A aprendizagem dos números e das operações através do jogo: um estudo no 3º ano de escolaridade

(1)

A APRENDIZAGEM DOS NÚMEROS

E DAS OPERAÇÕES ATRAVÉS DO

JOGO: UM ESTUDO NO 3.º ANO DE

ESCOLARIDADE

Relatório de projeto de investigação do Mestrado em Educação Pré-Escolar e Ensino do 1.º Ciclo do Ensino Básico

ORIENTADORA

Professora Doutora Catarina Raquel Santana Coutinho Alves Delgado

Setembro, 2019

NAIR SOLANGE

SÁRDICO FAUSTINO

(2)

(3)

II

A APRENDIZAGEM DOS NÚMEROS

E DAS OPERAÇÕES ATRAVÉS DO

JOGO: UM ESTUDO NO 3.º ANO DE

ESCOLARIDADE

Relatório de projeto de investigação do Mestrado em Educação Pré-Escolar e Ensino do 1.º Ciclo do Ensino Básico

ORIENTADORA

Professora Doutora Catarina Raquel Santana Coutinho Alves Delgado

Setembro, 2019

NAIR SOLANGE

SÁRDICO FAUSTINO

(4)

III “Quando se viaja em direção a um objetivo, é muito importante prestar atenção ao caminho. O caminho é que nos ensina sempre a melhor maneira de chegar, e enriquece-nos, enquanto o cruzamos.” (Paulo Coelho)

(5)

IV

Agradecimentos

Este projeto de investigação é o resultado de toda a minha dedicação neste percurso académico. Foram anos de muitas angústias, ansiedades, lágrimas e nervosismo, mas que também me trouxeram muitas aprendizagens, experiências, sorrisos e amizades que levo para toda a minha vida pessoal e profissional. Quero assim agradecer a todas as pessoas que me ajudaram a realizar este grande sonho!

Primeiramente, quero agradecer à Prof. Dr.ª Catarina Delgado por toda a sua disponibilidade, pelos ensinamentos, pela exigência, pelas palavras motivadoras e pela paciência. Sem o seu apoio não conseguiria dar a atenção devida a este projeto.

Aos meus pais, por terem acreditado nas minhas competências e capacidades, por me terem incentivado a lutar pelo meu sonho e por todo o apoio e amor que sempre depositaram em mim. Obrigada!

À minha irmã que foi o meu grande pilar, que me ‘obrigou’ a trabalhar quando não tinha vontade e que aturou o meu mau feitio ao longo deste tempo.

Ao meu amor que me fez recordar que ainda tinha a possibilidade de concretizar este sonho. Obrigada pelo apoio, pelo carinho, por acreditares que sou capaz, pelo abraço apertado quando mais precisei e, particularmente, obrigada pela paciência.

Às minhas amigas e colegas, Andreia, Marta, Débora, Inês Vieira e Inês Sebastião. Obrigada por partilharmos juntas as nossas tristezas e alegrias e pela vossa amizade, sem vocês não faria sentido! Um agradecimento especial à Inês Sebastião que foi o meu pilar durante este projeto. Obrigada pela ajuda, pela partilha e pela união. Foste essencial neste percurso!

A toda a equipa do Pim Pam Pum e aos meninos, pelas aprendizagens, pelo carinho e pela paciência.

Um obrigada aos professores da ESE, aos meninos e aos professores e educadores cooperantes que contribuíram para a minha evolução. Particularmente, agradeço aos alunos do 3.º ano que me ajudaram na realização deste projeto e à professora Clarisse por ter aberto a porta da sua sala, por ter partilhado a sua prática pedagógica e pelas palavras de apoio e incentivo. É uma pessoa extraordinária, um exemplo a seguir!

(6)

(7)

VI

Resumo

Este relatório incide na área da Matemática e tem como principal objetivo compreender de que forma os jogos favorecem a aprendizagem da Matemática e é orientado pelas seguintes questões: (i) ‘De que modo os alunos experienciam a exploração de jogos?’ e (ii) ‘De que modo os alunos aprendem Matemática através da exploração de jogos?’.

O enquadramento teórico apresenta os significados, o valor e diferentes tipologias de jogo e discute a importância dos jogos no ensino e na aprendizagem da Matemática, em particular dos Números e Operações. Do ponto de vista metodológico, este estudo enquadra-se numa abordagem qualitativa, com características de uma investigação sobre a prática. A recolha de dados foi realizada em contexto de estágio, numa turma com alunos do 2.º e 3.º anos de escolaridade. Os participantes deste estudo são os alunos do 3.º ano desta turma e os dados foram recolhidos através da observação participante, de inquérito por questionário aos alunos e de recolha documental.

Os resultados obtidos revelam que: (i) a compreensão das regras do jogo influencia a progressão do jogo e a perceção dos alunos sobre o mesmo; (ii) as dificuldades dos alunos influenciam a sua perceção sobre o jogo; (iii) o jogo fomenta a cooperação entre os alunos; (iv) a realização dos jogos de Dominó das frações parece ter contribuído para que, globalmente, os alunos associassem corretamente a representação simbólica de uma fração a uma sua representação icónica e para a compreensão da relação parte-todo (v) a realização dos jogos de Loto das operações parece ter contribuído para que os alunos, globalmente: calculassem produtos recorrendo a estratégias diversificadas e efetuassem divisões recorrendo a produtos conhecidos e à relação inversa com a operação multiplicação; (vi) os alunos evidenciaram mais dificuldades no cálculo associados à operação divisão; (vii) a situação de jogo parece ter contribuído para o envolvimento dos alunos na realização das tarefas Matemáticas que lhes estavam subjacentes.

Palavras-chave: Jogo Matemático; Aprendizagem da Matemática; Números e

(8)

(9)

VIII

Abstract

This report focuses on Mathematics and its main objective is to understand how games favor mathematics learning and is guided by the following questions: (i) 'How do students experience game exploration?' and (ii) 'How do students learn math by exploring games?'.

The theorical framework presents the meanings, the value and different typologies of the game as well as discussing the importance of the games in teaching and learning of mathematic, in particular in the Numbers and Operations. From methodological point of view this study fits on a qualitative approach, with characteristics of an investigation about practice. The data collection was done in an internship context, in a class with students from 2nd and 3rd year of school. The participants of this study are students from 3rd year of this class and the information was collected through observation of the participants, by a survey to the students and documental collection.

The results obtained revels that: (i) the comprehension of the games’ laws affects the development of the game and the students perception about this; (ii) students difficulties influences there perception of the game; (iii) the game promotes cooperation between students; (iv) the realization of the fractions Dominoes games seems to have contribute to, globally, students associated correctively the symbolic representation of a fraction to an iconic representation and for the comprehension of the relationship between the part-all; (v) the games of Lotto operations execution seems to have contributed so that students, globally: calculate products using diversified strategies and doing divisions using known products and the inverse relationship with the multiplication operation; (vi) the students evidenced more difficulties in calculous associated with division operation; (vii) the game situation seems to have contributed for students to engaged in the mathematics tasks.

