Estratégias para melhoria da completidade da sequência de funções de interpolação empregadas na formulação quase-dual do método dos elementos de contorno

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Allan Costa Jardim

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ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

Disserta¸cão submetida ao Corpo Docente do Pro-grama de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Mecânica da Universidade Federal do Esp´ırito Santo, como parte dos requisitos necessários para a obten¸cão do grau de Mestre em Engenharia Mecânica.

ORIENTAÇ ÃO : PROF. DR. CARLOS FRIEDRICH LOEFFLER NETO VIT ÓRIA, JUNHO DE 2006

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Jardim, Allan Costa,

1981-J373e Estratégias para melhoria da completidade da sequência de fun¸cões de interpola¸cão empregadas na formula¸cão Quase-Dual do Método dos Elementos de Contorno

Allan Costa Jardim.-2006. 72 f. :il.

Orientador: Carlos Friedrich Loeffler Neto.

Disserta¸c˜ao (mestrado)- Universidade Federal do Esp´ırito Santo, Centro Tecnol´ogico

Métodos de Elementos de Contorno. 2. Análise Numérica. 3. Análise Térmica. I. Loeffler Neto, Carlos Friedrich. II. Universidade Federal do Esp´ırito Santo. Centro Tecnológico. III. T´ıtulo.

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PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM ENGENHARIA MEC ÂNICA

ESTRAT´

EGIAS PARA MELHORIA DA COMPLETIDADE

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ETODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

Allan Costa Jardim

COMISS ˜AO EXAMINADORA

Prof. Dr. Carlos Friedrich Loeffler Neto

UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo (Orientador)

Prof. Dr. Joccitiel Dias da Silva

UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo

Prof. Dr. Webe Jo˜ao Mansur

UFRJ - Universidade Federal do Rio de Janeiro

Disserta¸cão apresentada ao Programa de Pós-Gradua¸cão em En-genharia Mecânica da Universidade Federal do Esp´ırito Santo como parte dos requisitos necessários à obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Engenharia Mecânica

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que ele alcan¸cou Mas sim, naquilo que almeja alcan¸car. (Gibran Kahlil Gibran)

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a Almerinda, Almiro, Lucas, Silas, ao Professor Carlos Loeffler e a todos aqueles que acreditam que a vida ´e um eterno sonhar-realizar-sonhar.

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Um conjunto fica inteiramente determinado por uma propriedade satisfeita por seus e-lementos. Espero, lan¸cando mão desse fato, agradecer à todos aqueles que contribu´ıram para a realiza¸cão deste trabalho, e que fizeram das minhas vitórias, suas também. Agrade¸co a meus pais pelo apoio constante em todos os momentos de minha vida, à fam´ılia Zanotelli Dias da Silva, cujo apoio foi indispensável, ao Prof. Dr. Joccitiel, pela amizade e inigualável aten¸cão a mim dispensada, aos colegas de curso, cuja amizade espero não findar-se aqui, à secretaria do Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia Mecânica, pelo apre¸co e considera¸cão para comigo, aos ex-colegas e hoje amigos do peito, entre eles Expedito, Edinel¸co, Riedson, Antônio Carlos Telau, Helder, Fabr´ıcio, Fernanda, Wagner, Sérgio, Rone Mauri (fico feliz pelo espa¸co ser insuficiente). Agrade¸co ainda à Marina e Bruna, pessoas que passei a admirar muito, a todos os meus ex-professores, especialmente José Antônio da Rocha Pinto (o Rocha), Jamil Ferreira, Iracy Baltar e tantos outros que me mostraram o caminho da Ciência.

Agrade¸co ainda à CAPES (Coordena¸cão de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Supe-rior), pelo apoio financeiro, à UFES (Universidade Federal do Esp´ırito Santo), ao orien-tador Prof. Dr. Carlos Friedrich Loeffler Neto pela intocável e constante orienta¸cão, ao Prof. M.Sc. Markcilei Lima Dan e M.Sc. Wagner Dalvi Santolin pelas várias horas de discussão.

Finalmente, agrade¸co principalmente a Deus, n˜ao por ter colocado tanta gente mar-avilhosa no meu caminho, mas sim, por ter me colocado no caminho de tanta gente maravilhosa.

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Um considerável avan¸co na aplica¸cão do Método dos Elementos de Contorno (MEC) em muitas classes de problemas pertinentes à teoria de campo escalar foi introduzida por Nardini e Brebbia, quando apresentaram a Formula¸cão da Dupla-Reciprocidade. Ca-sos transientes, dinâmicos e convectivos puderam ser abordados. De modo geral, outras parcelas da equa¸cão de governo, além do Laplaciano, são consideradas como a¸cões de dom´ınio.

Recentemente, Loeffler e Mansur (2003) desenvolveram a técnica da Quase-Dupla RE-ciprocidade. Tal técnica utiliza-se de uma condi¸cão de incompressibilidade para trans-formar parte do termo que representa as a¸cões de dom´ınio em um termo que pode ser representado por integrais ao longo do contorno.

A parcela restante é aproximada por uma combina¸cão linear de fun¸cões e, através de opera¸cões matemáticas, chega-se a expressões contendo somente integrais ao longo do contorno.

O presente texto sugere uma outra aproxima¸cão de dom´ınio, mais completa, visto que as aproxima¸cões usuais não geram bons resultados em alguns casos nos quais fluxos ou for¸cas sejam constantes. A expectativa é que o uso de fun¸cões mais completas traga melhorias significativas na aplica¸cão do método em todos os casos.

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The Quase-Dual formulation is a new technique to allow the applications of Boundary Element approach to solve efficiently mathematical models associated to physical prob-lemas in wich it is difficult to obtains the inverse integral form.

The advective-diffusive problemas and non-homogeneous problems are some of the im-portant problems in this last class. The current model uses a set of auxiliary independent functions and has difficulties to simulate two dimensional problems with constant fluxes. The reason of this defficient behavior is probably due to absence of completeness. The present text presents a strategy to try to eliminate this problem, based on the intro-duction of new terms in the set of auxiliary functions. The aim is to improve completeness condition.

As a result of proposed procedures, reciprocal matrices are generated at the final dis-creized equation system, in a similar way to Dual Reciprocity technique. Examples of constant fluxes are simulated with the new procedures and their results are discussed and analysed with details.

(10)

2.1 Caracteriza¸c˜ao geom´etrica de um contorno anguloso . . . 24

4.1 Escoamento bidimensional atrav´es de um tubo . . . 45

4.2 Erro Percentual M´edio em Fun¸c˜ao da Constante Delta . . . 45

4.3 Erro M´edio Percentual da QDRT com o aumento de Velocidade . . . 46

4.4 Erro M´edio Percentual da nova fun¸c˜ao com o aumento de Velocidade . . 47

4.5 Placa Quadrada cujas Temperaturas no contorno obedecem à equa¸cão 4.18 48 4.6 Erro Percentual Médio com o Aumento de Velocidade no Problema Des-crito na Figura 4.5 . . . 48

4.7 Erro (%) M´edio no Fluxo com o Refinamento . . . 50

4.8 Erro (%) M´edio na Temperatura com o Refinamento . . . 50

4.9 Erro (%) M´edio no Fluxo com o Aumento de Velocidade . . . 51

4.10 Erro (%) M´edio na Temperatura com o Aumento de Velocidades (I) . . . 52

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1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Modelagem e Aproxima¸c˜ao . . . 1

1.2 Composi¸cão dos Métodos Numéricos . . . 4

1.3 O M´etodo dos Elementos de Contorno . . . 7

1.4 A Dupla Reciprocidade . . . 10

1.5 A Quase-Dupla Reciprocidade . . . 13

1.6 Objetivo deste Trabalho . . . 14

2 Fundamentos do M´etodo dos Elementos de Contorno 16 2.1 Modelos Diferenciais e Integrais . . . 16

2.2 Equa¸c˜oes Integrais . . . 18

2.3 Formula¸c˜ao Integral Inversa . . . 20

2.4 O M´etodo dos Res´ıduos Ponderados . . . 24

2.5 Rela¸c˜ao Formulas Integrais - M´etodo dos Res´ıduos Ponderados . . . 26

2.6 Discretiza¸c˜ao e Implementa¸c˜ao Computacional . . . 28

3 Formula¸c˜oes com Dupla-Reciprocidade 30 3.1 Considera¸c˜oes Preliminares . . . 30

3.2 Formula¸c˜ao com Dupla-Reciprocidade Tradicional . . . 32

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Reciprocidade . . . 42

4.2 Comportamento das Fun¸c˜oes de Aproxima¸c˜ao na QDR . . . 43

4.3 Novas Tentativas . . . 46

4.3.1 Implementa¸c˜ao de Uma Fun¸c˜ao Constante . . . 46

4.3.2 Implementa¸c˜ao de uma Fun¸c˜ao Generalizada . . . 47

5 Considera¸c˜oes Finais 53

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Introdu¸

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1.1 Modelagem e Aproxima¸

c˜

ao

A idéia de aproxima¸cão já está presente na Matemática há muitos e muitos anos. O próprio Isaac Newton ao montar as bases do Cálculo Diferencial, tentava encontrar ve-locidades instantâneas através de sucessivas aproxima¸cões de um quociente, que também ´

e conhecido por razão incremental, até que numa situa¸cão limite tal quociente gera a taxa de varia¸cão buscada.

