1987).

Como encontramos sinais de dependência temporal nos retornos diários na segunda se¸cão, especificamos um modelo autoregressivo para a média condicional. Temos então a seguinte forma funcional

r1,t = ϕ + δ r1,t−1+ θ σt|t−1+ εt, (11) onde εt|Ψt−1 ∼ N ³ 0, σ2 t|t−1 ´

e Ψt−1 ´e o conjunto de informa¸c˜ao dispon´ıvel no instante t − 1 de tempo.2

O primeiro modelo estimado é o ARCH desenvolvido por Engle (1982). Este modelo busca capturar retornos com caudas pesadas e caracterizados por agrupamentos na volatilidade, que são fatos estilizados em finan¸cas. 2 _{Como a estat´ıstica de Ljung-Box apresenta resultados diferentes de acordo ao} per´ıodo analisado, também estimamos recursivamente o coeficiente autoregressivo da média condicional. Apesar das estimativas estabilizarem apenas após a desvaloriza¸cão cambial em fevereiro de 1999, a varia¸cão inicial não se mostra significativa nos n´ıveis usuais de significância. Resolvemos então manter a especifica¸cão da média condicional dada por (11), de modo a evitar problemas de excesso de aderência normalmente associados a modelos mais complexos.

(12)

O segundo é o GARCH proposto por Bollerslev (1986), que modela de forma mais parcimoniosa a estrutura de autocorrela¸cão. Estes dois modelos entretanto, não capturam o efeito alavancagem sugerido por Black (1976), segundo o qual, choques negativos têm um impacto maior na volatilidade do que choques positivos. Estimamos ainda os modelos EGARCH (Nelson 1990b) e TARCH (Zakoian 1994) no intuito de capturar o efeito alavancagem. Os modelos são estimados considerando a média condicional em (11) com θ irrestrito e restrito a zero. Os modelos irrestritos com θ variando livremente são individuados por um M adicional.

4.1 Sele¸c˜ao dos modelos

Utilizamos os critérios de informa¸cão de Akaike e de Schwarz, e o teste de razão de verossimilhan¸ca para selecionar a estrutura de defasagens mais adequada. Realizamos as compara¸cões separadamente para cada um dos modelos, ARCH(-M), GARCH(-M), EGARCH(-M) e TARCH(-M).

De acordo com o critério de informa¸cão de Akaike, o modelo mais adequado seria o ARCH(8), enquanto que segundo o critério de informa¸cão de Schwarz seria o ARCH(7). Fizemos então o teste de razão de verossimilhan¸ca, sendo a hipótese alternativa um ARCH(8) e a nula um ARCH(7). Não encontramos evidência para rejeitar a nula, ao n´ıvel usual de 5% de significância, de modo que impor a restri¸cão α8 = 0 não altera significativamente a aderência do modelo. No segundo modelo do tipo ARCH, assumimos a hipótese de impacto da volatilidade na média condicional. Ambos os critérios de informa¸cão indicam que o modelo mais adequado é um ARCH-M(7), embora as estimativas apresentadas na Tabela 2 evidenciem que os coeficientes α5 e α6 não são estatisticamente diferentes de zero. Portanto, selecionamos a mesma fun¸cão cedástica para ambos os modelos σ_t|t−12 = ω + 7 X j=1 αjε2t−j. (12)

(13)

de defasagens, tanto para o GARCH como para o GARCH-M, são do tipo (1,1). Segundo o critério de informa¸cão de Akaike, as estruturas mais adequadas, que coincidiram novamente, são do tipo (3,3). Fizemos o teste de razão de verossimilhan¸ca, com a hipótese nula sendo um GARCH(1,1) e a alternativa um GARCH(3,3) e encontramos evidência para rejeitar a nula, ao n´ıvel de confian¸ca de 95%. Obtivemos ainda evidência contra a nula caracterizada pelo modelo GARCH-M(1,1), considerando um GARCH-M(3,3) como alternativa. Portanto, os modelos selecionados são de terceira ordem com variância condicional dada por

σ_t|t−12 = ω + 3 X j=1 αjε2t−j+ 3 X j=1 βjσ_{t−j|t−j−1}2 . (13)

No caso dos modelos EGARCH (k = 5) e EGARCH-M (k = 6), o critério de informa¸cão de Akaike aponta a melhor estrutura de defasagem como sendo (2,3). Já de acordo com o critério de informa¸cão de Schwarz, a estrutura de defasagem (1,1) é a mais adequada. O teste de razão de verossimilhan¸ca rejeita o modelo mais parcimonioso ao n´ıvel de 5% de significância. A variância condicional, neste caso, é dada por

log σ_t|t−12 = ω + 3 X j=1 (αj| ηt−j| + γjηt−j) + 2 X j=1 βj log σ2_{t−j|t−j−1}, (14)

onde ηt ≡ εt/σt|t−1.Os parâmetros α2, γ2, e α3 do EGARCH(2,3) não são significantes ao n´ıvel de confian¸ca de 95%, ver Tabela 3. No caso do EGARCH-M(2,3), os parâmetros α2 e γ2 também não são significantes (ver Tabela 3). Entretanto, de acordo com a metodologia de sele¸cão adotada estes foram os modelos selecionados e os manteremos para posteriores estudos.