(10)

IX

Índice

Índice de Quadros ... XIII Índice de Figuras ... XV

Capítulo I – Introdução ... 17

1.1. Motivação, objetivo e questões do estudo ... 17

1.2. Organização do Relatório ... 19

Capítulo II – Enquadramento Teórico... 21

2.1. O Jogo... 21

2.1.1. Valor e significados atribuídos a jogo ... 21

2.1.2. Tipologias de jogos... 23

2.2. A importância dos jogos no ensino e na aprendizagem da Matemática ... 26

2.3. A Aprendizagem dos Números e das Operações... 28

Capítulo III – Metodologia ... 37

3.1. Opções Metodológicas ... 37

3.1.1. Investigação Qualitativa ... 37

3.1.2. Investigação sobre a prática ... 38

3.2. Contexto e Participantes do estudo ... 40

3.2.1. Caracterização do contexto ... 40

3.2.2. Participantes ... 41

3.3. Técnicas e instrumentos de recolha e tratamento de dados ... 42

3.3.1. Observação participante ... 42

3.3.2. Inquérito por questionário ... 43

3.3.3. Recolha documental ... 44

3.4. Processo de Recolha dos Dados ... 44

3.5. Processo de análise dos dados ... 47

(11)

X

4.1. Os jogos propostos: objetivos e regras ... 48

4.1.1. Jogo 1 e 2 – Dominó das frações 1 e 2 ... 48

4.1.2. Jogo 3 – Loto 1 – “Loto da Multiplicação” ... 49

4.1.3. Jogo 4 – Loto 2 – “Loto da Multiplicação e Divisão” ... 50

4.1.4. Jogo 5 – Loto 3 – “Loto da Divisão” ... 50

4.1.5. Jogo 6 – Loto 4 – “Compilação dos Lotos da Multiplicação e Divisão” ... 51

4.2. Os momentos de exploração dos jogos ... 52

4.3. Tarefas atribuídas aos alunos do 2.º ano durante os momentos de jogo ... 53

Capítulo V – Análise dos dados... 55

5.1. A exploração dos jogos na sala de aula ... 55

5.1.1. Dominó das frações 1 ... 55

5.1.2. Dominó das frações 2 ... 61

5.1.3. Loto da Multiplicação ... 69

5.1.4. Loto da Multiplicação e Divisão ... 79

5.1.5. Loto da Divisão ... 85

5.1.6. Compilação dos Lotos da Multiplicação e Divisão ... 92

5.2. A perceção dos alunos sobre os jogos ... 96

5.2.1. Jogo do Dominó das frações 1 e 2 ... 96

5.2.2. Jogo do Loto das operações 1, 2, 3 e 4 ... 104

Capítulo VI – Conclusão ... 117

6.1. Síntese do estudo ... 117

6.2. Conclusões do estudo ... 118

6.2.1. De que modo os alunos experienciam a exploração dos jogos? ... 118

6.2.2. De que modo os alunos aprendem Matemática através da exploração dos jogos? ... 122

(12)

XI Referências ... 129

(13)

(14)

XIII

Índice de Quadros

Quadro 2.1: Síntese das tipologias de jogos apresentadas ... 25

Quadro 3.1: Síntese do processo da recolha de dados ... ...46

Quadro 5.1: Respostas dos alunos à questão 3 referentes ao jogo do Dominó das Frações 1 ... 96

Quadro 5.3: Quadro comparativo das respostas dos alunos à questão 3 do questionário referentes aos jogos das frações 1 e 2 ... 99

Quadro 5.10: Respostas dos alunos à questão 3 referentes ao jogo do Loto 1 ... 104

(15)

XIV Quadro 5.14: Quadro comparativo das respostas dos alunos à questão 3 do questionário

referentes aos jogos do Loto 1, 2, 3 e 4 ... 108

Quadro 5.19: Quadro comparativo das respostas dos alunos à questão 4 do questionário referentes aos jogos do Loto 1, 2, 3 e 4 ... 112

Quadro 5.24: Quadro comparativo das respostas dos alunos à questão 5 do questionário referentes aos jogos do Loto 1, 2, 3 e 4 ... 116

(16)

XV

Índice de Figuras

Figura 5.1 – Construção do jogo do Dominó das Frações 1 realizada por Cláudio e André

... 56

Figura 5.2 – Construção do jogo do Dominó das Frações 1 realizada por Artur e Ivo ... 57

Figura 5.3 – Terceira construção do jogo do Dominó das Frações 1 realizada por Maria, Filipa e José ... 58

Figura 5.4 – Peças representadas no quadro negro durante a apresentação do jogo .. 59

Figura 5.5 – Construção do jogo do Dominó das Frações 1 realizada por Rui e Sara .... 60

Figura 5.6 – Construção do jogo do Dominó das Frações 2 realizada por Cláudio e Rui 62 Figura 5.7 – Construção do jogo do Dominó das Frações 2 realizada por Ivo e Carla ... 63

Figura 5.8 – Peça disponível para a jogada de Cláudio ... 64

Figura 5.9 – Peça sugerida pela colega de estágio ... 65

Figura 5.10 – Peça colocada corretamente por Rui ... 66

Figura 5.11 – Peça referida no episódio 6 ... 66

Figura 5.12 – Peça referida no episódio 9 ... 67

Figura 5.13 – Construção correta realizada por Sara e Maria ... 68

Figura 5.14 – Primeira peça apresentada por Rui ... 69

Figura 5.15 – Segunda peça apresentada por Rui ... 69

Figura 5.16 – Preenchimento do cartão 1, do Loto da Multiplicação, após a simulação com a turma ... 70

Figura 5.17 – Preenchimento do cartão 2, do Loto da Multiplicação, por Artur e Filipa71 Figura 5.18 – Preenchimento do cartão 2, do Loto da Multiplicação, por Cláudio e Rui, até ao momento do episódio 9 ... 72

Figura 5.19 – Preenchimento do cartão 2, do Loto da Multiplicação, por Cláudio e Rui ... 73 Figura 5.20 – Preenchimento do cartão 2, do Loto da Multiplicação, por José e André 73 Figura 5.21 – Preenchimento do cartão 2, do Loto da Multiplicação, por Ivo e Wilson 74

(17)

XVI Figura 5.22 – Preenchimento da coluna 1 do cartão 2, do Loto da Multiplicação, por

Cláudio e Rui ... 76

Figura 5.23 – Preenchimento da coluna 4 do cartão 2, do Loto da Multiplicação, por Cláudio e Rui ... 78

Figura 5.24 – Preenchimento do cartão 1, do Loto da Multiplicação e Divisão, após a simulação com a turma ... 79

Figura 5.25 – Preenchimento do cartão 2, do Loto da Multiplicação e Divisão, por Maria e Sara ... 81

Figura 5.26 – Preenchimento do cartão 2, do Loto da Multiplicação e Divisão, por Ivo e Carla ... 84

Figura 5.27 – Preenchimento do cartão 1, do Loto da Divisão, após a simulação com a turma ... 86

Figura 5.28 – Preenchimento do cartão 2, do Loto da Divisão, por Cláudio e Rui ... 87

Figura 5.29 – Preenchimento do cartão 2, do Loto da Divisão, por Ivo e Carla ... 88

Figura 5.30 – Preenchimento do cartão 2, do Loto da Divisão, por Artur e Filipa ... 88

Figura 5.31 – Preenchimento do cartão 2, do Loto da Divisão, por André, José e Wilson ... 88

Figura 5.32 – Preenchimento do cartão 1, do Loto da Multiplicação e Divisão, por André e José ... 94

Figura 5.33 – Preenchimento do cartão 3, do Loto da Multiplicação, por Cláudio e Rui ……….95

(18)

17

Capítulo I – Introdução

Nesta fase final do meu percurso académico, apresento a investigação que desenvolvi no âmbito da Unidade Curricular (UC) Estágio IV, com uma turma composta por alunos de dois anos de escolaridade (2.º e 3.º anos), de uma escola na cidade de Setúbal. O estudo envolve os alunos de 3.º ano desta turma e incide na área da Matemática, mais concretamente no papel dos jogos na sua aprendizagem. Este capítulo está organizado em duas secções: a primeira é referente aos aspetos que me motivaram para a concretização desta investigação e a segunda apresenta a organização do relatório.

1.1. Motivação, objetivo e questões do estudo

Os motivos da escolha deste tema estão associados a razões pessoais, de pertinência teórica e contextuais. Centrando-me em primeiro lugar nas razões pessoais, posso afirmar que a Matemática é uma área pela qual sempre tive bastante interesse e em que senti mais facilidade enquanto estudante. Na qualidade de futura professora, a possibilidade de aprofundar aspetos associados à sua aprendizagem constitui igualmente uma fonte acrescida de motivação, aspeto que considero ser fundamental para realizar um trabalho desta natureza. Efetivamente, tal como afirma Ponte (2002), “se as questões não são de real interesse para o professor, não será de esperar que ele tenha o investimento afectivo necessário para levar a investigação a bom termo” (p. 13).

A opção de realizar um estudo focado no papel dos jogos na aprendizagem da Matemática prende-se, sobretudo, com razões de pertinência teórica e contextuais.

