ANÁLISE TERMO-MECÂNICA EM ELASTICIDADE PLANA E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

(1)

ANÁLISE TERMO-MECÂNICA EM ELASTICIDADE PLANA E SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO

Jorge Rodrigo Giordan Pablo Andrés Muñoz Rojas Miguel Vaz Júnior

giordanjr@yahoo.com.br pablo@joinville.udesc.br M.Vaz@Joinville.udesc.br

Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade do Estado de Santa Catarina Campus Universitário Avelino Marcante, s/n

89223-100 – Bom Retiro – Joinville – SC – Brasil

Resumo. Neste trabalho foi implementado um código de elementos finitos para condução de calor anisotrópica bidimensional, incluindo condições de contorno de temperatura e fluxos prescritos, bem como geração de calor no domínio. O código foi compatibilizado com o programa Maneh – Módulo de Análise Estrutural, para análise de elasticidade 2D e sólidos de revolução, o qual foi previamente desenvolvido por Muñoz-Rojas e colaboradores. Implementaram-se diferentes técnicas de extração de tensão e fluxos nodais para aplicação em problemas térmicos, mecânicos e termo-mecânicos. De posse de estratégias robustas para a avaliação de tensões e fluxos, a continuidade do projeto contemplará o acoplamento efetivo entre as partes térmica e mecânica. Os seguintes esquemas de pós-processamento de tensões e fluxos foram avaliados: cálculo diretamente nos nós (D), extrapolação a partir dos pontos de Barlow (E), suavização L2 global (GS) e iterativa (GSI), suavização L2 local (LS) e

recuperação superconvergente baseada em elementos (SPR). Foram empregados elementos quadrilaterais lineares e quadráticos Lagrangeanos e Serendipity. Os métodos foram avaliados quanto ao erro introduzido pela distorção da malha. Avaliou-se, também, a perda de eficiência do esquema iterativo de suavização global na presença de malhas distorcidas. Verificou-se que o erro introduzido pela distorção é significativamente menor na estratégia superconvergente do que nos demais métodos implementados. Além disto, os resultados mostraram que, quando aplicado em conjunto com o elemento finito de 9 nós, a eficiência do esquema iterativo de suavização global é pouco sensível à distorção da malha. O mesmo não ocorre para os elementos finitos de 4 e 8 nós.

Palavras-chave: recuperação de tensões, método dos elementos finitos, análise termo-mecânica.

(2)

1 INTRODUÇÃO E REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Em problemas de engenharia, freqüentemente necessita-se determinar o nível de tensões e fluxos de calor a que um componente mecânico está submetido. Esta informação é fundamental para o correto dimensionamento da peça. Entretanto, quando uma análise de elementos finitos é realizada, freqüentemente tensões e fluxos são pós processados e várias técnicas podem ser empregadas para esse fim. A análise efetuada no trabalho ora apresentado se refere a elementos finitos baseados em deslocamentos.

Nos primórdios de aplicações do Método dos Elementos Finitos (MEF), o cálculo das tensões e fluxos nos nós era realizado diretamente pela substituição para coordenadas paramétricas destes nós nas equações pertinentes. Nestas condições, cada elemento finito conectado ao referido nó proporciona um resultado diferente. Assim, o problema era resolvido avaliando-se a média dos valores obtidos. Esta metodologia ainda é aplicada em alguns códigos modernos, apesar da baixa precisão associada.

Em 1974, Hinton e Campbell apresentaram uma técnica de suavização de tensões – extensível a fluxos – na qual valores nodais são obtidos através de uma projeção. A projeção apresentada tem uma versão contínua e outra discreta e pode ser aplicada local ou globalmente. Outra alternativa é avaliar tensões e fluxos nos pontos de Barlow e extrapolá-los para os nós. Ambas as abordagens fornecem resultados melhorados em relação a avaliação nodal direta.

Zienkiewicz e Zhu (1992a, 1992b) melhoraram a técnica de recuperação nodal de tensões, propondo o ajuste de um polinômio a valores superconvergentes obtidos em pontos selecionados de um patch de elementos. A abordagem recomendada é baseada na versão discreta de ajuste. Zhu (1991) demonstrou numericamente que enquanto a versão discreta fornece valores nodais superconvergentes para elementos lineares, quadráticos e cúbicos, a superconvergência não é conseguida em elementos quadráticos pela versão contínua.

Tentativas posteriores de aprimoramento da qualidade das tensões – e fluxos – nodais foram introduzidas por Wiberg e colaboradores, que acrescentaram a satisfação do equilíbrio (Wiberg e Abduwahab, 1993) e condições de contorno (Wiberg et al., 1994) dentro do patch, via penalização. Nesta mesma linha encontram-se os trabalhos de Blacker e Belytschko (1994) e Park et al. (1999). Babuska (1997) concluiu que, para elementos distorcidos, a melhor abordagem é a proposta original de Zhu e Zienkiewicz.

Em geral, os estudos se referem à qualidade da aproximação das tensões nodais em malhas não-distorcidas. Lee e Bathe (1993) estudaram o efeito da distorção sobre o campo de tensões em elementos Lagrangeanos e Serendipity. Não foram considerados valores nodais contínuos. Concluíram que enquanto os elementos Lagrangeanos são pouco sensíveis, os elementos da família Serendipity têm os seus resultados severamente comprometidos.

Uma nova abordagem de recuperação nodal superconvergente surgiu com os trabalho de Boroomand e Zienkiewicz (1997a , 1997b). Nesta abordagem foi desenvolvido o método da Recuperação por Equilíbrio em Elementos, também baseado num patch. Uma das vantagens deste método é não estar baseado na avaliação discreta em pontos superconvergentes, já que a posição destes pontos não é conhecida para todo e qualquer elemento. Neste sentido, vale ressaltar o estudo de Liew e Rajendran (2002), que determinaram pontos superconvergentes para o elemento Serendipity de 8 nós, diferentes dos pontos de Barlow.

Todas estas técnicas estão disponíveis na literatura, mas pouca informação existe sobre o nível de erro introduzido em cada uma delas com a distorção da malha. Um estudo nesse contexto foi desenvolvido por Wildemann e Muñoz-Rojas (2005), aplicado para tensões em elasticidade plana e sólidos de revolução. Dos métodos citados, as abordagens superconvergentes não foram analisadas. Concluiu-se que, entre as demais, as menos

(3)

sensíveis à distorção são a baseada em extrapolação a partir dos pontos de Barlow e a suavização global proposta por Hinton e Campbell.

