Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ensino Superior do Seridó
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas
Um Estudo sobre Derivadas e algumas
Aplicações
Rodrigo Medeiros Silva
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ensino Superior do Seridó
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas
Um Estudo sobre Derivadas e Algumas
Aplicações
por
Rodrigo Medeiros Silva
sob orientação da
Prof
a. Ma. Maria Jucimeire dos Santos
Caicó-RN
Dezembro de 2018
"A Matemática é o alfabeto com o qual Deus escreveu o universo."
Agradecimentos
Agradeço principalmente a Deus por ter me dado a determinação de continuar até o …m desta graduação que é meu sonho.
Quero agradecer minha família que sempre me apoiou em tudo e principalmente nesta graduação que tanto tive imprevistos, principalmente ao meu pai Miguel Por…rio da Silva, que me apoio em tantos momentos difíceis e incentivando neste período, e quero homenagear minha mãe que sonhava comigo formado, infelizmente ela não se encontra mais entre nós, mas onde ela estiver possa saber que nunca a esquecerei e o incentivo que ela me dava, e meus avós, irmãos e toda a família que sempre me apoiaram.
Ainda quero agradecer aos meus amigos de curso que me ajudaram no percurso da graduação tão árdua principalmente aos meus amigos Artur Breno, Josenildo Lopes, Iritan Ferreira, Bismark Gonçalves, Karla Kamila Maia, Geovani Nilvan, Jonas Jucelino, Fernando Oliveira, Marcos Gabriel, Mikarla Mikele entre outros, também quero agradecer aos amigos que …z dentro da residência universitária onde não mencionarei nomes pois foram muitos.
Quero agradecer aos professores que tiveram tanta paciência comigo, tem muita coisa de cada professor que me espelha quando for docente na educação básica. Teve uns que tenho muita admiração que é o caso do professores Ivanildo Freire, Désio Ramirez, Deilson Tavares e a professora Maria Jucimeire dos Santos minha orientadora que teve muita paciência comigo me orientando quebrando cabeça tantas vezes, mas uma coisa é certa sua forma de ser como pro…ssional e pessoa é admirável fazendo querer espelhar muito isto quando for minha vez de ser pro…ssional.
E por último e não menos importante, quero agradecer a instituição UFRN pelo apoio em relação a assistência no curso e …nanceira com seus programas sociais muito importante em minha formação, como foi a residência universitária e o auxílio alimentação.
Resumo
O presente trabalho tem como objetivo exibir conceitos básicos de derivadas, começando pela de…nição de função contínua que é a primeira condição para tal assunto ser possível. No primeiro momento trabalhamos de…nições e as técnicas de derivação e suas demonstrações com intuito de ter estes recursos no resultado do trabalho. No segundo momento temos noções de de…nições e teoremas com suas respectivas demonstrações sobre máximos e mínimos de funções contínuas, assim podendo chegar no que queremos neste trabalho que é usar este conhecimento em aplicações de derivada.
Abstract
The present work aims to show basic concepts of derivatives, beginning with the de…nition of continuous function that is the …rst condition for such a subject to be possible. In the …rst moment we work de…nitions and derivation techniques and their demonstrations in order to have these resources in the result of the work. In the second moment we have notions of de…nitions and theorems with their respective demonstrations about optimization and minimization of continuous functions, so that can arrive at what we want in this work that is to use this knowledge in derivative applications.
Sumário
1 Derivada 1
1.1 Resultados Preliminares . . . 1
1.2 Regras de Derivação . . . 4
1.3 Regra da Cadeia . . . 8
1.4 Derivadas de Funções Trigonométricas . . . 10
1.4.1 Derivada da Função Seno . . . 11
1.4.2 Derivada da Função Cosseno . . . 12
2 Máximos e Mínimos 13 2.1 De…nições e Resultados . . . 13 3 Resolução de Alguns Problemas 20 Considerações Finais 25
Introdução
"Ao estudarmos o Cálculo Diferencial, uma das aplicações mais importantes são os problemas de otimização, maximizando ou minimizando uma determinada função"([7], 2012).
Estes tipos de problemas tem aplicações em diversas áreas do cotidiano, como na economia, por exemplo, quando as empresas querem minimizar os custos ou maximizar os lucros, outro exemplo quando uma pessoa quer minimizar o tempo gasto de ir de um lugar para outro.
Este trabalho de conclusão de curso tem como objetivo exibir conceitos básicos de derivadas e algumas de suas inúmeras aplicações.
A justi…cativa de ter escolhido este tema foi através das disciplinas de Cálculo, com as quais me identi…quei no curso e, além disso, pelas suas aplicações.
No que se segue, apresentamos a estrutura geral deste trabalho. No Capítulo 1, são apresentados conceitos básicos que serão necessário nos capítulos seguintes. Estudamos regras de derivação, regra da cadeia, derivada da função exponencial, derivada do logaritmo natural e relações trigonométricas.
No capítulo 2, nos fornece de…nições e resultados importantes para o próximo capítulo. Este capítulo é dedicado as noções de máximos e mínimos de funções.
Por …m, no capítulo 3 é retomado todo o conteúdo desenvolvido ao longo do trabalho, onde aplicamos nos problemas de otimização utilizando o Cálculo Diferencial.
Capítulo 1
Derivada
Neste capítulo apresentamos a de…nição de derivada e demonstramos suas regras de derivação. Para isso, utilizamos apenas funções com domínio sendo um intervalo e o contradomínio um subconjunto dos números reais, ou seja, f : X R ! R. Todos os resultados são baseados nos livros de [1], [4], [5], [6] e [8]. Admitiremos que o leitor tem conhecimento das noções de propriedades básicas que envolve o conhecimento de limite, o qual é fundamental para o nosso estudo.