Relativamente à pertinência do tema, a investigação salienta a importância do jogo na aprendizagem como forma de promover a interação social entre os alunos, por permitir que estes encarem o erro como algo natural, fazendo-os sentirem que têm sucesso por estarem a aproximar-se da resposta correta e, ainda, por respeitarem o seu ritmo de aprendizagem (Lopes et al., 1996, citado por Nogueira, 2004).

A investigação salienta também que o envolvimento dos alunos na resolução das tarefas propostas pelo professor é fundamental para que efetivamente ocorra aprendizagem (Guimarães & Boruchovitch, 2004). Em particular, no que se refere à aprendizagem da Matemática reconhece-se que o jogo pode contribuir para esse

(19)

18 envolvimento, permitindo a aprendizagem de conteúdos de um modo lúdico (Moura & Viamonte, 2012). Contudo, “os jogos devem constituir oportunidades para que os alunos discutam a Matemática a um nível de exigência cognitivo elevado e que desafiem a desconstrução de conceções erróneas” (Jackson, Taylor & Buchheister, 2013, p. 428). Sempre que penso numa tarefa Matemática adequada para promover a aprendizagem dos alunos penso, simultaneamente, nas suas potencialidades para envolver os alunos na sua resolução. Muito provavelmente, esta preocupação pode ser reforçada por algumas das minhas vivências relacionadas com o ensino da Matemática. Por exemplo, a minha experiência num ATL, no qual tinha a função de apoiar as crianças nos seus trabalhos escolares, reforça a ideia da necessidade de motivar os alunos para a aprendizagem da Matemática. De facto, fui-me apercebendo que a maioria das crianças não gostava de Matemática e revelava grandes dificuldades na sua aprendizagem.

Ao iniciar o estágio III, com uma turma de 1.º ano (da mesma escola onde a intervenção associada a este projeto foi realizada), deparei-me com uma realidade um pouco diferente, pois a grande maioria dos alunos resolvia com sucesso as tarefas de Matemática que lhes eram propostas. Contudo, pude também observar que os alunos foram perdendo o interesse em fazê-lo, pois as tarefas apresentavam características rotineiras – os alunos liam a questão (do manual), por vezes, sobre conteúdos que já dominavam, depois resolviam-nas e, caso as terminassem mais cedo, ficavam à espera dos restantes colegas. Ao perceber esta situação, eu e a minha colega de estágio, tentámos utilizar outros recursos, para além do manual, baseados na resolução de problemas através de imagens, pinturas e fichas concebidas por nós. Fomos observando um maior envolvimento das crianças na resolução de tarefas Matemáticas, pois estas propostas pareciam mostrar-se mais interessantes e desafiadoras para os alunos. Depois de vivenciar esta experiência, considero que o tipo de tarefas que se propõem aos alunos pode influenciar o seu interesse pela Matemática.

O jogo é uma via de proposta de trabalho em torno da Matemática que me ocorre de imediato como forma de articular a aprendizagem de conteúdos e/ou procedimentos associados à Matemática e o envolvimento dos alunos para essa aprendizagem. Inclusive, no último ano da licenciatura, na UC de Introdução à Didática da Matemática, foi solicitado um trabalho de grupo em que tínhamos de planificar algumas tarefas,

(20)

19 sendo que a escolha do meu grupo recaiu de imediato na concretização de um jogo. Mas, que papel poderão ter os jogos na aprendizagem dos alunos, em particular, na aprendizagem da Matemática? Esta questão continuou a acompanhar-me no meu percurso enquanto futura professora, reforçando-se perante o novo contexto de estágio.

Contrariamente à turma onde realizei o estágio III, os alunos da turma na qual desenvolvi a intervenção associada ao presente projeto são desafiados a resolver situações problemáticas, algumas associam a Matemática a contextos reais (que as crianças já vivenciaram) e realizam alguns jogos. Embora lhes seja proposto um trabalho diferente do descrito acima, o grupo de alunos do 3.º ano desta turma possui uma elevada percentagem de insucesso na área da Matemática. Assim, associada à questão do papel dos jogos na aprendizagem da Matemática surgiram outras: Que jogos deverá o professor selecionar e/ou adaptar para promover a aprendizagem da Matemática e para os ajudar a ultrapassar dificuldades nesta área? Que cuidados deve ter no modo como os propõe e os explora na sala de aula?

Foi deste modo que optei por enveredar por uma investigação que me envolvesse na adaptação e/ou construção de jogos de Matemática e na sua exploração na sala de aula e que, simultaneamente, me permitisse compreender o papel do jogo na aprendizagem da Matemática. Assim, esta investigação tem como objetivo compreender de que forma os jogos favorecem a aprendizagem da Matemática e é orientado pelas seguintes questões:

- De que modo os alunos experienciam a exploração de jogos?

- De que modo os alunos aprendem Matemática através da exploração de jogos?

1.2. Organização do Relatório

Este trabalho encontra-se organizado em seis capítulos, correspondendo o primeiro à Introdução, na qual abordo as motivações que me levaram a escolher este tema, apresento o objetivo e as questões da investigação e apresento a estrutura do presente relatório. No Capítulo II é apresentado o enquadramento teórico focado no tema do projeto. Mais concretamente, discuto o valor e significados atribuídos a jogo, apresento diferentes tipologias de jogos e refiro-me à importância dos jogos no ensino e na aprendizagem da Matemática, em particular nos Números e Operações. O Capítulo III

(21)

20 corresponde à Metodologia deste estudo e inclui a apresentação e justificação das opções metodológicas, uma breve caraterização do contexto e dos participantes do estudo, a referência aos instrumentos utilizados na recolha dos dados e uma descrição do processo de recolha e análise dos dados. O Capítulo IV apresenta a proposta pedagógica, dividida em três secções: na primeira abordo os objetivos e regras de cada jogo, na segunda descrevo brevemente cada momento associado à realização dos jogos e na última indico o trabalho que foi desenvolvido com os alunos do 2.º ano. O Capítulo V destina-se à análise dos dados. Cada conjunto de jogos é analisado em duas secções – uma referente à exploração dos jogos na sala de aula e, outra, sobre a perceção dos alunos relativa à sua realização. Por fim, o Capítulo VI inclui uma síntese do estudo, as suas conclusões e uma reflexão pessoal focada nos desafios com que me deparei durante o seu desenvolvimento.

(22)

21

Capítulo II – Enquadramento Teórico

Este capítulo está organizado em três secções. A primeira apresenta aspetos gerais relacionados com o jogo, nomeadamente o valor e significados que lhe são atribuídos e as diferentes tipologias de jogos. A segunda discute a importância do jogo no ensino e na aprendizagem da Matemática. Finalmente, a terceira foca-se no ensino e aprendizagem dos números e das operações, tendo em conta que este é o tema no qual recaem os jogos propostos no âmbito deste projeto.

2.1. O Jogo

2.1.1. Valor e significados atribuídos a jogo

Nas antigas civilizações, como a egípcia, a romana e a maia, a prática de jogos era frequente e contava com a participação quer de adultos quer de crianças. Os jogos possibilitavam a aprendizagem de valores, conhecimentos, normas e padrões de comportamento dos adultos (Nogueira, 2004). Mais tarde, tornou-se também importante para aprendizagem da leitura, do cálculo e da educação de um modo global (idem). Com o surgimento do Cristianismo, eliminam-se todas as práticas consideradas pagãs e aposta-se numa educação rígida e disciplinadora (idem). Em particular os jogos foram incluídos nesse tipo de práticas, sendo abolidos das diversas atividades sociais. Na época do Renascimento, passou a ser revalorizada e integrada esta prática (utilização dos jogos), atribuindo-lhe um papel mais pedagógico. Esta perspetiva intensifica-se no século XVIII, que ficou muito marcado “pela explosão, valorização e diversificação do jogo a par da expansão de estabelecimentos de educação, que culmina no século seguinte” (idem, p. 82). Mas, mais uma vez, na primeira metade do século XX volta-se a perder a credibilidade no poder pedagógico do jogo, considerando-o um elemento de distração. Na segunda metade do século XX, volta-se a reconhecer a importância desta atividade no ensino e na aprendizagem (idem). Esta breve nota histórica permite realçar que o valor atribuído ao jogo, em particular no que respeita ao ensino e à aprendizagem, foi mudando ao longo dos séculos e essa mudança surge associada ao entendimento de jogo, à importância atribuída à atividade de jogar e de como se perspetiva o ensino e a aprendizagem.