Ambos os critérios de informa¸cão sugerem que uma estrutura de defasagem de primeira ordem é a mais adequada para os modelos TARCH e TARCH-M. Portanto, a variância condicional é dada por

σ_t|t−12 = ω +hα1+ γ1I(εt< 0) i

ε2_t−1+ β1σ2_t−1|t−2, (15) ondeI(·) denota a fun¸c˜ao indicadora.

(14)

4.2 Resultados

As estimativas reportadas na Tabela 2 mostram que diversos parâmetros não são estatisticamente diferentes de zero. Por exemplo, o coeficiente θ associado ao impacto da volatilidade na média condicional não se mostra estatisticamente diferente de zero ao n´ıvel de significância de 5% em nenhuma instância. Decidimos manter os modelos irrestritos, pois os modelos restritos geram resultados qualitativamente parecidos. A partir dos modelos estimados, podemos calcular a volatilidade estimada em cada instante do tempo e realizar previsão um passo à frente. A Figura 2 apresenta a volatilidade estimada por cada modelo do tipo GARCH utilizando a amostra completa, enquanto que a Figura 3 exibe as previsões um passo à frente. Para a análise fora da amostra, estimamos o modelo até o per´ıodo t, e então fazemos a previsão para o per´ıodo t + 1. Em t + 1, reestimamos o modelo e fazemos a previsão para t + 2, e assim por diante.

Para avaliar as diversas especifica¸cões da fun¸cão cedástica, investigamos os res´ıduos padronizados ˆηt ≡ ˆεt/ˆσt|t−1. Não encontramos evidência de correla¸cão serial, indicando que o modelo autoregressivo de primeira ordem para a média condicional é suficiente para capturar a autocorrela¸cão do IBOVESPA.3 _{Não encontramos evidência de correla¸cão serial nas séries} dos res´ıduos padronizados ao quadrado nos modelos EGARCH e ARCH, indicando que estes modelos capturam bem o agrupamento de volatilidade. Encontramos porém uma fraca autocorrela¸cão de segunda ordem nos quadrados dos res´ıduos padronizados dos modelos GARCH e TARCH.

Realizamos ainda um teste de normalidade condicional dos res´ıduos padronizados pensando na aplica¸cão do modelo de valor em risco Gaussiano. Para isto testamos se ˆηt∼ N (0, 1) através do teste de Jarque & Bera (1980). Os resultados rejeitando a hipótese nula ao n´ıvel de significância de 5% não são surpreendentes em vista dos coeficientes de assimetria e curtose dos res´ıduos padronizados na Tabela 3. Deste modo, calcularemos o valor em 3 _{As estat´ısticas Q até a trigésima sexta ordem n˜}_{ao s˜}_{ao significantes ao n´ıvel de} confian¸ca de 95%.

(15)

risco (se¸c˜ao 6.2) a partir da distribui¸c˜ao emp´ırica dos res´ıduos padronizados em vez de assumir, como usualmente feito na literatura, a normalidade dos mesmos.

5 Medidas Alternativas de Volatilidade

Apresentamos nesta se¸c˜ao, os estimadores GK, que objetivam extrair medidas de volatilidade considerando apenas dados usualmente publicados na se¸c˜ao de finan¸cas de jornais especializados. Garman & Klass (1980) assumem o seguinte processo gerador de dados

dpt= σ dWt, (16)

onde a volatilidade σ ´e constante. Como (16) ´e uma caso particular de (2), a metodologia que empregamos para avaliar as estimativas de volatilidade se mostra bastante natural e conveniente.

5.1 Estimadores

Denote a fra¸cão do dia em que a bolsa está fechada por f . Sejam os pre¸cos de fechamento de ontem e hoje dados por Ct−1e Ct, respectivamente. Denotaremos por Oto pre¸co de abertura hoje, o máximo e o m´ınimo no dia por Hte Lt, respectivamente. As cota¸cões de máximo, m´ınimo e fechamento normalizadas pelo pre¸co de abertura são definidas por ut = Ht − Ot, dt= Lt− Ot e ct= Ct− Ot, respectivamente.

O primeiro estimador abordado por Garman & Klass (1980) ´e o estimador cl´assico

GK0,t≡ (Ct− Ct−1)2= r21,t. (17)

Este estimador foi utilizado durante muito tempo na literatura para avaliar as estimativas derivadas de modelos do tipo GARCH por proporcionar um estimador não viesado da variância. Andersen & Bollerslev (1998) demonstram entretanto que (17) envolve considerável erro de medida.

(16)

O segundo estimador adiciona informa¸c˜ao sobre a cota¸c˜ao de abertura: GK1,t= (Ot− Ct−1)2 2f + c2 t 2(1 − f ). (18)

Definindo a eficiência relativa de um estimador em rela¸cão ao estimador clássico GK0,t a partir da razão entre suas variâncias, Garman & Klass (1980) mostram que GK1,t traz ganhos de eficiência ao reduzir à metade a variância da estimativa.