Em verdade toda Ciência visa o encontro da verdade. Dizia Henri Poincaré (1854-1912): ‘A busca da verdade deve ser o objetivo de nossa atividade; é o único fim digno dela’[35]. O conceito de ‘verdade’ na Engenharia consiste na solu¸cão satisfatória de problemas f´ısicos do mundo real, seja através de modelos matemáticos ou experimentais.

Um problema f´ısico real usualmente é complexo demais para ser analisado, devendo ser substitu´ıdo por outro que é idealizado intelectualmente. Esta substitui¸cão pode ser o passo mais dif´ıcil ou crucial na análise, pois os dois sistemas devem ter comportamento semelhante sob a a¸cão dos diversos agentes externos. Portanto, para um mesmo sistema f´ısico são muitas as idealiza¸cões poss´ıveis. O mesmo vale para qualquer outra área da engenharia ou disciplina cient´ıfica na qual se insira o objeto a ser analisado, como os fenômenos da qu´ımica, os processos econômicos, os mecanismos sociológicos etc.

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A idealiza¸cão f´ısica do problema, comumente denominada de modelo f´ısico, é apenas a primeira etapa de um processo elaborado de compreensão e busca de solu¸cão ou res-postas. Muitas outras se seguem conforme mostra o diagrama a seguir. Na área da Engenharia, foram e ainda são muito comuns e importantes investiga¸cões nas quais se constrói um modelo laboratorial, no qual se simulam experimentalmente os fenômenos desejados. Testes envolvendo protótipos e pe¸cas em escalas reduzidas tentam reproduzir o comportamento nas condi¸cões operacionais de fato.

Objeto Natural Modelo F´ısico tthhhhhhhhhh hhhhhhhhh ++V V V V V V V V V V V V V V V V V V V

Modelo Matem´atico

VVVVVVVV **V V V V V V V V V V Modelo Experimental Solu¸c˜ao Anal´ıtica MMMM &&M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M

M Solu¸c˜oes Aproximadas

VVVVVVVVV ++V V V V V V V V V V

Outros M´etodos Discretos

Sol. Fechadas Sol. em S´erie Computador

Diagrama 1.1: Etapas da Modelagem Matem´atica de um Problema F´ısico

No caso da idealiza¸cão matemática, contexto no qual se insere o presente trabalho, a partir da especifica¸cão do fenômeno f´ısico que se deseja examinar, tenta-se descrevê-lo da melhor maneira poss´ıvel através de expressões algébricas, equa¸cões diferenciais ou senten¸cas integrais, lan¸cando mão de certas restri¸cões ou hipóteses simplificadoras cuja finalidade é disponibilizar uma solu¸cão poss´ıvel, de complexidade acess´ıvel ao seu uso prático.

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mode-lagens nas quais surgem equa¸cões diferenciais parciais, muitas delas não-lineares, e de-pendendo da situa¸cão até mesmo sistemas compostos de tais equa¸cões. Infelizmente mesmo diante dos avan¸cos conquistados pela Matemática até os dias atuais, modelos com tamanha complexidade não possuem solu¸cão anal´ıtica conhecida.

Por outro lado, as demandas crescentes e cada vez mais arrojadas da tecnologia contem-porânea ligadas ao atendimento de necessidades industriais, produtivas e sócio-econˆ omi-cas, for¸caram o estudo de modelos f´ısicos mais arrojados e, desse modo, imperativamente os modelos matemáticos não mais puderam comportar simplifica¸cões excessivas.

Assim, para resolver esse dilema tornou-se necessário encontrar solu¸cões aproximadas para os problemas matemáticos mais elaborados. Nesse contexto apareceram os Métodos Numéricos que tiveram grande impulso principalmente devido ao advento do computador. Na realidade tais métodos já existiam há muito tempo, mas seu uso não era generalizado, pois havia solu¸cões anal´ıticas satisfatórias na maior parte dos casos então abordados. Gra¸cas a notável inven¸cão dos processadores eletrônicos, a Matemática passou, então, a desempenhar um novo papel, além da tradicional necessidade de se apresentar as me-lhores representa¸cões matemáticas para os problemas f´ısicos propostos, ou seja, solucionar o problema matemático de uma forma aproximada, mas a mais satisfatória poss´ıvel.

´

E fato digno de men¸cão a eficiência demonstrada por tal estratégia. Ao longo das últimas décadas a quantidade de diferentes problemas de Engenharia cresceu enormemente, as-sim como o grau de dificuldade destes, mas a qualidade das solu¸cões aproximadas tem sido perfeitamente aceitável. As respostas aproximadas mostraram-se extremamente co-erentes com o comportamento observado nos objetos do mundo f´ısico, apesar das res-tri¸cões e simplifica¸cões que distanciam as coisas do mundo real dos modelos idealizados. Diante de tamanha eficiência, o próprio campo de aplica¸cão dos métodos numéricos se ampliou a tal ponto que não apenas a Engenharia, mas também a F´ısica, a Biologia, a Economia e outras diferentes áreas se beneficiaram grandemente do emprego de solu¸cões aproximadas por Métodos Numéricos.

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1.2 Composi¸

c˜

ao dos M´

etodos Num´

ericos

Na conceitua¸cão de Mello e Souza [40], os métodos numéricos são aqueles que permitem obter a solu¸cão de um problema matemático com uma precisão desejada, num número finito de etapas racionais.

No entanto, após décadas de intensas pesquisas no setor a própria essência desses métodos se alterou. Se no passado estes métodos geralmente não produziam equa¸cões relacionando a dependência entre as diversas variáveis envolvidas, ocupando-se basicamente de pro-cessar os valores numéricos das variáveis nos diversos estágios do cálculo, atualmente os métodos numéricos mais poderosos se caracterizam por formula¸cões matemáticas que culminam com rela¸cões especiais entre as variáveis, t´ıpicas de cada método.

Entre os Métodos Numéricos mais gerais e conhecidos destacam-se o Método dos Elemen-tos FiniElemen-tos, Diferen¸cas Finitas, Volumes FiniElemen-tos e o Método dos Elementos de Contorno. Todos esses atuam a partir do estabelecimento de uma ou mais equa¸cões, que modelam matematicamente o problema f´ısico e são denominadas equa¸cões de governo.

As equa¸cões de governo podem ser expostas principalmente de dois modos distintos: • Através de uma formula¸cão diferencial;

• Sob uma formula¸c˜ao integral.

Considerando que o modelo matemático representa um problema f´ısico, pode-se afirmar que a formula¸cão diferencial deriva da aplica¸cão de princ´ıpios inaugurados pela Mecânica Newtoniana, fundamentados na existência de equil´ıbrio (ou princ´ıpio equivalente) local em todas as partes do dom´ınio ou sistema considerado. Apesar da naturalidade dos seus conceitos, em problemas mais sofisticados é comum o aparecimento de equa¸cões bastante complicadas de modo que o emprego de técnicas aproximadas é imprescind´ıvel.

A formula¸cão integral surge de maneira mais comum, não como expressão de modelagem, mas sim como técnica de resolu¸cão. As transformadas (Laplace, Fourier, Hankel etc.) são os exemplos mais destacados. Na realidade, toda solu¸cão anal´ıtica ou semi-anal´ıtica de equa¸cões diferenciais resultou de alguma integra¸cão ou da postula¸cão de uma fun¸cão

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que seja parte integrante da solu¸cão. Assim, é óbvio que o caráter de obediência local do modelo diferencial seja encontrado também na sua solu¸cão.

Por outro lado, é poss´ıvel modelar um problema f´ısico diretamente em termos de uma formula¸cão integral. Isto ocorre normalmente quando se aborda um problema a partir de princ´ıpios de conserva¸cão de energia (ou correlatos em outras disciplinas) implicando em expressões escalares nas quais o equil´ıbrio é exigido em termos globais, e não locais. Como exemplos têm-se os princ´ıpios dos Trabalhos Virtuais, da A¸cão M´ınima e de Hamil-ton [13]. O Cálculo Variacional [36] é a maior expressão do esfor¸co matemático segundo esse enfoque. Evidentemente, na maior parte dos problemas assim postulados também será necessário empregar algum recurso numérico que viabilize a solu¸cão das senten¸cas integrais nos casos menos elementares.

Não obstante as distin¸cões entre as formula¸cões diferencial e integral, há uma equivalência entre ambas que não será aqui discutida. O Método dos Res´ıduos Ponderados, que será exposto com mais detalhe em cap´ıtulo posterior, é uma estratégia matemática bastante poderosa e geral, capaz de unificar os dois enfoques anteriormente discutidos.

´

E a partir da forma com que é expressa a equa¸cão de governo que os principais métodos numéricos já se diferenciam entre si. Da´ı por diante cada um deles propõe procedimen-tos e adapta¸cões à formula¸cão da equa¸cão de governo, seguindo certos paradigmas, que resultam em expressões matemáticas próprias. A sofisticada elabora¸cão desses métodos torna imposs´ıvel apresentar sequer um resumo deles nesse texto.

Não obstante as distin¸cões, a partir de uma certa etapa tais métodos voltam a apresen-tar basicamente os mesmos procedimentos operacionais. O primeiro deles é a estratégia de discretiza¸cão do dom´ınio cont´ınuo. Resumidamente: discretizar significa substituir o dom´ınio de análise cont´ınuo por um número finito de pontos representativos do mesmo, nos quais se efetiva o controle das variáveis descritivas do problema. Apesar de arbitrária a escolha de tais pontos obedece a determinados critérios e formalismos matemáticos. Impõe-se naturalmente a ado¸cão de um sistema de coordenadas generalizadas para a me-lhor descri¸cão do problema. Entre outros aspectos destaca-se o que resulta do processo

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de discretiza¸cão, a substitui¸cão das rela¸cões diferenciais entre as variáveis por equa¸cões algébricas, o que implica uma enorme simplifica¸cão na formula¸cão do problema.