(23)

22 Mas o que se entende afinal por jogo? A Infopédia (Infopedia, 2013-2018) atribui 28 definições a jogo, entre as quais selecionei as seguintes: “atividade lúdica executada por prazer ou recreio, divertimento, distração”; “atividade lúdica ou competitiva em que há regras estabelecidas e em que os praticantes se opõem, pretendendo cada um ganhar ou conseguir melhor resultado que o outro”; “série de regras a cumprir numa atividade lúdica ou competitiva”; “conjunto de peças que permitem a realização de uma atividade lúdica”; “conjunto de peças que formam um todo”; “atividade em que, geralmente, se arrisca dinheiro ou outra coisa”.

De entre estas formas de definir jogo, sobressai a ideia de que este pode ser entendido como um material físico, formado por um conjunto de peças, ou por uma atividade, que pode ser lúdica e/ou competitiva, com determinadas regras. Quando entendida como atividade lúdica associa-se a uma situação de prazer e de divertimento. Compreende-se, assim, a complexidade de definir este termo – jogo. Confirmando esta complexidade, muitos são os autores que apresentam diferentes entendimentos de jogo e que reconhecem a dificuldade em defini-lo.

Moreira e Oliveira (2004) mencionam as conceções de outros autores relativamente a este termo, advertindo que é difícil atribuir-lhe uma única definição. Centrando-se na atividade realizada por crianças e apoiando-se nas ideias de Friedmann (2002), estas autoras referem que, de um modo geral, o jogo é “compreendido como uma brincadeira com regras onde as crianças interagem com outros, com ou sem objectos” (Moreira & Oliveira, 2004, p. 61). Também Matos e Ferreira (2004) associam o jogo a uma atividade que inclui regras, acrescentando a ideia de que cada jogador recorre a um conjunto de estratégias de modo a atingir um determinado objetivo.

O jogo pode ser abordado ao nível das relações sociais que permite estabelecer. Segundo o psicólogo Elkonin (1954), o jogo é “uma actividade em que se reconstituem sem fins utilitários directos as relações sociais” (p. 22, citado por Moreira & Oliveira, 2004, p. 63). Iturra e Reis (1991) afirmam que “o jogo é parte do conjunto de ideias com que se aprende a gerir a vida social; (…) é uma acumulação de saber que dinamiza a vida do indivíduo em sociedade” (p. 9-10, citado por Moreira & Oliveira, 2004, p. 65).

O jogo também pode ser caraterizado ao nível das emoções, pois, através dele manifestam-se sentimentos de tensão e alegria (Moreira & Oliveira, 2004). Moreira e Oliveira (2004) acrescentam mais duas particularidades desta atividade: a incerteza do

(24)

23 resultado que se irá obter, pela aleatoriedade que lhe está subjacente e o facto de ser uma atividade fictícia, pois o jogo circunscreve-se a uma realidade específica. Salvador (2012) defende que o jogo tem uma função de preparar para a vida quotidiana e não de ser acompanhado pela mesma, precisamente por ser realizado num determinado tempo e com um conjunto de regras. Tal como os autores referidos anteriormente, também o caracteriza como uma atividade que proporciona prazer e diversão e que pode ser mental e/ou física.

Para além do prazer e da diversão, os jogos também são atividades que permitem desenvolver aprendizagens, tal como eram reconhecidos nas antigas civilizações. É neste sentido que se encaram os jogos neste projeto – uma atividade, cuja realização implica um conjunto de regras, que envolva prazer, divertimento e aprendizagens.

2.1.2. Tipologias de jogos

Tendo por base a literatura revista, tal como as diversas definições e caraterísticas dos jogos, estes também são categorizados de diversos modos, não existindo uma única classificação entre os vários autores.

Existem classificações que categorizam os jogos segundo: a competição, que desafia e envolve a disputa entre os jogadores, enaltecendo as capacidades dos mesmos e tornando-as reconhecidas no final do jogo; a sorte, em que o resultado depende apenas da sorte do jogador; a mímica e o “fazer de conta”, nos quais os jogadores fingem ser algo que não são, predominando a teatralidade (por exemplo: uma criança finge ser um cão); a procura de vertigem, em que o objetivo é causar situações de pânico e vertigem (Moreira & Oliveira, 2004).

Os jogos podem também ser categorizados segundo os seus objetivos. Neto e Silva (2004) classifica-os deste modo apresentando as seguintes categorias: de território, em que o objetivo é obter o maior espaço possível, tendo em conta as regras do jogo; de bloqueio, que têm a finalidade de impedir as jogadas do adversário; de captura, em que se pretende recolher peças adversárias; de posição, que se prendem em “deslocar uma ou mais peças para uma determinada zona do tabuleiro” (idem, p. 23); de padrões, nos quais se pretende realizar um alinhamento de peças; abstratos ou de conexão, nos quais “cada jogador procura criar um grupo de peças que satisfaça um determinado critério vitorioso (por exemplo, ligar dois lados opostos do tabuleiro)” (idem, p. 23).

(25)

24 Outra tipologia refere-se a jogos curriculares e a jogos educativos (Sá, 1995). Os jogos curriculares são jogados em contexto escolar e são construídos tendo por base objetivos curriculares. Estes jogos subdividem-se em três tipos: pré-instrucional, em que o jogo é um instrumento para a aprendizagem de conteúdos (introdução de conceitos) e apropriação de procedimentos; co-instrucional, o jogo não é o único instrumento de aprendizagem de conteúdos (reforço dos conhecimentos adquiridos sobre os conceitos e compreensão do jogo); pós-instrucional, no qual o jogo tem a função de consolidar conhecimentos (Galán, 2013-2014; Vílchez, 2015). Relativamente aos jogos educativos, estes possuem objetivos educacionais, cognitivos ou afetivos e são planeados por qualquer pessoa que esteja na área da educação, não sendo obrigatório que se jogue em contexto escolar (Sá, 1995).

De entre os jogos que visam a aprendizagem de conteúdos podem ser identificados os jogos cooperativos. Nestes elimina-se a competitividade, dado que esta pode provocar o desenvolvimento de sentimentos negativos, tal como a frustração, e fomentam o trabalho em equipa para resolver o jogo, não havendo qualquer vencedor (Salvador, 2012).

Existem também classificações centradas na Matemática. Uma delas é referida por Moura e Viamonte (2012) que catalogam os jogos tendo em conta a atividade matemática que permitem desenvolver e as características do jogo: “jogos quebra-cabeças, jogos combinatórios; jogos abstractos, jogos aritméticos e por jogos geométricos” (idem, p. 3). Uma outra categorização apresentada por Vílchez (2015) centra-se nos objetivos de aprendizagem que permitem atingir: melhorar as capacidades e/ou competências para que o jogador consiga vencer o maior número de vezes possível (jogos de conhecimento); encontrar uma estratégia que permita a resolução do jogo de modo a ganhar aos seus adversários ou terminar jogo, caso se trate apenas de um jogador (jogos de estratégia).

Os “jogos matemáticos incentivam os alunos a explorar combinações de números, valores de lugar, padrões e outros conceitos matemáticos importantes” (NCTM, 2007, p. 464) e “devem fornecer oportunidades para os alunos discutirem matemática num alto nível de indagação cognitiva e desafiar conceções erróneas” (Jackson, Taylor & Buchheister, 2013, p. 428). Entende-se deste modo que os jogos têm o poder de introduzir conceitos matemáticos, novos conteúdos e desconstruir conceções erróneas,

(26)

25 através da própria ação do aluno. Referindo-se a esta tipologia de jogos (jogos matemáticos), Moura e Viamonte (2012) defendem que estes envolvem a tentativa, a observação, a análise, a conjetura e a verificação, que são processos importantes no desenvolvimento do raciocínio matemático.