O terceiro estimador, atribu´ıdo à Parkinson (1976), procura aproveitar da informa¸cão contida nas cota¸cões de m´ınimo e máximo, mas assume que o mercado opera de forma cont´ınua (f = 0):

GK2,t=

(ut− dt)2

4 log 2 . (19)

Garman & Klass (1980) demonstram que este estimador é bem mais eficiente que o anterior, pois utiliza informa¸cão sobre o que ocorreu dentro do dia, e não apenas uma foto do in´ıcio (ou fim) do dia de transa¸cão. Seguindo a mesma linha de Parkinson (1976), Garman & Klass (1980) chegam a um estimador ainda mais eficiente usando não apenas as cota¸cões de máximo e m´ınimo, mas também de abertura e fechamento. O quarto estimador pode ser escrito então como

GK3,t= a

(Ot− Ct−1)2

f + (1 − a)

(ut− dt)2

4 log 2 (1 − f ), (20)

onde a ´e uma constante, que Garman & Klass argumentam minimizar a variˆancia do estimador caso a = 0, 17.

Garman & Klass buscam ainda um estimador não viesado com menor variância na classe estimadores invariantes à escala com f = 0. O melhor estimador anal´ıtico invariante à escala é dado por

GK4,t= 0, 511 (ut− dt)2− 0, 019 [ct(ut+ dt) − 2 utdt] − 0, 383 c2t. (21) Garman & Klass apresentam uma modifica¸c˜ao de GK4, que elimina os produtos cruzados em (21):

(17)

Este estimador apresenta quase a mesma eficiˆencia que GK4,t, mas tem a vantagem de ser mais pr´atico.

O último estimador promove uma simples altera¸cão em GK4,tpara levar em considera¸cão o fato do mercado fechar (0 < f < 1):

GK6,t= a(Ot− Ct−1) 2

f + (1 − a)

GK4,t

1 − f . (23)

Garman & Klass (1980) afirmam que a = 0, 12 minimiza a variância deste estimador, tornando-o mais eficiente que GK4. As estimativas de volatilidade obtidas a partir de (17) a (23) estão apresentadas na Figura 4. 5.2 Dinâmica para previsão

O maior inconveniente dos estimadores GK é a ausência de dinâmica, em contraste com os modelos da fam´ılia GARCH. Assim, para realizar previsões com base nestes estimadores, temos que assumir algum tipo de dinâmica para o processo da volatilidade. Podemos pensar nesta dinâmica como uma tentativa de captar o fluxo de informa¸cões do mercado.

Como na se¸cão 2 encontramos evidências de agrupamento de volatilidade, propomos então o emprego de modelos do tipo ARMA: GKi,t = p X j=1 βjGKi,t−j + ²t+ q X `=1 α`²t−`, i = 0, . . . , 6 (24) onde ²t é um ru´ıdo branco e (p, q) ∈ {(1, 0), (2, 0), (1, 1), (2, 2)}. Mais especificamente, assumimos 4 modelos alternativos [AR(1), AR(2), ARMA(1,1) e ARMA(2,2)] para a dinâmica da volatilidade conforme medida pelos estimadores GK. A Figura 5 exibe as previsões fora da amostra considerando uma dinâmica ARMA(1,1). Omitimos os resultados das demais dinâmicas devido ao fato de serem visualmente muito similares.

Assim como no caso dos estimadores da fam´ılia GARCH, testamos a normalidade dos res´ıduos padronizados. Os resultados do teste de Jarque & Bera na Tabela 4 sugerem a rejei¸cão da hipótese de normalidade dos res´ıduos padronizados ao n´ıvel de 5% de significância. Em particular, os res´ıduos padronizados exibem leve assimetria e um elevado excesso de curtose.

(18)

Ademais, notamos que os retornos padronizados dos modelos GARCH apresentam um menor excesso de curtose, mas um maior coeficiente de assimetria (em magnitude) que os retornos padronizados pelos estimadores alternativos de volatilidade.

6 Avalia¸

c˜

ao dos estimadores de volatilidade

Nesta se¸cão confrontamos as estimativas e previsões fora da amostra derivadas dos diferentes modelos da fam´ılia GARCH e dos estimadores alternativos, baseando-nos na variância realizada. Temos portanto um total de 15 estimadores, 7 deles propostos por Garman & Klass e 8 estimadores da fam´ılia GARCH. Quanto às previsões fora da amostra, temos 8 obtidas a partir dos modelos do tipo GARCH, além de quatro para cada um dos 7 estimadores GK.

De maneira análoga a Andersen & Bollerslev (1998), avaliamos as estimativas e previsões em rela¸cão à variância realizada. Utilizamos três medidas de desempenho: (1) a raiz do erro quadrático médio (REQM ); (2) erro absoluto médio (EAM ); e (3) desempenho dos estimadores quando aplicados à extra¸cão do valor em risco (VaR). Uma alternativa seria considerar o apre¸camento de op¸cões para avaliar o desempenho dos estimadores de volatilidade. A idéia consiste em montar uma carteira de op¸cões e verificar qual estimador de volatilidade proporciona um maior retorno. Andrade (1996) realiza um estudo desse gênero para uma carteira de op¸cões de Telebrás, concluindo que os estimadores GK não apresentam bons resultados. Entretanto, White (2000) critica exatamente esse tipo de análise por ser fortemente dependente de uma única realiza¸cão do processo estocástico gerador dos dados e sugere um teste de realidade calcado em técnicas de reamostragem.4

4 _{Saffi (2002) elabora uma aplica¸c˜}_{ao do teste de realidade de White (2000) para o} IBOVESPA futuro.