Da fase de discretiza¸cão em diante, os procedimentos tradicionais usados com as técnicas de aproxima¸cão podem ser usados, dependendo do tipo de problema que está sendo re-solvido. Problemas estacionários de propaga¸cão ou de valor caracter´ıstico têm tratamento espec´ıfico, problemas cujas equa¸cões de governo são não-lineares requerem procedimentos recursivos. As principais técnicas nessa fase são conhecidas como algoritmos de solu¸cão. Agrupam-se em duas principais categorias os algoritmos iterativos e os incrementais. Os algoritmos incrementais caracterizam-se pelo uso de fórmulas de recorrência que a partir do conhecimento de valores num dado ponto, permitem se calculem valores de interesse em pontos adjacentes. São muito usados em problemas transientes nos quais havendo obediência a certas rela¸cões, se calculam valores futuros a partir de valores pre-sentes.

Os algoritmos iterativos resolvem sucessivamente o problema a partir do arb´ıtrio de valores preliminares para as variáveis incógnitas. Em outros termos, nos métodos itera-tivos propõem-se solu¸cões parciais que atendam certas condi¸cões como compatibilidade e continuidade, por exemplo, e sirvam como referência para a determina¸cão da solu¸cão definitiva após algumas tentativas. São bastante úteis nos casos não-lineares quando certas propriedades do sistema dependem das próprias variáveis de estado. A estimativa inicial também é importante para que haja uma rápida convergência no processo. Independentemente do tipo de problema, mesmo que seja resolvido recursivamente ou iterativamente, após a etapa de discretiza¸cão é poss´ıvel gerar um sistema linear do tipo

Ax = b. (1.1)

Na expressão anterior x é um vetor que representa as quantidades f´ısicas desconhecidas do problema em cada parcela do dom´ınio f´ısico, enquanto A é uma matriz composta de propriedades f´ısicas e geométricas. O vetor b contém a solu¸cão do sistema numa i-tera¸cão ou passo incremental. Sistemas Lineares são resolvidos computacionalmente de

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forma corriqueira e não apresentam qualquer impasse na implementa¸cão dos Métodos Numéricos.

O bom condicionamento do sistema linear a ser resolvido dependerá em grande parte do método escolhido. No Método dos Elementos Finitos por exemplo [18], existem procedi-mentos apropriados com a finalidade de tornar menor a dimensão do sistema de equa¸cões. Em outras palavras, obter a matriz A (em geral simétrica) de forma mais compacta, com a menor largura de banda poss´ıvel, já que em tal método a dimensão da mesma pode ser suficientemente grande tornando necessária tal procura com a finalidade de diminuir o custo computacional. Os procedimentos do Método dos Elementos Finitos que cumprem esse papel dizem respeito à conectividade dos elementos e à ordem das fun¸cões de inter-pola¸cão usadas. A escolha adequada das mesmas gera matrizes compactas que, em geral, dão origem a sistemas lineares bem condicionados.

Já no Método dos Elementos de Contorno (MEC) o problema é diferente. A discretiza¸cão ´

e limitada ao contorno do problema, o que diminui substancialmente o tamanho das ma-trizes. No entanto, de acordo com as formula¸cões mais comuns, geram-se matrizes cheias e sem simetria. Ressente-se a falta de algoritmos de solu¸cão otimizada que operem eficaz-mente matrizes com tais caracter´ısticas, de forma que a solu¸cão dessas matrizes geradas pelo MEC tende ser mais custosa do que aquelas geradas com o MEF, a partir de uma determinada dimensão.

1.3 O M´

etodo dos Elementos de Contorno

A escolha de um método numérico é sempre um ponto discut´ıvel pois são muitas as questões a´ı envolvidas, e a pesquisa em torno deles está longe de cessar. Embora não seja o mais popular, o MEC vem se firmando como uma das técnicas mais precisas e vanta-josas. Baseando-se em diferentes princ´ıpios matemáticos, seja pela teoria das equa¸cões integrais ou por formula¸cão de res´ıduos ponderados, numerosas simula¸cões já ratificaram o alcance do método e sua supremacia em importantes classes de problemas, especial-mente nos casos onde o campo f´ısico é de natureza escalar.

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De acordo com Brebbia e Walker [4], os fundamentos do Método dos Elementos de Con-torno encontram-se na Teoria das Equa¸cões Integrais tópico este pertinente as disciplinas da F´ısica Matemática (Butkov [5], Menzel [30], Courant & Hilbert [6]) e Matemática Superior (Sneddon [39], Kreiszig [16]). As bases matemáticas dessas disciplinas são en-contradas nos trabalhos dos matemáticos russos e alemães no final do século dezenove. Primeiramente estes estudos fundamentaram uma área de conhecimento denominada Teoria dos Potenciais, centralizada nos conceitos de campo escalar e campo vetorial. Nos seus primórdios, essa disciplina tinha com um dos seus principais objetivos a busca de solu¸cões anal´ıticas gerais, a partir da integra¸cão de solu¸cões singulares conhecidas como Fun¸cões de Green. Por for¸ca da formula¸cão integral fundamental nessa teoria, o teorema da divergência era sistematicamente empregado como principal estratégia de solu¸cão, por estabelecer o problema em termos de integrais de contorno, mais fáceis de se resolver. De acordo com Brebbia [1], credita-se a Fredholm a contribui¸cão mais significativa no sentido de formalizar uma abordagem eficiente nos moldes descritos por volta do ano de 1900. Contudo a dificuldade em se encontrar uma fun¸cão de Green para os casos mais complexos, aliada aos entraves da resolu¸cão dos problemas de valor de contorno para geometrias mais complicadas, fez com que esse procedimento se limitasse unicamente à abordagem de casos simples. Isso restringiu essa metodologia aos estudos anal´ıticos da F´ısica Matemática, compondo praticamente mais uma área de conhecimentos isolada sem grandes atrativos para a engenharia. Somente com o advento do computador tais teorias puderam ser introduzidas num contexto de maior aplica¸cão. Ainda segundo Brebbia, a contribui¸cão de Jaswon e Symm em 1963 foi pioneira no sentido de apresentar as for-mula¸cões integrais de modo similar ao atualmente empregado na modelagem numérica. Especificamente com o MEC deve-se citar os nomes de Rizzo, Cruse e Brebbia pelas con-tribui¸cões significativas prestadas ao aperfei¸coamento e divulga¸cão do método em n´ıvel mundial.

O contexto da teoria das equa¸cões integrais abarca temas bastante comuns como os Teo-remas de Divergência e de Stokes, e também tópicos já mencionados como as identidades de Green e as fun¸cões de Green. Vale destacar que tais técnicas inspiraram

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procedimen-tos bem conhecidos na engenharia civil, como o método dos coeficientes de influência no cálculo de estruturas reticuladas. No que tange ao MEC, naturalmente a dedu¸cão da sua formula¸cão integral pode ser feita empregando-se os princ´ıpios da teoria citada, que operacionalmente resulta no emprego da técnica de integra¸cão por partes juntamente com a aplica¸cão do Teorema da Divergência.

Existe entretanto uma segunda maneira de deduzir o método, utilizando-se uma senten¸ca de res´ıduos ponderados. Esta última forma é também metodologicamente poderosa e está ligada ao emprego de técnicas numéricas de solu¸cão. Conceitualmente se fundamenta na idéia de ortogonaliza¸cão entre a solu¸cão aproximada e seus res´ıduos [1].

A primeira abordagem emprega recursos operacionais que facilitam a aplica¸cão das for-mula¸cões com reciprocidade e, por isso, foi aqui escolhida e posteriormente (cap´ıtulo 2) será apresentada em maiores detalhes. Da´ı também resultam as Identidades de Green anteriormente mencionadas. Outra vantagem desta abordagem, é a facilidade com que são descritas as opera¸cões matemáticas que a partir da equa¸cão diferencial de governo, geram o modelo composto de expressões integrais adequadas a discretiza¸cão exclusiva do contorno. O modelo integral final é usualmente denominado de forma integral inversa conforme Brebbia & Walker[4].

Conforme foi dito, diferentemente dos outros principais Métodos Numéricos, o MEC fundamenta-se no fato da discretiza¸cão ser efetivada apenas no contorno. Apenas com essa peculiaridade é poss´ıvel entrever vantagens comparativas com rela¸cão às “técnicas de discretiza¸cão de dom´ınio”, sejam elas, menor entrada de dados, simplicidade nos pro-cedimentos operacionais da abordagem matemática do problema, análise de problemas de fronteira variável e de Mecânica da Fratura. Uma série de outros predicados, menos evidentes, também podem ser listados:

• melhor representa¸cão de a¸cões concentradas e gradientes elevados; • adequa¸cão para problemas de dom´ınio infinito e semi-infinito; • cálculo simultâneo da variável básica e sua derivada no contorno;

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• elevada precis˜ao de resultados particularmente em pontos situados no interior do dom´ınio.