No presente trabalho a análise de Wildemann e Muñoz-Rojas é estendida, incorporando estratégias superconvergentes baseadas em elementos, de acordo com o proposto por Akin (2005). Todas as técnicas são, então, aplicadas em problemas de condução de calor anisotrópico, mediante código desenvolvido no decorrer da pesquisa. Os resultados mostram a superioridade das estratégias superconvergentes frente à distorção.

Os códigos de elasticidade e condução de calor foram unificados e a continuidade do projeto prevê a finalização do acoplamento termo-mecânico.

2 ELASTICIDADE 2D

2.1 Introdução

Os problemas de elasticidade no estado plano podem ser estudados por duas maneiras, Estado plano de Tensões (EPT) e Estado Plano de Deformações (EPD). Para os dois casos o campo de deslocamentos e as tensões são descritos apenas nos eixos ortogonais x e y. Para o caso de sólidos de revolução, com propriedades materiais e carregamentos axissimétricos, o problema também pode ser tratado matematicamente como um problema bidimensional.

A aplicação do Principio Mínima Energia Potencial para elasticidade fornece

{ }

[ ]

{ }{ }

{ } { }

∫

−

∫

−

∫

= Π V V S T T dS p dV b u dV u 2 1 _ε _σ (1) onde

{ }

      = v u u ,                         ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = v u x y y x 0 0 ε ,

{ }

          = xy y x τ σ σ σ

{ }

b representa as forças volumétrica e

{ }

p representa as forças externas.

A minimização do funcional da Eq. (1) , resulta da nulidade da primeira variação de Π .

{ } { }

_∫

{ } { }

∫

−

∫

− = = Π V T T V V T _σ _dV _δ _u _b _dV _δ _u _p _dS ₀ ε δ δ ou

{ } { }

∫

=

∫

+

∫

V V S T T T dS p dV b dV δ u δ u σ ε δ (2)

(4)

2.2 Estado plano de tensões (EPT)

O estado plano de tensões ocorre em sólidos onde as dimensões na direção z são muito pequenas, com carregamento apenas no plano xy, como mostrado na Fig. 1.

Figura 1. Placa plana solicitada no seu plano médio

Para este problema, as tensões σ_z, τ_yz e τ_zx, são aproximadamente nulas em todo o domínio, portanto elas não contribuem para a energia potencial do sistema. Substituindo estas aproximações na lei de Hooke generalizada, obtém-se

                      − − =           xy y x xy y x v v v v E γ ε ε τ σ σ 2 1 0 0 0 1 0 1 1 2 (3)

que pode ser representada por

{ }

σ =

[ ]

D

{ }

ε

onde

[

D

]

é a matriz constitutiva. Neste caso,

[ ] [ ]

            − − = = 2 1 0 0 0 1 0 1 1 2 ν _ν ν ν E D D EPT (4)

2.3 Estado plano de deformações (EPD)

Para um corpo longo, de seção transversal constante, carregado apenas no plano normal ao seu eixo longitudinal, admite-se que os deslocamentos na direção axial são nulos. Chamando a direção do eixo de z, e o plano transversal de xy, tem-se que a tensão σ_z não é nula. Entretanto, como a deformação é nula, o produto das componentes não resulta em energia potencial adicional armazenada no corpo. Um exemplo é dado na Fig. 2.

(5)

Figura 2. Muro de contenção

Neste caso, a lei de Hooke generalizada fica

2 1 0 0 0 1 0 ) 2 1 )( 1 ( ) 1 (                       − 1 − − − =           xy y x xy y x v v v v v v E γ ε ε γ σ σ (5)

que pode ser representada por

{ }

σ =

[ ]

D

{ }

ε

onde

[

D

]

é a matriz constitutiva, que para EPD fica

[ ] [ ]

₍

(

₎₍

)

₎

            − − − − = = 2 1 0 0 0 1 0 1 2 1 1 1 ν ν ν ν ν ν E D D EPD (6) 2.4 Sólidos de revolução

A revolução de uma figura plana em um determinado eixo gera um corpo tridimensional axialmente simétrico. Se as propriedades do material e o carregamento também forem axissimétricos, o problema pode ser tratado matematicamente como um problema bidimensional, semelhante a problemas de elasticidade plana (EPD e EPT) e é facilmente descrito em coordenadas r,θ e z, como mostrado na Fig. 3.

Relações Deformação-Deslocamento

(6)

Figura 3. Sólido de revolução com as tensões provocadas por um carregamento axissimétrico e vista da seção transversal.

r u r r u r r u r = − + = = π π π ε ε _θ 2 2 ) ( 2 , (7) r w z u z w _zr z= , γ = , + , ε (8) Matricialmente, tem-se                               =               u w w u u r z r z r zr z r , , , , 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 γ ε ε ε θ ₍₉₎

A relação constitutiva para um material isotrópico, tem a forma

                                  − − − − − − − − − − − =               zr z r zr z r v v v v v v v v v v v v v v v v v E γ ε ε ε τ σ σ σ θ θ ) 1 ( 2 2 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 ) 2 1 )( 1 ( ) 1 ( (10)

(7)

Matriz constitutiva

A matriz constitutiva resultante é dada por

[ ] [ ]

                    − − − − − − − − − − − = = ) 1 ( 2 2 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 ) 2 1 )( 1 ( ) 1 ( v v v v v v v v v v v v v v v v v E D D SR ₍₁₁₎

A formulação de elementos finitos para elasticidade plana e sólidos de revolução está amplamente descrita na literatura e é revisada em Wildemann e Muñoz-Rojas (2005).

3 TRANSFERÊNCIA DE CALOR

Seja um corpo com domínio Ω e contorno Γ . O problema de condução de calor bidimensional em regime permanente é caracterizado pela equação

(

, ,

)

(

, + ,

)

+ =0 ∂ ∂ + + ∂ ∂ Q T k T k y T k T k x x x xy y xy x y y no domínio Ω (12)

onde Q é a taxa de geração de calor por unidade de volume.

Neste trabalho são consideradas condições de contorno de temperaturas e fluxos prescritos, isto é,

_

T

T = sobre a parcela do contorno Γ_T (13)

e

(

kxT,x+kxyT,y

)

l+

(

kxyT,x +kyT,y

)

m=qB sobre a parcela do contorno Γq (14) sendo que . Γ = Γ Γ_T _U _q

l e m são os cossenos diretores do vetor ν , normal ao contorno, e q é o fluxo normal prescrito no contorno, positivo se estiver entrando no corpo. B

Problemas de condução de calor são baseados na equação de Fourier,

s s s r r r k T q k T q =− , ; =− , ou              − =     s r s r s r T T k k q q , , 0 0 (15)

(8)

onde kr e ks são as condutividades térmicas nas direções principais r e s, Fig. 4.