(19)

6.1 REQM e EAM

As duas primeiras medidas de desempenho, REQM e EAM , dão uma no¸cão do quão distante estão as estimativas da variância realizada:

REQM (x) = " 1 T T X t=1 ¡xt− ˆσ32,t2 ¢2 #1/2 , (25) EAM (x) = 1 T T X t=1 ¯ ¯xt− ˆσ232,t ¯ ¯, (26) onde © ˆσ2 32,t ªT

t=1 é a série de variância realizada, T o número de dias na amostra, e {xt}Tt=1 a série de estimativas ou previsões da variância de um determinado modelo.

No caso das estimativas de volatilidade a Tabela 5 evidencia que o modelo EGARCH-M(2,3) tem o melhor desempenho na classe GARCH segundo ambas as medidas. Quanto aos estimadores alternativos, segundo o REQM o melhor é o GK4, e GK5 de acordo ao EAM . Considerando todos os estimadores, o EGARCH-M(2,3) é o melhor segundo a medida REQM , enquanto que GK5 apresenta o melhor desempenho de acordo ao EAM . Ao considerarmos a qualidade dos modelos da fam´ılia GARCH para prever volatilidade na Tabela 6, o EGARCH(2,3) apresenta a melhor performance segundo ambas as medidas. Dentre os modelos autoregressivos propostos para os estimadores GK, a Tabela 7 indica que as melhores previsões derivam do estimador GK4 com dinâmica ARMA(2,2), que apesar da simplicidade possui desempenho comparável aos modelos do tipo GARCH.

6.2 Valor em risco

Define-se o valor em risco (VaR) como a perda esperada máxima em um dado horizonte de tempo a um certo n´ıvel de confian¸ca. Temos portanto, dois parâmetros de escolha, o horizonte de tempo e o n´ıvel de confian¸ca. Seja p1,to logaritmo do pre¸co do ativo em questão no dia t, podemos definir a perda esperada máxima em t em termos de retorno:

(20)

Se a abordagem fosse param´etrica, usualmente assumir´ıamos normalidade condicional, de modo que

r1,t− δ r1,t−1− θ σt|Ψt−1∼ N¡0, σt2¢ . (27)

Formalmente podemos definir a medida VaR1,t como o limite superior de um intervalo de confian¸ca unilateral

Pr [r1,t− δ r1,t−1− θ σt< −VaR1,t|Ψt−1] = α, (28) onde 1 − α ´e o n´ıvel de confian¸ca do intervalo. Note que estamos definindo o valor VaR1,tcomo positivo, pois trata-se de uma perda. A partir da equa¸c˜ao (28) podemos definir o VaR1,t. Seja x∗α tal que

α = Φ (x∗_α) = Z x∗_α −∞ φ(x)dx, logo, VaR1,t = x∗ασt. (29)

Devido à rejei¸cão da normalidade, consideramos também um VaR semi-paramétrico substituindo a distribui¸cão normal padrão Φ(·) pela distribui¸cão emp´ırica dos res´ıduos padronizados. Calculamos as previsões do VaR diário ao n´ıvel de confian¸ca de 90%, 95% e 99% para todos os modelos do tipo GARCH e estimadores GK. Para efeito de ilustra¸cão, apresentamos nas Figuras 6 e 7 apenas as previsões baseadas respectivamente nos modelos GARCH e de Garman & Klass com dinâmica ARMA(1,1) ao n´ıvel de confian¸ca de confian¸ca de 95%.

6.2.1 Avalia¸c˜ao das previs˜oes do VaR

Para avaliarmos a qualidade das previsões do VaR, conduzimos um exerc´ıcio de backtesting. Mais precisamente, determinamos intervalos de confian¸ca para o número de vezes que observa-se uma perda maior do que a prevista, isto é, o número de falhas do VaR. Sob a hipótese de que o modelo está correto esperar´ıamos que uma freqüência relativa (absoluta) de falhas de no máximo 0,10 (87 vezes), 0,05 (44 vezes) e 0,01 (9 vezes) conforme o n´ıvel de

(21)

confian¸ca. A Tabela 8 documenta apenas os resultados do VaR emp´ırico, embora a discussão a seguir mencione alguns resultados do VaR baseado na distribui¸cão normal padrão.

Ao n´ıvel de confian¸ca de 90%, os modelos ARCH(-M) e GARCH(-M) não satisfazem completamente. Em especial, os ARCH(-M) apresentam um número de falhas que se situa fora do intervalo de confian¸ca. Já os modelos EGARCH(-M) e TARCH-M apresentam um número de falhas dentro do intervalo de confian¸ca. Quando avaliado ao n´ıvel de confian¸ca de 95%, o VaR baseado na distribui¸cão emp´ırica não apresenta muita diferen¸ca no caso dos modelos do tipo GARCH em rela¸cão ao VaR calculado a partir da distribui¸cão normal. Temos uma melhora substancial ao n´ıvel de confian¸ca de 99%, o VaR emp´ırico, reduz o número de falhas em todos os casos quando comparamos com o VaR Gaussiano. Em particular, se situam sempre dentro do intervalo de confian¸ca.