O MEC também possui suas desvantagens, problemas com propriedades f´ısicas hete-rogêneas, corpos de conforma¸cão geométrica esbelta e casos em que a¸cões são aplicadas no interior do dom´ınio (fontes, sorvedouros, cargas internas) não são representados com elevada precisão, apesar de muitos progressos já terem sido empreendidos nessas áreas nos últimos anos. Certos casos governados por teorias como as cascas e cabos, além do problema da esbeltez, são complicados em sua formula¸cão. Além disso, pela sua essência, o método pode não ser estendido genericamente a problemas cujo operador diferencial não possua certas propriedades, tal como ser auto-adjunto.

Apesar das limita¸cões, as vantagens são preponderantes e o campo de aplica¸cão do MEC ´

e vasto e diversas áreas tem sido beneficiadas com aplica¸cões bem sucedidas tais como problemas de contato entre superf´ıcies, estudos de prote¸cão catódica, casos diversos da Mecânica da Fratura, da Aerodinâmica, da Mecânica dos Solos, da Teoria da Elasticidade e problemas difusivos em geral.

1.4 A Dupla Reciprocidade

Assim como também ocorre com outras técnicas numéricas de grande amplitude, o MEC possui algumas formula¸cões mais apropriadas para tratar certas classes de problemas cujas peculiaridades exigem um tratamento diferenciado. Isto está relacionado ao com-portamento f´ısico do problema examinado. Mello e Souza classifica os problema de enge-nharia em problemas de equil´ıbrio, de valor caracter´ıstico ou de propaga¸cão, comentando que essas três categorias de problemas necessariamente precisam ser tratadas por métodos numéricos que respeitem suas especificidades. Classifica¸cão algo similar pode ser encon-trada em abordagens mais matemáticas, nas quais as Equa¸cões Diferenciais Parciais de Governo são classificadas como El´ıpticas, Hiperpólicas ou Parabólicas (Stephenson [41]). Tais tipos de equa¸cões possuem comportamentos f´ısicos e matemáticos bem particulares, demandando técnicas de solu¸cão bem próprias.

(23)

No caso de problemas que sejam dependentes do tempo (inclui-se neste rol os problemas de propaga¸cão dinâmica ou de calor), os trabalhos iniciais com o MEC utilizaram como recurso a Transformada de Laplace. Numa etapa posterior, empregaram-se solu¸cões fun-damentais dependentes do tempo (Wrobel [43], Mansur [27]). Esse último procedimento embora possua elevada precisão, implica em desenvolvimento matemático bastante elabo-rado, demandando em certas aplica¸cões considerável esfor¸co computacional.

Também na classe de problemas que consiste na presen¸ca de cargas ou fluxos aplicados no interior do corpo ou sistema, o procedimento pioneiramente utilizado com o MEC consistia na discretiza¸cão do dom´ınio matemático em células, exigindo integra¸cões que fugiam à filosofia do método, pois não eram limitadas ao contorno.

Para os problemas de valor caracter´ıstico, até o ano de 1981 não havia um procedimento adequado e competitivo dispon´ıvel com o MEC. As freqüências naturais de um sistema mecânico eram obtidos dentro de uma formula¸cão estabelecida com vistas à obten¸cão de respostas dinâmicas em problemas com vibra¸cões for¸cadas[9].

Todas essas categorias de problemas puderam ser resolvidas de modo mais simples ape-sar da precisão mais reduzida, com o emprego da formula¸cão com Dupla Reciprocidade, apresentada por Nardini e Brebbia em 1982, abordando precisamente o cálculo de auto-valores e autovetores.

Motivados pela propriedade da formula¸cão e pelos bons resultados obtidos, em seguida foi feita uma aplica¸cão para obten¸cão da resposta em problema de elastodinâmica tran-siente publicada em 1983 [2].

Em 1986, Valcharova [42] e Wrobel et al [44] publicaram artigos com aplica¸cões bem sucedidas a problemas de transmissão de calor não-estacionários.

Em 1987, Loeffler e Mansur [20] publicaram um trabalho no qual a Dupla Reciproci-dade é examinada em suas aplica¸cões na dinâmica escalar, enfatizando a importância do esquema de integra¸cão numérica na precisão dos resultados. No mesmo ano esses autores apresentaram um trabalho no qual a Dupla Reciprocidade é aplicada com êxito

(24)

na elimina¸cão de integra¸cões de dom´ınio no caso de a¸cões internas de qualquer natureza, apresentando duas técnicas com essa finalidade [20].

Ainda em 1987, também Loeffler e Mansur [21], calcados nos bons resultados da Du-pla Rciprocidade para dom´ınios fechados, apresentaram uma extensão da técnica para análise de problemas transientes em meios infinitos, com desempenho apenas razoável. Uma melhor resenha das publica¸cões e também apresenta¸cão de testes em casos de pla-cas, dom´ınios delgados e casos de propaga¸cão de onda com cargas impulsivas podem ser colhida na tese de doutorado de Loeffler, defendida 1988 [19].

Em 1991, Partridge, Brebbia e Wrobel [34] publicaram um livro sobre a formula¸cão com Dupla Reciprocidade, obra que contém não apenas um resumo do esfor¸co de pesquisa realizado até então, mas mostra muitas outras aplica¸cões da técnica, entre as quais se destaca a possibilidade de abordagem de problemas advectivos.

Esta categoria de problemas é de grande importância na engenharia. Os casos mais comuns consistem na transferência de calor junto à camada limite em escoamentos lami-nares, t´ıpico em aletas e aerofólios, e o transporte de fluidos incompress´ıveis com baixa viscosidade em tubula¸cões. No entanto, existem outras situa¸cões de grande importância, como dispersão poluentes ou misturas de meios aquosos, a extra¸cão de fluidos em meios porosos e processos de solidifica¸cão de produtos metalúrgicos.

São muito freqüentes na engenharia industrial os problemas que envolvem transporte de massa ou energia através de difusão associada a adveçcão for¸cada em escoamentos, misturas ou deslocamento de part´ıculas. Porém, existem situa¸cões menos tradicionais mas não menos importantes, como a dispersão superficial de poluentes ou misturas em meio aquosos homogêneos, a absor¸cão de l´ıquidos em região não saturada ou extra¸cão do mesmo em meio poroso, este último problema atualmente de grande interesse na indústria de extra¸cão de petróleo. E ainda situa¸cões bem mais complexas e arrojadas, como o processo de solidifica¸cão de produtos siderúrgicos por lingotamento cont´ınuo, os quais envolvem mudan¸ca de fase. Esse mesmo fenômeno ocorre em processos de secagem de grão e resfriamento de chocolate e produtos aliment´ıcios processados industrialmente.

(25)

A formula¸cão proposta por Partridge et al usa uma solu¸cão fundamental difusiva e pro-move aproxima¸cão do campo advectivo através de uma combina¸cão linear de fun¸cões de interpola¸cão, tal como o procedimento tradicional da Dupla Reciprocidade faz com os casos transientes e de cargas dom´ınio. No entanto, trata as derivadas espaciais rela-cionadas a adveçcão através de uma nova interpola¸cão. Embora supere as limita¸cões das formula¸cões clássicas precedentes, que somente resolvem sem artif´ıcios problemas nos quais o campo de velocidade é constante, o uso conjunto de duas interpola¸cões pro-movem resultados de limitada precisão. Em termos práticos, a formula¸cão é aplicável quando o número de Peclet é baixo.

1.5 A Quase-Dupla Reciprocidade

Visando a supera¸cão das dificuldades observadas na formula¸cão precedente, Loeffler e Mansur [24] aprimoraram a técnica de aproxima¸cão contida na Dupla Reciprocidade e aplicaram-na à equa¸cão da Difusão-Adveçcão, obtendo resultados bem melhores do que os resultados apresentados pela Formula¸cão da Dupla Reciprocidade. Usando seqüências de fun¸cões radiais especiais e evitando o emprego reiterado de interpola¸cões no trata-mento das derivadas espaciais, foi poss´ıvel a simula¸cão de casos unidimensionais onde a velocidade de transporte atinge valores correspondentes a um número de Peclet da ordem de 80 [29]. A nova tática, denominada de Quase-Dupla Reciprocidade é direcionada para aplica¸cões nas quais a equa¸cão de governo contenha termos em que haja derivadas espa-ciais de primeira ordem, como ocorre nos problemas advectivos e também em problemas não homogêneos [26].

Os resultados animadores da Quase Dupla Reciprocidade motivaram a continuidade das pesquisas nessa linha de formula¸cões alternativas, empregando a mesma idéia básica da Dupla Reciprocidade, embora com adapta¸cões. É o caso da formula¸cão harmônica, desen-volvida por Dan em sua disserta¸cão de mestrado [7], e a formula¸cão Quase-Dual H´ıbrida (Loeffler e Dan [8]).

(26)

desem-penho do MEC nesta classe de problemas, empregando uma técnica simples e flex´ıvel. Baseando-se também na idéia da Dupla Reciprocidade, usa fun¸cões auxiliares de inter-pola¸cão, mas com um tratamento especial dos termos advectivos, para ampliar a precisão dos resultados para números de Peclet medianos. A restri¸cão atual é que o escoamento seja potencial, o que implica num problema incompress´ıvel e irrotacional. O campo de velocidades pode então ser variável, mas esta varia¸cão deve ser compat´ıvel com o caráter potencial do campo.