Figura 4. Direções principais r, s.

sendo que é o gradiente de temperatura nas direções r e s, e se relaciona com o gradiente das temperaturas nas direções x e y através da regra da cadeia, isto é,

      s r T T , ,

[ ]

      Λ =       y x s r T T T T , , , , , onde

[ ]

_= (16)      = Λ s s r r y x y x , , , ,       − β β β β cos sen sen cos

O fluxo de calor é uma grandeza vetorial e também se transforma via matriz

[

. Tem-se, portanto,

]

Λ





  

r s



T y x q q q q = Λ (17) Combinando (15), (16) e (17), fica

[ ]

      − =       y x y x T T k q q , , , onde

[ ]

_

[ ]

Λ (18)      Λ =       = s r T y xy xy x k k k k k k k 0 0

3.1 Formulação de elementos finitos (problema plano)

O princípio da mínima energia potencial aplicada a este problema gera o seguinte funcional, já discretizado

{ }

[ ]

{ }

_∫

∫

 −      ₋ = Π T_∂ T k T_∂ QT dV q_BTdS 2 1

[ ]

N

{ }

Te T = e

{ }

T_∂ =

[ ]

B

{ }

T_e (19)

onde

[

N

]

é a matriz das funções de interpolação e

{ }

Te é o vetor da temperatura nodal do elemento.

(9)

{ }

      ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ y x / / (21)

[ ]

      = ∂ y x T T T , , (22)

O campo de temperatura é dado por:

[ ][ ]

N Te N T N T N T N T NnTn T= = ₁ ₁+ ₂ ₂+ ₃ ₃+ ₄ ₄ +...+ onde n é o número de nós do elemento.

Os gradientes de temperatura são:

{ }

      = ∂ y x T T T , , =

[ ]

= (23)       − η ξ , , 1 T T J

[ ]

                        − n n n T T T T T N N N N N N N N N N J M L K 4 3 2 1 , , 4 , 3 , 2 , 1 , 4 , 3 , 2 , 1 1 , η ξ η η η η ξ ξ ξ ξ

A extremização do funcional Π aplicada a um elemento de espessura τ resulta na em

[

K

]

=

∫

[ ] [ ][ ]

B T k Bτ Jdξdη (24) − − 1 1 1 1 onde

[ ] [ ]

_      = − η ξ η η η η ξ ξ ξ ξ , , , 4 , 3 , 2 , 1 , 4 , 3 , 2 , 1 1 n n N N N N N N N N N N J B L L , (25)

[ ]

_      ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = η η ξ ξ / / / / y x y x J (26)

e τ pode ser uma função de ξ e η e J é o determinante de

[ ]

J .

Como o problema é formulado nas coordenadas locais

( )

ξ,η , ele exige a determinação das derivadas ∂T/∂x e ∂ /T ∂y em função das derivadas locais, ∂ /T ∂ξ e ∂ /T ∂η. Como

,

( )

x y T T = , x=x

( )

ξ,η e y= y

( )

ξ,η ξ ξ ξ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ y y T x x T T (27) η η η ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ y y T x x T T (28)

(10)

Escrevendo (27) e (28) na forma matricial, temos             ∂ ∂∂ ∂             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =             ∂ ∂∂ ∂ y Tx T y x y x T T η η ξ ξ η ξ ₍₂₉₎

Pode-se escrever, então

            ∂ ∂ ∂ ∂             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =             ∂ ∂∂ ∂ − η ξ η η ξ ξ T T y x y x y Tx T 1 (30) As derivadas ξ ∂ T ∂ e η ∂ ∂T

podem ser expressas através das funções de interpolação em termos das temperaturas nodais, como segue

∑

= ∂ ∂ = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ n i i i n nT NT N T N T N T N T 1 3 3 2 2 1 1 ) ( ) ( ) _... ( ) ( ) ( ξ ξ ξ ξ ξ ξ (31)

∑

= ∂ ∂ = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ n i i i n nT NT N T N T N T N T 1 3 3 2 2 1 1 ) ( ) ( ) _... ( ) ( ) ( η η η η η η (32)

Unindo (31) e (32), na forma matricial, tem-se

                              ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =             ∂ ∂ ∂ ∂ n n n T T T T T N N N N N N N N N N T T M L L 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 η ξ η η η η ξ ξ ξ ξ η ξ ₍₃₃₎

Portanto, agrupando (30) e (33), fica

            ∂ ∂∂ ∂ y Tx T = 1 −             ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ η η ξ ξ y x y x                               ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ n n n T T T T T N N N N N N N N N N M L L 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 η ξ η η η η ξ ξ ξ ξ ₍₃₄₎ onde

(11)

[ ]

      − − = − ξ η ξ η , , , , 1 1 x x y y J J (35)

3.2 Formulação de elementos finitos (Sólidos de Revolução)

Para sólidos de revolução são adotadas coordenadas cilíndricas, sendo que as coordenadas r e assumem a mesma função das coordenadas x e y do problema plano (Figura 3).

z Nesse caso tem-se

[ ]

N

{ }

Te T = , e

{ }

T∂ =

[ ]

B

{ }

Te (36) onde

[ ]

B =

{ }

∂

[

N

]

,

{ }

(37)       ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ z r / / e

[ ]

      = ∂ z r T T T , , (38)

A matriz rigidez é dada por

[

K = π

∫

[ ] [ ][ ]

B T k B rJdξdη (39) − − 1 1 1 1 2 sendo que (40)

∑

= = n i i i r N r 1

[ ] [ ]

_      = − η ξ η η η η ξ ξ ξ ξ , , , 4 , 3 , 2 , 1 , 4 , 3 , 2 , 1 1 n n N N N N N N N N N N J B L L (41) e J é o determinante de

[ ]

J , onde

[ ]

_      ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = η η ξ ξ / / / / z r z r J (42)

(12)

4 Funções de interpolação.

Funções de interpolação para o elemento linear ) 1 )( 1 ( 4 1 1 = −ξ −η N (43) ) 1 )( 1 ( 4 1 2 = +ξ −η N (44) ) 1 )( 1 ( 4 1 3 = +ξ +η N (45) ) 1 )( 1 ( 4 1 4 = −ξ +η

N (46) Figura 5: Elemento finito 4 nós.