No caso dos estimadores alternativos, o VaR Gaussiano se caracterizou por poucos modelos com o número de falhas dentro do intervalo de confian¸ca, conforme esperado haja vista a não normalidade dos res´ıduos padronizados. O VaR emp´ırico apresentou um grande avan¸co. Para todos os n´ıveis de confian¸ca estudados (90%, 95% e 99%) os resultados melhoram substancialmente. Em particular, GK4 e GK5 apresentam excelentes resultados, pois para todos os n´ıveis de confian¸ca estudados o número de falhas foi estatisticamente igual ao esperado. Ao n´ıvel de 90% de significância, todos estimadores, independentemente da dinâmica empregada, exibem um número de falhas compat´ıvel com o esperado. Ao n´ıvel de 95% de confian¸ca, apenas os GK2 e GK3 não apresentam bons resultados. Já ao n´ıvel de confian¸ca de 99%, além dos GK2 e GK3, apenas o GK6 não se mostra adequado.

Em resumo, ao utilizarmos a distribui¸cão emp´ırica para calcularmos o valor em risco, encontramos resultados bem favoráveis aos estimadores GK4 e GK5, independentemente da escolha da dinâmica para previsão (ver Tabela 8). Os modelos EGARCH(-M) e TARCH(-M) também se apresentam muito

(22)

bem, enquanto que o número de falhas dos modelos GARCH(-M) ficam muito próximos ao limite superior do intervalo de confian¸ca. Os modelos ARCH(-M) extrapolam o intervalo de confian¸ca para o número de falhas apenas ao n´ıvel de confian¸ca de 90% (ver Tabela 8). Portanto, comprovamos mais uma vez que os estimadores GK desempenham tão bem quanto os modelos do tipo GARCH usualmente empregados pela literatura.

7 Conclus˜

oes

Neste trabalho estimamos uma medida de volatilidade para o IBOVESPA, ainda não utilizada em trabalhos para o mercado brasileiro, denominada variância realizada. A variância realizada tem duas propriedades importantes para um estimador da variância: ausência de viés e consistência. Estas propriedades tornam este estimador mais adequado que o estimador clássico dado pelo retorno ao quadrado, que é inconsistente, apesar de não viesado.

Comparamos as estimativas de modelos da fam´ılia GARCH com estimadores GK com base na volatilidade realizada, de maneira análoga a Andersen & Bollerslev (1998). Conclu´ımos que, em geral, os estimadores GK4 e GK5 apresentam resultados comparáveis aos dos modelos do tipo GARCH, apesar de serem muito mais simples. Para os estimadores alternativos não é necessário de um procedimento de especifica¸cão e sele¸cão de modelos, que torna mais complexa e demorada a tarefa de estima¸cão da volatilidade.

O excelente desempenho dos estimadores GK abre novos horizontes para a análise de causalidade na variância. Os modelos GARCH multivariados são extremamente dif´ıceis de serem estimados, enquanto que uma análise calcada em variâncias realizadas exigiria uma base de dados intra-diários. Os estimadores GK são facilmente calculados a partir de dados diários de fácil acesso, a saber cota¸cões de fechamento, abertura, máximo e m´ınimo. Com efeito, pretendemos investigar padrões de causalidade na variância entre os

(23)

principais mercados financeiros da Am´erica Latina a partir de um modelo vetor autoregressivo para as estimativas GK.

(24)

Referˆ

encias

Andersen, T. G. & Bollerslev, T. (1998), ‘Answering the skeptics: Yes, standard volatility models do provide accurate forecasts’, International Economic Review 39, 885–905.

Andersen, T. G., Bollerslev, T., Diebold, F. X. & Labys, P. (2001), Modeling and forecasting realized volatility, Working Paper 8160, NBER. Andrade, S. C. (1996), Estima¸c˜ao da volatilidade para hedge de carteiras

de op¸cões: Um teste de eficiência, Disserta¸cão de Mestrado, Escola de Pós-Gradua¸cão em Economia, Funda¸cão Getulio Vargas.

Bandorff-Nielsen, O. E. & Shephard, N. (2001), How accurate is the asymptotic approximation to the distribution of realised volatility?, University of Aarhus and University of Oxford.

Black, F. (1976), Studies of stock price volatility changes, in ‘Proceedings of the 1976 Meetings of the Business and Economic Statistics Section’, American Statistical Association, pp. 177–181.

Bollerslev, T. (1986), ‘Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity’, Journal of Econometrics 31, 307–327.

Engle, R. F. (1982), ‘Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation’, Econometrica 50, 987–1008.

Engle, R. F., Lilien, D. & Robins, R. (1987), ‘Estimation of time-varying risk premia in the term structure: The ARCH-M model’, Econometrica 55, 391–407.

Garman, M. B. & Klass, M. J. (1980), ‘On the estimation of security price volatilities from historical data’, Journal of Business 53, 67–78. Giot, P. & Laurent, S. (2001), Modelling daily value-at-risk using realized

volatility and ARCH type models, Maastricht University.

Issler, J. V. (1999), ‘Estimating and forecasting the volatility of Brazilian financial series using ARCH models’, Brazilian Review of Econometrics 19, 5–56.