1.1
Resultados Preliminares
De…nição 1.1.1 (Continuidade em um ponto) Uma função f : [a; b] ! R é contínua em um ponto c 2 (a; b) quando
lim
x!cf (x) = f (c):
Dizemos que ela é contínua na extremidade esquerda a ou é contínua na extremidade direita b de seu domínio quando
lim
x!a+f (x) = f (a) ou limx!b f (x) = f (b) ,
respectivamente.
Proposição 1.1.1 As funções seno e cosseno satisfazem a seguinte propriedade: Existe r > 0 tal que 0 < sen(x) < x < tg (x) ; onde tg (x) = sen xcos x para 0 < x < r:
Demonstração: Ver [1], página 288.
Teorema 1.1.1 (do Confronto) Sejam f; g e h : X ! R; três funções e suponha que exista r > 0 tal que
1.1. RESULTADOS PRELIMINARES para 0 < jx pj < r. Nestas condições, se lim
x!pf (x) = L = limx!ph(x) então
lim
x!pg(x) = L:
Demonstração: Ver [4], página 97.
Proposição 1.1.2 O limite fundamental lim
x!0
sen x x = 1: Demonstração: Pela proposição 1.1.1 existe r > 0 tal que
0 < sen(x) < x < tg (x); para 0 < x < r. Dividindo por sen (x); vem
1 < x sen(x) <
1 cos(x); o que implica que, para 0 < x < r, temos
1 > 1x sen(x) > 11 cos(x) ; isto é, 1 > sen(x) x > cos(x): Por outro lado,
r < x < 0) 0 < x < r ) cos( x) < sen( x) x < 1:
Note que a função cosseno é par e a função seno é impar, isto é, cos( x) = cos(x) e sen( x) = sen(x). Com isso, a desigualdade anterior resulta em:
cos(x) < sen(x) x < 1 o que implica em
cos(x) < sen(x) x < 1: Assim, para todo x, tal que 0 < jxj < r, temos
cos(x) < sen(x) x < 1: Como lim
x!0cos(x) = 1 = limx!01, pelo Teorema do confronto, temos que
lim
x!0
sen(x) x = 1;
1.1. RESULTADOS PRELIMINARES e segue o resultado.
Exemplo 1.1.1 Mostre que lim
u!0(1 + u)
1 u = e:
Solução 1.1.1 Ver [4], página 134. Exemplo 1.1.2 Temos que lim
h!0 eh 1
h = 1. Com efeito, tomando u = e
h 1, temos que h = ln(1 + u). Assim, eh 1 h = u ln(1 + u) = 1 ln(1+u) u = 1 ln(1 + u)u 1 = 1 ln(1 + u)u1 : Veja que, se h tende para 0; temos que u tende para 0. Daí,
lim h!0 eh 1 h = limu!0 1 ln(1 + u)u1 = 1:
Sabemos que a função logarítmica é contínua e utilizando o Exemplo 1.1.1, podemos a…rmar que lim
u!0(1 + u)
1
u = ln e. Com isso, lim
h!0 eh 1
h = 1 ln e = 1:
De…nição 1.1.2 A derivada de uma função f em relação à variável x é a função f0, cujo valor em x é
f0(x) = lim
h!0
f (x + h) f (x) h ;
desde que o limite exista. Mostrado essa existência em [6], página 91.
Observação 1.1.1 Veja que pela de…nição anterior tomando p = x + h; então h = p x. Assim h ! 0 se, e somente se, x ! p: Portanto, uma de…nição equivalente para a derivada de uma função é apresentada a seguir:
f0(x) = lim
x!p
f (p) f (x) p x :
De…nição 1.1.3 Uma função é dita derivável (ou diferenciável) quando sua derivada existe em cada ponto do seu domínio.
A seguir apresentamos as regras de derivação e suas respectivas demonstrações. Essas regras são necessárias para resolver problemas em diversas áreas. Iniciaremos com a regra da potência.
1.2. REGRAS DE DERIVAÇÃO Demonstração: Devemos mostrar que lim
x!af (x) = f (a): Como f é diferenciável em a
implica que
f0(a) = lim
x!a
f (x) f (a) x a ;
onde esse limite existe. Além disso, podemos escrever f (x) f (a) da seguinte maneira: f (x) f (a) = f (x) f (a)
x a (x a);8x 6= a; passando o limite quando x tende para a, obtemos
lim
x!a[f (x) f (a)] = limx!a
f (x) f (a)
x a (x a) ; donde segue que
lim
x!af (x) x!alim
f (a) = lim x!a f (x) f (a) x a x!alim(x a) = f0(a) 0 = 0: Assim lim
x!af (x) = 0 + limx!af (a)
= f (a):
Portanto, se f é diferenciavél em a, então f é contínua em a:
1.2
Regras de Derivação
Teorema 1.2.1 Seja n 6= 0 um número natural e f : X R ! R . São válidas as seguintes fórmulas de derivação
(a) f (x) = xn ) f0(x) = nxn 1; 8x 2 X; (b) x 6= 0; f(x) = x n ) f0(x) = nx n 1;8x 2 X; (c) 8x 2 X; f(x) = xn1 ) f0(x) = 1 nx 1
n 1; onde x > 0 se n for par e x 6= 0 se n for
ímpar (n > 2).