Funções de interpolação para o elemento quadrático Serendipity

) 1 ( ) 1 )( 1 ( 4 1 1= −ξ −η −ξ −η− N (47) ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 4 1 2= +ξ −η ξ −η− N (48) ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 4 1 3= +ξ +η ξ+η− N (49) ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 4 1 4= −ξ +η −ξ+η− N (50) ) 1 )( 1 ( 2 1 2 5= −ξ −η N (60) ) 1 )( 1 ( 2 1 2 6= +ξ −η N (61) ) 1 )( 1 ( 2 1 2 7 = −ξ +η

N (62) Figura 6. Elemento finito de 8 nós

) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 8= −ξ +η N (63)

Funções de interpolação para o elemento quadrático Lagrangeano ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 4 1 1= −ξ −η −ξ −η− N (64) ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 4 1 2= +ξ −η ξ −η− N (65) ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 4 1 3= +ξ +η ξ+η− N (66)

(13)

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 4 1 4= −ξ +η −ξ +η− N (67) ) 1 )( 1 ( 2 1 2 5= −ξ −η N (68) ) 1 )( 1 ( 2 1 2 6 = +ξ −η N (69) ) 1 )( 1 ( 2 1 2 7 = −ξ +η N (70) ) 1 ( ) 1 ( 2 1 2 8= −ξ +η N (71) ) 1 ( ) 1 ( 2 2 9= +ξ −η

N (72) _{Figura 7. Elemento finito de 9 nós}

As Figs. 5, 6 e 7 representam respectivamente os elementos finitos de 4, 8 e 9 nós.

5 EXTRAÇÃO DE TENSÕES E FLUXOS

5.1 Introdução

Para futura referência no texto apresentado, a Fig. 8 mostra elementos de 4 e 9 nós Lagrangeanos, com seus respectivos pontos de integração (Wildemann e Muñoz-Rojas, 2005).

Figura 8. Coordenadas paramétricas dos nós e pontos de integração de Gauss-Legendre para elementos linear e elementos quadrático lagrangeano.

5.2 Avaliação diretamente nos nós

Com o campo de deslocamentos e temperaturas em mãos é possível obter o campo de tensões ou fluxos. O campo de tensões é obtido através de

(14)

{ }

σ =

[ ]

D

{ }

ε (73) onde [D] é a matriz constitutiva e

{ }

ε =[B]{u}.

O campo de fluxos é obtido a partir de

{ }

q =

[ ]

B _T

{ }

Te (74)

Devido à não continuidade das derivadas das funções de interpolação na interface entre os elementos, há diferença entre os valores das tensões e fluxos nodais calculados a partir de cada elemento que contém o nó. A solução mais simples para este inconveniente é calcular a média dos valores. Contudo, esta estratégia geralmente apresenta resultados pobres, pois as derivadas das funções de interpolação geralmente têm um erro elevado nas faces dos elementos.

5.3 Avaliação das tensões nos pontos de Gauss e extrapolação para os nós

O erro nas tensões e fluxos (em relação à solução analítica) apresenta variação dentro do elemento. Próximo às faces ele é elevado. No interior do elemento há pontos onde o erro é mínimo e a taxa de convergência das tensões e fluxos com o refino de malha é mais alta que a da norma da energia. Estes pontos são ditos superconvergentes. Barlow (Barlow, 1976) determinou a localização destes pontos para os elementos quadráticos Lagrangeanos e Serendipilty e verificou coincidirem com os pontos de Gauss para integração de funções lineares. Os valores das tensões e fluxos podem ser avaliados nestes pontos (apresentados na Fig. 8) e extrapolados paras os nós com as devidas funções de interpolação (Cook et al, 2001). Comparando com a avaliação direta nos nós, este esquema proporciona melhores resultados principalmente para as tensões cisalhantes.

5.4 Suavização global

Parte-se propondo um campo de tensões ou fluxos contínuo entre os elementos, interpolado por um conjunto de funções de interpolação no domínio. Estas funções podem ser iguais ou diferentes das funções

[ ]

N usadas para interpolar as variáveis primais (deslocamentos ou temperaturas). Assumindo que sejam as mesmas, no caso de tensões, tem-se

{

}

[ ]

      = __ ) , (ξ η σ σ N (75)

onde são as tensões suavizadas.      __ σ

O erro obtido entre as tensões suavizadas e as não suavizadas é dado por

{

φ(ξ,η)

} {

= σ(ξ,η)

} {

− σˆ(ξ,η)

}

(76) onde σˆé o campo de tensões descontínuo.

(15)

[ ]

( =

{ }

0

∫ ∫ N T ξ,η)φ(ξ,η)Jdξdη ₍₇₇₎

Com os devidos arranjos, fica

[ ] [ ]

{ }

{

_∫∫

[ ] [ ][ ]

{ }

∫∫

_ =   _N T _N _J_d_ξ_d_η _σ _N T _D _B _J_d_ξ_d_η _u

}

(78) onde

[ ] [ ]

∫∫

N T N Jdξdη, é a matriz massa global,

[ ]

M (79)

[ ] [ ][ ]

{ }

∫∫

N T D B Jdξdη u , é o vetor pseudo-carga,

{ }

P (80) Avaliando a integral da Eq. (78) e montando-a em um sistema global obtém-se

[ ] [ ] [ ]

{ }

          =                         3 2 1 _ _ _ 0 0 0 0 0 0 P P P M M M xy y x τ σ σ (81)

Como o sistema de equações (81) é desacoplado, é possível sepára-lo, como representado abaixo,

[ ]

{ }

[

{ } { } { }

1 2 3 _ _ _ P P P M x y _xy =                 _σ _σ _τ

_]

₍₈₂₎

]

Procedimento análogo pode ser desenvolvido para fluxos, resultando o sistema

(83)

[ ]

[

{ } { }

1 2 _ _ P P q q M _x _y _=                 

O custo computacional associado à suavização global é elevado, principalmente quando o número de graus de liberdade aumenta. Mas ele traz a vantagem de fornecer tensões ou fluxos contínuos em todo o domínio.