Importa referir que as tipologias aqui apresentadas são apenas algumas das que existem. O quadro 2.1 apresenta uma síntese destas tipologias.

Quadro 2.1: Síntese das tipologias de jogos apresentadas

Autores Tipologias Moreira e Oliveira (2004) - Competição - Sorte - ‘Faz de conta’ - Procura de vertigem Neto e Silva (2004) Com objetivos: - Território - Bloqueio - Captura - Posição - Padrões - Abstratos Galán (2013-2014), Sá (1995), Salvador (2012) e Vílchez (2015) Curriculares e educativos: - Pré-instrucionais - Co-instrucionais - Pós-instrucionais Vílchez (2015) Jogos matemáticos: - Conhecimento - Estratégia Moura e Viamonte (2012) Jogos matemáticos: - Quebra-cabeças - Combinatórios - Abstratos - Aritméticos - Geométricos

No presente projeto de investigação, os jogos elaborados inserem-se na tipologia de jogos curriculares e matemáticos. Estes foram escolhidos tendo por base as metas e o

(27)

26 programa do 1.º Ciclo do Ensino Básico e variam entre co-instrucionais e pré-instrucionais (jogos curriculares). Podem ainda ser caraterizados como jogos de conhecimento, uma vez que pretendem desenvolver os conhecimentos e competências dos alunos.

2.2. A importância dos jogos no ensino e na aprendizagem da

Matemática

Palhares (2004) apresenta uma discussão sobre o papel do jogo no ensino da Matemática, através da qual se pode perceber que este não é consensual como recurso educativo. O autor refere que o pedagogo Froebel (1782-1852) considerava que as crianças refletem através da ação, sendo que com o jogo pode-se “manipular, rearranjar, agir e reflectir” (Palhares, 2004, p. 133). Segundo o mesmo autor, Montessori (1869-1952) contradiz esta ideia, considerando que o jogo é ofensivo e desnecessário na aprendizagem da criança. No entanto, Palhares (2004) apoia-se nas ideias de autores da área da psicologia para salientar benefícios para as crianças associados ao ato de jogar. Referindo Piaget, o autor salienta a ideia de que o jogo permite novas aprendizagens (assimilação), mas também, e principalmente, a assimilação sobre a acomodação (modificação das aprendizagens). De Vygotsky salienta a perspetiva de o considerar indispensável no desenvolvimento da criança, ao estar vinculado à zona de desenvolvimento proximal, e por permitir estabelecer uma correlação entre a imaginação e as regras.

Também, Moura e Viamonte (2012) consideram os jogos indispensáveis à prática educativa, defendendo que são a base para o desenvolvimento da atividade mental. Tendo como suporte a teoria de Vygotsky, Nogueira (2004) afirma que:

o jogo apresentar-se-á por isso como uma actividade de vanguarda no desenvolvimento da criança porque permite exercitar, no plano imaginativo, não só as capacidades de planear, imaginar e representar papéis e situações quotidianas, mas também explorar o carácter social das situações lúdicas, os conteúdos e a regra inerente à situação. (idem, p. 83)

Para Viana, Vieira e Teixeira (1989) “uma aula onde se joga é uma aula animada, divertida e participada” (p. 24), acrescentando, contudo, que “não se pode ficar por

(28)

27 aqui” (p. 24). Estes autores salientam, assim, um equilíbrio na valorização das dimensões motivacionais e curriculares que os jogos podem constituir enquanto recursos educativos.

Moura e Viamonte (2012), Jackson, Taylor e Buchheister (2013) e Nogueira (2004) também concordam que a utilização do jogo promove o entusiasmo e a motivação dos alunos para participar, realçando que estes aspetos são importantes para que ocorra aprendizagem. Tal como indica Sá (1995) “o que é importante é ter sempre presente que a actividade de jogar deverá conduzir a uma aprendizagem significativa” (p. 8), ou seja, uma aprendizagem com compreensão.

Existem diversas vantagens na utilização do jogo, enquanto recurso pedagógico, tanto para o professor como para o aluno (Moura & Viamonte, 2012).

No que se refere aos alunos, o jogo, para além de promover o seu interesse e participação, constitui uma via com potencialidades para o desenvolvimento do seu espírito reflexivo e crítico e para encarar o erro como um modo de aproximação à resposta correta (Moura & Viamonte, 2012). O erro é visto como parte integrante do processo de aprendizagem (Moura & Viamonte, 2012) e encarado de forma natural, pelo que a criança sente que tem sucesso (Nogueira, 2004).

O jogo também estimula e desenvolve a criatividade, a linguagem, o uso da diversidade de estratégias e a sua comparação, a curiosidade, a imaginação e a observação (Grando, 2000; Moura & Viamonte, 2012; Palhares, 2004; Jackson, Taylor & Buchheister, 2013; Nogueira, 2004). Grando (2000) acrescenta ainda que o jogo ajuda a reter conceitos que já foram aprendidos, desenvolve o uso de diversas estratégias de resolução de problemas, auxilia na aprendizagem da tomada de decisões e de saber avaliá-las e, ainda, torna o aluno um participante ativo na sua aprendizagem.

Dadas estas vantagens, segundo Moura e Viamonte (2012) existem autores que associam a utilização dos jogos à aprendizagem da Matemática, uma vez que nesta área, mais especificamente, estes promovem a construção do conhecimento lógico matemático e a organização, a atenção e a concentração, considerando estes elementos essenciais na aprendizagem desta área.

Relativamente ao professor, o jogo constitui um recurso educativo que permite perceber quais as dificuldades dos alunos, quem possui mais dificuldades e se houve assimilação de conteúdos (Moura & Viamonte, 2012). No que se refere ao processo de

(29)

28 ensino e aprendizagem, destaca-se que o jogo favorece uma abordagem dos conceitos matemáticos de modo informal e intuitivo, permite o respeito pelo ritmo de cada aluno e incentiva a interação social (Nogueira, 2004). Grando (2000) acrescenta ainda que o jogo é um recurso vantajoso para a introdução de novos conceitos que sejam de difícil assimilação e, ainda, permite a interdisciplinaridade.

Todavia nem tudo são vantagens. Como em qualquer recurso, os jogos também possuem desvantagens, como a agitação na sala de aula (Vílchez, 2015). Este aspeto, por vezes, está na origem da descredibilização do uso do jogo por parte de alguns professores e encarregados de educação, que acreditam que o silêncio é fundamental para a aprendizagem e só quando ele existe é que se aprende (idem). Grando (2000) acrescenta, ainda, os seguintes aspetos: uma intervenção constante do professor pode diminuir a ludicidade do jogo; é necessário ter em atenção que um jogo despende tempo e por isso poderá ser preciso ‘sacrificar’ alguns conteúdos; se o jogo não for utilizado de modo adequado, este poderá tornar-se numa atividade realizada sem pensar e os alunos poderão não perceber o seu significado, ou seja, porque o jogam; se os conceitos forem todos iniciados com jogos, as aulas deixam de ter sentido para os alunos.

Podem ser também identificados constrangimentos de outra natureza associados ao uso de jogos como recursos pedagógicos. O orçamento escolar é normalmente limitado, pelo que, por vezes, não é possível adquirir jogos diversificados e em quantidades suficientes (Grando, 2000; Vílchez, 2015). Também as condições físicas das salas de aulas nem sempre são adequadas, por existirem mesas e cadeiras que não podem ser deslocadas e pelo barulho que a exploração do jogo pode suscitar (Vílchez, 2015).

2.3. A Aprendizagem dos Números e das Operações

Como já referido, esta investigação incide no jogo e na aprendizagem da Matemática, cujos jogos selecionados pertencem ao tema ‘Números e Operações’, tendo sido propostos jogos que envolvem a representação de números racionais sob a forma de fração e situações de cálculo com as operações multiplicação e divisão. Neste sentido, nesta secção discutem-se aspetos relacionados com o ensino e a aprendizagem dos números e das operações e, em particular, associados a estes tópicos específicos.