(25)

Jarque, C. M. & Bera, A. K. (1980), ‘Efficient tests for normality, heteroskedasticity and serial independence of regression residuals’, Economics Letters 6, 255–259.

Ljung, G. M. & Box, G. E. P. (1978), ‘On a measure of lack of fit in time series models’, Biometrika 65, 297–303.

Nelson, D. (1990a), ‘ARCH models as diffusion approximations’, Journal of Econometrics 45, 7–38.

Nelson, D. (1990b), ‘Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach’, Econometrica 59, 347–370.

Oomen, R. (2001), Using high frequency stock market index data to calculate, model and forecast realized return variance, Working Paper ECO 2001/6, European University Institute.

Parkinson, M. (1976), The random walk problem: Extreme value method for estimating the variance of the displacement (diffusion constant), University of Florida.

Pereira, P. L. V., Hotta, L. K., Souza, L. A. R. & Almeida, N. M. C. G. (1999), ‘Alternative models to extract asset volatility: A comparative study’, Brazilian Review of Econometrics 19, 57–109.

Saffi, P. A. C. (2002), Análise Técnica – Sorte ou Realidade?, Disserta¸cão de Mestrado, Escola de Pós-Gradua¸cão em Economia, Funda¸cão Getulio Vargas.

Sobrinho, N. F. S. (2001), ‘Extra¸c˜ao da volatilidade do IBOVESPA’, Resenha BM&F 144, 17–39.

White, H. (2000), ‘A reality check for data snooping’, Econometrica 68, 1097–1126.

Zakoian, J. (1994), ‘Threshold heteroskedastic models’, Journal of Economic Dynamics and Control 18, 931–955.

(26)

10−10−1995 19−12−1996 04−03−1998 24−05−1999 04−08−2000 24−10−2001 7 8 9 10 10−10−1995 19−12−1996 04−03−1998 24−05−1999 04−08−2000 24−10−2001 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 10−10−1995 19−12−1996 04−03−1998 24−05−1999 04−08−2000 24−10−2001 0 0.1 0.2 0.3 0.4

Retorno (valor absoluto) Volatilidade Realizada

(27)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 ARCH(7)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 ARCH−M(7)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 GARCH(2,3)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 GARCH−M(2,3)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0

0.05 0.1

EGARCH(2,3)

0.05 0.1

EGARCH−M(2,3)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 TARCH(2,3)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 TARCH−M(2,3)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 Volatilidade realizada

(28)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 ARCH(7)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 ARCH−M(7)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 GARCH(2,3)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 GARCH−M(2,3)

0.05 0.1

EGARCH(2,3)

0.05 0.1

EGARCH−M(2,3)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 TARCH(2,3)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 TARCH−M(2,3)

(29)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.1 0.2 0.3 0.4 GK0

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.1 0.2 0.3 0.4 GK1

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.1 0.2 0.3 0.4 GK2

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.1 0.2 0.3 0.4 GK3

Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 GK3

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 GK5

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.1 0.2 0.3 0.4 GK6

(30)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 GK0

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.1 0.2 0.3 0.4 GK1

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 GK2

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.1 0.2 0.3 0.4 GK3

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 GK4

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.05 0.1 0.15 0.2 GK5

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 0 0.1 0.2 0.3 0.4 GK6

(31)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 VaR − ARCH(7) − IC 95%

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 VaR − ARCH−M(7) − IC 95%

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 VaR − GARCH(2,3) − IC 95%

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 VaR − GARCH−M(2,3) − IC 95%

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 VaR − EGARCH(2,3) − IC 95%

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 VaR − EGARCH−M(2,3) − IC 95%

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 VaR − TARCH(1,1) − IC 95%

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 VaR − TARCH−M(1,1) − IC 95%

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 −0.2

−0.15 −0.1 −0.05 0

VaR − Volatilidade realizada − IC 95%

(32)

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 VaR − GK0 − IC 95%

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 GK5 − IC 95%

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 GK6 − IC 95%

Jun98 Jun99 Jul00 Jul01 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 Volatilidade realizada − IC 95%

(33)

Tabela 1

Estat´ısticas descritivas do retorno di´ario do IBOVESPA

08/94-03/98 04/98-10/01 08/94-10/01 média 0,0011 0,0000 0,0006 mediana 0,0027 -0,0005 0,0013 desvio padrão 0,0276 0,0289 0,0282 assimetria 0,1299 0,9308 0,5451 curtose 11,2830 18,5123 15,1223 máximo 0,2281 0,2882 0,2882 m´ınimo -0,1622 -0,1723 -0,1723 Jarque-Bera 2.603,95 (0,0000) 8.818,00 (0,0000) 10.968,43 (0,0000) Q1(1) 6,5167 (0,0107) 0,0528 (0,8183) 3,6652 (0,0556) Q1(6) 34,9963 (0,0000) 7,0667 (0,3147) 27,9115 (0,0001) Q1(36) 95,3183 (0,0000) 58,6540 (0,0099) 87,6765 (0,0000) Q2(1) 39,1090 (0,0000) 77,9103 (0,0000) 127,7993 (0,0000) Q2(6) 302,2346 (0,0000) 124,5584 (0,0000) 322,9401 (0,0000) Q2(36) 473,0041 (0,0000) 175,2550 (0,0000) 477,2864 (0,0000)

Números em parênteses indicam p-valores. Q1(k) e Q2(k) referem-se às

estat´ısticas de Ljung-Box nas s´eries de retorno e retorno ao quadrado com k defasagens, respectivamente.