5.5 Suavização através da matriz massa diagonal

À medida em que o número de graus de liberdade aumenta, o custo computacional para inversão da matriz massa global consistente cresce exponencialmente. Para contornar esse problema, podem-se utilizar regras de integração que resultam em uma matriz massa diagonal, nos quais o custo computacional para a inversão é quase nulo (Wildemann e Muñoz-Rojas, 2005). Uma destas regras é a quadratura de Gauss-Lobatto. Nesta regra, os pontos da extremidade do elemento são considerados e os pontos do interior são determinados para maximizar a precisão da regra. Semelhantemente à regra de Gauss-Legendre, a

(16)

quadratura de Gauss-Lobatto também fornece resultados exatos para polinômios, mas às custas de um ponto de integração a mais.

Portanto, a Eq. (82) assume a seguinte forma,

[ ]

M L

{ } { }

σ L = P L (84)

onde [M]L é a matriz massa diagonal global da Eq. (79) e

{ }

P é o vetor pseudo-carga _L local

correspondente à Eq. (80), porém, avaliados com a regra de quadratura de Gauss-Lobatto para uma regra de 3x3 pontos de integração. Os resultados obtidos utilizando a matriz massa diagonal normalmente são menos precisos em relação aos avaliados com a matriz massa consistente (pois a avaliação consistente com Gauss-Lobatto exigiria um ponto adicional). Porém, através de um processo iterativo de Newton-Raphson os resultados podem ser melhorados.

Assim,

[ ]

M

{ }

σ =

{ }

P e

[ ]

M L

{ } { }

σ _L = P _L (85)

A Eq. (82) pode ser escrita

[ ]

M

{ } { }

σ P− =0 (86)

Aplicando em (86) as tensões obtidas via matriz massa diagonal, resulta um resíduo,

[ ]

M

{ } { } {

σ _L - P = - R(σ_L)

}

(87)

sendo que

{

R( σ_L + ∆σ_L)

}

=0 (88)

Aplicando Newton-Raphson, tem-se

{

( )

}

{ }

_L 0 L L ∆ =      ∂ ∂ + σ σ σ R R (89) onde,

[

M R L =       ∂ ∂ σ

]

(90)

rearranjando os termos tem-se

{ } { }

[ ] [ ]

(

{ }

n-1

{ }

) L 1 1 -n L n L = − M M − P − _σ σ σ (91)

A inversão da matriz

[

exige um grande custo computacional. Portanto, utiliza-se a matriz massa diagonal

]

M

[ ]

M L, cuja inversão é trivial. Com isso, a Eq. (91) fica:

{ } { }

[ ] [ ]

(

{ }

n-1

{ }

) L 1 1 -n L n L = − M ML − P − _σ σ σ (92)

(17)

A Eq. (92) pode ser vista como a aplicação do método de Newton-Raphson modificado, e a estimativa inicial é dada pela solução da Eq. (84).

Wildemann e Muñoz-Rojas (2005) tiveram problemas de convergência com este procedimento em duas situações distintas. A primeira ocorre quando o resíduo da segunda iteração R2 é maior que o resíduo da primeira, R1. Este problema pode ser contornado através

de um escalonamento da matriz massa diagonal, de acordo com a expressão abaixo.

        + = 1 2 1 * R R R M M_L _L (93)

Outro problema ocorre para o elemento de oito nós Serendipity, onde a integração de Gauss-Lobato implica em valores de massa negativos para algumas posições da matriz diagonal, os quais são inaceitáveis para o processo iterativo. Para contornar esse problema, aplicou-se a técnica de diagonalização HRZ, que produz uma matriz massa diagonal com todos os elementos positivos (Hinton et al. 1976). A matriz massa diagonal é dada pela expressão

[ ]

∫∫

=αδ N N dξ dη M] _i _j [ _L _ij T (94)

onde o δ_ij é o delta de Kronecker e o α é dado por

∑∫ ∫

∫ ∫

= = _nne i i d d N d d 1 2 _ξ _η η ξ α (95)

No entanto a matriz massa diagonal obtida pelo método HRZ não tem nenhum significado físico. Com isso, a estimativa inicial das tensões é muito pobre. A matriz massa diagonal de Lobatto oferece uma boa estimativa inicial, mas como foi visto, não serve para o processo iterativo. Portanto, Wildemann e Muñoz-Rojas (2005) empregaram a matriz massa diagonal de Lobatto para a estimativa inicial e a matriz massa diagonal obtida pelo método HRZ para o processo iterativo, com bons resultados.

5.6 Suavização Local

Neste caso o cálculo das tensões ou fluxos é feita para cada elemento em separado. Dessa maneira a equação (82) é aplicada para cada elemento, resultando em:

[ ]

[

_∫∫

N_i T N_j Jdξdη

]

{ }

σ =

{

[ ] [ ]

N_i T σˆ Jdξdη

}

(96) onde i=1, nne.

Adotando uma regra de quadratura de 2x2 para avaliar as funções

[

e considerando apenas elementos retangulares (jacobiano constante), é possível obter as tensões ou fluxos para os nós dos cantos através da seguinte expressão.

]

(18)

                                      + − − − − + − − − − + − − − − + =                   ^ 4 ^ 3 ^ 2 ^ 1 __ 4 3 __ __ 2 __ 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 1 σ σ σ σ σ σ σ σ (97)

onde σ_i são as tensões ou fluxos suavizados para os nós do elemento e σˆ são as tensões ou _i fluxos não suavizados dos pontos de Gauss. Este procedimento não é adotado no código implementado no presente trabalho. Ao invés disto, os jacobianos são calculados.

A suavização como o caso da extração direto nos nós não produz valores únicos de tensões ou fluxos para os nós, então, uma média deve ser calculada.

5.7 Recuperação superconvergente baseada em elementos

Seleciona-se um grupo de pequeno número de elementos contíguos, denominado “patch”. As tensões ou fluxos em pontos selecionados do patch são usados para construir um campo suavizado dentro do mesmo. Considerando o caso específico das tensões (procedimento análogo é válido para os fluxos), o campo suavizado dentro do patch é representado por

(98)

 

P

{ }

a

i =

*

σ

onde * é qualquer das componentes de tensão ( i

σ σ_x,σ_y, etc.),

_{ }

P contém termos de um

polinômio e

{

contém coordenadas generalizadas a serem determinadas. Em um problema plano, algumas possibilidades para a matriz polinomial são as seguintes:

}

a

Linear com 3 termos (SPRE):

  

P = 1 x y



Linear com 4 termos (SPRE4):

  

P = 1 x y xy



Quadrático com 6 termos (SPRE):

_{ }

_P ₌



₁ _x _y _x2 _xy _y2



Quadrático com 8 termos (SPRE8):

 

_P ₌



₁ _x _y _x2 _xy _y2 _x2_y _xy2



Para determinar

{

e definir o campo suavizado, seleciona-se um patch em torno de um nó ou de um elemento e atribui-se-lhe um sistema de referência local. Neste trabalho, optou-se pela implementação do patch em torno de elementos. O sistema de referência local foi definido paralelo ao sistema de referência global, com centro num “elemento de patch” retangular, contendo totalmente o patch no seu interior, como mostrado na Fig. 9 Isto é feito facilmente, procurando as coordenadas máximas e mínimas de todos os nós dos elementos do patch. Para evitar problemas de condicionamento, é realizada uma mudança de variáveis nas coordenadas do patch, para que sejam interpoladas entre -1 e 1.