Demonstração: a) Como f (x) = xn;
8x 2 X, então f(x + h) = (x + h)n; (x + h)
2 X. Assim, pela de…nição de derivada temos:
1.2. REGRAS DE DERIVAÇÃO f0(x) = lim h!0 f (x + h) f (x) h = limh!0 (x + h)n xn h (1.1)
Pelo Binômio de Newton, sabemos que: (x + h)n = n 0 x nh0+ n 1 x n 1h1+ n 2 x n 2h2+ + n n 1 x 1hn 1+ n n x 0hn: Sendo assim, (x + h)n xn h = xn+ nxn 1h + n2 xn 2h2+ + n 1n xhn 1+ hn xn h ;
o que implica que (x + h)n xn h = nxn 1h + n 2 x n 2h2+ + n n 1 xh n 1+ hn h (1.2) = nxn 1+ n 2 x n 2h1+ + n n 1 xh n 2+ hn 1
substituindo (1.2) em (1.1), resulta em: f0(x) = lim h!0 (x + h)n xn h = lim h!0 nx n 1+ n 2 x n 2h1+ + n n 1 xh n 2+ hn 1 = nxn 1: Logo, f0(x) = nxn 1:
b) Seja f (x) = x n;onde n 6= 0 e x 6= 0: Por de…nição de derivada, temos: f0(x) = lim h!0 1 (x+h)n x1n h = limh!0 xn (x+h)n (x+h)nxn h = lim h!0 [(x+h)n xn] (x+h)nxn h = lim h!0 [(x + h)n xn] h 1 (x + h)nxn :
Como o limite de um produto é igual ao produto dos limites, tem-se: f0(x) = lim h!0 [(x + h)n xn] h h!0lim 1 (x + h)nxn
1.2. REGRAS DE DERIVAÇÃO = lim h!0 [(x + h)n xn] h h!0lim 1 (x + h)nxn: (1.3)
O item (a) diz que lim
h!0
[(x+h)n xn]
h = nx
n 1:Utilizando esse resultado em (1.3), resulta em:
f0(x) = nxn 1 lim h!0 1 (x + h)nxn = nxn 1 1 (x + 0)nxn = nxn 1 x2n : Daí, f0(x) = nx(n 1) 2n = nx n 1:Logo, f (x) = x n ) f0(x) = nx n 1;8x 2 X: c) Seja f (x) = x1n = pnx: Por de…nição de derivada, tem-se:
f0(x) = lim h!0 f (x + h) f (x) h = lim h!0 n p x + h pnx h = limt!x n p t pnx t x ; com t = x + h: Agora considere u = pn
t e v = pnx
, observe que t ! x ) u ! v: Daí, f0(x) = lim u!v u v un vn (1.4) = lim u!v 1 un vn u v = 1 nvn 1;
onde do item (a) lim
u!v un vn
u v = nv n 1
. Portanto, x 6= 0 e x pertence ao domínio de f: Com v = pnx substituindo em (1.4), segue que f0(x) = 1
nnpxn 1: Logo f0(x) = 1 n x 1 n n = 1 n x 1 n 1;8x 2 X e segue o resultado.
Teorema 1.2.2 Sejam f : X R ! R e g : X R ! R, deriváveis em x 2 X e seja k2 R uma constante. Então as funções f + g, f g e fg são deriváveis em x e têm-se;
(a) (f + g)0(x) = f0(x) + g0(x)
(b) (f g)0(x) = f0(x) g(x) + f (x) g0(x)
(c) hfgi0(x) = f0(x)g(x) f (x)g0(x)
[g(x)]2 ; sendo g(x) 6= 0:
1.2. REGRAS DE DERIVAÇÃO (f + g)0(x) = lim h!0 [f (x + h) + g(x + h)] [f (x) + g(x)] h = lim h!0 f (x + h) f (x) h + g(x + h) g(x) h = lim h!0 f (x + h) f (x) h + limh!0 g(x + h) g(x) h = f0(x) + g0(x):
Ou seja, a derivada de uma soma é igual a soma das derivadas das funções. b) Novamente, por de…nição de derivada temos:
(f g)0(x) = lim h!0 f (x + h)g(x + h) f (x)g(x) h = lim h!0 f (x + h)g(x + h) f (x)g(x + h) + f (x)g(x + h) f (x)g(x) h = lim h!0 [f (x + h) f (x)]g(x + h) + f (x)[g(x + h) g(x)] h = lim h!0 f (x + h) f (x) h g(x + h) + f (x) g(x + h) g(x) h = lim h!0 f (x + h) f (x)
h h!0limg(x + h) + limh!0f (x) limh!0
g(x + h) g(x) h
Quando h tende a zero g(x + h) aproxima-se de g(x), porque g é derivável em x e por isso é contínua em x. Portanto,
(f g)0(x) = f0(x)g(x) + f (x)g0(x)
c) Por …m, demonstraremos a regra do quociente assumindo que g(x) 6= 0; f (x)g(x) existe.