1.6 Objetivo deste Trabalho

Uma série de problemas-teste já foi resolvida com êxito nas classes de problemas de conveçcão for¸cada e meios heterogêneos, todos comparando os resultados numéricos obti-dos pela formula¸cão Quase-Dual com solu¸cões anal´ıticas dispon´ıveis. Foram conduzidos testes de convergência dos resultados em fun¸cão do refinamento da malha e também foram realizadas experiências numéricas alterando-se as propriedades f´ısicas do modelo. Na grande maioria dessas simula¸cões, foram atestadas a consistência do modelo, a exis-tência de vantagens operacionais com rela¸cão a outras formula¸cões e sua aplicabilidade em problemas práticos, nos quais se deseja operacionalidade e precisão de engenharia. No entanto, em alguns casos espec´ıficos bidimensionais, a precisão do modelo proposto foi relativamente deficiente. Embora apenas de modo informal e nada conclusivo, suspeitou-se que, fisicamente, em tais problemas a distribui¸cão do campo de fluxos ou for¸cas no dom´ınio é preponderantemente constante. Em termos matemáticos, isto poderia signi-ficar que a estrutura da seqüência de fun¸cões radiais especiais empregadas no modelo atualmente proposto teria dificuldade de representar esse comportamento das variáveis do problema, tal como historicamente aconteceu nos casos de problemas estruturais em que há movimentos de corpo r´ıgido. Em outras palavras, o baixo desempenho da for-mula¸cão nestes problemas seria provavelmente originado de uma deficiência nas suas caracter´ısticas de completidade.

(27)

Primei-ramente, inexiste na simula¸cão de problemas unidimensionais de qualquer espécie, não obstante o tipo de condi¸cão de contorno e a geometria irregular do dom´ınio. Isto sugeriu a postula¸cão de algumas hipóteses explicativas para tal dificuldade numérica. Por exem-plo, poderia estar ligada ao fato de a representa¸cão matemática de certos problemas não admitir a existência de uma fun¸cão primitiva que gere o campo de temperaturas (nos casos convectivos) ou o campo de propriedades constitutivas (no caso de problemas n˜ ao-homogêneos). Outra possibilidade, não completamente independente da primeira, seria o fato de que tais casos de dif´ıcil simula¸cão sejam aqueles nos quais o balan¸co de fluxo ou equil´ıbrio de for¸cas, conforme o caso, exija intera¸cão em ambas as dire¸cões. Logicamente, nos casos unidimensionais isto é automaticamente evitado. Haveria então ausência de completidade na seqüência de fun¸cões nestes casos em que se demandaria intera¸cão em duas dimensões de fluxo ou for¸cas.

O objetivo primordial desta disserta¸cão é desenvolver estudos nos quais se aprimore o procedimento de interpola¸cão empregado na formula¸cão Quase-Dual, especialmente com o propósito de melhor atender aos quesitos de completidade necessários à seqüência de fun¸cões empregada, pois que as aproxima¸cões anteriormente empregadas não geraram re-sultados satisfatórios em alguns casos espec´ıficos bidimensionais, nos quais se apresentam fluxos e for¸cas constantes em partes do dom´ınio.

(28)

Fundamentos do M´

etodo dos

Elementos de Contorno

2.1 Modelos Diferenciais e Integrais

Uma estratégia que tem se mostrado bastante eficiente na tentativa de resolver problemas f´ısicos de forma aproximada é o estabelecimento de uma formula¸cão integral que os equacione matematicamente. Tais representa¸cões estão no cerne da maioria dos Métodos Numéricos mais conhecidos atualmente.

De fato, o modelo matemático representativo de um problema f´ısico pode ser exposto através de uma formula¸cão diferencial ou de uma formula¸cão integral.

A formula¸cão diferencial deriva da aplica¸cão de princ´ıpios inaugurados pela Mecânica Newtoniana, fundamentados na exigência de equil´ıbrio local (ou princ´ıpio equivalente) expressado esquematicamente em termos de um elemento infinitesimal, representativo do sistema ou volume de controle analisado. O equacionamento postulado localmente é válido para todo o dom´ınio. Apesar da naturalidade dos seus conceitos, em problemas mais sofisticados é comum o aparecimento de equa¸cões muito complicadas.

A formula¸cão integral surge, de modo mais comum, não como expressão de modelagem, mas sim como técnica de resolu¸cão. As transformadas (Laplace, Hankel, Fourier etc)

(29)

são os exemplos mais destacados. Na realidade, muitas táticas de solu¸cão anal´ıticas ou semi-anal´ıticas de equa¸cões diferenciais consistem de alguma integra¸cão. Assim sendo, é ´

obvio que o caráter de obediência local do modelo diferencial é encontrado também na sua solu¸cão.

Por outro lado, é poss´ıvel modelar um problema f´ısico diretamente em termos de uma formula¸cão integral. Isto ocorre normalmente quando se aborda um problema a partir de princ´ıpios de conserva¸cão de energia (ou correlatos), implicando em expressões escalares nas quais o equil´ıbrio é exigido em termos globais, e não locais. O Cálculo Variacional é a maior expressão do esfor¸co matemático segundo esse enfoque.

A postula¸cão da forma integral na modelagem matemática permite realizar opera¸cões nas quais resultam expressões de menor complexidade, principalmente pelo fato da ordem das derivadas contidas no equacionamento integral ser menor. Isso é poss´ıvel porque quase toda modelagem integral emprega, de algum modo, uma fun¸cão auxiliar nos seus núcleos. Essa maior simplicidade matemática também facilita o uso de técnicas de aproxima¸cão. Não é poss´ıvel um aprofundamento maior desse tema nessa disserta¸cão, mas mesmo os modelos diferenciais, caso sejam resolvidos aproximadamente por estratégias discretas, são postas preferentemente na forma

Z

Ω

(L(u) − p)ωdΩ = 0. (2.1) Nesta última equa¸cão, u é a variável básica ou primal, Ω é o dom´ınio do sistema, L(u) representa o operador diferencial representativo do problema f´ısico, p é uma fun¸cão conhe-cida e ω é uma fun¸cão auxiliar. Essa fun¸cão auxiliar pode ser entendida de modo distinto, dependendo da técnica matemática empregada ou do princ´ıpio f´ısico que gerou a mode-lagem. Segundo os princ´ıpios variacionais, ω é uma varia¸cão admiss´ıvel da variável básica, que deve resultar nula em condi¸cões de estacionariedade. Já de acordo com o Método dos Res´ıduos Ponderados, ω é uma fun¸cão que projeta para fora os “res´ıduos”num espa¸co de fun¸cões constru´ıdo para representar a solu¸cão aproximada. É curioso perceber que todas as técnicas de transforma¸cão usam uma estrutura matemática similar. Por exemplo, a Transformada de Laplace consiste em

(30)

`(u) = Z ∞

0

u e−stdt. (2.2) Na transformada de Fourier tem-se

=(u) = Z ∞

−∞

u e−istdt. (2.3) Nas equa¸cões anteriores percebe-se que a fun¸cão auxiliar corresponde a e−st na Trans-formada de Laplace e a e−ist na Transformada de Fourier. Naturalmente, o processo de solu¸cão no caso das transformadas segue um caminho bem espec´ıfico, diferente daquele tomado pelos métodos numéricos mais importantes. Enquanto as transformadas geram equa¸cões algébricas no espa¸co de transforma¸cão, que após resolvidas devem ser reescritas em termos das variáveis originais, os métodos numéricos intentam realizar opera¸cões que viabilizem o uso de fun¸cões de aproxima¸cão que possam ser integradas e certos coeficientes determinados após a discretiza¸cão, conforme será visto mais à frente.

2.2 Equa¸

c˜

oes Integrais

De acordo com Hildebrand [12], uma equa¸cão integral consiste de uma equa¸cão na qual uma fun¸cão a ser determinada aparece representada sob integra¸cão. Considerando as equa¸cões lineares, embora possa haver outros tipos mais gerais, são duas as principais categorias em que as equa¸cões integrais podem ser dividas, as equa¸cões de Fredholm e Volterra.

Tomando por simplicidade apenas a Equa¸cão de Fredholm, cuja expressão unidimensional ´ e dada por α(x)u(x) = F (x) + λ Z b a u(ξ)ω(x; ξ)dξ, (2.4) tem-se α, F e ω como fun¸cões dadas e λ, a e b como constantes. A fun¸cão u(x) é a variável básica, a ser determinada. A fun¸cão ω depende da variável independente x bem como da fun¸cão auxiliar ξ e é chamada núcleo da integral. Com vistas a futuros desenvolvimentos,

(31)

a equa¸c˜ao anterior pode ser reescrita de modo mais conveniente, alterando-se o papel das vari´aveis, na forma

α(ξ)u(ξ) = F (ξ) + λ Z b

a

u(x)ω(ξ; x)dx. (2.5) A equa¸c˜ao integral (2.5) pode ser generalizada e escrita em termos de duas ou mais vari´aveis independentes

α(ξ, η)u(ξ, η) = F (ξ, η) + λ Z Z

A

u(x, y)ω(ξ, η; x, y)dxdy. (2.6) Alterando o papel das variáveis na última equa¸cão, direcionado a objetivos vindouros, tem-se que α(ξ)u(ξ) = F (ξ) + λ Z Z A u(X)ω(ξ; X)dA(x), (2.7) onde X=X(x,y) e ξ = ξ(ξ, η).

Desde que certas condi¸cões de continuidade sejam obedecidas [12], se pode associar equa¸cões integrais com equa¸cões diferenciais. É poss´ıvel, então, deduzir uma equa¸cão integral a partir de uma determinada equa¸cão diferencial. Na obra citada existem alguns exemplos unidimensionais nos quais se faz tal associa¸cão.