}

(19)

Figura 9. Patch em torno de um elemento com “elemento de patch” envolvente para definição do sistema de referência global (Akin, 2005).

Os campos de tensão são, então, avaliados nos pontos de Barlow (superconvergentes) de cada elemento do patch. Em cada ponto de avaliação

(

x_i,y_i

)

, avalia-se o quadrado da diferença entre a tensão σ_i e a ainda desconhecida σ_i*. Os quadrados são somados, gerando

(

2 1 * j nsp j i i P F

∑

= − = σ σ

)

(99)

onde nsp é o número de pontos de avaliação das tensões no patch. A minimização de 99 em relação a

{ }

a , fornece

[ ]

A

{ } { }

a = b (100) onde

[ ]

∑

   

= = nsp j j T j P P A 1 (101)

{ }

_∑

_{ }

{ }

= = nsp j j T j P b 1 σ (102)

O vetor

{

é determinado a partir do sistema 100, acima. A partir desta aproximação, são computadas as tensões de cada nó do patch. Como cada elemento finito da malha define um patch diferente, os nós acumularão resultados diferentes para as tensões. O resultado é obtido extraindo a média dos valores.

}

a

6 Exemplos e análises.

6.1 Viga engastada com carregamento distribuído. Um problema utilizado para a analise é uma vida engastada na sua extremidade esquerda, em estado plano de tensões, conforme mostra a Fig. 10. Os dados do material são: módulo de elasticidade = 2.0 E+11 N/mm² e coeficiente de Poisson = 0.3. Foi utilizada uma malha cujo número de divisões do lado maior é três vezes a do lado menos com isso, mantêm-se o tamanho dos lados dos elementos iguais, evitando distorção inicial. Este problema foi estudado por Wildemann e Muñoz Rojas (2005), e é apresentado novamente para efeitos de validação do programa modificado neste trabalho.

(20)

Figura 10. Viga engastada sujeita a um carregamento distribuído.

Análise 1. Eficiência do esquema global iterativo em função da dimensão do problema. Para avaliar o esquema do processo iterativo, buscou-se comparar o tempo computacional para avaliação das tensões entre a suavização global direta, o qual utiliza matriz massa consistente e o esquema global iterativo, que utiliza matriz massa diagonal. A tolerância imposta foi de 1x10-6, estudos realizados por Wildemann e Muñoz Rojas (2005), mostram que o esquema iterativo mostra-se favorável para malhas refinadas mesmo com tolerâncias apertadas como 1x10-6, e o micro-processados utilizado para rodar os problemas foi um AMD Athlon XP 2000 com 256 Mb RAM.

Para cada problema foi utilizada uma seqüência de malhas de elementos finitos com um padrão de refinamento, tomando-se o cuidado de trabalhar sempre com elementos não-distorcidos.

Os estudos foram feitos sobre a viga da Fig.10, sujeita a carregamento de distribuído.

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 0 3000 6000 9000 12000 15000 18000 d.o.f ti m e(s ) GS GSI

Figura 11. Custo computacional (viga engastada sujeita a carregamento de pressão): suavização global direta (GS) versus iterativa (GSI). Elemento de 4 nós.

(21)

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 0 3000 6000 9000 12000 15000 18000 d.o.f ti m e(s ) GS GSI

Figura 12. Custo computacional (viga engastada sujeita à carregamento de pressão): suavização global direta (GS) versus iterativa (GSI). Elemento de 8 nós.

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 0 4000 8000 12000 16000 20000 d.o.f ti m e(s ) GS GSI

Figura 13. Custo computacional (viga engastada sujeita a carregamento de pressão): suavização global direta (GS) versus iterativa (GSI). Elemento de 9 nós.

Os resultados mostram que à medida que a malha é refinada o esquema de extração de tensão suavizado global iterativo se torna mais eficiente que o global direto, pois um menor número de iterações é necessária para se alcançar a tolerância imposta.

Análise 2. Eficiência do esquema global iterativo em função da distorção da malha. Para analisar a eficiência do processo iterativo à medida em que uma mesma malha é distorcida, o problema definido na Fig. 10 foi submetido a uma distorção angular crescente (tempo de cálculo versus ângulo θ ), como mostrado na Fig. 14.

As Figs. 15 a 17 mostram que à medida que a malha é distorcida, mantendo-se constante o número de graus de liberdade, o custo computacional para o esquema direto de solução se mantém praticamente constante. As pequenas oscilações se devem ao processador desempenhar alguma outra tarefa simultaneamente. Já o custo computacional para o processo iterativo tende a aumentar muito para grandes distorções.

A Fig. 15 mostra que, para o elemento de 4 nós, o esquema iterativo começa a apresentar um custo computacional maior que o do esquema direto a partir de distorções da ordem de

(22)

50º. Com 80o de distorção, o tempo computacional sofre um acréscimo de aproximadamente 30%. Isso se deve ao mal-condicionamento numérico da matriz resultante. Deve-se notar que para este número de graus de liberdade, o processo iterativo é menos eficiente que a solução direta, em concordância com o registrado na Fig. 11.

Na Fig. 16, verifica-se que o elemento Serendipity de 8 nós é muito mais sensível à distorção. Ele começa a ser afetado mais tardiamente (por volta de 65o). Porém, a partir daí o aumento do custo computacional é explosivo. Com uma distorção de 85o, o aumento do custo computacional é da ordem de 900%!

θ

Figura 14. Distorção da malha.

0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 distorção (º) ti m e (s ) IGS GS

Figura 15. Comportamento do processo iterativo (IGS) versus suavização global (GS), elemento de 4 nós. 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 distorção(º) ti m e(s ) IGS GS

Figura 16. Comportamento do processo iterativo (IGS) versus suavização global (GS), elemento de 8 nós.