Isto é, f g 0 (x) = lim h!0 f (x+h) g(x+h) f (x) g(x) h = lim h!0 f (x+h)g(x) g(x+h)f (x) g(x+h)g(x) h = lim h!0 f (x + h)g(x) g(x + h)f (x) g(x + h)g(x) 1 h = lim h!0 f (x + h)g(x) f (x)g(x) + f (x)g(x) g(x + h)f (x) h g(x + h)g(x)
1.3. REGRA DA CADEIA = lim h!0 [f (x + h) f (x)] g(x) + f (x) [ g(x + h) + g(x)] h g(x + h)g(x) = lim h!0 [f (x + h) f (x)] g(x) f (x) [g(x + h) g(x)] h 1 g(x + h)g(x) = lim h!0 f (x + h) f (x) h g(x) f (x) g(x + h) g(x) h h!0lim 1 g(x + h)g(x) = lim h!0 f (x + h) f (x) h g(x) f (x) g(x + h) g(x) h h!0lim 1 g(x + h)g(x) = lim h!0 f (x + h) f (x)
h h!0limg(x) h!0limf (x) limh!0
g(x + h) g(x) h 1 g(x)g(x) = [f0(x)g(x) f (x)g0(x)] 1 [g(x)]2 = f 0(x)g(x) f (x)g0(x) [g(x)]2 :
1.3
Regra da Cadeia
Nesta seção, vamos trabalhar a regra da cadeia que é um teorema fundamental para determinarmos a derivada de uma função composta f g h:
Teorema 1.3.1 (Regra da Cadeia) Sejam f : A ! B, g : C ! D e h : E ! F , com B C e D E. Seja, ainda, h(x) = f (g(x)). Se g é derivável no ponto x e f é derivável no ponto g(x), então h(x) = f (g(x)) é derivável em x e h0(x) = f0(g(x)) g0(x):
Demonstração: Sejam u = g(x) e x = x1 x2, sendo x1; x2 quaisquer dois pontos
distintos do domínio de g. u a variação de u correspondente à variação de x em x, isto é: u = g(x + x) g(x):Assim, g(x + x) = g(x) + u = u + u. Daí, segue que
h = h(x + x) h(x) = f (g(x + x)) f (g(x)) = f (u + u) f (u);
Considere x6= 0. Assim podemos escrever a fração hx como h x = h x u u = h u u x;
considerando u6= 0. Aplicando o limite na igualdade quando x! 0, obtemos lim x!0 h x = limx!0 h x u u
1.3. REGRA DA CADEIA ) lim x!0 h x = limx!0 h u limx!0 u x ) lim x!0 h x = limx!0 f (u + u) f (u) u limx!0 g(x + x) g(x) x ) lim x!0 h x = limx!0 f (u + u) f (u) u g 0(x):
Como g é uma função derivável, então f g é contínua, logo quando x ! 0 temos u = g(x + x) g(x)! 0: Logo: h0(x) = lim u!0 f (u + u) f (u) u g 0(x) = f0(u) g0(x) = f0(g(x)) g0(x) Portanto, a derivada de h(x) = f (g(x)) é h0(x) = f0(g(x)) g0(x):
Teorema 1.3.2 Seja f uma função inversível, com função inversa g. Se f for derivável em q = g(p), com f0(q)6= 0, e g for contínua em p, então g será derivável em p.
Demonstração: Por hipótese, f é derivável em q = g(p), signi…ca que f0(q) = lim
x!q
f (x) f (q) x q com f0(q)6= 0: Além disso, podemos a…rmar que
lim
x!pg(x) = g(p); (1.5)
pois g é contínua em p. Como f e g são funções inversas, então x = f (g(x)) e p = f (g(p)). Daí g(x) g(p) x p = g(x) g(p) f (g(x)) f (g(p)), = f (g(x)) f (g(p))1 g(x) g(p) . Passando o limite, temos:
lim x!p g(x) g(p) x p = limx!p 1 f (g(x)) f (g(p)) g(x) g(p) .
1.4. DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Tome u = g(x). Pela equação (1.5) tem-se u = g(x) ! q quando x ! p. Utilizando essas informações, a igualdade anterior resulta em:
lim x!p g(x) g(p) x p = limu!q 1 f (u) f (q) u q = 1 f0(q) = 1 f0(g(p)). Portanto, g0(p) = 1 f0(g(p)).
Exemplo 1.3.1 (Derivada de ex) Seja f uma função, tal que, f (x) = ex, então
f0(x) = ex.
Demonstração: Peda de…nição de derivada, temos: f0(x) = lim h!0 ex+h ex h = limh!0e x eh 1 h = e x ; pois, pelo exemplo (1.1.1)
lim
h!0
eh 1
h = 1: Exemplo 1.3.2 (Derivada do Logaritmo Natural)
Uma vez que a função exponencial f (x) = ex é derivável , podemos aplicar o teorema da inversa f 1(x) = ln(x); para x > 0: (f 1)0(x) = 1 f0(f 1(x)) = 1 ef 1(x) = 1 eln(x) = 1 x: Logo, dxd(ln x) = x1:
1.4
Derivadas de Funções Trigonométricas
As funções trigonométricas são utilizadas na modelagem de problemas envolvendo campos eletromagnéticos, ritmos cardíacos, tempo, entre outros. A seguir apresentamos as derivadas das funções seno e cosseno, que são duas funções trigonométricas frequentemente usadas.
1.4. DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1.4.1
Derivada da Função Seno
Seja f : X R ! R uma função, de…nida por f(x) = sen(x), x 2 X. Assim, f (x + h) = sen(x + h) e f0(x) = lim h!0 f (x + h) f (x) h = lim h!0 sen(x + h) sen(x) h
para x + h 2 X. Usando a identidade trigonométrica: sen(x) sen(y) = 2 sen(x y
2 ) cos( x + y
2 ): e substituindo em f0(x), obtemos:
sen(x + h) sen(x) = 2 sen(x + h x
2 ) cos( x + h + x 2 ) = 2 sen(h 2) cos( 2x + h 2 ): Pela propriedade 1.1.2, sabemos que lim
x!0 sen(x)
x = 1: Dessa forma, podemos concluir que
f0(x) = lim h!0 f (x + h) f (x) h = lim h!0 " 2 sen(h 2) cos( 2x+h 2 ) h # = lim h!0 " sen(h2) cos(2x+h2 ) h 2 # = lim h!0 sen(h2) h 2 lim h!0cos( 2x + h 2 ) = 1 cos(x + 0) = cos(x):
1.4. DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
1.4.2
Derivada da Função Cosseno
Dada uma função f : X R ! R, de…nida por f(x) = cos x; 8x 2 X: Assim, segue que f (x + h) = cos(x + h); x + h 2 X e f0(x) = lim h!0 f (x + h) f (x) h (1.6) = lim h!0 cos(x + h) cos(x) h
Aplicando a identidade trigonométrica
cos(x) cos(y) = 2 sen(x + y
2 ) sen( x y
2 ); obtemos:
cos(x + h) cos(x) = 2 sen(x + h + x
2 ) sen( x + h x 2 ) = 2 sen(2x + h 2 ) sen( h 2): Substituindo esse resultado em (1.6), tem-se;
f0(x) = lim h!0 f (x + h) f (x) h = lim h!0 2 sen(2x+h 2 ) sen( h 2) h = lim h!0 " sen(2x+h2 ) sen(h2) h 2 # : = lim h!0 sen( 2x + h 2 ) limh!0 sen(h2) h 2 = lim h!0 sen(2x + h 2 ) limh!0 sen(h2) h 2 : pela Proposição 1.1.1 lim
x!0 sen(x) x = 1, concluímos que: f0(x) = sen(2x 2 ) 1 = sen(x) Logo, f (x) = cos(x)) f0(x) = sen(x); 8x 2 X:
Capítulo 2
Máximos e Mínimos
Em diversas áreas de estudo, existe a necessidade de otimizar os resultados que se busca. Em geral, a otimização desses resultados se resume a encontrar valores que maximizem ou minimizem algo. Para tanto, buscam-se valores de máximos e mínimos de funções. Neste capítulo, iremos expor os principais resultados envolvendo máximos e mínimo a…m de exibirmos aplicações envolvendo derivada. Os conceitos abordados neste capítulo tem como base os livros [1], [5], [7] e [8]. Vamos considerar apenas funções f : D R ! R, onde D é um intervalo ou união de intervalos.