As fun¸cões de Green são núcleos de equa¸cões integrais que possuem propriedades es-peciais, entre as quais inserem-se a obediência às condi¸cões de contorno, simetria, con-tinuidade e o tipo de decaimento ao longo do intervalo de integra¸cão. O uso de tais fun¸cões no núcleo das equa¸cões integrais simplifica sua expressão matemática. No caso de equa¸cões diferenciais sujeitas a condi¸cões de contorno essenciais homogêneas, repre-sentadas por

L(u(x)) = p(x). (2.8) A equa¸c˜ao integral correspondente ´e

u(x) = Z b

a

G(x; ξ)p(ξ)dξ. (2.9) As equa¸cões integrais lineares aparecem muito freqüentemente em problema f´ısicos como resultado da possibilidade de superposi¸cão de efeitos devido a causas diversas. As fun¸cões

(32)

de Green G(x; ξ) nestes casos representam o efeito em x devido a uma causa concentrada unitária agindo em ξ. São então freqüentemente conhecidas como fun¸cões de influência do problema, muito tradicionais e úteis em certas disciplinas da engenharia, como o Cálculo de Estruturas, seja na análise estática quanto na dinâmica, conforme mostram Hurty e Rubinstein [13] e também Butkov [5].

2.3 Formula¸

c˜

ao Integral Inversa

Conhecida a equa¸cão diferencial de um problema, desde que os operadores nela envolvidos possuam certas propriedades, em especial a propriedade de adjun¸cão, é poss´ıvel encontrar uma forma integral associada, na qual a aplica¸cão de um método numérico com vistas à obten¸cão de uma solu¸cão aproximada seja mais acess´ıvel.

Particularmente a aplica¸cão do Método dos Elementos de Contorno se viabiliza de modo bastante simples e eficaz quando se obtém uma equa¸cão integral chamada de “Forma Integral Inversa”. Com o intuito de demonstrá-la, considere a equa¸cão diferencial apre-sentada anteriormente na equa¸cão (2.8) reapresentada a seguir por conveniência

L(u(x)) − p(x) = 0. (2.10) Considere Ω como sendo a região do espa¸co matemático que representa o dom´ınio f´ısico de um problema de engenharia. Embora o procedimento que será doravante apresentado seja mais abrangente, por conveniência admite-se que o dom´ınio f´ısico consista de um meio cont´ınuo, homogêneo e bidimensional, de modo que dΩ representa a superf´ıcie in-finitesimal de um corpo em que as variáveis bidimensionais expressas por X=X(x1,x2) descrevem sua posi¸cão com rela¸cão a um sistema de coordenadas cartesianas.

A equa¸cão (2.10), em termos f´ısicos, é denominada de Equa¸cão de Governo, e é usual-mente constru´ıda considerando o equil´ıbrio e a compatibilidade de uma fun¸cão escalar u, que genericamente pode representar deslocamento, temperatura ou qualquer propriedade f´ısica similar.

(33)

Para que o problema seja matematicamente bem posto, é preciso que sejam impostas condi¸cões de contorno ou iniciais. Considerando casos estacionários e o operador L(.) como sendo de segunda ordem, genericamente, condi¸cões de primeiro ou segundo tipo, também conhecidas como condi¸cões de contorno essenciais e naturais devem ser prescritas. Estas são definidas por:

u(X) = ¯u para X ∈ Γu (condi¸c˜ao essencial) (2.11)

u(X),in(X)i = ¯q para X ∈ Γq (condi¸c˜ao natural) (2.12)

Nas equa¸c˜oes (2.11) e (2.12), Γu(X) e Γq(X) representam as fronteiras do meio cont´ınuo e

ni(X) caracteriza o vetor normal unit´ario em um ponto qualquer destas. Nos problemas

de Mecânica dos Sólidos q adquire o significado de deforma¸cão aplicada no contorno, enquanto nos casos de transferência de calor pode ser associado ao fluxo imposto de energia difusiva.

O ponto de partida para a abordagem pelo MEC consiste do estabelecimento da equa¸cão diferencial de governo numa forma integral, usando a solu¸cão fundamental u∗(ξ; X) como fun¸cão auxiliar [16], resultando na seguinte expressão, onde foram omitidos os argumentos por simplicidade

Z

Ω

(L(u(x)) − p(x))u∗(ξ; X)dΩ = 0. (2.13) Tal formula¸cão é conhecida por ‘Forma Integral Forte’, onde u∗(ξ; X) representa a fun¸cão auxiliar citada anteriormente. No contexto do MEC, u∗ também é conhecida por “Solu¸cão Fundamental”. Percebe-se que a integral anterior é calculada sobre todo o dom´ınio Ω. Por simplicidade, tomando particularmente a Equa¸cão de Laplace, na qual p(X)=0, tem-se que

L4(u).u∗ =

Z

Ω

u,iiu∗dΩ = 0 (2.14)

onde o ponto no primeiro membro da equa¸c˜ao refere-se ao produto interno u.v =

Z

Ω

(34)

L4(u) representa o Laplaciano de u(X) e u∗(ξ; X) ´e tomada neste caso como a solu¸c˜ao

do problema

u∗,ii= −∆(ξ; X). (2.16)

A equa¸cão anterior é uma Equa¸cão de Poisson. Em termos f´ısicos, significa um problema no qual uma carga (ou fonte) concentrada unitária é aplicada no ponto ξ, denominado ponto fonte, em um dom´ınio espacial infinito [4]. Para casos bidimensionais tem-se

u∗(ξ, X) = −(1/2π)ln r(ξ; X). (2.17) A derivada normal de u∗(ξ; X) ´e dada por

q∗(ξ; X) = − 1 2πr(ξ; X) ∂r(ξ; X) ∂n . (2.18)

Na equa¸cão anterior, r(ξ; X) representa a distância euclidiana entre os pontos ξ e X. Procedendo a integra¸cão por partes e aplica¸cão do Teorema da Divergência, vem

Z Ω u,iiu∗dΩ = Z Γ u,iniu∗dΓ − Z Ω u,iu∗,idΓ. (2.19)

A equa¸cão (2.19) é chamada ‘Forma Integral Fraca’ e percebe-se na mesma uma integral de dom´ınio, o que inviabiliza, pelo menos por hora, a correta aplica¸cão do Método dos Elementos de Contorno. Porém a forma como está posta a segunda integral do lado direito da equa¸cão acima, permite que sejam realizados novamente os procedimentos usuais, sejam eles a Integra¸cão por Partes e o Teorema da Divergência. Assim, chega-se ` a equa¸cão Z Ω u,iiu∗dΩ = Z Γ qu∗dΓ − Z Γ uq∗dΓ + Z Ω uu∗,iidΩ. (2.20)

onde q e q∗ s˜ao respectivamente as derivadas normais de u e u∗.

Se as condi¸c˜oes de contorno fossem homogˆeneas teria-se para o operador Laplaciano a seguinte igualdade:

L4(u).u∗ = u.L4(u∗), (2.21)

o que mostra que tal operador linear é dito auto-adjunto. Tal propriedade é essencial para a correta implementa¸cão do Método dos Elementos de Contorno.

(35)

Utilizando a equa¸cão (2.16) e as propriedades da fun¸cão Delta de Dirac, pode-se reescrever a equa¸cão (2.20) como Z Ω u,iiu∗dΩ = Z Γ qu∗dΓ − Z Γ uq∗dΓ − c(ξ)u(ξ), (2.22) o que fornece Z Γ qu∗dΓ − Z Γ uq∗dΓ − c(ξ)u(ξ) = 0. (2.23) A equa¸cão (2.23) é conhecida como “Forma Integral Inversa”associada a equa¸cão dife-rencial expressa pela equa¸cão de Laplace.

A constante c(ξ) refere-se `as possibilidades do ponto fonte situar-se no interior ou fora do dom´ınio Ω, assim como sobre contorno Γ, o que resulta em valores distintos em cada circunstˆancia.

´

E muito comum com o MEC considerar-se o ponto ξ situado sobre o contorno, para pos-teriormente, com a discretiza¸cão, formar um sistema de equa¸cões algébricas resolv´ıvel. Para geometrias suaves, a obten¸cão do valor de c(ξ) obedece a um formalismo matemático rigoroso, que não será apresentado aqui, mas pode ser obtido na literatura especializada mais clássica [3]. Curiosamente, resulta o valor de c(ξ) = 0, 5 para contornos suaves sobre os quais se posiciona o ponto.

Embora não sejam usados nas simula¸cões numéricas realizadas nessa disserta¸cão, nos casos em que o contorno é anguloso, outros valores são obtidos. Para problemas bidi-mensionais tem-se, segundo a mesma fonte citada

c(ξ) = α

(36)

A vari´avel α corresponde ao ˆangulo entre duas normais adjacentes ao ponto anguloso, conforme mostra a figura a seguir. Os casos em que o ponto ξ se situa dentro ou fora do

Figura 2.1: Caracteriza¸c˜ao geom´etrica de um contorno anguloso

dom´ınio são mais simples de se examinar. O valor de c(ξ) é igual a 1 no caso em que o ponto ξ está localizado no interior do dom´ınio, pois a´ı vale a propriedade bem conhecida da Distribui¸cão Delta de Dirac

Z

Ω

f (X)∆(ξ; X)dΩ = f (ξ). (2.25) Caso o ponto ξ esteja interno ao dom´ınio Ω. Este caso ocorre principalmente quando se desejam calcular valores das variáveis básicas do problema no interior do corpo. Com o MEC, a equa¸cão integral inversa discretizada é reutilizada, considerando o ponto fonte no interior e as variáveis de contorno já calculadas como dados de entrada.