(34)

Tabela 2

Estimativas dos modelos do tipo GARCH

ARCH(7) ARCH-M(7) GARCH(3,3) GARCH-M(3,3) EGARCH(3,2) EGARCH-M(3,2) TARCH(1,1) TARCH-M(1,1)

m´edia condicional ϕ 0,002(0,0006) 0,007(0,0017) 0,002(0,0006) 0,003(0,0016) 0,001(0,0006) 0,002(0,0015) 0,002(0,0007) 0,003(0,0018) δ 0,105(0,0320) 0,105(0,0354) 0,080(0,0318) 0,078(0,0335) 0,111(0,0342) 0,105(0,0352) 0,123(0,0329) 0,119(0,0347) θ 0,005(0,0861) -0,062(0,0819) -0,065(0,0819) -0,065(0,0936) variˆancia condicional ω(×100) 0,01(0,0018) 0,01(0,0018) 0,003(0,0012) 0,003(0,0011) -8,95(0,0365) -9,11(0,0365) 0,003(0,0007) 0,003(0,0007) α1 0,224(0,0507) 0,224(0,0515) 0,159(0,0282) 0,252(0,0280) 0,197(0,0725) 0,194(0,0722) 0,069(0,0338) 0,066(0,0331) α2 0,245(0,0405) 0,244(0,0405) 0,253(0,0256) 0,120(0,0252) -0,005(0,1312) 0,008(0,1312) α3 0,126(0,0528) 0,126(0,0529) 0,123(0,0297) 0,120(0,0295) -0,131(0,0682) -0,141(0,0685) α4 0,099(0,0384) 0,098(0,0387) α5 0,060(0,0466) 0,059(0,0466) α6 -0,022(0,0266) -0,022(0,0266) α7 0,172(0,0454) 0,170(0,0453) γ1 -0,157(0,0448) -0,159(0,0450) γ2 0,051(0,0767) 0,055(0,0773) γ3 0,106(0,0445) 0,103(0,0447) β1 -0,452(0,0323) -0,450(0,0310) 1,652(0,0902) 1,650(0,0902) 0,768(0,0315) 0,775(0,0317) β2 0,166(0,0302) 0,168(0,0293) -0,657(0,0889) -0,655(0,0909) β3 0,749(0,0263) 0,753(0,0251) φ 0,234(0,0472) 0,238(0,0466) 32

(35)

Tabela 3

Estat´ısticas descritivas do retornos padronizados por modelos do tipo GARCH

Jarque-Bera assimetria curtose

ARCH(7) 83,9777 (0,0000) -0,3446 4,3610 ARCH-M(7) 86,9283 (0,0000) -0,3514 4,3839 GARCH(3,3) 99,8338 (0,0000) -0,3139 4,5404 GARCH-M(3,3) 113,0404 (0,0000) -0,2661 4,6881 EGARCH(2,3) 82,4896 (0,0000) -0,2312 4,4395 EGARCH-M(2,3) 115,011 (0,0000) -0,2939 4,6858 TARCH(1,1) 51,1379 (0,0000) -0,2050 4,1177 TARCH-M(1,1) 55,1701 (0,0000) -0,2103 4,1627 variˆancia realizada 7,4322 (0,0243) 0,1238 2,6197 Os p-valores seguem em parˆenteses.

(36)

Tabela 4

Estat´ısticas descritivas dos retornos padronizados pelos estimadores alternativos

Jarque-Bera assimetria curtose Jarque-Bera assimetria curtose

GK0 AR(1) 1.108,5 (0,0000) 0,0056 8,5425 GK0 ARMA(1,1) 703,674 (0,0000) 0,0356 7,4155 AR(2) 1.334,3 (0,0000) -0,2109 9,0662 ARMA(2,2) 1.246,9 (0,0000) -0,2007 8,8648 GK1 AR(1) 1.509,7 (0,0000) 0,1150 9,4641 GK4 AR(1) 1.402,9 (0,0000) 0,0338 9,2350 AR(2) 1.550,8 (0,0000) -0,1216 9,5512 AR(2) 1.017,3 (0,0000) 0,1564 8,3005 ARMA(1,1) 1.019,8 (0,0000) 0,1252 8,3103 ARMA(1,1) 878,774 (0,0000) 0,2788 7,9033 ARMA(2,2) 1.229,6 (0,0000) -0,0251 8,8372 ARMA(2,2) 832,134 (0,0000) 0,2620 7,7735 GK2 AR(1) 1.002,1 (0,0000) -0,0818 8,2674 GK5 AR(1) 1.378,9 (0,0000) 0,0258 9,1816 AR(2) 766,63 (0,0000) -0,0068 7,6093 AR(2) 999,25 (0,0000) 0,1478 8,2541 ARMA(1,1) 612,608 (0,0000) 0,0780 7,1174 ARMA(1,1) 857,769 (0,0000) 0,2714 7,8453 ARMA(2,2) 509,592 (0,0000) 0,0948 6,7532 ARMA(2,2) 812,049 (0,0000) 0,2538 7,7166 GK3 AR(1) 991,91 (0,0000) -0,0857 8,2402 GK6 AR(1) 1.217,7 (0,0000) -0,0321 8,8088 AR(2) 757,47 (0,0000) -0,0098 7,5816 AR(2) 894,58 (0,0000) 0,0767 7,9768 ARMA(1,1) 604,213 (0,0000) 0,0754 7,0892 ARMA(1,1) 721,927 (0,0000) 0,2056 7,4540 ARMA(2,2) 504,317 (0,0000) 0,0907 6,7341 ARMA(2,2) 677,585 (0,0000) 0,1828 7,3179 Os p-valores seguem em parˆenteses.