Em conformidade com o NCTM (2008), o desenvolvimento do sentido de número é o “ponto-chave” (p. 34) da aprendizagem dos números e das operações. Todavia, esta

(30)

29 expressão – ‘sentido de número’ – é algo complexa de se definir, existindo diversos autores que a caracterizam. Um dos entendimentos de sentido de número que tem sido adotado por muitos investigadores que se debruçam sobre o modo como os alunos aprendem e desenvolvem as suas aprendizagens sobre os números e as operações é apresentado por McIntosh, Reys e Reys (1992). Estes autores integram na sua descrição de sentido de número os contributos de diversos investigadores em educação Matemática e da psicologia cognitiva (Delgado, 2013), afirmando que:

O sentido de número refere-se a uma compreensão geral do indivíduo sobre os números e as operações, juntamente com a capacidade e inclinação para usar essa compreensão de modo flexível, para fazer juízos matemáticos e para desenvolver estratégias úteis para lidar com os números e com as operações. Reflete uma capacidade e uma tendência para usar os números e os métodos quantitativos como um meio de comunicação, processamento e tratamento de informação. (McIntosh et al., 1992, p. 3)

O sentido de número está, assim, relacionado com a intuição de cada indivíduo, que está em permanente evolução e que se evidencia nas estratégias que cada um usa ao lidar com problemas numéricos. Também Castro e Rodrigues (2008) salientam estas características ao afirmar que “a maioria das características do sentido de número se foca na sua natureza intuitiva, no seu desenvolvimento gradual e nos processos através dos quais se manifesta” (p. 118).

Os Princípios e Normas para a Matemática Escolar (NCTM, 2008) referem que, desde o pré-escolar até ao ensino secundário, é importante ter em conta os seguintes aspetos associados à aprendizagem dos números e das operações: “compreender os números, formas de representação dos números, relações entre números e sistemas numéricos; compreender o significado1_{das operações e o modo como elas se relacionam entre si;} calcular com destreza e fazer estimativas plausíveis” (p. 34).

No que diz respeito à primeira norma, os alunos devem perceber o que são os números e como podem representá-los de diversos modos como por exemplo, “1/2 de uma bolacha ou 1/8 de uma pizza” (NCTM, 2008, p. 35).

(31)

30 Relativamente à compreensão do sentido das operações e as suas relações, conforme se vai desenvolvendo a compreensão dos números e das suas diferentes representações, os alunos vão sendo capazes de os relacionar. A título de exemplo, devem perceber que a mesma operação pode ser utilizada em diferentes problemas. Assim,

face a um dado problema, os alunos deverão ser capazes de determinar se devem adicionar, subtrair, multiplicar ou dividir. Para tal, deverão reconhecer que a mesma operação pode ser aplicada em problemas, aparentemente, bastante diferentes uns dos outros; saber como se relacionam entre si as operações; e possuir uma noção do tipo de resultado que esperam obter. (NCTM, 2008, p. 37)

Por fim, respeitante à última norma, para que exista um cálculo com destreza é necessário possuir um entendimento sobre os conceitos e ter competência de cálculo (idem). Nesta sequência, à medida que resolvem problemas, os alunos vão adquirindo e desenvolvendo um conhecimento sobre os números e as operações, tornando-se cada vez mais flexíveis no cálculo (idem). Deverão utilizar métodos eficientes, com compreensão, de modo a saberem escolher e explicar qual o mais adequado para determinado contexto e para que utilizem os procedimentos de modo flexível (NCTM, 2008; NCTM, 2017). O NCTM (2008) salienta que a destreza no cálculo aritmético pode ser desenvolvida através da aprendizagem dos algoritmos ‘tradicionais’ desde que estes surjam de forma natural ou introduzidos pelo professor com compreensão.

A experiência mostra que, em aulas centradas no desenvolvimento e discussão de estratégias, vários dos algoritmos “tradicionais” ou emergem naturalmente ou podem ser introduzidos pelo professor, sempre que adequado. A finalidade é os alunos irem adquirindo destreza no cálculo aritmético: deverão possuir métodos eficientes e precisos, apoiados numa compreensão dos números e das operações. A utilização dos algoritmos “tradicionais” no cálculo aritmético constitui um meio para atingir essa destreza. (idem, p. 38)

Vinculado ao cálculo com destreza, Greeno (1991) associa o sentido de número essencialmente às capacidades para a realização de cálculo mental, de estimativa de quantidades e de julgamentos quantitativos. Segundo Noteboom, Boklove e Nelissen (2001), citados por Brocardo e Serrazina (2008), o cálculo mental pode ser entendido como:

(32)

31 um cálculo pensado (não mecânico) sobre representações mentais dos números. Envolve o uso de factos, de propriedades dos números ou das operações e das relações entre os números e as operações. Não é calcular na cabeça mas sim calcular com a cabeça e fazer alguns registos escritos, se necessário. Neste sentido, não deve ser visto como oposto ao cálculo escrito. (p. 90)

A definição de cálculo mental de Noteboom et al. (2001) sugere que este tipo de cálculo é de extrema importância no que respeita ao desenvolvimento do sentido de número. “O cálculo mental pressupõe um trabalho sistemático, focado no estabelecimento de relações entre os números e as operações” (Brocardo, Delgado & Mendes, 2010, p. 91), neste sentido as cadeias numéricas são tarefas importantes, que auxiliam o desenvolvimento deste tipo de cálculos, pois ajudam a relacionar os números e as propriedades das operações (Brocardo et al., 2010).

Para o desenvolvimento do cálculo mental também se torna importante o conhecimento e compreensão do sistema decimal, as propriedades das operações (multiplicação e divisão, em particular a partir do 3.º ano) e as diferentes relações numéricas. Estes três aspetos são relevantes para que seja possível a produção de representações equivalentes (NCTM, 2008), como “36 pode ser pensado como 30+6; 20+16; 9x4; 40-4, três dúzias ou quadrado de 6. Cada uma destas formas é mais vantajosa para uma determinada situação” (idem, p. 174).

Para que exista desenvolvimento do sentido de número, importa ter em conta as conexões das representações realizadas pelos alunos (NCTM, 2017). “O termo representação refere-se tanto ao processo como ao resultado – por outras palavras, à aquisição de um conceito ou de uma relação Matemática expressa numa determinada forma e à forma, em si mesma” (NCTM, 2008, p. 75). As representações são um auxílio na compreensão dos conceitos e das relações Matemáticas (NCTM, 2008). Diferentes representações incidem em aspetos diferentes, gerando novas relações e novos conceitos, organizando assim o raciocínio do aluno e facultando-lhe a sua reflexão.

Bruner classifica as representações como ativas, icónicas e simbólicas (Guerreiro & Serrazina, 2015). As representações ativas referem-se à manipulação de objetos, as icónicas dizem respeito à ilustração através de figuras, imagens, esquemas ou desenhos e as simbólicas são referentes à “linguagem simbólica, segundo regras convencionadas” (idem, p. 4).

(33)

32 Um vasto conhecimento de representações contribui para um sentido de número mais alargado, possibilitando aos alunos escolher a representação que mais se adequa a uma determinada situação (NCTM, 2008). Porém, também é “importante que os alunos aprendam formas de representação convencionais, de modo a facilitar quer a sua aprendizagem da matemática, quer a comunicação com terceiros das suas ideas matemáticas” (idem, p. 75).

A aprendizagem da multiplicação e da divisão. Durante um longo período

de tempo, considerava-se que existia conhecimento sobre Matemática se o aluno soubesse a tabuada e realizar contas. Atualmente perspetiva-se a aprendizagem dos números e das operações fundada no desenvolvimento do sentido de número (Carvalho & Gonçalves, 2003). A compreensão da multiplicação envolve uma transformação no pensamento do aluno, uma vez que existem novas relações entre os números. As estratégias de resolução de problemas estão relacionadas, à partida, com a representação mental que as crianças realizam sobre cada situação. Também é igualmente importante a oportunidade de confronto com estratégias diferentes, dos seus colegas, para que os alunos sejam capazes de refletir, avaliar e discutir a sua estratégia e a dos outros, partindo das semelhanças e das diferenças (Carvalho & Gonçalves, 2003; Flowers, Krebs & Rubenstein, 2006; Mendes & Delgado, 2008).