2.1
De…nições e Resultados
De…nição 2.1.1 Seja f uma função de domínio D. Então, f tem um valor máximo absoluto no ponto c 2 D se
f (x) f (c) para qualquer x em D: e um valor mínimo absoluto no ponto c 2 D se
f (x) f (c) para qualquer x em D:
Teorema 2.1.1 (Teorema dos Valores Extremos) Se f é contínua em um intervalo fechado [a; b], então f atinge tanto valor máximo M e um valor mínimo m em [a; b]. Isto é, há números x1 e x2 em [a; b] tais que f (x1) = m, f (x2) = M e m f (x) M para
qualquer valor de x em [a; b] : Demonstração: Ver [8].
De…nição 2.1.2 Uma função f tem um valor máximo local em um ponto c 2 D se f (x) f (c) para qualquer x em um intervalo aberto contido em D que contenha c. A função f tem um mínimo local em um ponto c 2 D se f(x) f (c) para qualquer x2 D em um intervalo aberto que contenha c.
2.1. DEFINIÇÕES E RESULTADOS Teorema 2.1.2 (Teorema da Derivada Primeira para Valores Extremos Locais) Se f possui um valor máximo ou mínimo local em um ponto c interior de seu domínio e se f0 é de…nida em c, então
f0(c) = 0:
Demonstração: De início, suponhamos que f tenha um valor de máximo local em x = c, ou seja
f (x) f (c): ou ainda
f (x) f (c) 0;
para os valores próximos de c. Veja que c é um ponto interior do domínio de f e f0(c)
existe, isto é,
f0(c) = lim
x!c
f (x) f (c) x c :
Logo, temos que os limites laterais tanto pela direita quanto pela à esquerda existirão quando x = c e serão iguais a f0(c). Analisemos esses limites separadamente
f0(c) = lim
x!c+
f (x) f (c)
x c 0; (2.1) pois f (x) f (c) 0 e x c > 0. De maneira semelhante
f0(c) = lim
x!c
f (x) f (c)
x c 0; (2.2) pois f (x) f (c) 0 e c < 0: Portanto, as equações (2.1) e (2.2) implicam que f0(c) = 0.
Isso prova o Teorema para valores máximos locais. De modo análogo prova-se para valores mínimos locais, usando apenas f (x) f (c) 0, o que inverte as desigualdades de (2.1) e (2.2).
De…nição 2.1.3 Um ponto interior do domínio de uma função f em que f0 é zero ou
inde…nida é um ponto crítico de f .
Teorema 2.1.3 (Teorema de Rolle) Seja f uma função que satisfaça as seguintes hipóteses:
1. f é contínua no intervalo fechado [a; b] : 2. f é derivável no intervalo aberto (a; b) : 3. f (a) = f (b),
2.1. DEFINIÇÕES E RESULTADOS Demonstração: Analisaremos três casos:
1 caso: f (x) = k.
Se f é uma função constante, isto é, f (x) = k com k 2 R então f0(x) = 0 para todo x2 (a; b), em particular, dado c 2 (a; b) tem-se f0(c) = 0:
2 caso: f (x) > f (a) para algum x em (a; b).
Como f é contínua no intervalo fechado [a; b] (hipótese 1), segue do Teorema do Valores Extremos que f tem um valor máximo em algum ponto de [a; b]. Assim, sendo f (a) = f (b) temos que existe c 2 (a; b) tal que f(c) > f(a). Disto, tem-se que f tem um máximo local em c e como f é derivável em (a; b) temos que f0(c) está de…nida. Logo,
pelo Teorema da Derivada Primeira para Valores Extremos Locais, f0(c) = 0:
3 caso: f (x) < f (a) para algum x em (a; b).
De maneira análoga ao 2o Caso, temos que f possui um valor mínimo em algum ponto de [a; b], pois f é contínua em [a; b]. De f (a) = f (b) vem que existe c 2 (a; b) tal que f (c) < f (a), isto é, f tem um valor mínimo local em c 2 (a; b). Da hipótese 2 tem-se que f0(c) existe e do Teorema da Derivada Primeira para Valores Extremos Locais temos
que f0(c) = 0:
Teorema 2.1.4 (Teorema do Valor Médio - TVM) Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a; b], derivável nos pontos internos. Então existe pelo menos um ponto c, compreendido entre a e b, tal que
f (b) f (a) = f0(c) (b a) Considere os pontos A = (a; f (a)) e B = (b; f (b)).