Por fim, seguindo o mesmo racioc´ınio, o valor de c(ξ) é igual zero no caso em que o ponto ξ está fora do dom´ınio f´ısico do problema. Este posicionamento externo do ponto fonte é útil para se gerar equa¸cões integrais inversas sem singularidades, por não haver coincidência entre a posi¸cão do ponto fonte e os pontos nodais de contorno. Uma quantidade de pontos fonte externos iguais a quantidade de pontos de contorno é então necessária para forma¸cão de um sistema matricial resolv´ıvel.

2.4 O M´

etodo dos Res´ıduos Ponderados

Considere mais uma vez a Equa¸c˜ao Diferencial abaixo

(37)

onde L( ) é um operador diferencial e p é uma fun¸cão conhecida de X.

Admitindo a impossibilidade do conhecimento da solu¸cão anal´ıtica (u), o Método dos Res´ıduos Ponderados aproxima o espa¸co das solu¸cões da equa¸cão por um espa¸co vetorial de dimensão finita com produto interno definido pela equa¸cão (2.15).

Nesse sentido conv´em considerar um subespa¸co Vm gerado por um conjunto de m

ele-mentos do espa¸co vetorial de fun¸c˜oes considerado, ou seja:

Vm = [ϕ1, ϕ2, . . . , ϕm], (2.27)

onde as fun¸c˜oes ϕi s˜ao linearmente independentes.

Deseja-se obter uma fun¸c˜ao de aproxima¸c˜ao (u0) para u em Vm, ou seja1,

u ≈ u0 = αiϕi com i=1,2,...,m. (2.28)

A aplica¸cão da equa¸cão (2.26) com a aproxima¸cão descrita em (2.28) introduz um erro ou res´ıduo (∈)

∈ = L(u0) − p 6= 0. (2.29)

A próxima etapa consiste na escolha de fun¸cões de pondera¸cão (Ψ). Tais fun¸cões obe-decem às mesmas condi¸cões impostas sobre as fun¸cões de aproxima¸cão (ϕ). A seguir, admite-se a seguinte expressão de pondera¸cão:

∈ .Ψj ₌

Z

Ω

∈ Ψj_{dΩ = 0.} _(2.30)

Tal expressão indica na verdade a ortogonaliza¸cão de tais fun¸cões através das constantes (αi), fazendo com que o res´ıduo (∈) seja ortogonal às fun¸cões escolhidas (Ψ).

´

E importante ressaltar que a escolha do tipo de fun¸cão de pondera¸cão Ψj caracteriza diversos tipos de Método dos Res´ıduos Ponderados existentes (Coloca¸cão, Sub-Regiões, Galerkin, etc..).

(38)

2.5 Rela¸

c˜

ao Formulas Integrais - M´

etodo dos

Res´ıduos Ponderados

As formula¸cões Integrais do Método dos Elementos de Contorno, contém estrutura mate-mática equivalente à presente numa resolu¸cão via Método dos Res´ıduos Ponderados, na qual ocorre pondera¸cão dos res´ıduos no contorno, caso a aproxima¸cão efetuada não satisfa¸ca às condi¸cões de contorno naturais, essenciais ou ambas. Tal equivalência será apresentada para a Equa¸cão de Laplace aplicada a um dom´ınio f´ısico (Ω) limitado com contorno Γ = Γ1∪ Γ2,

u,ii= 0. (2.31)

com condi¸c˜oes de contorno,

   u = ¯u em Γ1 q = ¯q em Γ2. (2.32) Seguem-se os procedimentos usuais do Método dos Elementos de Contorno utilizando as Formula¸cões Integrais. Primeiramente multiplicando a equa¸cão anterior por uma solu¸cão fundamental (w) e integrando-a num dom´ınio Ω, tem-se:

Z

Ω

u,iiwdΩ = 0. (2.33)

Procedendo agora a Integra¸c˜ao por Partes e aplicando o Teorema da Divergˆencia obt´ em-se Z Ω u,iiwdΩ = Z Γ u,iniwdΓ − Z Ω u,iw,idΩ, (2.34)

que ´e a ‘Forma Integral Fraca’ da Equa¸c˜ao de Laplace.

Utilizando o fato de que q = u,ini e Γ = Γ1∪ Γ2 o lado direito da equa¸c˜ao anterior pode

ser escrito como Z Γ1 qwdΓ1+ Z Γ2 ¯ qwdΓ2− Z Ω u,iw,idΩ = 0. (2.35)

(39)

Utilizando a Integra¸cão por Partes na última integral da equa¸cão anterior, vem que Z Γ1 qwdΓ1 + Z Γ2 ¯ qwdΓ2− Z Γ qwdΓ + Z Ω u,iiwdΩ = 0 Z Γ1 qwdΓ1+ Z Γ2 ¯ qwdΓ2− Z Γ1 qwdΓ1− Z Γ2 qwdΓ2+ Z Ω u,iiwdΩ = 0 (2.36)

Lan¸cando mão das aproxima¸cões    u ≈ u0 q ≈ q0, (2.37) a equa¸cão (2.36) torna-se Z Ω u,iiwdΩ = Z Γ2 (q − ¯q0)wdΓ2. (2.38)

A equa¸cão acima é a expressão do Método dos Res´ıduos Ponderados nas condi¸cões de contorno naturais que por sua vez, é equivalente à Forma Integral Fraca da equa¸cão de Laplace. Percebe-se na mesma uma pondera¸cão dos res´ıduos de um poss´ıvel erro presente nas condi¸cões de contorno naturais da aproxima¸cão (2.37). Da mesma forma, pode-se chegar à uma expressão semelhante para a forma Integral Inversa.

A partir da equa¸cão (2.34) que é a Forma Integral Fraca da Equa¸cão de Laplace, pode-se operar de forma análoga à efetuada até então.

Z Γ q0wdΓ − Z Ω (u0w,i),idΩ − Z Ω u0w,iidΩ = 0 Z Γ q0wdΓ − Z Γ u0w,inidΩ + Z Ω u0w,iidΩ = 0, (2.39)

que é a Forma Integral Inversa da Equa¸cão de Laplace. Prescrevendo as condi¸cões de con-torno conhecidas, usando as aproxima¸cões e operando de forma parecida ao tratamento dado à Forma Integral Fraca, segue a equa¸cão de Res´ıduos Ponderados equivalente.

Z Ω u,iiwdΩ = Z Γ1 (¯u − u) ¯wdΓ1+ Z Γ2 (q − ¯q)wdΓ2 (2.40) onde ¯w = w,ini.

(40)

2.6 Discretiza¸

c˜

ao e Implementa¸

c˜

ao Computacional

Conforme exposto no cap´ıtulo 1, os principais métodos numéricos empregam o procedi-mento de discretiza¸cão. Embora esse procedimento não seja objeto de maiores aten¸cões na presente disserta¸cão pois que aqui são enfocados outros aspectos ligados à formula¸cão, alguns comentários serão feitos a seguir relacionados à discretiza¸cão com o Método dos Elementos de Contorno.

Em linhas gerais, a discretiza¸cão implica na transforma¸cão das equa¸cões diferenciais em equa¸cões algébricas. No caso do MEC, esta discretiza¸cão conduz a um sistema de equa¸cões algébricas envolvendo valores nodais da variável básica e sua derivada normal. Assim, uma vez obtida a equa¸cão integral geral de contorno, equa¸cão (2.23) repetida a seguir por conveniência, é preciso discretizá-la para então resolvê-la aproximadamente,

Z Γ qu∗dΓ − Z Γ uq∗dΓ − c(ξ)u(ξ) = 0. (2.41) Inicialmente divide-se o contorno numa s´erie de elementos sobre os quais se interpolam as grandezas u e q em termos dos valores nodais.

u = Neue (2.42) q = Neqe (2.43) onde Ne_´_{e o vetor das fun¸c˜}_{oes de interpola¸c˜}_{ao, u}e_{e q}e _s˜_{ao os vetores das vari´}_{aveis b´}_asicas

e sua derivada normal no ponto nodal X.

Neste trabalho empregam-se elementos de contorno constantes retil´ıneos. Neles, a aproxi-ma¸cão das variáveis básicas ou primais é constante ao longo do elemento, enquanto a des-cri¸cão geométrica do elemento é linear. É portanto um t´ıpico elemento hipoparamétrico. Comumente o posicionamento dos pontos nodais é centralizado no elemento de contorno. O uso de tal tipo de elemento é bastante comum em problemas escalares, oferecendo precisão satisfatória.

Assim, substituindo (2.42) e (2.43) em (2.41) tem-se a seguinte express˜ao: C(ξ)u(ξ) + N e X j=1 Z Γj q∗N dΓ ! u(e)= N e X j=1 Z Γj u∗N dΓ ! q(e), (2.44)

(41)

onde Ne é o número de elementos da discretiza¸cão.