(23)

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 distorção(º) ti m e(s ) IGS GS

Figura 17. Comportamento do processo iterativo (IGS) versus suavização global (GS), elemento de 9 nós direta.

O comportamento do elemento Lagrangeano de 9 nós é apresentado na Fig. 17. A eficiência do processo iterativo é menos afetada neste caso. A distorção começa a afetar mais significativamente os resultados a partir de aproximadamente 65o. Com uma distorção de 85o, o aumento do custo computacional é da ordem de 200%.

Deve-se notar que a distorção de 85o é um extremo acadêmico, pois a 90o todo o domínio colapsaria em uma linha.

6.2 Influência da distorção da malha sobre diversas estratégias de recuperação de fluxos nodais numa viga sujeita a carregamento térmico (problema plano). Para o problema da viga com carregamento térmico, as dimensões da viga são as mesmas da viga na Figura 6. A condutividade térmica adotada é k = 1.0 W/mK. A Fig. 18 mostra as condições de contorno de temperatura prescrita, onde T1 = 0.0 oC e T2 = 1.0 oC.

Figura 18. Viga sujeita a carregamento térmico.

A análise de distorção foi baseada no conjunto de 4 elementos hachurados na Figura. O nó central é deslocado segundo os padrões apresentados na Fig. 19. No primeiro padrão, apenas o nó do estudo (central) é deslocado, e os nós vizinhos permanecem no mesmo lugar. No segundo padrão de distorção, os nós dos meio dos lados são realocados para manter as suas posições paramétricas.

(24)

Figura 19. Padrão de distorção dos elementos.

A avaliação do erro foi feita da seguinte forma:

2 ) ( L M exato M EF exato EF nodal q q q q e = − − − (102)

O super-índice M indica valores avaliados na configuração não-distorcida. O termo serve para deslocar todas as curvas de erro para a mesma origem, isolando o erro devido a distorção.

) ( M exato M EF q q −

A avaliação do erro foi feita da seguinte forma:

2 ) ( L M exato M EF exato EF nodal q q q q e = − − − (102)

O super-índice M indica valores avaliados na configuração não-distorcida. O termo serve para deslocar todas as curvas de erro para a mesma origem, isolando o erro devido a distorção.

) (q_EFM −q_exatoM

A solução analítica foi obtida utilizando-se uma série finita de termos da equação abaixo

1 2 1 ) , ( ) , ( T T T y x T y x − − = θ (103)

onde )θ( yx, é a temperatura adimensional e é calculada pela série abaixo

∑

∞ = + ₊ − = 1 1 ) / sinh( ) / sinh( ) / sin( 1 ) 1 ( 2 ) , ( i i L w i L y i L x i i y x π π π π θ (103)

Para a avaliação da solução de referência, a série foi truncada com 100 termos não nulos. Os fluxos foram obtidos a partir da derivada das temperaturas nos pontos. A partir de (103), obtêm-se

(25)

            ₋ ₊ − = + =

∑

) sinh( ) sinh( ) cos( ) 1 ) 1 (( . 2 ) , ( ) 1 ( 1 l w i i l y i l x i k y x q i n i xx x _π π π π (104)             ₋ ₊ − = + =

∑

) sinh( ) cosh( ) sin( ) 1 ) 1 (( 2 . ) , ( ) 1 ( 1 l w i i l y i l x i k y x q i n i yy y _π π π π (105)

onde também foram considerados 100 termos não nulos nas séries.

Neste estudo foram utilizados os seguintes métodos de extração de fluxos: extração direta nos nós, “D”, extrapolação utilizando funções de interpolação com grau reduzido, “E”, suavização global utilizando funções de interpolação com o mesmo grau, “GSF”, suavização local utilizando funções de interpolação com o mesmo grau, “LSF”, recuperação superconvergente com 3 ou 6 termos, “SPRE”, recuperação superconvergente com 4 termos, “SPRE4” e recuperação superconvergente com 8 termos,“SPRE8”.

As Figs. 20 a 29 mostram o comportamento do erro dos fluxos com diferentes níveis de distorção. 0,00E+00 5,00E-03 1,00E-02 1,50E-02 2,00E-02 2,50E-02 3,00E-02 3,50E-02 4,00E-02 -0,1 -0,1 0,0 0,1 0,1 distorção x(mm) E rr o de Fl ux o (W ) D E S SL SPRE SPRE4

Figura 20. Erro devido a distorção do elemento de 4 nós.( viga sujeita carregamento térmico). D = direto nos nós, E= extrapolado, S = suavização global, SPRE = recuperação

(26)

0,00E+00 2,00E-03 4,00E-03 6,00E-03 8,00E-03 1,00E-02 1,20E-02 1,40E-02 1,60E-02 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 distorção y(mm) E rr o nos Fl ux os (W ) _D E S SL SPRE SPRE4

Figura 21. Erro devido a distorção do elemento de 4 nós.(viga sujeita carregamento térmico). D = direto nos nós, E= extrapolado, S = suavização global, SL = Suavização

local de mesmo grau, SPRE = recuperação superconvergente com 3 termos, SPRE4 = recuperação superconvergente com 4 termos.

0,0E+00 5,0E-03 1,0E-02 1,5E-02 2,0E-02 2,5E-02 -0,06 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 distorção x(mm) E rr o do s F lux o s (W ) D E S SL SPRE SPRE8

Figura 22. Erro devido a distorção do elemento de 8 nós, não realocado.(viga sujeita carregamento térmico). D = direto nos nós, E= extrapolado, S = suavização global, SL =

Suavização local de mesmo grau, SPRE = recuperação superconvergente com 6 termos, SPRE8 = recuperação superconvergente com 8 termos.

(27)

0,0E+00 2,0E-03 4,0E-03 6,0E-03 8,0E-03 1,0E-02 1,2E-02 1,4E-02 1,6E-02 1,8E-02 2,0E-02 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 distorção y(mm) E rr o dos f lux os (W ) _D E S SL SPRE SPRE8

Figura 23. Erro devido a distorção do elemento de 8 nós, não realocado.(viga sujeita carregamento térmico). D = direto nos nós, E= extrapolado, S = suavização global, SL =

Suavização local de mesmo grau, SPRE = recuperação superconvergente com 6 termos, SPRE8 = recuperação superconvergente com 8 termos.