O valor do coe…ciente angular da reta AB é dado por: m = f (b) f (a)
b a ; assim, a equação da reta secante AB é
y y0 = m(x x0)
) y f (a) = f (b) f (a)
2.1. DEFINIÇÕES E RESULTADOS ) y = f(a) +f (b) f (a)
b a (x a). (2.3) Demonstração: Seja
F (x) = f (x) y: (2.4) Substituindo a equação (2.3) em (2.4), temos
F (x) = f (x) f (a) f (b) f (a)
b a (x a). Derivando F (x); obtemos
F0(x) = f0(x) f (b) f (a) b a : Além disso, observe que
F (a) = f (a) f (a) f (b) f (a)
b a (a a) = 0 e
F (b) = f (b) f (a) f (b) f (a)
b a (b a) = 0:
Como F é a diferença da função f e uma função linear, segue que F é contínua em [a; b] e diferenciável em (a; b) e, além disso, F (a) = F (b). Então pelo Teorema de Rolle existe pelo menos um ponto c entre a e b; tal que F0(c) = 0, ou seja
0 = F0(c) = f0(c) f (b) f (a) b a , o que implica em f0(c) = f (b) f (a) b a ; isto é, f (b) f (a) = f0(c) (b a).
Corolário 2.1.1 Sejam f contínua em [a; b] e com derivada nula nos pontos internos desse intervalo. Então f é constante.
Demonstração: Sejam x1; x2 2 [a; b]. Aplicando o TVM ao intervalo (x1; x2), onde
x1 < x2, existe c 2 (x1; x2) tal que
f (x2) f (x1) = f0(c) (x2 x1) :
2.1. DEFINIÇÕES E RESULTADOS Consequentemente, f0(c) = 0. Logo
f (x2) f (x1) = 0;
isto é, f (x2) = f (x1). Como isso vale para quaisquer dois pontos em [a; b], concluímos
que f é constante.
De…nição 2.1.4 Uma função f de…nida num intervalo será crescente naquele intervalo se, e somente se
f (x1) < f (x2) sempre que x1 < x2
onde x1 e x2 são quaisquer números no intervalo.
De…nição 2.1.5 Uma função f de…nida num intervalo será decrescente naquele intervalo se, e somente se
f (x1) > f (x2)sempre que x1 < x2;
onde x1 e x2 são quaisquer números no intervalo.
Teorema 2.1.5 (Teste Crescente/Decrescente) Considere que a função f seja de…nida e contínua no intervalo [a; b] ; e que seja diferenciável em todo ponto do intervalo em (a; b).
(a) Se f0(x) > 0 em (a; b), então f é crescente.
(b) Se f0(x) < 0 em (a; b), então f é decrescente.
Demonstração: (a) Sejam x1 e x2 dois números quaisquer no intervalo com x1 < x2:
Pela de…nição de função crescente, devemos mostrar que f (x1) < f (x2).
Como nos foi dado que f0(x) > 0, e que f é derivável em (x1; x2). Portanto, pelo
Teorema do valor médio, existe um número c entre x1 e x2 tal que
f (x2) f (x1) = f0(c) (x2 x1) : (2.5)
Sabemos que f0(c) > 0; por hipótese, e x
2 x1 > 0, pois x1 < x2. Assim, o lado direito
da equação (2.5) é positivo e, portanto
f (x2) f (x1) > 0; ou seja, f (x1) < f (x2):
2.1. DEFINIÇÕES E RESULTADOS (b) Sejam x1 e x2 dois números quaisquer no intervalo [a; b] com x1 < x2:Pela de…nição
de função decrescente, devemos mostrar que f (x1) > f (x2).
Como f é derivável em (a; b) então pelo Teorema do Valor Médio, existe um número centre x1e x2 tal que
f (x2) f (x1) = f0(c) (x2 x1) : (2.6)
Por hipótese f0(x) < 0, para todo x 2 (a; b). Signi…ca que f0(c) < 0; e por hipótese,
x2 x1 > 0, pois x1 < x2. Assim, o lado esquerdo da equação (2.6) é negativo e, portanto,
f (x2) f (x1) < 0 ou f (x2) < f (x1):
Assim, mostramos que a função é decrescente.
Teorema 2.1.6 (Teste da Primeira Derivada) Suponha que c seja um ponto crítico de uma função contínua f , e que f seja derivável em qualquer ponto de um intervalo que contenha c, exceto, possivelmente, no próprio ponto c. Deslocando-se ao longo desse intervalo da esquerda para a direita
(a) Se f0 passa de negativa a positiva em c, então f possui um mínimo local em c;
(b) Se f0 passa de positiva para negativa em c, então f possui um máximo local em c;
(c) Se f0 não muda de sinal em c (isto é, f0 é positiva ou negativa em ambos os lados
de c), então f não tem extremo local em c.