A geometria de cada elemento é definida em termos de uma fun¸cão interpolante, de forma que se baseia nas coordenadas cartesianas dos pontos nodais que são naturalmente conhecidas. As coordenadas cartesianas dos pontos de contorno estão situadas ao longo do elemento, como mostra-se a seguir:

xi = Mexei (2.45)

onde Me _´_{e a matriz contendo as fun¸c˜}_{oes de interpola¸c˜}_{ao e x}e

i o vetor de coordenadas

nodais do elemento.

Durante a montagem do sistema de equa¸cões indicado em (2.44), cada uma das inte-grais será calculada numericamente. Este cálculo se dará através da integra¸cão numérica unidimensional de Gauss, que estabelece:

Z 1 −1 f (η)dη = P X i=1 f (ηi)wi. (2.46)

Na equa¸cão anterior ηi é a coordenada adimensional do i-ésimo ponto de integra¸cão, wi

´

e o fator de peso associado ao ponto i, e P é o número total de pontos de integra¸cão utilizado.

Desta forma trabalha-se com as parcelas da equa¸cão (2.44) como segue: Z Γj p∗N dΓ = Z Γj q∗N |J | dη ≈ N P i X k=1 |J|_kwkNkq∗k (2.47) Z Γj u∗N dΓ = Z Γj u∗N |J | dη ≈ N P i X k=1 |J|_kwkNku∗k. (2.48) (2.49) Nas equa¸cões precedentes os NPI são o número de pontos de integra¸cão de Gauss. A equa¸cão integral discretizada é aplicada repetidamente considerando o ponto ξ situado coincidentemente com todos os pontos nodais existentes. Um sistema de t equa¸cões algébricas é gerado e envolve os t valores nodais de variáveis básicas e derivadas normais. Ainda é interessante levar este sistema para uma forma matricial e para isso coloca-se da forma na equa¸cão (1.1) mostrada no cap´ıtulo 1.

(42)

Formula¸

c˜

oes com

Dupla-Reciprocidade

3.1 Considera¸

c˜

oes Preliminares

Diferentemente dos demais métodos numéricos, o MEC trabalha como a Forma Integral Inversa associada à equa¸cão diferencial que governa o problema, o que faculta a sua re-presenta¸cão em termos de integrais ao longo do contorno (Γ), para quaisquer tipos de condi¸cões impostas na fronteira, homogêneas ou não, sem perda de generalidade.

No entanto, nem sempre é poss´ıvel expressar o problema em termos de uma forma inte-gral inversa. O caso em que a equa¸cão diferencial do problema é heterogênea envolvendo fontes ou a¸cões de dom´ınio é t´ıpico. Estas fun¸cões apesar de conhecidas, não são sempre redut´ıveis a integrais de contorno. Nos primórdios do MEC, a solu¸cão desse problema im-plicava necessariamente em procedimentos tais como a integra¸cão em células, estratégia similar a empregada pelo método dos Elementos Finitos e outras técnicas de dom´ınio. A Formula¸cão com Dupla Reciprocidade (DRT) concebida originalmente por Nardini e Brebbia em 1982, para resolver problemas de vibra¸cão livre e resposta dinâmica, acabou por difundir-se como a principal formula¸cão do MEC para resolver problemas nos quais existem a¸cões de dom´ınio em geral. Gra¸cas a DRT é sempre poss´ıvel transformar tais termos em integrais de contorno, usando fun¸cões de interpola¸cão auxiliares que

(43)

resul-tam numa aproxima¸cão bastante satisfatória, cuja precisão se amplia com o aumento do número de pontos interpolantes. A convergência de tal procedimento já foi objeto de diversos trabalhos de pesquisa.

De qualquer modo, a DRT afigura-se como uma formula¸cão alternativa do MEC para solu¸cão de outros tipos de problemas, que apesar de possu´ırem uma forma integral in-versa, resultam num modelo matemático relativamente complicado apesar da elegância da formula¸cão e da elevada precisão dos seus resultados. É o caso dos problemas depen-dentes do tempo, transientes e dinâmicos, já citados anteriormente no primeiro cap´ıtulo. A DRT embora produza resultados de menor precisão, permite se estabelecer uma forma integral inversa aproximada de fácil modelagem e simples resolu¸cão.

O mesmo acontece para os casos relativos à difusão-adveçcão, problemas de grande im-portância na engenharia. Existem formula¸cões do MEC que resolvem tais problemas de modo mais elegante e preciso, não obstante algumas restri¸cões ao campo de velocidade, que podem ser superados de modo aproximado. Todavia, Partridge et al.entenderam que a DRT também poderia ser empregada com êxito em tal classe de problemas, ofer-ecendo solu¸cões satisfatórias, através de um modelo matemático mais simples. Assim, aproveitando-se da generalidade da DRT, nela adaptaram um esquema engenhoso para simular a adveçcão. Infelizmente, o procedimento proposto por esses autores resulta li-mitado a números de Peclet reduzidos. Pode-se constatar que esse desempenho apenas regular se deve a uma segunda aproxima¸cão existente no modelo, que será destacada mais à frente.

A Formula¸cão com Quase-Dupla Reciprocidade (QDR) criada por Loeffler e Mansur, intenta ampliar a capacidade de solu¸cão do modelo calcado em fun¸cões de interpola¸cão, usando uma estratégia particularizada para os problemas de difusão-adveçcão ou outros que possuam a mesma estrutura matemática, na qual haja um operador gradiente apli-cado ao campo de variáveis básicas.

Esse cap´ıtulo mostra as etapas de forma¸cão dos modelos matemáticos gerados pelas for-mula¸cões citadas (DRT e QDR) quando aplicadas aos problemas de difusão-adveçcão,

(44)

cuja equa¸cão diferencial de governo é apresentada a seguir, em nota¸cão indicial:

Kθ,ii−θ,ivi = 0. (3.1)

Considerando as peculiaridades dos problemas difusivos-advectivos, admita que a equa¸cão anterior seja válida num volume de controle bidimensional, tal que d Ω represente uma região infinitesimal do mesmo. Juntamente com diferenciais de temperatura θ, haja nesse volume de controle um escoamento potencial estacionário e que a posi¸cão de uma part´ıcula seja dada por X = X(x1, x2). Figuram na equa¸cão anterior a condutividade

t´ermica K e o vetor velocidade da particular v, de componentes vi. As condi¸c˜oes de

contorno essenciais e naturais são definidas pelas duas equa¸cões a seguir,    θ = ¯θ em Γθ (condi¸cão essencial) θ,ini− θvini = ¯f em Γq (condi¸cão natural). (3.2) Nessas últimas equa¸cões, Γ representa a fronteira do volume de controle e ni representa

o vetor unit´ario normal `a superf´ıcie.

3.2 Formula¸

c˜

ao com Dupla-Reciprocidade

Tradicional

Para se iniciar a abordagem da DRT, a equa¸cão (3.1) é escrita na forma integral forte usando como fun¸cão auxiliar a solu¸cão fundamental difusiva θ∗, resultando na seguinte equa¸cão, K Z Ω θ,iiθ∗dΩ = Z Ω θ,iviθ∗dΩ. (3.3)

O lado esquerdo da equa¸cão (3.1) corresponde à Equa¸cão de Laplace, e pode ser reescrito em termos de integrais de dom´ınio conforme foi mostrado anteriormente. O modelo proposto por Partridge resolve o lado direito através do procedimento t´ıpico da Dupla Reciprocidade, considerando o termo advectivo tal como fosse uma a¸cão de dom´ınio, isto ´

e,

(45)

Na equa¸cão (3.4) Fj são fun¸cões de interpola¸cão linearmente independentes, αj são coe-ficientes escalares e Ψj _s˜_{ao fun¸c˜}_{oes primitivas de F}j_{. A escolha destas fun¸c˜}_{oes de}

inter-pola¸cão tem sido objeto de muitas pesquisas interessantes. Entre o conjunto de fun¸cões admiss´ıveis, a mais importante de todas são as fun¸cões radiais. Estas são compostas por potências envolvendo a distância euclidiana entre dois pontos, usualmente escolhidos como os pontos de contorno X e pontos de interpola¸cão Xj_{. Deve ser ressaltado que}

nessa fase inicial do procedimento as derivadas espaciais não requerem nenhum trata-mento especial. Também deve ser enfatizado que a solu¸cão fundamental relacionada ao problema difusivo é dada por

θ∗(ξ; X) = − 1

2πln r(ξ; X). (3.5) Na equa¸cão (3.5), r(ξ; X) significa a distância entre um ponto particular do dom´ınio, o ponto fonte ξ e um ponto genérico do dom´ınio X, usualmente tomado como um ponto pertinente ao contorno. Cabe ressaltar que a solu¸cão fundamental difusiva é uma fun¸cão que satisfaz a uma Equa¸cão de Poisson imediatamente abaixo, cujo dom´ınio é infinito:

u∗,ii= −∆(ξ; X). (3.6)

Na equa¸cão anterior ∆(ξ; X) é o Delta de Dirac. Considerando a aproxima¸cão dada pela equa¸cão (3.4), a integral (3.3) pode ser operada convenientemente, transformando-se em duas novas integrais, cujos núcleos são expressos em termos de fun¸cões harmônicas,

K Z Ω θ,iiθ∗dΩ = Z Ω αjΨj,iiθ∗dΩ. (3.7) ´

E poss´ıvel agora proceder de forma semelhante ao tratamento da equa¸c˜ao de Laplace, obtendo assim αj Z Ω Fju∗dΩ = αj cΨj(ξ) + Z Γ Ψjq∗dΓ − Z Γ ηu∗dΓ , (3.8) onde ηj = Ψj, n.