(37)

Tabela 5

Desempenho dos estimadores da variˆancia do IBOVESPA

estimativa REQM EAM estimativa REQM EAM

ARCH(7) 0,1341 0,0496 GK0 0,2946 0,0694 ARCH-M(7) 0,1257 0,0481 GK1 0,4682 0,1020 GARCH(3,3) 0,1238 0,0497 GK2 0,1182 0,0279 GARCH-M(3,3) 0,1110 0,0466 GK3 0,3886 0,0957 EGARCH(2,3) 0,0674 0,0387 GK4 0,0678 0,0222 EGARCH-M(2,3) 0,0641 0,0385 GK5 0,0684 0,0221 TARCH(1,1) 0,0711 0,0391 GK6 0,3279 0,0940 TARCH-M(1,1) 0,0710 0,0391 Tabela 6

Desempenho das previs˜oes dos modelos do tipo GARCH

previs˜ao REQM EAM

ARCH(7) 0,1599 0,0554 ARCH-M(7) 0,1569 0,0547 GARCH(2,3) 0,1449 0,0554 GARCH-M(2,3) 0,1401 0,0554 EGARCH(2,3) 0,0677 0,0400 EGARCH-M(2,3) 0,0682 0,0402 TARCH(1,1) 0,0815 0,0428 TARCH-M(1,1) 0,0801 0,0425

(38)

Tabela 7

Desempenho das previs˜oes dos estimadores alternativos

previs˜ao REQM EAM previs˜ao REQM EAM

GK0 AR(1) 0,1298 0,0601 GK0 ARMA(1,1) 0,1372 0,0553 AR(2) 0,1599 0,0595 ARMA(2,2) 0,1682 0,0592 GK1 AR(1) 0,1841 0,0951 GK4 AR(1) 0,0759 0,0325 AR(2) 0,2316 0,0960 AR(2) 0,0754 0,0316 ARMA(1,1) 0,1960 0,0921 ARMA(1,1) 0,0711 0,0293 ARMA(2,2) 0,2426 0,0950 ARMA(2,2) 0,0710 0,0289 GK2 AR(1) 0,1045 0,0373 GK5 AR(1) 0,0762 0,0325 AR(2) 0,1054 0,0361 AR(2) 0,0756 0,0316 ARMA(1,1) 0,0971 0,0341 ARMA(1,1) 0,0713 0,0293 ARMA(2,2) 0,1000 0,0335 ARMA(2,2) 0,0713 0,0289 GK3 AR(1) 0,2864 0,1134 GK6 AR(1) 0,2164 0,1083 AR(2) 0,2912 0,1140 AR(2) 0,2192 0,1083 ARMA(1,1) 0,2748 0,1115 ARMA(1,1) 0,2120 0,1065 ARMA(2,2) 0,2837 0,1091 ARMA(2,2) 0,2198 0,1059

(39)

Tabela 8

Desempenho das previs˜oes em termos de VaR

n´umero de falhas n´umero de falhas

previs˜ao 90% 95% 99% previs˜ao 90% 95% 99% ARCH(7) 106 45 7 ARCH-M(7) 106 44 7 GARCH(3,3) 100 53 10 GARCH-M(3,3) 98 53 10 EGARCH(2,3) 89 43 9 EGARCH-M(2,3) 84 44 9 TARCH(1,1) 89 48 7 TARCH-M(1,1) 88 47 8 GK0 AR(1) 67 48 1 GK0 ARMA(1,1) 73 47 1 AR(2) 77 49 3 ARMA(2,2) 81 49 4 GK1 AR(1) 68 46 9 GK4 AR(1) 74 39 12 AR(2) 72 47 11 AR(2) 73 34 14 ARMA(1,1) 76 44 8 ARMA(1,1) 75 38 13 ARMA(2,2) 80 47 11 ARMA(2,2) 78 40 14 GK2 AR(1) 85 62 50 GK5 AR(1) 73 39 14 AR(2) 86 63 49 AR(2) 72 39 16 ARMA(1,1) 88 66 49 ARMA(1,1) 75 38 14 ARMA(2,2) 97 70 52 ARMA(2,2) 79 41 16 GK3 AR(1) 85 62 50 GK6 AR(1) 77 49 22 AR(2) 86 63 49 AR(2) 78 47 22 ARMA(1,1) 88 66 49 ARMA(1,1) 78 46 22 ARMA(2,2) 97 70 52 ARMA(2,2) 81 48 27 37