Demonstração: (a): Por hipótese, temos que o sinal de f0 passa de negativo a positivo
em c; existem dois números a e b, tal que a < c < b, com f0 < 0 em (a; c) e f0 > 0 em
(c; b). Se x 2 (a; c), então x < c implica que f(c) < f(x), pois f0 < 0, daí segue que
f é decrescente em (a; c) pelo item (b) do Teorema 2.1.5 . Se x 2 (c; b), então c < x implica que f (c) < f (x), pois f0 > 0, daí segue que f é crescente em (c; b) pelo item
(a) do Teorema 2.1.5 . Portanto, f (x) f (c) para qualquer x 2 (a; b). Por de…nição, f possui um mínimo local em c:
Figura 2
2.1. DEFINIÇÕES E RESULTADOS (b): Por hipótese, temos que o sinal de f0 passa de positiva a negativo em c; existem
dois números a e b, tal que a < c < b, com f0 > 0 em (a; c) e f0 < 0 em (c; b). Veja que, se x 2 (a; c), então x < c implica que f(x) < f(c), pois f0 > 0, assim segue que f é crescente em (a; c) pelo item (a) do Teorema 2.1.5. Se x 2 (c; b), então c < x implica que f (x) < f (c), pois f0 < 0, daí segue que f é decrescente em (c; b) pelo item (b) do
Teorema 2.1.5. Portanto, f (x) f (c) para qualquer x 2 (a; b). Por de…nição, f possui um máximo local em c:
Figura 3
Fonte: [5]
(c): Suponhamos que f0 > 0 em ambos os lados de c, existem dois números a e b, tal
que a < c < b, com f0 > 0 em (a; c) e f0 > 0 em (b; c): Veja que, se x 2 (a; c), então x < c
implica em f (x) < f (c), pois f0 > 0 daí segue que f é crescente em (a; c) pelo item 1. Se
x2 (c; b), então c < x implica que f(c) < f(x), pois f0 > 0, daí segue que f é crescente
em [c; b] pelo item 1. Como f (x) < f (c) para x 2 (a; c) e f(x) > f(c) para x 2 (c; b), então f não tem extremo local em c.
Teorema 2.1.7 (Testes da Segunda Derivada) Seja c um número crítico de uma função f no qual f0(c) = 0 e f0 existe para todos os valores de x num intervalo aberto
contendo c. Então, se f00(c) existe e
(a) Se f00(c) < 0, f tem um valor máximo local em c.
(b) Se f00(c) > 0; f tem um valor mínimo local em c.
Capítulo 3
Resolução de Alguns Problemas
Neste capítulo, aplicamos os resultados do capítulo anterior e apresentamos resoluções de algumas questões contextualizadas. Os resultados aqui encontrados foram extraídos dos textos [2], [3] [5], [7] e [8].
Exercício 3.0.1 Uma viagem de uma escola custará R$ 1500; 00 a cada estudante, se viajarem no máximo 150 estudantes; contudo, o custo por estudante será reduzido em R$ 5; 00 por cada estudante que exceda os 150. Quantos estudantes devem viajar para que a escola receba a maior renda bruta?
Solução 3.0.1 Sejam x o número de aluno que irá viajar e r a receita do valor pago pelos alunos. Assim a quantidade de alunos x, será relacionado a receita da escola r. Note que se x 2 [1; 150] , o valor da receita será dado pela função r (x) = 1500x. Veja ainda que para x > 150, o aluno terá um desconto de 5 reais para cada estudante que exceda os 150. Dessa forma, o valor pago por cada aluno será [1500 5 (x 150)], ou seja,
r(x) = x [1500 5 (x 150)] = 2250x 5x2:
Note que os zeros da função r (x) = 2250x 5x2 são x = 0 e x = 450. Assim, a renda não será negativa se 0 x < 150, também não seria em 150 < x 450. Disto segue que:
r(x) = ( 1500x se 1 x 150 2250x 5x2 se 150 < x 450 Derivando r, obtemos r0(x) = ( 1500 se 1 x 150 2250 10x se 150 < x 450 : Assim, r0(x) = 0 se x = 225, isto é, 225 é ponto crítico de r(x):
Temos que r0(x) > 0 se x < 225 e r0(x) < 0 se x > 225. Logo, pelo Teste da Primeira
Derivada, r tem um valor de máximo local em x = 225.
Portanto, para que a renda bruta seja máxima, devem viajar 225 alunos e a escola obterá uma renda bruta igual a R$ 253:125; 00.
Exercício 3.0.2 Uma construtora, com o objetivo de valorizar as áreas verdes, apresentou um projeto de loteamento, com terrenos retangulares, onde cada residência construída terá um jardim ao seu redor. Em cada terreno deverão ter reservados 3 metros na frente, 3 metros no fundo e 2 metros em cada lateral para jardinagem, conforme ilustra a …gura a seguir.
Considere-se que área para construção será 600 m2, a área mínima do terreno que
atende às especi…cações exigidas pela construtora será de A) 606 m2
B) 610 m2
C) 726 m2
D) 864 m2 E) 924 m2
Solução 3.0.2 Começaremos pela área dada. Como a área para a construção será 600 m2 e a área A de um retângulo é dada por Ac = b h, onde b é a base e h é a altura, tomando
a base por x e a altura por y da área disponível para a contrução, temos 600 = x y. Agora deixando esta área em função de uma variável apenas, segue que y = 600x : Note que a altura do terreno é igual a (6 + x) e a base é igual a (4 + y), logo a área do terreno é At= (6 + x)(4 + y).
Substituindo y na área do retângulo, temos At = (x + 6)(4 +
600 x ): Pela distributividade, tem-se
At = 4x + 600 + 24 +
3600 x ; = 4x +3600
x + 624:
Observe que x > 0: Daí concluímos que o domínio de At são os pontos do intervalo
(0; +1) : Derivando At obtemos A0t= 4 3600 x2 ; fazendo A0 t = 0; obtemos: 4 3600 x2 = 0 4 = 3600 x2 4x2 = 3600 x2 = 3600 4 x2 = 900 x = 30:
Como x > 0; temos que x = 30 é ponto crítico de At. Sabemos que A0t(x) = 4 3600
x2 =
4x2 3600
x2 e x
2 > 0, então o sinal de A0
t(x) é o mesmo da parábola 4x2 3600. Assim,
para todo x 2 (0; 30) tem-se A0
t(x) < 0 e para x 2 (30; +1) temos A0t(x) > 0. Portanto,
pelo Teste da Primeira Derivada, segue que At tem um ponto de mínimo em x = 30.