Mendes e Delgado (2008), apoiando-se nas ideias de Treffers e Buys (2001), referem-se a níveis de aprendizagem da multiplicação: (i) ‘cálculo por contagem’; (ii) ‘cálculo estruturado’; (iii) ‘cálculo formal’. O ‘cálculo por contagem’ corresponde ao uso de adições repetidas, não sendo utilizada a operação multiplicação, embora esteja subjacente ao processo (Mendes & Delgado, 2008). No segundo nível – ‘cálculo estruturado’ – os alunos utilizam explicitamente a operação multiplicação, existindo já a ideia de que a mesma quantidade se repete um determinado número de vezes (Mendes & Delgado, 2008). No nível do ‘cálculo formal’ os alunos já são capazes de relacionar a operação multiplicação com outras operações e recorrem às propriedades da multiplicação e a produtos conhecidos para efetuar cálculos. Vejamos um exemplo apresentado por Mendes e Delgado (2008), que ilustra este nível de cálculo. Para efetuar 12 x 8 um aluno poderá:

(34)

33 • recorrer à propriedade comutativa da multiplicação, fazendo 8 x 12. Posteriormente, pode decompor o 12 em 10 + 2 e usar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

12 x 8 = 8 x 12 = 8 x (10 + 2)

(repare-se que os produtos parciais resultantes são produtos conhecidos)

ou, poderá usar a relação dobro/metade 8 x 12 = 4 x 24 = 2 x 48 = 2 x 40 + 2 x 8.

• recorrer a diferentes decomposições do 12 e à propriedade distributiva

12 x 8 = (6 + 6) x 8 = 6 x 8 + 6 x 8 = 48 + 48 • usar a relação dobro/metade

12 x 8 = 6 x 16 = 3 x 32

(Mendes & Delgado, 2008, p. 163) Segundo o NCTM (2008), relativamente às operações multiplicação e divisão os alunos a partir do 3.º ano de escolaridade devem:

• compreender os diversos significados da multiplicação e da divisão;

• compreender os efeitos de multiplicar e dividir números inteiros; • identificar e usar, na resolução de problemas, as relações entre as operações, tais como a divisão ser o inverso da multiplicação; • (…)

• desenvolver destreza com combinações numéricas elementares para a multiplicação e a divisão e usá-las para calcular mentalmente. (p. 172) Para que os alunos sejam capazes de resolver problemas compreendendo o uso de diversas estratégias e as mais adequadas, é importante que lhes sejam propostos problemas de multiplicação e de divisão com diferentes sentidos (idem). Por exemplo, um aluno que se depare com um problema de sentido aditivo, como “Comprei bombons de três variedades diferentes: 4 de cereja, 4 de avelã e 4 de chocolate branco. Quantos bombons comprei no total?” (EPFCP-1CEB, 2010-2011, p.3), deve ser capaz de identificar a possibilidade de o resolver através da adição ou da multiplicação. Por sua vez, perante um problema de sentido combinatório, como “Dispomos de 3 camisolas de cores diferentes, uma verde, uma branca e outra azul e de duas calças, umas de ganga e outras pretas. Quantas combinações diferentes podemos fazer?” (idem, p.3), o aluno poderá resolvê-lo através da multiplicação ou através do uso de esquemas e do processo de contagem.

(35)

34 No que concerne à divisão, importa propor problemas tanto com o sentido de medida como de partilha (Rocha & Menino, 2008; Mendes, 2013). Em contexto de aula é comum iniciar-se o ensino da divisão através de situações de partilha, uma vez que a partilha encontra-se no quotidiano dos alunos. Porém, deve-se ter em conta que a divisão não está apenas associada à situação de partilha e que esta estratégia não é (muito) funcional com números grandes. Em contrapartida, as situações de medida requerem uma utilização da adição ou subtração e da multiplicação (Rocha & Menino, 2008).

A compreensão da relação inversa entre a operação multiplicação e a operação divisão é importante na realização de cálculos, na medida em que os alunos podem recorrer às “combinações da multiplicação para aprenderem as da divisão. Por exemplo, 24 ÷ 6 pode ser visualizado como 6 x ? = 24” (NCTM, 2008, p. 177). Auxilia, também, no conhecimento dos efeitos das operações, ou seja, o aluno consegue encontrar relações nas próprias operações. Por exemplo, “quanto menor for o divisor, maior é o quociente” (NCTM, 2008, p. 176).

Assim, no que diz respeito à aprendizagem da divisão, esta deve ser realizada de modo a estabelecer relações com a multiplicação, dado que os alunos podem mobilizar os conhecimentos que já possuem associados a esta operação (Rocha & Menino, 2008; Mendes, 2013).

A aprendizagem da divisão é muito mais do que saber usar o algoritmo tradicional, significa reconhecer esta operação em diferentes situações, ser capaz de compreender e usar a relação entre a divisão e a multiplicação e desenvolver uma teia de relações numéricas que permita calcular de modo flexível, tendo subjacentes as propriedades destas operações. (Mendes, 2013, p. 6)

O cálculo mental associado a esta operação deve ser desenvolvido através da descoberta de relações, como por exemplo: “mantendo o divisor constante, se altera o dividendo para o dobro ou para o quádruplo; ou mantendo o dividendo constante, se altera o divisor para o dobro ou para o quádruplo” (Rocha & Menino, 2008, p. 192), mantendo-se “constante o dividendo e se duplica sucessivamente o divisor” (idem, p. 192).

(36)

35

A aprendizagem dos números racionais sob a forma de fração. Segundo

o NCTM (2008), relativamente aos números racionais sob a forma de fração, os alunos a partir do 3.º ano de escolaridade devem:

• desenvolver a compreensão de fracções, como partes de uma unidade ou de um conjunto, como pontos da recta numérica e como a divisão de números inteiros;

• usar modelos, pontos de referência e formas equivalentes para avaliar o tamanho das fracções.

(p. 172) Para uma melhor compreensão dos números racionais sob a forma de fração os alunos devem centrar-se primeiro “em fracções familiares, tais como os meios, os terços, os quartos, os quintos, os sextos, os oitavos e os décimos” (NCTM, 2008, p. 174). Ainda, para auxiliar neste processo de compreensão, existe uma grande diversidade de modelos e contextos que os alunos podem explorar, como: o modelo de área, “no qual uma parte está sombreada, os alunos podem ver como se relacionam as fracções com a unidade, comparar partes fraccionárias de um todo e descobrir fracções equivalentes” (NCTM, 2008, p. 174). Posteriormente, com a continuação do desenvolvimento da compreensão sobre os números racionais sob a forma de fração “os alunos deverão ser capazes de raciocinar sobre os números, explicando que, por exemplo, ½ + 3_{̷8 deve ser} inferior a 1, uma vez que ambas as parcelas são iguais ou inferiores a ½” (NCTM, 2008, p. 36).

Brocardo (2010) apresenta três princípios que orientam a prática do professor no que se refere ao ensino dos números racionais: (i) usar contextos e modelos apropriados; (ii) desenvolver gradualmente as «grandes» ideias subjacentes aos números racionais; (iii) Construir significados e relações.

Em relação ao primeiro princípio, a autora sugere o recurso a contextos aos quais os alunos possam atribuir signigicado e lhes permitam “lidar a um nivel informal com ideias que progressivamente vão sendo formalizadas” (Brocardo, 2010, p. 18). Estes contextos devem suscitar o uso de modelos que apoiam a comprensão dos alunos (por exemplo, uma situação que envolve o corte de uma pizza pode apoiar a estruturação do modelo circular e o contexto do mostrador de gasolina pode apoiar a construção de dois modelos – a barra retangular e a reta dupla) (idem). Globalmente, os contexto devem

(37)

36 permitir trabalhadar os diferentes significados de fração (de partilha, parte-todo, quociente, operador e medida). “Da mesma forma que não se podem propor contextos relacionados com a operação subtracção que envolvam apenas o sentido «retirar» e não incluam o sentido «completar», também não se podem apresentar situações com fracções que só envolvem o significado parte-todo” (Brocardo, 2010, p. 20).