0,0E+00 5,0E-04 1,0E-03 1,5E-03 2,0E-03 2,5E-03 3,0E-03 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 distorção x(mm) Er ro do s f lux o s (W ) D E S SL SPRE SPRE8

Figura 24. Erro devido a distorção do elemento de 8 nós, (viga com carregamento térmico). Nó do meio realocado. D = direto nos nós, E= extrapolado, S = suavização global, SL = Suavização local de mesmo grau, SPRE = recuperação superconvergente

(28)

0,0E+00 5,0E-04 1,0E-03 1,5E-03 2,0E-03 2,5E-03 3,0E-03 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 distorção y(mm) E rr o do s Flux o s (W ) D E S SL SPRE SPRE8

com 6 termos, SPRE8 = recuperação superconvergente com 8 termos.

0,0E+00 2,0E-03 4,0E-03 6,0E-03 8,0E-03 1,0E-02 1,2E-02 1,4E-02 1,6E-02 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 distorção x(mm) e rr o do s f lux os (w ) _D E S SL SPRE SPRE8

Figura 26. Erro devido a distorção do elemento de 9 nós, (viga com carregamento térmico). D = direto nos nós, E= extrapolado, S = suavização global, SL = Suavização

(29)

0,0E+00 2,0E-03 4,0E-03 6,0E-03 8,0E-03 1,0E-02 1,2E-02 1,4E-02 1,6E-02 -0,04 -0,02 0,00 0,02 0,04 distorção y(mm) e rr o do s f lux os (w ) _D E S SL SPRE SPRE8

Figura 27. Erro devido a distorção do elemento de 9 nós, (viga com carregamento térmico). D = direto nos nós, E= extrapolado, S = suavização global, SL = Suavização

0,0E+00 2,0E-04 4,0E-04 6,0E-04 8,0E-04 1,0E-03 1,2E-03 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 distorção x(mm) E rr o dos Fl ux os (W ) D E S SL SPRE SPRE8

Figura 28. Erro devido a distorção do elemento de 9 nós, (viga com carregamento térmico). Nó do meio realocado. D = direto nos nós, E= extrapolado, S = suavização global de mesmo grau, SL = Suavização local, SPRE = recuperação superconvergente

(30)

0,0E+00 2,0E-04 4,0E-04 6,0E-04 8,0E-04 1,0E-03 1,2E-03 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1 distorção y(mm) E rr o dos Fl uxos (W ) D E S SL SPRE SPRE8

com 6 termos, SPRE8 = recuperação superconvergente com 8 termos.

Analisando o comportamento dos erros nos fluxos, pode-se dizer:

i) Dentre todos os elementos, o elemento de 9 nós mostrou-se o menos sensível à distorção da malha, e o de 4 nós o mais sensível.

ii) O padrão de distorção que não realoca os nós do meio dos lados fornece grandes erros, principalmente para o esquema de avaliação de fluxos direto nos nós.

iii) Em todos os casos, os esquemas de recuperação superconvergentes apresentaram o melhor desempenho quanto à distorção. No caso da distorção sem realocação dos nós do centro dos lados, a diferença é dramática.

iv) Os esquemas de recuperação superconvergente SPRE (com 3 e 6 termos) apresentaram menores erros com a distorção do que as estratégias SPRE4 e SPRE8. Contudo, estudos indicam que para malhas não-distrcidas, estas últimas fornecem resultados mais precisos que as estratégias SPRE.

6.3 Análise de temperaturas e fluxos para os diferentes métodos de extração.

Neste exemplo, objetiva-se mostrar a potencialidade do código implementado, analisando problemas planos e de revolução com condutividade isotrópica e anisotrópica. Propositalmente foi escolhida uma malha distorcida para facilitar a visualização dos diferentes campos de fluxos obtidos pelos vários métodos discutidos neste trabalho. Os problemas estudados estão apresentados nas Figs. 30 e 31. Adotou-se o elemento finito de 4 nós, no qual a influência da distorção da malha é mais marcante.

(31)

Figura 30. placa plana.

Figura 31. Sólido de Revolução.

As características do material para o caso isotrópico são: condutividade térmica e

K m W k

k_x = _y=60 / . θ=0º, para o caso ortotrópico as condutividades térmicas utilizadas são: k_x=180W/m.K, k_y=60W/m.K e θ=30º.

As Fig. 32 a 35 ilustram o caso mostrado na Fig. 30, com condução térmica isotrópica. As Fig. 36 a 39 representam o mesmo caso, com condução ortotrópica. As Fig. 40 a 43 representam os campos de temperatura e fluxos para o sólido de revolução da Fig. 31, com condução isotrópica de calor. As Fig. 44 a 47 representam os resultados para o mesmo caso, com condução ortototrópica de calor.

Analisando as Figs. 32 a 47, é possível perceber que os esquemas de extração superconvergentes apresentam campos de fluxos menos afetados pela distorção, e que o esquema direto nos nós apresenta resultados mais sensíveis a distorção da malha.

7 CONCLUSÕES

Com relação à eficiência dos esquemas de extração de fluxos suavizados global, os resultados mostram que à medida que a malha é refinada o esquema global iterativo é competitivo quando comparado com o global direto, pois, menos iterações são necessárias para alcançar a tolerância imposta.

O estudo que procurou analisar a influência da distorção da malha na extração de fluxos. No primeiro caso, onde o nó do meio dos lados foram realocados, mantendo-se a proporcional a distancia entre os nós vizinhos, os estudos mostraram que a recuperação superconvergente com 7 termos, juntamente com recuperação superconvergente com 8 termos apresentaram menos sensibilidade. Para os casos onde os nós do meio não foram realocados, o esquema de recuperação superconvergente com 7 termos, juntamente com recuperação superconvergente com 8 termos tiveram menor sensibilidade. Para ambos os casos o esquema de extração direto nos nós mostrou o pior comportamento.

O acoplamento termo-mecânico não foi implementado, ficando para a continuidade do projeto.

(32)

(a) (b)

Figura 32. (a) Placa plana com condução isotrópica; (b) campo de temperaturas.

Figura 33. Campo de fluxos na direção x, direto nos nós, esquerda, e extrapolado, direita.

Figura 34. Campo de fluxos na direção x, Suavizado, esquerda, e suavizado local, direita.

(33)

(a) (b)

Figura 36. (a) Placa plana com condução isotrópica; (b) campo de temperaturas.

Figura 37. Campo de fluxos na direção x, direto nos nós, esquerda, e extrapolado, direita.

Figura 38. Campo de fluxos na direção x, Suavizado, esquerda, e suavizado local, direita.