Assim, aplicando a função At no ponto x = 30 obteremos a área mínima. Note que
At(30) = 4 30 +
3600 30 + 624 = 120 + 120 + 624 = 864
Portanto, a área mínima do terreno será 864 m2:
Exercício 3.0.3 Uma re…naria de petróleo está localizada na margem norte de um rio reto que tem 2 km de largura. Um oleoduto deve ser construído da re…naria até um tanque de armazenamento localizado na margem sul da re…naria, 6 km a leste da re…naria.
O custo de construção do oleoduto é R$ 400:000; 00 por quilômetro sobre a terra e R$ 800:000; 00 por quilômetro sobre o rio até o tanque. Considerando que o trajeto é feito por terra da re…naria até um ponto p na margem norte e do ponto p ao Tanque de Armazenamento na margem sul pela água, onde p deveria estar localizado para minimizar o custo da construção do oleoduto?
Solução 3.0.3 O que queremos é encontrar o custo mínimo para a construção do oleoduto. Considere o ponto q como mostrado na …gura, ou seja, q é o ponto da margem norte em que o seguimento de reta que liga q ao tanque é perpendicular a margem sul. Sabemos que as margens do rio são paralelas e, que a distância entre elas é igual a 2 quilômetros, Além disso dado um ponto p entre a re…naria e o ponto q, temos que 6 x é a distância do ponto p ao ponto q. Traçando um segmento de reta do ponto p até o tanque, como visto na …gura acima. Ao traçarmos o seguimento de reta da re…naria a até o ponto p e o seguimento de reta do ponto p até o tanque. Note que a distância da re…naria ao ponto p é igual a x e, tomando y como sendo a distância de p ao tanque, obteremos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é y e seus catetos são 2 e 6 x. Daí pelo Teorema de Pitágoras, vem que:
y2 = 22+ (6 x)2, isto é, y = q 4 + (6 x)2 y =p4 + 36 12x + x2 y =p40 12x + x2:
Logo, como y =p40 12x + x2, temos que a distância da re…naria ao tanque, na qual
construiremos o oleoduto é
d = x +p40 12x + x2:
Com isso, sendo o custo da construção do oleoduto de R$ 400:000; 00 por quilômetro sobre a terra, onde o segmento de reta da re…naria até o ponto p será a parte construída
e R$ 800:000; 00 por quilômetro sob a água, é custo da construção compreendido do segmento de reta p ao tanque. Assim, a função de construção é dada por C(x) = 400000x + 800000p40 12x + x2;onde x 2 [0; 6]. Derivando C(x) para achar o mínimo
desta função, assim
C0(x) = 400000 + 800000 (2x 12) 2p40 12x + x2 = 400000 + 800000 2 (x 6) 2p40 12x + x2 = 400000 + 800000 (xp 6) 40 12x + x2 Fazendo C0(x) = 0, temos: 400000 + 800000 (xp 6) 40 12x + x2 = 0 400000 + 800000xp 4800000 40 12x + x2 = 0 400000p40 12x + x2+ 800000x 4800000 p 40 12x + x2 = 0 400000p40 12x + x2 + 800000x 4800000 = 0 p 40 12x + x2 = 2x + 12
e elevando ambos os membros ao quadrado, temos p
40 12x + x2 2 = ( 2x + 12)2 (3.1)
) 40 12x + x2 = 4x2 48x + 144 ) 3x2 36x + 104 = 0:
Assim, achando as raízes equação 3.1, temos x = 6 2p33: Como x = 6 +2p33 7; 15, daí ultrapassa o domínio, consequentemente será descartado.
Logo, x = 6 2p33 é ponto crítico de C; pois x 2 [0; 6]. Além disso, C0(x) < 0, se x < 6 2p33 e C0(x) > 0, se x > 6 2p33:Logo, pelo teste da primeira derivada x = 6 2p33 é ponto de mínimo. Com este resultado podemos achar o ponto p, onde seria o ponto de menor custo deste oleoduto, assim
p = x 4; 85 km: isto é, p está à 4; 85 quilômetros da re…naria.
Considerações Finais
Ao longo deste trabalho foi possível ver conceitos de continuidade em um ponto e assim podendo usar esses conceitos em alguns resultados no decorrer do trabalho. Mostramos recursos para serem usados em diversas situações e aplica-las em algumas áreas das ciências. Pergunta-se onde podemos utilizar estes conceitos em atividades diárias, o cálculo diferencial pode ser útil em atividades como maximizar o lucro em um empresa ou minimizar despesas, dentre tantas outras formas.
Sabemos ainda, que a matemática não consiste em apenas estudar fórmulas e conceitos, mas também descobrir os motivos que levaram a fundamentação desta teoria como forma de resolver problemas em situações não triviais, porém devemos perceber que o professor deve usar essas técnicas formuladas, tendo em vista sua grande importância. Sabendo que a matemática é conhecida por sua difícil compreensão, a mesma deve ser entendida como uma ciência de formação de cidadãos, já que a mesma in‡uencia diretamente os mais diversos tipos de situações, intervindo desse modo em nosso cotidiano.
Referências Bibliográ…cas
[1] ÁVILA, Geraldo, CLÁUDIO, L. L. A. Cálculo Ilutrando, Prática e Descomplicando.1 Ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Cientí…co Editora Ltda, 2012.
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[3] Enade 2017. Disponível em:n<http://download.inep.gov.br/educacao_superior/enade/provas/2017
/35_MATEMATICA_LICENCIATURA_BAIXA.pdf>. Acesso em:11 de outubro de 2018.
[4] GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo. 5.Ed.Rio de Janeiro: S.A, 2001. [5] LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. 2.Ed. São Paulo: Harper e
Rowdo Brasil, Ltda. 1982.
[6] Lima, Elon. Larges. Análise Real: funções de uma variável. Vol 1. 10 . Janeiro. IMPA, 2010.
[7] STEWART, James.Cálculo Volume I. 6.Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012. [8] THOMAS, George B. Cálculo.4.Ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2006.