O segundo princípio tem subjacente a perpetiva de Fosnot e Dolk (2002) para o ensino e a aprendizagem dos números racionais e prende-se com a importância de atender a um conjunto de “grandes ideias”. Uma dessas ideias prende-se com a relação parte-todo. Esta relação é fundamental para a comprensão do que é uma fração e envolve a compreensão de que “as partes são equivalentes entre si e também o são em relação ao todo” (Brocardo, 2010, p. 20). A comprensão de que as partes de um mesmo todo não são necessariamente congruentes é outra das ideias essenciais associadas à aprendizagem das frações (idem).

Uma outra ideia fundamental é a importância da relação com a divisão e a multiplicação (idem).

Os contextos de partilha equitativa, como o de repartir três pizzas por quatro pessoas, permitem trabalhar desde cedo esta ideia e integrar os sentidos de partilha e de medida. Três pizzas repartidas por quatro pessoas (divisão por partilha) origina três em quatro partes de uma pizza (divisão por medida). Também relacionam a divisão e a multiplicação ao verificarem, por exemplo, que três vezes um quarto de cada pizza e igual a três quartos de uma pizza. (idem, p. 20)

Ainda no que se refere às “grandes ideias” destaca-se a ideia que “o todo importa” (idem, p. 21). Efetivamente ao comparar, subtrair e adicionar frações é fundamental perceber que se trata do mesmo todo.

Por fim, o terceiro princípio refere-se à capacidade de compreender as diferentes representações numéricas (número racionais sob a forma de fração, números racionais sob a forma de dízima…) e de as relacionar entre si (Brocardo, 2010).

(38)

37

Capítulo III – Metodologia

Neste capítulo apresento a metodologia, fundamentando a abordagem e o método que orientou toda esta investigação que pretende compreender o papel do jogo na aprendizagem da Matemática. São ainda descritas as técnicas e instrumentos de recolha, o processo de recolha e de análise de dados, bem como uma breve descrição do contexto em que foi realizada a investigação prática deste estudo.

3.1. Opções Metodológicas

3.1.1. Investigação Qualitativa

Este estudo segue uma abordagem qualitativa. Esta abordagem requer informação ao nível social, através de procedimentos empíricos que auxiliem na interpretação do estudo (Afonso, 2014), envolvendo deste modo procedimentos descritivos relativamente a ações, com um maior foco no processo, em que a minuciosidade das palavras e das imagens devem ser a principal fonte de dados (Bogdan & Biklen, 1994). Neste sentido, a problemática associada a este tipo de investigações não recorre a variáveis e não possui o “objectivo de responder a questões prévias ou de testar hipóteses” (Idem, p. 16), sendo possível a reformulação das questões de partida concomitantemente à concretização do projeto. Neste tipo de abordagem, o investigador é o instrumento principal da recolha de dados, pressupondo-se a sua inserção no contexto e um contacto direto com os participantes e preocupando-se em analisar a perspetiva dos intervenientes e o significado que estes atribuem às suas ações (Bogdan & Biklen, 1994).

Partindo desta distinção de abordagens, o presente projeto enquadra-se na investigação qualitativa por consagrar as diferentes características da mesma. Na verdade, eu constituo uma fonte importante de recolha de dados, isto é, para além de observadora, intervenho durante o processo enquanto professora estagiária da turma na qual decorre o estudo. Os dados recolhidos têm como base as produções dos alunos, as transcrições de gravações áudio das aulas, fotografias obtidas através de gravações vídeo das aulas e notas de campo realizadas por mim, perspetivando uma análise descritiva das ideias e ações dos participantes e das situações vivenciadas na sala de aula. Efetivamente, pretendo analisar as interações que se estabelecem entre mim e os

(39)

38 alunos e entre eles, focando-me, em particular, nas suas aprendizagens e opiniões relativamente à Matemática e às atividades que desenvolvem na sala de aula no âmbito deste projeto (jogos envolvendo a Matemática). É, assim, um estudo focado no processo e não nos seus produtos, aspeto que aliás é evidente nas questões que orientam o desenvolvimento deste projeto.

3.1.2. Investigação sobre a prática

No que respeita ao método subjacente ao desenvolvimento deste projeto, considero que se trata de uma investigação sobre a prática. Dadas as similitudes entre este método e a investigação-ação (Ponte, 2002), passo a justificar a minha opção alicerçada numa discussão conjunta sobre as características destes dois métodos.

A investigação-ação constitui um método adequado quando se pretende estudar determinada situação social, com vista na sua melhoria (Elliot, citado por Afonso, 2014). Tomando em consideração esta definição, Stenhouse (1983) vem reforçar esta ideia de investigar para melhorar referindo-se à sua “intencionalidade transformadora” (citado por Coutinho et al., 2009, p. 357), no sentido de transformar/melhorar a prática do próprio investigador. A investigação-ação envolve uma descrição de uma problemática social para que através desta seja possível construir e colocar em prática um plano de ação e, em seguida, essa prática deverá ser avaliada para que surja um novo plano mais aperfeiçoado (Lewin, citado por Ponte, 2002). Trata-se, assim, de um método de investigação que tem por base a melhoria, pretendendo compreender e alterar a prática do investigador (Ponte, 2002). Para além de ter subjacente esta ideia forte de melhoria, caracteriza-se por envolver três processos – a investigação, a ação e a formação – e, em qualquer um destes processos, é importante ter por base a reflexão sobre a própria prática do investigador (Bartalomé, citado por Coutinho et al., 2009).

Neste tipo de investigação existem três objetivos que funcionam em simultâneo: investigar a realidade da problemática, transformar uma situação de modo a solucionar a problemática e desenvolver uma aprendizagem de todos os intervenientes em conformidade com os objetivos anteriores (Silva & Pinto, 1989). Ainda, concordando com estes objetivos, Monteiro (1998) acrescenta que este método envolve um processo de longa duração e em espiral, não estuda indivíduos isoladamente, os dados são estudados numa perspetiva de mudança, não envolve variáveis e “o investigador

(40)

39 abandona, pelo menos provisoriamente, o papel de observador” (Monteiro, 1998, p. 16).

Dados os objetivos e as caraterísticas anteriormente referidas, verifica-se a concordância entre diferentes autores. Coutinho et al. (2009) também destaca: a participação e a colaboração de todos os intervenientes, incluindo a participação do investigador “nos problemas práticos e na melhoria da realidade” (Zuber-Skerritt, 1992 citado por Coutinho et al., 2009, p. 362); a importância da prática e da intervenção do investigador, associada à mudança; uma espiral de ciclos, em que “as descobertas iniciais geram possibilidades de mudança, que estão então implementadas e avaliadas como introdução do ciclo seguinte” (Cortesão, 1998 citado por Coutinho et al., 2009, p. 362); a crítica relativa à prática; a autoavaliação constante das mudanças para surgirem novos conhecimentos sobre a problemática em estudo.

Tanto a investigação-ação como a investigação sobre a prática estão ancoradas num problema e desenvolvem-se num determinado contexto social, porém, enquanto a investigação-ação requer desde o primeiro momento uma mudança radical, na investigação sobre a prática são inicialmente delineados objetivos no sentido de compreender uma determinada problemática (Ponte, 2002). Tal não significa que na investigação sobre a prática não ocorra mudança. Efetivamente, a investigação sobre a prática pode conduzir a modificações de situações na prática, apenas se necessário, porque a sua principal preocupação é perceber qual a razão da existência de um determinado problema e verificar que estratégia(s) se adequa(m) face a este, encontrando-se o investigador diretamente implicado no desenvolvimento da investigação (Ponte, 2002).

Para além do objetivo do estudo, existem também diferenças ao nível do processo associado a cada um dos métodos. Enquanto a investigação-ação é caracterizada por ser um processo cíclico, a investigação sobre a prática é caracterizada por quatro fases de investigação: formulação de um problema ou questão relativo a uma situação vivenciada; recolha de elementos em resposta à problemática; análise e conclusão da recolha; divulgação pública dos resultados e conclusões (Ponte, 2002).

Centrando-me nos termos “investigação”, “participação”, “intervenção” e “reflexão” que, como vimos anteriormente, estão associados à investigação-ação, considero que este projeto assenta em ideias comuns. Todavia, há um aspeto,